Wie man einen Würfel aufpustet E-Book

Albrecht Beutelspacher

• Herausgeber: Verlag Herder
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 140

Veröffentlichungsjahr: 2019

Beschreibung

Was haben Schaschlikspieße und Kühltürme gemeinsam? Wie wird aus zwei Rauten eine Pyramide? Was wird immer größer – behält aber exakt dieselbe Form? Mit ihrem neuen Buch führen die beiden Kult-Mathematiker Albrecht Beutelspacher und Marcus Wagner wieder in die Wunderwelt der Mathematik. Sie bringen Quadrate zum Rotieren, zaubern mit Küchenrollen, präsentieren die 3-D-Postkarte und puzzeln mit Pythagoras. Sie erkunden das Herz der Ellipse, würfeln um die Ecke und verraten, wie man einen Würfel aufpustet. Die 44 neuen Experimente, die in beliebiger Reihenfolge gemacht werden können und für jedes Niveau geeignet sind, beschäftigen sich mit Körpern, Formen, Kurven, Mustern, Zahlen, liefern Knobelspiele und sorgen für den Durchblick. Zahlreiche Illustrationen verdeutlichen die Fragestellungen und Lösungen. Basteln macht vielen, vor allem Kindern, Spaß. Warum also nicht einmal "mathematisch" an die Sache herangehen. Bei mathematischen Basteleien steht nichts Nützliches oder Kreatives im Mittelpunkt, sondern es entstehen mathematische Objekte, die auf anschauliche Art und Weise auf einen mathematischen Inhalt verweisen, zum Beispiel von Vierecken und Fünfecken über Tetraeder und Würfel bis zu Ellipsen und Hyperboloiden. Schon beim Basteln macht man spannende Entdeckungen: wie aus drei Rechtecken das Ikosaeder entsteht, dessen Oberfläche nur Dreiecke sind. Oder wie viele unterschiedliche Schattenbildern man mit einem gebogenen Draht schaffen kann. Und was passiert mit einem Sechseck, wenn man es umstülpt? Mit den hergestellten Objekten kann man weiter experimentieren und Erkenntnisse erzielen: Man entdeckt die Selbstähnlichkeit bei Knobelspielen, man findet Primzahlen mithilfe von Lochkarten und kann sich mit dem Goldenen Zirkel auf die Suche nach dem goldenen Schnitt im Alltag machen. "Es zeigt sich, dass das Experimentieren automatisch das Denken anregt. Man macht sozusagen ganz von selbst Mathematik – natürlich nicht auf formaler Ebene, aber es ist trotzdem Mathematik. Kurz gesagt: Solche Experimente sind ein erster Schritt in die Mathematik.", so die Autoren. Dem Bastler, Knobler und Experimentierer bleibt es überlassen, wie weit er in die Mathematik einsteigen möchte. Einfach nur Modelle basteln und sich am Ergebnis erfreuen? Oder den nächsten Schritt tun und Fragen stellen, Vermutungen entwerfen und feststellen, dass sich alles zusammenfügt. Wer etwas tiefer in die Mathematik einsteigen möchte, findet am Ende der Abschnitte Anregungen dazu. Albrecht Beutelspacher und Marcus Wagner wissen aus langjähriger Erfahrung, dass Experimente jeden faszinieren, da ihnen Handeln, Denken und Fühlen zugrunde liegen. Deshalb haben sie erneut knifflige, witzige und überraschende Experimente zusammengestellt für Schüler, Eltern und Lehrer.

Leseprobe

Albrecht Beutelspacher und Marcus Wagner

Wie man einen Würfel aufpustet

44 mathematische Experimente

Mit Illustrationen von Frank Wowra

© Verlag Herder GmbH, Freiburg im Breisgau 2019

Alle Rechte vorbehalten

www.herder.de

Umschlaggestaltung: Gestaltungssaal, Rosenheim

Umschlagmotiv: © Frank Wowra

Zeichendreieck und Würfelzeichnung © YummySuperStar - iStock - GettyImages

E-Book-Konvertierung: le-tex publishing services GmbH, Leipzig

ISBN (E-Book) 978-3-451-81607-9

ISBN (Buch) 978-3-451-60068-5

Inhalt

Vorwort

Körper: Gesteckt, gerollt und aufgeblasen

Der Steckwürfel

Wie man einen Würfel aufpustet

Halbieren und Verdoppeln eines Quadrats

Rhombendodekaeder

Kuboktaeder

Bienenwaben

Drei Teile zusammenpressen

Ikosaeder

Tetraeder im Loch

Formen: Gefaltet, gezeichnet und geschnitten

Das H

Ein sich drehendes Quadrat

Ein fast regelmäßiges Fünfeck

Nur ein Schnitt

Ein fast reguläres Fünfeck mit einem Schnitt

Die Mitte finden

Kurven: Eben, räumlich und berührend

Hyperboloid – die schnelle Variante

Hyperboloid – die raffinierte Variante

Zwei Mal gleich groß – oder?

Aus einer Ellipse wird ein Herz

Alles gerade, trotzdem rund

Knobelspiele: Verzwickt, verhext und verblüffend

Pentominos

Würfelvierlinge

Der Somawürfel

Der Conway-Würfel

Pop-up-Tetraeder

Qua-Achteck

Selbstähnliche Knobelspiele

Eckwürfel

Muster: Konstant, veränderlich, geheimnisvoll

Metamorphose

Natürliche Spiralen

Umstülpsechseck

Primzahlen finden

Primfaktoren lochen

Zahlen: Zählen, Schätzen, Rechnen

Goldener Schnitt

Goldener Zirkel

Längenzauber

Wer ragt am weitesten heraus?

Verknotete Fäden

1 in 1000

Mit zehn Fingern bis über 1000 zählen

Durchblick: Eindeutig, mehrdeutig, vieldeutig

Symmetrische Buchstaben

Ein Draht mit mehreren Perspektiven

Försterdreieck

Clinometer

Vorwort

Den meisten Menschen macht es Spaß, etwas zu basteln. Es macht einfach Freude, etwas Schönes herzustellen. Manche haben Vorlieben für das Material, sie lieben Papier oder Holz, manche finden knifflige und lang dauernde Bastelarbeiten besonders attraktiv, während für andere alles, was länger als fünf Minuten dauert, seinen Reiz verliert. Manche sind stolz auf das Produkt, für andere ist der Entstehungsprozess entscheidend.

Das Wunderbare an mathematischen Experimenten ist jedoch nicht nur die positive Grunderfahrung, die man bei der Herstellung und stolzen Begutachtung des schönen Produktes macht. Mathematische Experimente bieten viel mehr.

Zunächst sind es die Objekte selbst: Bei mathematischen Basteleien steht nicht etwas Nützliches oder etwas besonders Kreatives im Mittelpunkt, vielmehr geht es darum, mathematische Objekte herzustellen, die auf anschauliche Art und Weise auf einen mathematischen Inhalt verweisen. In diesem Buch reicht das von Vierecken und Fünfecken über Tetraeder und Würfel bis zu Ellipsen und Hyperboloiden.

Man kann außerdem mit den hergestellten Objekten experimentieren und dabei Erkenntnisse erzielen: Man entdeckt die Selbstähnlichkeit bei Knobelspielen, man findet Primzahlen mithilfe von Lochkarten und kann sich mit dem Goldenen Zirkel auf die Suche nach dem goldenen Schnitt im Alltag machen.

Schließlich kann man schon beim Basteln mathematische Erfahrungen gewinnen. So erlebt man, wie aus drei Rechtecken das Ikosaeder entsteht, dessen Oberfläche nur Dreiecke besitzt. Man erkennt, welche Fülle an unterschiedlichen Schattenbildern ein gebogener Draht hat. Man wundert sich über die Verwandlungen eines Sechsecks, wenn man dieses umstülpt.

Es zeigt sich, dass das Experimentieren automatisch das Denken anregt. Man macht sozusagen ganz von selbst Mathematik – natürlich nicht auf formaler Ebene, aber es ist trotzdem Mathematik. Kurz gesagt: Solche Experimente sind ein erster Schritt in die Mathematik.

Sie können das Buch auf jedem Niveau nutzen. Sie können selbst entscheiden, wie weit Sie der Mathematik näherkommen möchten. Sie können einfach die Modelle basteln und sich am Ergebnis erfreuen. Das ist wunderbar. Sie werden vermutlich ganz von selbst den nächsten Schritt tun und beim Experimentieren Fragen stellen, Vermutungen aufstellen und besonders glücklich sein, wenn sich alles zusammenfügt.

Sie können auch – wenn Sie möchten – ein kleines bisschen tiefer in die Mathematik einsteigen. Dazu finden Sie jeweils am Ende der Abschnitte Anregungen. Sie werden dann vielleicht entdecken, dass die Mathematik der Experimente die gleiche Mathematik erschließen wie der Schulunterricht – nur von einer ganz anderen Seite aus.

Dieses Buch unterscheidet sich auch dadurch von einem normalen Mathematikbuch, dass Sie es nicht systematisch von vorne nach hinten durcharbeiten müssen. Machen Sie es wie beim Öffnen einer Pralinenschachtel: Suchen Sie sich zunächst das Experiment aus, das Ihrem Geschmack am meisten zusagt. Die Experimente haben eine so große Bandbreite, dass Sie bestimmt etwas Passendes finden werden.

Mathematische Experimente faszinieren nach unserer Erfahrung eigentlich jeden. Das liegt an dem Zusammenspiel von Handeln, Denken und Fühlen. Oder, wie der Pädagoge Johann Heinrich Pestalozzi sagt, dem Lernen mit „Kopf, Herz und Hand“.

Gießen und Berlin, im Januar 2019

Albrecht Beutelspacher und Marcus Wagner

Körper:

Gesteckt, gerollt und aufgeblasen

Der Steckwürfel

Der Würfel ist derjenige geometrische Körper, den man am besten zu kennen glaubt. Doch manche Eigenschaften werden durch diese Steckvariante aus Notizzetteln noch deutlicher.

quadratisches Papier, möglichst in drei Farben (zum Beispiel Notizzettel in Rot, Blau und Gelb)

Sechs quadratische Blätter werden zu kleineren Quadraten mit Laschen gefaltet und aus sechs verschiedenen Richtungen zusammengesteckt.

Aus jedem der sechs Blätter muss eine „Lasche“ gefaltet werden. Nehmen Sie zunächst eines der Blätter zur Hand. Falten Sie es zur Hälfte und falten Sie es anschließend wieder auf. So entstehen zwei gleichförmige Rechtecke. Drehen Sie das Blatt um 90 Grad und wiederholen Sie die Faltung. Nach dem erneuten Auffalten ist das Quadrat durch die zwei gefalteten Hilfslinien in vier kleine Quadrate eingeteilt.

Die beiden folgenden Faltungen werden nicht wieder rückgängig gemacht: Falten Sie eine Kante des Blattes zur Hilfslinie in der Mitte und machen Sie mit der gegenüberliegenden Kante das Gleiche. Sie erhalten ein Rechteck, das durch die bereits vorhandenen Faltlinien in vier kleine Rechtecke aufgeteilt ist. Falten Sie schließlich noch die beiden kurzen Seiten des entstandenen Rechtecks zur Mitte. Es entsteht ein kleines Quadrat mit der halben Kantenlänge des ursprünglichen Blattes. Dieses Quadrat wird eine Seite unseres Würfels werden.

Damit man den Würfel zusammenstecken kann, ist es nötig, die letzten beiden Faltungen wieder so weit aufzufalten, dass die Papierenden als Laschen im rechten Winkel zum Quadrat in der Mitte stehen. Machen Sie alle Kanten „scharf“.

Damit ist das erste Bauteil fertig. Sie brauchen sechs solche Laschen. Der Würfel wird besonders schön (und mathematisch interessant!), wenn Sie drei Farben verwenden und beispielsweise zwei Bauteile aus rotem Papier falten, zwei aus blauem und zwei aus gelbem.

Vor dem Zusammenstecken der Laschen zu einem Würfel ist es hilfreich, wenn Sie sich die Anordnung der Farben klarmachen. Die roten Bauteile bilden Ober- und Unterseite des Würfels, die blauen Vorder- und Rückseite und die gelben die rechte und linke Seite. Legen Sie die rote Unterseite auf den Tisch, sodass die Laschen vorne und hinten nach oben stehen. Nun fügen Sie die gelben Bauteile rechts und links an. Die Laschen dieser Bauteile müssen oben und unten sein. Dann decken die beiden unteren Laschen die Innenseite des unteren roten Bauteils komplett ab. Auf die oberen Laschen der gelben Seitenteile legen Sie das rote obere Bauteil so, dass dessen Laschen vorne und hinten nach unten zeigen.

Die Form des Würfels zeigt sich jetzt schon. Doch erst durch die letzten beiden Bauteile wird das Ganze stabil. Vorne und hinten sehen Sie die roten Laschen des „Bodens“ und des „Deckels“. Rechts und links davon bilden die senkrechten vorderen Kanten des Würfels jeweils einen Schlitz. Dorthinein müssen Sie die beiden Laschen der blauen Vorderseite stecken. Und Entsprechendes müssen Sie an der Rückseite vollbringen. Dieses „Reinstecken“ macht anfänglich Schwierigkeiten, manchmal fällt der zuvor aufgestellte Würfel wieder in sich zusammen. Halten Sie durch, es lohnt sich! Denn wenn es Ihnen gelingt, die blauen Seitenteile gut reinzustecken, erhalten Sie einen erstaunlich stabilen Würfel.

An den Ecken erkennt man eine besondere Eigenschaft dieses Körpers: An jeder Ecke treffen drei verschiedenfarbige Quadrate zusammen. Insbesondere kommen an jeder Ecke gleich viele Flächen zusammen. Das ist eine Eigenschaft, die alle fünf platonischen Körper erfüllen; diese sind nach dem griechischen Philosoph Platon (428–348 v. Chr.) benannt. Außerdem besteht ein platonischer Körper immer aus nur einer Sorte von regulären Vielecken als Seitenflächen. Im Fall des Würfels sind es Quadrate.

Konzentrieren Sie sich nun auf die Reihenfolge der Farben an einer Ecke. Sie werden unterschiedliche Reihenfolgen entdecken. Um eine Ecke herum sind die Farben Rot, Blau, Gelb entweder im Uhrzeigersinn oder entgegen dem Uhrzeigersinn aufgereiht.

Wenn Sie verschiedene Ecken vergleichen, werden Sie Folgendes feststellen: Zwei Ecken, die durch eine Kante verbunden sind, haben unterschiedlichen Umlaufsinn, während zwei Ecken, die durch eine Diagonale eines Quadrates verbunden sind, gleichen Umlaufsinn haben. Jede Variante gibt es an vier Ecken.

Betrachten Sie nun vier Ecken mit gleichem Umlaufsinn. Halten Sie den Würfel an diesen Ecken, indem Sie diese mit Daumen und Mittelfinger Ihrer Hände fassen. Sie werden feststellen, dass auf jeder Seite des Würfels zwei gegenüberliegende Ecken durch Ihre Finger gehalten werden. Wenn man diese Diagonalen der Seiten einzeichnen würde, würde man sechs Linien erhalten. Wenn man diese Linien als Kanten eines neuen Körpers interpretiert, so erkennt man einen Tetraeder.

Auch die gefalteten Hilfslinien ermöglichen uns Einsicht in die Struktur des Würfels: Die Hilfslinien sind auf den Seiten deutlich zu sehen. Und sie passen zusammen! Jeweils vier Hilfslinien ergänzen sich zu einem Quadrat, das „um den Würfel herum“ verläuft. Würde man einen – nicht hohlen – Würfel entlang einer dieser Hilfslinien aufschneiden, so würde man eine quadratische Schnittfläche erhalten. Diese ist eine Symmetrieebene des Würfels.

Literatur:

A. Beutelspacher, M. Wagner: Wie man durch eine Postkarte steigt … und andere mathematische Experimente, Verlag Herder 2010

Wie man einen Würfel aufpustet

Durch Pusten wird aus einem zweidimensionalen Papier ein dreidimensionales Objekt.

ein Blatt quadratisches Papier (circa 20 Zentimeter x 20 Zentimeter, möglichst dünn)

Der Würfel wird durch Falten gemäß der Anleitung vorbereitet und dann durch Pusten in die leicht geöffnete Spitze entfaltet.

Legen Sie das Blatt flach auf den Tisch. Falten Sie es entlang einer Mittellinie zur Hälfte und anschließend wieder auf. Anschließend legen Sie das Blatt auf die Rückseite. Falten sie es zunächst entlang einer Diagonalen und wieder auf. Das Gleiche machen Sie mit der zweiten Diagonalen. Wenn Sie jetzt die beiden Endpunkte der Mittellinie über dem Blatt zusammenführen, wird das quadratische Blatt zu einem vierlagigen Dreieck gefaltet.

Fast alle weiteren Schritte werden doppelt durchgeführt, und zwar auf beiden Seiten des Dreiecks. Doch zunächst betrachten wir nur eine Seite. Drehen Sie das Dreieck so, dass die lange Seite vor Ihnen liegt und die rechtwinklige Spitze von Ihnen weg zeigt. Falten Sie die rechte und die linke Spitze der oberen Lage zur rechtwinkligen Spitze. Die beiden gefalteten Bereiche bilden jetzt ein auf der Spitze stehendes Quadrat.

Die rechte und linke Ecke dieses Quadrats werden im nächsten Schritt zu dessen Mittelpunkt gefaltet.

Als Nächstes wird auch die (zweigeteilte) obere Spitze des Quadrats zu dessen Mittelpunkt gefaltet.

Die grau markierten, kleinen Dreiecke werden schließlich durch eine weitere Faltung in den daneben befindlichen „Taschen“ verstaut.

Drehen Sie jetzt das Gebilde auf die Rückseite und wiederholen Sie alle Schritte. Danach sollte die nachstehende Form entstanden sein.

Vor dem Aufpusten sind noch zwei Vorbereitungsschritte nötig. Zunächst wird entlang der beiden gestrichelten Linien die gute Beweglichkeit des Papiers vorbereitet: Erst nach vorn falten, dann nach hinten und schließlich wieder in die abgebildete Form zurückbringen. Anschließend schauen Sie in Pfeilrichtung auf das Papiergebilde und dröseln die zweilagige Konstruktion so auf, dass sich im Querschnitt ein Kreuz bildet.

Genau an der Stelle, auf die der Pfeil zeigt, sehen Sie ein kleines Loch. Halten Sie dieses an Ihren Mund und pusten Sie kräftig hinein, damit sich der Würfel entfalten kann. Damit es besonders schön wird, dürfen Sie beim Entfalten von Hand etwas nachhelfen.

Der Würfel ist ein kleines Meisterwerk. Einige seiner Seiten bestehen aus einem glatten Quadrat, andere setzen sich aus mehreren Teilen zusammen. Wenn Sie Ihren Würfel bewundert haben, können Sie auch noch versuchen, ein wenig die darinsteckende Konstruktion zu entschlüsseln.

Schraffieren Sie dazu alle Außenflächen des Würfels. Beschränken Sie sich auf die sechs Quadrate, die man von außen sieht. An Stellen, wo die Außenfläche unter einer weiteren Papierlage verschwindet, können Sie eine Linie ziehen, damit Sie später erkennen können, welche Bereiche sichtbar waren.

Nehmen Sie jetzt den Würfel vorsichtig auseinander, bis wieder das ursprüngliche quadratische Blatt vor Ihnen liegt. Dazu muss man nur die kleinen Dreiecke wieder aus den Taschen ziehen und dann auffalten.

Trotz der undurchsichtigen Faltreihenfolge bilden die farbig markierten Flächen eine klare Anordnung. Vier Quadrate liegen in einer Reihe. Eines davon ist allerdings in zwei Hälften an Anfang und Ende des Streifens aufgeteilt. Rechts und links des Streifens sind jeweils vier (genauer drei und zwei halbe) Dreiecke zu sehen. Jedes bildet ein Viertel einer Seitenfläche und zeigt auf den Mittelpunkt derselben. Das wurde durch die Faltungen zur Quadratmitte vorbereitet. Die meisten schraffierten Dreiecke sind durch Faltkanten eindeutig abgegrenzt. Doch es gibt auf jeder Seite ein Dreieck, das nur durch die mit dem Stift gezeichneten Linien auf einem ansonsten nur entlang einer Mittellinie gefalteten Quadrat zu sehen ist. Diese beiden Quadrate „verstecken“ sich im Würfel hinter den dreieckigen Teilflächen.

Würde man eine Bastelvorlage (ohne Klebelaschen) für einen Würfel ausschneiden wollen, so könnte man die schraffierte Fläche verwenden.

Halbieren und Verdoppeln eines Quadrats

Falten ist einfacher als Rechnen.

Oder: Überdeckung der unendlichen Ebene.

Oder: Wir erforschen das Zweidimensionale, um uns auf das Dreidimensionale vorzubereiten.

quadratisches Papier

Wenn man die vier Ecken eines Quadrats zum Mittelpunkt faltet, entsteht ein Quadrat, das genau den halben Flächeninhalt hat.

Nehmen Sie ein quadratisches Stück Papier, falten Sie die Mittellinien, um den Mittelpunkt des Blattes zu bestimmen, und öffnen Sie das Blatt wieder.

Anschließend falten Sie jede der vier Ecken zum Mittelpunkt. Es entsteht wieder ein Quadrat, denn die Faltlinien sind die Verbindungslinien der Mittelpunkte von benachbarten Seiten des großen Quadrats. Das entstandene Quadrat ist genau halb so groß ist wie das ursprüngliche, da das kleine Quadrat überall doppellagig ist. Hätten wir berechnen wollen, wie lang die Kanten des kleinen Quadrats sind, hätten wir den Satz des Pythagoras anwenden und mit Zahlen wie √2 hantieren müssen.

Wir können den Prozess auch umkehren. Wir starten mit dem kleinen Quadrat, bei dem die Ecken in die Mitte gefaltet sind. Wir falten nun zuerst das obere Dreieck nach außen, sodass eine Art Häuschen entsteht. Dann falten wir das rechte Quadrat nach außen. An der rechten oberen Ecke des mittleren Quadrats kommen die beiden Dreiecke zusammen. Die beiden angrenzenden Kanten der Dreiecke gehen ohne Knick ineinander über, sodass eine gerade Linie entsteht. Denn diese Kanten sind Teile einer Diagonale des kleinen Quadrats. Da die Diagonale mit ihren anliegenden Seiten einen Winkel von 45 Grad bildet, haben die beiden nach außen gefalteten Dreiecke an ihrer gemeinsamen Ecke jeweils einen Winkel von 45 Grad; dazu kommt der Winkel der Ecke des kleinen Quadrats. Somit ergeben sich insgesamt 180 Grad, also eine gerade Verbindung.

Wenn wir nun auch noch das untere und das linke Dreieck nach außen klappen, erhalten wir ein Viereck. Dieses hat vier rechte Winkel und gleich lange Seiten, ist also ein Quadrat.

Stellen Sie sich ein unendlich großes Schachbrett mit schwarzen und weißen Feldern vor. Stellen Sie sich zusätzlich vor, dass auf jedem schwarzen Feld ein kleines zusammengefaltetes Quadrat liegt, das gleich groß ist wie das Feld. Die Quadrate sollen alle schwarz und die vier Dreiecke zum Ausklappen sollen weiß gefärbt sein.

Jetzt stellen Sie sich vor, dass alle Quadrate aufgefaltet werden. Die weißen Spitzen reichen in die vier benachbarten weißen Felder, und zwar bis zu deren jeweiligen Mittelpunkt. Jedes weiße Feld des Schachbretts erhält von jedem seiner vier Nachbarfelder jeweils ein weißes Dreieck. Also werden durch die Spitzen auch alle weißen Quadrate des Schachbretts überdeckt. Mit anderen Worten: Auch die großen Quadrate überdecken die Ebene lückenlos.

Wenn Sie dieses Bild der aufgeklappten Quadrate vor Augen haben, können Sie mit dem „Rhombendodekaeder“ im nächsten Abschnitt von der zweiten in die dritte Dimension wechseln und erfahren, wie man einen ganzen Raum mit gleichen Teilen füllen kann, die keine Würfel sind.

Die Aufgabe, aus einem „kleinen“ Quadrat ein doppelt so großes zu konstruieren, ist Inhalt der ersten überlieferten Mathematikstunde der Welt. In dem Dialog „Menon“ beschreibt der Philosoph Platon (428/427–348/347 v. Chr.) eine Szene, in der Sokrates aus einem Jungen, der völlig ungebildet ist, durch Fragen „herausholt“, wie man zu einem Quadrat ein genau doppelt so großes konstruieren kann. (Siehe A. Beutelspacher, Wie man in eine Seifenblase schlüpft, Abschnitt 98.)

Die Verdoppelung eines Quadrats kann auch auf ein Rechteck verallgemeinert werden. Nehmen Sie zwei gleichfarbige DIN-A4-Blätter und legen Sie diese quer vor sich. Zeichnen Sie auf einem die beiden Diagonalen ein. Es entstehen vier Dreiecke: oben und unten jeweils ein stumpfwinkliges und rechts und links jeweils ein Dreieck mit spitzen Winkeln.

Schneiden Sie die Dreiecke aus und legen Sie diese auf das andere Blatt, sodass die Dreiecke so liegen, wie sie vorher eingezeichnet waren. Nun klappen Sie alle Dreiecke nach außen und kleben Sie diese „Kante an Kante“ an das unten liegende Blatt. Es entsteht ein großes Viereck mit vier gleich langen Seiten, das heißt eine Raute.

Literatur:

A. Beutelspacher: Wie man in eine Seifenblase schlüpft: Die Welt der Mathematik in 100 Experimenten, C. H. Beck Verlag 2015

Rhombendodekaeder

Dieser Körper ist mit dem Würfel verwandt, doch diese Verwandtschaft ist nur schwer zu erkennen. Hier erfahren Sie, wie der eine Körper aus dem anderen entsteht.

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