Abitur Mathematik für Dummies E-Book

Andre Fischer

• Herausgeber: Wiley-VCH GmbH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2023

Seitenzahl: 468

Beschreibung

So klappt es mit dem Mathe-Abi

Nutzen Sie die Zeit bis zu Ihrer Abiturprüfung im Fach Mathematik und bereiten Sie sich mit diesem Buch vor, um die Prüfung so gut wie möglich zu bestehen. Egal, wie gut der geforderte Lernstoff fürs Abi bereits sitzt: André Fischer erklärt Ihnen in einfachen und verständlichen Worten, was Sie über Analysis, Vektorgeometrie, lineare Algebra und Stochastik wissen müssen. Grundlegender Schulstoff wird dabei so wiederholt, dass Sie einfach folgen können. Beispielrechnungen veranschaulichen die Erklärungen und mit den enthaltenen Übungsaufgaben können Sie Ihr Wissen festigen.

Sie erfahren

• Welche mathematischen Grundlagen unerlässlich sind
• Was es mit Kurven-diskussionen, linearen Gleichungssystemen und Zufallsvariablen auf sich hat
• Was Sie bei der Prüfungs-vorbereitung beachten sollten

Leseprobe

Abitur Mathematik für Dummies

Schummelseite

GRUNDLAGEN

Multiplikation und Division von Brüchen die drei binomischen Formeln Potenzgesetze Logarithmus Logarithmus-Gesetze Basiswechsel Innenwinkelsumme im Dreieck Satz des Pythagoras Sinus, Kosinus und Tangens

ABLEITUNGSREGELN UND INTEGRATIONSREGELN

spezielle Ableitungen Kettenregel Produktregel spezielle Stammfunktionen Integration durch lineare Substitution

RECHNEN MIT VEKTOREN

Länge eines Vektors Vektoraddition Skalarmultiplikation Verbindungsvektor Skalarprodukt Kreuzprodukt

GERADEN UND EBENEN

Geradengleichung

Parameterform:

Ebenengleichungen

Parameterform:

Normalenform:

Koordinatenform:

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

klassische Wahrscheinlichkeit Gegenwahrscheinlichkeit Pfadmultiplikationsregel Wahrscheinlichkeit von Vereinigung

KOMBINATORIK

Fakultät Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge

mit Zurücklegen:

ohne Zurücklegen:

Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge

ohne Zurücklegen:

BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Formel von Bayes Unabhängigkeit

ZUFALLSVARIABLEN

kumulierte Wahrscheinlichkeiten Erwartungswert Varianz Standardabweichung

Abitur Mathematik für Dummies

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

1. Auflage 2024

© 2024 Wiley-VCH GmbH, Boschstraße 12, 69469 Weinheim, Germany

All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation published by arrangement with John Wiley and Sons, Inc.

Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Diese Übersetzung wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Coverfoto: undrey – stock.adobe.comKorrektur: Isolde Kommer

Print ISBN: 978-3-527-71858-0ePub ISBN: 978-3-527-83384-9

Über den Autor

André Fischer ist Gründer und Inhaber des Bildungsunternehmens »mathefischer« und veranstaltet im Rahmen seines Unternehmens in mehreren Bundesländern Kurse zur Vorbereitung auf die schriftlichen und mündlichen Abiturprüfungen sowie Prüfungsvorbereitungskurse für mathematische und wirtschaftswissenschaftliche Universitätsfächer an verschiedenen Universitäten.

Im universitären Bereich bereitet er Studierende in Fächern wie Finanzmathematik, Analysis, Lineare Algebra, Deskriptive und Induktive Statistik, Grundlagen der Volkswirtschaftslehre, Mikroökonomik, Makroökonomik, Finanzwirtschaft, Produktion und Logistik, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Statistik für Ingenieure oder Statistik für Psychologen auf ihre Prüfungen vor.

Er kommt aus Höchst im Odenwald in Hessen. Bereits in der Grundschule entwickelte er ein großes Interesse an Mathematik und durfte durch besondere Lern- und Prüfungsleistungen an einem Förderprogramm der Begabtenförderung im Fach Mathematik teilnehmen. Im Jahr 2012 absolvierte er an der Ernst-Göbel-Schule Höchst sein Abitur, wobei er für das beste Prüfungsergebnis im Leistungskurs Mathematik mit 15 Punkten geehrt wurde.

Schon während seiner Schulzeit veranstaltete er erstmals Mathematik-Kurse für seine Mitschüler. Dies waren sowohl Kurse zur Prüfungsvorbereitung auf anstehende Klausuren als auch Kurse zur Vorbereitung auf die Inhalte des nachfolgenden Mathematikunterrichts, mit dem Ziel, seinen Mitschülern eine bessere Mitarbeit im Mathematikunterricht zu ermöglichen. Seit dem Jahr 2011 organisiert er regelmäßig Mathematik-Abitur-Vorbereitungskurse für die schriftlichen und mündlichen Abiturprüfungen. Nachdem er im Jahr 2012 die allgemeine Hochschulreife erreichte, veranstaltete er zudem in Bayern und Baden-Württemberg Abitur-Vorbereitungskurse. Anschließend stellte er ein Team mathematikbegeisterter Studenten zusammen, mit denen er gemeinsam Abiturkurse in vielen weiteren Bundesländern organisierte. Aus dieser Tätigkeit entwickelte sich später das Unternehmen »mathefischer«.

Nach seinem Abitur studierte André Fischer Volkswirtschaftslehre an der Universität Mannheim. Anschließend begann er ein Lehramtsstudium für Gymnasien mit Hauptfach Mathematik an der Technischen Universität Darmstadt mit dem Ziel, die Unterrichtsqualität seiner Lehrveranstaltungen zu verbessern und die Fachdidaktik zu erlernen. Während des Studiums arbeitete er an der TU Darmstadt als Übungsleiter für verschiedene Universitätsfächer wie Einführung in die Stochastik, Statistik für Ingenieurswissenschaften, das fachdidaktische Seminar in Stochastik oder für den Mathematik-Vorkurs im Fach Informatik.

Inhaltsverzeichnis

Cover

Titelblatt

Impressum

Über den Autor

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Über dieses Buch

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Törichte Annahmen über die Leser

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Wie es weitergeht

Teil I: Grundlagen

Kapitel 1: Die Entstehung der Mathematik

Die Anfänge der Mathematik: Das Zählen

Die erste mathematische Schrift

Das deduktive System

Kapitel 2: Mengen, Zahlenmengen und die Mengenschreibweise

Mengen: Eine Definition

Darstellung von Mengen

Mengenverknüpfungen

Zahlenmengen

Mathematische Mengenschreibweise

Intervalle

Aufgaben

Kapitel 3: Grundrechenarten

Addition

Subtraktion

Multiplikation

Division

Punkt vor Strich

Negative Zahlen

Aufgaben

Kapitel 4: Bruchrechnen

Was einen Bruch ausmacht – eine Definition

Rechenregeln für Brüche

Aufgaben

Kapitel 5: Algebra – Rechnen mit (dem) Unbekannten

Terme, Gleichungen und deren Umformungen

Ungleichungen

Rechenregeln der Algebra

Aufgaben

Kapitel 6: Potenzrechnung

Definition einer Potenz

Potenzgesetze

Aufgaben

Kapitel 7: Wurzeln und Wurzelrechnung

Definition der Wurzel

Rechenregeln für Wurzeln

Wurzeln und negative Zahlen

Terme mit Variablen unter der Wurzel

Partielles Wurzelziehen

Aufgaben

Kapitel 8: Logarithmus

Wozu man den Logarithmus verwendet

Spezielle Logarithmen

Eigenschaften von Logarithmen und Rechenregeln für Logarithmen

Logarithmieren zum Lösen von Exponentialgleichungen

Potenzieren zum Lösen von Logarithmusgleichungen

Aufgaben

Kapitel 9: Trigonometrie

Definition eines Dreiecks

Satz des Pythagoras

Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Aufgaben

Kapitel 10: Lösen von Gleichungen

Lösen von Gleichungen

Ganzrationale Gleichungen

Gebrochenrationale Gleichungen

Exponentialgleichungen

Logarithmus-Gleichungen

Trigonometrische Gleichungen

Aufgaben

Teil II: Analysis

Kapitel 11: Funktionen

Definition Funktion

Darstellungsformen von Funktionen

Graphen zeichnen in der Abiturprüfung

Verkettung von Funktionen

Transformation von Funktionen

Wichtige Funktionstypen

Ganzrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen

Wurzelfunktionen

Exponential-Funktionen

Logarithmus-Funktionen

Trigonometrische Funktionen

Kapitel 12: Steigung

Definition der Steigung

Steigung von Geraden

Steigung von Kurven

Grundlegende Ableitungsregeln

Spezielle Ableitungen

Anwendung der Potenz-, Faktor- und Summenregel

Kettenregel

Produktregel

Verknüpfung Produkt- und Kettenregel

Graphisches Ableiten

Besondere Stellen der Ableitungsfunktion

Graphische Ableitung am Beispiel

Aufgaben

Kapitel 13: Kurvendiskussion: Funktionen untersuchen

Kurvendiskussion anhand eines Beispiels

Aufgaben

Kapitel 14: Optimierungsaufgaben und Funktionsscharen

Optimierungsaufgaben

Lösung des Optimierungsproblems

Funktionsscharen

Aufgaben

Kapitel 15: Integralrechnung

Einführung in die Integralrechnung: Ober- und Untersummen

Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

Grundlegende Integrationsregeln

Besondere Flächenberechnungen

Integralrechnung im Sachzusammenhang

Nachweis einer Stammfunktion

Aufgaben

Kapitel 16: Lineare Gleichungssysteme I und Rekonstruktion

Definition lineare Gleichungssysteme

Darstellung linearer Gleichungssysteme

Die Lösung linearer Gleichungssysteme

Lösen von linearen Gleichungssystemen

Lösen von linearen Gleichungssystem mit dem Taschenrechner

Rekonstruktion von Funktionen

Aufgaben

Teil III: Lineare Algebra und analytische Geometrie

Kapitel 17: Grundlagen der Linearen Algebra

Vektoren

Ortsvektor

Länge eines Vektors

Winkel von Vektoren

Zusammenfassung und Übersicht

Vektoraddition

Skalarmultiplikation

Verbindungsvektor

Skalarprodukt

Länge einer Strecke

Berechnungen am Dreieck

Mittelwerte

Aufgaben

Kapitel 18: Lineare Gleichungssysteme II und lineare (Un-)Abhängigkeit

Über- und unterbestimmte lineare Gleichungssysteme

Überbestimmte lineare Gleichungssysteme

Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme

Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren

Zwei Vektoren

Drei Vektoren

Aufgaben

Kapitel 19: Geraden

Definition von Geraden

Gerade durch zwei Punkte

Interpretation der Geradengleichung

Punktprobe

Aufgaben

Kapitel 20: Ebenen

Was eine Ebene ausmacht

Parameterform

Normalenform

Koordinatenform

Spezielle Ebenen und ihre Gleichungen

Aufgaben

Kapitel 21: Lagebeziehungen und Schattenwurf

Lagebeziehung Gerade-Gerade

Lagebeziehung Gerade-Ebene

Ebene-Ebene

Schattenwurf

Aufgaben

Kapitel 22: Abstände und Schnittwinkel

Abstand Punkt-Punkt

Abstand Punkt-Ebene

Abstand Gerade-Ebene

Abstand Ebene-Ebene

Weitere Abstände

Schnittwinkel

Aufgaben

Teil IV: Stochastik

Kapitel 23: Grundlagen der Stochastik

Stochastik

Kennzahlen

Kennzahlen am Beispiel

Fakultät

Das Urnenmodell

Ziehen von Kugeln

Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge

Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge

Übersichtliche Darstellung

Zufallsvorgänge, Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten

Die klassische Wahrscheinlichkeit

Die statistische Wahrscheinlichkeit

Aufgaben

Kapitel 24: Zufallsexperimente

Zufallsexperiment

Darstellung des Zufallsexperiments im Baumdiagramm

Laplace-Experimente

Bernoulli-Experiment

Mehrstufige Zufallsexperimente

Baumdiagramme und Vierfeldertafeln

Aufgaben

Kapitel 25: Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Was bedingte Wahrscheinlichkeiten ausmacht

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Formel von Bayes

Anwendung: Test auf eine Krankheit

Unabhängigkeit von Ereignissen

Aufgaben

Kapitel 26: Zufallsvariablen

Zufallsvariable

Verteilung von Zufallsvariablen

Kumulierte Verteilung einer Zufallsvariable

Erwartungswert von Zufallsvariablen

Varianz und Standardabweichung von Zufallsvariablen

Bernoulli-Verteilung

Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeiten berechnen

Drei-Mal-Mindestens-Aufgaben

Vorgehensweise zur Lösung

Aufgaben

Kapitel 27: Hypothesentests

Der Alternativtest

Der einseitige Signifikanztest

Aufgaben

Teil V: Der Top-Ten-Teil

Kapitel 28: Zehn Tipps für die Prüfungsvorbereitung

Strukturiert vorbereiten

Inhalte erfassen

Die Operatoren kennen

Die Formelsammlung kennen

Den Taschenrechner kennen

Die Inhalte aufbereiten

Vorsicht: YouTube

Rechnen, rechnen, rechnen

Gemeinsam vorbereiten

Prüfungssimulation(en) durchführen

Lösungen

Kapitel 2

Kapitel 3

Kapitel 4

Kapitel 5

Kapitel 6

Kapitel 7

Kapitel 8

Kapitel 9

Kapitel 10

Kapitel 12

Kapitel 13

Kapitel 14

Kapitel 15

Kapitel 16

Kapitel 17

Kapitel 18

Kapitel 19

Kapitel 20

Kapitel 21

Kapitel 22

Kapitel 23

Kapitel 24

Kapitel 25

Kapitel 26

Kapitel 27

Abbildungsverzeichnis

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

Tabellenverzeichnis

Kapitel 2

Tabelle 2.1: Mathematische Symbole bei der Mengenschreibweise

Tabelle 2.2: Intervallschreibweisen am Beispiel der Menge der reellen Zahlen

Kapitel 8

Tabelle 8.1: Lösung durch Probieren

Tabelle 8.2: Lösung durch Probieren

Tabelle 8.3: Lösung durch Probieren

Tabelle 8.4: Spezielle Logarithmen

Kapitel 11

Tabelle 11.1: Wertetabelle

Tabelle 11.2: Transformation von Funktionen

Tabelle 11.3: Wertetabelle

Kapitel 13

Tabelle 13.1: Grenzwerte ganzrationaler Funktionen

Kapitel 15

Tabelle 15.1: Höhe der Rechtecke

Kapitel 23

Tabelle 23.1: Relative Häufigkeiten beim Sechser-Würfeln

Lösungen

Tabelle A.1: Wertetabelle

Illustrationsverzeichnis

Kapitel 1

Abbildung 1.1: Hieroglyphen © BNP Design Studio –

stock.adobe.com

Kapitel 2

Abbildung 2.1: Merkhilfe Kleiner-Zeichen

Abbildung 2.2: Venn-Diagramm für zwei Mengen

Abbildung 2.3: Venn-Diagramm für eine Teilmenge und Beispiel 1

Abbildung 2.4: Venn-Diagramm für eine Vereinigungsmenge und Beispiel 2

Abbildung 2.5: Venn-Diagramm für Beispiel 3

Abbildung 2.6: Venn-Diagramm für eine Schnittmenge und Beispiel 4

Abbildung 2.7: Venn-Diagramm für eine Differenzmenge und Beispiel 5

Abbildung 2.8: Venn-Diagramm zur Verknüpfung aller Zahlenmengen

Abbildung 2.9: Definitionsbereich der Wurzelfunktion

Kapitel 3

Abbildung 3.1: Definitionslücke bei einer gebrochenrationalen Funktion

Kapitel 4

Abbildung 4.1: Zähler, Nenner und Bruchwert an einem Beispiel

Kapitel 9

Abbildung 9.1: Dreieck

Abbildung 9.2: Rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse c und Katheten a und b

Abbildung 9.3: Dreiecke mit verschiedenen Seitenlängen

Abbildung 9.4: Rechtwinkliges Dreieck

Abbildung 9.5: Dreiecke Aufgabe 1 und Aufgabe 2

Kapitel 10

Abbildung 10.1: Sinusfunktion

Kapitel 11

Abbildung 11.1: Darstellungsformen von Funktionen

Abbildung 11.2: Graph der Funktion aus Beispiel 2

Abbildung 11.3: Die Graphen der Funktionen aus Beispiel 1 - 3

Abbildung 11.4: Normalparabel und nach unten geöffnete Normalparabel

Abbildung 11.5: Gestauchte und gestreckte Parabel

Abbildung 11.6: Verschiebung nach rechts beziehungsweise links

Abbildung 11.7: Ganzrationale Funktion dritten Grades der Form

Abbildung 11.8: Ganzrationale Funktion dritten Grades

Abbildung 11.9: Potenzfunktion vierten Grades

Abbildung 11.10: Ganzrationale Funktion vierten Grades

Abbildung 11.11: Biquadratische Funktion

Abbildung 11.12: Hyperbel und

Abbildung 11.13: Graph der Wurzelfunktion

Abbildung 11.14: Wachstumsfunktion und Zerfallsfunktion

Abbildung 11.15: e-Funktion

Abbildung 11.16: ln-Funktion und verschobene ln-Funktion

Abbildung 11.17: Sinus und Kosinus im Einheitskreis und Beispiel für das Bogenmaß

Abbildung 11.18: Sinus-Funktion

Abbildung 11.19: Kosinus-Funktion

Abbildung 11.20: Sinus-Funktion mit veränderter Periodenlänge

Abbildung 11.21: Sinus-Funktion mit veränderter Amplitude

Kapitel 12

Abbildung 12.1: Steigung einer Gerade anhand des Steigungsdreiecks

Abbildung 12.2: Steigung einer Geraden durch zwei Punkte

Abbildung 12.3: Bestimmung der mittleren Steigung einer Funktion

Abbildung 12.4: Berührpunkt einer Tangente mit dem Graphen einer Funktion

Abbildung 12.5: h-Methode

Abbildung 12.6: h-Methode

Abbildung 12.7: Steigung

Abbildung 12.8: Abituraufgabe

Abbildung 12.9: Graphisches Ableiten am Beispiel

Abbildung 12.10: Abituraufgabe

Abbildung 12.11: Aufgabe 2

Kapitel 13

Abbildung 13.1: Graph der Beispiel-Funktion

Kapitel 14

Abbildung 14.1: Extremwertaufgabe Beispiel 1

Abbildung 14.2: Funktionsschar für verschiedene Werte des Parameters

Abbildung 14.3: Aufgabe 1: Senkrechter Abstand

Abbildung 14.4: Aufgabe 2: Zylindervolumen

Abbildung 14.5: Aufgabe 3: Rechteckfläche

Abbildung 14.6: Aufgabe 4: Fensterfläche

Kapitel 15

Abbildung 15.1: Fläche zwischen Funktion und -Achse

Abbildung 15.2: Näherung der Fläche durch Streifenmethode

Abbildung 15.3: Erhöhung der Anzahl der Rechtecke

Abbildung 15.4: Besondere Flächenberechnungen

Abbildung 15.5: Fläche zwischen Kurven 1

Abbildung 15.6: Fläche zwischen Kurven 2

Abbildung 15.7: Aufgabe 1

Kapitel 17

Abbildung 17.1: Verschiebung im eindimensionalen Fall

Abbildung 17.2: Darstellung eines zweidimensionalen Vektors im kartesischen Koord...

Abbildung 17.3: Darstellung eines zweidimensionalen Vektors im kartesischen Koord...

Abbildung 17.4: Darstellung eines dreidimensionalen Vektors im kartesischen Koord...

Abbildung 17.5: Beispiel Ortsvektor

Abbildung 17.6: Länge eines zweidimensionalen Vektors

Abbildung 17.7: Beispiel Winkel

Abbildung 17.8: Beispiel Vektoraddition

Abbildung 17.9: Beispiel Skalarmultiplikation

Abbildung 17.10: Beispiel Gegenvektor

Abbildung 17.11: Beispiel Verbindungsvektor

Abbildung 17.12: Dreieck im dreidimensionalen Raum

Kapitel 18

Abbildung 18.1: Zwei linear abhängige Vektoren und zwei linear una...

Abbildung 18.2: Drei linear abhängige Vektoren und drei linear una...

Kapitel 19

Abbildung 19.1: Gerade mit Aufpunkt und Richtungsvektor

Abbildung 19.2: Gerade mit Aufpunkt und Richtungsvektor

Abbildung 19.3: Gerade mit Aufpunkt und Richtungsvektor

Abbildung 19.4: Punkt auf der Geraden

Abbildung 19.5: Punkt auf der Geraden

Abbildung 19.6: Punkt und Punkt auf der Geraden

Kapitel 20

Abbildung 20.1: Ebene durch Geradenerweiterung

Abbildung 20.2: Beispiel Ebene durch drei Punkte

Abbildung 20.3: Normalenvektor der Ebene

Abbildung 20.4: Normalenvektor und Richtungsvektoren der Ebene

Abbildung 20.5: Kreuzprodukt am Beispiel 1

Abbildung 20.6: x-y-Ebene

Kapitel 21

Abbildung 21.1: Lagebeziehungen Gerade-Gerade: identisch und parallel

Abbildung 21.2: Lagebeziehungen Gerade-Gerade: schneidend und windschief

Abbildung 21.3: Übersichtliche Darstellung der Untersuchung Gerade-Gerade

Abbildung 21.4: Lagebeziehungen Gerade-Ebene

Abbildung 21.5: Lagebeziehungen einsetzen Gerade-Ebene

Abbildung 21.6: Koordinatensystem Schattenwurf

Abbildung 21.7: Aufgabe 3

Kapitel 22

Abbildung 22.1: Abstand Punkt-Ebene: Lotfußpunkt

Abbildung 22.2: Abstand Punkt-Ebene: Lotgerade und Lotfußpunkt

Abbildung 22.3: Abstand Gerade-Ebene: Aufpunkt der Gerade und Lotfußpunkt

Abbildung 22.4: Abstand Ebene-Ebene: Aufpunkt der Ebene und Lotfußpunkt in der ...

Abbildung 22.5: Schnittwinkel Vektor-Vektor

Abbildung 22.6: Schnittwinkel Gerade-Gerade

Abbildung 22.7: Schnittwinkel Ebene-Ebene

Abbildung 22.8: Schnittwinkel Gerade-Ebene

Abbildung 22.9: Aufgabe 1

Kapitel 23

Abbildung 23.1: Übersicht: Fälle beim Urnenmodell

Kapitel 24

Abbildung 24.1: Vertikales Baumdiagramm und horizontales Baumdiagramm

Abbildung 24.2: Allgemeines einstufiges Baumdiagramm

Abbildung 24.3: Zweistufiges Baumdiagramm-Beispiel

Abbildung 24.4: Allgemeines Baumdiagramm

Abbildung 24.5: Allgemeine Vierfeldertafel

Abbildung 24.6: Vierfeldertafel zu Beispiel 1

Kapitel 25

Abbildung 25.1: Baumdiagramm zum Beispiel 1

Abbildung 25.2: Baumdiagramm und inverses Baumdiagramm

Abbildung 25.3: Allgemeine Vierfeldertafel

Abbildung 25.4: Baumdiagramm Test auf Krankheit

Lösungen

Abbildung A.1: Aufgabe 2

Abbildung A.2: Graph der Funktion in Aufgabe 1

Abbildung A.3: Funktionsschar für verschiedene Werte des Parameters

Abbildung A.4: Aufgabe 1a: Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten

Abbildung A.5: Aufgabe 1a: Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten

Abbildung A.6: Aufgabe 1b: Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten

Abbildung A.7: Aufgabe 1b: Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten

Abbildung A.8: Aufgabe 2: Baumdiagramm und Vierfeldertafel

Orientierungspunkte

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Titelblatt

Impressum

Über den Autor

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

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Einleitung

Ich bin der festen Überzeugung, dass jeder, der es bis in die gymnasiale Oberstufe geschafft hat, die Abiturprüfung und jede weitere Klausur im Fach Mathematik bestehen kann, wenn die Bereitschaft, etwas dafür zu tun und etwas Zeit zu investieren, vorhanden ist. Ich glaube sogar, dass jeder ein gutes bis sehr gutes Prüfungsergebnis erzielen kann, wenn der Wille dazu besteht. Natürlich ist dies mit einem gewissen Arbeitsaufwand verbunden, der sich von Schüler zu Schüler unterscheidet. Mit diesem Buch möchte ich Ihnen, egal ob Sie gut oder schlecht in Mathe sind, die Möglichkeit bieten, sich ordentlich auf die anstehende Mathematik-Abiturprüfung oder sonstige Mathematik-Prüfungen in der gymnasialen Oberstufe vorzubereiten.

Über dieses Buch

In diesem Buch werden die wichtigsten Inhalte der Schulmathematik, die für die Mathematik-Abiturprüfung relevant sind, von Grund auf aufbereitet und erläutert. Dabei beginne ich wirklich noch einmal ganz von vorne bei null mit den äußersten Grundlagen, da in der schulischen Laufbahn des Mathematikunterrichts durch häufige Lehrerwechsel, schwankende Unterrichtsqualität, Lehrermangel und Stundenausfall sehr häufig Lücken entstanden sind, die später zu Verständnisproblemen führen. Grundlage für das Buch ist ein sechstägiger Mathematik-Abitur-Vorbereitungskurs, weshalb das Buch wie ein Mathematik-Crashkurs zur Prüfungsvorbereitung angesehen werden kann. Dazu habe ich die Inhalte, die ich normalerweise in den Veranstaltungen vor Ort mündlich erläutere, in schriftlicher Form ausformuliert und deutlich ausführlicher dargestellt.

Ein besonderes Augenmerk liegt auf der Darstellung möglichst vieler Beispielaufgaben und Beispielrechnungen mit ausführlicher Darstellung und mathematisch formal korrekter Notation des Lösungswegs. Bei der Auswahl der Beispiele war es mir wichtig, möglichst alle Fälle, die in der Prüfung drankommen können, abzudecken, sodass Sie den Aufgabentyp beziehungsweise die mathematischen Inhalte der Abituraufgabe bei Prüfungsantritt wiedererkennen und möglichst vertraut damit sind und nicht von den Inhalten der Prüfung überrascht werden. So habe ich beispielsweise im Kapitel 10, »Lösen von Gleichungen«, für jeden möglichen Gleichungstyp und jede Form von Gleichungen diesen Typs ein Beispiel gelöst mit der Absicht, dass Sie eine Gleichung dieser Form in der Prüfung wiedererkennen und Ihnen sofort klar ist, wie Sie diese Gleichung lösen können. Zudem beinhaltet das Buch am Ende der Kapitel Aufgaben mit ausführlicher Lösung. Die Aufgaben sind ähnlich wie die Rechenbeispiele in dem Kapitel und können mit den dort vermittelten Fertigkeiten und Vorgehensweisen gelöst werden.

Abitur Mathematik für Dummies ist zur Prüfungsvorbereitung gedacht. Da gewisse Fertigkeiten von besonderer Wichtigkeit immer wieder überprüft werden und sich die zugehörigen Aufgaben in den Prüfungen sehr oft wiederholen, werden in diesem Buch genau diese Fertigkeiten vermittelt.

Ich habe die Inhalte derart ausgewählt, dass die wichtigsten Fertigkeiten, die mit Sicherheit oder mit sehr großer Wahrscheinlichkeit in der Abiturprüfung geprüft werden, abgedeckt sind. Die konkreten mathematischen Inhalte und Themen habe ich so gewählt, dass nur Themen, die für alle Bundesländer und alle Mathematik-Kurse relevant sind, behandelt werden. Somit stellen die Inhalte in diesem Buch die Schnittmenge der Inhalte aller Bundesländer dar. Dies bedeutet allerdings auch, dass je nach Bundesland das eine oder andere Thema in diesem Buch nicht behandelt wird. Für eine optimale Prüfungsvorbereitung sollten Sie die für Sie relevanten Inhalte abklären und ergänzend behandeln.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Das Buch ist in vier Teile gegliedert, welche jeweils in mehrere Kapitel gegliedert sind, die wiederum in Themen gegliedert sind. Zu Beginn eines jeden Kapitels stelle ich kurz und knapp dar, was ich Ihnen in diesem Kapitel zeigen werde. Direkt im Anschluss folgt eine kleine Motivation, wofür Sie diese Themen (in der Abiturprüfung) benötigen. Danach folgen die mathematischen Inhalte mit vielen Beispielrechnungen. Am Ende der meisten Kapitel finden Sie Aufgaben, die Sie bestenfalls selbst bearbeiten. Die Lösungen zu den Aufgaben sind am Ende des Buchs in Kapitel A zu finden. Werden neue mathematische Begriffe eingeführt und definiert, so sind diese kursiv geschrieben.

Teil I: Grundlagen

In diesem Teil werden die wichtigsten Inhalte bis hin zur Mittelstufe – auch Sekundarstufe I genannt – behandelt. Dabei sollen Wissenslücken, die in der Mittelstufe entstanden sind, gefüllt werden, damit den mathematischen Anwendungen der drei nachfolgenden Themengebiete Analysis, lineare Algebra und Stochastik nichts mehr im Wege steht.

Teil II: Analysis

In Teil II werden die wichtigsten Inhalte der Analysis in der Schulmathematik wiederholt. Da das Themengebiet Analysis in jeder Abiturprüfung drankommt, stellt dies das wichtigste Kapitel dar.

Teil III: Lineare Algebra und analytische Geometrie

In dem dritten Teil werden die Inhalte der linearen Algebra behandelt. In der Schulmathematik wird insbesondere die geometrische Anwendung von Vektoren in der analytischen Geometrie thematisiert.

Teil IV: Stochastik

Teil IV behandelt die Inhalte der Stochastik. Stochastik in der Schulmathematik besteht überwiegend aus Wahrscheinlichkeitstheorie.

Törichte Annahmen über die Leser

Damit dieses Buch seine volle Wirkung entfalten kann, habe ich beim Schreiben einige törichte Annahmen über Sie getroffen:

Sie sind Schülerin oder Schüler der gymnasialen Oberstufe und bereiten sich auf die Abiturprüfung oder eine Klausur im Fach Mathematik vor.

Sie würden die Schulmathematik gerne von Grund auf verstehen, um eine gute Note in der Abiturprüfung zu erzielen.

Sie sind nicht daran interessiert, alle mathematischen Kompetenzen zu meistern, sondern möchten ein grundlegendes Verständnis erreichen und die wichtigsten mathematischen Fertigkeiten erlernen.

Sie möchten typische Aufgaben, die in Abiturprüfungen mit hoher Wahrscheinlichkeit abgeprüft werden, sicher lösen können.

Sie möchten sehr viele Beispielrechnungen sehen, um sich daran orientieren zu können.

Sie sind bereit, etwas Zeit zu investieren, um sich mit diesem Buch auf die Prüfung vorzubereiten.

Damit Sie einen möglichst großen Wissenszuwachs durch dieses Buch erreichen und die im Abitur geprüften Fertigkeiten bestmöglich schulen, gehe ich davon aus, dass Sie …

… das Buch mit voller Aufmerksamkeit lesen und versuchen, die Inhalte auch wirklich zu verstehen.

… die inhaltlichen Verweise nutzen und Inhalte erneut nachlesen, wenn sie nicht mehr präsent sind.

… die Aufgaben bearbeiten, um die gelernten Fertigkeiten eigenständig zu erproben.

… sich nicht entmutigen lassen, wenn Sie beim Rechnen und bei der Bearbeitung von Aufgaben Fehler machen – das ist ganz natürlich und normal.

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Achten Sie auf die folgenden Symbole:

Dieses Symbol ist in der Einleitung eines jeden Kapitels zu finden und beschreibt, wozu Sie die Inhalte aus diesem Kapitel (in der Abiturprüfung) benötigen.

Neben diesem Symbol finden Sie wichtige Definitionen, Rechenregeln und Formeln. Hier werden mathematische Begriffe eingeführt und definiert und Rechenregeln anhand allgemeingültiger Formeln dargestellt.

An dieser Stelle werden Inhalte aus vorherigen Kapiteln, die nachfolgend verwendet werden, zur Erinnerung wiederholt.

An dieser Stelle werden hilfreiche Tipps wie Merkhilfen, nützliche zusätzliche Informationen, Tipps für die Prüfung und die Bearbeitung von Aufgaben angezeigt.

An dieser Stelle wird auf Fehlvorstellungen und häufig gemachte Fehler hingewiesen.

Wie es weitergeht

Bevor ich mit den Inhalten starte, noch eine kurze Empfehlung, wozu Sie Abitur Mathematik für Dummies verwenden können:

zur Vorbereitung auf die schriftliche oder mündliche Abiturprüfung im Fach Mathematik

zur Vorbereitung auf Klausuren in der gymnasialen Oberstufe

zur Vorbereitung des Unterrichts

als Nachschlagewerk wichtiger Anwendungen der Schulmathematik

Zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung empfehle ich, das Buch chronologisch von vorne nach hinten durchzuarbeiten, da die Inhalte der Mathematik aufeinander aufbauen. Bei der Vorbereitung auf eine Prüfung in der gymnasialen Oberstufe können Sie selbstverständlich auch lediglich die zugehörigen Kapitel bearbeiten. Wenn Sie das Buch nutzen möchten, um sich auf den Mathematik-Unterricht vorzubereiten und in den Schulstunden besser mitarbeiten zu können, sollten Sie zunächst in Erfahrung bringen, welche Inhalte Ihr Lehrer als Nächstes behandelt, und zuvor die zugehörigen Kapitel durcharbeiten.

Für all diese Verwendungen ist es von besonderem Vorteil, zunächst den ersten Teil, »Teil I: Grundlagen«, durchzuarbeiten, um ein Verständnis grundlegender Konzepte und Anwendungen der Mathematik zu erreichen. Mit dieser Basis können die Anwendungen der Themengebiete Analysis, lineare Algebra und Stochastik deutliche einfacher verstanden werden, weshalb ich damit gleich beginnen werde.

Wird das Buch begleitend zum Mathematikunterricht als Nachschlagewerk verwendet, so können die wichtigsten Inhalte und Anwendungen direkt mithilfe des Stichwortverzeichnisses gefunden werden.

So, und nun geht es endlich los! :-)

Teil I

Grundlagen

IN DIESEM TEIL…

Die wichtigsten mathematischen Grundlagen wiederholenWissenslücken schließenEine solide mathematische Basis schaffen

Kapitel 1

Die Entstehung der Mathematik

IN DIESEM KAPITEL

Über die Notwendigkeit von MathematikDie erste mathematische SchriftDas deduktive System

Zum Einstieg möchte ich Ihnen einen ganz kurzen Einblick in die Mathematikgeschichte geben. Die Inhalte dieses Kapitels sind nicht prüfungsrelevant und dienen Ihnen als Hintergrundinformation. Ich persönlich fand es sehr interessant, etwas über die Ursprünge und die geschichtliche Entwicklung der Mathematik zu erfahren. Sollten Sie kein Interesse an diesen zusätzlichen Informationen haben, können Sie dieses Kapitel einfach überspringen.

Die Anfänge der Mathematik: Das Zählen

Bereits viele Jahre vor Christus erkannten die Menschen, dass es vorteilhaft ist, Dinge zu zählen und die Anzahl in irgendeiner Form zu dokumentieren. Zunächst wurde die Anzahl mehrerer Objekte mithilfe der Finger an der Hand gezählt. Da die menschliche Hand jedoch nur zehn Finger aufweist, bestand die Notwendigkeit für eine Möglichkeit, größere Anzahlen zu zählen. Dazu wurden unter anderem Steine verwendet, wobei für jedes gezählte Objekt ein weiterer Stein auf eine Stelle gelegt wurde. Immer wenn zehn Steine vorhanden waren, wurden diese durch einen größeren Stein ersetzt, wodurch beliebig große Anzahlen gezählt werden konnten. Zudem wurde mit mehreren Personen gezählt, wobei jeder weitere Helfer die Funktion der nächstgrößeren Steine mit seinen Fingern übernahm. Auf dieser Art und Weise zu zählen basiert das heute noch verwendete Zehnersystem der Zahlen. Die Grundlage dafür sind also die zehn Finger an der Hand des Menschen. Für dieses Zählsystem gibt es allerdings kaum Beweise, weshalb es häufig als Spekulation angesehen wird.

Als das älteste mathematische Artefakt, das die Anfänge des Zählens dokumentiert, wird der sogenannte Ishango-Knochen angesehen. Der Ishango-Knochen wurde 1935 gefunden und ist nach seinem Fundort Ishango benannt, der nahe der kongolesisch-ugandischen Grenze am Nordwestufer des Eduardsees liegt. Das Alter des Knochens wird auf zirka 20.000 Jahre geschätzt. Der Knochen ist in etwa zehn Zentimeter lang und besitzt mehrere Einkerbungen, die vermutlich mit einem Quarzstein, der an dem Knochen angebracht wurde, eingeritzt wurden. Man geht davon aus, dass die Einkerbungen die Dokumentation einer Zählung sind.

Viele Jahre Später im alten Ägypten wurden Hieroglyphen genutzt und in Stein gemeißelt, um Zahlen und Worte zu dokumentieren. Die alten Ägypter nutzten ebenfalls das Zehnersystem. So diente ein Strich für eine Eins, ein Bogen für eine Zehn, ein Strick für eine 100 und so weiter. Die ursprünglich verwendeten Hieroglyphen sind in Abbildung 1.1 zu sehen. Da sie ebenfalls das 10er-System verwendeten, war es sehr aufwendig, große Zahlen zu notieren. So bestand die Zahl 1.333.330 aus den Hieroglyphen, die in Abbildung 1.1 unten zu sehen sind. Um diese Zahl zu dokumentieren, wurden alle Hieroglyphen in Stein gemeißelt.

Abbildung 1.1: Hieroglyphen © BNP Design Studio – stock.adobe.com

Die erste mathematische Schrift

Die erste bekannte mathematische Schrift ist das sogenannte »Papyrus Rhind«, das im 16. Jahrhundert vor Christus im alten Ägypten entstanden sein soll. Auf dem Papyrus Rhind wurden konkrete Rechnungen und Lösungen von mathematischen Problemen auf Papyrus (einer Art Papier, das aus den Blättern von der schilfähnlichen Papyruspflanze hergestellt wurde) dokumentiert. So zeigt es beispielsweise die Berechnung von Dreiecken und die Lösungen linearer Gleichungen. Allerdings zeigt es lediglich angewandte Rechnungen mit Zahlen und keine allgemeingültigen Formeln oder Beweise. Es wird angenommen, dass diese Zusammenhänge erkannt und angewendet wurden, ohne sie zuvor zu beweisen.

Das deduktive System

Etwa 300 Jahre vor Christus entwickelten die alten Griechen das deduktive System, das logische Schlussweisen, basierend auf einem Axiomensystem, ermöglicht. Mathematische Axiome sind mathematische Grundsätze, die als wahr angenommen werden. Basierend auf diesen Voraussetzungen können weitere Aussagen bewiesen werden. Dies wird am Beispiel der »Peano-Axiome der natürlichen Zahlen« verdeutlicht.

Die natürlichen Zahlen sind alle ganzen positiven Zahlen, die man ganz einfach mit den Fingern zählen kann. Da sie allerdings unendlich viele Zahlen beinhalten, kann man sie niemals alle aufzählen oder aufschreiben. Wie kann man dennoch alle unendlich vielen Zahlen exakt und eindeutig beschreiben und darstellen? Dies ermöglicht ein Axiomensystem, das den Zusammenhang beziehungsweise die Beziehung zwischen den einzelnen Elementen (den Zahlen) erklärt. Das Axiomensystem ist nach dem Entwickler Peano benannt und heißt »Peano-Axiome der natürlichen Zahlen«. Dieses Axiomensystem ist sehr abstrakt und mit Sicherheit nicht einfach verständlich. Dennoch möchte ich es als Beispiel aufzeigen, um Ihnen einen Eindruck zu vermitteln, auf welcher Basis reine Mathematik funktioniert.

Beispiel 1

Als Beispiel dienen die Peano-Axiome der natürlichen Zahlen. Um einen Eindruck davon zu bekommen, was dieses abstrakte Konstrukt beschreibt, erläutere ich zunächst die Aussagen der einzelnen Axiome in Worten:

Die 1 ist eine natürliche Zahl.

Für jede natürliche Zahl existiert ein Nachfolger , welcher ebenfalls eine natürlich Zahl ist. Zum Beispiel ist die Zahl 3 der Nachfolger der Zahl 2 oder die Zahl 1245 der Nachfolger der Zahl 1244 und so weiter.

Die 1 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl. Somit ist sie die erste natürliche Zahl.

Natürliche Zahlen mit dem gleichen Nachfolger sind gleich. Dies zeigt die Eindeutigkeit der natürlichen Zahlen.

Wenn eine beliebige Menge die Zahl 1 und alle Nachfolger enthält, so sind die natürlichen Zahlen eine Teilmenge dieser Menge . Zum Beispiel enthalten die reellen Zahlen sowohl die 1 als auch alle Nachfolger aus den natürlichen Zahlen und somit sind die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen und es gilt:

In Form von mathematischen Formeln lauten die Axiome:

Für alle gilt:

Für alle gilt:

Für alle gilt:

Für jede Menge gilt: und wenn

Auf Basis dieser Axiome lassen sich mittels verschiedener Beweisverfahren weitere mathematische Aussagen und Formeln beweisen. Mit diesen lassen sich dann weitere Aussagen beweisen, die sich die zuerst bewiesene Aussage zunutze machen und diese wieder aufgreifen. Somit entsteht eine Art Schneeballsystem mathematischer Aussagen, in dem zuvor bewiesene Aussagen aufgegriffen und weiterentwickelt werden, wodurch unzählige Aussagen und Zusammenhänge allgemeingültig bewiesen werden können. Durch dieses System kann sichergestellt werden, dass die Aussagen in allen Fällen (also immer dann, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind) wahr sind und keine Fehler bei der Anwendung entstehen. Die Allgemeingültigkeit nachzuweisen, ist von zentralem Interesse, da es nicht möglich ist, alle Fälle, also die Aussagen für alle möglichen Zahlen, nachzurechnen (da es ja unendlich viele Zahlen gibt).

Wenn dieser ganz kurze Einblick in die Geschichte der Mathematik Ihr Interesse geweckt haben sollte, möchte ich Ihnen zwei etwas ausführlichere Beiträge zu diesem Thema empfehlen:

Die Dokumentation »Geschichte der Mathematik« von BBC. Die Dokumentation besteht aus vier Teilen und ist kostenfrei auf DAILYMOTION zu finden.Die Vorlesungen »Geschichte der Mathematik« von Andreas Vohns, die kostenfrei auf YouTube zu finden sind.

Kapitel 2

Mengen, Zahlenmengen und die Mengenschreibweise

IN DIESEM KAPITEL

Mengen definieren und darstellenMengen verknüpfenWichtige ZahlenmengenDie mathematische Mengenschreibweise

Zum Einstieg möchte ich Ihnen das äußerst wichtige und grundlegende Konzept der Menge zeigen. Um die Mengen zu verstehen und sie ordentlich verwenden zu können stelle ich zunächst eine allgemeine Definition der Menge dar und wiederhole anschließend alle wichtigen Zahlenmengen. Weiter zeige ich Ihnen die mathematische Mengenschreibweise mit den zugehörigen Symbolen und wie damit gewünschte Mengen korrekt dargestellt werden können.

Die Menge ist ein sehr wichtiges Konzept in der Mathematik und stellt die Basis für fast alle mathematischen Anwendungen in den verschiedensten Gebieten der Mathematik dar. Die Mengenlehre ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich ausschließlich mit Mengen und deren Eigenschaften befasst. In der Mengenlehre wurden Axiome (Kapitel 1) formuliert, durch die Mengen genau definiert sind und aus denen sich verschiedene Anwendungen ergeben.

Die meisten mathematischen Objekte in der Schulmathematik können durch Mengen beschrieben werden. So stellt beispielsweise in der Analysis eine Funktionen eine Zuordnung zwischen zwei Mengen (der sogenannten Definitionsmenge – auch Definitionsbereich genannt – und der Wertemenge) dar, eine Gerade in der Analytischen Geometrie kann als eine Menge von Punkten aufgefasst werden oder in der Stochastik werden alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments in einer Ergebnismenge zusammengefasst, Ereignisse sind Teilmengen dieser Ergebnismenge und die Kombination von Ereignissen werden durch Schnitt- und Vereinigungsmengen beschrieben. Zudem müssen in der Abiturprüfung bestimmte Mengen wie die Definitionsmenge oder die Lösungsmenge als Endergebnis angegeben werden, wozu eine korrekte Beschreibung von Mengen durch die korrekte mathematische Notation unumgänglich ist.

Mengen: Eine Definition

Zu Beginn betrachten wir, wie eine Menge in der Mathematik definiert ist.

Eine Menge ist eine Zusammenfassung einer bestimmten Anzahl einzelner wohlunterschiedener Objekte zu einem Ganzen. Die Objekte, die in der Menge enthalte sind werden auch Elemente der Menge genannt. Wohlunterschieden bedeutet, dass jedes Element nur einfach in der Menge enthalten ist. Die Objekte können beliebig gewählt werden und es können beliebig viele sein. Mengen werden typischerweise mit einem Großbuchstaben benannt.

In der Schulmathematik sind die Objekte meistens Zahlen oder Punkte im Kartesischen Koordinatensystem, aber die Definition einer Menge ist sehr abstrakt und allgemein gehalten und erlaubt beliebige Objekte in einer Menge zusammenzufassen. So kann eine Menge aus Zahlen, Buchstaben oder Wörtern, aber auch aus Funktionen oder Ergebnissen eines Zufallsexperiments bestehen.

Darstellung von Mengen

Beschreibung in Worten

Eine Menge kann ganz einfach in Worten beschrieben werden. So kann man zum Beispiel die Menge bestehend aus den Zahlen Zwei, Drei und Vier oder die Menge aller natürlichen Zahlen die größer oder gleich 10 sind beschreiben und jedem ist klar, welche Elemente (in diesen beiden Fällen Zahlen) in der Menge enthalten sind.

Auflistung aller Elemente

Wenn eine Menge nur eine endliche und kleine Anzahl an Elementen besitzt können auch alle Elemente der Menge aufgezählt werden. In den Mengenklammern werden die Elemente die in der Menge enthalten sind anstelle der drei Punkte aufgelistet und die verschiedenen Elemente werden durch Kommata getrennt. Als Beispiel betrachten wir die Menge

Die Menge enthält folgende fünf Elemente:

den Buchstaben a

den Buchstaben b

die Zahl 5

die Zahl 7

das Wort Apfel

Die erste Menge aus dem Beispiel der Beschreibung in Worten kann ebenfalls aufgelistet werden

wohingegen die zweite Menge nicht vollständig aufgezählt werden kann, da sie unendlich viele Elemente beinhaltet. Besteht eine logische Ordnung in der Menge, so können einige Elemente aufgezählt werden und alle weiteren Elemente können durch drei Punkte … dargestellt werden, wobei sie der logischen Ordnung folgen müssen. Da hierbei alle natürlichen Zahlen größer oder gleich 10 in der Menge sind besitzt die Darstellung als Auflistung die nachfolgende Form.

Mathematische Mengenschreibweise

Häufig wird die Menge durch eine spezifische Mengenschreibweise dargestellt. Dies ist vor allem der Fall, wenn die Menge abzählbar unendlich viele oder überabzählbar unendlich viele Elemente besitzt, die nicht vollständig aufgelistet werden können oder wenn sie nur einen Teil einer übergeordneten Grundmenge beinhaltet, also bestimmte Elemente, die gewisse Eigenschaften besitzen. Diese Eigenschaften werden dann mithilfe mathematischer Symbole beschrieben. Die grundlegenden mathematischen Symbole der Mengenschreibweise sind in Tabelle 2.1 dargestellt.

Symbol

Bedeutung

Symbol

Bedeutung

Mengenklammern

kleiner

sodass gilt

kleiner oder gleich

sodass gilt

größer

ist Element von

größer oder gleich

ohne

Tabelle 2.1: Mathematische Symbole bei der Mengenschreibweise

Merkhilfe welches Zeichen kleiner bedeutet:

In dem Wort »kleiner« steckt das Kleiner-Zeichen bereits in dem k, was in Abbildung 2.1 durch eine gestrichelten Linie gekennzeichnet ist.

Abbildung 2.1: Merkhilfe Kleiner-Zeichen

Venn-Diagramme

Eine weitere Möglichkeit Mengen darzustellen ist in graphischer Form von sogenannten Venn-Diagrammen. In einem Venn-Diagramm werden Mengen durch geometrische Objekte wie Rechtecke, Kreise und Ellipsen dargestellt und die Elemente die in der Menge enthalten sind werden in dem Objekt angeordnet. Werden untergeordnete Mengen betrachtet, so wird ein Objekt innerhalb eines anderen dargestellt. Verknüpfungen von Mengen können durch Überlappung mehrerer geometrischer Objekte dargestellt werden. Durch farbige Markierung können dann Mengenverknüpfungen dargestellt werden wie wir später noch sehen. In Abbildung 2.2 sind zwei Mengen und innerhalb einer übergeordneten Menge (auch Obermenge genannt) dargestellt, wobei weder Elemente der Mengen eingetragen noch Verknüpfungen markiert sind. Diese Abbildung zeigt sozusagen ein Blanko-Venn-Diagramm für zwei Mengen.

Abbildung 2.2: Venn-Diagramm für zwei Mengen

Eine Menge kann auch gar keine Elemente enthalten.

Die leere Menge ist wie der Name schon sagt leer und enthält keine Elemente. Sie wird durch das mathematische Symbol beschrieben.

Mengenverknüpfungen

Oftmals möchte man verschiedene Mengen verknüpfen, damit eine neue Menge entsteht, die bestimmte Eigenschaften besitzt. Die wichtigsten Verknüpfungen sind die Teilmenge, der Schnitt von Mengen, die Vereinigung von Mengen und die Differenzmenge.

Teilmenge

Eine Teilmenge einer übergeordneten Menge ist eine Menge, die nur bestimmte Elemente der übergeordneten Menge beinhaltet. Alle Elemente der Teilmenge sind auch in der übergeordneten Menge enthalten. Das mathematische Symbol für die Teilmenge ist . Für eine Menge ist die Menge eine Teilmenge, wenn für jedes Element aus der Menge gilt: .

Allgemein kann dies in einem Venn-Diagramm wie in Abbildung 2.3 auf der linken Seite dargestellt werden. Alle Elemente die in der Menge enthalten sind liegen auch in der Menge , da die Fläche von vollständig in der Fläche von enthalten ist.

Abbildung 2.3: Venn-Diagramm für eine Teilmenge und Beispiel 1

Beispiel 1

Wir betrachten die Menge . Die Menge ist eine Teilmenge von da alle Elemente aus auch in enthalten sind. Eine mögliche Anwendung der Mengen in dem Beispiel wäre, dass die Ergebnismenge eines Würfelwurfs darstellt und die Ereignismenge für das Ereignis eine gerade Zahl zu würfeln ist.

In Abbildung 2.3 auf der rechten Seite wurden die beiden Mengen aus Beispiel 1 in einem Venn-Diagramm dargestellt. In diesem Beispiel sind die Zahlen 1 bis 6 alle in der Fläche von und lediglich die Elemente sind in der Fläche von , weshalb sie dadurch eine Teilmenge von bilden.

Vereinigungsmenge

Betrachten wir zwei beliebige Mengen und , so ist die Vereinigungsmenge der beiden Mengen diejenige Menge, die sowohl alle Elemente aus der Menge als auch alle Elemente aus der Menge enthält.

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen und ist wiederum eine Menge, die alle Elemente aus der Menge und alle Elemente aus der Menge enthält. Das mathematische Symbol für die Vereinigung zweier Mengen ist .

In einem Venn-Diagramm wird die Vereinigungsmenge wie in Abbildung 2.4 auf der linken Seite durch farbige Markierung der beiden Mengen die vereinigt werden dargestellt. Sowohl alle Elemente die in liegen als auch alle Elemente die in liegen gehören zu der Vereinigung, weshalb beiden Flächen farbig markiert werden.

Beispiel 2

Werden die beiden Mengen und vereinigt, so ergibt dies die Menge

Wenn die beiden Mengen, die vereinigt werden Elemente besitzen, die in beiden Mengen enthalten sind, so werden diese in der Vereinigungsmenge nur einmal aufgezählt, da Mengen nach ihrer Definition nur wohlunterschiedene Elemente enthalten. Im Venn Diagramm sind diese Elemente nur einmal in dem Bereich in dem sich beide Mengen überlappen dargestellt. Das Venn-Diagramm zu Beispiel 2 ist in Abbildung 2.4 auf der rechten Seite zu sehen.

Abbildung 2.4: Venn-Diagramm für eine Vereinigungsmenge und Beispiel 2

Beispiel 3

Werden die beiden Mengen und vereinigt, so ergibt dies ebenfalls die Menge

obwohl die Elemente 3 und 4 in beiden Mengen enthalten sind.

Das Venn-Diagramm zu Beispiel 3 wird in Abbildung 2.5 gezeigt, wobei die Elemente die in beiden Mengen liegen nur einfach in dem überlappenden Bereich aufgelistet werden.

Abbildung 2.5: Venn-Diagramm für Beispiel 3

Schnittmenge

Bei zwei beliebige Mengen und , ist die Schnittmenge der beiden Mengen diejenige Menge, die alle Elemente beinhaltet, welche sowohl in der Menge als auch in der Menge enthalten sind.

Die Schnittmenge zweier Mengen und ist wiederum eine Menge, die alle Elemente die sowohl in der Menge als auch in der Menge enthalten sind enthält. Das mathematische Symbol für den Schnitt zweier Mengen ist .

In einem Venn-Diagramm kennzeichnet man den Schnitt, indem nur die überlappende Fläche der beiden einzelnen Mengen farbig markiert wird. Nur Elemente in diesem Bereich gehören zu beiden Mengen. In Abbildung 2.6 auf der linken Seite ist das Venn-Diagramm für eine Schnittmenge abgebildet.

Beispiel 4

Werden die Mengen und die Menge geschnitten, so ergibt dies die Menge

da nur die beiden Elemente 3 und 4 sowohl in der Menge als auch in der Menge enthalten sind. Das Venn-Diagramm zu Beispiel 4 wird in Abbildung 2.6 auf der rechten Seite gezeigt. Nur diese beiden Elemente 3 und 4 liegen in dem farbigen Bereich, da nur sie in beiden Mengen liegen.

Abbildung 2.6: Venn-Diagramm für eine Schnittmenge und Beispiel 4

Differenzmenge

Die Differenz von zwei Mengen ist diejenige Menge die alle Elemente aus der ersten Menge, aber kein Element aus der zweiten Menge enthält. Die erste Menge stellt also eine übergeordnete Menge dar, aus der durch Differenzbildung alle Elemente aus der zweiten Menge entfernt werden.

Die Differenzmenge der Mengen und ist diejenige Menge, die alle Elemente die in der Menge und nicht in der Menge sind enthält.

In einem Venn-Diagramm wird eine Schnittmenge dargestellt indem die Fläche der Menge die abgezogen wird, von der Fläche der Menge von der etwas abgezogen wird entfernt wird. Somit ist gekennzeichnet, dass nur Elemente die in aber nicht auch in liegen zu der Differenzmenge gehören. Das Venn-Diagramm für die Schnittmenge ist in Abbildung 2.7 auf der linken Seite zu sehen.

Abbildung 2.7: Venn-Diagramm für eine Differenzmenge und Beispiel 5

Beispiel 5

Die Differenzmenge von und ist die Menge

da nur diese Elemente in der Menge aber nicht in der Menge enthalten sind. Das Venn-Diagramm zu dem Beispiel wird in Abbildung 2.7 auf der rechten Seite gezeigt. Die Elemente wurden von der Menge mit den Zahlen abgezogen, weshalb nur noch die Elemente in der Differenzmenge übrig bleiben.

Komplementärmenge

Betrachtet man die Teilmenge einer Übergeordneten Menge , so besitzt die Teilmenge nur einen Teil der Elemente aus der Menge . Hin und wieder interessiert man sich für all die Elemente aus der übergeordneten Menge die nicht in der Teilmenge enthalten sind. Diese Elemente werden durch die sogenannte Komplementärmenge beschrieben.

Die Komplementärmenge – auch genannt – der Teilmenge einer übergeordneten Menge beinhaltet alle Elemente die in der übergeordneten Menge , aber nicht in der Teilmenge enthalten sind. Für die Komplementärmenge von gilt wodurch genau diese Elemente beschrieben sind.

In dem Beispiel 5 von vorhin mit den beiden Mengen und ist eine Teilmenge von . Die Komplementärmenge von ist dann

Die Komplementärmenge wird in der Stochastik verwendet, um das Gegenereignis eines Ereignisses zu beschreiben. Ein Ereignis wird durch eine Teilmenge der übergeordneten Ergebnismenge beschrieben und das Gegenereignis sind alle möglichen Ergebnisse, die nicht dem Ereignis entsprechen.

Zahlenmengen

Zahlenmengen werden abgekürzt durch mathematische Symbole dargestellt, die wie große lateinische Buchstaben mit jeweils einem doppelten Strich aussehen. Die folgenden fünf Zahlenmengen sind in der Schulmathematik von Bedeutung:

Natürliche Zahlen

Ganze Zahlen

Rationale Zahlen

Irrationale Zahlen

Reelle Zahlen

In manchen Bundesländern werden im Leistungskurs Mathematik noch die sogenannten Komplexen Zahlen eingeführt. Diese sind jedoch nicht für die Abiturprüfung relevant und werden hier deshalb nicht behandelt.

Wir betrachten nun jede der fünf Zahlenmengen separat und zeigen wie sie definiert sind und welche Eigenschaften sie besitzen.

Natürliche Zahlen

Die Menge der natürlich Zahlen ist folgendermaßen definiert:

Die natürlichen Zahlen beinhalten alle positiven ganzen Zahlen ohne die Null. Jede um ein Ganzes größere Zahl ist ebenfalls in der Menge enthalten. Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit einem bezeichnet

Soll die Menge der natürlichen Zahlen zusätzlich die Null enthalten, wird dies durch eine »0« im Index des Zeichens gekennzeichnet:

Die natürlichen Zahlen besitzen die folgenden Eigenschaften:

Die kleinste natürliche Zahl ist die 1.

Jede natürliche Zahl besitzt einen Nachfolger, der um 1 größer ist und es gibt unendlich viele natürliche Zahlen.

Natürliche Zahlen sind immer positiv.

Es gibt keine größte natürliche Zahl, da für jede Zahl ein Nachfolger existiert

Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, was bedeutet, das die Zahlenmenge nicht nach oben begrenzt ist.

Zwischen zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen liegt keine weitere natürliche Zahl.

Werden zwei natürliche Zahlen gemäß der Grundrechenarten Addition und Multiplikation miteinander verrechnet (

Kapitel 3

), so entsteht wieder eine natürliche Zahl.

Natürliche Zahlen besitzen eine logische Ordnung, welche durch die Größe der Zahl, also die Höhe des Werts bestimmt ist.

Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen ist folgendermaßen definiert:

Die ganzen Zahlen beinhalten alle positiven und negativen ganzen Zahlen und die Null. Sie erweitern die natürlichen Zahlen um den negativen Wert jeder natürlichen Zahl und die Null. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit einem bezeichnet

Die ganzen Zahlen besitzen die folgenden Eigenschaften:

Jede ganze Zahl besitzt einen Nachfolger, der um 1 größer ist und einen Vorgänger, der um 1 kleiner ist.

Ganze Zahlen sind positiv, negativ oder null.

Es gibt keine größte ganze Zahl, da für jede Zahl ein Nachfolger existiert und keine kleinste ganze Zahl, da für jede Zahl ein Vorgänger existiert.

Es gibt unendlich viele ganze Zahlen, was bedeutet, das die Zahlenmenge weder nach oben, noch nach unten begrenzt ist.

Zwischen zwei aufeinander folgende ganze Zahlen liegt keine weitere ganze Zahl.

Werden zwei ganze Zahlen gemäß der Grundrechenarten Addition, Subtraktion oder Multiplikation miteinander verrechnet (

Kapitel 3

), so entsteht wieder eine ganze Zahl.

Ganze Zahlen besitzen eine logische Ordnung, welche durch die Größe der Zahl, also die Höhe des Werts bestimmt ist.

Die Menge der ganzen Zahlen beinhaltet auch alle natürlichen Zahlen , deshalb ist die Menge der natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen. Es gilt .

Rationale Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen ist folgendermaßen definiert:

Die rationalen Zahlen bestehen aus allen möglichen Brüchen (siehe Kapitel 4), die sich aus den ganzen Zahlen und den natürlichen Zahlen bilden lassen. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit einem bezeichnet.

Die Zahl oben im Bruch heißt Zähler und die Zahl unten im Bruch heißt Nenner.

Die rationalen Zahlen besitzen die folgenden Eigenschaften:

Es gibt keine größte rationale Zahl, da für jede Zahl ein Nachfolger existiert und keine kleinste rationale Zahl, da jede Zahl einen Vorgänge besitzt.

Es gibt unendlich viele rationale Zahlen, was bedeutet, das die Zahlenmenge weder nach oben, noch nach unten begrenzt ist.

Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen unendlich viele weitere rationale Zahlen.

Werden zwei rationale Zahlen gemäß der Grundrechenarten miteinander verrechnet (

Kapitel 3

), so entsteht wieder eine rationale Zahl.

Rationale Zahlen besitzen eine logische Ordnung, welche durch die Größe der Zahl, also die Höhe des Werts bestimmt ist.

Die Menge der rationalen Zahlen beinhaltet auch alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen , weshalb sowohl die Menge der natürlichen Zahlen als auch die Menge der ganzen Zahlen Teilmengen der rationalen Zahlen sind. Es gilt .

Irrationale Zahlen

Die Menge derirrationalen Zahlen ist folgendermaßen definiert:

Die irrationalen Zahlen beinhalten alle Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen. Die Menge der irrationalen Zahlen wird mit einem bezeichnet

Die irrationalen Zahlen besitzen die folgenden Eigenschaften:

Irrationale Zahlen besitzen unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht periodisch wiederholen.

Alle Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, gehören zu den irrationalen Zahlen.

Es gibt unendlich viele irrationale Zahlen, was bedeutet, das die Zahlenmenge weder nach oben, noch nach unten begrenzt ist.

Zwischen zwei irrationalen Zahlen liegen unendlich viele weitere rationale Zahlen.

Irrationale Zahlen besitzen eine logische Ordnung, welche durch die Größe der Zahl, also die Höhe des Werts bestimmt ist.

Die Menge der irrationalen Zahlen kann als Differenzmenge der reellen Zahlen und der rationalen Zahlen dargestellt werden. Es gilt .

Reelle Zahlen

Die reellen Zahlen sind die wichtigste Zahlenmenge in der Schulmathematik. In den meisten realitätsbezogenen Anwendungen der Mathematik sind die Maßzahlen der betrachteten Größen reelle Zahlen. So werden Größen wie beispielsweise Längen, Flächen, Volumina, Massen (Gewichte) oder die Zeit in Form von reellen Zahlen gemessen. Das heißt sie können bestimmte reelle Zahlen annehmen.

Die Menge der reellen Zahlen ist folgendermaßen definiert:

Die reellen Zahlen bestehen aus allen rationalen Zahlen und allen irrationalen Zahlen . Sie sind also die Vereinigungsmenge aus diesen beiden Zahlenmengen und beinhalten alle Zahlen die wir in der Schule bis zum Abitur kennen lernen. Die Menge der reellen Zahlen wird mit einem bezeichnet.

Die reellen Zahlen besitzen die folgenden Eigenschaften:

Es gibt keine größte und keine kleinste reelle Zahl, was bedeutet, das die Zahlenmenge weder nach oben, noch nach unten begrenzt ist.

Es gibt unendlich viele reelle Zahlen. Das bedeutet, dass zwischen zwei reellen Zahlen immer unendlich viele weitere reelle Zahlen liegen.

Werden zwei reelle Zahlen gemäß der Grundrechenarten miteinander verrechnet (

Kapitel 3

), so entsteht wieder eine reelle Zahl.

Reelle Zahlen besitzen eine logische Ordnung, welche durch die Größe der Zahl, also die Höhe des Werts bestimmt ist.

Die Menge der reellen Zahlen beinhaltet auch alle natürlichen Zahlen , alle ganzen Zahlen , alle rationalen Zahlen und alle irrationalen Zahlen weshalb all diese Mengen Teilmengen der reellen Zahlen sind. Es gilt und .

Der Zusammenhang der Zahlenmengen kann in einem Venn-Diagramm wie in Abbildung 2.8 dargestellt werden. Die übergeordnete Menge in dem großen Rechteck sind die reellen Zahlen , welche sich aus den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen zusammensetzen. Die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen haben keine gemeinsamen Elemente, weshalb sie in zwei unterschiedlichen Flächen, die sich nicht überlappen dargestellt wurden. Innerhalb der rationalen Zahlen liegen die ganzen Zahlen die wiederum alle natürlichen Zahlen beinhalten, weshalb die drei Flächen ineinander verschachtelt dargestellt sind.

Abbildung 2.8: Venn-Diagramm zur Verknüpfung aller Zahlenmengen

Mathematische Mengenschreibweise

Oft möchte man eine Menge, die nur einen Teil einer übergeordneten Menge beinhaltet, der gewisse Eigenschaften besitzt beschreiben. Diese Eigenschaften können sehr einfach sein, wie beispielsweise dass die Zahlen größer als ein bestimmter Wert sein sollen oder sie können etwas komplexer sein, wie beispielsweise dass die Zahlen in der Menge alle ein ganzzahliges vielfaches von Pi darstellen.

Um eine gewünschte Zahlenmenge formal korrekt zu beschreiben wird in der Mengenklammer zunächst dargestellt aus welcher Grundmenge die Elemente in der gewünschten Menge stammen sollen, indem eine Variable eingeführt und durch das Element-Zeichen der Grundmenge zugeordnet wird. Für die übergeordnete Grundmenge können die Mengen , , , und gewählt werden. Anschließend wird beschrieben welche Eigenschaften diese Variable erfüllen muss, um die Grundmenge auf die gewünschten Elemente einzuschränken. Durch einen senkrechten Strich, der für »sodass gilt« steht (siehe Tabelle 2.1) wird festgelegt, dass die nachfolgende Aussage für die Elemente in dieser Menge erfüllt sein muss, wodurch alle Elemente in der Menge die gewünschte Eigenschaft besitzen.

Die Darstellung der Menge besitzt dann allgemein die Form

Betrachten wir als Beispiel alle reellen Zahlen die größer oder gleich 2 sein sollen, wählen wir zunächst als Grundmenge die reellen Zahlen durch aus und schränken diese durch den senkrechten Strich dann mit der Eigenschaft, dass sie größer oder gleich 2 sein müssen, ein.

In dieser Menge sind alle Elemente enthalten, die reelle Zahlen sind und größer oder gleich 2 sind.