Eine dynamische Methode zur Berechnung von Nash-Gleichgewichten in n-Personenspielen E-Book
Tobias Pisch
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- Herausgeber: GRIN Verlag
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2012
Diplomarbeit aus dem Jahr 2010 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Technische Universität Darmstadt, Sprache: Deutsch, Abstract: Eine dynamische Methode zur Berechnung von Nash-Gleichgewichten in nicht - kooperativen n-Personen-Spielen. Zu diesem Zweck werden stetige Abbildungen auf dem kartesischen Produkt der Strategiemengen der Spieler in sich selbst konstruiert, so dass die Fixpunkte dieser Abbildungen Nash-Gleichgewichte sind. Dies führt zu einer Iterationsmethode zur Berechnung von Fixpunkten, die zu Nash-Gleichgewichten fhürt, falls die Iteration konvergiert. Als Spezialf¨alle werden Bi-Matrix- und Evolutions-Spiele betrachtet.
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Zusammenfassung
Eine dynamische Methode zur Berechnung von Nash-Gleichgewichten in nichtkooperativen n-Personen-Spielen. Zu diesem Zweck werden stetige Abbildungen auf dem kartesischen Produkt der Strategiemengen der Spieler in sich selbst konstruiert, so dass die Fixpunkte dieser Abbildungen Nash-Gleichgewichte sind. Dies f ¨ uhrt zu
einer Iterationsmethode zur Berechnung von Fixpunkten, die zu Nash-Gleichgewichten f ¨ uhrt, falls die Iteration konvergiert. Als Spezialf¨ alle werden Bi-Matrix- und Evolutions- Spiele betrachtet.
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Einf ¨ uhrung
Diese Diplomarbeit besch¨ aftigt sich mit der Berechnung von Nash-Gleichgewichten in nicht-kooperativen n-Personen-Spielen. Das Nash - Gleichgewicht ist ein zentraler Begriff in der mathematischen Spieltheorie. Es beschreibt in nicht kooperativen Spielen einen strategischen Gleichgewichtszustand, von dem ausgehend kein einzelner Spieler f ¨ ur sich einen Vorteil erzielen kann. Definition und Existenzbeweis des Nash-Gleichgewichtes gehen auf die 1950 ver ¨
Forbes Nash Jr. zur ¨ uck. Die eigentliche Spieltheorie begann im Jahr 1928 mit der Arbeit “Zur Theorie der Gesellschaftsspiele”von John von Neumann. Schnell erkannte John von Neumann die Anwendbarkeit seiner Ans¨ atze zur Analyse wirtschaftlicher Fragestellungen. Dies f ¨ uhrte, zusammen mit dem Wirtschaftswissenschaftler Oskar Morgenstern, zu dem Buch “Theory of Games and Economic Behavior”. Inzwischen findet sich die Spieltheorie in vielen Bereichen wieder. Besonders im Operations Research, den Wirtschaftswissenschaften, in Teilbereichen der Rechtswissenschaften, in der Politikwissenschaft, der Soziologie, der Psychologie, der Informatik und der Biologie findet die Spieltheorie Anwendung.
Im ersten Kapitel werden grundlegende Begriffe der Spieltheorie eingef ¨ uhrt und defi-
niert, sowie erste Resultate vorgestellt. Insbesondere wird hier auf die Definition des Nash - Gleichgewichtes eingegangen. Das Kapitel liefert alles Grundwissen, was zum Verst¨ andnis der folgenden Kapitel ben ¨
im sp¨ ateren Verlauf zur ¨ uckgegriffen wird.
Das zweite Kapitel besch¨ aftigt sich mit der eigentlichen dynamischen Berechnung von Nash-Gleichgewichten. Hier werden Abildungen definiert, deren Fixpunkte Nash-Gleichgewichte des Ausgangsspiels sind. Hierzu werden die Definition des Nash -Gleichgewichtes sowie Eigenschaften der Strategiemengen und der Auszahlungsfunktionen zu Hilfe genommen.
Im dritten Kapitel werden die Resultate aus dem zweiten Kapitel auf Bi-Matrix-Spiele angewendet, also auf bestimmte 2-Personen-Spiele. Hier werden Beispiele und bestimmte Eigenschaften der Strategiemengen betrachtet.
Im vierten Kapitel werden Evolutions-Spiele betrachtet. Diese lassen sich als 1-Personen-Spiele interpretieren und somit lassen sich die Resultate aus dem zweiten Kapitel auch hier anwenden. Außerdem wird der Begriff der Evolutions-Stabilit¨ at studiert.
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Danksagung
An dieser Stelle m ¨ ochte ich gerne all jenen danken, die am Gelingen dieser Diplomarbeit maßgeblich beteiligt waren: Zuallererst Herrn Professor Werner Krabs, der nicht m ¨ ude wurde, meine vielen Fragen zu diskutieren und mir stets wertvolle Anregungen geben konnte. Insbesondere in der Schlussphase der Arbeit hat er sehr viel Zeit
investiert, um mir detailliert Feedback ¨ uber den Status der Arbeit zu geben und viele Vorschl¨ age zur Verbesserung der Darstellung gemacht, wof ¨ bin. Außerdem gilt Christiane Schulze, Tina Felber und Hannes Meinlschmidt mein Dank f ¨ ur ausf ¨ uhrliches Korrekturlesen, Hinweise zum Design und f ¨ ur ausf ¨ uhrliche fachliche Diskussionen.
Meinen Eltern danke ich daf ¨ dadurch erst erm ¨ oglicht haben.
Dank gilt auch den Betreibern und den Nutzern der Webseitenwikipedia.comunddict.leo.org,ohne die ich mir effizientes Arbeiten heute nicht mehr vorstellen k ¨ onnte.
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1 Grundlegende Begriffe und Notationen
1.1 Einf ¨ uhrung
Hier wird mit Hilfe von [Kra04] eine Einf ¨ uhrung in die spieltheoretische Behandlung
von n-Personen Spielen gegeben. Außerdem werden Begriffe und Schreibweisen eingef ¨ uhrt, die in den n¨ achsten Kapiteln ben ¨ otigt werden.
Definition 1.1.Einn-Personen SpielΓf ¨ urn≥2 besteht aus einem n-Tupel (S1, . . . ,Sn)
nichtleerer MengenSi⊆Rmi,i1 , . . . ,n den Strategiemengen, und einem n-Tupel (Φ1,. . . ,Φn) reellwertiger FunktionenΦi:S→R,i1,. . . ,nauf dem kartesischen ProduktSS1×. . .×Snder Strategiemengen, den Auszahlungsfunktionen.
In dieser Definition interpretiert man die nichtleeren MengenSials Strategiemengen der SpieleriundΦi(s1,. . . ,sn) als Auszahlung an den Spieleri,wenn jeder Spielerjeine Strategiesj∈Sjf ¨ urj1,. . . ,nw¨ ahlt. Rationale Spieler werden in jeder Situation
versuchen ihre AuszahlungΦi(s1,. . . ,sn) so groß wie m ¨ Regel aber nicht simultan m ¨ f ¨ ur alle Spieler in einem gewissen Sinne optimal ist.
Dies f ¨ uhrt zur folgenden Definition:
Definition 1.2.Ein Strategien-n-Tupel (ˆs1, . . . ,ˆ
