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- Herausgeber: GRIN Verlag
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2008
Diplomarbeit aus dem Jahr 1998 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Note: sehr gut, Eberhard-Karls-Universität Tübingen (Mathematische Fakultät), Sprache: Deutsch, Abstract: Eigenwerte von Matrizen zu berechnen ist ein Problem, das häufig in naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen auftritt. In der Theorie kann man mit Hilfe von Eigenwerten unter anderem Aussagen über die Stabilität von dynamischen Systemen machen. Außerdem spielen sie in der Stochastik, z.B. bei Markov-Ketten (Übergangswahrscheinlichkeiten, Brownsche Bewegung), eine wichtige Rolle. Nun einige Beispiele aus praktischen Anwendungen: - in der Physik bei Schwingungsproblemen - in der Chemie bei Verbrennungsprozessen - in der Makroökonomie bei der Überprüfung von Marktstabilität - in der Biologie bei Populationsmodellen Die hierbei auftretenden Fragen bzw. Aufgaben sind z.B.: Wie berechnet man - alle Eigenwerte und/oder alle Eigenvektoren für eine kleine Matrix (bis 10^3*10^3)? - einen Eigenwert und/oder den zugehörigen Eigenvektor (betragsgrößter, -kleinster, mit größtem Realteil,...)? - einige wenige Eigenwerte und gegebenenfalls die zugehörigen Eigenvektoren? - einen Eigenvektor zu einem bekannten Eigenwert (Markov-Ketten) Bei kleinen Matrizen, das heißt Matrizen der Größenordnung bis etwa 10^3*10^3, können diese mittels Householder-Transformationen auf Hessenberg-Form bzw. im hermiteschen Fall auf Tridiagonal-Form zurückgeführt werden. Dann kann man z.B. mit der QR-Zerlegung die gewünschten Eigenwerte und/oder die zugehörigen Eigenvektoren berechnen. In dieser Arbeit sollen Matrizen in der Größenordnung 10^3*10^3 bis 10^6*10^6 betrachtet werden. Da die erwähnten Standard-Algorithmen einen zu hohen Rechen- und Speicheraufwand verursachen, versucht man mittels Projektionsverfahren dieses große Problem auf ein kleines zu reduzieren, um darauf die Standardtechniken wieder anwenden und somit einen Teil des Spektrums approximieren zu können. Diese Arbeit hat die "Konvergenz von Krylov-Verfahren für Eigenwertprobleme" zum Thema.
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Ähnliche
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Konvergenz von Krylov-Verfahren
ur Eigenwertprobleme f
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Danksagung
An erster Stelle m ochte ich mich bei Frau PD Dr. Marlis Hochbruck f ur ihre Anregungen und ihre hervorragende Betreuung zur vorliegenden Arbeit bedanken. F ur das Korrekturlesen meiner Diplomarbeit m ochte ich meiner Freundin Susi herzlich d a n k en und nicht zu vergessen geh ort meinen Eltern ein grooes Dankesch on, die mir mein uberhaupt erm oglichten. Studium
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Erkl arung
Ich erkl are, daa ich die Arbeit selbst andig und nur mit den angegebenen Hilfsmitteln angefertigt habe und daa alle Stellen, die dem Wortlaut oderdem Sinne nach anderen Werken entnommen sind, durch Angabe der Quellen als Entlehnungen kenntlich gemacht worden sind.
T ubingen, den 20.09.1998
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Kapitel 1
Einleitung
Eigenwerte von Matrizen zu berechnen ist ein Problem, das h auug in naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen auftritt. In der Theorie kann man mit Hilfe von uber die Stabilit at von dynamischen Systemen Eigenwerten unter anderem Aussagen
machen. Auuerdem spielen sie in der Stochastik, z.B. bei Markov-Ketten ( Ubergangswahrscheinlichkeiten, Brownsche Bewegung), eine wichtige Rolle. Nun einige Beispiele aus praktischen Anwendungen:
inder Physik beiSchwingungsproblemen
in der Chemie bei Verbrennungsprozessen
inder Makro okonomie bei der Uberpr ufung von Marktstabilit at
in der Biologie bei Populationsmodellen
Die hierbei auftretenden Fragen bzw. Aufgaben sind z.B.: Wie berechnet man
alleEigenwerte und/oder alle Eigenvektoren f ur eine kleine Matrix (bis 103 103) ?
einenEigenwert und/oder den zugeh origen Eigenvektor (betragsgr ooter, -kleinster, mit gr ootem Realteil,...) ?
einige wenige Eigenwerte (extreme Eigenwerte oder in der N ahe von2C liegende Eigenwerte, wobeiz.B. eine N aherung f ur eine Eigenfrequenz sein k onnte) und gegebenenfalls die zugeh origen Eigenvektoren ?
einen Eigenvektor zu einem bekannten Eigenwert (Markov-Ketten) ?
Bei kleinen Matrizen, das heiit Matrizen der Gr ooenordnung bis etwa 1 03 10 3, k onnen diese mittels Householder-Transformationen auf Hessenberg-Form bzw. im hermiteschen Fall auf Tridiagonal-Form zur uckgef uhrt werden. Dann kann man z.B. mit der
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KAPITEL 1.EINLEITUNG2
QR-Zerlegung die gew unschten Eigenwerte und/oder die zugeh origen Eigenvektoren berechnen.
In dieser Arbeit sollen Matrizen in der Gr ooenordnung 103 103bis 106 106betrachtet werden. Da die erw ahnten Standard-Algorithmen einen zu hohen Rechen- und Speicheraufwand verursachen, versucht man mittels Projektionsverfahren dieses grooe Problem auf ein kleines zu reduzieren, um darauf die Standardtechniken wieder anwenden und somit einen Teil des Spektrums approximieren zu k onnen. Diese Arbeit hat die \Konvergenz von Krylov-Verfahren f ur Eigenwertprobleme" zum Thema. In Kapitel 2 wird die Konvergenz mit Hilfe einer Iterationsfolge von Unterr aumen an einen invarianten Unterraum hergeleitet, wobei sich der Hauptsatz dieses Kapitel eng an WE91] anlehnt. Desweiteren wurden f ur dieses Kapitel Cha93], Hoc98] und Sor92] hinzugezogen. Im darauuolgenden Kapitel soll die Rayleigh-Ritz-Methode eingef uhrt werden. Mit Hilfe dieses Verfahrens kann eine Approximation an einen Teil der Eigenpaare hergeleitet werden. Hierbei wurde Cha83], Hoc98], Flo81] und Saa92] als Literatur zu Hilfe genommen. Im vierten Kapitel wird ein besonderer Teilraum des Cn, d e r sogenannte Krylov-Raum, ausgew ahlt, um darin Approximationen an die gew unschten Eigenpaare durchzuf uhren. Hierbei diente CCM79], Hoc98] und Ye91] als Literatur. Im letzten Kapitel betrachtet man hermitesche Eigenwertprobleme, wobei einige Optimalit atseigenschaften aufgezeigt werden. Insbesondere wird in diesem Kapitel das Theorem von Courant-Fischer behandelt. Haupts achlich wurde hier Hoc98] als Lite- ratur verwendet.
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Kapitel 2
Iterationsverfahren
In diesem Kapitel wird die Approximation an einen invarianten UnterraumTR(T) =<v1: : : vk>mittels einer geeigneten Iterationsfolge von Unterr aumen hergeleitet, wobeiv1: : : vkdie Eigenvektoren vonTsind undR(T) das Bild der MatrixTbezeichnet. Um eine \vern unftige" Approximation erwarten zu k onnen, muu der Abstand zwischen dem zu approximierenden UnterraumTund dem \Startraum"Sklein sein.
2.1 Abstand zwischen Unterr aumen
Ziel dieses Abschnittes soll sein, ein Maa f ur die \N ahe" zweier Unterr aume zueinander zu nden. Solch ein Abstandsbegrii zwischen Unterr aumen wird mit Hilfe eines Orthogonalprojektors eingef uhrt.
Deenition 2.1
SeiSCnein Unterraum. Dann istP2Cnnder Orthogonalprojektor aufSgenau dann, wenn giltR(PSP2PP PHP:(2.1)
Bemerkung 2.2
8 x2CnistP x2 S. Auuerdem gilt8xxy2Cn
(Px)H(I;P)yxHPHy;xHPHP y
=)
R(I ;P)S ?:
