Big Fat Notebook - Alles, was du für Mathe brauchst - Das geballte Wissen von der 5. bis zur 9. Klasse E-Book

• Herausgeber: Loewe Verlag
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: Big Fat Notebook
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2023

Seitenzahl: 634

Beschreibung

Du wolltest schon immer als Mathe-Genie glänzen? Erfahre alles über … … natürliche, ganze und rationale Zahlen, … Fläche, Umfang und Volumen, … Gleichungen und Funktionen, … Prozent- und Zinsrechnung, … den Satz des Pythagoras und vieles mehr. Mit Definitionen, Lerntipps, Übungsseiten und Doodles. Zur Belohnung gibt es leckere Kuchen-Diagramme, versprochen! Ein umfassendes Mathematik-Nachschlagewerk und Übungsbuch für Schüler von der 5. bis zur 9. Klasse. Optimal geeignet zur Vertiefung und Auffrischung schulischer Inhalte und zur Vorbereitung auf schulische Tests. Die ungewöhnliche Gestaltung mit Scribbles und Cartoons sowie witzige Kommentare sorgen für Auflockerung. Nach jedem Kapitel folgt ein Wissensquiz, Multiple-Choice-Test oder ein Lückentext zur Lernkontrolle.

Leseprobe

ALLES, WAS DU BRAUCHST, UM EIN

HI!

Das hier sind die Notizen aus meinem Matheunterricht.

Wer ich bin? Ich will ja nicht angeben, aber ich bin

ein echtes Mathe-Genie.

Hier habe ich alles aufgeschrieben, was du brauchst, um

genauso ein

MATHE

-Crack zu werden, angefangen bei

BRÜCHENBRÜCHEN bis hin zum KOORDINATENSYSTEMKOORDINATENSYSTEM,

und ansonsten einfach alles, was du sonst so für die

kommenden Mathearbeiten brauchst.

MATHE-GENIE

ZU WERDEN

11

--

22

Damit du dich hier zurechtfindest, habe ich alles strukturiert:

.

Fachbegriffe sind

GELB

hervorgehoben.

.

Infokästen sindgrünmarkiert.

.

Für wichtige Textstellen habe ich einen

BLAUEN STIFTBLAUEN STIFT verwendet.

.

Und zum Vergleich von Daten und

Zahlen setze ich Kuchendiagramme,

Tabellen und andere Zeichnungen ein.

Wenn du selbst zu faul bist, dir Aufzeichnun gen

im Unterricht zu machen, wird dir dieses Notiz-

buch sehr nützlich sein. Darin findest du alles

Wichtige für den Matheunterricht. (Und sollte

dein Lehrer doch mal über etwas reden, was hier nicht

drinsteht, schreib es am besten einfach dazu.)

Ich brauche dieses Notizbuch jetzt nicht mehr,

denn ich bin ja bereits ein Mathe-Genie.

Betrachte es nun als

DEINES

. Es wird dir garantiert

helfen, auch

DEINEN

Matheunterricht zu meistern!

HMM … KUCHENHMM … KUCHEN

HÄ, WAS?HÄ, WAS?

Inhalt

LEKTION 1:

Das ZAHLENSYSTEM1

1. Die Zahlenmengen und der Zahlenstrahl 2

2. Positive und negative Zahlen 11

3. Der Betrag 19

4. Teiler und größter gemeinsamer Teiler 25

5. Vielfache und kleinstes gemeinsames Vielfaches 33

6. Primfaktorzerlegung 39

7. Brüche addieren und subtrahieren 47

8. Brüche multiplizieren und dividieren 57

9. Dezimalzahlen addieren und subtrahieren 61

10. Dezimalzahlen multiplizieren 65

11. Dezimalzahlen dividieren 69

12. Positive und negative Zahlen addieren 73

13. Positive und negative Zahlen subtrahieren 79

14. Positive und negative Zahlen multiplizieren

und dividieren

83

15. Ungleichungen 87

LEKTION 2:

VERHÄLTNISSE,

DIREKTE PROPORTIONALITÄT,

PROZENTRECHNUNG

93

16. Verhältnisse 94

17. Durchschnittswert und Stückpreis 99

18. Direkte Proportionalität 103

19. Größen und Einheiten 111

20. Prozentrechnung117

21. Steuern und Gebühren 123

22. Rabatte und Preiserhöhungen 131

23. Trinkgelder und Provisionen 141

24. Zinsrechnung

147

25. Prozentuale Veränderung

155

26.Direkte Proportionalität in Tabellen 159

LEKTION 3:

TERME und GLEICHUNGEN165

27. Terme 166

28.Rechengesetze173

29. Gleichartige Terme 183

30. Exponenten 189

31.Rechenregeln197

32.Potenzschreibweise203

33. Quadrat- und Kubikwurzeln 209

34. Irrationale Zahlen vergleichen 215

35. Lineare Gleichungen 219

36. Gleichungen mit einer Variable 225

37. Längere lineare Gleichungen 231

38. Ungleichungen lösen und grafisch darstellen 237

39. Textaufgaben mit Gleichungen und Ungleichungen 243

LEKTION 4:

GEOMETRIE251

40. Einführung in die Geometrie 252

41. Winkel 265

42. Flächeninhalt von Vierecken 275

43. Flächeninhalt von Dreiecken285

44. Der Satz des Pythagoras 293

45. Kreise, Kreisumfang und Flächeninhalt 299

46. Körper 307

47. Volumen 316

48. Oberfläche 325

49. Winkel, Dreiecke, parallele Geraden 335

50. Ähnliche Figuren und Maßstabszeichnungen 343

LEKTION 5:

STATISTIK und

WAHRSCHEINLICHKEITS-

RECHNUNG

353

51. Einführung in die Statistik 354

52. Kennzahlen der Datenerhebung 363

53. Tabellen und Diagramme 373

54. Wahrscheinlichkeitsrechnung 393

LEKTION 6:

Das KOORDINATENSYSTEM

und FUNKTIONEN

403

55. Das Koordinatensystem404

56. Relationen, Geraden und Funktionen415

57. Steigung429

58. Lineare Gleichungen und Funktionen444

59. Lineare Gleichungssysteme und Funktionen454

60. Nichtlineare Funktionen466

61. Vielecke im Koordinatensystem478

62. Abbildungen485

63. Direkte Proportionalität und Graphen506

GIBT ES HIER

EIGENTLICH

IRGENDWO KÄSE?

1

Das Zahlensystem

2

DieZAHLENMENGEN

und der

ZAHLENSTRAHL

Kapitel 1

Es gibt verschiedene Arten von Zahlenmengen mit

unterschiedlichen Namen. Am häufigsten werden die

folgenden Zahlenmengen verwendet:

NATÜRLICHE ZAHLEN:

Das sind Zahlen ohne Bruch

oder Dezimalstelle (Nachkommastelle) ab 1 aufwärts.

Manche zählen auch die 0 dazu. Man kann mit ihnen

zählen.

BEISPIELE:

00, 1 1, 2 2, 33,44…

GANZE ZAHLEN:

Zahlen ohne Bruch oder Dezimal-

stelle, die kleiner, gleich oder größer als 0 sind.

BEISPIELE:

-4-4, -3 -3, -2 -2, -1 -1, 0 0, 1 1, 2 2, 3 3, 4 4…

3

RATIONALE ZAHLEN:

Dies sind natürliche Zahlen und

ganze Zahlen sowie Brüche und Dezimalzahlen, also Zahlen mit

Ziffern nach einem Komma

-

wobei diese Ziffern entweder

endlich sind, also irgendwann abbrechen, oder periodisch sind,

d. h., sie sind unendlich, wiederholen sich aber andauernd.

Solche abbrechenden oder periodischen Dezimalzahlen lassen

sich immer auch als Brüche darstellen und umgekehrt.

Es gibt positive und negative rationale Zahlen.

BEISPIELE:

(entspricht 0,50,5),0,250,25(entspricht ),

-7-7 (entspricht ), 4,124,12(entspricht ),

(entspricht 0,0,

--

33)

IRRATIONALE ZAHLEN :

Das sind Zahlen mit unendlich

vielen Nachkommastellen, deren Reihenfolge sich nie

wiederholt. Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Brüche

darstellen.

BEISPIELE:

3,14159265…3,14159265… , 22

DER STRICH ÜBER DER 3 BEDEUTET,

DASS SICH DIESE ZIFFER UNENDLICH

(PERIODISCH) WIEDERHOLT!

(„…“ BEDEUTET, DASS DIESE ZAHL

UNENDLICH WEITERGEHT.)

11

--

44

11

--

22

-7-7

--

11

412412

----

100100

11

--

33

4

REELLE ZAHLEN:

Das sind sowohl die rationalen

wie auch die irrationalen Zahlen. Außerdem zählen die

natürlichen und die ganzen Zahlen dazu.

BEISPIELE:

55,, -17 -17,, 0,312 0,312,,,,π,,2 2 usw.

BEISPIEL:

-2-2ist eine ganze Zahl, eine rationale Zahl

und eine reelle Zahl!

REELLE ZAHLEN

IRRATIONALE

ZAHLEN

RATIONALE

ZAHLEN

GANZE

ZAHLEN

NATÜRLICHE

ZAHLEN

Hier siehst du alle Zahlenmengen im Überblick:

11

--

22

6

Alle rationalen Zahlen können auf einem

ZAHLENSTRAHL

dargestellt werden.

Ein Zahlenstrahl ist eine Linie, mit deren

Hilfe man Zahlen ordnet und vergleicht.

Kleinere Zahlen stehen auf der linken

Seite und größere auf der rechten Seite.

BEISPIEL:

Weil die 22 größer als 11 ist und auch größer

als

00, wird sie rechts von diesen Zahlen platziert.

23-3-2-101

321-3-2-10

7

BEISPIEL:

Weil dementsprechend-3-3 kleiner ist als

-2-2 und auch kleiner als -1-1, wird sie links von diesen

Zahlen platziert.

BEISPIEL:

Wir können nicht nur ganze Zahlen auf einem

Zahlenstrahl anordnen, sondern auch Brüche, Dezimalzahlen

und alle anderen rationalen Zahlen:

321-3-2-10

-2,38-2,38

3 3

--

--

4 4

11

--

22

44

321-3-2-10

33

11

--

88

8

UND IMMER SO WEITER!

9

Ordne bei den Aufgaben

1

bis

8

jeder Zahl so

viele Kategorien wie möglich zu.

1.

--33

2. 44,,55

--

3. --44,,8937587253765348728743989375872537653487287439843098843098……

4.--99,,76543217654321

5. 11

6.

9 9

--

--

3 3

7.22

8. 55,,678678

9. Steht auf dem Zahlenstrahl links oder rechts von Steht auf dem Zahlenstrahl links oder rechts von 00??

10.Stehtteht--00,,001001auf dem Zahlenstrahl links oder rechts von auf dem Zahlenstrahl links oder rechts von 00??

LÖSUNGEN

11

--

4545

DEIN

PRÜFEWISSEN

10

LÖSUNGEN

1. Ganze Zahl, rational, reell

2.Rational, reell

3. Irrational, reell

4. Rational, reell

5. Natürlich, ganz, rational, reell

6.Ganze Zahl, rational, reell (weil auch als -3 -3

geschrieben werden kann)

7.Irrational, reell

8.Rational, reell

9. Rechts von 0

10.Links von 0

9 9

--

--

3 3

11

Kapitel 2

POSITIVE

und

NEGATIVE

ZAHLEN

POSITIVE ZAHLEN

verwendet man,

um Mengen zu beschreiben, die größer

als null sind, und

NEGATIVE ZAHLEN

werden verwendet, um Mengen zu be-

schreiben, die kleiner als null sind. Beide

zusammen bilden gemeinsam mit der Null die

GANZEN ZAHLEN

. Häufig werden positive

und negative Zahlen gemeinsam verwendet, um

Mengen darzustellen, die entgegengesetzte Richtungen oder

Werte besitzen.

Alle positiven Zahlen sehen

einfach wie ganz normale Zahlen

aus (

+4+4 und 44 bedeuten dasselbe).

Alle negativen Zahlen haben ein

Minus als Vorzeichen vorangestellt, also so:

-4-4.

MERKE:

Alle positiven und negativen

Zahlen (ohne Brüche

und Dezimalstellen) sind

ganze Zahlen.

12

Ganze Zahlen lassen sich auf einem Zahlenstrahl darstellen.

Wenn du alle ganzen Zahlen auf einem Zahlenstrahl anordnen

würdest, läge 0 genau in der Mitte, weil 0 weder positiv noch

negativ ist.

Positive und negative Zahlen braucht man im Alltag häufig,

z. B. hierfür:

NEGATIV

Schulden

(Geld, das du jemandem

schuldest)

Ersparnisse

(Geld, das du auf deinem

Sparkonto hast)

POSITIV

3421-3-4-2-10

13

MinustemperaturenPlustemperaturen

Unterhalb des

Meeresspiegels

Oberhalb des

Meeresspiegels

Geldabhebung

Geldeinzahlung

Negative elektrische

Ladung

Positive elektrische

Ladung

14

Auf einem horizontalen Zahlenstrahl sind die Zahlen auf der

linken Seite von 0 negativ und die Zahlen auf der rechten

Seite positiv. Zahlen werden größer,

je weiter sie nach rechts wandern,

und kleiner, je weiter sie nach links

wandern. Wir malen einen

PFEIL

an

jedes Ende eines Zahlenstrahls, um

zu zeigen, dass die Zahlen dort

weitergehen (bis zur

UNENDLICHKEIT

!).

Eine Zahl mit einem anderen

VORZEICHEN

nennt man

GEGENZAHL

. Zu jeder positiven Zahl gibt es eine negative

Gegenzahl. Zur

5 5 ist das beispielsweise die

Gegenzahl

-5-5. Und zu jeder negativen Zahl

gibt es eine positive Gegenzahl (zu

-4-4 ist das

die

44). Zahl und Gegenzahl haben auf einem

Zahlenstrahl jeweils den gleichen Abstand

zur

00, sie haben den gleichen

BETRAG.

Auf einem vertikalen

Zahlenstrahl (wie z. B. bei

einem Thermometer) sind

die Zahlen über 0 positiv und

die unter 0 negativ.

UNENDLICHKEIT:

etwas, das endlos,

also ohne Ende ist.

DAS SYMBOL FÜR DIE

UNENDLICHKEIT IST .

50

40

30

20

10

0

-10

-20

-30

-40

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

15

BEISPIEL:

Was ist die Gegenzahl zu 88?

−8−8

BEISPIEL:

Ben leiht sich von seinem Freund Torben 2 €2 €.

Stell Bens neues Vermögen als ganze Zahl dar.

−2−2

Übrigens ist die

GEGENZAHL DER GEGENZAHL

die Zahl

selbst!

BEISPIEL:

Was ist die Gegenzahl der Gegenzahl von −16−16?

Die Gegenzahl von −16−16 ist1616. Die Gegenzahl von 1616 ist −16−16.

Also ist die Gegenzahl der Gegenzahl von −16−16

ganz klar

−16−16 (also dieselbe Zahl).

16

17

Notiere für die Aufgaben

1

bis

5

die ganzen Zahlen mit

passenden Vorzeichen.

Ein U-Boot ist 6060 Meter unter dem Meeresspiegel.

Ein Hubschrauber ist 160160 Meter über dem Landeplatz.

Die Temperatur ist 88 Grad unter null.

Merle schuldet ihrem Freund Maik 1717 € €.

Maik hat 550550 € € auf seinem Sparkonto.

Markiere die Position der Gegenzahl von 22auf dem

Zahlenstrahl.

Was ist die Gegenzahl von

−−100100?

Zeichne einen Zahlenstrahl, der sich von −−33 bis 33 erstreckt.

Was ist die Gegenzahl der Gegenzahl von 7979?

Was ist die Gegenzahl der Gegenzahl von −−4747?

LÖSUNGEN

DEIN

PRÜFEWISSEN

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

18

−60

+160 (oder 160)

−8

−17

+550 (oder 550)

100

79

−47

LÖSUNGEN

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

19

Der

BETRAG

(auch: Absolutbetrag) einer Zahl ist ihre Distanz

zur 0 (auf dem Zahlenstrahl). Der Betrag ist immer positiv.

Wir markieren den Betrag durch zwei Balken links und rechts

von der Zahl.

BEISPIEL:

||

-4-4

||

||

-4-4

||

liest man als „der Betrag von −4−4

”

. Weil −4−4 auf dem

Zahlenstrahl

4 4 Schritte von null entfernt ist, ist der Betrag 44.

BEISPIEL:

||

99

||

||

99

||

liest man als „der Betrag von 99

“

. Weil 99 auf dem Zahlen-

strahl

99 Schritte von null entfernt ist, ist der Betrag 99.

Kapitel 3

321-3-2-10765498-7-6-5-4

-9

-8

4 SCHRITTE4 SCHRITTE

9 SCHRITTE9 SCHRITTE

Der

BETRAG

20

Die Betragsbalken können auch Rechenaufgaben be-

in halten. Um den Betrag zu erhalten, musst du zunächst

die Aufgabe zwischen den Betragsbalken lösen.

BEISPIEL:

||

5-35-3

||

||

22

||

=2=2

Manchmal stehen auch positive oder negative Vorzeichen

vor den Betragsbalken. Merke: Erst innerhalb, dann außer-

halb

-

nimm zuerst den Betrag, der innerhalb der Balken

steht, und wende dann das außerhalb liegende Vorzeichen

an.

BEISPIEL:

--

||

66

||

-6-6

(Der Betrag von 66 ist 66. Füge nun das negative Vorzeichen

hinzu, um die Lösung

−6−6 zu erhalten.)

DAS ÄNDERT NATÜRLICH

JETZT ALLES.

22

Ich

ganze

Zahlen

23

Werte die Aufgaben

1

bis

8

aus.

||

--1919

||

||

4949

||

||

--

44,,55

||

||

1 1

--

--

5 5

||

||

77--33

||

||

11

•

55

||

--

||

6565

||

--

||

--99

||

Elias hat einen Kontostand von -56,50 €-56,50 €. Wie hoch

ist der Betrag seiner Verschuldung?

Ein Tal liegt

2929 Meter unterhalb des Meeresspiegels.

Welchen Betrag hat die Höhendifferenz zwischen dem

Tal und dem Meeresspiegel?

DEIN

PRÜFEWISSEN

LÖSUNGEN

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

24

LÖSUNGEN

19

49

4,5

11

--

55

4

5

−65

− 9

56,50

29

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

25

Jede Zahl, die größer ist als 1, besitzt

mindestens zwei Teiler, weil jede Zahl durch 1

wie auch durch sich selbst geteilt werden kann.

TEILER und GRÖSSTER

GEMEINSAMER TEILER

Kapitel 4

Wenn man eine Zahl a durch eine Zahl b ohne Rest teilen

(dividieren) kann, sagt man, dass b der

TEILER

von a ist.

BEISPIEL:

Wie lauten die Teiler von 66?

22 ist Teiler von 66, denn 6:2=36:2=3

33 ist Teiler von 66, denn 6:3=26:3=2

11 ist Teiler von 66, denn 6:1=66:1=6

66 ist Teiler von 66, denn 6:6=16:6=1

Die Teiler von 66 sind also 11, 22, 33 und 66.

Um die Teiler einer Zahl herauszufinden,

könntest du auch fragen: Welche Zahlen muss

ich miteinander malnehmen (multiplizieren),

damit ich diese Zahl als Produkt erhalte?

ICH BIN

ALLGEGENWÄRTIG!

26

BEISPIEL:

Wie lauten die Teiler von 1010?

(Überlege: Was kann ich miteinander multiplizieren,

damit ich als Produkt 10 erhalte?)

11

••

10=1010=10

22

••

5=105=10

Die Teiler von 1010 sind 11, 22, 55 und 1010.

BEISPIEL:

Linus muss für ein Theater-AG-Treffen an seiner

Schule Stühle aufstellen. Es werden

3030 Schüler erwartet. Auf

welche verschiedenen Weisen kann er die Stühle so arran-

gieren, dass jede Reihe die gleiche Anzahl an Stühlen hat?

Z. B.:

11 Reihe mit 3030 Stühlen

2 2 Reihen zu je 1515 Stühlen

3 3 Reihen zu je 1010 Stühlen

5 5 Reihen zu je 66 Stühlen

30 30 Reihen zu je 11 Stuhl

Die Teiler von 3030 sind 11, 22, 33, 55, 66, 1010, 1515 und 3030.

Das Produkt jedes Zahlenpaars ist

3030.

Teilbarkeitsregeln für Schnellrechner:

Eine Zahl ist immer dann durch

22 teilbar, wenn sie auf

eine gerade Ziffer endet (

00, 22, 44, 66, 88).

MAN KÖNNTE AUCH SAGEN:

„FINDE DIE TEILER VON 30.“

27

BEISPIELE:

1010, 9292, 4444, 2626 und 88 sind alle durch 22 teilbar,

weil sie mit einer geraden Ziffer enden.

Eine Zahl ist immer dann durch

33 teilbar, wenn die Summe

aller Ziffern (die Quersumme) durch

33 teilbar ist.

BEISPIEL:

4242 ist durch 33 teilbar, weil4+2=64+2=6, und 66

ist durch

33 teilbar.

Eine Zahl ist immer dann durch 44 teilbar, wenn die beiden

letzten Ziffern

00 sind oder eine durch 44 teilbare Zahl bilden.

BEISPIEL:

124124 ist durch 44 teilbar, weil2424 durch44 teilbar ist.

Eine Zahl ist immer dann durch 55 teilbar, wenn sie mit 00

oder

55 aufhört.

BEISPIELE:

1010, 6565 und 2.3202.320 sind alle durch 55 teilbar, weil

sie entweder mit

00 oder55 aufhören.

Eine Zahl ist immer dann durch 66 teilbar, wenn sie auf

eine gerade Ziffer endet (

00, 22, 44, 66, 88) und außerdem die

Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist.

BEISPIEL:

9696 endet auf eine gerade Ziffer und 9+6=159+6=15;

1515 ist durch 33 teilbar. Also ist 9696 auch durch 66 teilbar.

28

Eine Zahl ist immer dann durch 99 teilbar, wenn die Summe

ihrer Ziffern durch

99 teilbar ist.

BEISPIEL:

297297 ist durch 99 teilbar, weil2+9+7=182+9+7=18,

und

1818 ist durch 99 teilbar.

Eine Zahl ist immer dann durch 1010 teilbar, wenn sie mit

00 aufhört.

BEISPIELE:

5050, 110110 und 31.33031.330 sind alle durch 1010 teilbar,

weil sie mit

00 aufhören.

Primzahlen

PRIMZAHLENPRIMZAHLEN sind Zahlen, die nur durch sich selbst und durch

11 ohne Rest teilbar sind

-

sie besitzen 22 Teiler. Hier ein paar

Beispiele für Primzahlen:

22, 33, 77 und 1313.

Gemeinsame Teiler

Alle Teiler, die für zwei (oder mehr) Zahlen gleich sind, nennt

man

GEMEINSAME TEILER GEMEINSAME TEILER.

BEISPIEL:

Wie lauten die gemeinsamen Teiler von 1212 und 1818?

Die Teiler von 1212 sind 11, 22, 33, 44, 66, 1212.

Die Teiler von

1818 sind 11, 22, 33, 66, 99, 1818.

Die gemeinsamen Teiler von

1212 und 1818 sind also 11, 22, 33 und 66.

2 IST DIE EINZIGE

GERADE PRIMZAHL.

29

Den größten Teiler, den beide Zahlen gemeinsam haben,

nennt man

GRÖSSTEN GEMEINSAMEN TEILER

oder

abgekürzt

GGT

. Der ggT von 1212 und 1818 ist 66.

BEISPIEL:

Was ist der ggT von 44 und 1010?

Die Teiler von 44 sind 11, 22, 44.

Die Teiler von

1010 sind 11, 22, 55, 1010.

Also ist der ggT von 44 und 1010 die 22.

BEISPIEL:

Was ist der ggT von 1818 und 7272?

Die Teiler von 1818 sind 11, 22, 33, 66, 99, 1818.

Die Teiler von

7272 sind 11, 22, 33, 44, 66, 88, 99, 1212, 1818, 2424, 3636, 7272.

1818 ist der ggT von 1818 und 7272.

ICH KANNTE

SIE SCHON, ALS

SIE NUR EINE

PRIMZAHL WAR

…

SO GROSS IST

SIE GAR NICHT.

30

NA, SCHLAUMEIER,

WODURCH LÄSST

SICH

DAS

TEILEN?

356.724.921.356.724.921.

213.691.753. 213.691.753.

611.219.39611.219.39

8

ARGH!!!

RIP!

31

LÖSUNGEN

DEIN

PRÜFEWISSEN

Wie lauten die Teiler von 1212?

Wie lauten die Teiler von 6060?

Ist 348348 durch22 teilbar?

Ist 786786 durch33 teilbar?

Ist 936936 durch99 teilbar?

Ist 3.645.2113.645.211 durch 1010 teilbar?

Finde den ggT von 66 und 2020.

Finde den ggT von 3333 und 7474.

Finde den ggT von 2424 und 9696.

Lea hat 88 rote Stifte und 2020 gelbe Stifte. Sie möchte die

Stifte gern auf unterschiedliche Federmäppchen verteilen.

Jedes Mäppchen soll die gleiche Anzahl roter und gelber

Stifte enthalten und kein Stift soll übrig bleiben. Wie viele

Mäppchen kann Lea befüllen?

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

33

Sobald wir eine Zahl mit irgendeiner anderen ganzen Zahl

multiplizieren (die nicht

00 ist), ist das Produkt ein

VIELFACHES

dieser Zahl. Jede Zahl hat eine unendliche Liste an Vielfachen.

BEISPIEL:

Wie lauten die Vielfachen von 44?

44••1=41=4

44••2=82=8

44••3=123=12

44••4=164=16

und so weiter … für immer!

Die Vielfachen von

44 sind 44, 88, 1212, 1616, ……

VIELFACHE

UND

KLEINSTES GEMEINSAMES

VIELFACHES

Kapitel 5

34

Alle Vielfachen, die für zwei (oder mehr) Zahlen gleich

sind, nennt man

GEMEINSAME VIELFACHE.

BEISPIEL:

Wie lauten die Vielfachen von 22 und 55?

Die Vielfachen von

22 sind 22, 44, 66, 88, 1010, 1212, 1414, 1616, 1818, 2020, ……

Die Vielfachen von 55 sind 55, 1010, 1515, 2020, ……

Bis hierhin haben 22 und 55 die Vielfachen

1010 und 2020 gemeinsam.

Wie lautet das kleinste Vielfache, das 22 und 55 gemeinsam

haben? Das kleinste Vielfache ist

1010. Man spricht auch vom

KLEINSTEN GEMEINSAMEN VIELFACHEN

oder

KGV

.

Um das kgV von zwei Zahlen herauszufinden, listest du die

Viel fachen jeder Zahl vom kleinsten beginnend auf, bis du

das erste Vielfache entdeckst, das beide gemeinsam haben.

BEISPIEL:

Finde das kgV von 99 und 1111.

Die Vielfachen von

99 sind 99, 1818, 2727, 3636, 4545, 5454, 6363, 7272,

8181, 9090, 9999, 108108, ……

Die Vielfachen von 1111 sind 1111, 2222, 3333, 4444, 5555, 6666, 7777, 8888,

9999, 110110, ……

9999 ist das erste Vielfache, das 99 und 1111 gemeinsam

haben, das kgV von

99 und 1111 ist also 9999.

35

Manchmal ist es einfacher, mit der größeren Zahl

anzufangen. Anstatt zuerst alle Vielfachen von

99 aufzulisten,

fang mit den Vielfachen von

1111 an, und frage dich: Welche

dieser Zahlen ist durch

99 teilbar?

BEISPIEL:

Emma bietet an, jeden 6.6. Tag im Tierheim

auszuhelfen. Sarah möchte jeden

5.5. Tag im Heim

aushelfen. Wenn beide dies am gleichen Tag anbieten,

wann werden sie dann erstmals beide am selben Tag

arbeiten?

Emma wird an den folgenden Tagen arbeiten:

6.6.,

12.12., 18.18., 24.24. und30.30. …

3030 ist die erste Zahl, die durch 55 teilbar ist, das kgV

von

55 und 66 ist also 3030.

Der erste Tag, an dem Emma und Sarah gemeinsam

arbeiten, ist der

30.30. Tag.

MAN KÖNNTE AUCH

SAGEN: FINDE DAS KGV

VON 5 UND 6.

36

DEIN

PRÜFEWISSEN

Liste die ersten fünf Vielfachen von 33 auf.

Liste die ersten fünf Vielfachen von 1212 auf.

Finde das kgV von 55 und 77.

Finde das kgV von 1010 und 1111.

Finde das kgV von 44 und 66.

Finde das kgV von 1212 und 1515.

Finde das kgV von 1818 und 3636.

David geht jeden 3.3. Tag zum Sport. Tim geht jeden 4.4.

Tag zum Sport. Wenn beide dem Sportclub am gleichen

Tag beitreten, wann ist der erste Tag, an dem sie

gemeinsam Sport machen?

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

37

LÖSUNGEN

Juna und Anne haben die gleiche Anzahl an Münzen.

Juna sortiert ihre Münzen zu

6er6er-Stapeln, ohne dass

eine Münze übrig bleibt. Anne sortiert ihre Münzen zu

8er8er-Stapeln, ohne dass eine Münze übrig bleibt. Was

ist die kleinstmögliche Anzahl an Münzen, die jede von

ihnen besitzt?

Noah und Lina haben gleich viele Blumen. Noah bindet

daraus Sträuße zu je

33 Blumen, ohne dass eine Blume

übrig bleibt. Linda bindet Sträuße mit jeweils

77 Blumen.

Auch bei ihr bleibt keine Blume übrig. Wie viele Blumen

hat jeder von ihnen mindestens?

9.

10.

38

LÖSUNGEN

3, 6, 9, 12, 15

12, 24, 36, 48, 60

35

110

12

60

36

Am 12. Tag

24 Münzen

21 Blumen

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

3939

Kapitel 6

PRIMFAKTOR-

ZERLEGUNG

Primzahlen kennst du bereits. Das sind Zahlen, die nur durch 1 1

und sich selbst teilbar sind (z. B. 22, 33, 55, 77, 1111, 1313 usw.).

Du kannst alle natürlichen Zahlen als Produkt von Primzahlen

schreiben

-

das nennt man

PRIMFAKTORZERLEGUNG

.

BEISPIEL:

Schreibe1414 als Produkt von Primzahlen.

14=214=2

••

77

1414 ist das Produkt der Primzahlen 22 und 77.

Größere Zahlen „zerlegst“ du am besten Stück für Stück.

Zerlege sie so lange, bis nur noch Primzahlen als Faktoren

übrig bleiben.

40

BEISPIEL:

Schreibe216216 als Produkt von Primzahlen.

Finde zunächst eine Primzahl, durch die

216216 teilbar ist.

216216 ist durch 33 teilbar, da die Quersumme (2+1+6=92+1+6=9)

durch

33 teilbar ist. Schreibe also:

21216=36=3

••

7722

Auch 7272 ist durch 33 teilbar, schreibe also:

21216=36=3

••

33

••

2244

2424 kannst du ebenfalls durch 33 teilen:

21216=36=3

••

33

••

33

••

88

Und 88 kannst du durch die Primzahl 22 teilen:

21216=36=3

••

33

••

33

••

22

••

44

Ebenso die 44:

21216=36=3

••

33

••

33

••

22

••

22

••

22

41

Weiter kannst du die Faktoren nun nicht mehr zerlegen.

Aber du kannst das Ganze kürzer fassen, indem du die

Primzahlen als Potenzen schreibst:

21216=6=33

33

••

22

33

216216 ist das Produkt der Primzahlen 33

33

und 22

33

.

Die Primfaktorzerlegung ist besonders hilfreich, wenn du

das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) größerer Zahlen

möglichst schnell ermitteln möchtest.

BEISPIEL:

Finde das kgV von 3030 und 3636.

Anstatt nun sämtliche Vielfache beider Zahlen aufzulisten

und darunter dann das kgV zu suchen, zerlegst du beide

Zahlen in Primfaktoren. Zunächst die

3030:

3030=3=3

••

1100

330=30=3

••

22

••

55

42

Dann zerlegst du die 3636:

336=36=3

••

1212

336=36=3

••

33

••

44

336=36=3

••

33

••

22

••

22

In Potenzschreibweise hast du nun also:

330=0=33

11

••

22

11

••

55

11

336=6=33

22

••

22

22

Die Basen der Primzahlen sind 33, 22 und 55. Nimm nun

jeweils die Zahl mit dem höchsten Exponenten: Bei

33

11

und

33

22

ist das 33

22

, bei 22

11

und 22

22

ist das 22

22

, bei der Basis 55

hast du nur die

55

11

.

Multipliziere diese, um das kgV zu errechnen:

kgV(30, 36)(30, 36)33

22

••

22

22

••

55

11

kgV(30, 36)(30, 36)180180

Das kgV von 3030 und 3366 ist 180180.

43

Mithilfe der Primfaktorzerlegung kannst du auch den

größten gemeinsamen Teiler (ggT) verschiedener Zahlen

ermitteln. Besonders bei größeren Zahlen bietet sich diese

Methode an.

BEISPIEL:

Finde den ggT von 105105 und 120120.

Anstatt sämtliche Vielfache beider Zahlen aufzulisten und

darunter dann den ggT zu suchen, zerlegst du beide Zahlen

in Primfaktoren. Zunächst die

101055:

10105=35=3

••

3535

10105=35=3

••

55

••

77

Dann zerlegst du die 120120:

12120=20=2

••

6060

12120=20=2

••

22

••

3030

12120=20=2

••

22

••

22

••

1515

12120=20=2

••

22

••

22

••

33

••

55

In Potenzschreibweise hast du nun also:

10105=5=33

11

••

55

11

••

77

11

12120=0=22

33

••

33

11

••

55

11

44

Um den ggT zu berechnen, nimmst du nun die Primfaktoren,

die in

BEIDENBEIDEN Primfaktorzerlegungen vorkommen und den

jeweils

KLEINSTENKLEINSTEN Exponenten haben. Das sind die 33

11

und

die

55

11

. (Die 22

33

und die 77

11

entfallen.)

Diese multiplizierst du miteinander und erhältst so den ggT:

ggT((105, 120105, 120)=)=33

11

••

55

11

ggT((105, 120105, 120)=)=1515

Der ggT von 105105 und 112020 ist 1515.