Grundlagen der Mathematik für Dummies E-Book

Mark Zegarelli

• Herausgeber: Wiley-VCH GmbH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2024

Seitenzahl: 461

Beschreibung

Ruckzuck Mathematik verstehen

Mathematik liegt nicht allen und oft sind es gerade die Grundlagen, die fehlen: Wie berechnet man nochmal den Umfang eines Kreises? Wieviel Geld spare ich bei 30 Prozent Rabatt? Und was war doch gleich ein unechter Bruch? Fragen über Fragen – die Antworten finden Sie in diesem Buch. Egal ob Bruch- oder Prozentrechnung, Geometrie, Algebra, Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Statistik: Mark Zegarelli erklärt Ihnen die Grundlagen, einfach, mit Humor und immer schnell auf den Punkt. Zusätzlich finden Sie am Ende jedes Kapitels Übungsaufgaben, mit denen Sie Ihr Wissen festigen können.

Sie erfahren

• Wie Sie mit Quadratwurzeln und Exponenten umgehen
• Wie Sie Umfang, Fläche, Oberfläche und Volumen geometrischer Figuren berechnen
• Wie Sie Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen lösen

Leseprobe

Grundlagen der Mathematik für Dummies

Schummelseite

OPERATORENREIHENFOLGE (BERECHNUNGSREIHENFOLGE)

Wenn arithmetische Ausdrücke kompliziert werden, wendet man die Operatorenreihenfolge an – auch als Berechnungsreihenfolge bezeichnet (weitere Informationen hierzu finden Sie in Kapitel 5). Arithmetische Ausdrücke werden demnach von links nach rechts unter Anwendung der folgenden Operatorenreihenfolge berechnet:

KlammernExponentenMultiplikation und DivisionAddition und Subtraktion

EIGENSCHAFTEN DER VIER GROßEN OPERATIONEN SOWIE VON EXPONENTEN, WURZELN UND ABSOLUTWERT

Mithilfe von mathematischen Operationen ist es möglich, Zahlen zu kombinieren und Berechnungen durchzuführen. Nachfolgend einige wichtige Eigenschaften der vier großen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sowie von drei weiteren, fortgeschritteneren Operationen (Exponenten, Quadratwurzeln und Absolutwert). Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie in Kapitel 4.

Addition und Subtraktion sind inverse Operationen. Beispiel:

, also gilt , also gilt

Auch Multiplikation und Division sind inverse Operationen. Beispiel:

, also gilt

, also gilt

Die Addition ist kommutativ. Beispiel:

Die Addition ist assoziativ. Beispiel:

Die Multiplikation ist kommutativ. Beispiel:

Die Multiplikation ist assoziativ. Beispiel:

Die Multiplikation ist distributiv in Bezug auf die Addition. Beispiel:

Exponenten (Potenzen) sind wiederholte Multiplikationen. Beispiel:

Quadratwurzeln (Wurzeln) sind das Inverse von Potenzen mit dem Exponenten 2. Beispiel:

, weil

, weil

Der Absolutwert bildet immer den positiven Wert einer Zahl. Beispiel:

UMWANDLUNG ZWISCHEN BRÜCHEN, DEZIMALWERTEN UND PROZENTWERTEN

In den Kapiteln aus Teil III geht es um Brüche, Dezimalwerte und Prozentwerte im Detail, aber wenn Sie nur schnell nachschlagen wollen, wie die Umwandlung erfolgt, sollten Sie die folgende Tabelle immer parat haben:

Bruch

Dezimalwert

Prozentwert

Bruch

Dezimalwert

Prozentwert

0,01

 1 %

 0,6 

  60 %

0,05

 5 %

 0,7 

  70 %

0,1 

10 %

 0,75

  75 %

0,2 

20 %

 0,8 

  80 %

0,25

25 %

 0,9 

  90 %

0,3 

30 %

1

 1,0 

 100 %

0,4 

40 %

2

 2,0 

 200 %

0,5 

50 %

10

10,0 

1000 %

GEBRÄUCHLICHE GEOMETRISCHE FORMELN

Geometrische Formeln sind immer außerordentlich praktisch, egal, ob Sie Vermessungen für Ihren Hausbau anstellen oder herausfinden wollen, ob Ihr Kuchenteig, den Sie für eine runde Form vorgesehen haben, auch für eine eckige Form ausreichend ist. Weitere Informationen über die Verwendung dieser Formeln finden Sie in Kapitel 16, aber zum schnellen Nachschlagen eignet sich auch bestens die folgende Liste mit allen wichtigen Grundlagen:

Kreis:

Würfel:

Quader (rechteckiger Körper):

Kugel:

Prisma und Zylinder:

Pyramide und Kegel:

Satz von Pythagoras:

Rechteck:

Parallelogramm:

Raute:

Quadrat:

oder

Trapez:

Dreieck:

Grundlagen der Mathematik für Dummies

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

4. Auflage 2024

© 2024 Wiley-VCH GmbH, Boschstraße 12, 69469 Weinheim, Germany

Original English language edition Basic Math & Pre-Algebra for Dummies © 2016 by Wiley Publishing, Inc. All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation published by arrangement with John Wiley and Sons, Inc.

Copyright der englischsprachigen Ausgabe Basic Math & Pre-Algebra for Dummies © 2016 by Wiley Publishing, Inc. Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Diese Übersetzung wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc. in den USA, Deutschland und in anderen Ländern.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Print ISBN: 978-3-527-72197-9ePub ISBN: 978-3-527-84774-7

Coverfoto: tostphoto - stock.adobe.comKorrektur: Petra Heubach-Erdmann

Über den Autor

Mark Zegarelli studierte an der Rutgers University Englisch und Mathematik und ist von Beruf Schriftsteller. Viele Jahre verdiente er sich seinen Lebensunterhalt damit, eine unüberschaubare Menge an Logikrätseln, viele Software-Handbücher und gelegentlich Buch- oder Filmrezensionen zu verfassen. Außerdem bezahlte er einige seiner Rechnungen, indem er sich beim Hausputz, Häuserstreichen und (zehn Stunden lang) als Verkäufer versuchte. Am liebsten schreibt er allerdings Bücher.

Mark Zegarelli lebt größtenteils in Long Branch, New Jersey, und zeitweilig in San Francisco, Kalifornien.

Inhaltsverzeichnis

Cover

Titelblatt

Impressum

Über den Autor

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Über dieses Buch

Konventionen in diesem Buch

Was Sie nicht lesen müssen

Törichte Annahmen über den Leser

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Wie es weitergeht

Teil I: Grundlagen der grundlegenden Mathematik

Kapitel 1: Das Spiel mit den Zahlen

Die Erfindung der Zahlen

Zahlenfolgen

Der Zahlenstrahl

Vier wichtige Zahlenmengen

Aufgaben

Kapitel 2: Zahlen und Ziffern – an den Fingern abgezählt

Den Stellenwert kennen

Runden und Schätzen

Aufgaben

Kapitel 3: Die großen Vier: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

Zusammenzählen: Addition

Abgezogen: Subtraktion

Multiplikation

Division im Handumdrehen

Aufgaben

Teil II: Ganze Zahlen

Kapitel 4: Die vier großen Operationen in der Praxis

Eigenschaften der vier großen Operationen

Die vier großen Operationen für negative Zahlen

Einheiten und Größen verstehen

Ungleichheiten verstehen

Über die großen Vier hinaus: Exponenten, Quadratwurzeln und Beträge

Aufgaben

Kapitel 5: Eine Frage der Werte: Berechnung arithmetischer Ausdrücke

Drei wichtige Konzepte der Mathematik: Gleichungen, Terme und deren Berechnung

Gleichheit für alle: Gleichungen

Die Operatorenreihenfolge

Aufgaben

Kapitel 6: Zugetextet? Text in Zahlen umwandeln

Zwei Gerüchte über Textaufgaben

Grundlegende Textaufgaben lösen

Komplexere Textaufgaben lösen

Aufgaben

Kapitel 7: Teilbarkeit

Die Tricks der Teilbarkeit

Primzahl oder zusammengesetzt?

Aufgaben

Kapitel 8: Fabelhafte Faktoren und viel geliebte Vielfache

Sechs Methoden, dasselbe zu sagen

Faktoren und Vielfache – untrennbar verbunden

Fabelhafte Faktoren

Viel geliebte Vielfache

Aufgaben

Teil III: Teile des Ganzen: Brüche, Dezimalzahlen und Prozente

Kapitel 9: Keine Biografie ohne Brüche

Eine Torte in Bruchteile schneiden

Breaking News über Brüche

Brüche erweitern und kürzen

Unechte Brüche und gemischte Schreibweise ineinander umwandeln

Die Kreuzmultiplikation verstehen

Aufgaben

Kapitel 10: Gebrochenes Rechnen: Brüche und die vier großen Operationen

Brüche multiplizieren und dividieren

Zusammengezählt: Brüche addieren

Weg damit: Brüche subtrahieren

Mit der gemischten Schreibweise arbeiten

Aufgaben

Kapitel 11: Dezimalzahlen

Grundlegende Informationen über Dezimalzahlen

Die großen vier Operationen für Dezimalzahlen

Dezimalzahlen und Brüche ineinander umwandeln

Aufgaben

Kapitel 12: Prozentsätze

Prozentsätze verstehen

Der Umgang mit Prozentsätzen größer 100 Prozent

Prozentsätze, Dezimalzahlen und Brüche ineinander umwandeln

Prozentaufgaben lösen

Alle Prozentaufgaben kombinieren

Aufgaben

Kapitel 13: Textaufgaben mit Brüchen, Dezimalzahlen und Prozentsätzen

Teile des Ganzen in Textaufgaben addieren und subtrahieren

Aufgaben zum Multiplizieren von Brüchen

Dezimalzahlen und Prozentsätze in Textaufgaben multiplizieren

Prozentuale Steigerungen und Abnahmen in Textaufgaben

Aufgaben

Teil IV: Visualisieren und Messen – Graphen, Maße, Statistik und Mengen

Kapitel 14: Zehn hoch: Zahlen in wissenschaftlicher Notation

Das Wichtigste zuerst: Zehnerpotenzen als Exponenten

Mit der wissenschaftlichen Notation arbeiten

Aufgaben

Kapitel 15: Maße und Gewichte

Unterschiede zwischen dem metrischen und dem angelsächsischen System untersuchen

Das metrische und das angelsächsische System – schätzen und umrechnen

Aufgaben

Kapitel 16: Ein Bild sagt mehr als tausend Worte: Einstieg in die Geometrie

Alles auf einer Ebene: Punkte, Linien, Winkel und Figuren

Figuren

Geschlossene Gesellschaft: Figuren

Eine höhere Dimension: Körpergeometrie

Figuren messen: Umfang, Fläche, Oberfläche und Volumen

Aufgaben

Kapitel 17: Wer es sieht, wird gläubig: Graphen

Die drei wichtigsten Graphen

Kartesische Koordinaten

Aufgaben

Kapitel 18: Textaufgaben mit Geometrie und Maßen

Der Kettentrick: Maßaufgaben mithilfe von Umrechnungsketten lösen

Textaufgaben aus der Geometrie

Und jetzt alles zusammen: Geometrie und Maße in einer Aufgabenstellung

Aufgaben

Kapitel 19: Chancen ausrechnen: Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mathematisch Daten sammeln: Grundlegende Statistik

Gute Chancen: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgaben

Kapitel 20: Jede Menge Mengenlehre

Mengen

Operationen für Mengen

Aufgaben

Teil V: Akte X: Einführung in die Algebra

Kapitel 21: Mr. X kennenlernen: Algebra und algebraische Ausdrücke

x

als Platzhalter

Algebraische Ausdrücke

Algebraische Ausdrücke vereinfachen

Aufgaben

Kapitel 22: Mr. X enttarnen: Algebraische Gleichungen

Algebraische Gleichungen verstehen

Die Suche nach dem Gleichgewicht: Nach

x

auflösen

Gleichungen neu anordnen und

x

isolieren

Aufgaben

Kapitel 23: Mr. X im Einsatz: Textaufgaben in der Algebra

Algebra-Textaufgaben in fünf Schritten lösen

Die Variablen klug auswählen

Kompliziertere Algebra-Aufgaben

Aufgaben

Teil VI: Der Top-Ten-Teil

Kapitel 24: Die zehn wichtigsten Konzepte der Mathematik, die Sie keinesfalls ignorieren sollten

Jede Menge Mengen

Das Spiel mit den Primzahlen

Null: Viel Lärm um Nichts

Es wird griechisch: Pi (π)

Ist mir alles gleich: Gleichheitszeichen und Gleichungen

Das Raster: Das kartesische Koordinatensystem

Mathematische Maschinen: Funktionen

Auf in die Unendlichkeit

Der reelle Zahlenstrahl

Die imaginäre Zahl i

Kapitel 25: Zehn wichtige Zahlenmengen, die Sie kennen sollten

Alles bio: Die natürlichen Zahlen

Keine halben Sachen: Ganze Zahlen

Rational über rationale Zahlen sprechen

Gar nicht unvernünftig: Irrationale Zahlen

Fest verwurzelt: Algebraische Zahlen

Etwas abgehoben: Transzendente Zahlen

Auf dem Boden der reellen Zahlen

Sich imaginäre Zahlen vorstellen

Nicht ganz einfach: Komplexe Zahlen

Mit den transfiniten Zahlen über »unendlich« hinaus

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

Tabellenverzeichnis

Kapitel 2

Tabelle 2.1: Die Zahl 45.019, dargestellt in einer Stellenwerttabelle

Tabelle 2.2: 5.001.000 fehlerhaft dargestellt ohne die Platzhalternullen

Tabelle 2.3: 3.040.070, dargestellt mit zwei führenden Nullen

Tabelle 2.4: Eine Platzhaltertabelle mit Dreiergruppen

Kapitel 3

Tabelle 3.1: Die monströse Standardmultiplikationstabelle

Tabelle 3.2: Die verkürzte Multiplikationstabelle

Kapitel 5

Tabelle 5.1: Die drei Arten von Termen mit den vier großen Operationen

Kapitel 11

Tabelle 11.1: Zerlegung von 4.672 im Hinblick auf die Stellenwerte

Tabelle 11.2: Zerlegung der Dezimalzahl 4.672,389

Tabelle 11.3: Beispiel für das Anfügen führender Nullen

Tabelle 11.4: Beispiel für angehängte Nullen

Tabelle 11.5: Beispiel für die unverzichtbaren Platzhalter-Nullen

Tabelle 11.6: Stellenwerte bei einer Multiplikation mit zehn

Tabelle 11.7: Das Dezimalkomma wird nach rechts verschoben

Kapitel 12

Tabelle 12.1: Die drei wichtigsten Arten von Prozentaufgaben

Kapitel 14

Tabelle 14.1: Zehnerpotenzen, dargestellt als Exponenten

Kapitel 15

Tabelle 15.1: Fünf metrische Basiseinheiten

Tabelle 15.2: Zehn metrische Präfixe

Tabelle 15.3: Vergleich von Temperaturen in Celsius und Fahrenheit

Kapitel 19

Tabelle 19.1: Umfrage in der vierten Klasse der Grundschule

Tabelle 19.2: Lieblingsfarben in der vierten Klasse der Grundschule

Tabelle 19.3: Körpergröße und Ergebnisse des Diktats

Illustrationsverzeichnis

Kapitel 1

Abbildung 1.1: Quadratzahlen

Abbildung 1.2: Die Zahl 12 in zwei unterschiedlichen rechteckigen...

Abbildung 1.3: Auch andere zusammengesetzte Zahlen können Rechtec...

Abbildung 1.4: Die eigenwillige 13, eine Primzahl, verdeutlicht, ...

Abbildung 1.5: Ein einfacher Zahlenstrahl

Abbildung 1.6: Bewegung auf dem Zahlenstrahl von links nach recht...

Abbildung 1.7: Bewegung auf dem Zahlenstrahl von rechts nach link...

Abbildung 1.8: Der Zahlenstrahl, beginnend bei 0 und weiter mit 1...

Abbildung 1.9: Von 3 aus um 3 nach links

Abbildung 1.10: Negative ganze Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Abbildung 1.11: 4 – 7 auf dem Zahlenstrahl subtrahieren

Abbildung 1.12: 5 ⋅ 2 mithilfe des Zahlenstrahls berechnen

Abbildung 1.13: –3 ⋅ 2 = –6 auf dem Zahlenstrahl

Abbildung 1.14: Ein Zahlenstrahl mit Fünfersprüngen

Abbildung 1.15: 2 ⋅ 5 auf dem Zahlenstrahl

Abbildung 1.16: Zahlenstrahl von 0 bis 6

Abbildung 1.17: Die Lösung für 6 : 2 erhalten Sie durch Untertei...

Abbildung 1.18: Berechnung von 6 : 3 mithilfe des Zahlenstrahls

Abbildung 1.19: Brüche auf dem Zahlenstrahl

Abbildung 1.20: Zahlenstrahl mit einigen Brüchen zwischen 0 und ...

Kapitel 3

Abbildung 3.1: Beide Seiten einer Karte, mit der Aufgabe 7 ⋅ 6 au...

Kapitel 8

Abbildung 8.1: Wir ermitteln zwei Faktoren von 56. 7 ist eine Pri...

Abbildung 8.2: Die Zahlenzerlegung wird bei 8 fortgesetzt.

Abbildung 8.3: Der fertige Baum

Abbildung 8.4: Start (und Ende) der Verzweigung bei einer Primzah...

Abbildung 8.5: Der Faktor 2 wird aus 84 herausgezogen.

Abbildung 8.6: Vervollständigung der Primfaktorzerlegung von 84

Abbildung 8.7: Der erste Schritt bei der Zerlegung von 700

Abbildung 8.8: Die vollständige Zerlegung von 700

Abbildung 8.9: Bestimmung des ggT von 28, 42 und 70

Kapitel 9

Abbildung 9.1: Zwei Hälften einer Torte

Abbildung 9.2: Sie schneiden die Torte in drei Teile.

Abbildung 9.3: Zerlegte Torten, wobei die dunkel gefärbten Teile ...

Kapitel 11

Abbildung 11.1: Eine Hälfte (0,5) eines Euros

Abbildung 11.2: Ein Viertel (0,25) eines Euros

Abbildung 11.3: Drei Viertel (0,75) eines Euros

Abbildung 11.4: Torten, aufgeschnitten und mit dunkel markierten...

Kapitel 12

Abbildung 12.1: Im Prozentkreis steht der Prozentwert oben, der ...

Abbildung 12.2: 75% und 20 werden in den Prozentkreis eingetrag...

Abbildung 12.3: Berechnen, wie viel Prozent von 50 gleich 35 sin...

Abbildung 12.4: Berechnen, wovon 15 % gleich 18 sind

Kapitel 13

Abbildung 13.1: Geld von der Tante = 48 € : 0,6 = 80 €

Kapitel 16

Abbildung 16.1: Figuren ohne Namen

Abbildung 16.2: Dreieckstypen

Abbildung 16.3: Gebräuchliche Vierecke

Abbildung 16.4: Fünfeck, Sechseck und Achteck

Abbildung 16.5: Verschiedene unregelmäßige Polygone

Abbildung 16.6: Ein typischer Würfel

Abbildung 16.7: Häufig auftretende Polyeder

Abbildung 16.8: Die fünf regelmäßigen Körper

Abbildung 16.9: Kugel, Zylinder und Kegel

Abbildung 16.10: Die Seiten von Figuren messen

Abbildung 16.11: Die Flächen von Figuren

Abbildung 16.12: Die Bestandteile eines Kreises

Abbildung 16.13: Die Basis und die Höhe eines Dreiecks

Abbildung 16.14: Die Hypotenuse und die Katheten eines rechtwin...

Abbildung 16.15: Messung einer Raute

Abbildung 16.16: Maße eines Parallelogramms

Abbildung 16.17: Maße eines Trapezes

Abbildung 16.18: Maße eines Quaders

Kapitel 17

Abbildung 17.1: Anzahl neuer Kunden in diesem Quartal

Abbildung 17.2: Die monatlichen Ausgaben von Maria

Abbildung 17.3: Bruttoeinnahmen des Gemüseladens von Lisa

Abbildung 17.4: Ein kartesisches Koordinatensystem besteht aus e...

Abbildung 17.5: Die Punkte

A

,

B

,

C

und

D

in einem kartesischen K...

Abbildung 17.6: Alle möglichen Geldbeträge von Xaver und Yvonne,...

Abbildung 17.7: Alle möglichen Geldbeträge von Xaver und Yvonne,...

Abbildung 17.8: Zwei Geraden in einem Koordinatensystem

Abbildung 17.9: Verkehrsmittel beim Weg zur Arbeit

Abbildung 17.10: »Liniendiagramm der gefahrenen Kilometer«

Kapitel 18

Abbildung 18.1: Zwei Söhne erhalten nicht-rechteckige Abschnitte...

Abbildung 18.2: Eine beschriftete Skizze zeigt die wichtigsten I...

Abbildung 18.3: Ihre Skizze erhält neue Beschriftungen, während ...

Abbildung 18.4: Ein Pfad um einen Brunnen soll gemessen werden.

Kapitel 19

Abbildung 19.1: Mögliche Würfe für ein Paar Würfel

Kapitel 22

Abbildung 22.1: Eine Gleichung kann mit einer Waage verglichen w...

Kapitel 25

Abbildung 25.1: Zahlen auf dem imaginären Zahlenstrahl

Orientierungspunkte

Cover

Titelblatt

Impressum

Über den Autor

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Fangen Sie an zu lesen

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

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Einführung

Vor langer Zeit haben Sie Zahlen geliebt. Das ist zwar nicht der Beginn eines Märchens. Aber vor langer Zeit haben Sie wirklich Zahlen geliebt. Erinnern Sie sich?

Wahrscheinlich waren Sie drei, und Ihre Großeltern waren zu Besuch. Sie haben neben ihnen auf dem Sofa gesessen und die Zahlen von 1 bis 10 aufgesagt. Oma und Opa waren stolz auf Sie und – seien Sie ehrlich – Sie waren auch ein bisschen stolz auf sich selbst. Vielleicht waren Sie auch gerade fünf und haben gelernt, Zahlen zu schreiben – und waren immer bemüht, die 2 und die 5 nicht verkehrt herum herauskommen zu lassen.

Lernen hat Spaß gemacht. Zahlen haben Spaß gemacht. Aber was ist passiert? Vielleicht begann der Ärger mit der schriftlichen Division. Oder Sie haben nicht verstanden, wie Brüche in Dezimalzahlen umgewandelt werden. Oder vielleicht ging es darum, dass Sie mit der Prozentrechnung nicht zurechtgekommen sind? Die Umwandlung von Meilen in Kilometer? Der Versuch, den Wert des gefürchteten x zu bestimmen? Egal, wann es angefangen hat, Sie waren irgendwann der Meinung, dass die Mathematik Sie nicht mag – und Sie haben die Mathematik auch nicht sehr viel mehr gemocht.

Warum sind Menschen im Kindergarten oft so glücklich, zählen zu lernen, und verlassen dann die Schule in der festen Überzeugung, dass Mathematik einfach nichts für sie ist? Die Antwort auf diese Frage würde 20 Bücher dieses Umfangs füllen, aber wir können hier zumindest anfangen, das Problem zu lösen.

Ich bitte Sie ganz bescheiden um nicht mehr, als dass Sie ihre Vorurteile ablegen. Denken Sie einen kurzen Moment lang an diese unschuldige Zeit – die Zeit, bevor das Wort »Mathematik« Panikattacken bei Ihnen ausgelöst hat (oder im besten Fall unbezwingbare Schläfrigkeit). In diesem Buch begleite ich Sie vom Verständnis der Grundlagen bis zu dem Punkt, an dem Sie bereit sind, sich erfolgreich auf die Algebra einzulassen.

Über dieses Buch

Irgendwo auf dem Weg vom Zählenlernen bis zur Algebra erleiden viele einen großen mathematischen Schiffbruch. Das ist etwa so, als würde Ihr Auto irgendwo im Niemandsland, fernab jeder Zivilisation plötzlich stottern und vor sich hin qualmen.

Betrachten Sie dieses Buch als Ihren persönlichen Pannenhelfer und mich als Ihren freundlichen Mechaniker (der aber sehr viel billiger als der für das Auto ist!). Nach der Strandung in diesem Zwischenzustand sind Sie vielleicht frustriert über die Umstände und fühlen sich von Ihrem Auto verraten, aber für den Herrn mit dem Werkzeugkasten ist es ganz alltägliche Arbeit. Die Werkzeuge für die Lösung Ihrer Probleme mit der Mathematik finden Sie in diesem Buch.

Dieses Buch hilft Ihnen nicht nur bei den Grundlagen der Mathematik, sondern auch, Ihre Aversion zu überwinden, die Sie möglicherweise gegenüber der Mathematik ganz allgemein haben. Ich habe die Konzepte in leicht verständliche Abschnitte zerlegt. Und weil Grundlagen der Mathematik für Dummies eine Art Nachschlagewerk ist, müssen Sie die einzelnen Kapitel oder Abschnitte auch nicht in der vorgegebenen Reihenfolge lesen – Sie brauchen nur das zu lesen, was Sie gerade benötigen. Blättern Sie also beliebig herum. Immer wenn ich ein Thema beschreibe, für das Sie Informationen aus anderen Abschnitten im Buch benötigen, weise ich auf die betreffenden Abschnitte oder Kapitel hin, falls Sie Ihre Grundlagen noch einmal auffrischen möchten.

Hier noch zwei allgemeine Ratschläge, die ich immer gebe – denken Sie daran, wenn Sie sich durch dieses Buch arbeiten:

Machen Sie häufig Pausen beim Lernen.

Stehen Sie alle 20 bis 30 Minuten auf und gehen Sie vom Schreibtisch weg. Füttern Sie die Katze, machen Sie den Abwasch, gehen Sie spazieren, jonglieren Sie mit Tennisbällen, probieren Sie das Faschingskostüm vom letzten Jahr an – machen Sie

irgendetwas

, um sich für ein paar Minuten abzulenken. Sie werden sehr viel aufnahmefähiger zu Ihren Büchern zurückkehren, als wenn Sie Stunde um Stunde mit müden Augen davor sitzen bleiben.

Nachdem Sie ein Beispiel gelesen haben und denken, dass Sie es verstehen, schreiben Sie die Aufgabe ab, schließen Sie das Buch und versuchen Sie, sie selbstständig nachzuvollziehen.

Wenn Sie stecken bleiben, sehen Sie kurz im Buch nach – aber versuchen Sie später, dasselbe Beispiel noch einmal zu rechnen, ohne das Buch zu öffnen. (Denken Sie daran, dass bei einer etwaigen Prüfung, auf die Sie sich vielleicht vorbereiten, das Spicken auch nicht erlaubt ist.)

Konventionen in diesem Buch

Um Ihnen dabei zu helfen, sich in diesem Buch zurechtzufinden, verwende ich die folgenden Konventionen:

Kursiv

ausgezeichneter Text markiert neue Wörter und definierte Begriffe.

Fett

ausgezeichneter Text markiert Schlüsselwörter in Aufzählungen sowie den Anweisungsteil in nummerierten Schritten.

Nicht proportional

ausgezeichneter Text markiert Webadressen.

Variablen, wie etwa

x

und

y

, werden ebenfalls kursiv dargestellt.

Was Sie nicht lesen müssen

Obwohl jeder Autor insgeheim (oder auch ganz offen) davon ausgeht, dass jedes Wort aus seiner Feder pures Gold ist, müssen Sie nicht jedes Wort in diesem Buch lesen, es sei denn, Sie wollen das wirklich. Sie können Einschübe jederzeit überblättern (das sind die grau unterlegten Kästen), in denen ich ab und zu kleine Exkurse mache – es sei denn, Sie finden die hier präsentierten Informationen interessant. Mit dem Symbol »Vorsicht Technik« gekennzeichnete Abschnitte sind ebenfalls für das Verständnis nicht zwingend erforderlich.

Törichte Annahmen über den Leser

Wenn Sie vorhaben, dieses Buch zu lesen, sind Sie wahrscheinlich

ein Schüler, der solides Verständnis für die grundlegende Mathematik für einen Kurs oder eine Prüfung benötigt.

ein Erwachsener, der seine Kenntnisse im Hinblick auf Arithmetik, Brüche, Dezimalzahlen, Prozentrechnung, Gewichte und Maße, Geometrie, Algebra und so weiter verbessern will, weil er die Mathematik im wirklichen Leben benötigt.

jemand, der eine Auffrischung seiner Kenntnisse braucht, sodass er einem anderen helfen kann, Mathematik zu verstehen.

Ich gehe davon aus, dass Sie addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren können. Um herauszufinden, ob dieses Buch für Sie geeignet ist, führen Sie also den folgenden einfachen Test durch:

Wenn Sie diese vier Fragen beantworten können, können Sie sofort anfangen.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch besteht aus sechs Teilen. Sie beginnen mit der einfachsten Mathematik – mit Themen wie etwa dem Zählen und dem Zahlenstrahl – und arbeiten sich langsam vor bis zur Algebra. Nach jedem Kapitel finden Sie Übungsaufgaben, um das Gelernte zu festigen. Die Lösungen zu diesen Aufgaben finden Sie kostenfrei zum Download unter https://www.wiley-vch.de/de/dummies/downloads und dort unter dem Buchtitel.

Teil I: Grundlagen der grundlegenden Mathematik

In Teil I gehe ich von dem aus, was Sie bereits über Mathematik wissen, und arbeite mich von dort aus langsam voran.

In Kapitel 1 finden Sie einen kurzen Überblick darüber, was Zahlen sind und wo sie herkommen. Ich beschreibe, wie Zahlenfolgen entstehen. Ich zeige Ihnen, wie wichtig Zahlenmengen sind – beispielsweise die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen –, die Sie alle auf dem Zahlenstrahl finden. Außerdem zeige ich Ihnen, wie Sie den Zahlenstrahl für grundlegende arithmetische Aufgaben nutzen können.

In Kapitel 2 geht es um die Ziffern, die die Bausteine der Zahlen bilden, vergleichbar damit, wie Buchstaben die Bausteine der Wörter sind. Ich zeige Ihnen, wie das Zahlensystem, das Sie täglich verwenden – das hindu-arabische Zahlensystem (auch als Dezimalzahlen bezeichnet) –, die Basis 10 als Grundlage für den Aufbau von Zahlen aus Ziffern nutzt.

Kapitel 3 schließlich konzentriert sich auf die sogenannten großen vier Operationen – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Ich werde Ihre Kenntnisse darüber auffrischen, wie spaltenweise mit Übertrag addiert wird, wie die Subtraktion mit Zehnerübergang funktioniert, wie große Zahlen multipliziert werden und wie die gefürchtete schriftliche Division abläuft.

Teil II: Ganze Zahlen

In Teil II gehen wir einen großen Schritt weiter, und Sie werden besser verstehen, wie die großen Vier (Operationen) funktionieren. In Kapitel 4 geht es um inverse Operationen, kommutative, assoziative und distributive Eigenschaften sowie um die Arbeit mit negativen Zahlen. Sie erfahren, wie man mit Ungleichungen arbeitet, also mit Formulierungen, die statt des Gleichheitszeichens (=) das Größer-als-Zeichen (>) oder das Kleiner-als-Zeichen (<) verwenden. Außerdem stelle ich Ihnen fortgeschrittenere Operationen vor, wie beispielsweise Potenzen (Exponenten), Quadratwurzeln und Absolutwerte.

In Kapitel 5 geht es um drei wichtige Konzepte der Mathematik: Ausdrücke, Gleichungen und Auswertung. Das restliche Kapitel konzentriert sich auf eine besonders wichtige Fähigkeit: die Auswertung mathematischer Ausdrücke unter Verwendung der Operatorenreihenfolge. In Kapitel 6 erfahren Sie, wie Sie Textaufgaben lösen, indem Sie Wortgleichungen aufstellen.

In Kapitel 7 geht es im Detail um die Teilbarkeit. Ich verrate Ihnen ein paar Tricks, wie Sie feststellen, ob eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist. Außerdem geht es hier um Primzahlen und um zusammengesetzte Zahlen. In Kapitel 8 schließlich behandeln wir Faktoren und Vielfache, und Sie erfahren, wie diese beiden Konzepte miteinander verbunden sind. Ich zeige Ihnen, wie Sie eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen. Außerdem erkläre ich, wie Sie den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr Zahlen finden.

Teil III: Teile des Ganzen: Brüche, Dezimalzahlen und Prozente

In Teil III lernen Sie, wie die Mathematik Teile des Ganzen darstellt, nämlich als Brüche, Dezimalzahlen und Prozentwerte, und wie diese drei Konzepte miteinander verbunden sind.

In den Kapiteln 9 und 10 geht es vor allem um Brüche und auch darum, wie diese erweitert oder gekürzt werden. Anschließend zeige ich Ihnen, wie Sie Brüche multiplizieren und dividieren, und eine Vielzahl von Möglichkeiten, Brüche zu addieren und zu subtrahieren. Schließlich erfahren Sie, wie Sie mit gemischten Zahlen arbeiten. In Kapitel 11 sind die Dezimalzahlen an der Reihe. Ich zeige Ihnen, wie Sie Dezimalzahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren und wie Sie Brüche in Dezimalzahlen umwandeln und umgekehrt. Außerdem erkläre ich Ihnen, was periodische Dezimalstellen sind.

In Kapitel 12 sind die Prozentwerte an der Reihe. Ich zeige Ihnen, wie Sie Prozentwerte sowohl in Brüche als auch in Dezimalzahlen umwandeln und umgekehrt. Anschließend geht es um verschiedene Möglichkeiten, Prozentwerte zu berechnen, unter anderem um ein einfaches, aber sehr leistungsfähiges Werkzeug, den sogenannten Prozentkreis. In Kapitel 13 schließlich erkläre ich Ihnen das Lösen von Textaufgaben mit Brüchen, Dezimalzahlen und Prozentwerten.

Teil IV: Visualisieren und Messen – Graphen, Maße, Statistik und Mengen

Teil IV enthält einen bunten Strauß an Themen, die alle auf den Fähigkeiten aufbauen, die Sie in den ersten drei Teilen des Buches erworben haben.

In Kapitel 14 zeige ich Ihnen, wie durch die wissenschaftliche Notation sehr große und sehr kleine Zahlen sehr viel handlicher werden, indem Dezimalstellen und Zehnerpotenzen kombiniert werden. In Kapitel 15 geht es um zwei verschiedene Gewichts- und Maßsysteme: das angelsächsische System (das hauptsächlich in Amerika verwendet wird) und das metrische System (das auf der ganzen Welt verwendet wird). Ich stelle Ihnen eine Vielzahl von Umwandlungsgleichungen vor und zeige Ihnen, wie Sie Maßeinheiten umwandeln. Außerdem verrate ich Ihnen ein paar Faustregeln für die Abschätzung metrischer Einheiten.

In Kapitel 16 geht es um Geometrie. Hier lernen Sie verschiedene Formeln kennen, um den Umfang und die Fläche grundlegender Formen sowie die Oberfläche und den Inhalt einiger wichtiger Körper zu berechnen.

Kapitel 17 stellt Ihnen Graphen vor. Zuerst stehen drei wichtige Graphentypen auf dem Plan: Balkendiagramm, Tortendiagramm und Strichdiagramm. Außerdem stelle ich Ihnen hier die Grundlagen des wichtigsten Graphen in der Mathematik vor, des kartesischen Koordinatensystems. Ich zeige Ihnen, wie Sie Punkte einzeichnen, Linien ziehen und Aufgabenstellungen anhand dieses Graphensystems lösen. In Kapitel 18 sammeln Sie weitere Erfahrung beim Lösen von Textaufgaben, insbesondere im Hinblick auf Geometrie sowie Gewichte und Maße.

Kapitel 19 stellt die Statistik und die Wahrscheinlichkeitsrechnung vor. Sie lernen den Unterschied zwischen qualitativen und quantitativen Daten kennen und erfahren, wie der Mittelwert und der Median (Zentralwert) eines Datensatzes berechnet werden. Außerdem erkläre ich Ihnen, wie Sie eine Wahrscheinlichkeit berechnen, indem Sie mögliche Ergebnisse und bevorzugte Ergebnisse zählen.

In Kapitel 20 geht es um die Grundlagen der Mengenlehre, unter anderem um die Definition einer Menge, die Begriffe Element und Teilmenge und das Verständnis der leeren Menge. Außerdem zeige ich Ihnen einige grundlegende Operationen für Mengen wie beispielsweise das Bilden von Vereinigungsmengen und Schnittmengen.

Teil V: Akte X: Einführung in die Algebra

Teil V bietet Ihnen eine Einführung in die Algebra. Kapitel 21 enthält einen Überblick über das Thema – hier geht es um die Grundlagen der Arbeit mit Variablen (wie beispielsweise x). Anschließend lernen Sie komplexere Ausdrücke mit Variablen kennen, wobei die Kenntnisse genutzt werden, die Sie in Kapitel 5 erworben haben.

Kapitel 22 stellt verschiedene Möglichkeiten vor, algebraische Gleichungen zu lösen. In Kapitel 23 schließlich fassen wir alles zusammen: Sie lernen, Textaufgaben aus der Algebra von Anfang bis Ende zu lösen.

Teil VI: Der Top-Ten-Teil

Wie in den Büchern der … für Dummies-Reihe üblich, enthält dieser Teil des Buches ein paar Top-Ten-Listen zu Themen wie beispielsweise grundlegende mathematische Konzepte und Zahlenmengen.

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Im gesamten Buch verwende ich vier Symbole, die spezielle Informationen kennzeichnen:

Dieses Symbol weist auf wichtige Konzepte hin, die Sie sich merken sollten. Gehen Sie sicher, dass Sie sie verstanden haben, bevor Sie weiterlesen. Merken Sie sich diese Informationen auch, nachdem Sie das Buch geschlossen haben.

Tipps sind hilfreiche Hinweise, die Ihnen eine schnelle und einfache Methode zeigen, etwas zu erledigen. Probieren Sie sie aus, insbesondere wenn Sie einen Mathematikkurs erfolgreich absolvieren wollen.

Warnungen kennzeichnen häufig vorkommende Fehler, die Sie vermeiden sollten. Versuchen Sie zu verstehen, worum es sich bei diesen Fallstricken handelt, sodass Sie vermeiden können, darauf hereinzufallen.

Dieses Symbol weist auf interessante Zusatzinformationen hin, die Sie entweder lesen oder überblättern können – ganz wie Sie wollen.

Wie es weitergeht

Sie können dieses Buch auf unterschiedliche Weise nutzen. Wenn Sie es ohne unmittelbaren Zeitdruck wegen einer Prüfung oder einer Hausaufgabe lesen, können Sie natürlich ganz vorn anfangen und bis zum Ende lesen. Der Vorteil bei dieser Methode ist, dass Sie erkennen, wie viel Mathematik Sie bereits beherrschen – die ersten paar Kapitel werden sehr schnell gehen. Sie werden sehr viel Selbstbewusstsein sammeln, ebenso praktisches Wissen, das Ihnen später helfen kann, weil die ersten Kapitel auch die Grundlage für das Verständnis der späteren bilden.

Es geht aber auch so: Wenn Sie irgendeine Aufgabenstellung haben, schlagen Sie genau zu dem Thema nach, um das es bei dieser Aufgabe geht. Legen Sie das Buch auf Ihren Nachttisch und lesen Sie vor dem Zubettgehen ein paar Minuten einfache Dinge aus den ersten Kapiteln. Sie werden überrascht sein, wie eine kleine Auffrischung der simpleren Dinge plötzlich auch komplexere Konzepte sehr viel einfacher macht.

Wenn Sie nicht viel Zeit haben – insbesondere wenn Sie einen Mathematikkurs absolvieren und dringend Hilfe bei Ihren Hausaufgaben oder für eine bevorstehende Prüfung suchen –, blättern Sie direkt zu dem betreffenden Thema. Egal, wo Sie das Buch öffnen, Sie finden eine verständliche Erklärung des jeweiligen Themas und eine Vielzahl von Hinweisen und Tricks. Lesen Sie sich die Beispiele durch und versuchen Sie, sie nachzuvollziehen, sodass Sie eine Vorlage für die Bearbeitung Ihrer eigenen Aufgaben erhalten.

Hier eine kurze Liste der Themen, die Schüler erfahrungsgemäß immer wieder brauchen:

negative Zahlen (

Kapitel 4

)

Operatorenreihenfolge (

Kapitel 5

)

Textaufgaben (

Kapitel 6

,

13

,

18

und

23

)

Zahlen zerlegen (

Kapitel 8

)

Brüche (

Kapitel 9

und

10

)

Die meisten dieser Themen werden in den Teilen II und III beschrieben, aber sie sind auch grundlegend für das, was weiter hinten im Buch erklärt wird. Ganz allgemein schaffen Sie sich durch die Beschäftigung mit diesen fünf Themen eine Art Polster, und wenn Sie weiter mit der Mathematik zu tun haben sollten, werden Sie immer wieder davon zehren können. Sobald Sie verstanden haben, wie negative Zahlen oder Brüche addiert werden, wächst Ihr Selbstvertrauen und alles, was ich im restlichen Buch erkläre, wird Ihnen sehr viel einfacher vorkommen.

Wenn Sie irgendwo stecken bleiben, machen Sie eine Pause und sehen Sie sich das Problem später noch einmal genauer an. Sie werden feststellen, dass Ihnen die Antwort plötzlich einfällt, wenn Sie das Ganze mit erholten grauen Zellen von Neuem betrachten. Sollten Sie immer noch nicht weiterkommen, blättern Sie ein paar Seiten zurück und lesen Sie die Erklärungen vom Anfang des Abschnitts oder des Kapitels an noch einmal nach. Manchmal ist es am besten, ein paar einfachere Beispiele nachzuvollziehen, um dann auch mit komplexeren Aufgabenstellungen zurechtzukommen.

Teil I

Grundlagen der grundlegenden Mathematik

IN DIESEM TEIL …

Sie wissen bereits mehr über Mathematik, als Sie vielleicht denken. In diesem Teil machen Sie eine Wiederholung mit und informieren sich über grundlegende mathematische Konzepte, wie beispielsweise Zahlenmuster und den Zahlenstrahl. Sie erfahren, wie Stellenwerte basierend auf der Zahl 10 Ziffern zu Zahlen machen und wie die Null als Platzhalter dient. Außerdem stelle ich hier die großen Vier der Operationen noch einmal vor: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Kapitel 1

Das Spiel mit den Zahlen

IN DIESEM KAPITEL

Wie die Zahlen erfunden wurdenEin paar vertraute Zahlenfolgen betrachtenDen Zahlenstrahl kennenlernenVier wichtige Zahlenmengen verstehen

Zahlen sind auch deshalb so praktisch, weil sie konzeptuell sind, das heißt ganz einfach, sie sind alle bereits vorhanden in Ihrem Kopf. (Diese Tatsache wird Sie vielleicht noch nicht vom Hocker reißen – aber es war ein Versuch!)

Beispielsweise können Sie sich »Drei« mit allen möglichen Dingen vorstellen: drei Katzen, drei Bälle, drei Kanufahrer, drei Planeten. Versuchen Sie, sich das Konzept von »Drei« ohne Hilfsmittel vorzustellen – Sie werden feststellen, dass das unmöglich ist. Natürlich können Sie sich die numerische 3 vorstellen, doch die eigentliche Dreiheit ist – wie Liebe oder Schönheit oder Ehre – nicht direkt fassbar. Aber nachdem Sie das Konzept der Drei (oder Vier oder einer Million) verstanden haben, erhalten Sie damit Zugang zu einem unglaublich leistungsfähigen System, das Ihnen hilft, die gesamte Welt zu verstehen: die Mathematik.

In diesem Kapitel präsentiere ich Ihnen einen kurzen Überblick darüber, wie die Zahlen entstanden sind. Ich stelle Ihnen ein paar gebräuchliche Zahlenfolgen vor und zeige Ihnen, wie Sie diese mit einfachen mathematischen Operationen verbinden, etwa der Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Anschließend erkläre ich, wie einige dieser Konzepte anhand eines einfachen und doch leistungsfähigen Werkzeugs verdeutlicht werden können – mit dem Zahlenstrahl. Ich demonstriere, wie die Zahlen auf dem Zahlenstrahl angeordnet sind, und zeige Ihnen, wie Sie den Zahlenstrahl als Rechengerät für die einfache Arithmetik nutzen können.

Zum Schluss beschreibe ich, wie die natürlichen Zahlen (1, 2, 3 …) die Erfindung ungewöhnlicherer Zahlentypen inspiriert haben, wie etwa negative Zahlen, Brüche und irrationale Zahlen. Außerdem zeige ich Ihnen, wie diese Zahlenmengen ineinander verschachtelt sind – das heißt, wie sich eine Zahlenmenge in eine andere einfügt, die sich wiederum in eine andere einreiht.

Die Erfindung der Zahlen

Historiker sind davon überzeugt, dass die ersten Zahlensysteme spätestens mit der Landwirtschaft und dem Handel entstanden sind. In den vorhergehenden prähistorischen Zeiten der Jäger und Sammler war es vermutlich für die Menschen ausreichend, mit kleinen Zahlen zu hantieren und größere Gruppen mit »viele« oder »wenige« abzuschätzen.

Als sich jedoch die Landwirtschaft entwickelte und der Handel zwischen großen Gruppen begann, benötigte man genauere Angaben. Die Menschen begannen, mithilfe von Steinen, Lehmbatzen und vergleichbaren Gegenständen festzuhalten, wie viele Ziegen, Schafe, Öl, Getreide oder andere Waren sie besaßen. Diese Gegenstände konnten in Vertretung für die Dinge, die sie jeweils darstellten, eins zu eins getauscht werden.

Irgendwann erkannten die Händler, dass sie Bilder zeichnen konnten, anstatt Gegenstände verwenden zu müssen. Diese Bilder entwickelten sich zu Warenetiketten und mit der Zeit zu komplexeren Systemen. Ob sie es damals schon erkannten oder nicht – ihre Versuche, einen Überblick über ihre Waren zu bewahren, hatten diese Menschen zur Erfindung von etwas völlig Neuem geführt: Ziffern.

Im Laufe der Zeitalter entwickelten die Babylonier, Ägypter, Griechen, Römer, Mayas, Araber und Chinesen (um nur ein paar wenige zu nennen) alle ihre eigenen Systeme, Zahlen zu schreiben.

Obwohl römische Zahlen weit verbreitet wurden, als sich das Römische Reich über ganz Europa und in Teilen von Asien und Afrika ausdehnte, stellte sich das fortschrittlichere System, das die Inder und Araber erfanden, als praktischer heraus. Unser eigenes Zahlensystem, die hindu-arabischen Zahlen (auch als Dezimalzahlen bezeichnet), lehnt sich sehr eng an diese frühen arabischen Zahlen an.

Zahlenfolgen

Obwohl die Zahlen ursprünglich zum Zählen von Waren erfunden worden sind, wie im vorherigen Abschnitt erwähnt, wurden sie bald für alle möglichen anderen Dinge benutzt. Zahlen waren praktisch, um Distanzen zu messen, Geld zu zählen, eine Armee zusammenzustellen, Steuern zu erheben, Pyramiden zu bauen und für vieles andere mehr.

Aber über ihre Funktion hinaus, die externe Welt zu verstehen, haben die Zahlen auch eine eigene interne Ordnung. Zahlen sind also nicht nur eine Erfindung, sondern gleichzeitig eine Entdeckung: Wir erkennen darin eine Landschaft, die scheinbar unabhängig von allem anderen existiert, mit eigener Struktur, eigenen Geheimnissen und sogar Gefahren.

Ein Weg in diese neue und häufig fremdartige Welt ist die Zahlenfolge: eine Anordnung von Zahlen gemäß einer bestimmten Regel. In den folgenden Abschnitten stelle ich Ihnen verschiedene Zahlenfolgen vor, die praktisch sind, um den Zahlen einen Sinn zu geben.

Ungerades gerade machen

Zu den ersten Dingen, die Sie über Zahlen erfahren haben, gehört wahrscheinlich, dass alle Zahlen entweder gerade oder ungerade sind. Beispielsweise können Sie eine gerade Anzahl Murmeln gerade in zwei gleiche Stapel teilen. Wenn Sie dagegen versuchen, eine ungerade Anzahl von Murmeln auf dieselbe Weise zu teilen, haben Sie immer eine Murmel übrig. Hier die ersten geraden Zahlen:

2

4

6

8

10

12

14

16…

Sie können diese Folge gerader Zahlen beliebig fortsetzen. Sie beginnen mit der Zahl 2 und addieren dann immer wieder 2, um zur nächsten Zahl zu gelangen.

Und hier die ersten ungeraden Zahlen:

1

3

5

7

9

11

13

15…

Die Folge ungerader Zahlen ist genauso einfach zu erstellen. Sie beginnen mit der Zahl 1 und addieren dann immer wieder 2, um zur nächsten Zahl zu gelangen.

Die Muster der geraden und ungeraden Zahlen sind die einfachsten Zahlenmuster, die es gibt, deshalb erkennen Kinder häufig den Unterschied zwischen geraden und ungeraden Zahlen schon bald, nachdem sie gelernt haben zu zählen.

Um 3, 4, 5 und so weiter weiterzählen

Nachdem Sie verstanden haben, wie man um Zahlen größer 1 weiterzählt, können Sie das beliebig fortsetzen. Hier zählen wir um 3 weiter:

3

6

9

12

15

18

21

24…

Dieses Muster wird erzeugt, indem Sie bei 3 beginnen und dann immer wieder 3 addieren.

Und so zählen Sie um 4 weiter:

4

8

12

16

20

24

28

32…

Und so um 5:

5

10

15

20

25

30

35

40…

Um jeweils um eine bestimmte Zahl weiterzuzählen, ist es sinnvoll, die Multiplikationstabelle für diese Zahl zu lernen, insbesondere für die Zahlen, bei denen Sie noch unsicher sind. (Im Allgemeinen haben die meisten Leute Probleme mit der Multiplikation mit 7, aber auch 8 und 9 machen bisweilen Schwierigkeiten.) In Kapitel 3 zeige ich Ihnen ein paar Tricks, wie Sie sich die Multiplikationstabelle ein für alle Mal merken.

Diese Folgentypen sind außerdem praktisch, um Faktoren und Vielfache zu verstehen, worum es in Kapitel 8 geht.

Quadratzahlen verstehen

Wenn Sie sich mit Mathematik beschäftigen, wünschen Sie sich früher oder später visuelle Hilfen, die verdeutlichen, was die Zahlen bedeuten. (Weiter hinten in diesem Buch zeige ich Ihnen, wie ein Bild mehr als tausend Zahlen sagt, nämlich wenn es in Kapitel 16 um Geometrie und in Kapitel 17 um Graphen geht.)

Die praktischsten visuellen Hilfen, die man sich vorstellen kann, sind die kleinen quadratischen Käsecracker in Abbildung 1.1. (Wahrscheinlich haben Sie irgendwo eine Schachtel davon stehen. Andernfalls können Sie auch Salzcracker oder ein anderes quadratisches Nahrungsmittel verwenden.) Schütteln Sie ein paar aus der Packung und ordnen Sie die kleinen Quadrate so an, dass sie größere Quadrate bilden. Die Abbildung zeigt die ersten paar dieser Quadrate.

Abbildung 1.1: Quadratzahlen

Quelle: © John Wiley & Sons, Inc

Voilà! Die Quadratzahlen:

1

4

9

16

25

36

49

64…

Sie erhalten eine Quadratzahl, indem Sie eine Zahl mit sich selbst multiplizieren. Die Kenntnis der Quadratzahlen ist damit eine weitere praktische Methode, sich einen Teil der Multiplikationstabelle zu merken. Obwohl Sie sich sehr wahrscheinlich ohne jede Hilfe 2 ⋅ 2 = 4 merken können, sind Sie sich bei den höheren Zahlen vielleicht schon nicht mehr ganz so sicher, wie beispielsweise 7 ⋅ 7 = 49. Wenn Sie die Quadratzahlen kennen, prägen sich die betreffenden Multiplikationstabellen sehr viel besser ein, wie ich in Kapitel 3 zeige.

Quadratzahlen sind außerdem ein wichtiger erster Schritt zum Verständnis der Exponenten, die ich weiter hinten in diesem Kapitel noch erwähne und detailliert in Kapitel 4 erkläre.

Zusammengesetzte Zahlen – ganz einfach

Einige Zahlen können in rechteckigen Mustern angeordnet werden. Die Mathematiker könnten diese Zahlen auch als »Rechteckzahlen« bezeichnen, aber stattdessen sprechen sie von zusammengesetzten Zahlen. Beispielsweise ist 12 eine zusammengesetzte Zahl, weil Sie zwölf Gegenstände sogar in zwei unterschiedlichen Formen von Rechtecken anordnen können, wie in Abbildung 1.2 gezeigt.

Abbildung 1.2: Die Zahl 12 in zwei unterschiedlichen rechteckigen Mustern

Quelle: © John Wiley & Sons, Inc

Wie bei den Quadratzahlen teilt Ihnen die Anordnung von Zahlen in visuellen Mustern wie diesen etwas über die Multiplikation mit. In diesem Fall können Sie durch Zählen der Seiten beider Rechtecke Folgendes feststellen:

Auf vergleichbare Weise können auch andere Zahlen wie etwa 8 und 15 in Rechtecken angeordnet werden, wie in Abbildung 1.3 gezeigt.

Abbildung 1.3: Auch andere zusammengesetzte Zahlen können Rechtecke bilden, hier am Beispiel von 8 und 15 gezeigt.

Quelle: © John Wiley & Sons, Inc

Wie Sie sehen, können beide Zahlen relativ einfach in Rechtecken mit mindestens zwei Zeilen und zwei Spalten angeordnet werden. Und diese visuellen Muster teilen uns Folgendes mit:

Das Wort zusammengesetzt bedeutet, dass diese Zahlen aus kleineren Zahlen zusammengesetzt sind. Beispielsweise ist die Zahl 15 aus 3 und 5 zusammengesetzt – das heißt, wenn Sie diese beiden kleineren Zahlen multiplizieren, erhalten Sie 15. Nachfolgend alle zusammengesetzten Zahlen zwischen 1 und 16:

4

6

8

9

10

12

14

15

16…

Beachten Sie, dass alle Quadratzahlen (siehe den vorherigen Abschnitt »Quadratzahlen verstehen«) natürlich ebenfalls zusammengesetzte Zahlen sind, weil Sie sie in Rechtecken mit gleich vielen Zeilen und Spalten anordnen können. Darüber hinaus sind auch viele der anderen, nicht quadratischen Zahlen zusammengesetzte Zahlen.

Die Primzahlen verweigern sich dem Rechteck!

Einige Zahlen sind stur. Sie weigern sich beharrlich, in einem Rechteck angeordnet zu werden – und werden als Primzahlen bezeichnet. Betrachten Sie beispielsweise, wie in Abbildung 1.4 die Zahl 13 dargestellt ist.

Abbildung 1.4: Die eigenwillige 13, eine Primzahl, verdeutlicht, dass manche Zahlen einfach nicht in einem Rechteck angeordnet werden können.

Quelle: © John Wiley & Sons, Inc

Sie können es versuchen, so oft Sie wollen – aus 13 Gegenständen lässt sich einfach kein Rechteck legen (Vielleicht hat die 13 deshalb einen unguten Ruf!). Hier die Primzahlen kleiner 20:

2

3

5

7

11

13

17

19

Wie Sie sehen, füllt die Liste der Primzahlen die Lücken in der Auflistung der zusammengesetzten Zahlen (siehe vorherigen Abschnitt). Aus diesem Grund ist jede natürliche Zahl entweder eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl. In Kapitel 8 finden Sie mehr Informationen über zusammengesetzte Zahlen. Außerdem zeige ich Ihnen dort, wie Sie eine Zahl zerlegen – das heißt, wie Sie eine zusammengesetzte Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen.

Mit Exponenten schnell multiplizieren

Es gibt ein altes Rätsel, das eine immer noch überraschende Antwort hat. Angenommen, Sie haben einen Job angenommen, bei dem Sie am ersten Tag 1 Cent, am zweiten Tag 2 Cent, am dritten Tag 4 Cent und so weiter als Lohn erhalten, sodass also der Betrag täglich verdoppelt wird:

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512…

Wie Sie sehen, verdienen Sie in den ersten zehn Arbeitstagen nur sehr wenig, gerade einmal 10 Euro (eigentlich 10,23 Euro, aber wer wird so kleinlich sein?). Wie viel verdienen Sie in 30 Tagen? Sie würden möglicherweise sagen: »Nie würde ich einen derart unterbezahlten Job annehmen!« Auf den ersten Blick ist das genau die richtige Antwort, aber sehen Sie sich erst einmal an, was Sie nach den zweiten zehn Tagen verdienen:

…1.024

2.048

4.096

8.192

16.384

32.768

65.536

131.072

262.144…

Nach den zweiten zehn Tagen betragen Ihre Gesamteinkünfte über 10.000 Euro. Und am Ende der dritten Woche liegen Ihre Einkünfte bei etwa 10.000.000 Euro! Wie kann das sein? Durch die Magie der Exponenten (Ausdrücke mit Exponenten heißen auch Potenzen). Jede neue Zahl in der Folge entsteht, indem die vorhergehende Zahl mit 2 multipliziert wird:

Wie Sie sehen, bedeutet die Notation 24, dass die Zahl 2 viermal mit sich selbst multipliziert wird.

Sie können Exponenten auch für andere Zahlen als 2 verwenden. Hier eine weitere Folge, die Sie vielleicht schon kennen:

1

10

100

1.000

10.000

100.000

1.000.000…

In dieser Folge ist jede Zahl um das Zehnfache größer als die vorhergehende Zahl. Auch diese Zahlen werden mithilfe von Exponenten erzeugt:

Diese Folge ist wichtig für die Definition des Stellenwerts, der Grundlage des dezimalen Zahlensystems. Darum geht es in Kapitel 2. Außerdem taucht sie im Kapitel 11 über die Dezimalzahlen auf, ebenso wie bei der Vorstellung der wissenschaftlichen Notation in Kapitel 14. Weitere Informationen über Exponenten finden Sie in Kapitel 5.

Der Zahlenstrahl

Wenn Kinder zu alt werden, um mithilfe ihrer Finger zu zählen (und sie diese nur noch verwenden, wenn sie versuchen, sich an die Namen der sieben Zwerge zu erinnern), verwenden die Lehrer häufig eine Darstellung der ersten zehn Zahlen in einer Reihe, wie sie in Abbildung 1.5 gezeigt ist.

Abbildung 1.5: Ein einfacher Zahlenstrahl

Quelle: © John Wiley & Sons, Inc

Diese Methode, Zahlen anzuordnen, wird auch als Zahlenstrahl bezeichnet. Viele sehen den Zahlenstrahl – oft aus buntem Glanzpapier – häufig zum ersten Mal über der Tafel in ihrem Klassenzimmer aufgehängt. Der Zahlenstrahl bietet eine visuelle Darstellung der natürlichen Zahlen, mit denen wir zählen, also der Zahlen größer als 0. Sie können ihn verwenden, um zu zeigen, wie die Zahlen in die eine Richtung größer und in die andere Richtung kleiner werden.

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie anhand des Zahlenstrahls einige grundlegende, also sehr wichtige Zahlenkonzepte verstehen können.

Auf dem Zahlenstrahl addieren und subtrahieren

Mithilfe des Zahlenstrahls können Sie auf einfache Weise Additionen und Subtraktionen durchführen. Diese ersten Schritte zur Mathematik werden konkreter, wenn Sie eine visuelle Hilfestellung erhalten. Hier das Wichtigste, das Sie sich merken müssen:

Nach

rechts

hin werden die Zahlen

größer

, was der

Addition

entspricht (+).

Nach

links

hin werden die Zahlen

kleiner

, was der

Subtraktion

entspricht (–).

2 + 3 beispielsweise bedeutet, dass Sie bei 2 beginnen und dann 3 Stellen nach rechts weiterrücken, zur 5, wie in Abbildung 1.6 dargestellt.

Abbildung 1.6: Bewegung auf dem Zahlenstrahl von links nach rechts: Addition

Quelle: © John Wiley & Sons, Inc

Betrachten wir ein weiteres Beispiel. 6 – 4 bedeutet, dass Sie bei 6 beginnen und dann um vier Stellen nach links zur 2 gehen. Das bedeutet: 6 – 4 = 2, wie in Abbildung 1.7 gezeigt.

Abbildung 1.7: Bewegung auf dem Zahlenstrahl von rechts nach links: Subtraktion

Quelle: © John Wiley & Sons, Inc

Diese einfachen Vor-und-Zurück-Regeln können Sie wiederholt anwenden, um eine längere Aneinanderreihung von Additionen und Subtraktionen zu bewältigen. Beispielsweise bedeutet 3 + 1 – 2 + 4 – 3 – 2 auf dem Zahlenstrahl, bei 3 zu beginnen und dann 1 nach rechts, 2 nach links, 4 nach rechts, 3 nach links und 2 nach links zu gehen. In diesem Fall ergibt der Zahlenstrahl 3 + 1 – 2 + 4 – 3 – 2 = 1.

Weitere Informationen über Addition und Subtraktion finden Sie in Kapitel 3.

Das Nichts verstehen lernen: 0

Eine wichtige Ergänzung des Zahlenstrahls ist die Zahl 0, die für nichts steht. Nothing, niente, nada. Treten Sie einen Schritt zurück und beobachten Sie das bizarre Konzept des Nichts. Erstens existiert das Nichts per Definition nicht – das haben uns mehrere Philosophen klargemacht. Dennoch stellen wir es so üblicher- wie sinnvollerweise mit der Ziffer 0 dar, wie in Abbildung 1.8 gezeigt.

Abbildung 1.8: Der Zahlenstrahl, beginnend bei 0 und weiter mit 1, 2, 3 bis 10

Quelle: © John Wiley & Sons, Inc

Eigentlich haben die Mathematiker eine genauere Bezeichnung für das Nichts als die Null: die leere Menge, eine mathematische Variante einer leeren Schachtel. Ich vermittle Ihnen in Kapitel 20 weitere grundlegende Informationen zur Mengenlehre.

Das Nichts ist natürlich für Kinder schwer zu begreifen, aber sie scheinen damit umgehen zu können. Sie verstehen schnell, dass wenn man drei Spielzeugautos hat und jemand alle drei wegnimmt, null Spielzeugautos übrig bleiben. Das bedeutet 3 – 3 = 0. Auf dem Zahlenstrahl gehen wir für 3 – 3 von 3 aus und dann um 3 nach links, wie in Abbildung 1.9 gezeigt.

Abbildung 1.9: Von 3 aus um 3 nach links

Quelle: © John Wiley & Sons, Inc

In Kapitel 2 beschreibe ich die Bedeutung von 0 als Platzhalter in Zahlen und erkläre, wie einer Zahl führende Nullen hinzugefügt werden können, ohne ihren Wert zu verändern.

Die unendliche Geschichte

Der Pfeil an dem Ende des Zahlenstrahls zeigt an einen Ort, der auch als unendlich bezeichnet wird, wobei es sich aber letztlich nicht um einen Ort handelt, sondern eher um das Konzept der Ewigkeit, weil die Zahlen eben unendlich weiterlaufen. Aber was ist mit einer Million, Milliarde, Trillion, Quadrillion – gehen die Zahlen noch höher? Die Antwort lautet Ja, weil man zu jeder beliebigen Zahl, die man angeben kann, immer noch 1 hinzuaddieren kann.

»Unendlich« wird durch das Symbol der liegenden Acht, ∞, dargestellt. Denken Sie jedoch daran, dass ∞ keine echte Zahl ist, sondern für die Vorstellung steht, dass Zahlen unendlich groß (oder klein) werden können.

Weil ∞ keine Zahl ist, können Sie technisch gesehen nicht 1 hinzuaddieren, genauso wenig, wie Sie 1 zur Kaffeekanne Ihrer Tante Resi addieren können. Aber selbst wenn es möglich wäre, wäre ∞ + 1 immer noch ∞.

Und nun in die andere Richtung: Negative Zahlen

Wenn Sie die Subtraktion lernen, hören Sie häufig, dass man nicht mehr subtrahieren kann, als man hat. Wenn Sie beispielsweise vier Buntstifte haben, können Sie einen, zwei, drei oder sogar alle vier wegnehmen, aber Sie können nicht noch mehr Buntstifte wegnehmen.

Aber sehr bald werden Sie verstehen, was jeder Kreditkarteninhaber nur zu gut kennt: Man kann sehr wohl mehr wegnehmen, als man hat – das Ergebnis ist eine negative Zahl. Wenn Sie beispielsweise 4 Euro haben und Ihrem Freund 7 Euro schulden, dann sind Sie mit 3 Euro in den Miesen. Das bedeutet 4 – 7 = –3. Das Minuszeichen vor der 3 heißt, dass die Anzahl der Euro, die Ihnen zur Verfügung stehen, weniger als 0 ist. Abbildung 1.10 zeigt, wie negative ganze Zahlen auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden.

Abbildung 1.10: Negative ganze Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Quelle: © John Wiley & Sons, Inc

Das Addieren und Subtrahieren auf dem Zahlenstrahl verhält sich für negative Zahlen genau wie für positive Zahlen. Abbildung 1.11 zeigt, wie beispielsweise 4 – 7 auf dem Zahlenstrahl subtrahiert wird.

Abbildung 1.11: 4 – 7 auf dem Zahlenstrahl subtrahieren

Quelle: © John Wiley & Sons, Inc

Weitere Informationen über den Umgang mit negativen Zahlen finden Sie in Kapitel 4.

Wenn Sie die 0 und die negativen Zahlen auf dem Zahlenstrahl mit unterbringen, wird die Menge der natürlichen Zahlen auf die Menge der ganzen Zahlen erweitert. Ich beschreibe die ganzen Zahlen weiter hinten in diesem Kapitel noch genauer.

Die Möglichkeiten vervielfachen sich – Multiplikation

Angenommen, Sie beginnen bei 0 und kreisen jede zweite andere Zahl auf dem Zahlenstrahl ein, wie in Abbildung 1.12 gezeigt. Wie Sie sehen, sind jetzt alle geraden Zahlen umkreist. Mit anderen Worten, Sie haben alle Vielfachen von 2 umkreist. (Weitere Informationen über Vielfache finden Sie in Kapitel 8.) Nun können Sie den Zahlenstrahl nutzen, um eine beliebige Zahl mit 2 zu multiplizieren. Nehmen wir beispielsweise an, dass Sie 5 ⋅ 2 berechnen wollen. Sie beginnen bei 0 und springen um fünf eingekreiste Stellen nach rechts.

Abbildung 1.12: 5 ⋅ 2 mithilfe des Zahlenstrahls berechnen

Quelle: © John Wiley & Sons, Inc

Dieser Zahlenstrahl zeigt Ihnen, dass 5 ⋅ 2 = 10 ist.

Auf vergleichbare Weise können Sie für die Multiplikation von –3 ⋅ 2 bei 0 beginnen und drei eingekreiste Stellen nach links springen (das heißt in die negative Richtung). Abbildung 1.13 zeigt, dass –3 ⋅ 2 = –6 ist. Darüber hinaus können Sie daran erkennen, warum die Multiplikation einer negativen Zahl mit einer positiven Zahl immer ein negatives Ergebnis erzeugt. (Weitere Informationen über die Multiplikation negativer Zahlen finden Sie in Kapitel 4.)

Abbildung 1.13: –3 ⋅ 2 = –6 auf dem Zahlenstrahl

Quelle: © John Wiley & Sons, Inc

Die Multiplikation auf dem Zahlenstrahl funktioniert immer, egal, mit welcher Zahl Sie multiplizieren. In Abbildung 1.14 springen Sie beispielsweise um jeweils fünf weiter.

Abbildung 1.14: Ein Zahlenstrahl mit Fünfersprüngen