Logik für Dummies E-Book

Mark Zegarelli

• Herausgeber: Wiley-VCH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2016

Seitenzahl: 488

Beschreibung

Logik ist die Basis der Wissenschaft, aber auch eine Brücke zwischen Wissenschaft und Alltag, denn die Grundlagen sind einfach logisch. Doch so einfach sie auf den ersten Blick scheint, so anspruchsvoll ist sie im Detail. "Logik kompakt für Dummies" führt Sie systematisch und so einfach wie möglich in dieses Teilgebiet von Mathematik und Philosophie ein. Dabei arbeitet Mark Zegarelli mit anschaulichen Beispielen und schafft es so, dieses abstrakte Thema nicht nur verständlich zu erklären, sondern auch Wert und Nutzen der Logik aufzuzeigen.

Leseprobe

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d‐nb.de abrufbar.

Sonderausgabe 2016

© 2016 WILEY‐VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

Original English language edition © 2007 by Wiley Publishing, Inc. All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation published by arrangement with John Wiley and Sons, Inc.

Copyright der englischsprachigen Originalausgabe © 2007 by Wiley Publishing, Inc.Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Diese Übersetzung wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.

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Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Coverfoto: © McCarony ‐ Fotolia.com

Korrektur: Petra Heubach‐Erdmann

Satz: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad Langensalza

Print ISBN: 978‐3‐527‐71103‐1

ePub ISBN: 978‐3‐527‐68726‐8

mobi ISBN: 978‐3‐527‐68727‐5

Über den Autor

Mark Zegarelli studierte an der Rutgers University Englisch und Mathematik und ist von Beruf Schriftsteller. Viele Jahre verdiente er sich seinen Lebensunterhalt damit, eine unüberschaubare Menge an Logikrätseln, viele Software‐Handbücher und gelegentlich Buch‐ oder Filmrezensionen zu verfassen. Außerdem bezahlte er einige seiner Rechnungen, indem er nebenbei Häuser putze und sich als Maler und (zehn Stunden lang) als Verkäufer versuchte. Am liebsten schreibt er allerdings Bücher.

Mark Zegarelli lebt größtenteils in Long Branch, New Jersey, und zeitweilig in San Francisco, Kalifornien.

Widmung

Für Mark Dembrowski, der mich stets unterstützte, ermutigte und mir mit weisen Ratschlägen zur Seite stand.

Inhaltsverzeichnis

Cover

Schummelseite

Titel

Impressum

Über den Autor

Einführung

Teil I: Ein kurzer Überblick über die Logik

Kapitel 1: Logik – was ist das eigentlich?

Wie man die Dinge logisch sieht

Wie man Argumente konstruiert

Logische Schlüsse: leicht gemacht durch Denkgesetze

Wie man Logik und Mathematik miteinander kombiniert

Kapitel 2: Die Geschichte der Logik von Aristoteles bis zum Computer

Die klassische Logik – von Aristoteles bis zur Aufklärung

Die moderne Logik – das 17., 18. und 19. Jahrhundert

Die Logik im 20. und 21. Jahrhundert

Kapitel 3: Die Hauptsache: das Argument

Was ist Logik?

Weitere Beispiele für Argumente

Was Logik nicht ist

Wozu dient eigentlich die Logik?

Teil II: Formale Aussagenlogik

Kapitel 4: Formales

Wichtig: die Formalitäten bei der Aussagenlogik

Warum Aussagenlogik wie einfache Arithmetik ist

Lost in Translation

Kapitel 5: Der Wert der Bewertung

Der Wert ist das Entscheidende

Wie man eine Aussage macht

Die acht verschiedenen Aussagen in der Aussagenlogik

Kommen wir auf die Bewertung zurück

Kapitel 6: Wie man mit Wahrheitstafeln Aussagen bewertet

Kommen Sie mal nach vorne an die Tafel! Von der Freude an der rohen Gewalt

Die erste Wahrheitstafel für Abc‐Schützen

Wie man Wahrheitstafeln einsetzt

Wie man die Teile zusammensetzt

Kapitel 7: Die einfache Lösung: Wie man Schnelltafeln erstellt

Wie man der Wahrheitstafel wegen einer neuen Freundin den Laufpass gibt: die Schnelltafel

Eine kurze Zusammenfassung des Schnelltafelverfahrens

Wie man seine Strategie plant

Wie man mit Schnelltafeln eleganter arbeitet

Kapitel 8: Die Wahrheit wächst auf Bäumen

Wie Wahrheitsbäume funktionieren

Wie man Konsistenz oder Inkonsistenz aufzeigt

Wie man auf Gültigkeit oder Ungültigkeit testet

Wie man Tautologien, Kontradiktionen und logisch nicht determinierte Aussagen voneinander trennt

Wie man auf semantische Äquivalenz testet

Teil III: Beweise, Syntax und Semantik in der Aussagenlogik

Kapitel 9: Was müssen Sie beweisen?

Wie man von der Prämisse zur Konklusion gelangt

Wie man in der Aussagenlogik die Implikationsregeln anwendet

Kapitel 10: Chancengleichheit: Wie man den Äquivalenzregeln Arbeit verschafft

Wie man Implikationen und Äquivalenzen voneinander unterscheidet

Woran man die zehn gültigen Äquivalenzen erkennt

Kapitel 11: Konditionalbeweise und indirekte Beweise

Wie man die Prämissen mit dem Konditionalbeweis aufarbeitet

Indirekt denken: Wie man Argumente mit indirekten Beweisen beweist

Wie man Konditionalbeweise und indirekte Beweise miteinander kombiniert

Kapitel 12: Wie man alles zusammenpackt: strategisch vorgehen, um jeden Beweis blitzschnell zu knacken

Leichte Beweise: den richtigen Ansatz wählen

Moderate Beweise: Wann wendet man den Konditionalbeweis an?

Schwierige Beweise: Was macht man, wenn es immer komplizierter wird?

Kapitel 13: Einer für alle und alle für einen

Wie man sich mit den fünf Operatoren der Aussagenlogik behelfen kann

Stellenabbau – eine wahre Geschichte

Kapitel 14: Syntaktische Manöver und semantische Betrachtungen

Wohlgeformte Formeln (WFF) und nichtwohlgeformte

Der Vergleich zwischen Aussagenlogik und boolescher Algebra

Teil IV: Prädikatenlogik

Kapitel 15: Wie man Quantität mit Qualität ausdrückt: Die Prädikatenlogik stellt sich vor

Werfen wir einen kurzen Blick auf die Prädikatenlogik

Wie sich Quantität mit zwei neuen Operatoren ausdrücken lässt

Wie man Aussagen und Aussageformen auseinanderhält

Kapitel 16: Übersetzungen in die Prädikatenlogik

Wie man die vier Grundformen kategorischer Aussagen übersetzt

Alternative Übersetzungen der Grundformen

Wie man maskierte Aussagen identifiziert

»Alle«‐Aussagen erkennen

»Einige«‐Aussagen erkennen

»Nicht alle«‐Aussagen erkennen

»Kein«‐Aussagen erkennen

Kapitel 17: Mit der Prädikatenlogik die Gültigkeit von Argumenten beweisen

Wie man Regeln aus der Aussagenlogik in der Prädikatenlogik einsetzt

Wie man Aussagen mithilfe der Quantorennegation (QN) transformiert

Die vier Quantorenregeln

Kapitel 18: Gute Beziehungen und positive Identitäten

Was sind Relationen?

Wie man Identitäten identifiziert

Kapitel 19: Wir pflanzen viele Bäumchen

Wie Sie Ihr Wissen über Wahrheitsbäume in der Prädikatenlogik anwenden können

Nicht‐endende Bäume

Teil V: Moderne Entwicklungen in der Logik

Kapitel 20: Computerlogik

Frühe Computer

Das moderne Computerzeitalter

Kapitel 21: Die nichtklassische Logik

Die Tür zum Möglichen wird aufgestoßen

Klären wir die Modalitäten!

Die Logik einer höheren Ordnung

Über die Konsistenz hinaus

Wir setzen zum Quantensprung an

Ein Quäntchen Quantenlogik

Kapitel 22: Paradoxe und axiomatische Systeme

Die Fundierung der Logik durch die Mengenlehre

Der Ärger mit dem Paradox: wie man dieses Problem mit der Mengenlehre angeht

Die Aussagenlogik als axiomatisches System

Wie man Korrektheit und Vollständigkeit beweist

Gödels Unvollständigkeitssatz

Was hat das alles zu bedeuten?

Teil VI: Der Top‐Ten‐Teil

Kapitel 23: Zehn Zitate zur Logik

Kapitel 24: Zehn große Persönlichkeiten der Logik

Aristoteles (384–322 v. Chr.)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716)

George Boole (1815–1864)

Lewis Carroll (1832–1898)

Georg Cantor (1845–1918)

Gottlob Frege (1848–1925)

Bertrand Russell (1872–1970)

David Hilbert (1862–1943)

Kurt Gödel (1906–1978)

Alan Turing (1912–1954)

Stichwortverzeichnis

Eula

Teil I

Ein kurzer Überblick über die Logik

In diesem Teil …

Lassen Sie mich raten: Sie besuchen gerade Ihr erstes Logikseminar und wollen so schnell wie möglich in alle Details der Logik eingeweiht werden, denn Ihre erste Prüfung steht bereits in 48 Stunden an? Oder vielleicht haben Sie es gar nicht so eilig und möchten nur einen gewissen Einblick in Ihre eigenen Gedankengänge bekommen? In jedem Fall sind Sie hier genau an der richtigen Stelle.

In diesem Teil erfahren Sie zunächst einmal, worum es bei der Logik überhaupt geht. Kapitel 1 zeigt Ihnen in einer Übersicht, wie Sie schon immer Logik verwendeten (bewusst oder auch unbewusst), wenn Sie nämlich Fakten drehen und wenden, um die Welt besser zu verstehen. Kapitel 2 stellt die Geschichte der Logik und die vielen Arten der Logik vor, die im Laufe der Jahrhunderte erfunden wurden. Wenn Sie schon ganz wild darauf sind, endlich tiefer einzusteigen, dann schlagen Sie einfach Kapitel 3 auf, um etwas über die Grundstruktur eines logischen Arguments zu erfahren. Kapitel 3 beschäftigt sich zudem mit Schlüsselbegriffen wie Prämissen und Konklusionen sowie damit, wie man ein Argument auf Gültigkeit und Stichhaltigkeit überprüfen kann.

Kapitel 1

Logik – was ist das eigentlich?

In diesem Kapitel

Betrachten Sie unsere Welt von einem logischen Standpunkt aus

Nutzen Sie die Logik, um gültige Argumente aufzubauen

Wenden Sie die Gesetze des Denkens an

Begreifen Sie den Zusammenhang zwischen Mathematik und Logik

Wir alle leben in einer unlogischen Welt. Wenn Sie daran zweifeln, dann schauen Sie sich doch einfach einmal die Abendnachrichten an. Oder hören Sie einmal dem Typen neben Ihnen an der Bar zu. Oder – noch besser – verbringen Sie das nächste Wochenende mit Ihren Schwiegereltern!

Wenn es so viele Menschen gibt, die unlogisch denken und handeln, warum sollten ausgerechnet Sie eine Ausnahme sein? Wäre es nicht vernünftiger, ebenso unlogisch wie die übrige Menschheit zu sein?

Nun gut, sich absichtlich unlogisch zu verhalten, ist wahrscheinlich nicht gerade die beste Idee. Denn wie kann es vernünftig sein, unlogisch zu sein? Und dass Sie dieses Buch in die Hand nehmen und lesen wollen, zeigt doch, dass Sie selbst wahrscheinlich nicht zu den Unlogischen in diesem Land zählen. Doch schauen wir den Tatsachen ins Auge – manche Leute entfalten sich eben erst im Chaos (oder behaupten es zumindest), andere dagegen nicht.

In diesem Kapitel werde ich Sie in die Grundlagen der Logik einführen und Ihnen zeigen, welche Bedeutung sie für Ihr Leben hat. Ich werde Ihnen etwas über die Vorstellungen erzählen, die der Schlüssel zur Logik sind. Und ich werde kurz die Verbindungen zwischen Logik und Mathematik streifen.

Wie man die Dinge logisch sieht

Bewusst oder unbewusst verstehen Sie schon eine ganze Menge von Logik. Tatsächlich besitzen Sie bereits einen eingebauten Logikdetektor. Sie glauben mir nicht? Dann machen Sie doch einfach einmal den folgenden Schnelltest, um zu sehen, ob Sie logisch sind:

F: Wie viele Pfannkuchen benötigt man, um das Dach einer Hundehütte zu bedecken?

A: 23, denn Bananen haben keine Knochen.

Wenn Ihnen die Antwort unlogisch vorkommt, dann ist das ein gutes Zeichen dafür, dass Sie auf dem besten Wege sind, logisch nachzudenken. Warum? Ganz einfach deshalb, weil Sie das Unlogische an dieser Antwort erkannt haben: Sie müssen schon ein rechtes Gespür dafür haben, was tatsächlich logisch ist.

In diesem Abschnitt beginne ich mit dem, was Sie über Logik bereits wissen (auch wenn Sie sich dessen noch nicht bewusst sind), und baue langsam eine Basis auf, die Ihnen bei Ihrem Logikstudium behilflich sein wird.

Wie man von der Frage zur Antwort kommt

Die meisten Kinder sind von Geburt an neugierig. Immer wollen sie wissen, warum etwas so ist, wie es ist. Und nach jedem Weil, das sie auf ihre Frage bekommen, halten sie ein neues Warum parat. Schauen Sie sich beispielsweise die folgenden alltäglichen Kinderfragen an:

Warum geht die Sonne morgens auf?

Warum muss ich zur Schule gehen?

Warum startet der Automotor, wenn du den Schlüssel drehst?

Warum brechen Menschen die Gesetze, wenn sie genau wissen, dass sie dafür ins Gefängnis kommen?

Wenn Sie einmal darüber nachdenken, dann haben wir es hier doch mit einem großen Geheimnis zu tun: Weshalb sieht es so aus, als hätte die Welt einen Sinn, auch dann, wenn sie keinen hat?

Kinder spüren schon in ganz jungen Jahren, dass es, selbst wenn sie etwas nicht verstehen, dennoch irgendwie eine Antwort darauf geben muss. Und sie denken: »Wenn ich mit meiner Frage hier bin und die Antwort ist irgendwo anders: Was muss ich tun, um dorthin zu gelangen?« (Häufig besteht ihre Antwort dann darin, ihre Eltern mit weiteren Fragen zu nerven.)

Von hier nach dort zu gelangen – vom Nichtwissen zum Verstehen – ist einer der Hauptgründe dafür, warum es überhaupt so etwas wie Logik gibt. Die Logik erwuchs aus einem angeborenen menschlichen Bedürfnis, der Welt einen Sinn zu verleihen und so viel Kontrolle wie nur möglich über sie zu gewinnen.

Was Ursache und Wirkung miteinander zu tun haben

Eine Möglichkeit, die Welt zu begreifen, ist, die Verbindung zwischen Ursache und Wirkung zu erkennen.

Wenn man vom Kind zum Erwachsenen wird, beginnt man darüber nachzudenken und sich zusammenzupuzzeln, wie ein Ereignis das jeweils nächste verursacht. Normalerweise können diese Beziehungen zwischen Ursache und Wirkung in einer Wenn‐Aussage, einem sogenannten Konditional zum Ausdruck gebracht werden. Schauen Sie sich einmal die folgenden Konditionalaussagen an:

Wenn ich meinen Lieblingsball unter das Sofa rollen lasse, dann kann ich ihn nicht mehr erreichen.

Wenn ich alle meine Hausarbeiten erledige, bevor Papa nach Hause kommt, dann wird er noch vor dem Abendessen Fangen mit mir spielen.

Wenn ich in diesem Sommer ausreichend trainiere, dann wird mich der Trainer im Herbst in die Fußballmannschaft aufnehmen.

Wenn ich sie immer ganz lieb darum bitte, mit mir auszugehen, dann wird sie schließlich doch irgendwann Ja sagen.

Ein Verständnis für die Funktion von Wenn‐Aussagen zu entwickeln ist ein wichtiger Aspekt der Logik.

Wie man Wenn‐Aussagen zerlegt

Jedes Konditional besteht aus zwei kleineren Aussagen, die man als Teilaussagen bezeichnet: Das Antezedens, das auf das Wort wenn folgt, und das Konsequens, das sich dem Wort dann anschließt. Betrachten wir die folgende Wenn‐Aussage:

Wenn es 17 Uhr ist, dann ist es Zeit, nach Hause zu gehen.

Bei dieser Aussage ist das Antezedens die Teilaussage:

Es ist 17 Uhr.

Das Konsequens ist die Teilaussage:

Es ist Zeit, nach Hause zu gehen.

Beachten Sie, dass beide Teilaussagen als vollständige Aussagen ganz für sich alleine stehen.

Wie man Wenn‐Aussagen aneinanderreiht

In vielen Fällen wird das Konsequens einer Wenn‐Aussage zum Antezedens eines weiteren Konditionals. Wenn dies geschieht, dann haben wir es mit einer Reihe von Folgen beziehungsweise Konsequenzen zu tun, die von den Griechen als sorites bezeichnet wurde (bitte lassen Sie sich nicht verwirren, das Wort »die Konsequenz« geht auf das lateinische Substantiv consequentia zurück und wird auf der letzten Silbe betont; das Wort »das Konsequens« geht hingegen auf auf das Partizip Präsens des lateinischen Verbs consequi zurück und wird auf der zweiten Silbe betont; entsprechend ist auch »das Antezedens« – Betonung auf der 3. Silbe – aus dem Partizip Präsens des lateinischen Verbs antecedere hergeleitet). Zum Beispiel:

Im vorliegenden Fall können Sie diese Konditionalaussagen miteinander verbinden, um daraus eine neue Wenn‐Aussage zu formulieren:

Wenn es 17 Uhr ist, dann muss ich meinen Mann anrufen, damit er einen Tisch im Restaurant bestellen kann.

Langsam wird es interessant

Mit zunehmender Lebenserfahrung meinen Sie vielleicht, dass der Bezug zwischen Ursache und Wirkung immer anspruchsvoller wird:

Wenn ich meinen Lieblingsball unter das Sofa rollen lasse, dann kann ich ihn nicht mehr erreichen, es sei denn, ich schreie so laut, dass Oma ihn für mich holt, doch wenn ich das öfter als einmal tue, dann wird sie böse und holt den Ball nicht mehr für mich.

Wenn ich in diesem Sommer alleine trainiere, aber dennoch nicht so hart, dass ich mir dabei die Knie verletze, dann wird mich der Trainer im Herbst nur dann in die Fußballmannschaft aufnehmen, wenn noch eine Position unbesetzt ist, doch wenn ich überhaupt nicht trainiere, dann wird mich der Trainer in keinem Fall aufnehmen.

Alles und noch mehr

Sobald man immer mehr von der Welt begreift, fängt man auch damit an, allgemeine Aussagen über sie zu treffen. Beispielsweise:

Alle Pferde sind lieb.

Alle Jungen sind blöd.

Jeder Lehrer auf dieser Schule ist hinter mir her.

Jedes Mal, wenn das Telefon klingelt, ist es für meine Schwester.

Durch Wörter wie alle und jeder können wir Dinge in Gruppen (Gruppen von Gegenständen) und Untergruppen kategorisieren. Wenn man zum Beispiel sagt: »Alle Pferde sind lieb«, so meint man damit, dass die Gruppe aller Pferde enthalten ist in der Gruppe aller lieben Dinge.

Sein oder Nichtsein

Außerdem entdeckt man die Welt, indem man herausfindet, was existiert und was nicht existiert. Beispielsweise:

Einige meiner Lehrer sind attraktiv.

Es gibt in der Schule mindestens ein Mädchen, das mich mag.

Niemand im Schachclub kann mich schlagen.

Es gibt keine Marsmännchen.

Wörter und Ausdrücke wie einige,es gibt und es existiert zeigen eine Überschneidung von Gruppen an, was in Form einer Schnittmenge dargestellt werden kann. Wenn man etwa sagt: »Einige meiner Lehrer sind attraktiv«, dann meint man damit, dass dies eine Schnittmenge zwischen der Gruppe seiner Lehrer und der Gruppe der attraktiven Dinge ist.

Ebenso zeigen Wörter und Ausdrücke wie keine,es gibt nicht und niemand, dass es sich nicht um Überschneidungen von Gruppen handelt. Wenn Sie beispielsweise sagen: »Niemand im Schachclub kann mich schlagen«, dann meinen Sie damit, dass es keine Schnittmenge zwischen der Gruppe aller Schachclubmitglieder und der Gruppe aller Schachspieler gibt, die Sie schlagen können.

Wichtige Wörter in der Logik

Wie man sieht, zeigen bestimmte Wörter eine ganze Menge an, wenn man damit anfängt, logische Verbindungen zu knüpfen. Einige dieser allgemein gebräuchlichen Wörter sind:

wenn … dann

und

aber

oder

nicht

es sei denn

obwohl

jeder

alle

jeder Einzelne

es gibt

einige

es existiert

es gibt nicht

manche

niemand

Eine wichtige Aufgabe der Logik ist es nun, diese Wörter einmal etwas näher zu betrachten, denn dabei erkennt man, wie wir durch diese Wörter die Welt auf unterschiedliche Weise einteilen (und sie damit besser verstehen) können.

Wie man Argumente konstruiert

Wenn die Leute sagen: »Gehen wir das Ganze doch einmal logisch an«, sobald sie eine bestimmte Situation oder ein Problem analysieren und erörtern wollen, dann meinen sie normalerweise damit: »Gehen wir das Ganze doch Schritt für Schritt durch.«

Finden wir heraus, was die Tatsachen sind.

Denken wir einige Zeit darüber nach.

Überlegen wir uns die optimale Vorgehensweise.

Logisch ausgedrückt bedeutet dieser dreistufige Prozess die Konstruktion eines Arguments. Ein Argument enthält eine Gruppe von Prämissen zu Beginn und eine Konklusion am Schluss. In vielen Fällen werden die Prämissen und die Konklusion durch eine Reihe von Zwischenschritten miteinander verknüpft sein. In den folgenden Abschnitten werde ich diese in der Reihenfolge behandeln, in der sie Ihnen wahrscheinlich begegnen werden.

Wie man Prämissen aufstellt

Prämissen sind die Fakten des betreffenden Sachverhalts: jene Aussagen, von denen man weiß (oder zumindest fest daran glaubt), dass sie wahr sind. In vielen Situationen ist es ein wichtiger erster Schritt bei der Lösung eines Problems, wenn man zunächst eine Reihe von Prämissen aufschreibt.

Nehmen wir einmal an, Sie gehören der Schulbehörde an und müssen nun entscheiden, ob dem Bau einer neuen Schule, die im September eröffnen soll, zugestimmt werden kann. Alle Beteiligten sind sehr aufgeregt wegen des Bauprojekts, doch Sie selbst tätigen einige Telefonanrufe und sammeln die Fakten – die Prämissen – zusammen.

Prämissen:

Die nötigen finanziellen Mittel werden erst ab März bereitstehen.

Die Baugesellschaft wird erst dann mit der Arbeit beginnen, wenn sie das Geld bekommt.

Das gesamte Vorhaben wird mindestens acht Monate in Anspruch nehmen.

Bis jetzt haben wir nur eine Reihe von Prämissen. Doch wenn wir sie zusammensetzen, dann nähern wir uns dem Endergebnis – unserem Argument. Im nächsten Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie die Prämissen miteinander kombinieren können.

Wie man mit Zwischenschritten zur Antwort gelangt

Manchmal ist ein Argument nur eine Reihe von Prämissen, denen eine Konklusion folgt. In vielen Fällen jedoch enthält ein Argument auch noch Zwischenschritte, die anzeigen, wie die Prämissen stufenweise zu dieser Konklusion führen.

Auf das Schulbaubeispiel aus dem vorgehenden Abschnitt angewandt, könnte man den Sachverhalt folgendermaßen näher erklären:

Unseren Prämissen folgend, werden wir das Bauvorhaben nicht vor März bezahlen können, sodass die Arbeiten erst acht Monate später, das heißt im November, beendet sein werden. Doch der Schulbeginn liegt bereits im September. Deshalb …

Das Wort deshalb weist auf einen Schluss, auf eine Konklusion, hin und ist somit der Anfang des letzten Schrittes, den ich im nächsten Abschnitt behandeln werde.

Wie man eine Konklusion formuliert

Die Konklusion ist das Ergebnis unseres Arguments. Wenn wir die Zwischenschritte in einem klaren, fortschreitenden Prozess aufgeschrieben haben, dann sollte die Konklusion recht deutlich vor uns liegen. Für das besagte Schulbaubeispiel sieht das dann so aus:

Konklusion:

Das Gebäude wird zu Schulbeginn noch nicht fertig sein.

Wenn die Konklusion nicht einleuchtend ist oder keinen Sinn ergibt, dann kann etwas mit Ihrem Argument nicht stimmen. In manchen Fällen kann es sein, dass das Argument nicht gültig ist. In anderen Fällen haben Sie vielleicht Prämissen ausgelassen, die Sie noch unbedingt hinzufügen müssen.

Wie man entscheidet, ob das Argument gültig ist

Nachdem wir ein Argument erstellt haben, müssen wir entscheiden können, ob es gültig ist, das heißt, ob es ein gutes Argument ist.

Um ein Argument auf seine Gültigkeit hin zu überprüfen, geht man davon aus, dass alle seiner Prämissen wahr sind. Dann schaut man, ob die Konklusion automatisch aus ihnen folgt. Wenn dies der Fall ist, dann weiß man, dass es ein gültiges Argument ist. Wenn nicht, so ist das Argument ungültig.

Was sind Enthymeme?

Das Argument für unser Schulbaubeispiel mag gültig erscheinen, aber vielleicht haben Sie ja doch noch einige Zweifel. Wenn sich etwa eine weitere Geldquelle auftut, dann kann die Baugesellschaft früher mit ihren Arbeiten beginnen und bis September eventuell fertig werden. Daher gibt es doch noch eine verborgene Prämisse, die als Enthymem bezeichnet wird:

Für dieses Bauvorhaben gibt es keine anderen Finanzquellen.

Argumente zu real existierenden Situationen haben (im Gegensatz zu mathematischen oder naturwissenschaftlichen Argumenten) fast immer Enthymeme. Je mehr Sie sich daher der versteckten Enthymeme eines Arguments bewusst werden, desto bessere Chancen haben Sie, sicherzustellen, dass Ihr Argument gültig ist.

Unentdeckte, verborgene Prämissen bei Realargumenten haben eher etwas mit der Rhetorik zu tun, wobei es dort darum geht, triftige und überzeugende Argumente zu formulieren. In Kapitel 3 werde ich kurz auf Rhetorik sowie weitere Details der Struktur von Argumenten eingehen.

Logische Schlüsse: leicht gemacht durch Denkgesetze

Um die Logik von Grund auf zu verstehen, entwarf der Philosoph Bertrand Russell drei Denkgesetze. Diese Gesetze basieren alle auf Vorstellungen, die bis auf Aristoteles zurückgehen, der vor mehr als 2300 Jahren die klassische Logik begründete. (Siehe Kapitel 2 für weitere Informationen zur Geschichte der Logik.)

Alle drei Gesetze sind wirklich fundamental und leicht zu verstehen. Doch das Wichtigste daran ist, dass es mithilfe aller dieser drei Sätze möglich wird, auch dann logische Schlüsse über Aussagen zu ziehen, wenn man nicht mit den Realbedingungen vertraut ist, mit denen sie sich befassen.

Der Satz der Identität

Der Satz der Identität oder auch das Identitätsprinzip besagt, dass jedes Einzelding identisch mit sich selbst ist.

Zum Beispiel:

Johnny Cash ist Johnny Cash.

Meine Katze Miezi ist meine Katze Miezi.

Das Brandenburger Tor ist das Brandenburger Tor.

Auch ohne irgendeine Information über die Welt zu haben, kann man alleine aus der Logik heraus erkennen, dass alle diese Aussagen wahr sind. Der Satz der Identität sagt uns, dass jede Aussage der Form »X ist X« wahr sein muss. Anders ausgedrückt: Jeder Gegenstand, den es im Universum gibt, stimmt mit sich selbst überein. In Kapitel 19 erfahren Sie, wie dieses Gesetz explizit auf die Logik angewandt wird.

Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten

Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten besagt, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist.

Betrachten wir einmal die beiden folgenden Aussagen:

Mein Name ist Mark.

Mein Name ist Algernon.

Auch hierbei erkennt man logisch, ohne irgendetwas über die Welt zu wissen, dass jede einzelne dieser Aussagen entweder wahr oder falsch ist. Beim Satz vom ausgeschlossenen Dritten gibt es keine dritte Möglichkeit – oder, anders ausgedrückt: Aussagen können nicht nur teilweise wahr oder falsch sein. Sondern jede Aussage in der Logik ist entweder vollkommen wahr oder vollkommen falsch.

Es trifft sich gut, dass die erste Aussage wahr ist, und ich bin erleichtert, dass die zweite falsch ist.

Das Gesetz der Nichtwidersprüchlichkeit

Das Gesetz der Nichtwidersprüchlichkeit besagt, dass bei einer gegebenen Aussage und ihrem Gegenteil, die eine wahr und die andere falsch ist.

Zum Beispiel:

Mein Name ist Algernon.

Mein Name ist nicht Algernon.

Auch wenn Sie meinen Namen gar nicht kennen, so können Sie sich doch alleine von der Logik her sicher sein, dass eine dieser Aussagen wahr und die andere falsch sein muss. Oder anders ausgedrückt: Aufgrund des Gesetzes von der Nichtwidersprüchlichkeit kann mein Name nicht sowohl Algernon als auch nicht Algernon sein.

Wie man Logik und Mathematik miteinander kombiniert

An vielen Stellen in diesem Buch beweise ich die Gültigkeit meiner Argumente mit Beispielen aus der Mathematik. (Keine Angst – Schwierigeres als das, was Sie in der 5. Klasse gelernt haben oder sogar noch früher, kommt hier nicht vor.) Mathematik und Logik passen toll zusammen, was ich Ihnen in den nächsten Abschnitten erklären werde.

Die Mathematik hilft, die Logik zu verstehen

Wenn ich in diesem Buch versuche, Ihnen die Logik näherzubringen, brauche ich manchmal Beispiele, die eindeutig wahr oder falsch sind, um meine Argumente zu beweisen. Und dabei stellt es sich nun einmal heraus, dass sich mathematische Beispiele für diesen Zweck ganz hervorragend eignen, weil eine Aussage in der Mathematik stets entweder wahr oder falsch ist, es gibt keine Grauzone dazwischen.

Andererseits können beliebige Gegebenheiten des Alltagslebens eher subjektiv oder sogar ein Streitobjekt sein. Betrachten wir doch einmal die folgenden Aussagen:

Elvis war ein großartiger Musiker.

Robinson Crusoe ist ein miserables Buch.

Die meisten Menschen würden in diesem Fall wahrscheinlich zustimmen, dass die erste Aussage wahr ist und die zweite falsch, dennoch kann man über beide durchaus diskutieren. Doch sehen Sie sich jetzt folgende Aussagen an:

Die Zahl 7 ist kleiner als die Zahl 8.

Fünf ist eine gerade Zahl.

Hierbei gibt es natürlich keinerlei Diskussion darüber, dass die erste Aussage wahr und die zweite falsch ist.

Die Logik hilft, die Mathematik zu verstehen

Wie wir eben sahen, beruhen die Denkgesetze, auf denen die Logik basiert – wie der Satz vom ausgeschlossenen Dritten – auf einem Schwarz‐Weiß‐Denken. Und, natürlich, nichts ist wohl schwärzer und weißer als die Mathematik. Auch wenn es vielleicht Bereiche geben mag, die mehr Spaß machen – wie Geschichte, Literatur, Politik oder Kunst –, so ist man in diesen Bereichen häufiger mit Grauzonen konfrontiert als in der Mathematik.

Die Mathematik baut auf der Logik auf, so wie ein Haus auf einem Fundament errichtet ist. Wenn Sie sich für die Beziehung zwischen Mathematik und Logik interessieren, dann lesen Sie Kapitel 22, das sich darauf konzentriert, wie die Mathematik mit klaren Fakten beginnt, die man als Axiome bezeichnet, und sich dann der Logik bedient, um interessante und komplexe Konklusionen zu formulieren, die als Theoreme bezeichnet werden.

Kapitel 2

Die Geschichte der Logik von Aristoteles bis zum Computer

In diesem Kapitel

Lernen Sie die Wurzeln der Logik kennen

Entdecken Sie die klassische und die moderne Logik

Werfen Sie einen Blick auf die Logik im 20. Jahrhundert

Wenn man daran denkt, wie unlogisch Menschen manchmal sein können, so überrascht es doch, wie sehr sich die Logik über die Jahre hinweg weiterentwickelt hat. Im Folgenden finden Sie eine nicht vollständige Liste mit einigen Spielarten der Logik, wie sie momentan in der weiten Welt der Prämissen und der Konklusionen im Umlauf sind:

Aussagenlogik

Junktorenlogik

Prädikatenlogik

boolesche Logik

klassische Logik

Quantorenlogik

formale Logik

moderne Logik

Quantenlogik

Fuzzylogik

mehrwertige Logik

syllogistische Logik

informale Logik

nichtklassische Logik