Übungsbuch Grundlagen der Mathematik für Dummies E-Book

Mark Zegarelli

• Herausgeber: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2020

Seitenzahl: 289

Beschreibung

Müssen Sie sich mit Mathematik beschäftigen, aber haben die notwendigen Grundlagen aus den Klassen 4-7 entweder wieder vergessen oder nie richtig verstanden? Dann sollten Sie ihr Wissen unbedingt auffrischen bevor Sie sich an schwierigere Themenbereiche herantrauen. Hierbei hilft Ihnen das "Übungsbuch Grundlagen der Mathematik für Dummies". Mit Hunderten von Übungsaufgaben sowie ausführlichen Lösungen und Erklärungen beherrschen Sie die Grundlagen im Handumdrehen. Mark Zegarelli erklärt Ihnen noch einmal die grundlegenden Regeln zum Rechnen mit Brüchen, Wurzeln und Prozenten, wie Sie Flächeninhalte berechnen und lineare Gleichungen lösen. So ist dieses Buch die perfekte Ergänzung zu »Grundlagen der Mathematik für Dummies« und eine große Hilfe für den Einstieg in Algebra, Geometrie und Co.

Leseprobe

Übungsbuch Grundlagen der Mathematik für Dummies

Schummelseite

Für die grundlegende Mathematik sollten Sie die Operatorreihenfolge kennen. Außerdem müssen Sie einige einfache mathematische Konzepte kennen, mathematische Ungleichungen, den Stellenwert und den Absolutwert verstehen und wissen, wie man den negativen Wert bildet.

DIE REIHENFOLGE MATHEMATISCHER OPERATOREN

Die Regeln für die Auswertung arithmetischer Ausdrücke, unabhängig davon, wie kompliziert diese sind, werden als Operatorreihenfolge bezeichnet. Mathematische Operatoren werden in der folgenden Reihenfolge ausgewertet:

Inhalt von Klammern (und anderen Gruppierungssymbolen) von innen nach außenPotenzen von links nach rechtsMultiplikation und Division von links nach rechtsAddition und Subtraktion von links nach rechts

MATHEMATISCHE UNGLEICHUNGEN

Wenn zwei Zahlen einen unterschiedlichen Wert haben, können verschiedene Symbole ihre Ungleichheit ausdrücken. Die vier gebräuchlichsten Ungleichheitszeichen in der Arithmetik sind:

Größer als (>), das heißt, die erste Zahl oder der erste Ausdruck ist größer als die beziehungsweise der zweite:

Kleiner als (<), das heißt, die erste Zahl oder der erste Ausdruck ist kleiner als die beziehungsweise der zweite.

Ungleich (≠) bedeutet, dass die beiden Zahlen oder Ausdrücke nicht gleich sind:

Ungefähr gleich (≈) bedeutet, dass die beiden Zahlen oder Ausdrücke einen annähernd gleich großen Wert haben:

GRUNDLEGENDE KONVENTIONEN IN DER ALGEBRA

Ein Buchstabe, zum Beispiel x, der in einer algebraischen Gleichung die Stelle einer Zahl einnimmt, wird als Variable bezeichnet. Für die Übungsaufgaben müssen Sie wissen, wie algebraische Aufgaben dargestellt werden:

Um immer wieder dieselbe Variable zu addieren, zählen Sie, wie oft sie vorkommt, und schreiben diese Zahl (auch als Koeffizient bezeichnet) vor diese Variable: Um immer wieder dieselbe Variable zu multiplizieren, zählen Sie, wie oft sie vorkommt, und fügen dieser Variablen dann einen entsprechenden Exponenten hinzu:

Divisionsaufgaben werden als Brüche dargestellt:

LÖSEN EINER ALGEBRAISCHEN GLEICHUNG

Eine algebraische Gleichung ist eine Gleichung mit mindestens einer Variablen. Eine Gleichung kann umgeformt werden, indem auf beiden Seiten dieselben Operationen durchgeführt werden. Beispielsweise können Sie auf beiden Seiten 2 addieren, von beiden Seiten x subtrahieren oder beide Seiten mit 2 multiplizieren. Zur Lösung einer algebraischen Gleichung führen Sie Operationen durch, die x auf die eine Seite der Gleichung und eine Zahl auf die andere Seite der Gleichung bringen. Hier die Standardschritte für die Lösung einer Aufgabe wie beispielsweise :

Addieren oder Subtrahieren, um alle Konstanten auf eine Seite der Gleichung zu bringen. Wenn Sie auf beiden Seiten 6 addieren, hebt sich –6 auf der linken Seite auf: .Addieren oder Subtrahieren, um alle Variablen auf die andere Seite zu bringen.

Wenn Sie 7x von beiden Seiten subtrahieren, hebt sich 7x auf der rechten Seite auf: .

Übungsbuch Grundlagen der Mathematik für Dummies

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

2. Auflage 2020

© 2020 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

Original English language edition © 2017 by Wiley Publishing, Inc. All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation published by arrangement with John Wiley and Sons, Inc.

Copyright der englischsprachigen Originalausgabe © 2017 by Wiley Publishing, Inc. Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Diese Übersetzung wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Korrektur: Petra Heubach-Erdmann

Print ISBN: 978-3-527-71733-0ePub ISBN: 978-3-527-82710-7

Inhaltsverzeichnis

Cover

Einführung

Über dieses Buch

Konventionen in diesem Buch

Törichte Annahmen über den Leser

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Wie es weitergeht

Teil I: Vorne anfangen: Grundlegende Mathematik

Kapitel 1: Die Welt der Zahlen

Zahlen und Ziffern am richtigen Ort

Kompakt: Zahlen auf- und abrunden

Mit dem Zahlenstrahl die vier Grundrechenarten üben

Spaltenweise: Addieren und subtrahieren

Mehrere Ziffern multiplizieren

Die schriftliche Division

Lösungen zu »Die Welt der Zahlen«

Kapitel 2: Raffiniert gemacht: Die vier Grundrechenarten

Auf und ab mit inversen Operationen und der Kommutativeigenschaft

Gruppenzwang: Klammern und die Assoziativeigenschaft

Aus dem Gleichgewicht geraten: Ungleichheiten

Multiplikation einmal anders: Potenzen und Wurzeln

Lösungen zu »Raffiniert gemacht: Die vier Grundrechenarten«

Kapitel 3: Es geht abwärts: Negative Zahlen

Wo die negativen Zahlen herkommen

Vorzeichenwechsel: Negierung und Absolutwert

Addieren mit negativen Zahlen

Subtrahieren mit negativen Zahlen

Vorzeichen bei der Multiplikation und Division mit negativen Zahlen

Lösungen zu »Es geht abwärts: Negative Zahlen«

Kapitel 4: Nur ein Ausdruck

Ausdrücke mit Addition und Subtraktion auswerten

Ausdrücke mit Multiplikation und Division auswerten

Ausdrücke mit gemischten Operatoren entwirren

Verantwortungsvoller Umgang mit Potenzen

Klammern schaffen Prioritäten

Klammern und Potenzen auseinanderhalten

Verschachtelte Klammern bewältigen

Und jetzt das große Ganze: Die Operatorreihenfolge

Lösungen zu »Nur ein Ausdruck«

Kapitel 5: Geteilte Aufmerksamkeit: Teilbarkeit, Faktoren und Vielfache

Test auf den Rest: Teilbarkeitsprüfungen

Faktoren und Vielfache verstehen

Unteilbare Zahlen: Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen erkennen

Die Faktoren einer Zahl

Eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen

Den größten gemeinsamen Teiler (ggT) finden

Vielfache einer Zahl erzeugen

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) bestimmen

Lösungen zu »Geteilte Aufmerksamkeit: Teilbarkeit, Faktoren und Vielfache«

Teil II: Wir teilen: Brüche, Dezimalzahlen und Prozente

Kapitel 6: Brüche: Ein Stück vom Ganzen

Grundlagen für den Umgang mit Brüchen

Gemischtes Doppel: Umwandlung zwischen gemischten Zahlen und unechten Brüchen

Bruchterme erweitern und kürzen

Brüche mit der Kreuzmultiplikation vergleichen

Lösungen zu »Brüche: Ein Stück vom Ganzen«

Kapitel 7: Brüche und die vier Grundrechenarten

Brüche multiplizieren: Nichts leichter als das!

Auf den Kopf gestellt: Division bei Brüchen

Auf einen gemeinsamen Nenner kommen: Brüche addieren

Der andere gemeinsame Nenner: Brüche subtrahieren

Multiplizieren und Dividieren gemischter Zahlen

Es geht weiter: Gemischte Zahlen addieren!

Anleihen beim Ganzen: Gemischte Zahlen subtrahieren

Lösungen zu »Brüche und die vier Grundrechenarten«

Kapitel 8: Mit Dezimalzahlen auf den Punkt kommen

An Ort und Stelle: Grundlegende Fakten über Dezimalzahlen

Einfache Umrechnungen zwischen Dezimalzahlen und Brüchen

Hübsch in einer Reihe: Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Dezimalstellen zählen: Dezimalzahlen multiplizieren

Bewegte Dezimalkommas: Dezimalzahlen dividieren

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lösungen zu »Mit Dezimalzahlen auf den Punkt kommen«

Kapitel 9: Prozentual ausgedrückt

Prozentsätze in Dezimalzahlen umrechnen

Dezimalzahlen in Prozent umwandeln

Umrechnen von Prozentsätzen in Brüche

Brüche in Prozentsätze umwandeln

Es geht weiter mit dem Prozentkreis

Lösungen zu »Prozentual ausgedrückt«

Teil III: Es geht voran: Fortgeschrittene Themen

Kapitel 10: Potenzen und die wissenschaftliche Notation

Alle Zehne: Zehnerpotenzen verstehen

Exponentenarithmetik: Zehnerpotenzen multiplizieren und dividieren

Zahlen in wissenschaftlicher Notation darstellen

Multiplizieren und Dividieren mit der wissenschaftlichen Notation

Lösungen zu »Potenzen und die wissenschaftliche Notation«

Kapitel 11: Gut in Form mit Geometrie

Formen bilden: Grundlagen zu Polygonen (und Nicht-Polygonen)

Dreifach Spaß mit Dreiecken

Eine Seite mehr: Vierecke

Mit dem Kreis geht es rund!

Körpermaße

Lösungen zu »Gut in Form mit Geometrie«

Kapitel 12: Weiter zur Grafik: Kartesisches Koordinatensystem

Punkte im Kartesischen Koordinatensystem

Geraden im Kartesischen Koordinatensystem zeichnen

Lösungen zu »Weiter zur Grafik: Kartesisches Koordinatensystem«

Teil IV: Der X-Faktor: Einführung in die Algebra

Kapitel 13: Gut ausgedrückt: Algebraische Gleichungen

Eingesetzt: Algebraische Ausdrücke auswerten

Aufteilung in Terme

Ähnliche Terme addieren und subtrahieren

Terme multiplizieren und dividieren

Ausdrücke durch Zusammenfassen ähnlicher Terme vereinfachen

Ausdrücke mit Klammern vereinfachen

EAIL: Zwei Klammerpaare

Lösungen zu »Gut ausgedrückt: Algebraische Gleichungen«

Kapitel 14: Der richtige Ausgleich: Algebraische Gleichungen lösen

Einfache algebraische Gleichungen lösen

Ausgeglichen rechnen: Mit der Waagschalenmethode x isolieren

Wir wechseln die Seiten: Gleichungen neu anordnen, um x zu isolieren

Bruchstriche loswerden: Durch Kreuzmultiplizieren Gleichungen vereinfachen

Lösungen zu »Der richtige Ausgleich: Algebraische Gleichungen lösen«

Teil V: Der Top-Ten-Teil

Kapitel 15: Zehn alternative Ziffern- und Zahlensysteme

Zählstriche

Gebündelte Zählstriche

Ägyptische Ziffern

Babylonische Zahlen

Alte griechische Zahlen

Römische Zahlen

Das Zahlensystem der Maya

Zahlen mit der Basis 2 oder Binärzahlen

Hexadezimalzahlen: Basis 16

Auf Primzahlen basierende Zahlen

Kapitel 16: Zehn kuriose Zahlenarten

Quadratzahlen

Dreieckszahlen

Kubikzahlen

Fakultäten

Zweierpotenzen

Perfekte Zahlen

Befreundete Zahlen

Primzahlen

Mersenne-Primzahlen

Fermat-Primzahlen

Index

End User License Agreement

Tabellenverzeichnis

Kapitel 8

Tabelle 8.1: Äquivalente Dezimalzahlen und Brüche

Kapitel 15

Tabelle 15.1: Ägyptische Ziffern

Tabelle 15.2: Zahlen, die auf dem griechischen Alphabet basieren

Tabelle 15.3: Stellenwerte im Binärsystem

Tabelle 15.4: Zerlegung einer Binärzahl

Tabelle 15.5: Stellenwerte im Hexadezimalsystem

Tabelle 15.6: Auf Primzahlen basierende Stellenwerte

Tabelle 15.7: Zerlegen einer auf Primzahlen basierenden Zahl

Tabelle 15.8: Das auf Primzahlen basierende Äquivalent von 60 finden

Illustrationsverzeichnis

Kapitel 1

Abbildung 1.1:

auf dem Zahlenstrahl addieren

Abbildung 1.2: 12 – 4 auf dem Zahlenstrahl addier...

Abbildung 1.3: Auf dem Zahlenstrahl 2 · 5 multipl...

Abbildung 1.4: 12 : 3 auf dem Zahlenstrahl dividi...

Kapitel 3

Abbildung 3.1: Negative Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Kapitel 6

Abbildung 6.1: Die Hälfte eines Kuchens

Kapitel 11

Abbildung 11.1: Die Fläche eines Dreiecks, berechnet unter Verwend...

Abbildung 11.2: Mit dem Satz von Pythagoras bestimmen Sie die Hypo...

Abbildung 11.3: Die Fläche und der Umfang eines Quadrats unter Ver...

Abbildung 11.4: Die Fläche und der Umfang eines Rechtecks unter Ve...

Abbildung 11.5: Die Fläche einer Raute und eines Parallelogramms u...

Abbildung 11.6: Die Fläche eines Trapezes unter Verwendung der Län...

Abbildung 11.7: Fläche und Umfang eines Kreises unter Verwendung d...

Abbildung 11.8: Das Volumen eines Würfels unter Verwendung seiner ...

Abbildung 11.9: Das Volumen eines Quaders unter Verwendung der Län...

Abbildung 11.10: Das Volumen eines Prismas beziehungsweise Zylind...

Abbildung 11.11: Das Volumen einer Pyramide oder eines Kegels unt...

Kapitel 16

Abbildung 16.1: Die ersten fünf Quadratzahlen

Abbildung 16.2: Die ersten fünf Dreieckszahlen

Abbildung 16.3: Die ersten fünf Kubikzahlen

Orientierungspunkte

Cover

Inhaltsverzeichnis

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Einführung

Mit der richtigen Herangehensweise ist die Mathematik fast immer einfacher, als Sie denken. Und viele Dinge, die Sie auf den ersten Blick für unüberwindbar halten, sind letztlich wahrscheinlich gar nicht so schlimm. Viele Schüler fühlen sich irgendwo verloren auf ihrem Weg zwischen dem Zählenlernen bis zehn und ihrem ersten Tag in einem Algebrakurs. Und dabei spielt es vermutlich nicht einmal eine Rolle, ob Sie 14 oder 104 sind. Wenn Sie sich in dieser Beschreibung wiedererkennen, machen Sie sich keine Sorgen, Hilfe naht!

Das Übungsbuch Grundlagen der Mathematik für Dummies kann Ihnen die Zuversicht und die mathematischen Kenntnisse verschaffen, die Sie brauchen, um jeden Mathematikkurs zu bestehen, der Ihnen auf dem Weg zur Algebra begegnet. Am schnellsten gelangen Sie zu dieser Zuversicht, indem Sie üben. Das Lösen vieler Aufgaben gibt Ihnen Vertrauen in sich selbst. Alles in diesem Buch ist darauf ausgelegt, Ihnen alle Hindernisse auf dem Weg zur Mathematik aus dem Weg zu räumen. Jeder Abschnitt jedes Kapitels enthält eine verständliche Erklärung dessen, was Sie wissen müssen. Es gibt zahlreiche Übungsaufgaben und schrittweise Lösungen für jede Aufgabe.

Über dieses Buch

Dieses Buch ist für all diejenigen gemacht, die ihre Mathematikkenntnisse verbessern wollen. Womöglich sind Sie bereits für einen Mathekurs eingeschrieben oder haben dies vor, oder Sie wollen einfach nur für sich selbst etwas Neues lernen. In jedem Fall macht Übung den Meister, und durch dieses Buch erhalten Sie jede Menge Übung, indem Sie die unterschiedlichsten Mathematikaufgaben lösen.

Jedes Kapitel deckt ein anderes Thema der grundlegenden Mathematik ab: negative Zahlen, Brüche, Dezimalzahlen, Geometrie, Graphen, grundlegende Algebra, einfach alles. In den einzelnen Abschnitten eines Kapitels finden Sie Aufgaben, anhand derer Sie unterschiedliches Wissen erwerben und verfestigen. Die einzelnen Abschnitte sind jeweils wie folgt aufgebaut:

Eine kurze Einführung in das Thema des Abschnitts

Eine Erklärung dazu, wie die Aufgaben in diesem Abschnitt zu lösen sind

Beispielaufgaben mit Lösungen, die Ihnen den schrittweisen Lösungsweg aufzeigen

Übungsaufgaben

Tragen Sie Ihre Lösungen einfach in dieses Buch ein. Dafür ist es gemacht! Nachdem Sie eine Aufgabe oder eine Aufgabengruppe abgeschlossen haben, blättern Sie an das Kapitelende. Dort finden Sie die richtige Lösung, gefolgt von einer detaillierten, schrittweisen Erklärung, wie Sie zu dieser Lösung gelangen.

Natürlich können Sie alle Übungen in diesem Buch vom Anfang bis zum Ende durcharbeiten, aber das müssen Sie nicht. Springen Sie einfach sofort in das Kapitel mit den Aufgaben, die Sie üben möchten. Wenn Ihnen die Aufgaben in einem Abschnitt zu schwierig erscheinen, blättern Sie einfach zurück zu einem früheren Abschnitt oder Kapitel, um gezielt die Fähigkeiten zu üben, die Sie brauchen – folgen Sie einfach den Querverweisen!

Konventionen in diesem Buch

Im gesamten Buch folge ich den folgenden Konventionen:

Kursiver

Text kennzeichnet neue Begriffe und Definitionen.

Fett

ausgezeichneter Text kennzeichnet Schlüsselwörter in Auflistungen und den Aktionsteil in nummerierten Schritten.

Wie es in der Algebra üblich ist, verwende ich das Symbol · statt × für die Darstellung der Multiplikation.

Variablen, wie beispielsweise

x

und

y

, werden kursiv dargestellt.

Törichte Annahmen über den Leser

Wahrscheinlich haben Sie schon erkannt, dass man ein Konzept in der Mathematik am einfachsten versteht, indem man es selbst nachvollzieht. Sie brauchen gerade nur so viele Erklärungen, dass Sie anfangen können, Ihre mathematischen Fähigkeiten in die Praxis umzusetzen. Hier sind Sie richtig! Wenn Sie nach detaillierten Beschreibungen suchen, einschließlich Tipps, wie alle diese mathematischen Konzepte in Textaufgaben eingesetzt werden können, sollten Sie vielleicht das Begleitbuch lesen, Grundlagen der Mathematik für Dummies.

Ich würde meinen letzten Cent darauf wetten, dass Sie bereit für dieses Buch sind. Ich setze nur voraus, dass Sie mit den Grundlagen des Zahlensystems vertraut sind und dass Sie die vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) kennen. Um sicherzustellen, dass Sie bereit sind, sehen Sie sich die vier folgenden arithmetischen Aufgaben an und überlegen Sie, ob Sie sie lösen können:

Wenn Sie diese Aufgaben lösen können, erfüllen Sie die Grundvoraussetzungen!

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Das Buch ist in fünf Teile untergliedert. Jeder Teil ist aus Kapiteln aufgebaut, in denen es jeweils um ein Schlüsselkonzept der Mathematik geht.

Teil I: Vorne angefangen: Grundlegende Mathematik

Teil I beginnt ganz am Anfang der Mathematik. Er wiederholt Themen, mit denen Sie möglicherweise schon vertraut sind, und er stellt wichtige mathematische Konzepte vor, ohne die Sie nicht leben können. Kapitel 1 konzentriert sich auf die natürlichen Zahlen, und Kapitel 2 bietet Ihnen einen tieferen Einblick in die vier Grundrechenarten.

In Kapitel 3 liegt der Schwerpunkt auf dem Negativen – auf den negativen Zahlen. In Kapitel 4 erfahren Sie, wie Sie mit Ausdrücken arbeiten und diese auswerten. Ausdrücke sind Verkettungen von Symbolen, die Sie in einer Gleichung auf eine Seite des Gleichheitszeichens schreiben können. Kapitel 5 beschließt diesen Teil mit einer Diskussion der Teilbarkeit.

Teil II: Wir teilen: Brüche, Dezimalzahlen und Prozente

In Teil II lernen Sie drei Methoden kennen, über Teile des Ganzen zu sprechen: Brüche, Dezimalzahlen und Prozent. In Kapitel 6 geht es um die Arbeit mit Brüchen. Kapitel 7 baut auf diesen Kenntnissen auf, wenn Sie die vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) auf Brüche anwenden. Kapitel 8 konzentriert sich auf Dezimalzahlen, in Kapitel 9 geht es um Prozent.

Teil III: Es geht voran: Fortgeschrittene Themen

Das Interessanteste an diesem Teil ist, dass Sie hier einige einfache Techniken zum Umgang mit Aufgaben aus der realen Welt kennenlernen können, sei es in der Wissenschaft, im Geschäftsleben oder im Computer-Laden. In Kapitel 10 geht es um die wissenschaftliche Notation, die Ihnen ermöglicht, sehr große und sehr kleine Zahlen effizient auszudrücken. Kapitel 11 konzentriert sich auf Geometrie. In Kapitel 12 schließlich vermittele ich Ihnen extrem nützliche Kenntnisse über das Lesen und die Interpretation von Graphen.

Teil IV: Der X-Faktor: Einführung in die Algebra

Und genau hierfür lernen Sie all das, was ich Ihnen bisher gezeigt habe. In Kapitel 13 wechseln Sie von der Arithmetik zur Algebra. Ich werde Ihnen zeigen, dass ein algebraischer Ausdruck mit einem arithmetischen Ausdruck vergleichbar ist, außer dass er mindestens eine Variable hat, zum Beispiel x oder y. Sie erfahren, wie algebraische Ausdrücke ausgewertet und vereinfacht werden können, und ich zeige Ihnen, wie Sie die vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) auf algebraische Ausdrücke anwenden. In Kapitel 14 kommen alle in Kapitel 13 erworbenen Fähigkeiten ins Spiel, und ich zeige Ihnen, wie Sie algebraische Gleichungen lösen.

Teil V: Der Top-Ten-Teil

Jedes Dummies-Buch, selbst ein Mathematikübungsbuch wie dieses, endet mit ein paar lustigen Top-Ten-Listen. In Kapitel 15 zeige ich Ihnen zehn Zahlensysteme, die sich von dem standardmäßigen arabischen (oder dezimalen) System unterscheiden. In Kapitel 16 lernen Sie ein paar seltsame Zahlenmengen kennen.

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Im gesamten Buch habe ich einige der wichtigsten Informationen mit unterschiedlichen Symbolen gekennzeichnet.

Dieses Symbol weist auf die wichtigsten Informationen hin. Achten Sie ganz besonders auf diese Details – Sie werden sie noch brauchen!

Tipps beschreiben eine schnelle und einfache Methode, eine Aufgabe zu lösen. Probieren Sie diese Tricks aus, wenn Sie die Aufgaben in diesem Abschnitt lösen.

Warnungen kennzeichnen die Stolperfallen in der Mathematik, in die unvorsichtige Schüler oft hineintappen. Lesen Sie diese Information aufmerksam durch, um unnötige Schrecksekunden zu vermeiden!

Dieses Symbol kennzeichnet die Beispielaufgaben, die Ihnen die Lösungstechniken zeigen, bevor Sie sich selbst an die Übungsaufgaben machen.

Wie es weitergeht

Sie können einfach auf jede beliebige Seite dieses Buches blättern und anfangen, Ihre Mathematikkenntnisse zu verbessern. In einigen Kapiteln beschreibe ich Themen, bei denen viele Mathematikschüler nicht weiterwissen:

Kapitel 3

: Negative Zahlen

Kapitel 4

: Operatorreihenfolge

Kapitel 5

: Faktoren und Vielfache

Kapitel 6

: Brüche

Viele Aufgaben weiter hinten im Buch bauen auf diesen wichtigen Anfangsthemen auf, deshalb sollten Sie sie unbedingt verstehen. Wenn Sie sich mit diesen Themen schon gut auskennen, können Sie natürlich auch an eine beliebige andere Stelle blättern (aber dennoch sollten Sie sich die Tipps und Tricks in den genannten Kapiteln genauer ansehen). Meine einzige Empfehlung ist, die Aufgaben zu bearbeiten, bevor Sie die Lösungen nachschlagen!

Und auf alle Fälle sollten Sie dafür in Grundlagen der Mathematik für Dummies nachschlagen, wo Sie nicht nur genauere Erklärungen finden, sondern auch ein paar zusätzliche Themen, die in diesem Arbeitsbuch nicht behandelt sind. In Kombination können diese beiden Bücher eine wirkungsvolle Geheimwaffe bei allen Aufgaben darstellen, die Ihnen in der Mathematik begegnen werden.

Teil I

Vorne anfangen: Grundlegende Mathematik

IN DIESEM TEIL …

Hier werden Sie einigen Grundlagen wiederbegegnen und sie einüben. Das macht es Ihnen leichter, Ihre Mathematikkenntnisse zu verbessern. Sie wiederholen wichtige Konzepte, wie beispielsweise das Stellenwertsystem, die vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division), positive und negative Zahlen, die Operatorreihenfolge sowie Teiler und Vielfache.

Kapitel 1

Die Welt der Zahlen

IN DIESEM KAPITEL

Verstehen, wie Stellenwerte aus Ziffern Zahlen machenZahlen auf die nächsten Zehner, Hunderter oder Tausender rundenMit den vier Grundrechenarten rechnen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division)Sich mit der schriftlichen Division vertraut machen

In diesem Kapitel wiederhole ich die grundlegende Mathematik für Sie, und ich meine grundlegend. Wahrscheinlich kennen Sie einen Großteil dieses Stoffs bereits. Betrachten Sie es einfach als Reise in die mathematische Vergangenheit, als Kurzurlaub von der Mathematik, mit der Sie sich gerade jetzt beschäftigen. Mit dieser stabilen Grundlage werden Ihnen die nachfolgenden Kapitel sehr viel leichter fallen.

Als Erstes geht es darum, wie das Zahlensystem, das Sie verwenden (auch als indisch-arabisches Zahlensystem oder Dezimalzahlen bezeichnet), Ziffern und Stellenwerte nutzt, um Zahlen darzustellen. Anschließend geht es um das Runden von Zahlen auf die nächsten Zehner, Hunderter und Tausender.

Später geht es um die vier Grundrechenarten: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Sie werden erkennen, wie der Zahlenstrahl alle vier Operationen erklärt. In einem weiteren Abschnitt werden Sie Aufgaben mit größeren Zahlen lösen. Zum Schluss bringe ich Ihnen noch bei, wie Sie eine schriftliche Division mit und ohne Rest lösen.

In der Algebra wird für die Darstellung der Multiplikation häufig der Punkt (·) statt des Malzeichens (×) verwendet. Dieser Konvention folge ich auch in diesem Buch.

Zahlen und Ziffern am richtigen Ort

Das gebräuchlichste Zahlensystem der Welt ist das indisch-arabische Zahlensystem. Dieses System besteht aus zehn Ziffern (auch als Grundzahlen bezeichnet). Ziffern sind genauso Symbole wie die Buchstaben A bis Z. Und Sie kennen sie bereits:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

Wie die Buchstaben des Alphabets sind auch die einzelnen Ziffern als solche nicht besonders aussagekräftig. Kombiniert man jedoch diese zehn Symbole, können Sie unter Verwendung des Stellenwerts beliebig große Zahlen erstellen. Der Stellenwert ordnet jeder Ziffer einen größeren oder kleineren Wert zu, abhängig davon, wo in einer Zahl sie steht. Jede Stelle in einer Zahl bedeutet das jeweils Zehnfache der Stelle, die unmittelbar rechts von ihr steht.

Die Ziffer 0 fügt einer Zahl keinen Wert hinzu, aber sie kann als Platzhalter dienen. Wenn rechts von mindestens einer Ziffer ungleich null eine 0 erscheint, handelt es sich um einen Platzhalter. Platzhalter sind wichtig, weil sie dafür sorgen, dass die anderen Ziffern ihren korrekten Stellenwert erhalten. Befindet sich dagegen eine 0 nicht rechts von einer Ziffer ungleich null, handelt es sich bei einer ganzen Zahl um eine führende Null. Führende Nullen sind unnötig und können aus einer ganzen Zahl entfernt werden.

Frage

Identifizieren Sie in der Zahl 284 die Einerziffer, die Zehnerziffer und die Hunderterziffer.

Antwort

Die Einerziffer ist die 4, die Zehnerziffer ist die 8 und die Hunderterziffer ist die 2.

Frage

Stellen Sie die Zahl 5.672 in einer Tabelle dar, die den Wert jeder Ziffer verdeutlicht. Anschließend verwenden Sie diese Tabelle für eine Additionsaufgabe, um zu zeigen, wie diese Zahl in einzelne Ziffern zerlegt werden kann.

Antwort

Millionen

Hunderttausender

Zehntausender

Tausender

Hunderter

Zehner

Einer

5

6

7

2

Der Grundwert 5 steht an der Tausenderstelle, 6 an der Hunderterstelle, 7 an der Zehnerstelle und 2 an der Einerstelle. Die Zahl kann also wie folgt zerlegt werden:

Frage

Schreiben Sie die Zahl 040 120 in eine Tabelle, die den Wert jeder Ziffer verdeutlicht. Anschließend verwenden Sie diese Tabelle, um zu zeigen, wie die Zahl in einzelne Ziffern zerlegt werden kann. Welche Nullen sind Platzhalter, und welche sind führende Nullen?

Antwort

Millionen

Hunderttausender

Zehntausender

Tausender

Hunderter

Zehner

Einer

0

4

0

1

2

0

Die erste 0 steht an der Hunderttausenderstelle, 4 steht an der Zehntausenderstelle, die nächste 0 steht an der Tausenderstelle, die 1 steht an der Hunderterstelle, die 2 an der Zehnerstelle und die letzte 0 an der Einerstelle. Wir erhalten also Folgendes:

Die erste 0 ist eine führende Null. Die restlichen Nullen sind Platzhalter.

Aufgabe 1

Identifizieren Sie in der Zahl 7.359 die folgenden Ziffern:

Die Einerziffer

Die Zehnerziffer

Die Hunderterziffer

Die Tausenderziffer

Aufgabe 2

Schreiben Sie die Zahl 2.136 in eine Tabelle, die den Wert jeder Ziffer aufzeigt. Anschließend zeigen Sie anhand der Tabelle, wie diese Zahl in einzelne Ziffern zerlegt werden kann.

Millionen

Hunderttausender

Zehntausender

Tausender

Hunderter

Zehner

Einer

Aufgabe 3

Schreiben Sie die Zahl 03.809 in eine Tabelle, die den Wert jeder Ziffer aufzeigt. Anschließend zeigen Sie anhand der Tabelle, wie diese Zahl in einzelne Ziffern zerlegt werden kann. Welche 0 ist ein Platzhalter, welche eine führende Null?

Millionen

Hunderttausender

Zehntausender

Tausender

Hunderter

Zehner

Einer

Aufgabe 4

Schreiben Sie die Zahl 0.450.900 in eine Tabelle, die den Wert jeder Ziffer aufzeigt. Anschließend zeigen Sie anhand der Tabelle, wie diese Zahl in einzelne Ziffern zerlegt werden kann. Welche 0 ist ein Platzhalter, welche sind führende Nullen?

Millionen

Hunderttausender

Zehntausender

Tausender

Hunderter

Zehner

Einer

Kompakt: Zahlen auf- und abrunden

Große Zahlen werden durch Runden handlicher. Um eine zweistellige Zahl auf den nächsten Zehner zu runden, machen Sie einfach die nächstgelegene Zahl daraus, die mit einer 0 endet:

Wenn eine Zahl mit 1, 2, 3 oder 4 endet, runden Sie ab. Mit anderen Worten, Sie behalten die Ziffer an der Zehnerstelle bei und machen die Einerstelle zu einer 0.Wenn eine Zahl mit 5, 6, 7, 8 oder 9 endet, runden Sie auf. Dazu addieren Sie 1 zur Zehnerziffer und machen die Einerziffer zu einer 0.

Um eine Zahl mit mehr als zwei Stellen auf den nächsten Zehner zu runden, gehen Sie nach derselben Methode vor. Sie konzentrieren sich einfach auf die Einer- und die Zehnerziffern.

Nachdem Sie verstanden haben, wie eine Zahl auf die nächsten Zehn gerundet wird, ist es ganz einfach, eine Zahl auf die nächsten Hundert, Tausend oder darüber hinaus zu runden. Sie konzentrieren sich einfach immer auf zwei Ziffern: die Ziffer an der Stelle, auf die Sie runden, und die Ziffer unmittelbar rechts davon, an der Sie erkennen, ob auf- oder abgerundet wird. Alle Ziffern rechts von der Zahl, auf die Sie runden, werden zu 0.

Wenn Sie eine Zahl aufrunden, kann gelegentlich eine kleine Änderung an den Einer- und Zehnerziffern die anderen Ziffern beeinflussen. Sie kennen das von Ihrem Kilometerzähler im Auto, wenn sehr viele 9en zu 0en werden, etwa beim Wechsel von 11.999 Kilometern auf 12.000 Kilometer.

Frage

Runden Sie die Zahlen 31, 58 und 95 auf den nächstgelegenen Zehner.

Antwort

30, 60 und 100.

Die Zahl 31 endet auf 1, Sie runden also ab:

Die Zahl 58 endet auf 8, Sie runden also auf:

Die Zahl 95 endet auf 5, Sie runden also auf:

Frage

Runden Sie die Zahlen 742, 3.820 und 61.225 auf den nächstgelegenen Zehner.

Antwort

740, 3.820 und 61.230.

Die Zahl 742 endet auf 2, Sie runden also ab:

Die Zahl 3.820 endet bereits auf 0, es ist also keine Rundung erforderlich:

Die Zahl 61.225 endet auf 5, Sie runden also auf:

Aufgabe 5

Runden Sie die folgenden zweistelligen Zahlen auf den nächstgelegenen Zehner:

29

43

75

95

Aufgabe 6

Runden Sie die folgenden Zahlen auf den nächsten Zehner:

164

765

1.989

9.999.995

Aufgabe 7

Runden Sie die folgenden Zahlen auf den nächstgelegenen Hunderter:

439

562

2.950

109.974

Aufgabe 8

Runden Sie die folgenden Zahlen auf den nächstgelegenen Tausender:

5.280

77.777

1.234.567

1.899.999

Mit dem Zahlenstrahl die vier Grundrechenarten üben

Der Zahlenstrahl ist einfach eine Linie, auf der in gleichmäßigen Abständen Zahlen angetragen sind. Wahrscheinlich haben Sie den ersten Zahlenstrahl gesehen, als Sie gelernt haben, bis 10 zu zählen. In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen, wie Sie dieses vertraute Werkzeug einsetzen, um die vier Grundrechenarten auf relativ kleine Zahlen anzuwenden (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division).

Der Zahlenstrahl kann ein praktisches Werkzeug für die Addition und Subtraktion kleiner Zahlen sein:

Wenn Sie addieren, gehen Sie auf dem Zahlenstrahl

vorwärts,

also nach rechts.

Wenn Sie subtrahieren, gehen Sie auf dem Zahlenstrahl

rückwärts,

also nach links.

Um auf dem Zahlenstrahl zu multiplizieren, beginnen Sie bei 0 und zählen so oft um die erste Zahl aus der Aufgabenstellung nach rechts, wie durch die zweite Zahl angegeben.

Um auf dem Zahlenstrahl zu dividieren, kennzeichnen Sie zuerst ein Segment auf dem Zahlenstrahl von 0 bis zu der ersten Zahl aus der Aufgabenstellung. Anschließend teilen Sie diesen Abschnitt gleichmäßig in so viele Teile, wie in der zweiten Zahl angegeben. Die Länge eines einzelnen Teils ist die Lösung für die Aufgabe.

Frage

Addieren Sie 6 und 7 auf dem Zahlenstrahl.

Antwort

13. Der Ausdruck bedeutet: Beginnen Sie bei 6 und gehen Sie 7 nach rechts. Damit gelangen Sie zu 13 (siehe Abbildung 1.1):

Abbildung 1.1: auf dem Zahlenstrahl addieren

Frage

Subtrahieren Sie 4 von 12 auf dem Zahlenstrahl.

Antwort

8. Der Ausdruck 12–4 bedeutet: Beginnen Sie bei 12 und gehen Sie 4 nach links. Damit gelangen Sie zu 8 (siehe Abbildung 1.2).

Abbildung 1.2: 12 – 4 auf dem Zahlenstrahl addieren

Frage

Multiplizieren Sie 2 mit 5 auf dem Zahlenstrahl.

Antwort

10. Der Ausdruck 2 · 5 bedeutet: beginnen Sie bei 0 und gehen Sie fünfmal um zwei nach rechts. Damit gelangen Sie zu 10 (Abbildung 1.3).

Abbildung 1.3: Auf dem Zahlenstrahl 2 · 5 multiplizieren

Frage

Dividieren Sie 12 durch 3 auf dem Zahlenstrahl.

Antwort

4. Der Ausdruck bedeutet: Kennzeichnen Sie das Segment von 0 bis 12 auf dem Zahlenstrahl. Jetzt teilen Sie dieses Segment gleichmäßig in drei kleinere Abschnitte, wie in Abbildung 1.4 gezeigt. Jeder dieser Abschnitte hat eine Länge von 4, was die Lösung für diese Aufgabe ist.

Abbildung 1.4: 12 : 3 auf dem Zahlenstrahl dividieren

Aufgabe 9

Addieren Sie die folgenden Zahlen auf dem Zahlenstrahl:

Aufgabe 10

Berechnen Sie Folgendes auf dem Zahlenstrahl:

Aufgabe 11

Multiplizieren Sie die folgenden Zahlen auf dem Zahlenstrahl:

Aufgabe 12

Dividieren Sie die folgenden Zahlen auf dem Zahlenstrahl:

Spaltenweise: Addieren und subtrahieren

Für die Addition großer Zahlen schreiben Sie diese übereinander, sodass alle gleichwertigen Ziffern (Einer, Zehner, Hunderter und so weiter) in Spalten untereinander stehen. Anschließend arbeitet man von rechts nach links. Man führt die Berechnungen vertikal aus, beginnend mit den Einerspalten, dann weiter bei den Zehnerspalten und so weiter.

Wenn eine Spalte beim Addieren 10 oder mehr ergibt, schreiben Sie die Einerziffer des Ergebnisses unter die Spalte und übertragen (addieren) die Zehnerziffer in die Spalte unmittelbar links davon.

Ist beim Subtrahieren die oberste Ziffer in einer Spalte kleiner als die untere, »borgen« Sie etwas von der Spalte unmittelbar links davon.

Frage

Berechnen Sie .

Antwort

203. Schreiben Sie die Zahlen übereinander und addieren Sie die Spalten von rechts nach links: