Kommen drei Logiker in eine Bar... E-Book

Holger Dambeck

• Herausgeber: Kiepenheuer & Witsch eBook
• Kategorie: Lebensstil
• Serie: Aus der Welt der Mathematik
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 188

Veröffentlichungsjahr: 2017

Beschreibung

Rechnen Sie mit einer Unbekannten! Nach seinen Spiegel-Bestsellern »Je mehr Löcher, desto weniger Käse« und »Nullen machen Einsen groß« entführt uns Wissenschaftsjournalist und Mathe-Fan Holger Dambeck erneut in die faszinierende Welt der mathematisch-logischen Knobeleien. Das Spannende an einem gelungenen Rätsel ist, dass es keine offensichtliche Lösung gibt. Umso wichtiger Dambecks Credo: »Es gibt zwar Regeln. Wer aber wirklich Spaß haben will, wird kreativ.« In »Kommen drei Logiker in eine Bar …« präsentiert uns Dambeck, seit 2014 Autor der beliebten Spiegel Online-Kolumne »Rätsel der Woche«, nun seine persönliche Sammlung der 100 schönsten Logik- und Zahlenrätsel: Wie werden der Frauenheld Casanova und die Mathematik zum Dreamteam? Wie viele Partien werden gespielt beim weltgrößten Tischtennisturnier in Ping-Pong-Town? Und was machen eigentlich drei Logiker, wenn sie ein Bier bestellen möchten? Am Ende von jedem Logik- und Zahlenrätsel ist ein direkter Link zur Lösung – aber bitte erst ordentlich selber nachgedacht!

Leseprobe

Holger Dambeck

Kommen drei Logiker in eine Bar

Die schönsten Mathe-Rätsel

Mit Illustrationen von Michael Niestedt

Kurzübersicht

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Titelseite

Über Holger Dambeck

Über dieses Buch

Inhaltsverzeichnis

Impressum

Hinweise zur Darstellung dieses E-Books

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Über Holger Dambeck

Holger Dambeck, geboren 1969, hat Physik studiert und ist seit 2003 Wissenschaftsredakteur bei SPIEGEL ONLINE und seit 2015 Ressortleiter für Wissenschaft und Gesundheit. Bereits als 16-Jähriger trat er bei Mathematikolympiaden zum Lösen kniffliger Aufgaben an. In der SPIEGEL-ONLINE-Kolumne Numerator« schreibt er seit 2006 über die Wunderwelt der Mathematik. 2009 erschien sein Buch zur Kolumne: Numerator. Mathematik für jeden«. Wenig später wurde Holger Dambeck mit dem Medienpreis der Deutschen Mathematiker-Vereinigung ausgezeichnet. 2012 und 2013 folgten die Bestseller Je mehr Löcher, desto weniger Käse. Mathematik verblüffend einfach« (KiWi 1234) sowie Nullen machen Einsen groß. Mathe-Tricks für alle Lebenslagen« (KiWi 1324). Seine SPIEGEL-ONLINE-Kolumne Rätsel der Woche« hat regelmäßig rund 200.000 Leser.

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Über dieses Buch

Nach seinen SPIEGEL-Bestsellern Je mehr Löcher, desto weniger Käse« und Nullen machen Einsen groß« entführt uns Wissenschaftsjournalist und Mathe-Fan Holger Dambeck erneut in die faszinierende Welt der mathematisch-logischen Knobeleien.

Das Spannende an einem gelungenen Rätsel ist, dass es keine offensichtliche Lösung gibt. Umso wichtiger Dambecks Credo: »Es gibt zwar diverse Lösungstechniken. Wer aber wirklich Spaß haben will, wird kreativ.« In »Kommen drei Logiker in eine Bar …« präsentiert uns Dambeck, seit 2014 Autor der beliebten SPIEGEL-ONLINE-Kolumne Rätsel der Woche«, nun seine persönliche Sammlung der 100 schönsten Logik- und Zahlenrätsel: Wie werden der Frauenheld Casanova und die Mathematik zum Dream-Team? Wie viele Partien werden gespielt beim weltgrößten Tischtennisturnier in Ping-Pong-Town? Und was machen eigentlich drei Logiker, wenn sie ein Bier bestellen möchten?

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Systematisch kreativ: Wie man Matherätsel angeht

Nicht aufgeben, dranbleiben

Aufgabentext genau analysieren

Systematisch vorgehen

Wenn möglich, vereinfachen

Anders denken

Social Engineering

Indirekt statt direkt

Schubfachprinzip

Domino-Methode

Aufgaben

Uhren, Kerzen und Pistolen: Rätselklassiker

1) Welche Figur setzt die Reihe fort?

2) Schokolade wiegen

3) Perfekt ausgerichtete Uhrzeiger

4) Ein Gangster überlebt – aber warum?

5) Wasser im Wein

6) Bloß nichts anbrennen lassen

7) Klappt der Lauf durch die Wüste?

8) Gelingt Ihnen die Ketten-Aktion?

9) Koch langsam 3

10) Schüchtern trifft extrovertiert

11) Wo sind die Äpfel, wo die Orangen?

12) Treffen sich zwei Mathematiker

13) Vier Wanderer und eine wacklige Brücke

14) Steine versenken im See

Ganz ohne Mathe: Futter für Querdenker

15) Nicht schießen, bitte!

16) Retten Sie das arme Küken!

17) Ein Toter in der Wüste

18) Seltsamer Autofahrer

19) Intervall-Schlaf

20) Bizarrer Fund

21) Hupkonzert am Motel

22) Eingebung im Treppenhaus

23) Fataler Schuhkauf

Raffiniert & clever: Werden Sie kreativ

24) Er läuft und läuft – aber wie weit?

25) Welche Zahl fehlt?

26) Die Katze mit den magischen Kräften

27) Haarige Berliner

28) Welcher Schalter ist für welche Lampe?

29) Was tun gegen Diebe beim Paketdienst?

30) Unschlagbare Springer

31) Möge der Langsamste gewinnen – nur wie?

32) Die cleveren Logik-Zwerge

33) In die Brüche gehen

34) Gut abgewogen

Schlümpfe, Lügner, Häftlinge: Logik zählt

35) Wer ist der Dieb?

36) Lügner unter sich

37) Kommen drei Logiker in eine Bar …

38) Vier Fußballvereine und eine Umfrage

39) Lügner am Tisch

40) Lügner auf einer Insel

41) Ein Wanderer, zwei Fragen und drei Gespenster

42) Ein Allwissender in Nöten

43) Fünf Mützen und drei Gefangene

44) Verlogen oder ehrlich?

45) Wie retten die Schlümpfe ihr Leben?

46) Rettende Logik

Kacheln & Kreise: Hauptsache linientreu

47) Verflixte Spirale

48) Aus einem Quadrat werden zwei

49) Lass es kacheln!

50) Das Kreuz mit dem Kreis

51) >Ein Bauer, ein Baum und eine dreieckige Weide

52) Bauprojekt mit zwei Pyramiden

53) Schließt sich der Kreis?

54) Verwinkelter Würfel

55) Wie viele Scheiben werden gebraucht?

56) Die Kugel passt genau

57) Immer schön auf dem Teppich bleiben

Aus Eins mach Vier: Knobeleien mit Zahlen

58) Alter gesucht

59) Welche Zahl fehlt?

60) Der Taschenrechner spinnt!

61) Teilbar durch 45?

62) Jonglieren mit Potenzen

63) Forty+ten+ten=sixty

64) Finden Sie die passende Zahl

65) Wenn Ziffern die Plätze tauschen

66) Magie mit Zahlen

67) Verrückte Rechnerei

68) Euro und Cent verwechselt

69) Der Rest für die Schwester

Geschwister, Roulette, Sport: Gut kombiniert

70) Wie viele Mädchen sind in der Gastfamilie?

71) Agententraining

72) Das größte Tischtennisturnier der Welt

73) Russisches Roulette für Fortgeschrittene

74) Wer verlor das zweite Spiel?

75) Wer macht das Rennen?

76) Verlierer beim Schachturnier

77) Streit unter Lottospielern

78) Feiert schön!

79) Zehn misstrauische Räuber

80) Apfelkisten gerecht aufteilen

Fähren, Treppen, Brücken: Bewegung ist alles

81) Zwei Radfahrer auf der Brücke

82) Ist die Fähre noch zu schaffen?

83) Wie viele Stufen hat die Rolltreppe?

84) Zwei Ruderer und eine Mütze

85) Vom Winde verweht

86) Rundfahrt garantiert

87) Das große Oldtimerbus-Treffen

88) Casanova zweifelt am Zufall

89) Wettrennen auf der Rolltreppe

90) Rund um die Welt

91) Die mysteriösen Fähren

Münzen, Gläser, Diebe: Die ganz dicken Bretter

92) Duell um 50 Münzen

93) Chance auf Freiheit erhöhen

94) Gläser im Härtetest

95) 500 Schließfächer

96) Das Benzin wird knapp!

97) Ein Tisch, zwei Diebe und ein Berg Münzen

98) Nullen und Einsen

99) 50 Uhren und ein Tisch

100) Handshakes

Lösungen

1) Welche Figur setzt die Reihe fort?

2) Schokolade wiegen

3) Perfekt ausgerichtete Uhrzeiger

4) Ein Gangster überlebt – aber warum?

5) Wasser im Wein

6) Bloß nichts anbrennen lassen

7) Klappt der Lauf durch die Wüste?

8) Gelingt Ihnen die Ketten-Aktion?

9) Koch langsam 3

10) Schüchtern trifft extrovertiert

11) Wo sind die Äpfel, wo die Orangen?

12) Treffen sich zwei Mathematiker

13) Vier Wanderer und eine wacklige Brücke

14) Steine versenken im See

15) Nicht schießen, bitte!

16) Retten Sie das arme Küken!

17) Ein Toter in der Wüste

18) Seltsamer Autofahrer

19) Intervall-Schlaf

20) Bizarrer Fund

21) Hupkonzert am Motel

22) Eingebung im Treppenhaus

23) Fataler Schuhkauf

24) Er läuft und läuft – aber wie weit?

25) Welche Zahl fehlt?

26) Die Katze mit den magischen Kräften

27) Haarige Berliner

28) Welcher Schalter ist für welche Lampe?

29) Was tun gegen Diebe beim Paketdienst?

30) Unschlagbare Springer

31) Möge der Langsamste gewinnen – nur wie?

32) Die cleveren Logik-Zwerge

33) In die Brüche gehen

34) Gut abgewogen

35) Wer ist der Dieb?

36) Lügner unter sich

37) Kommen drei Logiker in eine Bar …

38) Vier Fußballvereine und eine Umfrage

39) Lügner am Tisch

40) Ist das gelogen?

41) Ein Wanderer, zwei Fragen und drei Gespenster

42) Ein Allwissender in Nöten

43) Fünf Mützen und drei Gefangene

44) Verlogen oder ehrlich?

45) Wie retten die Schlümpfe ihr Leben?

46) Rettende Logik

47) Verflixte Spirale

48) Aus einem Quadrat werden zwei

49) Lass es kacheln!

50) Das Kreuz mit dem Kreis

51) Ein Bauer, ein Baum und eine dreieckige Weide

52) Bauprojekt mit zwei Pyramiden

53) Schließt sich der Kreis?

54) Verwinkelter Würfel

55) Wie viele Scheiben werden gebraucht?

56) Die Kugel passt genau

57) Immer schön auf dem Teppich bleiben

58) Alter gesucht

59) Welche Zahl fehlt?

60) Der Taschenrechner spinnt!

61) Teilbar durch 45?

62) Jonglieren mit Potenzen

63) Forty+ten+ten=sixty

64) Finden Sie die passende Zahl

65) Wenn Ziffern die Plätze tauschen

66) Magie mit Zahlen

67) Verrückte Rechnerei

68) Euro und Cent verwechselt

69) Der Rest für die Schwester

70) Wie viele Mädchen sind in der Gastfamilie?

71) Agententraining

72) Das größte Tischtennisturnier der Welt

73) Russisches Roulette für Fortgeschrittene

74) Wer verlor das zweite Spiel?

75) Wer macht das Rennen?

76) Verlierer beim Schachturnier

77) Streit unter Lottospielern

78) Feiert schön!

79) Zehn misstrauische Räuber

80) Apfelkisten gerecht aufteilen

81) Zwei Radfahrer auf der Brücke

82) Ist die Fähre noch zu schaffen?

83) Wie viele Stufen hat die Rolltreppe?

84) Zwei Ruderer und eine Mütze

85) Vom Winde verweht

86) Rundfahrt garantiert

87) Das große Oldtimerbus-Treffen

88) Casanova zweifelt am Zufall

89) Wettrennen auf der Rolltreppe

90) Rund um die Welt

91) Die mysteriösen Fähren

92) Duell um 50 Münzen

93) Chance auf Freiheit erhöhen

94) Gläser im Härtetest

95) 500 Schließfächer

96) Das Benzin wird knapp!

97) Ein Tisch, zwei Diebe und ein Berg Münzen

98) Nullen und Einsen

99) 50 Uhren und ein Tisch

100) Handshakes

Quellen

Dank

Vorwort

Was ist eigentlich Mathematik?

Diese Frage höre ich immer wieder. Ich weiß, dass viele Menschen glauben, Mathematik habe mit Rechnen zu tun. Und vielleicht noch mit Formeln.

Doch in der Mathematik geht es gerade darum, das Rechnen zu vermeiden, wie möglichst auch alles andere, was umständlich und kompliziert ist. Das würde so zwar nicht jeder Mathematiker unterschreiben. Aber zumindest für die Rätsel dieses Buches trifft es auf jeden Fall zu.

Es ist ein Mix aus Aufgaben, die bereits bei SPIEGEL ONLINE als Rätsel der Woche erschienen sind und aus neuen Kopfnüssen, die ich für dieses Buch ausgewählt habe.

Rätsel gehören ins Genre der sogenannten Unterhaltungsmathematik. Den Begriff finde ich ehrlich gesagt unpassend, er erinnert mich irgendwie an Unterhaltungsmusik. Und dann habe ich immer gleich schreckliche Schlagermusik im Ohr.

Aber egal: Sich mit Mathematik zu beschäftigen, kann großen Spaß machen, ja, es kann sehr unterhaltsam sein. Unser Gehirn wird auf eine Weise beansprucht, die wir aus dem Alltag kaum kennen. Und ich finde, es geht nichts über das Aha-Erlebnis, wenn uns plötzlich die Lösung einer scheinbar unlösbaren Aufgabe erscheint.

Wie gesagt: Mathematik ist unter anderem, wenn man umständliches Rechnen vermeidet. Weil es oft viel kreativere, viel elegantere Wege gibt, eine Aufgabe zu lösen, als das Schema F, das wir in der Schule stupide gelernt haben.

Zwei Beispiele sollen das demonstrieren. Das erste kennen Sie wahrscheinlich:

Was ist die Summe der Zahlen von 1 bis 10?

Es gibt eine sehr schöne, quasi geometrische Lösung: Wir schreiben die zehn Zahlen als Punktmengen. Es gibt zehn Reihen. In der ersten ist ein Punkt, in der zweiten sind zwei und so weiter bis zur zehnten Reihe mit zehn Punkten.

Die folgende Skizze zeigt die Punkte – sie hilft uns allerdings zunächst nicht weiter.

Wenn wir aber die gleiche Punktmenge noch einmal um 180 Grad gedreht rechts daneben setzen, haben wir die Aufgabe gelöst.

Die beiden zusammengeschobenen Punktmengen bilden ein Rechteck aus zehn mal elf Punkten – also aus 110 Punkten. Diese Zahl müssen wir nur noch durch zwei teilen, weil die Punktmenge ja zweimal drinsteckt, und schon haben wir die richtige Lösung von 55.

Das zweite Beispiel ist nicht ganz so leicht – aber auch dabei besteht der Beweis aus einer einfachen Skizze, die nahezu selbsterklärend ist.

Wie groß ist die Summe von 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...? Also der Reziproken der Viererpotenzen beginnend bei 1/4?

Die Lösung lautet 1/3. Als Beweis dient ein Quadrat, das geviertelt wird. Und bei dem das obere rechte Viertel nochmals geviertelt wird – und zwar immer wieder. Siehe folgende Zeichnung:

Wenn wir die Summe 1/4 + 1/16 + 1/64 +... berechnen wollen, brauchen wir nur die dunkelgrauen Flächen aufzusummieren. Denn sie entsprechen 1/4, 1/16, 1/64 ... der Quadratfläche.

Jetzt kommt der entscheidende Trick: Nehmen wir zu jeder schwarzen Fläche auch die jeweils gleich großen weißen und hellgrauen Fläche hinzu, ist die Summe über all diese Flächen genauso groß wie das gesamte Quadrat. Also gilt:

Das teilen wir durch drei und haben das richtige Ergebnis.

War das zu kompliziert? Ich hoffe nicht.

Ich wünsche Ihnen viel Spaß mit den folgenden hundert Aufgaben! Und dass Sie möglichst oft erleben, wie aus dem Nichts eine elegante Lösung auftaucht.

Holger Dambeck

Hamburg, den 15.6.2017

Systematisch kreativ: Wie man Matherätsel angeht

Es ist sicher kein Zufall, dass Sie dieses Buch in den Händen halten. Sie mögen wahrscheinlich Mathematik – und sicher knobeln Sie auch gern. Damit Sie an den Rätseln auf den folgenden Seiten nicht verzweifeln, möchte ich Ihnen vorab ein paar Tipps geben. Leider kann ich Ihnen keine allgemein gültige Lösungsstrategie liefern – die gibt es schlicht nicht. Aber zumindest ein paar Ideen, wie man sich Kopfnüssen nähert.

Wenn Sie mein Buch »Je mehr Löcher, desto weniger Käse« gelesen haben, wird Ihnen der eine oder andere Tipp bekannt vorkommen. Dort gab es ein ganzes Kapitel über das Finden kreativer Lösungen. Ich habe meine Tipps hier kompakter formuliert und noch erweitert.

Nicht aufgeben, dranbleiben

Seien Sie beharrlich! Wenn Sie ein Problem lösen wollen, sollten Sie es erst einmal gründlich durchdenken. Blättern Sie nicht gleich zu den Lösungen, wenn Sie nicht sofort vorankommen. Haben Sie Geduld, lassen Sie das Problem ruhig erst mal sacken. Wenn Sie nicht weiterkommen, probieren Sie einfach erst einmal das nächste Rätsel. Das bringt Sie auf andere Gedanken und kann helfen, das bislang ungelöste Problem zu knacken. Womöglich kommt die zündende Idee auch ganz überraschend – zum Beispiel am nächsten Morgen beim Zähneputzen.

Aufgabentext genau analysieren

Zuallererst müssen Sie natürlich die Aufgabe selbst verstehen. Wenn Ihnen beim Lesen des Textes etwas spanisch vorkommt, sollten Sie aufhorchen. Oft liefern solche Stolpersteine in der Aufgabe nämlich wertvolle Hinweise. Nehmen wir als Beispiel Rätsel Nummer 12 aus diesem Buch:

Zwei russische Mathematiker treffen sich zufällig im Flugzeug. »Du hast drei Söhne, nicht wahr?«, fragt der eine. »Wie alt sind die denn jetzt?«

»Das Produkt der Jahre ist 36«, lautet die Antwort, »und die Summe der Jahre ist genau das heutige Datum.«

»Hm, das reicht mir noch nicht«, meint darauf der Kollege.

»Oh ja, stimmt, ich habe ganz vergessen zu erwähnen, dass mein ältester Sohn einen Hund hat.«

Wie alt sind die drei Söhne?

Finden Sie den Hinweis auf den Hund auch seltsam? Wenn Sie genauer darüber nachdenken, merken Sie, dass anstelle des Hundes auch eine Katze, eine Spielkonsole oder eine Haarfarbe stehen könnte. Trotzdem ist dieser Satz wichtig, aber wegen eines anderen Details. Mehr möchte ich an dieser Stelle noch nicht verraten.

Systematisch vorgehen

Sofern die möglichen Lösungen halbwegs überschaubar sind, kann es sich lohnen, alle denkbaren Kombinationen aufzuschreiben und sich jede einzeln anzuschauen. Das gilt ganz besonders für Logikrätsel. Beispiel: Sie haben die Aussagen von drei Personen und wissen, dass eine davon lügt. Wer könnte der Lügner sein?

Person A: »B lügt.«

Person B: »C lügt.«

Person C: »Ich lüge nicht.«

Machen Sie eine kleine Tabelle, auch Wahrheitstabelle genannt, in der alle zu unterscheidenden Fälle als eigene Spalte auftauchen:

Fall 1

Fall 2

Fall 3

Person A: »B lügt«

Lüge

wahr

wahr

Person B: »C lügt«

wahr

Lüge

wahr

Person C: »Ich lüge nicht«

wahr

wahr

Lüge

Widerspruch

möglich

Widerspruch

Dann untersuchen Sie für jeden Fall, ob die Aussagen dazu passen. Für den Fall 2 trifft das zu, in den Fällen 1 und 3 jedoch gibt es einen logischen Widerspruch. Zu Fall 1: B behauptet, das C lüge, aber der Lügner soll in diesem Fall ja A sein. Das ist ein Widerspruch. Im Fall 3 behauptet A, dass B lügt – aber der Lügner soll in diesem Fall C sein. Wegen dieser Widersprüche sind die Fälle 1 und 3 nicht möglich und entfallen. Nur Fall 2 ist noch möglich. Weil es dabei keine logischen Widersprüche gibt, kann nur B der Lügner sein.

Wenn möglich, vereinfachen

Oft geht es darum, etwas ganz allgemein zu beweisen – für alle denkbaren Konstellationen oder zumindest für große Anzahlen. Das kann einen überfordern, wenn man sich in das Problem hineindenken möchte. Wenn an einem Tisch zum Beispiel 100 Lügner und 100 Wahrheitsliebende sitzen, die komische Dinge sagen, schauen Sie sich doch erst mal eine stark vereinfachte Version an. Am Tisch sitzen dann eben zunächst nur zwei Lügner und zwei Personen, die stets die Wahrheit sagen. Versuchen Sie, das Problem erst in der simpleren Variante zu lösen. Vielleicht finden Sie dabei auch Wege, das größere Problem zu knacken.

Anders denken

Ausgetretene Pfade verlassen – das ist eine der wichtigsten Methoden, um kreative Ideen zu entwickeln. In der Mathematik fällt das oft schwer, weil wir einfach zu sehr in Lösungstechniken denken, die wir gelernt haben. Das ist wie Reisen mit der Eisenbahn. Wir können so nur die Orte erreichen, zu denen auch Schienen führen.

Oft hilft es schon, den Blickwinkel zu wechseln oder die Problemstellung etwas zu verändern. Vielleicht lässt sich eine Aufgabe mit Zahlen auch geometrisch lösen? Ein paar Beispiele:

Ein Mann startet seine Wanderung um 10 Uhr im Tal, um 14 Uhr kommt er an der Berghütte an. Dort übernachtet er und startet am nächsten Morgen um 10 Uhr die Wanderung zurück ins Tal. Weil es bergab geht, ist er eine ganze Weile vor 14 Uhr wieder zurück. Beweisen Sie, dass es mindestens eine Uhrzeit zwischen 10 und 14 Uhr gibt, zu der sich der Wanderer an beiden Tagen in exakt derselben Höhe befunden hat!

Wir wissen nichts über den Höhenverlauf der Wanderung und auch nichts über die Wandergeschwindigkeit. Trotzdem ist die Lösung ganz einfach, wenn wir die Aufgabe etwas verändern:

Zwei Männer starten um 10 Uhr eine höchstens vierstündige Wanderung. Der eine steigt aus dem Tal kommend auf den Berg, der andere ist in der entgegengesetzten Richtung unterwegs. Beweisen Sie, dass es mindestens eine Uhrzeit zwischen 10 und 14 Uhr gibt, zu der sich die Wanderer in exakt derselben Höhe befinden!

Nun, die Lösung ist einfach: Es ist der Moment, in dem sich die beiden Wanderer auf dem Wanderweg begegnen.

Noch eine andere Aufgabe:

Wie groß ist die Summe 1+2+3+4+…+97+98+99+100?

Man könnte das natürlich im Kopf oder mit einem Taschenrechner ausrechnen. Aber schon der junge Carl Friedrich Gauß wusste einen besseren Weg. Er sortierte die Zahlen um:

Wie groß ist die Summe 1+100+2+99+ …+50+51?

Das Ergebnis können wir direkt hinschreiben – es lautet 50×101=5.050.

Im letzten Beispiel für kreative Lösungswege geht es um einen Kalender, bei dem ein ganz besonderer Trick gefragt ist:

Ein Mann hat zwei Holzwürfel, mit denen er den Tag eines Monats von 01 bis 31 darstellen kann. Welche Ziffern stehen auf den Seiten der beiden Würfel?

Die Analyse des Problems ist relativ leicht: Auf jeden Würfel passen nur sechs Ziffern, also muss man die Ziffern von 0 bis 9 über beide Würfel verteilen. Fragt sich bloß wie? Die Tage eines Monats beginnen mit 01 und gehen bis 31. Es gibt also auf jeden Fall eine 11 und eine 22 – also müssen die 1 und die 2 auf beiden Würfeln vorkommen.

Wir brauchen jedoch auch auf beiden Würfeln die 0, um alle Tage von 01 bis 09 darstellen zu können. Denn es gibt neun Ziffern von 1 bis 9, und auf einen Würfel passen nur sechs verschiedene.

0, 1, 2 – damit sind auf den zwei Würfeln schon drei Seiten belegt. Sechs der insgesamt zwölf Seiten sind noch frei – dummerweise sind aber noch sieben Ziffern übrig –, nämlich 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Wenn wir zum Beispiel den ersten Würfel mit 0, 1, 2, 3, 4, 5 und den zweiten mit 0, 1, 2, 6, 7, 8 beschriften, ist die 9 nicht untergebracht.

Was nun? Existiert womöglich gar keine Lösung? Doch, es gibt eine, und wir haben sie sogar schon gefunden. Denn wenn wir eine 9 brauchen, stellen wir die 6 einfach auf den Kopf – und damit ist das Rätsel des Würfelkalenders gelöst.

Social Engineering

Manchmal sitze ich an einer Knobelaufgabe, von der ich fürchte, dass sie womöglich unüberschaubar viele Lösungen haben könnte. Nehmen wir folgendes Beispiel:

Finden Sie alle zehnstelligen Primzahlen, die jede der zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 enthält. (Eine Primzahl ist nur durch 1 und sich selbst teilbar.)

Wenn Sie sich ein wenig mit Kombinatorik auskennen, wissen Sie, dass aus den zehn Ziffern mehr als 3 Millionen verschiedene Zahlen gebildet werden können. Wie soll man bei jeder davon prüfen, ob sie eine Primzahl ist? Wer denkt sich eine so schwierige Aufgabe aus?

Viel wahrscheinlicher ist, dass es nur eine einzige oder gar keine Lösung gibt. In unserem Fall trifft Letzteres zu: Die Quersumme aller aus den zehn Ziffern gebildeten Zahlen ist immer gleich, nämlich 45(=1+2+3+4+5+6+7+8+9). Und 45 ist sowohl durch 3 als auch durch 9 teilbar. Damit haben wir bewiesen, dass alle diese Zahlen selbst durch 3 und 9 teilbar sind – und dass sie deshalb keine Primzahlen sein können.

Indirekt statt direkt

Eben ging es um theoretisch mehr als drei Millionen verschiedene Zahlen. Wir gehen noch einen Schritt weiter bis zu unendlich vielen.

Beweisen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen gibt!

Wir könnten versuchen, alle Primzahlen durchzunummerieren. Dabei würden wir feststellen, dass das Ganze einfach kein Ende nimmt. So kriegt man den Beweis auf keinen Fall hin.

Statt das Problem direkt zu lösen, gehen wir indirekt vor – quasi hintenherum. Einbrecher machen es im Grunde genauso: Sie knacken nicht etwa das dicke Schloss an der Hauseingangstür. Nein, sie gehen zur Rückseite des Hauses und finden dort ein leicht zu öffnendes Kellerfenster.

Bei einem indirekten Beweis beweisen wir eine Aussage nicht direkt – wir widerlegen stattdessen ihr Gegenteil. Dass indirekte Beweise überhaupt möglich sind, liegt an der logischen Konsistenz der Mathematik. Eine Aussage ist entweder richtig oder falsch. Und zwei sich widersprechende Aussagen können nicht zugleich wahr sein.

Wir nehmen also an, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt – und zwar n. Diese Primzahlen nennen wir p1, p2, p3 … pn. Nun bilden wir das Produkt:

p1×p2×p3×…×pn

Das ist eine natürliche Zahl mit einer interessanten Eigenschaft: Sie ist durch jede der n Primzahlen p1, p2, p3 … pnteilbar. Denn die Zahl ist ja das Produkt all dieser Primzahlen.

Jetzt kommt der eigentliche Trick. Wir addieren zu dem Produkt der n Primzahlen noch die Zahl 1 hinzu:

p1×p2×p3×…×pn+1