Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen E-Book

Felix Klein

• Herausgeber: DigiCat
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Veröffentlichungsjahr: 2022

Beschreibung

In "Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen" präsentiert Felix Klein eine tiefgehende Analyse der Entwicklung der Geometrie im 19. Jahrhundert. Klein illustriert nicht nur die mathematischen Theorien, sondern reflektiert auch deren historischen Kontext und Einfluss auf die moderne Mathematik. Durch einen klaren und präzisen Stil gelingt es ihm, komplexe Konzepte zugänglich zu machen, während er gleichzeitig die philosophischen Fragestellungen beleuchtet, die sich aus den neuen geometrischen Paradigmen ergeben. Diese vergleichende Untersuchung bietet nicht nur eine Erkundung der Geometrie, sondern ermutigt auch zu einem interdisziplinären Dialog zwischen Mathematik und Philosophie. Felix Klein, ein herausragender Mathematiker der Zeit, war bekannt für seine Beiträge zur Gruppen- und Funktionstheorie sowie seine Rolle in der Entwicklung der modernen Geometrie. Seine breite Ausbildung und Erfahrungen, einschließlich seiner Zeit als Professor in verschiedenen europäischen Städten, prägten seine innovativen Ansichten zur Geometrie. Klei ns Interesse an den Verbindungen zwischen verschiedenen mathematischen Disziplinen spiegelt sich deutlich in diesem Werk wider, das als integrativer Beitrag zur mathematischen Bildung weit reichende Anerkennung fand. Für Leser, die sich für die Entwicklung mathematischer Gedanken und deren philosophische Grundlagen interessieren, ist dieses Buch unverzichtbar. Es bietet nicht nur historische Einsichten, sondern auch Anregungen für neue Denkansätze und Forschungsrichtungen. Klains meisterhafte Erzählweise und sein profundes Wissen machen dieses Werk zu einer Quelle der Inspiration für Mathematiker, Philosophen und Bildungsinteressierte gleichermaßen.

Leseprobe

Felix Klein

Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen

 

EAN 8596547070719

DigiCat, 2022 Contact: [email protected]

Inhaltsverzeichnis

§.1. Gruppen von räumlichen Transformationen. Hauptgruppe. Aufstellung eines allgemeinen Problems.

§.2. Transformationsgruppen, von denen die eine die andere umfasst, werden nach einander adjungirt. Die verschiedenen Typen geometrischer Forschung und ihr gegenseitiges Verhältniss.

§.3. Die projectivische Geometrie.

§.4. Uebertragung durch Abbildung.

§.5. Von der Willkürlichkeit in der Wahl des Raumelements. Das Hessesche Uebertragungsprincip. Die Liniengeometrie.

§.6. Die Geometrie der reciproken Radien. Die Interpretation von x + i y .

§.7. Erweiterungen des Vorangehenden. Lie s Kugelgeometrie.

§.8. Aufzählung weiterer Methoden, denen eine Gruppe von Puncttransformationen zu Grunde liegt.

1. Die Gruppe der rationalen Umformungen.

2. Die Analysis situs.

3. Die Gruppe aller Puncttransformationen.

§.9. Von der Gruppe aller Berührungstransformationen.

§.10. Ueber beliebig ausgedehnte Mannigfaltigkeiten.

1. Die projectivische Behandlungsweise oder die moderne Algebra (Invariantentheorie) .

2. Die Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmaße.

3. Die ebene Mannigfaltigkeit.

Schlussbemerkungen.

Fußnote

I. Ueber den Gegensatz der synthetischen und analytischen Richtung in der neueren Geometrie.

II. Trennung der heutigen Geometrie in Disciplinen.

III. Ueber den Werth räumlicher Anschauung.

IV. Ueber Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen.

V. Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie.

VI. Liniengeometrie als Untersuchung einer Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmaße.

VII. Zur Interpretation der binären Formen.

1872

Erlangen

Verlag von Andreas Deichert

§.1. Gruppen von räumlichen Transformationen. Hauptgruppe. Aufstellung eines allgemeinen Problems.§.2. Transformationsgruppen, von denen die eine die andere umfasst, werden nach einander adjungirt. Die verschiedenen Typen geometrischer Forschung und ihr gegenseitiges Verhältniss.§.3. Die projectivische Geometrie.§.4. Uebertragung durch Abbildung.§.5. Von der Willkürlichkeit in der Wahl des Raumelements. Das Hessesche Uebertragungsprincip. Die Liniengeometrie.§.6. Die Geometrie der reciproken Radien. Die Interpretation von x + iy.§.7. Erweiterungen des Vorangehenden. Lies Kugelgeometrie.§.8. Aufzählung weiterer Methoden, denen eine Gruppe von Puncttransformationen zu Grunde liegt.1. Die Gruppe der rationalen Umformungen.2. Die Analysis situs.3. Die Gruppe aller Puncttransformationen.§.9. Von der Gruppe aller Berührungstransformationen.§.10. Ueber beliebig ausgedehnte Mannigfaltigkeiten.1. Die projectivische Behandlungsweise oder die moderne Algebra (Invariantentheorie).2. Die Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmaße.3. Die ebene Mannigfaltigkeit.Schlussbemerkungen.Noten.I. Ueber den Gegensatz der synthetischen und analytischen Richtung in der neueren Geometrie.II. Trennung der heutigen Geometrie in Disciplinen.III. Ueber den Werth räumlicher Anschauung.IV. Ueber Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen.V. Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie.VI. Liniengeometrie als Untersuchung einer Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmaße.VII. Zur Interpretation der binären Formen.

Unter den Leistungen der letzten fünfzig Jahre auf dem Gebiete der Geometrie nimmt die Ausbildung der projectivischen1 Geometrie die erste Stelle ein. Wenn es anfänglich schien, als sollten die sogenannten metrischen Beziehungen ihrer Behandlung nicht zugänglich sein, da sie beim Projiciren nicht ungeändert bleiben, so hat man in neuerer Zeit gelernt, auch sie vom projectivischen Standpuncte aufzufassen, so dass nun die projectivische Methode die gesammte Geometrie umspannt. Die metrischen Eigenschaften erscheinen in ihr nur nicht mehr als Eigenschaften der räumlichen Dinge an sich, sondern als Beziehungen derselben zu einem Fundamental-Gebilde, dem unendlich fernen Kugelkreise.

Vergleicht man mit der so allmählich gewonnenen Auffassungsweise der räumlichen Dinge die Vorstellungen der gewöhnlichen (elementaren) Geometrie, so entsteht die Frage nach einem allgemeinen Principe, nach welchem die beiden Methoden sich ausbilden konnten. Diese Frage erscheint um so wichtiger als sich neben die elementare und die projectivische Geometrie, ob auch minder entwickelt, eine Reihe anderer Methoden stellt, denen man dasselbe Recht selbständiger Existenz zugestehen muss. Dahin gehören die Geometrie der reciproken Radien, die Geometrie der rationalen Umformungen etc., wie sie in der Folge noch erwähnt und dargestellt werden sollen.

Wenn wir es im Nachstehenden unternehmen, ein solches Princip aufzustellen, so entwickeln wir wohl keinen eigentlich neuen Gedanken, sondern umgränzen nur klar und deutlich, was mehr oder minder bestimmt von Manchem gedacht worden ist. Aber es schien um so berechtigter, derartige zusammenfassende Betrachtungen zu publiciren, als die Geometrie, die doch ihrem Stoffe nach einheitlich ist, bei der raschen Entwicklung, die sie in der letzten Zeit genommen hat, nur zu sehr in eine Reihe von beinahe getrennten Disciplinen zerfallen ist2, die sich ziemlich unabhängig von einander weiter bilden. Es lag dabei aber auch noch die besondere Absicht vor, Methoden und Gesichtspuncte darzulegen, welche von Lie und mir in neueren Arbeiten entwickelt wurden. Es haben unsere beiderseitigen Arbeiten, auf wie verschiedenartige Gegenstände sie sich auch bezogen, übereinstimmend auf die hier dargelegte allgemeine Auffassungsweise hingedrängt, so dass es eine Art von Nothwendigkeit war, auch einmal diese zu erörtern und von ihr aus die betr. Arbeiten nach Inhalt und Tendenz zu characterisiren.