Adéntrate en las matemáticas universitarias con humor E-Book

Luis Martinez

• Herausgeber: Marcombo
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2023

Seitenzahl: 460

Beschreibung

Si deseas tener una buena base de matemáticas sin sufrimiento, este libro será tu gran aliado. Las matemáticas son los cimientos de todo aquello que nos rodea, más aún cuando te enfrentas a una carrera de ciencias, ingeniería o ingeniería técnica. Como dijo Galileo, el lenguaje de la ciencia está escrito en lenguaje matemático. Los estudiantes que inician sus estudios requieren de un conocimiento sólido de las bases matemáticas que les permitan seguir las asignaturas que verán a lo largo de su proceso formativo (Cálculo, Álgebra, Estadística, Matemática discreta, etc.). Este libro presenta una gran cantidad de teoría rigurosa desde el humor y con un tono desenfadado. Gracias a esta lectura, pasarás muy buenos momentos mientras afianzas, de forma autodidacta, los conocimientos matemáticos básicos. ·Disfrutarás de los diversos ejemplos presentados, que te aclararán la teoría desarrollada en el libro. ·Conseguirás realizar con éxito los ejercicios propuestos al final de cada capítulo. ¡Cuantos más problemas hagas, menos disgustos tendrás cuando te den las notas! ·Podrás corregir y comparar los ejercicios que realices con las soluciones incluidas en el contenido web del libro. ·Superarás el salto del instituto a la universidad. ¿¡A qué esperas!? Ha llegado el momento de entender el porqué de las cosas en matemáticas sin necesidad de memorizarlas. Deja ya a un lado los manuales arduos, inicia esta lectura amena y divertida para mejorar tus capacidades y lograr tus metas. El autor de este libro, Luis Martínez, es profesor titular del área de álgebra de la Universidad del País Vasco (UPV/EHU) y humorista vocacional con sus compañeros, amigos y familiares en sus ratos libres. Además de este libro sobre conocimiento básico de las matemáticas, Luis ha escrito Profundiza en las matemáticas universitarias con humor, un compendio para divertirte y reírte durante el proceso de aprendizaje de cuestiones matemáticas más avanzadas.

Leseprobe

Adéntrate en las matemáticas universitarias con humor

© 2023 Luis Martínez

Primera edición, 2023

© 2023 MARCOMBO, S. L.

www.marcombo.com

Diseño de cubierta: ENEDENÚ DISEÑO GRÁFICO

Maquetación: Luis Martínez

Corrección: Cristina Pazos

Directora de producción: M.a Rosa Castillo

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra

ISBN del libro en papel: 978-84-267-3677-2

ISBN del libro electrónico: 978-84-267-3717-5

Producción del ePub: booqlab

Índice general

Sobre el autor

Prefacio

1. El Lenguaje del Universo

1.1. ¿Por qué aprender este lenguaje?

1.2. La gramática de la matemática

1.3. El arte de la demostración

1.4. Ejercicios

2. La Importancia de ir Bien Conjuntado

2.1. ¡Menudos elementos!

2.2. ¡Bisturí, pinzas, tijeras!

2.3. ¡Hay que ser aplicados!

2.4. ¡Numerable o no numerable, esa es la cuestión!

2.5. En relación con lo anterior...

2.6. Ejercicios

3. El Espíritu de las Leyes

3.1. Operando voy, operando vengo

3.2. ¡Únete al grupo!

3.3. El anillo pa cuándo

3.4. Cocientando a fuego lento

3.5. Todo tiene que cambiar para que todo siga igual

3.6. Ejercicios

4. El Discreto Encanto de la Matemática Discreta

4.1. Contando ovejitas

4.2. Los matemáticos tenemos principios

4.3. Ordeno y mando

4.4. Los coeficientes prodigiosos

4.5. Ejercicios

5. Las Razones tienen su Razón de ser

5.1. ¿Qué altura tiene el campanario de su pueblo?

5.2. Juntos, pero no revueltos

5.3. Dar la vuelta a la tortilla

5.4. Los triángulos no rectángulos también existen

5.5. Ejercicios

6. Complejos, pero no Complicados

6.1.Imagine

6.2. Con jugar también se aprende

6.3. Las coordenadas polares les van a dejar fríos

6.4. Vayamos a la raíz del asunto

6.5. La función debe continuar

6.6. Ecuaciones tengas y las resuelvas

6.7. Ejercicios

Bibliografía

Índice alfabético

Sobre el autor

Luis Martínez es profesor titular del área de álgebra de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. Es especialista en combinatoria y matemática discreta, especialmente en sus aplicaciones a la biología y las ciencias biosanitarias. Ha publicado más de treinta artículos en revistas científicas de prestigio (por lo menos, lo eran hasta que publicó en ellas) y ha dirigido cinco proyectos de investigación y de innovación educativa y dos tesis doctorales. Le encantan las películas de humor y (paradójicamente) también las de terror. Disfruta las películas de los hermanos Marx, las películas y las series de Rowan Atkinson, los mundos televisivos de Matt Groening (a quien Dios conserve por muchas temporadas), las conversaciones telefónicas de Miguel Gila, los monólogos de Eva Hache y las series Big Bang Theory y Modern Family, así como las novelas de Eduardo Mendoza, de quien tiene que reconocer que este libro ha tenido alguna influencia estilística (salvando las distancias de que el autor de la presente monografía no ha recibido el premio Cervantes ni, a estas alturas, lo recibirá).

Prefacio

El título de este volumen deja claro el tema tratado, a saber, las matemáticas. Quisiera mencionar la audiencia a la que va dirigido, lo que espero que facilite la decisión de si comprarlo o no (en caso de duda, le recomiendo encarecidamente que se decante por el sí). Es, fundamentalmente, un libro de matemáticas, y la audiencia potencial son estudiantes de grados en carreras científicas, ingenierías o ingenierías técnicas.

El libro que ustedes tienen entre manos pretende crear un puente entre las matemáticas vistas en la ense˜nanza media (BUP y COU en los tiempos remotos de mocedad del autor, en los que no había todavía Internet y los teléfonos estaban unidos por un cable a la pared y, peor aún, ¡solo servían para llamar por teléfono!) y las matemáticas que se imparten en la universidad, es decir, la llamada antiguamente matemática moderna.

Desafortunadamente, suele haber a veces un salto entre el nivel de ambos tipos de matemáticas, salto que a buen seguro habrá desesperado a más de un estudiante de carreras científico-técnicas y habrá malogrado la obtención de algún que otro Premio Nobel. El objetivo de este libro es salvar este desnivel conceptual y que los alumnos puedan comprender mejor las matemáticas que luego verán en sus estudios de grado y posgrado en materias como el álgebra, el análisis matemático o la estadística.

Como las autoridades académicas, en su infinita sabiduría, se dieron cuenta hace tiempo de este problema, casi todos los grados científicos tienen incorporado en su currículum los llamados cursos cero de matemáticas, que suelen ser cursos en los que se tratan conceptos básicos que se necesitan en otros más avanzados y que muchas veces se presuponen conocidos por los estudiantes (presuposición que suele ser como los pimientos del padrón, que a veces es cierta y a veces no). Este libro puede ser un buen complemento para quien esté estudiando uno de dichos cursos cero, y espero que pueda ayudarle a un mejor aprovechamiento del mismo y a que disfrute de la belleza de las matemáticas.

El estilo de escritura del libro es desenfadado y humorístico (los lectores ya se habrán dado cuenta de esto por sí mismos, pero, por si acaso, me veo en la obligación de aclararlo), lo cual no es óbice para que el contenido matemático sea riguroso y serio. He querido compaginar en este texto las dos grandes pasiones de mi vida: el humor y las matemáticas. Hace a˜nos tuve que elegir entre ellas y finalmente me decidí por las matemáticas (siempre he tenido la sensación de que ambas salieron perdiendo con mi elección).

Pueden ver las partes humorísticas del libro como peque˜nos interludios para que no decaiga la atención (no deja de ser paradójico que para mantener la atención haya que distraerla cada cierto tiempo, pero estudios pedagógicos indican que es así y, si así lo dicen, será cierto).

Mezclar en un texto matemáticas y humor conlleva un riesgo: que no se sepa distinguir cuándo se está hablando en broma de cuándo se está hablando en serio. He tenido un especial cuidado en que no haya duda en ningún momento sobre si estoy hablando con animus jocandi o con animus docenti, y ustedes lo podrán distinguir claramente por el contexto. Además, ya hay precedentes en la literatura de autores que han osado mezclar los dos géneros, como los magníficos libros Los matemáticos no son gente seria1 ([2]) de Claudi Alsina y Miguel de Guzmán y El club de la hipotenusa ([1]) de Claudi Alsina.

Otra característica de este texto es que las explicaciones son detalladas y las demostraciones de los resultados se desglosan en peque˜nos pasos fácilmente comprensibles, en contraste con algunos libros en los que tan solo se da un peque˜no bosquejo de las demostraciones y los lectores tienen que pelearse con las mismas (ganando la pelea, más de una vez, las demostraciones). Soy consciente de que este estilo de contar las cosas desmenuzándolas en muy peque˜nos pasos puede hacer que les parezcan demasiado fáciles las explicaciones y hayan entendido lo que quiero contar desde mucho antes y se aburran. Esta es una de las razones de incluir comentarios humorísticos, para que, como les dije antes, puedan recuperar la atención y el interés en estos casos. También puede ocurrir, aunque creo que es muy poco probable, que las explicaciones les parezcan demasiado difíciles y no las entiendan. También, si esto ocurriera, el humor cumple una función, la de que pasen un buen rato y que por lo menos no hayan tirado el dinero comprando el libro.

Otro defecto, en mi opinión, de algunos textos de matemáticas, es que carecen casi por completo de ejemplos, como si considerasen de mal gusto ponerlos; aquí, por el contrario, he intentado poner abundantes ejemplos para que los lectores asienten los conceptos teóricos vistos y se familiaricen más con su uso.

He procurado no solo presentar los hechos matemáticos, sino también explicar los puntos sutiles de los mismos, que a veces se les pueden escapar a los estudiantes, y que les permiten comprenderlos con mayor profundidad. También he intentado se˜nalar los errores y malentendidos más habituales que suelen tener los alumnos; creo que tengo identificados estos errores frecuentes gracias a los, a pesar mío, muchos a˜nos de docencia que llevo impartiendo (a pesar mío por los a˜nos, no por la docencia, con la que sigo, afortunadamente, igual de entusiasmado que el primer día).

El orden de desarrollo de los conceptos matemáticos tratados no es lineal, ¡qué se le va a hacer!, mi cerebro tiene tres dimensiones y no lo puedo restringir a solo una (por más que lo ha intentado con ahínco la televisión). En particular, se tratan algunos conceptos, como el de número entero, divisibilidad, etc., que se estudian con más profundidad en capítulos posteriores, pero que son ya conocidos por los lectores por haberlos estudiado en el bachillerato, o que son tangenciales a los temas principales y que pueden ser encontrados fácilmente en Internet.

Al final de cada capítulo aparece un listado de algunos ejercicios y problemas. Sería recomendable hacerlos antes de empezar a leer el capítulo siguiente, para afianzar los conocimientos adquiridos y también porque la mejor manera de entender algo es mediante la práctica activa de la persona que aprende. No obstante lo anterior, en la web del libro www.elhumornoquitaelrigor.com se pueden encontrar las soluciones a los ejercicios propuestos, para que las puedan comparar con las que hayan dado ustedes o en caso de emergencia de que no les hayan salido o, peor aún, que no lo hayan intentado a pesar de mis severas admoniciones.

Debo y quiero agradecer a las personas que han facilitado que este libro haya podido salir a la luz.

Para el primer agradecimiento, debería remontarme muchos a˜nos atrás a cuando era muy ni˜no, antes de empezar a ir a la escuela. Mi abuela Felipa me leía los cómics, en aquella época llamados tebeos, del Capitán Trueno y el Jabato. Yo todavía no sabía leer, pero estoy convencido de que ahí empezó mi amor por la letra impresa.

Segundo, a mi esposa Magdalys, que ha tenido una inmensa paciencia conmigo mientras estaba dando forma al libro, cuya escritura ha requerido largas horas de dedicación en el despacho documentándome, redactando, cambiando y puliendo el texto; también ha requerido largas horas de dedicación fuera del despacho documentándome, redactando, cambiando y puliendo el texto. Por menos que eso ha habido más de un divorcio.

Tercero, a mi hijo Sergio. Tengo una apuesta pendiente con él de que puedo demostrar que en el fondo las matemáticas son divertidas, y creo que la he ganado.

Cuarto, a Alcira y a Manu, que han pulido y mejorado el estilo literario del documento, y me han corregido numerosos erorres ‘hortográficos’. Sin su ayuda, el libro habría sido más pesado y difícil de leer.

También me gustaría agradecer a Pedro, que ha mejorado y corregido el estilo matemático del libro.

Por último, pero no menos importante, a mi grupo de estudiantes de Matemáticas Básicas de primero de Matemáticas. Una parte del contenido del libro se basa en la materia impartida, con más seriedad, pompa y circunstancia, en dicho curso2, en el que las contribuciones de los estudiantes han sido destacadas y muchas veces han complementado y mejorado las clases magistrales3 que he impartido, así como me han señalado algunas pequeñas erratas que se me escapaban de vez en cuando4.

Sin más preámbulo (¡literalmente!), los lectores pueden pasar a leer los distintos capítulos del libro (o a hacer cualquier otra actividad, si lo prefieren, pero no se olviden de volver en algún momento al mismo, aquí les estaré esperando).

___________________

1No es cierto, casi siempre lo somos.

2Los lectores podrán encontrar sin mucho esfuerzo la correspondencia entre los títulos pintorescos de algunos capítulos y los títulos de los temas que aparecen en la guía docente oficial.

3Se llaman así técnicamente, no es que vaya ‘de sobrao’.

4Sin duda, dichas aposta para comprobar si estaban atendiendo.

Capítulo 1

El Lenguaje del Universo

1.1. ¿Por qué aprender este lenguaje?

Parafraseando a Galileo1, el libro de la ciencia está escrito en el lenguaje de las matemáticas y, por lo tanto, es importante tener hoy en día un conocimiento matemático avanzado para poder manejarse en cualquier disciplina científica. Hay algunas áreas en las que las matemáticas juegan un papel más destacado, como en las propias matemáticas, pero como sé que me van a decir que ese ejemplo no vale, también podría mencionar casos como la física teórica, que está altamente matematizada; por ejemplo, en palabras de Per-Olov Löwdin (1988), en el capítulo The Mathematical Definition of a Molecule and Molecular Structure del libro [13], se dice que un sistema de electrones y núcleos atómicos forman una molécula si el Hamiltoniano de Coulomb, con el centro de masas eliminado, tiene una energía de estado fundamental E0 (¡alucino pepinillos!2).

También hay otras áreas, como podrían ser la sociología, la economía o la psicología, en las que la matemática juega un papel importante, pero que no tienen el nivel de precisión de la física, en la que las predicciones se pueden verificar hasta las milmillonésimas partes de unidades3; como ilustración de esto, hay una frase atribuida a un presidente, al que no identificaré por la duda razonable sobre su autoría, que dice: ‘tengo cien asesores económicos, y uno de ellos tiene razón, pero no sé quién es’.

En cualquier caso, la usen en mayor o menor medida, todas las ciencias ‘hablan’ el lenguaje de las matemáticas, y es necesario comprender sus términos arcanos como ‘definición’, ‘teorema’, ‘corolario’ y demás expresiones que asustan al principio, y sería deseable conseguir, si no dominar a la perfección dicho lenguaje, por lo menos chapurrearlo un poco.

1.2. La gramática de la matemática

Análogamente a como los lenguajes naturales, como pueden ser el español, inglés, francés, italiano, etc., tienen sus categorías gramaticales (por ejemplo: los sustantivos, adjetivos, pronombres o verbos, entre otros), también el lenguaje matemático tiene sus categorías4, y entre ellas están las definiciones, teoremas, proposiciones, lemas y corolarios. En este lenguaje, las definiciones jugarían un papel similar al de los sustantivos en los lenguajes naturales, e introducen de forma precisa y sin ambigüedad conceptos y objetos matemáticos. Lo mismo que en cualquier idioma es necesario saber con la mayor exactitud, dentro de lo posible, el significado de una palabra, con el fin de decidir si algo encaja o no como caso particular de un concepto, también en matemáticas hay que saber delimitar los objetos que se manejan. Por ejemplo, se define un número entero par como un número entero divisible por 25 (habrán observado, y de aquí en adelante lo harán por el contexto, que el 5 no es un exponente sino el número de nota a pie de página, y que ¡Para que un número sea par no tiene por qué ser divisible por 32, sino por 2!). Las definiciones pueden remitirse a otras definiciones previas. En el ejemplo ya mencionado de la definición de número par, esta requeriría de dos definiciones anteriores, que son la de número entero y la de que un número entero divida a otro6. Dado que una cadena de definiciones no se puede remitir infinitas veces a otras definiciones anteriores (mayormente por falta de tiempo para aprenderlas todas), algunos objetos se toman como objetos primitivos no definidos, como por ejemplo la definición de ‘elemento’ en la teoría axiomática de conjuntos).

Las notaciones representan de forma gráfica escueta los objetos definidos y las relaciones entre los mismos. Sería el análogo del significante en el signo lingü´ ıstico, que es la forma material de representar dicho signo por escrito o de transmitirlo a través del sonido (y que está formado por fonemas y morfemas). Por ejemplo, Mn,m(ℝ) representa las matrices con n filas y m columnas cuyas entradas son números reales, es decir, es una notación para indicar las matrices con un número determinado de filas y columnas que contienen números reales. Esto nos ahorra el usar larguísimos circunloquios del estilo de ‘consideremos el conjunto de matrices con tres filas y cinco columnas con entradas reales’, que alargarían las clases más allá del tiempo prudencial marcado por la hora de finalización de las mismas.

Las notaciones, con todo lo útiles que pueden llegar a ser, son arbitrarias y podrían ser sustituidas por otras diferentes (¡y, de hecho, a menudo lo son, para desesperación de los lectores!), y no son lo principal en el discurso matemático, ya que el papel principal lo desempeñan los razonamientos e ideas de fondo. Por ejemplo, se escribió en relación al teorema de Waring, que tiene que ver con los números primos y que, aunque lleva su nombre, no lo consiguió demostrar el propio Waring, que parecía difícil demostrarlo dada la carencia de notaciones para representar a los números primos. El famoso matemático Carl Friedrich Gauss demostró el teorema y señaló que ‘tales verdades deberían percibirse por medio de las nociones más que por las notaciones’ (lo que muestra que a Gauss también le gustaba hacer juegos de palabras).

Contradiciendo parcialmente (pero solo un poquito) lo dicho en el párrafo anterior, recuerdo las palabras de un profesor que nos dijo que una buena notación, a veces, ayuda a recordar y entender los teoremas. Este es el caso, por ejemplo, de la notación para representar la derivada de la función f en el punto x. Usando esta notación, la famosa regla de la cadena del cálculo diferencial para hallar la derivada de una composición de funciones dice que, si f y g son funciones, entonces:

Los teoremas indican relaciones entre las definiciones y, de alguna manera, introducen una cierta dinámica en el mundo estático de las definiciones e indican ‘hechos’ matemáticos. Por seguir la analogía de la gramática en los lenguajes naturales usados por los seres humanos para comunicarse, habría un cierto paralelismo con los verbos (no hay que llevar la analogía demasiado lejos, es simplemente una comparación sencilla; en rigor, quizás un verbo, que indica la realización de una acción, tenga una similitud mayor con una función f, que recibe una entrada x y produce una salida f(x)). Tampoco sería descabellado comparar un teorema con una oración 7, con su sujeto y su predicado y todo lo que haga falta. Más específicamente, un teorema es una declaración cuya verdad se demuestra a partir de otras declaraciones previamente probadas y de axiomas, que son ciertas declaraciones básicas que se asumen inicialmente, como por ejemplo el bien conocido axioma de las paralelas de Euclides8. La demostración consiste en utilizar una argumentación lógica siguiendo las reglas establecidas en un sistema deductivo9, dividiendo la prueba en pequeños pasos fácilmente comprensibles (o a veces no tanto, dependiendo del nivel de dificultad del libro o de los conocimientos que presuponga el autor que puedan tener los lectores). A menudo10, la validez de la conclusión de un teorema (tesis) se deduce de que se cumplan ciertas hipótesis previas.

Un ejemplo bien conocido es el teorema de Pitágoras, el cual dice que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Veamos un ejemplo de teorema sencillo pero ilustrativo, con su correspondiente demostración:

Teorema 1.2.1.La suma de dos números pares es un número par.

Quizás les extrañe el cuadradito al final de la demostración. Esto en matemáticas suele indicar... precisamente eso: ¡el final de una demostración!

El teorema anterior también se podría haber enunciado en términos de hipótesis-tesis, en la forma ‘Si a, b son dos números enteros pares, entonces a + b es un número entero par’. En esta estructuración del enunciado, la validez de la tesis queda garantizada siempre que sea cierto que a y b son números enteros pares, y puede no ser cierto en caso contrario, por ejemplo si a y b fueran bocadillos de mortadela (en ese caso ni siquiera tendría sentido sumarlos, ni mucho menos decir que la suma es par, pese a lo cual estarían deliciosos). La tesis del teorema también podría cumplirse aunque no sean ciertas las hipótesis: por ejemplo, sumado con da como resultado 2, que es un número entero par, a pesar de que ni ni son números enteros pares. Sencillamente, el teorema no contempla esta situación y se centra en analizar lo que ocurre cuando ambos sumandos son números enteros pares.

¿COMPUTACIÓN O DEMOSTRACIÓN?

El famoso teorema de los cuatro colores fue demostrado por Kenneth Appel y Wolfgang Haken ([4]) con ayuda de un ordenador. El teorema afirma que cuatro colores son suficientes para colorear cualquier mapa de forma que dos países con frontera común se pinten con colores distintos. La demostración del teorema requirió la consideración de varios miles de casos que fueron analizados uno por uno por un ordenador. Hubo cierta polémica al respecto, porque había quienes opinaban que una demostración matemática no puede darse por buena si un ser humano no ha comprobado personalmente todos los detalles de la misma, mientras que otras personas opinaban que era perfectamente válido como demostración. En fin, decidan ustedes mismos, queridos lectores, para gustos están los colores.

En matemáticas se suele hablar también de proposiciones. Estas son declaraciones a las que se puede asociar un ‘valor de verdad’ que puede ser ‘verdadero’ o ‘falso’. A veces se suelen considerar en la práctica como equivalentes al término ‘teoremas’ en los libros de texto cuando se exponen los contenidos de una materia, tomando implícitamente las proposiciones como declaraciones verdaderas (habida cuenta de lo desconsiderado que sería por parte del autor presentar en el texto proposiciones falsas); de hecho, en algunos libros suelen desarrollar los contenidos utilizando teoremas y en otros libros utilizando proposiciones. También suelen a veces considerarse los teoremas como algunas proposiciones más importantes y destacadas; por ejemplo, todo el mundo conoce el teorema de Pitágoras, y a nadie se le ocurriría hablar de la proposición de Pitágoras (excepto quizá el propio Pitágoras cuando pidió matrimonio a su esposa). Con este último criterio, los teoremas serían una especie de proposiciones venidas a más, y es el que usaré en este libro, hablando en general de proposiciones y destacando algunas de ellas como teoremas.

Los lemas son los teloneros de las grandes estrellas que son los teoremas. Son proposiciones auxiliares que, aunque tienen su propio interés teórico, se emplean para demostrar un teorema más destacado. No son, en absoluto, partes menores de la matemática, y algunos tienen nombre propio asociado a sus descubridores, como por ejemplo el lema de Zorn y el lema de Nakayama.

Por último, los corolarios son proposiciones que son una consecuencia sencilla de otro teorema más destacado y que también suelen tener un interés matemático independiente del teorema del que provienen.

En matemáticas se usan mucho, sobre todo en los enunciados de teoremas, las expresiones condicionales del tipo ‘sicondición, entonces deducción’. Esto quiere decir que, siempre que la condición sea cierta, lo que se deduce también es cierto. Formalizando lo anterior, los condicionales se pueden escribir como ‘si P, entonces Q’, e indica que Q se deduce de P. También se suele decir en este caso que ‘Q si P’ (que no lleve a confusión el que ahora hayamos puesto la Q a la izquierda, el punto importante es que la hipótesis es la que va después del ‘si’, lo otro es la tesis), o que ‘P implica Q’ (esto último se denota por P ⇒ Q). Todas ellas son distintas expresiones para decir lo mismo. Un ejemplo sería: ‘Si n es un múltiplo de 4, entonces n es un número par’ (lo cual es obviamente cierto), que se puede decir también como ‘n es un número par si es múltiplo de 4’, o ‘n es múltiplo de 4 implica que n es par’, o también ‘si n es múltiplo de 4 se deduce que n es par’.

Observemos que aunque ‘si P, entonces Q’ sea cierto, puede ser falso que ‘si Q, entonces P’. Por ejemplo, ya hemos visto que ‘si n es múltiplo de 4, entonces n es par’ es cierto, pero no es cierto que, si n es par, entonces n es múltiplo de 4, ya que, por ejemplo, 2 es par pero no es múltiplo de 4.

La situación matemática más paradisiaca es cuando ‘Q si P y también Q solo si P’, es decir, cuando P ⇒ Q y Q ⇒ P. Cuando esto pasa se dice, de forma abreviada, que ‘Q si y solo si P’. En este caso, Q se deduce de P y también P se deduce de Q, y así, cuando P es cierto también Q es cierto y cuando Q es cierto también P es cierto (de esto último se deduce que, si P es falso también Q es falso, pues desde el punto de vista de la lógica ‘Q implica P’ es lo mismo que ‘no P implica no Q’). O sea, que la interpretación de ‘Q si y solo si P’ es que ambas toman siempre el mismo valor de verdad: cuando una es cierta la otra también y cuando una es falsa la otra también, y P y Q son dos caras de la misma moneda, es decir, estamos viendo un mismo hecho matemático bajo dos puntos de vista: el ofrecido por P y el ofrecido por Q. Por ejemplo, es bien conocido que un número es divisible por diez si y solo si acaba en cero o en cinco. Es decir, si un número es divisible por diez, podemos garantizar que acaba en cero o en cinco, y recíprocamente, si un número acaba en cero o en cinco, entonces, ¡pardiez!, es seguro que es divisible por diez.

Para acabarlo de rematar con los trabalenguas del si y el solo si, quisiera comentar que se suelen utilizar también las palabras necesario y suficiente. Así, ‘Q si P’13 se suele expresar diciendo que ‘P es suficiente para que se dé Q’, y ‘Q solo si P’ se suele expresar como ‘P es necesario para que se dé P’. Juntando ambos, ‘Q si y solo si P’ se suele decir como ‘para que se dé P es necesario y suficiente que se dé Q‘.

¡Es suficiente por ahora!

1.3. El arte de la demostración

Conseguir demostrar un teorema requiere que se den varias condiciones. Lo primero y principal, que lo que afirma el teorema sea cierto, porque si no mal empezamos. Suponiendo que se dé esta condición, hace falta un 25 % de técnica, un 25 % de arte, un 25 % de inteligencia, un 20 % de experiencia previa en haber demostrado anteriormente otros teoremas y un 5 % de suerte. Es decir, que no hay un camino asfaltado por el que discurre la demostración, sino que al principio hay un terreno pedregoso y es el propio matemático que la hace el que tiene que ir construyendo el camino14.

A pesar de lo anterior, sí que hay una una serie de técnicas de demostración ampliamente utilizadas, de las que veremos algunas en esta sección.

Comenzaremos con la demostración por reducción al absurdo. Una forma de probar una afirmación es suponer que es falso lo que se quiere probar y llegar a una contradicción, es decir, a una sentencia de la que se demuestra que es cierta y también que es falsa; a esto se le llama también llegar a un absurdo, de donde viene el nombre de la técnica. Dicho de otra forma, y tomando las palabras de Maurice de Talleyrand, ‘lo que no puede ser, no puede ser, y además es imposible’. Veremos un ejemplo a continuación:

Teorema 1.3.1.es irracional.

Al principio cuesta familiarizarse con las demostraciones por reducción al absurdo. Algo nos dice que ‘no es correcto ni lícito’ suponer que se cumple lo contrario de lo que queremos demostrar (y cuya veracidad seguramente tenemos en una alta consideración). Desechemos esas prevenciones: cuando suponemos que lo que se quiere probar es falso no afirmamos que es falso, es tan solo una hipótesis, y formular hipótesis es libre, no tienen que nacer con el marchamo y la garantía de veracidad. De hecho, una vez obtenida una contradicción, se concluye que la negación de lo que se quiere demostrar es falso, y ahí está precisamente el quid de la cuestión, ya que la ley del tercero excluido de la lógica clásica dice que una proposición tiene que ser o bien verdadera o bien falsa17, no hay más posibilidades, por lo que si no es falsa, es verdadera, y punto y pelota.

Otra técnica muy conocida y utilizada es la demostración por inducción (que no consiste en meter el teorema en el horno). Para demostrar por inducción la veracidad de una serie de propiedades matemáticas Pn para cada n ∈ ℕ, se demuestra primero que P1 es cierta (esto se llama la base de la inducción) y después se supone que Pn es cierta (esto se llama la hipótesis de inducción), donde n ≥ 1, y a partir de esa suposición se demuestra que también Pn+1 es cierta (al proceso completo de demostrar que ‘si Pn es cierto, entonces Pn+1 también lo es’ se le llama el paso de la inducción18)19. Este modo de proceder tiene a primera vista algo de misterioso, ya que se empieza suponiendo que la propiedad es cierta para n, es decir, se parte de que Pn es cierta, y a partir de ello se demuestra que también Pn+1 es cierta. La primera vez que le cuentan a uno dicho método casi da la sensación de que le están engañando y que hay gato encerrado, ¿qué es eso de suponer que lo que queremos probar se cumple para un índice n?, ¿se puede hacer eso? En realidad no hay trampa ni cartón y todo es perfectamente válido. Como dije al hablar de las demostraciones por reducción al absurdo, introducir una hipótesis no hace que su veracidad quede escrita en piedra, sino que es algo que simplemente se supone y que puede ser desde una indicación de en qué condiciones se cumple un teorema, cuando hablamos de las hipótesis en el enunciado de un teorema, hasta algo que se va a refutar posteriormente en el caso de una demostración por reducción al absurdo. En el caso que nos ocupa de las demostraciones por inducción es simplemente un trampolín que nos permite concluir la veracidad de la propiedad para n + 1 siempre que se haya cumplido previamente para n. No se dice que Pn sea cierto, sino que se demuestra que en el caso de que Pn fuera cierto, entonces también Pn+1 sería cierto. La primera parte de dicha frase, la de suponer que Pn es cierto, no es una prueba de veracidad de Pn, sino simplemente eso, una hipótesis. Ahora entra en juego el otro elemento de la inducción, a saber, que P1 es cierto, lo cual sí se demuestra, aunque normalmente su demostración suele ser insultantemente sencilla. A esto, como ya dije, se le llama la base de la inducción. Y esta base, a pesar de su apariencia modesta, es el disparador de la cadena de acontecimientos. Una vez probado que P1 es cierta, y teniendo en cuenta que también hemos probado que si P1 es cierta entonces P2 también lo es20, concluimos que se cumple P2. Observemos que, en este caso, la hipótesis de inducción de que P1 es cierta, de hecho, no es ya una mera hipótesis, sino que ha sido probada al demostrar la base de la inducción. Ahora haríamos un razonamiento similar: P2 es cierto y de ahí deducimos que también P3 es cierto, y así sucesivamente... hasta el infinito y más allá, como dijo Buzz Lightyear. Se suele poner el siguiente ejemplo para ilustrar el proceso de demostración por inducción: es como poner en fila infinitas fichas de dominó; demostrar que, si Pn es cierto entonces Pn + 1 también lo es sería como decir que si la ficha que está en posición n cae, entonces también va a caer la siguiente, que está en posición n + 1, y la base de la inducción consistiría en empujar la primera ficha. Todos hemos visto en la tele o en Youtube (según la edad del lector) lo que pasa a continuación: todas las fichas van cayendo en cascada una detrás de la otra y cada ficha, por lejos que esté de la primera, cae eventualmente en algún momento.

Hay un principio matemático que justifica las demostraciones por inducción, que es el principio de inducción. Este dice que si se tiene un conjunto A de números naturales que satisface las dos propiedades siguientes:

1. 1 ∈ A,

2. ∀n ∈ ℕ, si n ∈ A, entonces n + 1 ∈ A,

Veamos ahora un ejemplo de una demostración matemática por inducción.

Teorema 1.3.2.Si n es un número natural, entonces:

A veces una propiedad Pn no se cumple para todo número natural, pero sí se cumple a partir de cierto número natural. Esto lleva a la siguiente variante del método de demostración por inducción: probar que Pm se cumple para cierto número natural concreto m y, luego, para cada n ≥ m demostrar que, si se satisface Pn, entonces también lo hace Pn+1. En esta variante, la base de la inducción ya no es ver que se cumple P1, sino que se cumple Pm, y el paso de la inducción ya no se demuestra para todo número natural n, sino para todo número natural a partir de m. Una vez probadas ambas cosas, queda así demostrado que la propiedad se cumple para todos los números naturales n ≥ m. Mostraré ahora un ejemplo concreto:

Proposición 1.3.1.Si n ∈ ℕ y n ≥ 4, entonces:

2n > 3n.

Otra variante del método de inducción es la demostración por inducción completa, en la que, para demostrar que se cumple Pn para todo número natural n, se demuestra que P1 es cierto y, después, suponiendo que Pi es cierto para todo i menor o igual que n, se demuestra que también lo es para n + 1. Esto, a primera vista, parece más complicado que la demostración por inducción ya estudiada, pero suele ser útil cuando es fácil demostrar Pn+1 no necesariamente a partir de Pn, sino a partir de algún Pi con algún i no determinado pero del que se sabe que cumple que i ≤ n. Poniendo todos estos i en la hipótesis de inducción, nos curamos en salud de cuál sea el apropiado.

Un posible ejemplo de demostración por inducción completa es el siguiente:

Teorema 1.3.3.Todo número natural n se puede descomponer como un producto de números primos.

Está claro por qué es necesario usar la inducción completa en la demostración anterior: no es cierto que r ni s tengan que ser n, tan solo se puede garantizar que son menores o iguales que n.

1.4. Ejercicios

1. Definir los siguientes conceptos:

a) Grupo abeliano.

b) Cuerpo.

c) Espacio vectorial.

d) Espacio topológico.

2. ¿Cuáles son las notaciones más habituales para los siguientes conceptos?

a) Los conjuntos de los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos.

b) Pertenencia de un elemento a un conjunto.

c) Integral definida de una función.

3. Dar un ejemplo de algún teorema clásico de las matemáticas distinto de los ya presentados en el texto.

4. En una habitación hay un grupo de personas y algunas de ellas se dan un apretón de manos (no necesariamente solo una vez con la misma persona ni tampoco necesariamente todas con todas). Demostrar que el número de personas que dan un número impar de apretones de manos es par.

5.

a) Demostrar el siguiente lema:

Lema. La suma de los ángulos internos de un triángulo es de π radianes.

b) Enunciar un teorema en el que se determine la suma de los ángulos internos de un polígono convexo con n lados y demostrarlo utilizando el lema del apartado anterior.

6. Demostrar el siguiente corolario del teorema de Pitágoras:

Corolario. En un triángulo rectángulo la longitud de cada cateto es menor que la longitud de la hipotenusa.

7. Demostrar que n rectas en posición general24 dividen al plano en regiones.

8. Probar que para todo número natural n se satisface que:

9. Demostrar que, si ai ∈ (−1, 0] ∀i ∈ {1, . . ., n}, entonces:

10. Demostrar que es un número irracional.

11. Probar que la única solución en números enteros de la ecuación:

___________________

1Como ya habrán observado, una parte de los contenidos del libro, importante pero que se aparta un poco de la corriente principal de las ideas presentadas, se desarrolla en las notas al margen del texto. No podía ser menos en un libro marginal como pretende ser este. A pesar de ello, recomiendo encarecidamente la lectura de dichas notas. Si está leyendo esta, que no viene al caso y no tiene nada que ver con Galileo, es que me ha hecho caso y hemos comenzado con buen pie (de página).

2Esto último lo digo yo, no es parte de la cita.

3¡O más!

4Hay una rama de las matemáticas llamada teoría de categorías, pero es una cosa distinta y, a pesar de lo dicho, es mejor no irse por las ramas.

5Los números enteros se definirán con rigor y se estudiarán con más profundidad más adelante, pero intuitivamente podemos decir que son los números positivos, negativos o nulos que no tienen decimales, es decir, que están ‘enteros’, ya lo dice el nombre, ¿no?; esto no es del todo cierto, pero se non è vero, è ben trovato, ya que en realidad tienen infinitos decimales, que pueden ser todos ellos iguales a 0 (por ejemplo, 2 es 2.000 . . .) o también puede ocurrir que todos ellos sean iguales a 9 (por ejemplo, 1.999 . . . sería una forma innecesariamente complicada de hablar del número 2).

6Y, si me apuran, la propia definición de 2.

7Gramatical, no religiosa.

8¿Que no lo conocen ustedes? Que no cunda el pánico, no pasa nada: viene a decir que dada una recta r en un plano y un punto P de dicho plano, hay una única recta que es paralela a r y pasa por P.

9No voy a definir lo que es un sistema deductivo, por no alargarnos ad calendas graecas; baste decir que es un sistema de reglas que nos permiten deducir una conclusión a partir de varias premisas. Una de las más conocidas es el modus ponendo ponens, que dice que si P implica Q y se cumple P, entonces también se cumple Q. Seguro que ya conocen el ejemplo: ‘Todos los hombres son mortales. Sócrates es un hombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal’. La cicuta ya dejó constancia del hecho sin tener que usar el modus ponendo ponens.

10Por no decir siempre, ya que a veces parece que no hay hipótesis porque estas se sobreentienden y a veces no se ponen en el enunciado para no recargar la notación.

11La expresión ‘sean...’ es habitual en los enunciados de los teoremas y en sus demostraciones. A pesar de lo grandilocuente que parece a primera vista, en este caso lo que quiere decir es que, como queremos demostrar que la suma de dos números pares es par, empezamos tomando dos números pares cualesquiera; como necesitamos analizarlos posteriormente, los denotamos por a y b, respectivamente, aunque también se podrían haber usado otras letras distintas.

13O, lo que es lo mismo, ‘si P, entonces Q’.

14Como bien dijo Antonio Machado: ‘Caminante, no hay camino, se hace camino al andar.’

15Es decir, que sus únicos divisores comunes son 1 y −1.

16Ya que el cuadrado de un impar es de nuevo impar.

17Hay lógicas no clásicas, como por ejemplo la lógica borrosa, en las que se tienen valores de veracidad comprendidos entre 0 (falso) y 1 (verdadero). En esta lógica, también llamada lógica fuzzy, algo puede tener un valor de veracidad de, pongamos por caso, 0.15, de forma que es ‘un poquito verdadero’. La lógica fuzzy es más cercana a la lógica que usamos en el mundo real, en la que no todo es completamente blanco o completamente negro, sino que suele tener distintos tonos de gris, y tiene muchas aplicaciones técnicas en ingeniería, como por ejemplo en el desarrollo de sistemas de transporte por metro o de lavadoras inteligentes (en este caso, no deja la ropa gris, sino que se ahorra en uso de energía y detergente).

18Que no es que el estudiante se haya aburrido ya y pase de hacerla.

19Otra forma equivalente de hacer una demostración por inducción es ver que se cumple P1 y que, si se satisface Pn−1, con n ≥ 2, entonces también se cumple Pn. En el fondo es lo mismo, lo único que hacemos es renombrar los índices.

21También podríamos haber sido astutos y sacar factor común a n + 1, de forma que . Si esto les parece un recurso de idea feliz y creen que en su estado inicial de aprendices Padawan no se les hubiera ocurrido nunca, no se preocupen, siempre pueden desarrollar completamente la expresión, como hemos hecho arriba, y la cosa irá bien siempre que tengamos una factorización con la que compararla (como, afortunadamente, ha ocurrido en este caso).

22El convenio se sustenta en que si no hay ningún factor por el que multiplicar el producto se queda ‘inerte’, es decir, es el elemento neutro de la multiplicación, que es el 1. Se suele hacer algo similar para las sumas sin sumandos, para las cuales se conviene en que el resultado es 0, que es el elemento neutro para la suma.

23¡Sí, que narices, también esto se considera una factorización!

24Esto quiere decir que son dos a dos no paralelas y no hay más de dos rectas que se corten en un mismo punto.

Capítulo 2

La Importancia de ir Bien Conjuntado

2.1. ¡Menudos elementos!

La teoría de conjuntos está en la base de prácticamente todas las áreas de las matemáticas. Como hemos visto en los ejercicios del tema anterior, a partir de ellos se forman estructuras algebraicas como los grupos, cuerpos, y espacios vectoriales, y también otro tipo de estructuras, como los espacios topológicos. También sustentan, en geometría, estructuras como los espacios afines o los espacios proyectivos o, en la teoría de la probabilidad, los espacios probabilísticos, etc.

Se considera a Georg Cantor como el fundador de la teoría de conjuntos entendida como una disciplina matemática independiente con sus propios métodos de trabajo y su propio objeto de estudio. Cantor definió un conjunto como ‘una colección en un todo de determinados y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento’, definición que, aun estando pensada para aplicarla a conceptos matemáticos, hay que reconocer que lo mismo es aplicable al conjunto de los polígonos regulares que a los miembros de una asociación de amigos de las empanadillas de queso.

Pronto se vio que esta forma de entender los conjuntos llevaba a paradojas y contradicciones. Bertrand Russell planteó la llamada, por razones obvias, paradoja de Russell, que venía a decir lo siguiente: consideramos el conjunto formado por los elementos que no se pertenecen a sí mismos1. Ahora nos planteamos la pregunta ¿es dicho conjunto un elemento de sí mismo? Esta pregunta debería tener una respuesta definida, ya que para todo conjunto debe ser posible saber, al menos teóricamente, aunque pueda ser difícil de determinar en la práctica, si un elemento está o no está en el conjunto. Si la respuesta a la pregunta anterior es ‘sí’, entonces, por definición del conjunto, no sería un elemento de sí mismo, con lo que se llegaría a una contradicción. Por otra parte, si la respuesta es ‘no’, entonces, de nuevo por definición del conjunto, sí sería elemento de sí mismo.

Esta paradoja, planteada de forma analítica usando notaciones de la teoría de conjuntos y, en particular, usando el símbolo ∈ introducido en un problema del tema anterior para denotar la pertenencia de un elemento a un conjunto, sería:

Consideremos el conjunto:

Si A ∈ A, entonces A ∉ A y, si A ∉ A, entonces A ∈ A, con lo que en ambos casos se llega a un absurdo. Esta paradoja se suele presentar, de forma equivalente, como la paradoja del barbero2, en la que tenemos un barbero que afeita a los que no se afeitan a sí mismos. ¿Quién afeita al barbero? Si se afeitara él mismo, llegaríamos a una contradicción, ya que afeita precisamente a los que no se afeitan a sí mismos3. Si no se afeitara él mismo, también llegaríamos a una contradicción, ya que, por definición, entonces sí entraría él mismo en el grupo de personas a las que afeita. En fin, este pobre barbero parece condenado a no afeitarse ni ser afeitado nunca en su vida.

Este tipo de paradojas produjeron desazón, susto y pasmo en la comunidad matemática, y llevó al matemático David Hilbert a decir su famosa frase ‘Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros’. La solución vino a través de la axiomatización de la teoría de conjuntos por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel (axiomática de Zermelo-Fraenkel), que establecieron como objetos primitivos los elementos, los conjuntos y la relación de pertenencia de un elemento a un conjunto, así como ciertos axiomas y construcciones de conjuntos nuevos a partir de conjuntos antiguos.