Algebra für Dummies E-Book

Mary Jane Sterling

• Herausgeber: Wiley-VCH GmbH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2023

Seitenzahl: 481

Beschreibung

Algebra ist für viele ein notwendiges Übel. Doch mit dem richtigen Wissen bewältigen Sie auch diese Herausforderung. Mary Jane Sterling erklärt Ihnen die grundlegenden Regeln zum Rechnen mit Brüchen und Wurzeln, wie Sie lineare und quadratische Gleichungen lösen und wie Sie mit Textaufgaben umgehen. So ist dieses Buch auch denjenigen ein treuer Begleiter, die Ihre Algebra auffrischen müssen. Wem Exponenten und der Satz des Pythagoras die Haare zu Berge stehen lassen und wem Buchstaben in Formeln den Schweiß auf die Stirn treiben, dem hilft dieses Buch auf einfache und humorvolle Art und Weise.

Leseprobe

Algebra für Dummies

Schummelseite

GLEICHHEITS- UND VERHäLTNISZEICHEN

= gleich

≠ nicht gleich

≈ annähernd gleich

< kleiner als

≤ kleiner gleich

> größer als

≥ größer gleich

GRAFISCHES DARSTELLEN

Mittelpunkt 

Entfernung 

Steigung    

REGELN ZUM FAKTORISIEREN

REIHENFOLGE VON RECHNUNGEN

Potenzen oder WurzelnMultiplikation oder DivisionAddition oder Subtraktion

EXPONENTEN-REGELN

BESONDERE FORMELN

Abc-Formel

Satz des Pythagoras

DIE ERSTEN 100 PRIMZAHLEN

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509

521

523

541

DIE ERSTEN 20 QUADRATZAHLEN

DIE ERSTEN 10 KUBIKZAHLEN

WICHTIGE FORMELN

Formel

Bedeutung

Der Inhalt eines Kreises entspricht π-mal den Radius im Quadrat.

Der Umfang eines Kreises entspricht π-mal den Durchmesser.

Der Inhalt eines Rechtecks entspricht der Länge mal der Breite.

Das Volumen eines Zylinders entspricht der Grundfläche mal der Höhe.

Das Volumen einer quadratischen Pyramide entspricht einem Drittel der Grundfläche mal der Höhe.

Die Strecke entspricht der Geschwindigkeit mal der Zeit.

Die einfache Verzinsung entspricht dem Grundwert mal den Zinssatz mal der Zeit.

Der Endbetrag, den man beim Zinseszins erhält, entspricht dem Grundwert mal der Summe von 1 und dem Zinssatz geteilt durch die Häufigkeit der neuen Berechnungsgrundlage hoch das Produkt der Häufigkeit der neuen Berechnungsgrundlage mal der Anzahl von Jahren.

Der Gewinn entspricht dem Erlös (Umsatz) minus der Kosten.

Der Erlös (Umsatz) entspricht dem Absatz in Stück (Menge) mal den Preis.

Algebra für Dummies

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

4. Auflage 2023

© 2023 WILEY-VCH GmbH, Boschstraße 12, 69469 Weinheim, Germany

Original English language edition Algebra I For Dummies © 2001 by Wiley Publishing, Inc. All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation published by arrangement with John Wiley and Sons, Inc.

Copyright der englischsprachigen Originalausgabe Algebra I For Dummies © 2001 by Wiley Publishing, Inc. Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Diese Übersetzung wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Coverfoto: Irin Fierce – stock.adobe.comKorrektur: Petra Heubach-Erdmann

Print ISBN: 978-3-527-72094-1ePub ISBN: 978-3-527-84285-8

Über die Autorin

Mary Jane Sterling unterrichtet seit ihrem Hochschul-Abschluss. Durch ihre Tätigkeit an Realschulen, Gymnasien und anderen Lehranstalten hat sie umfassende didaktische Erfahrungen gesammelt. Seit 1979 ist sie Lehrerin an der Bradley University in Peoria, Illinois.

Widmung

Die Autorin möchte dieses Buch ihrem Mann Ted und ihren drei Kindern Jon, Jim und Jane aus Dankbarkeit für ihre Liebe und Unterstützung widmen. Außerdem widmet sie es den beiden Lehrern, denen sie ihren beruflichen Werdegang zu verdanken hat, Catherine Kay und Alba Biagini. Zuletzt widmet sie das Buch ihrem Neffen Timothy – für seinen Mut und sein Vertrauen.

Danksagung

Die Autorin möchte mehreren Menschen danken, die dieses Buch ermöglicht haben: Mike Kantor für seine sorgfältige fachliche Durchsicht sowie vielen Leuten des Wiley-Verlags; Roxane Cerda dafür, dass sie das Konzept ins Leben gerufen hat, Susan Decker dafür, dass es aufgegriffen und abgeschlossen werden konnte, und vor allem Kathleen Dobie und Esmeralda St. Clair für ihre Anstöße, ihren sanften Druck und die Herkulestat des Lektorierens, mit der sie dem Projekt den letzten Schliff gegeben haben.

Über den Fachkorrektor

Christoph Maas lehrte viele Jahre lang Ingenieurmathematik an der Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg. Er ist Autor der Bücher »Stochastik kompakt für Dummies« und »Wiley-Schnellkurs Analysis«.

Inhaltsverzeichnis

Cover

Titelblatt

Impressum

Über die Autorin

Widmung

Danksagung

Über den Fachkorrektor

Einleitung

Über dieses Buch

Konventionen in diesem Buch

Was Sie nicht lesen müssen

Törichte Annahme über den Leser

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Wie es weitergeht

Teil I: Einmal ganz von vorne

Kapitel 1: Die Werkzeugkiste füllen

Mit den Grundlagen anfangen: Zahlen

Variablen variieren

Algebra sprechen

Rechenarten unter der Lupe

Nach den Regeln spielen

Kapitel 2: Vorzeichen erkennen: Positive und negative Zahlen

(Vor-)Zeichen setzen

Mit dem Rechnen loslegen

Mit Vorzeichen rechnen

Rechnen mit nichts: Null und Vorzeichen

Assoziativ- und Kommutativgesetz

Übungen

Kapitel 3: Brüche begreifen und mit Dezimalzahlen klarkommen

Zahlen zerlegen und wieder zusammensetzen

Kürzungen, wohin man blickt

Gleichnamige Brüche

Was Brüche alles können

Mit Dezimalzahlen klarkommen

Übungen

Kapitel 4: Exponenten entdecken und Wurzeln würdigen

Gleiche Zahlen mit sich selbst multiplizieren

Exponentielle Ausdrücke erforschen

Multiplizierte Exponenten

Geteilte Exponenten

Die Null als Exponent

Mit negativen Exponenten arbeiten

Potenzen potenzieren

Wurzeln verwurzeln

Übungen

Kapitel 5: In richtiger Reihenfolge rechnen und Lösungen überprüfen

Rechnungen ordnen

Mit Proben prüfen

Ergebnisse verständlich formulieren

Übungen

Kapitel 6: Sich zum Rechnen rüsten

Ein paar Einschränkungen einhalten

Zahlen mit Buchstaben darstellen

Mathematisch werden

Variablen multiplizieren und dividieren

Alles anwenden

Übungen

Teil II: Faktorisieren verstehen

Kapitel 7: Produktive Primzahlen

Das Wesentliche zu Anfang

Sich mit zusammengesetzten Zahlen auseinandersetzen

Primfaktorzerlegung ausschreiben

Primfaktorzerlegung ergründen

Übungen

Kapitel 8: Geteilte Freude: Das Distributivgesetz

Gerecht verteilt

Vorzeichen verteilen

Variablen ins Spiel bringen

Mehr als einen Term ausmultiplizieren

Besonders verteilt: Binomische Formeln

Übungen

Kapitel 9: Faktorisieren im ersten Grad

Faktorisieren

Zusammenfassen

Übungen

Kapitel 10: Faktorisieren im zweiten Grad

Quadratische Terme kennenlernen

Große Zahlen zähmen

Jeder Term mit jedem Term

Faktorisieren für Fortgeschrittene

Terme verschiedentlich faktorisieren

Übungen

Kapitel 11: Besonderes Faktorisieren

Brave Binome

An Trinomen und Größerem tüfteln

Wissen, wann es genug ist

Übungen

Teil III: Mit Gleichungen arbeiten

Kapitel 12: Mit linearen Gleichungen Bekanntschaft schließen

Lösen mit der Division

Lösen mit der Multiplikation

Lösen mit dem Kehrwert

Gleichungen aufstellen

Übungen

Kapitel 13: Lineare Gleichungen lösen

Ausgeglichene Gleichungen

Den Regeln folgen

Verhältnisgleichungen

Variable Lösungen

Unmögliche Lösungen

Übungen

Kapitel 14: Mit quadratischen Gleichungen glänzen

Sich für quadratische Gleichungen qualifizieren

Verwurzelte Lösungen quadratischer Gleichungen

Lösen durch Faktorisieren

Quadratische Gleichungen mit drei Termen

Quadratische Gleichungen anwenden

abc-Formel

Übungen

Kapitel 15: Mit höhergradigen Gleichungen rechnen

Kubische Gleichungen kennenlernen

Mit quadratischen Gleichungen zu höheren Potenzen

Entwurzelte Wurzeln

Das Horner-Schema

Übungen

Kapitel 16: Ungleichungen zum Ausgleich

Rechnen mit Ungleichungen

Lineare Ungleichungen lösen

Mit mehr als zwei Termen arbeiten

Quadratische Ungleichungen lösen

Beträge bewältigen

Übungen

Teil IV: Algebra anwenden

Kapitel 17: Folgenreiche Formeln

Gut bemessen

Flächen finden: Inhalt

Voll gefüllte Volumen

Entfernung, Geschwindigkeit, Zeit

Zinsen und Prozent berechnen

Zinsen verzeichnen und verzinsen

Permutation und Kombination kennenlernen

Eigene Formeln (er)finden

Übungen

Kapitel 18: Textaufgaben für den Alltag

Textaufgaben lösen lernen

Mit Umfang, Fläche und Volumen loslegen

Mischungsrechnungen aufmischen

Rechnen zahlt sich aus: Geld

Entfernungen ermitteln

Rechtwinklige Dreiecke zurechtrücken

Kreise umrunden

Übungen

Kapitel 19: Visualisieren: Graphen

Grafisch darstellen und verstehen

Graphen begreifen

Punkte richtig setzen

Geraden eintragen

Schnittige Schnittpunkte

Stetige Steigungen

Steigung und Schnittpunkt kombinieren

Parallele und rechtwinklige Geraden konstruieren

Schnittpunkte zweier Geraden

Packende Parabeln

Übungen

Teil V: Der Top-Ten-Teil

Kapitel 20: Zehn weitverbreitete Anfängerfehler

Binome quadrieren

Ausmultiplizieren

Brüche aufteilen

Wurzeln aufteilen

Reihenfolge von Rechnungen

Gebrochene Exponenten

Grundzahlen multiplizieren

Potenzen potenzieren

Brüche kürzen

Negative Exponenten

Kapitel 21: Zehn Möglichkeiten des Faktorisierens

Zwei Terme mit einem ggT

Die Differenz zweier Quadrate

Die Differenz zweier Kubikzahlen

Die Summe zweier Kubikzahlen

Drei Terme mit einem ggT

Ein Trinom in zwei Binome faktorisieren

Am quadratischen Lösungsweg orientieren

Vier oder mehr Terme mit einem ggT

Vier oder mehr Terme zusammenfassen

Vier oder mehr Terme ungleich zusammenfassen

Kapitel 22: Zehn Teilbarkeitsregeln

Teilbarkeit durch 2

Teilbarkeit durch 3

Teilbarkeit durch 4

Teilbarkeit durch 5

Teilbarkeit durch 6

Teilbarkeit durch 8

Teilbarkeit durch 9

Teilbarkeit durch 10

Teilbarkeit durch 11

Teilbarkeit durch 12

Kapitel 23: Zehn Schritte beim Lösen von Textaufgaben

Eine Skizze zeichnen

Eine Liste erstellen

Variablen für Zahlen wählen

Wörter in Zeichen übersetzen

Den letzten Satz beachten

Eine Formel finden

Mit Ersetzungen vereinfachen

Eine Gleichung lösen

Den Sinn prüfen

Die Genauigkeit kontrollieren

Glossar

Lösungen der Übungsaufgaben

Kapitel 2

Kapitel 3

Kapitel 4

Kapitel 5

Kapitel 6

Kapitel 7

Kapitel 8

Kapitel 9

Kapitel 10

Kapitel 11

Kapitel 12

Kapitel 13

Kapitel 14

Kapitel 15

Kapitel 16

Kapitel 17

Kapitel 18

Kapitel 19

Abbildungsverzeichnis

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

Tabellenverzeichnis

Kapitel 2

Tabelle 2.1: Positive und negative Zahlen vergleichen

Kapitel 3

Tabelle 3.1: Ein paar Beispiele aus dem Leben

Kapitel 4

Tabelle 4.1: Ein paar bekanntere Wurzeln

Kapitel 7

Tabelle 7.1: Primzahlen unter 100

Kapitel 8

Tabelle 8.1: Die ersten zehn Kubikzahlen

Kapitel 19

Tabelle 19.1: Quadranten und Achsen

Illustrationsverzeichnis

Kapitel 2

Abbildung 2.1: Ein paar positive Zahlen aufgereiht

Abbildung 2.2: Negative Zahlen nach links aufgereiht

Abbildung 2.3: Positive und negative Zahlen auf einer Zahlengeraden

Kapitel 3

Abbildung 3.1: 48 von 60 oder 4 von 5? Sie entscheiden!

Kapitel 10

Abbildung 10.1: Jeder Term mit jedem Term

Kapitel 17

Abbildung 17.1: Rechtecke, Kreise, romanische Fenster – was es nic...

Kapitel 18

Abbildung 18.1: Das Volumen ist festgelegt durch Länge mal Breite ...

Abbildung 18.2: Manche Völker glauben, dass Pyramiden schützende K...

Abbildung 18.3: Fußbälle, Planeten, Sonnen und manchmal auch Orang...

Abbildung 18.4: Ein Nudelholz ohne Griffe ist ein Zylinder, ebenso...

Abbildung 18.5: Gefäße zu zeichnen kann Ihnen beim Visualisieren h...

Abbildung 18.6: Drachen und Dreiecke

Abbildung 18.7: Der Durchmesser ist die längste Strecke innerhalb ...

Kapitel 19

Abbildung 19.1: Alle Möglichkeiten für

Abbildung 19.2: Alle Möglichkeiten für

Abbildung 19.3: Ein Koordinatensystem mit x-Achse, y-Achse, Urspru...

Abbildung 19.4: Koordinatenpaare mit ihren zugehörigen Punkten

Abbildung 19.5: Die Punkte A bis K in das Koordinatensystem einget...

Abbildung 19.6: Punkte in einer Linie, eine Gerade bildend

Abbildung 19.7: Verbinden Sie die Punkte und erhalten Sie dadurch ...

Abbildung 19.8: Horizontale Geraden verlaufen parallel zur x-Achse...

Abbildung 19.9: Sind alle x-Koordinaten gleich, erhalten Sie eine ...

Abbildung 19.10: Eine Menge Geraden – und ihre Steigungen

Abbildung 19.11: Horizontale Geraden haben eine Steigung von null...

Abbildung 19.12: Zeichnen Sie zuerst den Schnittpunkt mit der y-A...

Abbildung 19.13: Der Graph der Gleichung

y

 = −3

x

 + 2

Abbildung 19.14: Parallele Geraden sind wie Bahngleise, rechtwink...

Abbildung 19.15: Der Schnittpunkt zweier Geraden in (1|–2)

Abbildung 19.16: Die einfachste Parabel: eine Normalparabel mit y...

Abbildung 19.17: Eine steilere und eine flachere Parabel

Abbildung 19.18: Parabeln in Löffelchen-Stellung

Abbildung 19.19: Parabeln hübsch aufgereiht

Abbildung 19.20: Parabel-Parade

Abbildung 19.21: Die Parabel y = (x − 3)

2

+ 2

Abbildung 19.22: Die Parabel

Orientierungspunkte

Cover

Titelblatt

Impressum

Über die Autorin

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Fangen Sie an zu lesen

Glossar

Lösungen der Übungsaufgaben

Abbildungsverzeichnis

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

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Einleitung

Mal ganz ehrlich: Haben Sie heute Morgen beim Aufstehen damit gerechnet, diese Einleitung zu einem Algebra-Buch zu lesen? Stand es ganz oben auf Ihrer Zu-erledigen-Liste? Ich bin froh, dass Sie damit angefangen haben, aber: Warum tun Sie es?

Sie befinden sich wahrscheinlich in einer der beiden folgenden Situationen:

Sie haben den Schritt gewagt und dieses Buch gekauft.

Sie schauen erst einmal, was Sie erwartet, bevor Sie sich zum Kauf entschließen.

In beiden Fällen wünschen Sie sich vermutlich eine gute Begründung, warum Sie sich die Mühe machen sollten, dieses Buch zu lesen und Algebra zu lernen.

Eine der Fragen, die man am häufigsten in Mathematik-Klassen hört, lautet: »Wofür werde ich das je brauchen?« Manche Lehrer können darauf eine gute und überzeugende Antwort geben. Andere winden sich verlegen und starren schweigend auf den Boden. Meine Lieblingsantwort ist: »Algebra verleiht Macht.« Algebra verleiht einem die Macht, höhere und wichtigere Mathematik zu verstehen. Algebra verleiht einem die Macht, zu wissen, dass man etwas weiß, was der Nachbar nicht weiß. Algebra verleiht einem die Macht, jemand anderem bei einer Algebra-Aufgabe zu helfen oder seinem Kind logische mathematische Zusammenhänge zu erklären. Algebra ist ein universales und auf der ganzen Welt verstandenes System von Zeichen und Regeln. Algebra bietet ein klares, systematisches und vor allem nachvollziehbares Verfahren. Es ist ein organisierendes Hilfsmittel, das unter Befolgung der entsprechenden Regeln sehr nützlich ist. Was für eine Macht!

Dieses Buch ist kein Krimi: Sie müssen es nicht an einem Stück von vorne bis hinten lesen. Sie können einen Blick in das letzte Kapitel wagen, ohne sich die Spannung verderben zu lassen. Das Buch ist unterteilt in umfassende Themen: von den ersten Grundlagen bis hin zu wichtigem Handwerkszeug wie faktorisieren, Gleichungen erstellen oder Algebra konkret anwenden. Ich habe versucht, die Regeln an möglichst vielen verschiedenen Beispielen zu illustrieren, von denen jedes einen anderen Zugang zum Problem aufzeigt. Um das Verständnis zu erleichtern, werden die Beispiele Schritt für Schritt erklärt.

Das verwendete Vokabular ist mathematisch korrekt und gleichzeitig verständlich. Ich hoffe, dass sich Ihnen neben dem »Wie« auch das »Warum« der Algebra erschließt. Meistens ist es einfacher, sich an eine Regel zu erinnern, wenn man sie verstanden hat – anstatt einer bedeutungslosen Liste von Anleitungen zu folgen.

Über dieses Buch

Wenn Sie einen ersten Zugang zur Algebra suchen, finden Sie alles, was Sie brauchen, in Teil I des Buchs. Diese Grundlagen kann man mit dem Grundwissen eines Kochs vergleichen: Es ist unmöglich, ein Soufflé zuzubereiten, ohne zu wissen, wie man Eier schlägt oder den Ofen anschaltet. Ihre späteren Erfolge werden von Ihren Vorbereitungen abhängen. Es kann natürlich sein, dass Sie die Grundlagen schon draufhaben. Sehr schön! Wie wäre es dann mit Teil II?

Im zweiten Teil erkläre ich sehr ausführlich das Faktorisieren. Faktorisieren ist wirklich nicht mehr, als das Aussehen eines Terms zu verändern, indem alles zum Produkt geschrieben wird. Man kann lernen, welche der Techniken des Faktorisierens man anwenden muss, wenn man bei einer Aufgabe nicht weiterkommt.

Und falls Sie auf Gleichungen aus sind: In Teil III finden Sie jede Art von Gleichung, die Sie sich wünschen könnten – von den ganz einfachen bis zu den komplexesten. Je schwieriger die Gleichungen werden, desto mehr Regeln und Methoden kommen zur Anwendung. Als Ausgleich werden natürlich auch Ungleichungen geboten.

Teil IV beantwortet hauptsächlich die Frage: »Wofür das Ganze?« Die Beispiele in diesen Kapiteln sind eher praktischer Natur und befassen sich mit den Anwendungsmöglichkeiten der Algebra, also Dingen, die Sie tatsächlich einmal brauchen können.

Der Top-Ten-Teil bietet ein paar hilfreiche Verzeichnisse. Vielleicht sind für Sie nur zwei oder drei Punkte einer Liste relevant oder Sie lesen sich den ganzen Teil von vorn bis hinten durch – nutzen Sie diese kleine Hilfe, wie Sie möchten.

Haben Sie Spaß mit Algebra! Stellen Sie sich dieses Buch vor wie die »Hilfe«-Taste des Computers: Wenn Sie ein Problem haben, werden Sie die Antwort finden (und das hoffentlich verständlicher als bei einigen dieser Computer-»Hilfen«).

Konventionen in diesem Buch

Es gibt zwei Arten, Zahlen auszudrücken: als sogenannte arabische Ziffern oder als ausgeschriebene Wörter. Ich habe versucht, auch in den Beschreibungen möglichst oft arabische Zahlen zu verwenden, um die Beispiele so übersichtlich wie möglich zu gestalten.

Fachausdrücke sind kursiv gesetzt und werden erklärt. Die wichtigsten Ausdrücke finden Sie zum schnellen Nachschlagen auch am Ende des Buchs im Glossar.

Ich arbeite mit vielen Schritt-für-Schritt-Anleitungen, um die Sachverhalte wirklich klar darzustellen. Meistens folgen diesen generellen Schritten ein paar Beispiele, damit Sie lernen, die Regeln in verschiedenen Situationen anzuwenden.

Was Sie nicht lesen müssen

Sie können schon eine Menge lernen, wenn Sie sich lediglich von Symbol zu Symbol (die verschiedenen Arten von Symbolen lernen Sie weiter unten kennen) durcharbeiten. Diese Texte fassen den Stoff sehr knapp zusammen. Wenn Sie allerdings mehr ins Detail gehen möchten, müssen Sie auch »zwischen den Zeichen« lesen.

Viele der grauen Kästchen bieten historische Informationen – Mathematiker-Leben liefern zwar keine Hollywood-Stoffe, aber einige dieser Persönlichkeiten haben ziemlich interessante Dinge gemacht. Hier finden Sie auch ein paar meiner Lieblingsanekdoten für eine gelegentliche Abwechslung. Sie können sich selbst aussuchen, wie viele und welche dieser Geschichten Sie lesen möchten.

Törichte Annahme über den Leser

Ich nehme nicht an, dass Sie so verrückt nach Mathematik sind wie ich – vielleicht sind Sie noch viel versessener darauf! Auf jeden Fall nehme ich an, dass Sie hier eine Aufgabe zu erfüllen haben – Ihr Wissen wieder aufzufrischen, Ihre grauen Zellen zu trainieren oder einfach neugierig zu sein. Ich nehme außerdem an, dass Sie schon einmal mit Algebra zu tun hatten, ob sehr intensiv für kurze Zeit, über einen längeren Zeitraum vor langer Zeit oder auch nur ganz unerheblich.

Wahrscheinlich hatten Sie Mathematik in der Schule. Vielleicht können Sie sich auch an einen Ihrer Mathe-Lehrer erinnern. Ich persönlich erinnere mich daran, wie Frau Pohl sagte: »Das ist ein n.« Meine ganze heilige Zahlenwelt war plötzlich durcheinandergebracht. Möchten Sie noch einmal Algebra lernen, um diesen fast vergessenen Unterricht aufzufrischen? Oder kommt Ihre Tochter oder Ihr Sohn mit einer Aufgabe nach Hause, die Ihr Erinnerungsvermögen übersteigt? Keine Angst – Hilfe liegt vor Ihnen!

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Wo finden Sie einfach, was Sie schnell brauchen? Dieses Buch untergliedert sich in Abschnitte, die sortiert sind nach den meistdiskutierten und -gelehrten Begriffen der elementaren Algebra.

Teil I: Einmal ganz von vorne

Die »Gründerväter« der Algebra gründeten alle ihre Regeln auf der Voraussetzung, dass man sich über ein paar wesentliche Dinge einig ist. Das ist wie in der Sprache: Jeder wird zustimmen, dass das Wort »Tisch« beispielsweise immer die gleiche Sache bezeichnet. Das gilt ebenso für die Algebra. Jeder bedient sich derselben Regeln bei Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, den Brüchen, Exponenten und so weiter. Algebra könnte nicht funktionieren, wenn die elementaren Regeln für jeden anders aussehen würden; es wäre nicht möglich zu kommunizieren. Die Grundregeln, die ich in Teil I beschreibe, sollen Ihnen einen Überblick geben über all diese Konventionen, auf die man sich im Laufe der Jahre verständigt hat.

Hier finden Sie die Grundlagen der Arithmetik, der Brüche, der Potenzen und der Vorzeichen. Dieses Handwerkszeug werden Sie brauchen, um mit dem Stoff der folgenden Kapitel klarzukommen. Die Einführung konzentriert sich auf die häufig gebrauchten Algebra-Techniken. Wenn Sie mit den späteren Kapiteln arbeiten, können Sie immer wieder im ersten Teil nachschlagen.

In diesen ersten Kapiteln führe ich Sie in die Welt der Buchstaben und Zeichen ein. Zuerst kommt einem der Umgang mit diesen Zeichen und Zahlen wie eine neu zu erlernende Sprache vor. Es gibt ein Vokabular, einige häufig gebrauchte Ausdrücke und bestimmte Gepflogenheiten. Diese Sprache ist der Ausgangspunkt für alles Weitere.

Teil II: Faktorisieren verstehen

In diesem Teil geht es um Faktorisieren und Vereinfachen. Wenige algebraische Prozesse sind wichtiger als das Faktorisieren. Dabei werden Ausdrücke anders geschrieben, um ein Problem leichter lösen zu können. Beim Faktorisieren werden aus Additionen und Subtraktionen Multiplikationen und Divisionen. Viele Probleme können ganz einfach aufgelöst werden, wenn man sich das wunderbare Multiplikationsverhalten von null zunutze macht. Im Wesentlichen handelt es sich dabei um die Tatsache, dass man eine Null bekommt, wenn man mit einer Null multipliziert. Hört sich simpel an und ist doch so unglaublich wichtig.

Es gibt einfaches Faktorisieren, bei dem man lediglich Ähnlichkeiten feststellen muss. Und es gibt komplizierteres Faktorisieren, bei dem man nicht nur ein Schema erkennen muss, sondern auch, welche der infrage kommenden Regeln anzuwenden ist. Aber keine Bedenken, ich werde sie Schritt für Schritt einführen.

Teil III: Mit Gleichungen arbeiten

Hier werden hauptsächlich Antworten gefunden. Es gibt sehr elegante Methoden, Gleichungen zu lösen – aber auch ausgesprochen skrupellose. Ich zeige Ihnen vielerlei Gleichungen und ebenso viele Methoden, sie zu lösen. Normalerweise gebe ich Ihnen für jeden Gleichung-Typ eine Lösungsmethode an die Hand. Aber wenn es Sinn ergibt, biete ich Ihnen Alternativen an, damit Sie sehen können, dass manche Methoden in bestimmten Fällen besser sind als andere.

Teil IV: Algebra anwenden

In Teil IV finden Sie den ganzen Sinn und Zweck von Algebra: alltägliche Beispiele (und weniger alltägliche), bekannte Situationen (und völlig unbekannte). Es ist zwar nicht genug Platz, um Ihnen jedes mögliche Problem vorzuführen, aber ich zeige Ihnen genug praktische Anwendungsmöglichkeiten, um Sie für nahezu jede Situation vorzubereiten, in der Sie Algebra in der Zukunft brauchen könnten.

Teil V: Der Top-Ten-Teil

Hier lernen Sie die zehn häufigsten Fehler kennen, die in der Algebra gemacht werden, außerdem zehn Arten, eine quadratische Gleichung zu faktorisieren, zehn der geläufigsten Teilbarkeitsregeln und zehn Schritte, eine Textaufgabe zu lösen.

Im Anhang finden Sie ein Glossar mit den wichtigsten Begriffen zur Algebra und Mathematik.

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Die hübschen kleinen Symbole am Rand des Buchs sollen Ihre Aufmerksamkeit auf ganz spezielle Texte lenken. Folgende Symbole werden im Buch verwendet:

Hier finden Sie Grundregeln der Algebra (oder der Mathematik im Allgemeinen), die beachtet werden müssen. Sie können weder angepasst noch ignoriert werden.

Diese Texte zur Erinnerung sollen dazu beitragen, gerade behandelte Zeichen oder Verfahren zu klären. Das jeweilige Thema wurde entweder bereits in einem anderen Kapitel erklärt oder ich erinnere einfach an eine grundlegende Algebra-Regel. Wenn die Schule bei Ihnen schon länger zurückliegt, werden Sie feststellen, dass sich die Namen mancher Verfahren geändert haben.

Vorsicht Fachsprache: Hier erhalten Sie eine Definition oder Erklärung für einen Verfahrensschritt oder einen Fachbegriff.

Die in Tipp gebotenen Informationen sind nicht unbedingt notwendig, können Ihnen das Leben aber erheblich erleichtern – zumindest Ihr Algebra-Leben.

Vorsicht! Dieses Symbol soll Sie vor häufig gemachten Fehlern bewahren. Bei den hier behandelten Rechnungen handelt es sich um besonders verzwickte mathematische Situationen – vor denen ich Sie mit meinen Texten warnen möchte.

Wie es weitergeht

Beginnen Sie mit Teil I, wenn Sie Ihr Grundwissen auffrischen oder Ihr Selbstvertrauen stärken möchten. Sind Sie bereit, das Faktorisieren zu üben, und wollen lernen, welche Methode Sie wann anwenden müssen? Gehen Sie gleich zu Teil II! Teil III ist für Lernende, die sofort mit Gleichungen beginnen möchten – dort finden Sie so ungefähr jede Sorte davon. Teil IV bietet Einsatzmöglichkeiten der Algebra: alles, wofür Sie Ihre richtigen Lösungen je brauchen könnten. Die Listen im fünften Teil sind eigentlich zum Nachschlagen, nachdem Sie einen der anderen Teile durchgearbeitet haben – aber warum sollten Sie nicht auch hiermit anfangen?

Algebra lernen heißt logisches Denken üben. Je älter Sie werden, desto mehr müssen Sie Ihre Gehirnzellen trainieren, um konzentriert und wachsam zu bleiben. Und das hier ist genau die richtige Gelegenheit dazu!

Der beste Grund, sich mit Algebra zu beschäftigen, ist schlicht und einfach, dass sie schön ist. Ja, das haben Sie richtig gelesen. Algebra ist Poesie, tiefes Verständnis und künstlerischer Ausdruck. Sie werden es selbst sehen, wenn Sie sich darauf einlassen. Und vergessen Sie nicht, dass Algebra Ihnen Macht verleiht.

Willkommen in der Algebra-Welt – genießen Sie das Abenteuer!

Teil I

Einmal ganz von vorne

IN DIESEM TEIL…

Zeigen wir Ihnen, welche Arten von Zahlen es gibt.Erfahren Sie, welche Rechenarten für diese Zahlen gebräuchlich sind.Lernen Sie, wie Sie Klammern richtig setzen und auflösen.Bekommen Sie einen Überblick über das Durcheinander von Zahlen und Buchstaben.

Kapitel 1

Die Werkzeugkiste füllen

IN DIESEM KAPITEL

Die Grundlagen aufspüren: ZahlenDie Mitspieler festmachen: Variablen und ZeichenSich zusammenschließen: Funktionen und TermeDas Spiel kann beginnen: den Regeln folgen

Sehr wahrscheinlich haben Sie das Wort Algebra schon gelegentlich gehört und wussten, dass es irgendetwas mit Mathematik zu tun hat. Sie erinnern sich auch daran, dass Algebra genug Stoff hergegeben hat, um lange genug während Ihrer Schulzeit unterrichtet zu werden. Aber was ist sie genau? Wofür wird sie wirklich gebraucht?

In diesem Kapitel erfahren Sie die Antwort und darüber hinaus – aufgelockert durch ein paar Exklusivberichte zur Entwicklung der Algebra –, wofür sie gut ist, wie sie gebraucht wird und was Sie benötigen, damit sie funktioniert.

Kurz zusammengefasst kann man sagen, dass Algebra eine Methode ist, Arithmetik anzuwenden. Die Tatsache, dass man in einer Formel Variablen verwenden kann, die jeden Wert repräsentieren können, zeigt, dass Formeln mit allen Zahlen funktionieren. Algebra arbeitet mit positiven und negativen ganzen Zahlen, Brüchen, Operatoren und Symbolen, um die Beziehung von Werten zueinander aufzuzeigen. Es ist ein System von Zahlen und ihrem Verhältnis zueinander, das nach bestimmten Regeln funktioniert.

Die Gleichung zeigt beispielsweise, dass jede reelle Zahl, hier mit a wiedergegeben, mit 0 multipliziert wieder 0 entspricht. (Mehr Information zum Thema Multiplikation mit null finden Sie in Kapitel 14.)

In der Algebra lässt sich vieles zusammenfassen. Den Term beispielsweise (mit der Lösung ), kann man auch mit wiedergeben.

Vielleicht denken Sie sich: »Das ist ja alles schön und gut, aber bitte: Ist es wirklich nötig, so etwas zu tun – Buchstaben statt Zahlen zu benutzen?« Aber ja! Schon die ersten Mathematiker haben festgestellt, dass sich Probleme durch die Verwendung von Buchstaben statt Zahlen vereinfachen lassen. Und genau darum geht es in der Algebra: Probleme zu vereinfachen.

Der grundlegende Zweck der Algebra ist seit Tausenden von Jahren der gleiche: Menschen zu befähigen, Probleme mit unbekannten Antworten zu lösen.

Algebra mit Aha-Erlebnis

Wenn man einen Blick in die Vergangenheit wirft, kann man beobachten, dass sich die Algebra in den verschiedenen Kulturen ein wenig unterschiedlich entwickelt hat. Die Babylonier haben 2000 v. Chr. dreigliedrige quadratische Gleichungen gelöst, während die Ägypter sich mit linearen Gleichungen befassten. Die Hindus haben einige Fortschritte im sechsten Jahrhundert n. Chr. gemacht; im siebten Jahrhundert fand Brahmagupta von Indien allgemeingültige Lösungen für quadratische Gleichungen und interessierte sich für den Wert null. Die Hindus betrachteten irrationale Zahlen als reelle Zahlen – auch wenn damals nicht jeder daran glaubte.

Obwohl zu diesen Zeiten niemandem unser hoch entwickeltes Kommunikationsnetz zur Verfügung stand, haben sich auch frühe Kulturen über die Jahrhunderte hinweg ausgetauscht. 825 n. Chr. schrieb al Khawarizmi von Bagdad das erste Algebra-Lehrbuch. Eine der ersten Lösungen einer algebraischen Aufgabe findet sich allerdings schon auf einem circa 3.500 Jahre alten ägyptischen Papyrus. Diese Rarität ist benannt nach dem Schotten Rhind, der den 30 Zentimeter breiten und 5,5 Meter langen Papyrus 1858 in Ägypten kaufte; heute wird er im British Museum in London aufbewahrt. Wissenschaftler haben herausgefunden, dass ein ägyptischer Schreiber namens Ahmes um 1650 v. Chr. einige noch frühere mathematische Arbeiten auf den Rhind-Papyrus abgeschrieben hat.

Eine der Aufgaben lautet: »Aha, es ist ganz, es ist ein Siebtel, es ergibt 19.« Dieses »Aha« ist kein überraschter Ausruf, sondern bezeichnete die Unbekannte. Können Sie diese frühe ägyptische Aufgabe lösen? Heute würde man dafür folgendermaßen schreiben: . Die Unbekannte ist x und die Lösung lautet: . (Diese Schreibweise nennt man eine gemischte Zahl. Mehr darüber erfahren Sie in Kapitel 3.) Das ist nicht schwierig, nur etwas ungewohnt ausgedrückt.

Mit den Grundlagen anfangen: Zahlen

Was wären Mathematik und Algebra ohne Zahlen? Zahlen sind ein Teil des täglichen Lebens, aber auch das Grundgerüst, auf dem die Algebra aufbaut. Zahlen geben einem einen Wert, mit dem man arbeiten kann.

Wo wäre unsere Gesellschaft heute ohne Zahlen? Ohne Zahlen, um mit Ellen zu rechnen, hätte Noah nicht seine Arche bauen können. Ohne Zahlen, um Entfernungen, Neigungen, Höhen und Richtungen auszurechnen, hätten die Pyramiden niemals errichtet werden können. Ohne Zahlen, um Navigationspunkte zu errechnen, hätten die Wikinger niemals Skandinavien verlassen können. Ohne Zahlen, um Entfernungen im All zu ermitteln, hätte die Menschheit niemals auf dem Mond landen können.

Sogar die einfachsten Aufgaben und die gewohntesten Lebenssituationen erfordern ein Verständnis von Zahlen. Stellen Sie sich vor, Sie möchten ausrechnen, wie viel Benzin Sie täglich bei der Fahrt zur Arbeit und zurück verbrauchen. Sie benötigen die Anzahl der Kilometer, die Sie zurücklegen, und eine zweite Zahl, die der Kilometer, die Ihr Auto mit einem Liter Benzin fahren kann.

Verschiedene Arten von Zahlen sind wichtig, weil ihr Aussehen und ihr Verhalten die Rahmenbedingungen für bestimmte Situationen festlegen können oder bestimmte Probleme lösen helfen. Es kann natürlich sehr bequem sein, zu verkünden: »Ich werde mich ausschließlich mit ganzen Zahlen beschäftigen«, da ganze Zahlen keine Brüche beinhalten. Das könnte der Fall sein, wenn Sie eine Aufgabe lösen, die mit einer Anzahl von Autos arbeitet. Wer will schon ein halbes Auto?

Die Algebra arbeitet mit verschiedenen Arten von Zahlen – ganzen Zahlen und solchen, die Sie gleich kennenlernen werden –, um verschiedene Arten von Aufgaben zu bewältigen.

Ganz reelle Zahlen

Reelle Zahlen sind das, was der Name sagt. Im Gegensatz zu imaginären Zahlen bezeichnen sie einen reellen Wert – sie sind also keine Vortäuscher oder Hochstapler. Reelle Zahlen, die größte Gruppe von Zahlen, beinhalten das ganze Zahlen-Spektrum; sie decken die Skala ab und können jede Form annehmen – Brüche oder ganze Zahlen, Dezimalstellen oder keine Dezimalstellen. Zur großen Welt der reellen Zahlen gehören auch unendliche Dezimalzahlen, die nicht aufhören. Die Vielfalt ist endlos.

In diesem Buch geht es ausschließlich um reelle Zahlen.

Auf natürliche Zahlen zählen

Eine natürliche Zahl ist das, was wir uns zuerst unter einer Zahl vorstellen. Welche Zahlen haben Sie als Erstes benutzt? Erinnern Sie sich an die Frage: »Wie alt bist du denn?« Sie haben stolz Ihre Finger hochgehalten: »Vier!« Die natürlichen Zahlen heißen auch Zählzahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 und unendlich so weiter.

Man verwendet natürliche Zahlen, um Gegenstände zu zählen. Manchmal muss man zählen, wie viele Personen anwesend sind. Eine halbe Person würde nicht mitgezählt (und ist eine ziemlich grausige Vorstellung). Man bedient sich natürlicher Zahlen auch, um Listen zu erstellen.

Ganz und gar ganze Zahlen

Ganze Zahlen erweitern den Mathematiker-Horizont schon um einiges. Ganze Zahlen beinhalten alle natürlichen Zahlen, ihr Gegenteil (die Gegenzahl) und die Zahl null (mehr Informationen zum Thema Gegenzahl finden Sie im Abschnitt Mit Gegenteilen arbeiten in diesem Kapitel). Als ganze Zahlen bezeichnet man also negative und positive natürliche Zahlen, nicht zu vergessen die Null, die auch »nicht vorhanden« bedeutet: ... , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...

In der Algebra sind ganze Zahlen sehr beliebt. Wenn man eine lange, komplizierte Aufgabe zu lösen hat und eine ganze Zahl als Ergebnis erhält, kann man sich freuen, da das Ergebnis wahrscheinlich richtig ist. Es ist beispielsweise kein Bruch! Was nicht heißt, dass mathematisch richtige Lösungen nicht auch Brüche oder Dezimalzahlen sein können. Es ist nur so, dass die meisten Übungsbücher mit schönen Lösungen arbeiten, um das Erfolgserlebnis zu verstärken und ein Durcheinander zu vermeiden. Das ist auch meine Absicht für dieses Buch. Wer will schon eine verworrene Antwort – wenngleich das im richtigen Leben öfter der Fall ist. Wenn man keine ganze Zahl als Ergebnis erhält, kann es auch erforderlich sein, auf eine solche zu runden. Das ist vor allem sinnvoll, wenn man mit Beispielen von Menschen, Autos, Tieren, Häusern oder anderem, was man nicht in Stücke teilen sollte, rechnet.

Gerade und ungerade Zahlen

Eine gerade Zahl lässt sich durch 2 teilen: 2, 4, 6, 8, ... Eine ungerade Zahl lässt sich nicht durch 2 teilen: 1, 3, 5, 7, ... Listet man ganze Zahlen auf, wechseln sich gerade und ungerade Zahlen ab.

Vernünftig sein: Rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind vernünftig! Was heißt das? In diesem Fall heißt es, dass sich das dezimale Äquivalent einer rationalen Zahl »vernünftig« verhält. Die Dezimalzahl ist entweder endlich oder periodisch, das heißt, sie endet an irgendeiner Stelle oder die Stellen nach dem Komma wiederholen sich unendlich: 3,4; 5,77623; –4,5 oder ; . Der waagerechte Strich über der 164 beziehungsweise 6 bezeichnet eine unendliche Wiederholung dieser Zahlen.

Rationale Zahlen können immer als Bruch geschrieben werden. Alle haben einen Bruch, dem sie entsprechen. Also lautet eine Definition von rationalen Zahlen: jede Zahl, die als Bruch ausgedrückt werden kann.

Irrationale Zahlen zähmen

Irrationale Zahlen bezeichnen das, was man von ihrem Namen erwartet – das Gegenteil einer rationalen Zahl. Eine irrationale Zahl kann also nicht als Bruch geschrieben werden und ihre Dezimalstellen sind weder endlich noch periodisch. So viel zu irrationalem Verhalten! Die Zahl »Pi« (π) beispielsweise mit ihren niemals endenden Dezimalstellen, ist irrational: 3,141592653589...

Von Ziffern, Fingern und Zehen

Die indisch-arabischen Zahlzeichen, wie 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, stammen von den Indern und wurden im Hinblick auf ein dezimales System geschaffen. Das Wort dezimal kommt aus dem Lateinischen und heißt »ein Zehntel« oder »der Zehnt«. Das indisch-arabische System ist eine stellungsabhängige Schreibweise, das heißt, dass die Reihenfolge der geschriebenen Ziffern eine Rolle spielt. Die Zahl 35 unterscheidet sich von der Zahl 53, da die 3 in 35 für drei Zehner steht und in 53 für drei Einer.

Der Hauptgrund, warum die Menschheit ein dezimales, ein Zehner-System, geschaffen hat, liegt in der Tatsache, dass wir normalerweise zehn Finger und zehn Zehen haben. Es hätte auch ein Zwanziger- oder Fünfer-System wie das der Babylonier werden können. Von circa 1700 v. Chr. bis circa 500 n. Chr. rechneten die meisten Mathematiker mit einem Sechziger-System. Auf die Zahl 60 kam man, da ein Jahr in etwa 360 Tage hat und 60 ein Teiler von 360 ist. Überbleibsel dieses frühen Systems finden sich in unseren Minuten und Sekunden wieder. Können Sie sich vorstellen, sich sechzig statt zehn unterschiedliche Ziffern merken zu müssen?

Alle Zeichen dieser frühen Zahlensysteme bedeuteten etwas: eine Sache hiervon, zwei davon und so weiter. Die meiste Zeit gab es keine Ziffer und kein Zeichen für nichts beziehungsweise null. Das erste Zeichen für null (es ähnelt einem auf dem Kopf stehenden »W«) wurde erst 300 v. Chr. eingeführt. Davor ließ man einfach einen leeren Platz, wenn man »nichts« meinte. Manchmal vergaßen Schreiber, diesen Platz zu lassen, manche ließen nicht genug Platz. Außerdem gab es keinen Weg, mehr als eine Null darzustellen.

Variablen variieren

Eine Variable bezeichnet einen Buchstaben, der für eine unbekannte Größe oder das, wonach man in einer mathematischen Aufgabe sucht, steht. Eine Variable steht immer für eine Zahl.

Die Algebra bedient sich verschiedener Buchstaben, der Variablen, um bestimmte Zahlenwerte darzustellen. Häufig wählt man den Buchstaben so, dass er etwas über die Größe, für die er steht, aussagt.

Die folgende Liste führt die häufigsten Variablen auf.

Der Buchstabe

n

wird in der Algebra häufig verwendet. Oft bezeichnet

n

eine unbekannte Größe oder Zahl – vielleicht weil

n

der erste Buchstabe des Wortes »Nummer« ist.

Ein

x

steht meist für eine gesuchte Zahl, vielleicht weil wir den Buchstaben mit etwas Geheimnisvollen verbinden: X markiert den Punkt, an dem der Schatz vergraben ist, oder es gibt Aktenzeichen XY.

C

und

k

sind zwei der häufiger gebrauchten Buchstaben, wenn es darum geht, bekannte Größen oder Konstanten, die beliebig sind, darzustellen.

Algebra sprechen

Die Algebra ist mit ihren mathematischen Zeichen wie eine Fremdsprache. Alle diese Zeichen bedeuten etwas und können übersetzt werden. Es ist wichtig, das Vokabular einer Fremdsprache zu beherrschen; genau so wichtig ist es in der Algebra.

Eine

Gleichung

bedient sich eines Zeichens, um einen Bezug darzustellen – den, dass zwei Dinge gleichwertig sind. Wenn man mit Gleichungen arbeitet, können schwierige Aufgaben zu leichteren Aufgaben mit simpleren Lösungen vereinfacht werden. Eine Gleichung ist beispielsweise . In

Teil III

erfahren Sie mehr über Gleichungen.

Die verschiedenen

Rechenarten

wendet man auf zwei oder mehr Zahlen an, um ein Ergebnis zu erhalten. Rechenarten sind Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und so weiter. In

Kapitel 6

erfahren Sie mehr über Rechenarten.

Eine

Variable

ist ein Buchstabe, der für eine Zahl steht, die sich aber je nach Gleichung oder Ungleichung ändert. (Eine Ungleichung ist ein Vergleich von zwei Werten – mehr dazu in

Kapitel 16

.) Dann aber steht der Wert fest; man kann ihn ermitteln und dadurch die Lösung der Gleichung erhalten.

Eine

Konstante

ist eine Zahl, die sich in einer Gleichung nie ändert, also konstant gleich bleibt. Die Zahl 5 ist konstant, weil sie ist, was sie ist. Eine Variable kann konstant sein, wenn ihr ein bestimmter Wert zugeordnet ist. Normalerweise bezeichnen die ersten Buchstaben des Alphabets eine Konstante. In der Gleichung sind

a

,

b

und

c

Konstanten und

x

eine Variable. Der Wert von

x

hängt davon ab, welche Werte für

a

,

b

und

c

vorgesehen sind.

Ein

Exponent

ist die kleine Zahl, die sich rechts oben an einer Variablen oder Zahl befindet, so wie die 2 in dem Term 3

2

. Man verwendet ihn, um eine wiederholte Multiplikation zu kennzeichnen. Den ganzen Term bezeichnet man auch als

Potenz

. Exponenten finden Sie in

Kapitel 4

.

Ein Term ist eine beliebige Kombination von Zahlen und Rechenzeichen. Sowohl der ganze Ausdruck als auch die einzelnen Glieder der Rechnung , und sind Terme.

Rechenarten unter der Lupe

Wie eben erläutert, werden Unbekannte heute durch Variablen dargestellt. Bevor man sich angewöhnte, Zeichen zu benutzen, schrieb man Aufgaben in langen, wortreichen Umschreibungen. Tatsächlich war es ein großer Durchbruch, Rechenzeichen zu verwenden. Zuerst führte man Zeichen für ein paar Rechenarten ein, dann wurde Algebra zu einem kompletten System aus Zeichen und Zahlen. Heutzutage finden sich bisweilen noch ein paar Wörter, allerdings am Rand der Rechnungen, um diese zu erläutern und das Verständnis zu erleichtern – wie Untertitel bei einem Film. Sehen Sie sich dieses Beispiel an, um zu verstehen, was ich meine. Wie würden Sie lieber schreiben:

Die Anzahl der Wasserliter multipliziert mit 6 und dann zu einer 3 addiert.

oder

Ich würde die zweite Möglichkeit wählen, Sie nicht auch?

Indem man das macht, was schon die frühen Mathematiker gemacht haben – eine Variable für eine Zahl einsetzen, dann ein paar Rechenarten anwenden (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) und dann nach den Regeln arbeiten, die sich über die Jahre manifestiert haben –, hat man ein solides, organisiertes System, um zu vereinfachen, zu lösen, zu vergleichen oder eine Gleichung zu bestätigen. Davon handelt die Algebra – dafür ist Algebra gut.

Was hinter dem Wort Algebra steckt

Das Wort Algebra ist eine Variation des Wortes aljabr, ein arabisches Wort, das ein Aufeinandertreffen oder eine Vereinigung von Teilen bezeichnet. Dieses Wort hatte sich weiterentwickelt, als die Mauren den Ausdruck algebrista, Knochensetzer (jemand, der Knochen wieder zusammensetzt), im Mittelalter nach Spanien brachten. Wenn auf dem Schild über einem spanischen Barbierladen Algebrista y Angradoe stand, hieß das, dass es dort einen Knochensetzer und jemanden zum Aderlassen gab. Damals und noch die folgenden Jahrhunderte führten Barbiere kleinere medizinische Anwendungen aus, um ihr Gehalt aufzubessern. Der rot-weiße Barbierpfosten, der in einigen Ländern heute noch als Zeichen für alte Friseursalons steht, symbolisierte Blut und Verbände. Vielleicht ist das der Grund, warum Algebra, das sich von algebrista ableitet, den Ruf hat, hin und wieder schmerzhaft zu sein.

Rechenzeichen entschlüsseln

Die Grundlagen der Algebra beinhalten Zeichen. Algebra verwendet Zeichen für Mengen, Rechenarten und Verhältnisse. Die Zeichen sind Abkürzungen und viel effizienter, als das Wort oder seine Bedeutung auszuschreiben. Allerdings muss man wissen, was die unterschiedlichen Zeichen bedeuten. Die folgende Liste verrät einige dieser Bedeutungen.

+ heißt

addiere

oder

finde die Summe

,

mehr als

oder

vermehrt um

; das Ergebnis einer Addition ist die

Summe

.

– heißt

subtrahiere

oder

minus

oder

vermindert um

oder

weniger

; das Ergebnis ist die

Differenz

.

· heißt

multipliziere

oder

mal

. Die Werte, die miteinander multipliziert werden, sind die

Multiplikatoren

oder

Faktoren

, das Ergebnis ist das

Produkt

. Es gibt noch weitere Zeichen für die Multiplikation, unter anderem solche mit gruppierendem Charakter: ( ), [ ], { }, ×. Letzteres Zeichen wird eher selten verwendet, da man es leicht mit der Variablen

x

durcheinanderbringen kann. Der Punkt ist beliebt, da er schnell zu schreiben ist. Die Klammern kommen zur Anwendung, wenn man mehrere Terme zusammenfassen oder einen verwirrenden Ausdruck besser darstellen möchte. An und für sich bedeuten sie noch keine Multiplikation, aber wenn ein beliebiger Wert vor einer Klammer steht, dann muss man diesen Wert mit allen Werten in der Klammer multiplizieren. Mehr Informationen zu diesem Thema gibt es gleich in dem

Klammern

-Abschnitt.

: heißt

dividiere

. Der

Dividend

, die zu teilende Zahl, wird durch den

Divisor

geteilt. Das Ergebnis ist der

Quotient

. Andere Zeichen für die Division sind der Bruchstrich– und der Schrägstrich /.

heißt, ziehe die

Wurzel

aus etwas. Man sucht die positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter dem Wurzelzeichen ergibt (mehr zum Thema in

Kapitel 4

).

∥ bezeichnet den

Betrag

einer Zahl, also die Zahl selbst oder ihren Abstand zu null (mehr zu Beträgen finden Sie in

Kapitel 2

).

... bedeutet

und so weiter

,

et cetera

oder

im gleichen Schema fortlaufend

. Man verwendet diese Auslassung in der Algebra, wenn man eine lange Liste von Zahlen hat und sie nicht ausschreiben möchte. Will man beispielsweise die Zahlen von 1 bis unendlich auflisten, schreibt man: »1, 2, 3, 4, ...«. Eine Liste der Zahlen von 600 bis 1.000 sieht so aus: »600, 601, 602, ..., 1.000«.

π ist der griechische Buchstabe »Pi«, der die irrationale Zahl 3,14159... bezeichnet. Er stellt das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises dar. Mehr zu diesem Verhältnis in Kapitel 17.

Klammern

Wenn ein Autohersteller ein Auto zusammenschraubt, muss er ein paar Dinge im Vorfeld erledigen. Die Motor-Spezialisten müssen erst den Motor aus all seinen Einzelteilen zusammensetzen. Der Rahmen muss auf den Unterbau aufgebracht und gesichert werden. Und alle anderen Facharbeiter müssen erst ihre Spezialarbeit abliefern. Wenn diese Aufgaben eine nach der anderen erfüllt wurden, kann man das Auto zusammensetzen. Das Gleiche gilt für die Algebra. Zuerst muss man sich um das kümmern, was innerhalb der Klammern steht, bevor man das Ergebnis auf die restliche Gleichung anwenden kann.

Klammern, gruppierende oder zusammenfassende Zeichen, die Teilsummen bilden, bedeuten, dass man zuerst die Terme innerhalb der Zeichen lösen muss, bevor man sich mit der restlichen Aufgabe befasst.

Die wichtigsten gruppierenden Zeichen sind:

( ) Runde Klammern (sie werden am häufigsten gebraucht)

[ ] Eckige Klammern

{ } Geschweifte Klammern

Zum Beispiel verpflichtet dazu, erst die Teilsumme innerhalb der Klammern zu lösen. Und das unterscheidet sich von . Die erste Rechnung ergibt 6, die zweite 2.

Diese drei Arten von Klammern – die runden, eckigen und geschweiften – werden sowohl allein als auch in Kombination verwendet. Treten sie zusammen auf, stellen sie meist eine kompliziertere Aufgabe dar.

Die Ursprünge des Gleichheitszeichens

Robert Recorde war der Erste, der in der Mitte des 16. Jahrhunderts das Gleichheitszeichen (=) benutzte. Er schrieb: »Ich werde, wie ich es oft in meinen Arbeiten zu tun pflege, ein Paar von parallelen Strichen der gleichen Länge, Gemowe-Linien, verwenden, ==, weil zwei Dinge nicht ähnlicher sein könnten.« Allerdings akzeptierten viele Mathematiker dieses Gleichheitszeichen nicht sofort. Manche arbeiteten mit zwei vertikalen parallelen Strichen; beliebt war für einige Zeit auch ein Zeichen, das in etwa so aussah: α (mit an der rechten Seite verlängerten Linien). Es scheint, dass das Zeichen, wie wir es heute kennen, ungefähr in der Mitte des 17. Jahrhunderts allgemein akzeptiert war.

Beziehungen definieren

Algebra handelt von Verhältnissen – nicht von heimlichen, romantischen Verhältnissen, sondern von solchen zwischen Zahlen und Variablen einer Gleichung. Obwohl algebraische Verhältnisse genauso kompliziert sein können wie Liebesverhältnisse, haben Sie bessere Chancen, die mathematischen zu verstehen.

Es folgen die einschlägigen Zeichen.

= heißt, dass der Wert vor dem Zeichen der

gleiche

ist wie der nach dem Zeichen.

≠ heißt, dass der Wert vor dem Zeichen

nicht der gleiche

ist wie der nach dem Zeichen.

≈ heißt, dass der eine Wert

annähernd

oder

ungefähr gleich

dem anderen ist; das Zeichen wird beim Runden von Zahlen verwendet.

≤ heißt, dass der erste Wert

kleiner

ist als oder

gleich

ist wie der folgende Wert.

< heißt, dass der erste Wert

kleiner

ist als der folgende Wert.

≥ heißt, dass der erste Wert

größer

ist als oder

gleich

ist wie der folgende Wert.

> heißt, dass der erste Wert

größer

ist als der folgende Wert.

Mit Gegenteilen arbeiten

In der Algebra kommt man seinem Ziel bei der Lösung von Gleichungen oft näher, wenn man mit Gegenteilen arbeitet. Man muss die Rechnungen rückgängig machen, die davor mit den Variablen durchgeführt wurden. Das Gegenteil einer Rechnung ist eine andere Rechnung, die einen zum Ausgangspunkt zurückbringt. Dieses Verfahren wird hauptsächlich angewendet, um Zahlen loszuwerden, die mit Variablen verbunden sind, damit man an die Lösung für die Variable kommt.

Aufmüpfig sein: Gegenteilig rechnen

Das Gegenteil von der Addition einer 3 ist die Subtraktion einer 3. Wenn man eine 3 zu 100 addiert, bekommt man 103. Wenn man dann die 3 von der 103 subtrahiert, ist man beim Ausgangspunkt gelandet.

Das Gegenteil der Addition ist die Subtraktion.

Das Gegenteil der Subtraktion ist die Addition.

Das Gegenteil der Multiplikation ist die Division.

Das Gegenteil der Division ist die Multiplikation.

Das Gegenteil des Ziehens einer Wurzel ist das

Quadrieren

(den Wert mit sich selbst multiplizieren).

Das Gegenteil des Quadrierens ist das Ziehen der Wurzel.

Das Gegenteil der Erhebung in die dritte Potenz ist das Ziehen der Kubikwurzel. (Potenzen und Wurzeln sind das Thema von

Kapitel 4

.)

Gegenteile von Zahlen entdecken

Eine Zahl hat zwei Gegenteile: eine Gegenzahl und einen Kehrwert.

Die

Gegenzahl

ist die Zahl mit dem gegenteiligen Vorzeichen. Also ist –3 die Gegenzahl von 3 und 16 die Gegenzahl von –16. Mit der Gegenzahl arbeitet man, wenn beispielsweise 3 oder 16 zu einer Variablen addiert wird und man die Variable allein haben möchte; die Gegenzahl wird beim Lösen von Gleichungen mit einer Variablen verwendet.

Den Kehrwert nennt man auch Reziprokwert. Beim Kehrwert einer Zahl wird die Ausgangszahl unter den Strich eines Bruchs geschrieben, mit einer 1 oberhalb des Strichs. Also ist der Kehrwert von 2 und 25 der Kehrwert von . Wenn es sich um einen Bruch handelt, ist der Kehrwert einfach dieser Bruch verkehrt herum geschrieben. Der Kehrwert von ist folglich . Damit arbeitet man, wenn eine Zahl mit einer Variablen multipliziert oder durch eine Variable dividiert wird; man bekommt dann die Variable allein und somit die Lösung.

Nach den Regeln spielen

Zu den Grundlagen der Algebra gehören auch Regeln – wie die Regeln, die man beim Autofahren zu beachten hat. Wenn jeder nach den gleichen Regeln fährt, gibt es weniger Unfälle und kein Chaos auf den Straßen. Das Gleiche gilt wieder einmal für die Algebra. Man muss die Regeln der Algebra einhalten, wenn man mit Variablen, Zahlen und Zeichen arbeitet. Beim Lösen einer Aufgabe ist es besonders wichtig, nach den Regeln vorzugehen, da man nicht weiß, für welche Zahl die Variable steht. Die Regeln wurden einmal entwickelt und werden heute von allen gleich verwendet – deswegen ist die Sprache der Algebra so allgemeingültig.

Die Algebra arbeitet mit Zeichen, zum Beispiel Variablen und Rechenzeichen, die man verwenden kann, um mathematische Ausdrücke brauchbarer und lesbarer zu gestalten. Damit einhergehen das Vereinfachen, Faktorisieren und Lösen von Aufgaben, die in Einzelteile zerlegt leichter zu lösen sind. Zeichen zu verwenden ist einfacher, als sich durch einen Wust von Wörtern zu arbeiten.

Vereinfachen

heißt: alles zusammenfassen, was man zusammenfassen kann, die Terme der Rechnung reduzieren und die Aufgabe in eine verständliche Form bringen. Mehr zum Thema Vereinfachen erfahren Sie in

Kapitel 13

.

Faktorisieren

heißt: zwei oder mehr Terme zu einem Produkt machen. Die Techniken des Faktorisierens finden Sie in

Teil II

.

Lösen

heißt: eine Antwort finden und in der Algebra im Speziellen herauszufinden, wofür die Variable steht.

Es macht Spaß, Gleichungen zu lösen, da man ein Ziel verfolgt. Man sucht etwas (oft eine Variable, beispielsweise x) und bekommt eine Antwort, die man auf ihre Richtigkeit überprüfen kann. Es ist wie bei einem Puzzle. Allerdings ist das Lösen von Gleichungen nur Mittel zum Zweck. Die wahre Schönheit der Algebra erschließt sich, wenn man Aufgaben im wirklichen Leben bewältigt – in einer praktischen Anwendung. Sind Sie bereit für dieses Wort: Textaufgaben? Textaufgaben sind der eigentliche Sinn der Algebra. Warum sollte man sich mit Algebra befassen, wenn es keinen guten Grund dafür gibt? Hoppla! Vielleicht möchten einige von Ihnen Algebra-Aufgaben nur spaßeshalber lösen. Ja, solche Leute gibt es. Aber andere Leute sehen es gerne, wenn eine komplizierte Beschreibung zu einer hübschen und übersichtlichen Lösung führt, wie: »Die Antwort lautet drei Bananen.«

Sie können jeden dieser Schritte ausführen und jedes Hilfsmittel anwenden, wenn Sie das Spiel spielen möchten: Vereinfachen, Faktorisieren, Lösen, Prüfen. Richtige Lösung? Gut gemacht! Es ist Zeit, anzufangen ...

Kapitel 2

Vorzeichen erkennen: Positive und negative Zahlen

IN DIESEM KAPITEL

Sich mit Vorzeichen anfreundenIn verschiedenen Systemen arbeitenDie Eigenschaften von nichts beobachtenMit Vorzeichen rechnenAssoziativ- und Kommutativgesetz kennenlernen

Zahlen gibt es in vielen Erscheinungsformen: Sie können groß, klein, gerade, ungerade, ganz, gebrochen, positiv, negativ und manchmal kalt und abweisend sein – Letzteres nicht ganz ernst gemeint. Kapitel 1 behandelt die unterschiedlichen Namen und Sorten von Zahlen. Dieses Kapitel befasst sich ausschließlich mit den positiven und negativen Eigenschaften von Zahlen.

Positiv und negativ sind Wörter, die man jeden Tag zu hören bekommt:

»Du übst einen

positiven

Einfluss auf mich aus.«

»Ich spüre

negative

Schwingungen.«

In diesem Kapitel erfahren Sie, wie man Zahlen mit Vorzeichen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert, egal, ob alle Zahlen das gleiche Vorzeichen haben oder ob sie gemischt vorkommen.

(Vor-)Zeichen setzen

Vor langer Zeit schon erkannten Mathematiker, dass der Gebrauch von Plus- und Minus-Zeichen und Regeln zu deren Anwendung große Vorteile mit sich brachten. Sie merkten auch, dass sich durch den Gebrauch des Minus-Zeichens die Erschaffung einer Reihe neuer Symbole für alle negativen Zahlen erübrigte. Schließlich sind positive und negative Zahlen miteinander verwandt und der unkomplizierte Zusatz des Minus-Zeichens hat sich bewährt. Negative Zahlen haben positive Gegenzahlen und andersrum. –3 und 3 sind folglich verwandt. Man musste kein neues Zeichen, zum Beispiel φ, einführen, um das Gegenteil von 3 darzustellen – man verwendete einfach das Minus-Zeichen. Wenn man eine Vorstellung davon hat, was es heißt, sechs Bananen zu besitzen, kann man sich genauso gut ausmalen, was es heißt, jemandem sechs Bananen zu schulden.

Gleiche Zahlen mit gegensätzlichen Vorzeichen heißen Gegenzahlen.

Bei zwei Zahlen handelt es sich um Gegenzahlen, wenn ihre Summe null entspricht, zum Beispiel . Gegenzahlen sind auf der Zahlengeraden immer gleich weit von null entfernt (in gegensätzlicher Richtung). Die Gegenzahl von ist , die Gegenzahl von ist .

Positive Zahlen positionieren

Positive Zahlen sind größer als null. Von null aus gesehen sind sie auf der gegenüberliegenden Seite der negativen Zahlen. Wenn man sich ein Tauziehen zwischen positiven und negativen Zahlen vorstellt, befinden sich die positiven auf der rechten Seite von null, wie Abbildung 2.1 zeigt.

Abbildung 2.1: Ein paar positive Zahlen aufgereiht

Positive Zahlen sind umso größer, je weiter sie von null entfernt sind: 81 ist größer als 25, weil es weiter weg von null ist. 28° C, ein schöner Sommertag, sind weiter weg von null als 5° C, ein verregneter Novemberabend. Beide Zahlen sind positiv, aber eine ist höher als die andere. Stellen Sie sich den Unterschied zwischen einem Sommertag und einem Novemberabend vor, um ein Gefühl dafür zu bekommen, um wie viel höher eine Zahl sein kann!

Das Beste aus negativen Zahlen machen