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Mathematik für Ingenieure II für Dummies E-Book

J. Michael Fried

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Herausgeber: Wiley-VCH GmbH
Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
Serie: ...für Dummies
Sprache: Deutsch
Veröffentlichungsjahr: 2022

Beschreibung

Auch wenn Mathematik nicht gerade Ihr Lieblingsfach ist, zu einem Ingenieursstudium gehört sie einfach mit dazu. Manchmal ist es hier auch nicht einfach mit den Grundlagen getan und Sie müssen sich etwas komplexeren Gebieten der Mathematik nähern. Aber keine Sorge: J. Michael Fried erklärt Ihnen in diesem Band, was Sie über mehrdimensionale Analysis, Vektoranalysis und Co. wissen sollten. Auch Differentialgleichungen, von einfachen über höhere bis zu Systemen linearer Differentialgleichungen, kommen hier nicht zu kurz. So ist dieses Buch der richtige Begleiter für Sie, wenn Sie in der Ingenieursmathematik voranschreiten wollen.

Details

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Seitenzahl: 401

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Leseprobe

Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Schummelseite

POLARKOORDINATEN IM ZWEIDIMENSIONALEN:

Polarkoordinaten

Substitution:

Funktionaldeterminante:

Flächenelement:

DIE WICHTIGSTEN DREIDIMENSIONALEN KOORDINATENSYSTEME:

Kugelkoordinaten

Zylinderkoordinaten (bzgl. )

Substitution:

Mathematik für Ingenieure II für Dummies

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Coverfoto: © alphaspirit – stock.adobe.comKorrektur: Birgit Volk, Dr. Marianne Hammer-Altmann

Print ISBN: 978-3-527-71988-4ePub ISBN: 978-3-527-83910-0

Über den Autor

Dr. J. Michael Fried studierte Mathematik und Physik zunächst an der Universität Heidelberg, dann an der Universität Freiburg und promovierte dort mit einem Thema aus der angewandten Mathematik. Nach einem Jahr an der Australian National University in Canberra ist Michael Fried heute Akademischer Direktor an der Universität Erlangen und unterrichtet dort Mathematik für Ingenieure und Physiker. Außerdem gibt er Kurse in angewandter Mathematik für Mathematikstudenten und arbeitet zusammen mit Mathematikern und Ingenieuren an verschiedenen Projekten im Bereich der mathematischen Bildverarbeitung. Für seinen Kurs zur Mathematik für Ingenieure wurde er mit dem Preis für gute Lehre 2009 des Freistaats Bayern ausgezeichnet.

Danksagung

Wieder einmal ist es so weit, und der zweite Band Mathematik für Ingenieure für Dummies ist fertig geworden. Und auch wenn meine Erfahrung zugenommen hat und mir das Schreiben daher einfacher von der Hand gegangen ist, haben meine Frau Simone und unsere Tochter Elisabeth auch in den vergangenen Jahren auf meine aktive Beteiligung an unseren Wochenenden nur zu oft verzichten müssen. Für ihre Rücksicht und liebevolle Geduld bedanke ich mich daher an dieser Stelle besonders!

Ebenso gilt mein Dank, wie auch schon beim ersten Band, Herrn Akademischem Direktor Friedrich Graef, dessen Unterlagen auch nach vielen Kursen immer noch meine Vorlesungen prägen und der damit auch wesentlich zur inhaltlichen Gliederung dieses Buchs beigetragen hat. Seiner freundlichen Erlaubnis zur Verwendung verdanke ich auch viele der hier vorgestellten praktischen Beispiele.

Ungebrochen sind meine Freude und mein Spaß mit den Studierenden in meinen Kursen. Ihre aktive Mitarbeit sowohl in den Vorlesungen als auch in den Übungen, ihre konstruktive Kritik und ihr Fleiß, meine gar nicht so seltenen Fehler in Folien und Musterlösungen zu verbessern, sind mir ein ständiger großer Ansporn.

Inhaltsverzeichnis

Cover

Titelblatt

Impressum

Über den Autor

Danksagung

Einleitung

Zu diesem Buch

Konventionen in diesem Buch

Törichte Annahmen über den Leser

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Symbole in diesem Buch

Wie es weitergeht

Teil I: Mehrdimensionale Analysis für Ingenieure

Kapitel 1: Was bisher geschah

Grundlagen aus der linearen Algebra

Eindimensionale Analysis

Kapitel 2: Grundlagen der Differentialrechnung im ℝ

Unsere Welt ist mehrdimensional

Ableiten bis zum Abwinken: Totale Differenzierbarkeit

Und weiter so! Ableitungen höherer Ordnung

Kapitel 3: Darf's noch etwas mehr sein? Mehr Differentialrechnung

Die Kettenregel, eine alte Bekannte

Höhere Ableitungen, Differentialoperatoren und mathematische Schreibfaulheit

Der Mittelwertsatz

Kapitel 4: Erste Anwendungen der mehrdimensionalen Differentialrechnung

Die Taylorsche Formel

Das Newton-Verfahren

Von hinten durch die Brust ins Auge: Implizite Funktionen

Kapitel 5: Optimierung

Berggipfel und tiefste Schluchten: Extremstellen

Ganz sicher: Hinreichende Optimalitätsbedingung

Restringierte Optimierung

Teil II: Integralrechnung und Vektoranalysis

Kapitel 6: Integralrechnung in zwei oder drei Dimensionen

Bauklötzchen oder: Die zweidimensionale Integration

Im Raum geht das auch: Dreidimensionale Integration

Kapitel 7: Fäden durch den Raum: Kurvenintegrale

Punkte und Kurven im dreidimensionalen Raum

Orientierungslos im Raum: Kurvenintegrale über Skalarfelder

Orientierte Kurvenintegrale

Kapitel 8: Eine Dimension nach oben: Flächenintegrale

Flächen im dreidimensionalen Raum

Wie groß ist eine gebogene Fläche?

Flächenintegrale mit und ohne Orientierung

Kapitel 9: Die hohe Kunst der Vektoranalysis: Integralsätze

Differentialoperatoren und Integralrechnung

Der Gaußsche Integralsatz

Die Sätze von Kelvin-Stokes und Green

Teil III: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Kapitel 10: Es ändert sich: Wie funktioniert's? Grundlegende Fragestellung bei Differentialgleichungen

Was sind Differentialgleichungen?

Langsam anfangen: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung

Graphische Veranschaulichungen

Kapitel 11: Kochrezepte: Explizite Lösungsmethoden für spezielle gewöhnliche Differentialgleichungen

Die exakte Differentialgleichung

Separable Differentialgleichungen

Kapitel 12: Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung

Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung

Funktionale Vektoren oder: Lineare Algebra im Funktionenraum

Die homogene lineare Differentialgleichung

-ter Ordnung

Die inhomogene lineare Differentialgleichung

-ter Ordnung

Kapitel 13: Spezielle lineare Differentialgleichungen

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung

Die Eulersche Differentialgleichung

Kapitel 14: Systeme linearer Differentialgleichungen

Allgemeine lineare Differentialgleichungssysteme

Das alte Spiel: Lösungsmethode für lineare Differentialgleichungssysteme

Spezieller: Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten

Teil IV: Funktionentheorie

Kapitel 15: Überhaupt nicht hohl: Holomorphe Funktionen

Funktionentheorie oder komplexe Analysis

Kapitel 16: Komplexe Integration

Vorsichtig anfangen: eindimensionale Integration im Komplexen

Viel mehr zu komplexen Kurvenintegralen!

Der Integralsatz von Cauchy

Böse Stellen: Die Singularitäten

Kurvenintegrale um Singularitäten

Kapitel 17: Potenz- und Laurentreihen

Mal wieder Potenzreihen – diesmal komplex!

Trost bei Singularitäten: Laurentreihen

Einige besondere Eigenschaften holomorpher Funktionen

Teil V: Der Top-Ten-Teil

Kapitel 18: Fast zehn Tipps und Tricks, um einen Mathekurs zu überstehen

Abbildungsverzeichnis

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

Tabellenverzeichnis

Kapitel 13

Tabelle 13.1: Störfunktionen mit zugehörigem Ansatz vom Typ der rechten Seite

Illustrationsverzeichnis

Kapitel 1

Abbildung 1.1: Ein Spat oder Parallelepiped, das durch die drei Vek...

Abbildung 1.2: In jeder Umgebung des Häufungspunkts

liegen unendl...

Abbildung 1.3: Eine unstetige (links) und eine stetige Funktion (re...

Abbildung 1.4: Die Gerade

durch die beiden Punkte

und

Abbildung 1.5: Approximation der Fläche

durch Rechtecksflächen

Kapitel 2

Abbildung 2.1: Der Graph der Funktion

Abbildung 2.2: Links: Höhenlinien, rechts: Graph mit Höhenlinien fü...

Abbildung 2.3: Drei Niveauflächen der Funktion

Abbildung 2.4: Die Tangente

zum Graphen von

an der Stelle

Abbildung 2.5: Die Tangentialebene

zum Graphen von

an der Stell...

Kapitel 3

Abbildung 3.1: Polarkoordinaten

zu einem Punkt

Abbildung 3.2: Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden M...

Kapitel 4

Abbildung 4.1: Graphische Veranschaulichung einer Newton-Iteration

Abbildung 4.2: Graphische Veranschaulichung der ersten vier Newton-...

Abbildung 4.3: Divergenz des Newton-Verfahrens für die Funktion

b...

Abbildung 4.4: Konvergenz des Newton-Verfahrens für die Funktion

...

Abbildung 4.5: Die Nullhöhenlinie der Funktion

entspricht lokal d...

Abbildung 4.6: Das Nullniveau der Funktion

entspricht lokal dem G...

Kapitel 5

Abbildung 5.1: Die Funktion

hat in

fünf stationäre Punkte

Abbildung 5.2: An der Stelle

hat

kein Extremum

Abbildung 5.3: Die Höhenlinien der Zielfunktion

und der Funktion

Abbildung 5.4: Die Höhenlinien der Zielfunktion

mit Schnittpunkte...

Abbildung 5.5: Das Ellipsoid

mit

Kapitel 6

Abbildung 6.1: Das Volumen unterhalb des Graphen von

Abbildung 6.2: Approximation der Fläche unterhalb eines Graphen

Abbildung 6.3: Zerlegung des Rechtecks

in Teilrechtecke

Abbildung 6.4: Der Quader mit Grundfläche

Abbildung 6.5: Jede beschränkte Menge

ist in einem geeigneten Rec...

Abbildung 6.6: Verschiedene Projizierbarkeiten zweidimensionaler Me...

Abbildung 6.7: Die nicht projizierbare Menge

ist in zwei projizie...

Abbildung 6.8: Der Einheitskreis (links) in kartesischen Koordinate...

Abbildung 6.9: Polarkoordinaten eigenen sich auch zur Integration ü...

Abbildung 6.10: Eine

-projizierbare Menge

Abbildung 6.11: Der Tetraeder

ist

-projizierbar, mit dem Dreiec...

Abbildung 6.12: Das Zylinderschalenstück

(links). Der Bereich

...

Kapitel 7

Abbildung 7.1: Die Kurven zu einem differenzierbaren (rechts) und e...

Abbildung 7.2: Die Fläche zwischen dem Graphen des Skalarfelds

un...

Abbildung 7.3: Approximation der Fläche zwischen

und dem Graphen ...

Abbildung 7.4: Eine Korkenzieherlinie

Abbildung 7.5: Eine Lemniskate mit dem Doppelpunkt

Abbildung 7.6: Ein einfach zusammenhängendes 2D-Gebiet (links) und ...

Abbildung 7.7: Einfach zusammenhängende 3D-Gebiete (links) und nich...

Kapitel 8

Abbildung 8.1: Eine Halbkugelschale

Abbildung 8.2: Ein Torus ist nicht als Graph darstellbar

Abbildung 8.3: Ein Torus kann parametrisiert werden

Abbildung 8.4: Parameterlinien (links) und Tangentialebene (rechts)...

Abbildung 8.5: Das Paraboloid ist ein Graph

Abbildung 8.6: Eine Drehfläche

Abbildung 8.7: Die Mantelfläche eines Kegelstumpfs ist eine Drehflä...

Abbildung 8.8: Eine Aufteilung des Parameterbereichs

in Teilstück...

Abbildung 8.9: … führt zu den Flächenstücken

Abbildung 8.10: Lineare Taylor-Approximation der Parametrisierung ...

Abbildung 8.11: Eine stationäre Strömung durch die Fläche

Kapitel 9

Abbildung 9.1: Ein rotierendes Vektorfeld

Abbildung 9.2: Ein Moebiusband ist nicht orientierbar

Abbildung 9.3: Das Normaleneinheitsvektorfeld eines Moebiusbands mu...

Abbildung 9.4: Diese Kurve umläuft die eingeschlos sene Fläche mit ...

Kapitel 10

Abbildung 10.1: Die Lösung

hat eine Polstelle

Abbildung 10.2: Das Richtungsfeld zur Differentialgleichung

Abbildung 10.3: Die Isoklinen zur Differentialgleichung

Kapitel 13

Abbildung 13.1: Drei Lösungen der Eulerschen Differentialgleichung...

Kapitel 14

Abbildung 14.1: Die Lösungskurve des Räuber-Beute-Modells zu den P...

Kapitel 17

Abbildung 17.1: Integrationsweg

Orientierungspunkte

Cover

Titelblatt

Impressum

Über den Autor

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Fangen Sie an zu lesen

Abbildungsverzeichnis

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

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Einleitung

In den ersten Semestern eines ingenieurwissenschaftlichen Studiums begegnet Ihnen wahrscheinlich wesentlich mehr Mathematik, als Sie dies in Schulzeiten, außerhalb des Grundstudiums oder nach dem Studium jemals wieder erleben werden. Dies führt direkt zu der Frage, wozu so viel Mathematik für angehende Ingenieure notwendig sein mag, insbesondere wenn die meisten nach dem Abschluss des Studiums kaum noch direkt mit höherer Mathematik konfrontiert werden. Wozu sollen Sie Ihre wertvolle Zeit mit dem Lösen von Mathematikaufgaben und dem Durchdenken und Verstehen mathematischer Fragestellungen füllen?

Der tiefere Grund für die ganze Mathematik ist: Ingenieure müssen logisch und analytisch sauber denken können. Und nirgendwo tritt dieses analytische Denken so klar zu Tage wie in der Mathematik. Eigentlich ist Mathematik nichts anderes als analytisches Denken.

Mathematik ist abstrakt. Darüber kann man zwar wunderbar streiten (insbesondere mit angewandten Mathematikern), aber eigentlich macht gerade das ihre Stärke aus: die Konzentration auf das Wesentliche, die Analyse. Das systematische Zerlegen in die einzelnen Bestandteile, alles »Beiwerk« wegzulassen, bis nur noch der Kern der Sache vorhanden ist. Schließlich die Fähigkeit, die so erworbenen Kenntnisse auf andere, prinzipiell ähnliche Situationen anzuwenden.

Zu diesem Buch

Wie das vorangegangene Buch »Mathematik für Ingenieure I für Dummies« richtet sich dieses Buch ebenfalls hauptsächlich an drei verschiedene Gruppen von Lesern: an Studierende der Ingenieurwissenschaften, die ihre ersten Mathematikvorlesungen hören, an fortgeschrittene Studierende, die ihre Mathematikkenntnisse aus dem Grundstudium und der Schule auffrischen wollen, und an alle anderen, die eine Einführung in die Grundlagen der Ingenieurmathematik benötigen.

Natürlich können Sie dieses Buch auch einfach aus Interesse am Thema lesen.

Ganz gleich, aus welchem Grund Sie dieses Buch in die Hand genommen haben, Sie werden hier eine Einführung in die mathematischen Grundlagen der Ingenieurwissenschaften finden, die die wichtigsten Themenbereiche der Ingenieurmathematik aus den ersten Semestern abdeckt. In diesem Band werden Sie alles für das Grundstudium Wesentliche über mehrdimensionale Analysis, über die Analysis komplexwertiger Funktionen, die Funktionentheorie und über gewöhnliche Differentialgleichungen erfahren.

Diese Themen gehen meist mehr oder weniger deutlich über das aus der Schulmathematik Bekannte hinaus. Die dazu notwendigen mathematischen Grundlagen werden im ersten Kapitel kurz wiederholt und sind ausführlich im ersten Buch »Mathematik für Ingenieure I für Dummies« nachzulesen.

Konventionen in diesem Buch

Damit Sie sich in diesem Buch leichter zurechtfinden, sind in der folgenden Liste die verwendeten Konventionen aufgeführt:

Mathematische Begriffe sind bei ihrem ersten Auftreten

kursiv

gekennzeichnet und werden sofort definiert.

Bei den Schritt-für-Schritt-Anleitungen werden die einzelnen Schritte

fett

dargestellt und gegebenenfalls von weiteren Erläuterungen begleitet.

In einzelnen, extra markierten Kästen werden möglicherweise interessante Details beschrieben, die aber für das Verständnis des Kapitels nicht benötigt werden.

Törichte Annahmen über den Leser

Das vorliegende Buch ist in einem gewissen Sinne der zweite Band einer Einführung in die Ingenieurmathematik. Trotzdem setzte ich nicht grundsätzlich voraus, dass Sie das erste Buch oder die dort behandelten mathematischen Themen kennen, sondern gebe Ihnen im ersten Kapitel einen kurzen Überblick über die wichtigsten Grundlagen. Allerdings gehe ich stillschweigend doch davon aus, dass der Leser zumindest eine Ahnung von der üblichen Schulmathematik hat.

Sie sollten:

ein paar Grundkenntnisse aus der Algebra wie zum Beispiel Bruchrechnen und die binomischen Formeln mitbringen.

Kopfrechnen ist lästig, und in Zeiten von Handys mit eingebauten Taschenrechnern und ausgefeilten Computeralgebraprogrammen sieht nicht jeder unbedingt ein, dass es sich dabei um eine nützliche Fähigkeit handelt. Allerdings können Sie die beschriebenen Beispiele wesentlich schneller und einfacher verfolgen, wenn Sie nicht bei jeder kleinen Rechnung zu einer Rechenhilfe greifen müssen.

eine Ahnung von den Grundbegriffen der Vektorrechnung und eindimensionalen Analysis haben.

Falls Ihre Kenntnisse dazu doch ein wenig verstaubt sind, bietet Ihnen das Kapitel 1 »Was bisher geschah« zu Beginn des ersten Teils eine kurze Wiederholung.

versuchen, die Beispiele selbstständig nachzurechnen.

Mit der Mathematik ist es wie mit jeder Kunst: Sie können sie nur dann völlig begreifen, wenn Sie auch praktisch damit umgehen. Eine Möglichkeit dazu besteht darin, die Beispiele nicht einfach nur nachzulesen, sondern sich selbst am einen oder anderen zu versuchen. Am besten bevor Sie den im Buch beschriebenen Lösungsweg nachlesen.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch ist in Teile unterteilt, die einzelnen Teile sind in Kapitel gegliedert, die ihrerseits aus Abschnitten und Unterabschnitten bestehen. Die Teile fassen dabei die einzelnen Themenbereiche zusammen, und die Kapitel eines Teils behandeln jeweils ein wesentliches Thema aus dem entsprechenden Bereich.

Teil I: Mehrdimensionale Analysis für Ingenieure

Neben einer kurzen Zusammenfassung der wichtigsten Methoden der eindimensionalen Analysis, Vektor- und Matrizenrechnung behandelt Teil I die Grundlagen der Differentialrechnung im Mehrdimensionalen.

Das erste Kapitel liefert Ihnen dabei die Grundlagen für alle folgenden Themen des gesamten Buchs, nicht nur für Teil 1.

Wie in der eindimensionalen Analysis ist die Untersuchung des Änderungsverhaltens einer gegebenen Funktion auch eine der wichtigen Standardaufgaben der mehrdimensionalen Analysis. Im Unterschied zur eindimensionalen Analysis können die Variablen und die Funktionswerte hier aber mehrdimensionale Vektoren sein. Dies erfordert zum einen eine Verallgemeinerung der Begriffe aus der eindimensionalen Differentialrechnung, zum anderen auch ganz neue Begriffe und Methoden.

Kapitel 2 und Kapitel 3 stellen diese Begriffe und die grundlegenden Methoden der mehrdimensionalen Differentialrechnung dar und veranschaulichen diese durch viele Beispiele.

In Kapitel 4 und Kapitel 5 werden die zuvor dargestellten Methoden angewendet. Dabei beschreibt Kapitel 4 drei spezielle mathematische Anwendungen, die auch in praktischen Situationen oft nützlich und hilfreich sein können, während sich Kapitel 5 der mehrdimensionalen Optimierung widmet und die Frage nach Minima und Maxima mehrdimensionaler Funktionen beantwortet.

Teil II: Integralrechnung und Vektoranalysis

Der zweite Teil beschäftigt sich mit dem zweiten großen Teilgebiet der Analysis: der Integralrechnung. In der mehrdimensionalen Analysis ist die Integralrechnung wesentlich vielfältiger, als dies in der eindimensionalen Analysis der Fall ist. So können Sie eine Funktion nicht nur über -dimensionale Teilmengen eines -dimensionalen Raums integrieren, sondern auch über niedriger dimensionale Teilmengen: Sie können Raum-, Flächen- und Kurvenintegrale definieren und berechnen. Die letzten beiden Sorten von Integralen unterscheiden sich noch einmal je nach Art der Integrandenfunktion: Vektorwertige Funktionen benötigen eine andere Art der Integration als skalarwertige Funktionen.

In Kapitel 6 werden beispielhaft für allgemeine Raumintegrale solche Integrale im zwei- oder dreidimensionalen Raum behandelt. Dies entspricht einer Verallgemeinerung der Integration aus der eindimensionalen Analysis und lässt sich im Wesentlichen auf diese zurückführen.

Kapitel 7 und Kapitel 8 führen die beiden anderen Sorten von mehrdimensionalen Integralen ein: Kurvenintegrale und Flächenintegrale über Funktionen von zwei oder drei Variablen.

Kapitel 9 liefert Ihnen einen kurzen Überblick über die Zusammenhänge, die zwischen den drei Integralsorten bestehen, und zeigt Ihnen, wann und wie Sie die Integration über ein Volumen durch Integration über Flächen oder über Kurven ausdrücken können. Diese Zusammenhänge sind für physikalische und technische Themenbereiche wie die Strömungsmechanik oder die Theorie elektromagnetischer Felder wichtig.

Teil III: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Viele mathematische Modelle in den Naturwissenschaften werden mit Hilfe von Differentialgleichungen formuliert. Dies sind Gleichungen, in denen eine oder mehrere gesuchte Funktionen und ihre Ableitungen in Beziehung zueinander gesetzt werden.

Im Gegensatz zu den ersten beiden Teilen werden in diesem Teil dabei ausschließlich Funktionen von einer eindimensionalen Variablen betrachtet, dies führt zum Gebiet der gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Nach einer Einführung zu diesem Thema in Kapitel 10 werden in Kapitel 11 Methoden zur Lösung bestimmter Differentialgleichungen behandelt, in denen außer der gesuchten Funktion nur ihre erste Ableitung auftritt. Kapitel 12 erweitert die behandelten Problemstellungen auf eine besonders wichtige Sorte von Differentialgleichungen mit höheren Ableitungen, die linearen Differentialgleichungen. Leider gibt es nur für einige Spezialfälle solcher linearer Differentialgleichungen Standardlösungsverfahren. Diese werden in Kapitel 13 beschrieben.

Als abschließendes Thema in diesem Teil werden in Kapitel 14 Systeme von linearen Differentialgleichungen und Methoden zu ihrer Lösung beschrieben. Diese Systeme ähneln in gewisser Hinsicht einem linearen Gleichungssystem, wie es aus der linearen Algebra bekannt ist. Allerdings sind die gesuchten Größen hier unbekannte Funktionen und keine Vektoren.

Teil IV: Funktionentheorie

Die komplexe Analysis ist das Thema in Teil IV. Hierbei geht es um komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen, und es werden die Begriffe der eindimensionalen reellen Analysis auf solche Funktionen übertragen.

Kapitel 15 führt die Grundlagen der Differentialrechnung in der komplexen Analysis ein, Kapitel 16 liefert diese für die komplexe Integralrechnung. Diese ist mit der Integralrechnung für zweidimensionale reelle Funktionen verwandt. Einen besonderen Schwerpunkt bilden dabei die komplexen Kurvenintegrale und die Residuenmethode zur Berechnung solcher Integrale.

In Kapitel 17 werden komplexe Potenzreihen und deren Verallgemeinerung zu Laurentreihen untersucht. Wie in der reellen Analysis helfen solche Reihenentwicklungen oft bei der Untersuchung der analytischen Eigenschaften einer gegebenen Funktion.

Teil V: Der Top-Ten-Teil

Im Top-Ten-Teil finden Sie einen kleinen Leitfaden, wie Sie mit einem Mathematikkurs an der Uni am besten zurechtkommen können.

Symbole in diesem Buch

In diesem Buch finden Sie am linken Rand einer Seite oft Symbole, die Sie auf eine besondere Stelle hinweisen. Ich verwende dabei sieben verschiedene Symbole, deren Bedeutung ich Ihnen hier erkläre.

Mit diesem Symbol weise ich Sie auf eine Begriffserklärung hin. Üblicherweise steht es an der Stelle im Buch, an der der betreffende Begriff das erste Mal auftritt.

Dieses Symbol steht für eine Gefahr: eine häufige Fehlerquelle, eine unerwartete Eigenschaft, eine Besonderheit oder Falle. Sie sollten solche Stellen extra aufmerksam lesen, um die Gefahr zu erkennen und nicht über solche Fallstricke zu stolpern.

Dieses Symbol weist Sie auf einen Trick, eine besonders einfache, eine besonders wichtige Methode oder auf Eigenschaften hin, die Sie in der Ingenieurmathematik immer wieder gebrauchen können und beachten müssen.

Dieses Symbol lässt Sie einen Blick auf die tieferen mathematischen Zusammenhänge oder besondere Beispiele werfen. Meist werden Sie dabei schnell merken, dass die Sache technisch und kompliziert wird. Aber keine Sorge! Diese Dinge sind für den interessierten Leser gedacht. Falls Sie dabei etwas nicht sofort verstehen, können Sie einfach getrost darüber hinwegspringen. Für das weitere Verständnis sind diese Themen nicht wichtig.

Dieses Symbol steht dort, wo ich Ihnen Hinweise zur praktischen Rechnung mit Hilfe des Mathematikprogramms »octave« gebe. Das Programm »octave« ist ein sehr nützliches Matlab-kompatibles Open-Source-Programm, das heißt, es ist für viele Betriebssysteme frei erhältlich. Der Umfang von octave ist wesentlich größer, als ich Ihnen im Rahmen dieses Buchs zeigen kann. Die mit diesem Symbol gekennzeichneten Stellen liefern Ihnen aber einen kleinen praktischen Einstieg. Falls Sie nicht daran interessiert sind, können Sie auch diese Stellen ohne Probleme einfach überspringen.

Wie es weitergeht

Sie können dieses Buch wie ein normales Buch verwenden und es von der ersten bis zur letzten Seite einfach durchlesen. Sie können aber auch anders vorgehen. Dieses Buch ist so aufgebaut, dass Sie seine Teile relativ unabhängig voneinander lesen oder zwischen einzelnen Themenbereichen hin und her springen können, um sich einen raschen Überblick zu verschaffen. Ich verweise an vielen Stellen auf die Abschnitte und Kapitel, in denen ein bestimmtes Thema ausführlich behandelt wird.

Allerdings hängen einige Kapitel grundlegend von anderen Kapiteln ab. Die vorgegebene Reihenfolge erleichtert Ihnen in diesen Fällen das Verständnis. Das betrifft natürlich das Kapitel 1, das die wichtigsten Grundlagen für alle folgenden Teile zusammenfasst. Ebenso sind die Kapitel 2 und 3, die eine Einführung in die mehrdimensionale Differentialrechnung liefern, eine gute und wichtige Grundlage für Teil I und Teil II.

Sie können aber Teil III und Teil IV nahezu problemlos in beliebiger Reihenfolge lesen oder auch ganz weglassen. Ebenso sind diese beiden Teile fast völlig unabhängig von den ersten beiden Teilen dieses Buchs, abgesehen von Kapitel 1. Die in Kapitel 1 zusammengefassten Grundlagen aus der eindimensionalen Analysis und der Vektorrechnung sind für alle folgenden Kapitel wichtig. Werfen Sie daher mindestens einen Blick auf Kapitel 1, bevor Sie andere Teile lesen! Nur falls Ihnen die dort behandelten Themen geläufig sind, können Sie dieses Kapitel gefahrlos überspringen.

Teil I

Mehrdimensionale Analysis für Ingenieure

IN DIESEM TEIL …

Wie die eindimensionale Analysis beschäftigt sich auch die mehrdimensionale Analysis mit Funktionen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration, allerdings nicht nur mit Funktionen einer reellen Variablen, sondern allgemeiner mit Funktionen mehrerer reeller Variablen oder Funktionen von reellen Vektoren.

Mehrdimensionale Funktionen sind bei der mathematischen Beschreibung realer technischer und naturwissenschaftlicher Systeme oft ein unerlässliches Hilfsmittel.

In diesem Teil werden Differentialrechnung und grundlegende Methoden sowohl der Optimierung als auch der Integration im Mehrdimensionalen dargestellt.

Kapitel 1

Was bisher geschah

IN DIESEM KAPITEL

Bezeichnungen und SchreibweisenVektoren, Matrizen, Determinanten und lineare GleichungssystemeDas Wichtigste aus der eindimensionalen Analysis

Mehrdimensionale Analysis, gewöhnliche Differentialgleichungen, Funktionentheorie, stochastische Prozesse – das alles klingt nach fortgeschrittener Mathematik. Und das ist es auch. Die Themen dieses Buchs bauen auf mathematischen Methoden aus der linearen Algebra und der eindimensionalen Analysis auf. Naturgemäß können nicht alle Grundlagen ausführlich erläutert werden: Das Buch hätte dann mindestens den doppelten Umfang. Ich gehe daher davon aus, dass Sie den größten Teil der benötigten Grundlagenmathematik schon kennen. Dazu gehören die Grundbegriffe der mathematischen Sprache, neben den üblichen Rechensymbolen auch die logischen Zeichen für »es existiert« und für »für alle«, das Zahlensystem der reellen Zahlen mit den darin enthaltenen natürlichen Zahlen , den ganzen Zahlen und den rationalen Zahlen und die darauf aufbauende Vektorrechnung in den -dimensionalen Vektorräumen oder die eindimensionale Analysis.

Keine Panik! Die für dieses Buch wichtigsten Begriffe und Methoden aus diesen Bereichen werde ich in diesem Kapitel kurz erläutern. Falls Sie darüber hinaus neugierig geworden sind, wie das alles im Detail aussieht, können Sie das zum Beispiel im ersten Band »Mathematik für Ingenieure 1 für Dummies« nachlesen.

Grundlagen aus der linearen Algebra

Das Rechnen mit Vektoren und Matrizen spielt für die mehrdimensionale Analysis eine ähnliche Rolle wie die Grundrechenarten für die eindimensionale Analysis. Anstelle der reellen Zahlen aus treten hierbei Vektoren als Variablen und Funktionswerte auf, und bei der Klassifizierung von Extremstellen helfen Ihnen bestimmte Eigenschaften von Matrizen weiter. Die bei der Optimierung häufig auftretenden, oft sehr schwierig zu lösenden nichtlinearen Gleichungssysteme können Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens durch die Lösungen linearer Gleichungssystemen zumindest approximieren. Grund genug, diese Grundlagen hier kurz zu wiederholen.

Vektor- und Matrizenrechnung

In diesem Buch werden überwiegend die beiden reellen Vektorräume und auftreten, die gleichwertig entweder als zwei- beziehungsweise dreidimensionale Spaltenvektorräume oder als zwei- oder dreidimensionale Zeilenvektorräume aufgefasst werden.

Zwischen Spaltenvektoren

und Zeilenvektoren können Sie mit Hilfe der Transposition umschalten. Die mit einem hochgestellten bezeichnete Transposition vertauscht Zeilen mit Spalten:

Spaltenvektoren (und analog Zeilenvektoren) werden komponentenweise addiert:

Die Vektoraddition ist kommutativ und assoziativ.

Jeden reellen Vektor können Sie mit einer beliebigen reellen Zahl skalar multiplizieren. Die skalare Multiplikation wird ebenfalls komponentenweise durchgeführt:

Vektoraddition und skalare Multiplikation werden auch für reelle Zeilenvektoren komponentenweise definiert.

Mit Hilfe des Standardskalarprodukts können Sie Winkel zwischen zwei Vektoren

definieren und die euklidische Norm oder Länge eines Vektors bestimmen.

Für beliebige Vektoren heißt die reelle Zahl

das Standardskalarprodukt der Vektoren und . Eine häufig verwendete Kurzschreibweise für das Skalarprodukt ist

Die euklidische Norm eines Vektors ist durch

definiert.

Den Winkel zwischen den beiden Vektoren bestimmen Sie aus dem Skalarprodukt der beiden Vektoren mit einer einfachen Formel.

Der Winkel zwischen den beiden Vektoren und aus lässt sich nach der Formel

bestimmen.

Das Vektorprodukt

Für die Darstellung von Flächenintegralen werden in Kapitel 8 einige Eigenschaften des Vektor- oder Kreuzprodukts zweier Vektoren benötigt.

Für zwei Vektoren

heißt der durch

definierte Vektor das Vektor- oder Kreuzprodukt vonund.

Für Kreuzprodukte gelten die folgenden Rechenregeln:

für beliebige Zahlen

Zwei Vektoren

und

sind genau dann linear abhängig, wenn das Kreuzprodukt

ergibt.

Für drei Vektoren

gelten:

Das Kreuzprodukt ist

antisymmetrisch

, das heißt:

Das Assoziativgesetz ist für das Vektorprodukt im Allgemeinen

nicht

erfüllt!

Das Kreuzprodukt

ist orthogonal zu

und zu

Sind

und

linear unabhängig, so bilden

und

eine positiv orientierte Basis.

Ist der Winkel zwischen den beiden linear unabhängigen Vektoren , dann gilt:

Die Länge des Kreuzprodukts entspricht also dem Flächeninhalt des durch und aufgespannten Parallelogramms.

Das Spatprodukt

Drei beliebige Vektoren des spannen einen Spat auf. Dieser Körper ähnelt einem schiefen Backstein, ein Beispiel ist in Abbildung 1.1 dargestellt. Für die drei Vektoren und heißt die durch definierte reelle Zahl das Spatprodukt aus und .

Der Absolutbetrag entspricht dem Volumen des Spats.

Neben den Vektoren sind reelle -Matrizen mit Zeilen und Spalten weitere mathematische Objekte aus der linearen Algebra, die bei der mehrdimensionalen Analysis eine wichtige Rolle spielen.

Abbildung 1.1: Ein Spat oder Parallelepiped, das durch die drei Vektoren und aufgespannt wird

Matrizen können Sie als Vektoren auffassen, und genau wie bei Spalten- oder Zeilenvektoren können Sie auch Matrizen derselben Dimension komponentenweise addieren oder mit einer reellen Zahl multiplizieren. Zwei Matrizen, bei denen die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmt, können Sie nach der folgenden Definition auch miteinander multiplizieren.

Ist eine reelle -Matrix und eine reelle -Matrix, dann heißt die -Matrix mit den Komponenten

das Produkt vonund.

Das Standardskalarprodukt der Spaltenvektoren können Sie als ein besonderes Matrizenprodukt interpretieren: Betrachten Sie die beiden Spaltenvektoren

als -Matrizen und definieren Sie zum Spaltenvektor den Zeilenvektor , eine einzeilige und -spaltigen Matrix. Das Skalarprodukt ist dann das Matrizenprodukt aus der -Matrix und der -Matrix .

Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren

Lineare Gleichungssysteme, kurz LGS, treten bei vielen mathematischen Fragestellungen auf. Beispielsweise müssen Sie beim in Kapitel 4 behandelten Newton-Verfahren zur Approximation von Nullstellen einer mehrdimensionalen Funktion in jedem Schritt ein LGS lösen. Ein LGS können Sie formal als

mit der Systemmatrix , dem gesuchten Vektor und dem Vektor der rechten Seite schreiben. Die meisten LGS, die in diesem Buch vorkommen werden, sind quadratische LGS, das heißt: . Die Systemmatrix ist also quadratisch, und die beiden Vektoren und gehören demselben Vektorraum an.

Determinanten

Manchmal empfiehlt es sich, ein LGS zuerst auf Lösbarkeit zu untersuchen, bevor Sie versuchen, die Lösung zu berechnen. Dies können Sie für quadratische LGS beispielsweise mit Hilfe der sogenannten Determinante der Systemmatrix machen. Die eigentliche mathematische Definition der Determinanten ist etwas kompliziert, allerdings reicht es aus, eine Berechnungsvorschrift für Determinanten anzugeben.

Für eine quadratische Matrix mit

heißt die Zahl

die Determinante von. Für eine Matrix ist

Determinanten für Matrizen mit mehr als drei Zeilen und Spalten berechnen Sie mit Hilfe des sogenannten Laplaceschen Entwicklungssatzes über die Kofaktoren bestimmter Matrixkomponenten.

Ist eine quadratische Matrix mit Zeilen und Spalten, dann heißt die quadratische Matrix mit Zeilen und Spalten, die aus durch Streichen der -ten Zeile und der -ten Spalte entsteht, die Untermatrix.

heißt der Kofaktor zum Element der Matrix .

Mit Hilfe von Untermatrizen lassen sich ganz allgemein Determinanten auf zwei Weisen rekursiv berechnen.

Die eine Möglichkeit ist die

Entwicklung nach der

-ten Spalte

: für

ist:

Die andere Variante ist die

Entwicklung nach der

-ten Zeile

: für

ist:

Mit diesen beiden Methoden können Sie die Berechnung der Determinante jeder quadratischen Matrix auf die Berechnung von Determinanten quadratischer Matrizen mit nur zwei Zeilen und Spalten zurückführen.

Determinanten werden zum Beispiel bei der weiter unten in diesem Kapitel beschriebenen Eigenwertberechnung und bei der Transformation verschiedener Koordinatensysteme zur mehrdimensionalen Integration benötigt, die in Kapitel 6 behandelt wird.

Außerdem können Sie mit Hilfe der Determinante der Systemmatrix die eindeutige Lösbarkeit eines quadratischen LGS feststellen.

Ist für die Systemmatrix eines quadratischen LGS

die Determinante von null verschieden, dann existiert ein einziger Lösungsvektor für dieses LGS. Ist dagegen , dann gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen des LGS.

Das Gauß-Verfahren

Es gibt sehr viele verschiedene Verfahren zur exakten oder näherungsweisen Lösung eines LGS. Die meisten dieser Verfahren eignen sich hauptsächlich für die computergestützte Lösung sehr großer LGS, das heißt für eine sehr große Zahl von Unbekannten und Gleichungen.

Einige Verfahren können Sie aber durchaus auch zur Berechnung der Lösung kleinerer LGS von Hand einsetzen. Das bekannteste und wichtigste dieser Verfahren ist der Gauß-Algorithmus. Die zugrunde liegende Idee ist es, das zu lösende Gleichungssystem auf obere Dreiecksgestalt zu bringen und dann die Lösung durch Rückwärtslösen zu bestimmen.

Ist beispielsweise eine obere Dreiecksmatrix:

mit

dann ist die Lösung des LGS eindeutig bestimmt, und das Rückwärtslösen können Sie nach dem folgenden Algorithmus vornehmen:

Starten Sie in der

-ten Zeile:

Weiter geht es mit der

-ten Zeile:

Diese können Sie nach auflösen, da Sie schon aus dem letzten Schritt kennen.

Auf diese Weise arbeiten Sie sich rückwärts von unten nach oben durch die einzelnen Zeilen des gestaffelten Systems.

In der -ten Zeile sieht das so aus:

Zur Lösung eines beliebigen LGS mit -Matrix und rechter Seite wird, wenn möglich, beim Gauß-Algorithmus das LGS durch geeignete elementare Zeilenumformungen zu einem LGS mit Dreiecksmatrix und mit neuer rechter Seite umgeformt, welches dieselbe Lösung wie das ursprüngliche System besitzt.

Die erlaubten elementaren Zeilenumformungen sind dabei:

Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar

Vertauschung zweier Zeilen

Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile:

Mit Hilfe der obigen Zeilenumformungen führen Sie die Gauß-Elimination so durch:

Bilden Sie die erweiterte Systemmatrix, indem Sie die Matrixrechts um eine Spalte mit dem Rechte-Seite-Vektorerweitern. Setzen Sie.

Nach jedem der folgenden Schritte erhalten Sie eine neue erweiterte Systemmatrix, die Sie aber der Übersichtlichkeit halber wieder mit bezeichnen. Genauso bezeichnen Sie auch die neuen Komponenten wieder mit .

Ist die Komponente, dann tauschen Sie eine Zeilemitder erweiterten Systemmatrixmit der Zeile. Falls es unterhalb der-ten Zeile keine Zeilemitgibt, sind Sie fertig und gehen zu Schritt 7.

Prinzipiell ist es gleichgültig, durch welche Zeile Sie dabei die -te Zeile ersetzen, solange nach dem Tausch die Komponente ist. Bei der praktischen Rechnung wählen Sie hier möglichst eine Zeile mit Komponente .

Putzen Sie unterhalb der-ten Zeile die-e Spalte, indem Sie zu jeder Zeilemitdas-Fache der-ten Zeile addieren.

Sie bearbeiten also nur die Zeilen unterhalb der -ten Zeile und erhalten eine neue erweiterte Systemmatrix, bei der in der -ten Spalte unterhalb der Diagonalkomponente nur noch Nullen stehen.

Setzen Sie

Ist

, dann sind Sie fertig und gehen zu Schritt 7.

Gehen Sie zu Schritt 2, und fahren Sie dort fort.

Falls Sie nicht vorher zu Schritt 7 springen, dann wiederholen Sie diesen Algorithmus Zeile für Zeile, bis Sie in der letzten Zeile angekommen sind.

Beenden Sie die Elimination.

Mit diesem Eliminationsalgorithmus bringen Sie die erweiterte Matrix auf die folgende Gestalt:

Die Zahl wird Rang der Matrix genannt.

In den ersten Zeilen ist dies ein gestaffeltes Gleichungssystem. Hier stehen »Leerzeichen« für die Null und und für irgendwelche Zahlen. Ist , dann treten in der neu erhaltenen Matrix reine Nullzeilen auf, während auf der neuen rechten Seite in diesen Zeilen eventuell auch andere Zahlen auftauchen können.

Für die Lösbarkeit des LGS gilt:

Nicht lösbar

, falls die Zahlen

nicht alle gleich null sind.

Nicht eindeutig lösbar

, falls

ist, das heißt, falls alle

sind. Die Unbekannten

können frei gewählt werden. Die restlichen Unbekannten

ergeben sich dann eindeutig aus den frei gewählten Unbekannten.

Eindeutig lösbar

, falls

ist. Die Lösung

erhalten Sie durch Rückwärtslösen.

Eigenwerte, Eigenvektoren und die Definitheit von Matrizen

Wie im Abschnitt »Ganz sicher: Hinreichende Optimalitätsbedingung« aus Kapitel 5 dargestellt wird, spielt bei der Untersuchung auf Extremstellen mehrdimensionaler Funktionen die Definitheit von symmetrischen Matrizen eine ähnlich wesentliche Rolle wie das Vorzeichen der zweiten Ableitung für eindimensionale Funktionen.

Eine symmetrische -Matrix heißt:

positiv semidefinit, falls für alle ,positiv definit, falls für alle ,negativ semidefinit, falls für alle ,negativ definit, falls für alle ,indefinit in allen anderen Fällen.

Anhand der Definition ist die Definitheit einer gegebenen Matrix meistens nicht so einfach zu erkennen. Es gibt aber einige Berechnungsmethoden dazu, mit deren Hilfe Sie eine gegebene Matrix auf Definitheit prüfen können. Die zuverlässigste Methode verwendet dazu die Eigenwerte der Matrix.

Für eine gegebene -Matrix werden beim Eigenwertproblem ein Vektor und ein gesucht, sodass

ist. Ein solches heißt Eigenwert von . Jeder Vektor , der die obige Gleichung mit erfüllt, heißt Eigenvektor vonzum Eigenwert.

Die Gleichung heißt die charakteristische Gleichung von .

Das Polynom heißt das charakteristische Polynom der Matrix.

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung einer -Matrix und damit die Eigenwerte von sind nichts anderes als die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

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