Mathematik verstehen Band 2 E-Book

Werner Fricke

• Herausgeber: Books on Demand
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2018

Seitenzahl: 296

Beschreibung

Dieses Buch ist für alle gedacht, die sich im Rahmen ihres Studiums mit der mathematischen Materie auseinandersetzen müssen und eben nicht über die Gabe verfügen, komplizierte mathematische Zusammenhänge sofort zu durchschauen. Außerdem kann dieses Buch auch als Nachschlagewerk verwendet werden. Lösung von mathematischen Problemstellungen in kleinen, nachvollziehbaren Schritten, so dass dem Leser ein hohes Maß an Verständnis für die jeweilige Problemstellung vermittelt werden kann. Zunächst werden jeweils sehr einfache Beispiele für die Aufgabe angeführt, die dann nach und nach zu einer allgemeinen Lösung aufgebaut werden. Diese wird dann abgeleitet und durch weitere Beispiele untermauert.

Leseprobe

Vorwort

„Die Mathematik ist eine Mausefalle. Wer einmal in dieser Falle gefangen sitzt, findet selten den Ausgang, der zurück in seinen vormathematischen Seelenzustand leitet. ...“

So beginnt das Vorwort zu Egmont Colerus legendärem Lehrbuch der Mathematik für interessierte Nichtmathematiker: „Vom Einmaleins zum Integral (1934)“. Auch in Band 1 habe ich diesen Satz vorangestellt.

Ich bin immer noch in dieser Falle gefangen. Nach Vollendung von Band 1 und der unerwartet erfolgreichen Veröffentlichung, habe ich nicht loslassen können und weiter an einem Konzept gearbeitet, dass es mathematisch nicht so begabten ermöglicht, tiefer in diese Materie einzusteigen.

Dieses Lehr- und Arbeitsbuch ist für das Grund- und Hauptstudium von Studierenden naturwissenschaftlicher und technischer Fächer geschrieben worden. Es wendet sich speziell an diejenigen, welche eben nicht über die Gabe verfügen, komplizierte mathematische Zusammenhänge sofort zu durchschauen. Ich habe versucht, die mathematischen Problemstellungen in kleinen, nachvollziehbaren Schritten darzustellen, so dass dem Leser ein hohes Maß an Verständnis für die jeweilige Problemstellung vermittelt werden kann. Zunächst werden jeweils sehr einfache Beispiele für die Aufgabe angeführt, die dann nach und nach zu einer allgemeinen Lösung aufgebaut werden. Diese wird dann abgeleitet und durch weitere Beispiele untermauert.

An dieser Stelle möchte ich allen danken, die mit ihrer Hilfe und ihren Anregungen konstruktiv am Zustandekommen dieses Buches beteiligt waren. Mein besonderer Dank gilt Herrn Witali Gutschmidt für die fachlich kompetente Durchsicht und Korrektur des Manuskriptes und seine vielen Vorschläge zur verbesserten Gestaltung.

Schwerte, im Frühjahr 2018

Werner Fricke

Inhaltsverzeichnis

1 Fortgeschrittene Integralrechnung

1.1 Allgemeine Zusammenfassung von Band 1

Schon in Band 1 /1/ haben wir eine Einführung in die Integralrechnung beschrieben. Zunächst wollen wir die dort gemachten Ausführungen zusammenfassen. Wir haben die Integralrechnung als Operation zur Berechnung von Flächen eingeführt, die sich unterhalb einer Funktion befinden.

Bild 1: Einteilung in Streifen mit Δx=0,5

Um ein genaues Ergebnis zu erlangen, haben wir die Anzahl der Streifen gegen unendlich und Δx gegen 0 gehen lassen und erhielten:

Diesen Ausdruck haben wir dann wie folgt geschrieben:

Danach konnten wir zeigen, dass Folgendes gilt:

Den bekannten Differentialquotienten konnten wir umstellen:

Damit können wir so tun, als ob hinter dem Integralzeichen die Ableitung einer höheren Funktion stehen würde. Die Aufgabe der Integralrechnung lautet nun:

„Finde eine Funktion deren Ableitung f´(x) gegeben ist“

Diese gesuchte Funktion nennt man auch Stammfunktion. In diesem Sinne haben wir die Integralrechnung als Umkehroperation zur Differentialrechnung entlarvt.

Wir suchen eine Funktion F(x), deren 1. Ableitung gleich x ist.

1. Erhöhe den Exponenten von x um 1.

2. Dividiere den Vorfaktor von x durch den neuen erhöhten Exponenten.

Es folgt:

Man nennt dies auch ein unbestimmtes Integral.

Für allgemeine Exponenten haben wir dann Folgendes erhalten:

Es wurden folgende Rechenregeln für Integrale abgeleitet:

Faktorregel der Integralrechnung

Besitzt die zu integrierende Funktion einen konstanten Faktor, dann gilt:

Summenregel der Integralrechnung

Besteht die zu integrierende Funktion aus einem oder mehreren Summanden, so gilt:

Dies gilt natürlich für die Subtraktion.

Vertauschungsregel

Vertauscht man die die Untergrenze eines bestimmten Integrals mit der Obergrenze, so gilt:

Regel über gleiche Grenzen

Sind Ober- und Untergrenze eines bestimmten Integrals gleich groß, so gilt:

Intervallregel

Jedes bestimmte Integral kann in beliebige Teilintervalle zerlegt werden, es gilt:

1.2 Eigenschaften von Stammfunktionen

Eine Stammfunktion ist wie folgt definiert:

Eine differenzierbare Funktion F(x) ist die Stammfunktion von f(x), wenn gilt:

Für jede stetige Funktion f(x) gilt:

1. Es gibt unendlich viele Stammfunktionen zu der Funktion f(x).

Dies liegt daran, dass zu jeder Stammfunktion eine beliebige additive Konstante C existiert.

mit C als beliebiger Konstante

2. Wenn wir die Differenz zweier beliebiger Stammfunktionen der Funktion f(x) bilden, dann erhalten wir eine Konstante:

3. Wenn F1(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann ist auch F1(x) + C eine Stammfunktion von f(x). Daraus ergibt sich die Menge aller Stammfunktionen wie folgt:

(C ist eine beliebige Konstante)

1.3 Bestimmtes, unbestimmtes Integral und Flächenfunktion

Der Unterschied zwischen einem bestimmten und einem unbestimmten Integral ist folgender: Bestimmtes Integral:

Bei einem bestimmten Integral sind die Grenzen des Integrals fest vorgegeben.

mit a und b als den Integrationsgrenzen

Unbestimmtes Integral:

Bei einem unbestimmten Integral sind die Grenzen des Integrals nicht vorgegeben.

mit C als beliebiger Konstante

Da es eine überabzählbar unendliche Anzahl von Werten für C gibt, können wir sagen, dass es eine überabzählbar unendliche Anzahl von Stammfunktionen für die Funktion f(x) gibt.

Flächenfunktion

Wenn man nun die untere Integrationsgrenze als konstant und die obere Integrationsgrenze als variabel annimmt, so erhält man eine Flächenfunktion, die von der variablen oberen Integrationsgrenze abhängt. Hierzu zwei einfache Beispiele:

(1) Gegeben sei die Funktion:

Wir bilden nun die Flächenfunktion, indem wir die Integrationsgrenzen wie folgt festlegen:

Obere Grenze: x0 (variabel)

Setzen wir z.B. die Untergrenze zu k =2, so erhalten wir die Flächenfunktion:

Flächenfunktion:

Bild 2: Darstellung von Funktion und Flächenfunktion

(2) Gegeben sei die Funktion:

Wir bilden nun die Flächenfunktion, indem wir die Integrationsgrenzen wie folgt festlegen:

Obere Grenze: x0 (variabel)

Setzen wir z.B. die Untergrenze zu k =1, so erhalten wir die Flächenfunktion:

Flächenfunktion:

Bild 3: Darstellung von Funktion und Flächenfunktion

(3) In Beispiel 1 hatten wir folgende Funktion:

Bilden wir nun die Differenz dieser beiden Funktionen, so erhalten wir:

Bild 4: Differenz der Flächenfunktionen bei verschiedenen Untergrenzen

Wir können also schreiben:

(4) In Beispiel 2 hatten wir folgende Funktion:

Bilden wir nun die Differenz dieser beiden Funktionen, so erhalten wir:

Fazit:

Haben wir zwei Flächenfunktionen einer Funktion f(x) mit den unterschiedlichen Untergrenzen k und k*, dann ist die Differenz der Flächenfunktionen das bestimmte Integral der Funktion mit der Untergrenze k und der Obergrenze k*:

1.4 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung genannt, verbindet die beiden Rechenarten "Differentialrechnung" und "Integralrechnung" miteinander.

In Band 1 /1/ haben wir bereits die Integralrechnung als Umkehroperation zur Differentialrechnung eingeführt. Wir können also schreiben:

Man kann also folgende Aussagen treffen:

1. Zu jeder Funktion f(x) gibt es eine unendliche Anzahl von Stammfunktionen (Menge der unbestimmten Integrale), für die folgendes gilt:

mit C als beliebiger Konstante

Man kann aber auch schreiben:

mit C als beliebiger Konstante

2. Umgekehrt gibt es zu jeder Stammfunktion genau eine Funktion f(x), welche die Ableitung dieser Funktion ist, es gilt:

Man kann aber auch schreiben:

1.5 Die Grundintegrale

Nach dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung existiert zu jeder Differentialformel der elementaren Funktionen eine entsprechende Integralformel. Diese werden auch Grundintegrale genannt:

* Die Funktion 1 / x ist sowohl für negative als auch für positive x gültig. Die Funktion ln(x) ist jedoch nur für positive x > 0 gültig. Um nun das Integral auch für negative x < 0 zu bekommen, nimmt man als Ergebnis der Integration den Absolutwert von x (Dargestellt als ).

Bild 6: Integration der 1 / x – Funktion

1.6 Beispiele für Stammfunktionen und Flächenfunktionen

(1) Gegeben ist die Funktion:

a) Finde die Stammfunktion

(2) Gegeben ist die Funktion:

a) Finde die Stammfunktion

a) Wir schreiben:

Wir können nun die 8 vor das Integral ziehen:

Für das verbleibende Integral finden wir Folgendes in der Tabelle der Grundintegrale:

Wir erhalten also die Lösung:

(3) Gegeben ist die Funktion:

a) Finde die Stammfunktion

a) Wir schreiben:

Wir können nun die 5 vor das Integral ziehen:

Für das verbleibende Integral finden wir Folgendes in der Integraltafel (Abschnitt 1.12Tabelle 25 Integral 420).

Wir erhalten also die Lösung:

1.7 Bestimmte Integrale

Ein bestimmtes Integral ist dadurch gekennzeichnet, dass Untergrenze und Obergrenze des Integrals bekannt sind. Es gilt Folgendes:

Man sucht also eine Stammfunktion (unbestimmtes Integral) für die Funktion f(x) und berechnet die Differenz der Werte F(b) – F(a).

Beispiele:

(1) Gegeben ist die Funktion:

Gesucht ist der Flächeninhalt der Funktion mit der Untergrenze 0 und der Obergrenze .

Statt Unter- und Obergrenze sagt man auch: ... im Intervall

Bild 7: Flächenberechnung der Sinuskurve

(2) Gegeben ist die Funktion:

Gesucht ist der Flächeninhalt der Funktion im Bereich −1≤ x ≤ +1

Bild 8: Flächeninhalt der Funktion

1.8 Integrationsverfahren

1.8.1 Die Substitutionsmethode

1.8.1.1 Grundlagen der Substitutionsmethode

Bei der Substitutionsmethode wird versucht, eine innere Funktion von x durch eine geeignete einfachere Funktion zu ersetzen, damit die äußere Funktion leichter zu integrieren ist.

Wir wollen zunächst einmal die Begriffe „äußere“ und „innere“ Funktion klären. Gegeben ist z.B. eine Funktion deren Variable wiederum eine Funktion ist:

Die Funktion f wird hierbei äußere und die Funktion u(x) innere Funktion genannt.

Betrachten wir hierzu ein einfaches Beispiel:

Wir können hier den Klammerausdruck wie folgt substituieren:

u(x) ist hierbei die innere Funktion

Für die äußere Funktion erhalten wir:

sin(u)

Wir wollen nun die Funktion integrieren.

2) Wir setzen u in das Integral ein:

3) Wir bilden die Ableitung von u und stellen diese nach dx um:

4) Wir ersetzen im Integral dx:

5) Da jetzt die Stammfunktion nicht mehr von x abhängt, können wir das Integral lösen. In unserem Beispiel können wir 1/2 vor das Integral ziehen und erhalten:

6) Nun können wir u wieder ersetzen (Rücksubstitution) und erhalten die Stammfunktion:

Man kann aber auch Ober-und Untergrenze in die substituierte Funktion eintragen. Dabei müssen diese jedoch entsprechend der Substitution umgerechnet werden:

Bild 9: Beispiel Substitutionsmethode

Beispiele:

(1) Gegeben ist die Funktion:

Gesucht ist die Stammfunktion:

2) Wir setzen u in das Integral ein:

3) Wir bilden die Ableitung von u und stellen diese nach dx um:

4) Wir ersetzen im Integral dx:

5) Da jetzt die Stammfunktion nicht mehr von x abhängt, können wir das Integral lösen. In unserem Beispiel können wir 1/4 vor das Integral ziehen und erhalten:

6) Nun können wir u wieder ersetzen (Rücksubstitution) und erhalten die Stammfunktion:

(2) Gegeben ist die Funktion:

Gesucht ist die Stammfunktion:

1) Wir suchen eine geeignete Substitutionsfunktion:

2) Wir setzen u in das Integral ein:

3) Wir bilden die Ableitung von u und stellen diese nach dx um:

4) Wir ersetzen im Integral dx:

5) Da jetzt die Stammfunktion nicht mehr von x abhängt, können wir das Integral lösen. In unserem Beispiel können wir 1/2 vor das Integral ziehen und erhalten:

(Grundintegral)

6) Nun können wir u wieder ersetzen (Rücksubstitution) und erhalten die Stammfunktion:

(3) Gegeben ist die Funktion:

a) Gesucht ist die Stammfunktion:

c) Wie müssen wir rechnen, wenn wir direkt mit Fu integrieren wollen?

a) Stammfunktion

2) Wir setzen u in das Integral ein:

3) Wir bilden die Ableitung von u und stellen diese nach dx um:

4) Wir ersetzen im Integral dx:

5) Wir können nun 1/2 vor das Integral ziehen:

(Grundintegral)

6) Nun können wir u wieder ersetzen (Rücksubstitution) und erhalten die Stammfunktion:

b) Es gilt:

c) In diesem Fall verwenden wir die Stammfunktion:

Wenn wir integrieren wollen, müssen wir die Unter- und Obergrenze von u bestimmen:

Untergrenze von u

Obergrenzeu von u

Daraus ergibt sich:

(4) Gegeben ist die Funktion:

Gesucht ist die Stammfunktion:

2) Wir setzen u in das Integral ein:

3) Wir bilden die Ableitung von u und stellen diese nach dx um:

4) Wir ersetzen im Integral dx:

5) Da jetzt die Stammfunktion nicht mehr von x abhängt, können wir das Integral lösen.

(Grundintegral)

6) Nun können wir u wieder ersetzen (Rücksubstitution) und erhalten die Stammfunktion:

(5) Gegeben ist die Funktion:

Gesucht ist die Stammfunktion:

a)

2) Wir setzen u in das Integral ein:

3) Wir bilden die Ableitung von u und stellen diese nach dx um:

4) Wir ersetzen im Integral dx:

5) Da jetzt die Stammfunktion nicht mehr von x abhängt, können wir das Integral lösen.

6) Nun können wir u wieder ersetzen (Rücksubstitution) und erhalten die Stammfunktion:

b)

2) Wir setzen u in das Integral ein:

3) Wir bilden die Ableitung von u und stellen diese nach dx um:

4) Wir ersetzen im Integral dx:

5) Da jetzt die Stammfunktion nicht mehr von x abhängt, können wir das Integral lösen.

6) Nun können wir u wieder ersetzen (Rücksubstitution) und erhalten die Stammfunktion:

Da gilt:

Das a/2 geht in der Integrationskonstanten C unter.

1.8.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen

Das Problem bei der Substitutionsmethode ist, eine geeignete, einfachere Funktion zu u(x) zu finden, damit die äußere Funktion leichter zu integrieren ist. In den bisherigen Beispielen ist uns das jeweils gelungen. Das folgende Beispiel soll jedoch zeigen, dass dies in manchen Fällen nicht so einfach ist. Betrachten wir hierzu als Beispiel folgendes Integral:

Wir substituieren nun:

Wenn wir einsetzen erhalten wir:

Das resultierende Integral hängt also von u und leider auch von x ab, so dass eine Bestimmung des Integrals mit dieser Substitution nicht möglich ist. Ziel der Substitution muss also sein, ein Integral zu erhalten, welches ausschließlich von u abhängt. Da dies, wie im vorliegenden Fall, nicht so einfach ist, haben die Mathematiker für die verschiedensten Integraltypen Substitutionen gefunden und veröffentlicht. Diese wollen wir im Folgenden beschreiben:

Fall 1:

In der zu integrierenden Funktion tritt die Variable x in folgender Form auf: (a ⋅ x + b)

Substitution:

Beispiele:

Fall 2:

Der Integrand ist das Produkt einer Funktion und deren Ableitung:

Substitution:

Beispiele:

Zur Probe kann man auch wie folgt rechnen:

Fall 3:

Der Integrand ist der Quotient aus Ableitung einer Funktion und der Funktion selbst:

Substitution:

Beispiele:

Zur Probe kann man auch wie folgt rechnen:

Fall 4:

Der Integrand enthält eine Wurzel folgender Art:

Aus den Ableitungen der elementaren Funktionen wissen wir: (Band 1 /1/ Abschnitt 12.11)

Wenn wir nun Folgendes setzen:

Wir substituieren:

Wir können nun unter die Wurzel ziehen:

Wir können nun dx gleichsetze:

Beispiele

Aus den Rechenregeln für die trigonometrischen Funktionen folgt:

(Band 1, Abschnitt 5.3.2)

Somit folgt:

Wir schreiben:

In der Integraltafel 19 (308) finden wir folgenden Eintrag:

Wenn wir dies einsetzen erhalten wir:

Aus den Rechenrege ln für trigonometrische Funktionen gilt : (Band 1, Abschnitt 5.3.7)

Nun können wir u wieder ersetzen (Rücksubstitution) und erhalten die Stammfunktion:

Aus den Rechenregeln für die trigonometrischen Funktionen folgt:

(Band 1, Abschnitt 5.3.2)

Somit folgt:

Wir schreiben:

In der Integraltafel 19 (308) finden wir folgenden Eintrag:

Wenn wir dies einsetzen erhalten wir:

Aus den Rechenregeln für trigonometrische Funktionen gilt : (Band 1, Abschnitt 5.3.7)

Nun können wir u wieder ersetzen (Rücksubstitution) und erhalten die Stammfunktion:

Es gilt: und und

Substitution: und

Aus den Rechenregeln für die trigonometrischen Funktionen folgt:

Somit folgt:

Wir schreiben:

In der Integraltafel 19 (308) finden wir folgenden Eintrag:

Wenn wir dies einsetzen erhalten wir:

Mit den Rechenregeln für trigonometrische Funktionen gilt :

(Band 1, Abschnitt 5.3.7)

Nun können wir u wieder ersetzen (Rücksubstitution) und erhalten die Stammfunktion:

Es gilt:

Fall 5:

Der Integrand enthält eine Wurzel folgender Art:

Aus den Ableitungen der elementaren Funktionen wissen wir: (Band 1 /1/ Abschnitt 12.11)

Wenn wir nun Folgendes setzen:

Wir substituieren:

Wir können nun unter die Wurzel ziehen:

Wir können nun dx gleichsetze:

Als Substitution verwenden wir: und

Beispiele:

Substitution: und

Wir erinnern uns an die Rechenregeln für die Hyperbelfunktionhen: (Band 1, Abschnitt 10.10)

Somit folgt:

und und

Wir schreiben:

In der Integraltafel 27 (455) finden wir folgenden Eintrag:

Wenn wir dies einsetzen erhalten wir:

Anus de Rechenrege ln für Huyperbelfunktionen: gilt :(Band 1, Abschnitt 10.10)

Nun können wir u wieder ersetzen (Rücksubstitution) und erhalten die Stammfunktion:

Es gilt :

Substitution: und

Wir erinnern uns an die Rechenregeln für die Hyperbelfunktionhen:

(vgl. Band 1, Abschnitt 10.10)

Somit folgt:

und und

Wir schreiben:

Nun können wir u wieder ersetzen (Rücksubstitution) und erhalten die Stammfunktion:

Fall 6:

Der Integrand enthält eine Wurzel folgender Art:

Aus den Ableitungen der elementaren Funktionen wissen wir: (Band 1 /1/ Abschnitt 12.11)

Wenn wir nun Folgendes setzen:

Wir substituieren:

Wir können nun unter die Wurzel ziehen:

Wir können nun dx gleichsetze :

Als Substitution verwenden wir somit: und

Beispiele:

Substitution: und

Wir erinnern uns an die Rechenregeln für die Hyperbelfunktionhen:

(Band 1, Abschnitt 10.10)

Somit folgt:

Wir schreiben:

In der Integraltafel 26 (441) finden wir folgenden Eintrag:

Wenn wir dies einsetzen erhalten wir:

Anus de Rechenregeln für Huyperbelfunktionen gilt :

(Band 1, Abschnitt 10.10)

Nun können wir u wieder ersetzen (Rücksubstitution) und erhalten die Stammfunktion:

Wir erinnern uns an die Rechenregeln für die Hyperbelfunktionen:

(Band 1, Abschnitt 10.10)

Somit folgt:

und und

Wir schreiben:

In der Integraltafel 26 (441) finden wir folgenden Eintrag:

Wenn wir dies einsetzen erhalten wir:

Aus den Rechenregeln für Hyperbelfunktionen gilt:

(Band 1, Abschnitt 10.10)

Nun können wir u wieder ersetzen (Rücksubstitution) und erhalten die Stammfunktion:

1.8.2 Die partielle Integration

In Band 1 /1/ haben wir die Produktregel der Differentialrechnung kennen gelernt. Diese wird für die Ableitung zweier Funktionen verwendet, die miteinander multipliziert werden.

Aus

Man kann nun auch schreiben:

Wenn wir nun den rechten Teil der Gleichung nach u⋅v′ auflösen, dann erhalten wir:

Wir können nun auf beiden Seiten integrieren und erhalten:

Mit der Summenregel folgt:

Dabei gilt:

Dies gilt deshalb, weil die Integration die Umkehrung der Differentiation ist:

So folgt:

Diese Beziehung nennt man auch „Formel der partiellen Integration“. Durch die Aufteilung der ursprünglichen Funktion f(x) in das Produkt aus u(x) und der Ableitung v'(x) kann das rechte Integral einfacher zu berechnen sein als das Ursprüngliche Integral.

Beispiele:

(1) Gegeben ist die Funktion:

a) Gesucht ist die Stammfunktion:

b) Berechne das Integral im Intervall 4 ≤ x ≤ 8 .

a) Wir setzen

Es gilt: und

Daraus folgt:

b)

a) Gesucht ist die Stammfunktion:

b) Berechne das Integral im Intervall 10 ≤ x ≤ 20.

a) Wir setzen

Es gilt: und

Daraus folgt:

b)

Gesucht ist die Stammfunktion:

a)

Es gilt: und

Daraus folgt:

Wir können nun auf beiden Seiten addieren und erhalten:

b)

Es gilt: und

Daraus folgt:

Wir können nun auf beiden Seiten addieren und erhalten:

Die beiden Stammfunktionen unterscheiden sich lediglich durch eine Konstante.

Gesucht ist die Stammfunktion:

Wir setzen:

Es gilt: und

Daraus folgt:

Wir setzen:

Es gilt: und

Daraus folgt:

Wir setzen:

Es gilt: und

Daraus folgt:

Das in der Lösung auftauchende Integral ist kein Grundintegral. Aber wir haben in Beispiel (5) dieses Integral bereits gelöst.

Wir brauchen also nur das dort gefundene Ergebnis einzusetzen:

1.8.3 Integration durch Partialbruchzerlegung

1.8.3.1 Umwandlung unecht gebrochener rationaler Funktionen

In Band 1 /1/ haben wir uns bereits mit gebrochen rationalen Funktionen beschäftigt. Eine derartige Funktion kann wie folgt geschrieben werden:

Ist der Grad m des Zählerpolynoms kleiner als der Grad n des Nennerpolynoms, so spricht man von einer echt gebrochenen Funktion, andernfalls von einer unecht gebrochenen Funktion:

Ist eine Funktion unecht gebrochen, so kann man diese durch Polynomdivision in eine ganzrationale und eine echt gebrochen-rationale Funktion zerlegen.

Beispiel:

Gegeben ist die unecht-gebrochene rationale Funktion

Durch Polynomdivision erhalten wir:

Der ganzrationale Anteil besteht aus:

4 ⋅ x + 4

Der echt gebrochen-rationale Anteil besteht aus:

Dabei lässt sich der ganzrationale Anteil in der Regel problemlos integrieren. Bleibt also lediglich zu untersuchen, wie man den echt gebrochen-rationalen Anteil integrieren kann.

Partialbruchzerlegung

Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung kann jede echt gebrochen-rationale Funktion in eine Summe von Partialbrüchen zerlegt werden. Diese können dann problemlos gliedweise integriert werden. Zunächst wollen wir dies anhand von einfachen Beispielen näher untersuchen.

1.8.3.2 Nennerpolynom mit einfacher Polstelle

Gegeben ist die echt gebrochen-rationale Funktion:

Wir suchen nun die Nullstellen des Nennerpolynoms (Polstellen):

und

Wir machen nun folgenden Ansatz*:

Man kann nachweisen, dass sich jede Funktion mit sogenannten einfachen Polstellen in dieser Weise schreiben lässt. Man muss jetzt nur noch die beiden Unbekannten a1 und a2 bestimmen.

Hierzu machen wir zunächst sämtliche Brüche gleichnamig.

mit (x − 1).( x + 1 )= x 2 − 1

Wir können nun auf beiden Seiten der Gleichung mit x2 −1 multiplizieren:

Nach Multiplikation mit x

2

− 1

Nach Ausmultiplizieren

Nach Ausklammern von x

Die linke Seite kann man auch schreiben

Durch Koeffizientenvergleich folgt:

Eingesetzt in [1] folgt:

Wir erhalten also die Partialbrüche der Gleichung wie folgt:

* Der Ansatz dient dazu, die Stammfunktion zu ermitteln. Für die verschiedenen Grade von Funktionen werden unterschiedliche Ansätze verwendet. Diese sind in Abschnitt 1.8.3.7 beschrieben.

Wir können nun die Stammfunktion wie folgt ermitteln:

Wir müssen nun lediglich die beiden Integrale lösen:

Fall 1:

Rücksubstituiert folgt:

Fall 2:

Rücksubstituiert folgt:

Insgesamt können wir also schreiben:

1.8.3.3 Nennerpolynom mit zweifacher Polstelle

Gegeben ist die echt gebrochen-rationale Funktion:

Wir suchen nun die Nullstellen des Nennerpolynoms (Polstellen):

Wir machen nun folgenden Ansatz:

Man kann nachweisen, dass sich jede Funktion mit sogenannten zweifachen Polstellen in dieser Weise schreiben lässt. Man muss jetzt nur noch die beiden Unbekannten a1 und a2 bestimmen.

Hierzu machen wir zunächst sämtliche Brüche gleichnamig.

Wir können nun auf beiden Seiten der Gleichung mit (1−x )2 multiplizieren:

Durch Koeffizientenvergleich folgt:

Die Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn gilt:

Setzt man a1 in Gleichung [2] ein folgt:

Wir erhalten also die Partialbrüche der Gleichung wie folgt:

Wir können nun die Stammfunktion wie folgt ermitteln:

Wir müssen nun lediglich die beiden Integrale lösen:

Fall 1:

Rücksubstituiert folgt:

Fall 2:

Rücksubstituiert folgt:

Insgesamt können wir also schreiben:

1.8.3.4 Nennerpolynom mit dreifacher und einfacher Polstelle

(Beispiel aus Papula /2/)

Gegeben ist die echt gebrochen-rationale Funktion:

Wir suchen nun die Nullstellen des Nennerpolynoms (Polstellen):

Wir können also den Nenner des Polynoms wie folgt schreiben:

Wir können das Restpolynom also wie folgt schreiben:

Für das weitere Restpolynom erhalten wir folgende Nullstellen:

Wir können das Nennerpolynom also wie folgt schreiben:

Für (x −1) haben wir also eine dreifache Polstelle und für (x+3) eine einfache Polstelle.

Wir machen nun folgenden Ansatz:

Man kann nachweisen, dass sich jede Funktion mit dreifacher und einfacher Polstelle so schreiben lässt. Man muss jetzt nur noch die Unbekannten a1, a2, a3 und und b1 bestimmen. Hierzu machen wir zunächst sämtliche Brüche gleichnamig.

Auf beiden Seiten steht dasselbe im Nenner, so dass man beide Seiten damit multiplizieren kann:

Wir setzen nun Folgendes ein:

Wir setzen nun ein:

Wir erhalten für a1 und a2 also zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:

Wir multiplizieren die untere Gleichung mit –1 und addieren:

Somit können wir unsere ursprüngliche Gleichung wie folgt schreiben:

Nach der Zerlegung des Nennerpolynoms in Partialbrüche kann nun die Gleichung gliedweise integriert werden.

(vergleiche Beispiel "e inf ache Polstellen)

(vergleiche Beispiel "zweifache Polstellen)

Rücksubstituiert folgt:

Rücksubstituiert folgt:

Als Lösung erhalten wir:

Mit der Regel:

1.8.3.5 Erläuterung der Partialbruchzerlegung

Wir wollen die Partialbruchzerlegung anhand von Nennerpolynomen 4. Grades näher erläutern. Ein Polynom 4. Grades mit 4 Nullstellen kann allgemein wie folgt geschrieben werden.

Wobei die Werte von x1 bis x4 die Nullstellen des Polynoms sind.

Natürlich gibt es auch Polynome 4. Grades die keine Nullstellen besitzen, z.B. das folgende:

Bild 10: Polynom 4. Grades ohne Nullstelle

Daraus folgt: Wenn gilt: keine Nullstelle

Bild 11: Polynom 4. Grades mit 2 Nullstellen

Wir sehen, dass nun das Polynom um 1 nach unten verschoben ist und zwei Nullstellen auftreten. Dasselbe würde passieren, wenn eine beliebige Zahl k < 0 addiert wird.

Wenn wir dieses Polynom in seine Partialbrüche zerlegen, dann folgt:

Das Restpolynom hat offensichtlich eine Nullstelle bei –1:

Weiteren Nullstellen des Restpolynoms existieren nicht.

Man kann nun unser Polynom wie folgt schreiben:

Es gilt also:

Es handelt sich hier um zwei einfache Nullstellen. Die Werte für x3 und x4 existieren hier nicht.

Da unser zu untersuchendes Polynom im Nenner steht, wird eine Nullstelle im Nenner zu einer Polstelle der Gesamtfunktion. Wir wollen im Folgenden die Bedeutung der Begriffe „einfache Polstelle, zweifache Polstelle, dreifache Polstelle und vierfache Polstelle“ bei Polynomen 4. Grades

im Nenner näher beschreiben:

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass das Polynom sich in folgender Form schreiben lässt:

Es sollen also alle Werte für x1, x2, x3 und x4 existieren. Man kann folgende Fälle unterscheiden:

Nennerpolynom mit vierfacher Polstelle

Nennerpolynom mit einer dreifachen und einer einfachen Polstelle

Nennerpolynom mit zwei zweifachen Polstellen

Nennerpolynom mit vier einfachen Polstellen

Nennerpolynom mit vierfacher Polstelle

Wir betrachten zunächst die folgende Funktion:

Es gibt hier nur eine Nullstelle und zwar das Minimum der Funktion:

Jetzt untersuchen wir einmal den Fall:

Bild 12: Polynom 4. Grades vierfacher Nullstelle

Wir sehen, dass das Polynom

hierdurch um 1 nach rechts verschoben wird.

Betrachten wir das Polynom:

Genauso kann man bei a < 0 davon ausgehen, dass das Polynom um a nach links verschoben wird.

Allgemein kann man sagen:

Nennerpolynom mit einer dreifachen und einer einfachen Polstelle

Hierzu untersuchen wir den Fall:

Bild 13: Polynom 4. Grades dreifacher und einfacher Nullstelle

Nennerpolynom mit zwei zweifachen Polstellen

Hierzu untersuchen wir den Fall:

Zweifache Polstellen

Bild 14: Polynom 4. Grades zwei zweifachen Nullstellen

Allgemein kann man Folgendes sagen:

Nennerpolynom mit vier einfachen Polstellen

Hierzu untersuchen wir den Fall:

Bild 15: Polynom 4. Grades vier einfachen Nullstellen

Wir erkennen im Graphen vier einfache Polstellen.

Allgemein kann man folgendes sagen:

1.8.3.6 Ableitung und Durchführung der Integration mit Partialbruchzerlegung