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- Herausgeber: tredition
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
Die Skripte zur Mathematik sind im Rahmen des gymnasialen Unterrichts entstanden und sind primär als unterrichtsbegleitendes Material konzipiert. Sie können jedoch auch als eigenständiges Lern- und Übungsmaterial eingesetzt werden. Dieser Sammelband stellt die Skripte zur Funktionenlehre zusammen: Einführung Lineare Funktionen Gleichungssysteme Quadratische Funktionen Grundbegriffe Rationale Funktionen Potenzfunktionen Exponentialfunktionen Trigonometrische Funktionen Lineare Optimierung Ungleichungen Zusammenfassung In der Einleitung werden Handreichungen zum Einsatz der Skripte im Unterricht angeboten. Die Dokumente enthalten alle Lösungen zu den Aufgaben, handschriftlich ausgefüllte Lückentexte, Herleitungen und Beweise. Mit dem Erwerb dieses Buches erhalten Sie gleichzeitig die Berechtigung zur Nutzung der Unterrichtsunterlagen für Ihre Schülerinnen und Schüler. Die Kopiervorlagen und die dazugehörigen Lernziele sind als Download erhältlich. Alle Skripte unter: www.mathema.ch
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Seitenzahl: 95
Veröffentlichungsjahr: 2024
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Skripte zur Mathematik Funktionen
von Christian Wyss
Skripte zur Mathematik Funktionen
von Christian Wyss
mathema
© 2023 Dr. Christian Wyss
Verlagslabel: mathema (www.mathema.ch)
ISBN
Paperback:
978-3-384-12390-9
Hardcover:
978-3-384-12391-6
Auflage 1.1
Druck und Distribution im Auftrag des Autors:
tredition GmbH, Heinz-Beusen-Stieg 5, 22926 Ahrensburg, Germany
Das Werk, einschliesslich seiner Teile, ist urheberrechtlich geschützt. Für die Inhalte ist der Autor verantwortlich. Jede Verwertung ist ohne seine Zustimmung unzulässig. Die automatisierte Analyse des Werkes, um daraus Informationen, insbesondere über Muster, Trends und Korrelationen gemäss §44b UrhG („Text und Data Mining“) zu gewinnen, ist untersagt. Die Quellen der Bilder und deren Lizenzen sind im Anhang aufgeführt. Die Publikation und Verbreitung erfolgen im Auftrag des Autors, zu erreichen unter:
Dr. Christian Wyss, Chemin du Clos 60, 2502 Biel-Bienne, Schweiz.
Die Philosophie steht in diesem grossen Buch geschrieben, das unserem Blick ständig offen liegt – ich meine das Universum –; aber das Buch ist nicht zu verstehen, wenn man nicht zuvor die Sprache erlernt und sich mit den Buchstaben vertraut gemacht hat, in denen es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, und deren Buchstaben sind Kreise, Dreiecke und andere geometrische Figuren, ohne die es dem Menschen unmöglich ist, ein einziges Bild davon zu verstehen; ohne diese irrt man in einem dunklen Labyrinth herum.
Galileo Galilei: „Il Saggiatore“ (1623)
Inhalt
Cover
Titelblatt
Urheberrechte
Einleitende Worte
Funktionen Einführung
1. Eindeutige Zuordnungen
2. Darstellungen von Funktionen
3. Proportionalität und umgekehrte Proportionalität
4. Zusammenfassung
Lösungen
Funktionen Lineare Funktionen
Handy-Abonnemente
Lineare Funktionen
Lösungen
Funktionen Gleichungssysteme
1. Einführung
2. Lösungsmethoden
3. Nicht-lineare Gleichungssysteme
4. Textaufgaben
5. Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten
6. Die Determinante
Lösungen
Funktionen Quadratische Funktionen
1. Eine Optimierungsaufgabe
2. Nullstellen und Extremalstelle
3. Quadratische Gleichungen
4. Die Scheitelform
Lösungen
Funktionen Grundbegriffe
1. Darstellungen einer Funktion
2. Definition der Funktion
3. Nullstellen
4. Umkehrfunktionen
Lösungen
Funktionen Rationale Funktionen
1. Polynome (ganzrationale Funktionen)
2. Gebrochen-rationale Funktionen
Lösungen
Funktionen Potenzfunktionen
Lösungen
Funktionen Exponentialfunktionen
1. Exponentialfunktionen
2. Logarithmusfunktion
3. Anwendungen
Lösungen
Funktionen Trigonometrische Funktionen
1. Definition der Winkelfunktionen im Einheitskreis
2. Der Winkel im Bogenmass
3. Die trigonometrischen Funktionen
4. Die harmonische Funktion
5. Anwendungsaufgaben
Lösungen
Funktionen Lineare Optimierung
1. Einführung
2. Übungen
Lösungen
Funktionen Ungleichungen
Lösen von Ungleichungen
Lösungen
Funktionen Zusammenfassung
1. Definition der Funktion
2. Eigenschaften von Funktionen
3. Elementare Funktionen
Schlussworte
Skripte zur Mathematik - Funktionen
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Titelblatt
Urheberrechte
Epigraph
Funktionen Einführung
Funktionen Zusammenfassung
Skripte zur Mathematik - Funktionen
Cover
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Einleitende Worte
Diese Skripte zur Mathematik sind im Rahmen des Gymnasialunterrichts entstanden. Sie können als eigenständiges Lern- und Übungsmaterial eingesetzt werden. Sie sind jedoch primär als unterrichtsbegleitendes Material konzipiert. Eine Einführung und Anleitung durch eine Lehrperson wird daher empfohlen.
Die Skripte enthalten Lückentexte. Sie dienen der Festigung des erworbenen Wissens und sollten im Plenum mit der gesamten Klasse ausgefüllt werden. Diese handschriftlichen Einträge helfen, die Schlüsselbegriffe und Aussagen zu verinnerlichen und Herleitungen und Beweise besser nachzuvollziehen.
Zu den Übungen
Um den Stoff zu vertiefen und zu festigen, halte ich es für unerlässlich, dass die Schülerinnen und Schüler eine Vielzahl von Übungen lösen. Die Skripte enthalten daher viele Übungen, die nicht nur das Erlernte festigen, sondern auch inner- und aussermathematische Anwendungen aufzeigen. Einige Übungen sind bewusst anspruchsvoller gestaltet und gehen über den üblichen Lehrstoff hinaus, können jedoch bei Bedarf übersprungen werden. Ein Stern ★ markiert, dass es sich bei der Aufgabe um eine zusätzliche Übung handelt, die über den obligatorischen Lernstoff hinausgeht. Im Folgenden werden die unterschiedlichen Übungstypen kurz erläutert.
Einstiegsbeispiel
Ein Einführungsbeispiel stellt eine Aufgabe dar, die eine neu einzuführende Thematik exemplarisch vorstellt. Diese Aufgabe soll die grundlegenden Begriffe der neuen Thematik vorwegnehmen und damit einführen. Dabei darf die Aufgabe einen gewissen Anspruch haben. Ein gemeinsames Lösen dieser Aufgaben im Plenum oder eine detaillierte Besprechung empfiehlt sich, um das Verständnis zu fördern.
Grundaufgaben
Eine Grundaufgabe ist eine Übungsaufgabe, die von den Schülerinnen und Schülern routiniert und sicher gelöst werden sollte. Durch die Bearbeitung mehrerer dieser Aufgaben sollen die Lernenden die Struktur verstehen und sich mit dem Lösungsweg vertraut machen, um ihn anschliessend situationsbezogen bei weiterführenden Aufgaben anwenden zu können.
Erarbeitungsaufgaben
Erarbeitungsaufgaben sind konzipiert, um den Lernstoff zu entwickeln und die Schülerinnen und Schüler konstruktivistisch an die neue Theorie heranzuführen.
Anwendungsaufgaben
Das erworbene theoretische Wissen hat in der Regel sowohl inner- als auch aussermathematische Anwendungen. Anwendungsaufgaben sollen die Fähigkeit zur Mathematisierung fördern und die Anwendbarkeit des Gelernten verdeutlichen.
Beweisaufgaben
In Beweisaufgaben lernen die Schülerinnen und Schüler, selbstständig einfache Beweise zu führen.
Zu den Titelbildern
Die Titelblätter bieten die Möglichkeit, verschiedene Aspekte der Mathematik mit den Schülerinnen und Schülern zu thematisieren. Dies umfasst insbesondere folgende Bereiche:
Mathematik und Ästhetik
Mathematik und Kunst stehen auf vielfältige Weise in Beziehung. Ihre Verbindung zeigt sich in Musik, Malerei, Architektur, Skulptur und Textilgestaltung etc. Die Titelblätter zielen darauf ab, die Schönheit der Mathematik anhand der bildenden Kunst aufzuzeigen.
Rechenhilfsmittel
„Es ist unwürdig, die Zeit von hervorragenden Leuten mit knechtischen Rechenarbeiten zu verschwenden, weil bei Einsatz einer Maschine auch der Einfältigste die Ergebnisse sicher hinschreiben kann.“ G. W. Leibniz (1673).
Der Mensch hat bereits in der Frühzeit Rechenhilfsmittel entwickelt, angefangen vom Kerbholz über mechanische Rechenmaschinen bis hin zu analogen und digitalen Computern. Die Titelblätter illustrieren diese Entwicklung.
Geschichte der Mathematik
Die Geschichte der Mathematik reicht zurück bis ins Altertum und den Anfängen des Zählens in der Jungsteinzeit. Mathematik wurde und wird in allen Kulturkreisen praktiziert. Die Titelblätter thematisieren bedeutende Werke der Mathematik sowie herausragende Mathematikerinnen und Mathematiker, die die Entwicklung dieser Disziplin massgeblich beeinflusst haben.
Zu den Inhalten
Allgemeines
Behandelter Stoff
In den vorliegenden Skripten werden die grundlegenden Begriffe der Funktionenlehre behandelt, darunter Funktion, Definitionsmenge, Wertemenge, Graph, Nullstelle, Umkehrfunktion und Verkettung von Funktionen. Die wichtigsten Funktionstypen werden im Detail diskutiert. Zudem werden die grundlegenden Begriffe in Hinblick auf die Analysis eingeführt (Nullstellen, Polstellen, Asymptoten, Extremalstellen etc.). Die Skripte legen nebst der namensgebenden Thematik jeweils zudem Gewicht auf bestimmte Nebenaspekte der Funktionenlehre.
Notwendiges Vorwissen
Die Aufteilung des Stoffes in mehrere Skripte dient der Flexibilität bei der Gestaltung des Unterrichts. Da Mathematik eine stark hierarchische Struktur aufweist, kann der Stoff nicht in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Die Skripte sind in einer möglichen Bearbeitungsreihenfolge angeordnet. Im Folgenden wird kurz angegeben, welches Vorwissen für jede Einheit notwendig ist.
Einführung
Behandelter Stoff
In diesem Dokument werden die Darstellungsarten von Funktionen (Funktionsgleichung, Tabelle, Funktionsgraph) – eher intuitiv und mit wenig mathematischer Strenge – eingeführt. Zusätzlich werden die Proportionalität und die inverse Proportionalität vorgestellt..
Notwendiges Vorwissen
Es werden keine Vorkenntnis aus dem gymnasialen Curriculum vorausgesetzt.
Lineare Funktionen
Behandelter Stoff
In diesem Skript werden die lineare Funktion sowie die Konzepte der Steigung und des y-Achsenabschnitts eingeführt. Auch werden ein erstes Mal Punkte auf Graphen und Schnittstellen und Nullstellen von Funktionen berechnet.
Notwendiges Vorwissen
Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits über ein Verständnis für Funktionen verfügen. Darüber hinaus ist die Fähigkeit, lineare Gleichungen zu lösen, erforderlich.
Gleichungssysteme
Behandelter Stoff
Dieses Skript behandelt hauptsächlich die Lösung von Gleichungssystemen, primär von linearen Gleichungssystemen, jedoch in speziellen Fällen auch von nicht-linearen. Die Mächtigkeit der Lösungsmenge wird graphisch mit Hilfe der dazugehörigen Funktionen interpretiert.
Notwendiges Vorwissen
Die Schülerinnen und Schüler müssen in der Lage sein, lineare Gleichungen zu lösen. Zudem wird der der Stoff aus dem Skript zu den linearen Funktionen vorausgesetzt.
Quadratische Funktionen
Behandelter Stoff
Die quadratische Funktion wird detailliert eingeführt und sowohl in der Normalform als auch in der Scheitelform ausführlich erläutert. Hierbei machen die Schülerinnen und Schüler erstmals Bekanntschaft mit einer Funktion, die eine Extremalstelle aufweist. Die Bestimmung der Nullstellen und der Extremalstelle führt sie dazu, quadratische Gleichungen zu lösen. Es erfolgt eine eingehende Betrachtung von quadratischen Gleichungen (einschliesslich Sonderfällen, quadratisches Ergänzen und der Lösungsformel). Zudem werden biquadratische Gleichungen und Wurzelgleichungen behandelt.
Notwendiges Vorwissen
Die Schülerinnen und Schüler müssen in der Lage sein, lineare Gleichungen zu lösen und sicher im Umgang mit Termen sein (insbesondere Faktorisieren und Ausmultiplizieren). Darüber hinaus wird ein gewisses Verständnis der Funktionenlehre vorausgesetzt.
Grundbegriffe
Behandelter Stoff
Die grundlegenden Konzepte der Funktionenlehre, insbesondere Argumente und Funktionswerte, Definitions- und Wertemengen, Punkte auf Funktionsgraphen, Nullstellen und Umkehrfunktionen werden eingeführt. Zudem wird der Umgang mit verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen wie Funktionsgleichungen, Funktionsgraphen, Tabellen und Mengendiagramme erarbeitet.
Notwendiges Vorwissen
Die Schülerinnen und Schüler sollten in der Lage sein, lineare und quadratische Gleichungen zu lösen. Zudem wird die vorgängige Erarbeitung des Skripts Funktionen: Einführung empfohlen.
Rationale Funktionen
Behandelter Stoff
Nebst der Repetition der Standardprobleme zu den Funktionen (Punkte auf Funktionsgraphen, Nullstellen, Schnittpunkt von Funktionen) werden im Kontext der rationalen Funktionen die Konzepte der Polstelle (vertikale Asymptote) und des Grenzwerts (horizontale Asymptote) eingeführt.
Notwendiges Vorwissen
Die grundlegenden Begriffe der Funktionenlehre (Funktion, Definitionsmenge, Wertemenge, Graph, Nullstelle) sollten vertraut sein. Zusätzlich wird vorausgesetzt, dass die Schülerinnen und Schüler bereits Kenntnisse über lineare und quadratische Funktionen mitbringen. Ein solides Verständnis der grundlegenden Algebra wird erwartet, insbesondere die Fähigkeit, lineare und quadratische Gleichungen zu lösen.
Potenzfunktionen
Behandelter Stoff
Nebst der Repetition der Standardprobleme zu Funktionen (Funktionswert und Stelle, Punkte auf Funktionen, Nullstellen, Schnittpunkt von Funktionen, Umkehrfunktionen) werden im Kontext der Potenzfunktionen die Konzepte der Symmetrie und der Monotonie eingeführt. Zudem wird der Einfluss von Parametern (verschieben, spiegeln etc.) auf den Funktionsgraphen untersucht.
Notwendiges Vorwissen
„Ich bin wirklich begeistert. Auch die Möglichkeit des zusätzlichen eReaders im Abo finde ich persönlich toll.”
Happy Booktime
„Die Auswahl von Legimi ist großartig.”
Bücherleser
„Der Leser findet seine E-Books/Hörbücher sehr schnell und sie lassen sich, ob mit oder ohne Internetverbindung problemlos öffnen.”
Wurm sucht Buch
„Ich finde das Angebot von Legimi richtig toll.”
TheSarahStory
„Besonders schön finde ich die große Auswahl an möglichen Abo-Modellen und besonders die Abos mit eReader.”
Miss Foxy Reads
„Ich muss sagen, dass ich von dem E-Reader mehr als positiv überrascht bin.”
Wortmalerei
„Das ist wirklich eine großartige Idee und mal was ganz Anderes.”
Mikka liest das Leben...
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