Analysis für Dummies E-Book

Mark Ryan

• Herausgeber: Wiley-VCH GmbH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2021

Seitenzahl: 532

Beschreibung

Analysis ist Ihnen ein Graus, aber die Klausur steht vor der Tür? Keine Sorge! "Analysis für Dummies" führt Sie an das Thema heran und wiederholt zunächst die Grundlagen von Algebra, Funktionen und Graphen. Anschließend erläutert der Autor die Regeln der Differentialrechnung, die Feinheiten der Kurvendiskussion sowie das Entscheidende zu Grenzwerten und Stetigkeit. Dank zahlreicher Beispiele und Schritt-für-Schritt-Erklärungen werden Sie schon bald zum Experten. So steht der bestandenen Prüfung nichts im Wege.

Leseprobe

Analysis für Dummies

Schummelseite

Die wunderbare Geometrietabelle

Alle Dreiecke

FlächeGrundseiteHöhe

Gleichseitiges Dreieck

Rechtwinkliges Dreieck

Satz des Pythagoras: (c ist die Hypotenuse)

Parallelogramm

GrundseiteHöhe

Trapez

Kreis, Radius r, Durchmesser d

Kreisausschnitt

(Denken Sie an eine Pizza!)

( ist der Sektorwinkel.)

(Bogenlänge ist die Länge des Kreisbogens.)

Kugel mit Radius r

Kegel oder Pyramide

(A ist der Flächeninhalt der ebenen Grundfläche.)

Zylinder, Prisma oder Quader

(A ist der Inhalt der ebenen Grundfläche.)

Speziell senkrechter Zylinder, senkrechtes Prisma, senkrechter Quader:

MantelflächeHöhe

(U ist der Umfang der Grundfläche.)

Koordinatengeometrie

Für zwei Punkte (x1, y1) und (x2, y2) gilt:

Die noch wunderbarere Trigonometrietabelle

Trigonometrie für das rechtwinklige Dreieck

Grad- und Bogenmaß

Um einen Winkel vom Bogenmaß ins Gradmaß umzurechnen, multiplizieren Sie mit .

Um einen Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß umzurechnen, multiplizieren Sie mit

Analysis für Dummies

Bibliografische Informationder Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

4. Auflage 2021

© 2021 Wiley-VCH GmbH, Weinheim

Original English language edition © 2016 by Wiley Publishing, Inc. All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation published by arrangement with John Wiley and Sons, Inc.

Copyright der englischsprachigen Originalausgabe © 2016 by Wiley Publishing, Inc. Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Diese Übersetzung wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Coverfoto: dariaren - stock.adobe.comKorrektur: Petra Heubach-Erdmann

Print ISBN: 978-3-527-71855-9ePub ISBN: 978-3-527-83378-8

Über den Autor

Mark Ryan ist Absolvent der Brown University und der University of Wisconsin Law School sowie Mitglied des National Council of Teachers of Mathematics. Er lehrt seit 1989 Mathematik. Er leitet das Math Center in Winnetka, Illinois (www.themathcenter.com), wo er Kurse für höhere Mathematik gibt, beispielsweise unter anderem eine Einführung in die Analysis und einen Workshop für Eltern, der auf einem von ihm entwickelten Programm basiert, The 10 Habits of Highly Successful Math Students (Die 10 Gewohnheiten höchst erfolgreicher Mathematikschüler). In der Oberschule erreichte er zweimal die volle Prüfungspunktzahl für Mathematik und er versteht die Mathematik nicht nur, sondern kann sie auch in verständlicher Sprache erklären. Bevor er sich entschied, etwas zu tun, was ihm Spaß macht, arbeitete er vier Jahre lang als Rechtsanwalt. Heute nutzt er seine natürliche Begabung für die Mathematik – vier Jahre ist natürlich eine lange Zeit, aber es ist nie zu spät!

Mark Ryan ist Autor zahlreicher Mathematikbücher, unter anderem von Analysis kompakt für Dummies und Übungsbuch Analysis für Dummies.

Mark Ryan lebt in Chicago. Er bestreitet Backgammon-Turniere, fährt gerne Ski und spielt Tennis.

Einführung

Allein der Gedanke, einen Analysiskurs zu besuchen, beschert unzähligen Schülern kalte Schweißausbrüche. Andere, die nicht vorhaben, das Fach je zu belegen, denken wahrscheinlich, Analysis sei extrem schwierig, wenn man nicht gerade ein direkter Nachfahre von Newton oder Leibniz ist.

Gut, ich will Ihnen hier sagen, dass Analysis zu schaffen ist. Sie ist nicht annähernd so schlimm wie der Ruf, der ihr vorauseilt. Eine Basis der Analysis ist einfach nur fortgeschrittene Geometrie, Algebra und Trigonometrie. Sie baut darauf auf und stellt letztlich eine logische Fortsetzung dieser Themenbereiche dar. Wenn Sie mit Algebra, Geometrie und Trigonometrie zurechtgekommen sind, werden Sie auch mit der Analysis zurechtkommen.

Aber warum sollten Sie sich das alles antun – wenn Sie nicht gerade einen Kurs belegen müssen? Warum auf den Mount Everest steigen? Warum die »Man in Black« von Johnny Cash anhören? Warum den Louvre besuchen, um die Mona Lisa zu sehen? Warum Die Simpsons sehen? So wie diese Unternehmungen kann auch die Analysis einfach Spaß machen. Viele sagen, Analysis sei eine der wichtigsten Errungenschaften in der gesamten Wissenschaftsgeschichte. Und damit ist sie alle Mühen wert. Lesen Sie dieses Buch, machen Sie sich ein Bild und genießen Sie es, zu denen zu gehören, die sagen können: »Analysis? Klar, kann ich! Kein Problem!«

Über dieses Buch

Analysis für Dummies richtet sich an drei Gruppen von Lesern: Schüler, die ihren ersten Analysiskurs belegt haben, Schüler, die ihre Analysiskenntnisse für andere Kurse auffrischen wollen, und Erwachsene jeden Alters, die eine gute Einführung in das Thema brauchen.

Wenn Sie sich bei einem Analysiskurs an einer Hochschule eingeschrieben haben und Ihr Lehrbuch nicht wirklich aussagekräftig ist, sollten Sie unbedingt dieses Buch lesen. Es deckt die wichtigsten Themen für das erste Semester Analysis ab: Differenziation, Integration und unendliche Reihen.

Wenn Sie schon einmal Analysis hatten, das aber schon mehrere Jahre her ist, und Sie die Konzepte wiederholen müssen, weil Sie sie für andere Kurse benötigen, bietet Ihnen Analysis für Dummies eine umfassende Auffrischung Ihres Wissens.

Dies ist ein benutzerfreundliches Mathematikbuch. Wo immer möglich, erkläre ich die Konzepte der Analysis, indem ich die Verbindungen zwischen der Analysis und der Algebra und der Geometrie aufzeige. Anschließend demonstriere ich, wie die Konzepte der Analysis für konkrete Beispiele angewendet werden können. Erst dann kommen die eigentlichen Formeln. Alle Erklärungen sind in verständlicher Sprache formuliert und nicht im Mathematikslang. Zugegeben: Das geht manchmal ein bisschen auf Kosten der viel zitierten mathematischen Präzision; aber die finden Sie in einschlägigen Lehrbüchern zuhauf – und Hand aufs Herz: Was nutzt die ganze Präzision, wenn man nicht versteht, was einem der Autor mit seinen ultraknappen und hypergenauen Formulierungen sagen will?

Konventionen in diesem Buch

Die folgenden Konventionen halten den Text konsistent und leicht verständlich:

Variablen sind

kursiv

dargestellt.

Begriffe aus der Analysis sind

kursiv

dargestellt und werden bei ihrem ersten Auftreten erklärt.

Bei der schrittweisen Lösung von Aufgaben ist die allgemeine Vorgehensweise

fett

dargestellt, gefolgt von den Besonderheiten der jeweiligen Aufgabe.

Wie Sie dieses Buch einsetzen

Dieses Buch ist wie alle … für Dummies-Bücher als Nachschlagewerk vorgesehen, nicht als Lehrbuch. Das scheint ein seltsamer Ansatz für ein Mathematikbuch zu sein, aber die grundlegende Idee dabei ist, dass alle Kapitel eigenständig sind. Falls Sie nicht das ganze Buch vom Anfang bis zum Ende lesen wollen, ist das auch nicht erforderlich. Wenn Sie Anfänger sind, sollten Sie vielleicht mit Kapitel 1 beginnen und sich durch das Buch arbeiten. Aber wenn Sie bereits Grundwissen besitzen, können Sie jederzeit nur die Themenbereiche lesen, die Sie gerade interessieren.

Es kann eine große Hilfe sein, die Analysis wirklich zu verstehen – wie auch jedes andere Konzept der Mathematik –, um sich neben dem Wie auch auf das Warum konzentrieren zu können. Mit diesem Gedanken im Hinterkopf habe ich mir einige Mühe gemacht, die zugrunde liegende Logik vieler der in diesem Buch angesprochenen Konzepte zu erklären. Wenn Sie Ihren Analysisstudien eine solide Grundlage verschaffen wollen, sollten Sie diese Erklärungen lesen. Wenn Sie es dagegen eilig haben, können Sie sich auf die einführenden Informationen konzentrieren, dann die Beispielaufgaben lösen und alle Regeln und Definitionen neben den Symbolen durchlesen. Die restlichen Dinge können Sie auch erst dann lesen, wenn Sie glauben, dass es notwendig ist.

Ich finde Einschübe interessant und unterhaltsam. (Was erwarten Sie denn? Ich habe sie schließlich geschrieben!) Aber Sie können sie jederzeit überspringen, ohne wesentliche Informationen über die Analysis zu verpassen. In Prüfungen geht es sicher nicht um diesen Stoff.

Törichte Annahmen über den Leser

Halten Sie mich für verrückt, aber ich setze voraus,

dass Sie mindestens Grundkenntnisse aus Algebra, Geometrie und Trigonometrie mitbringen.

Wenn Sie eingerostet sind, bietet Ihnen Teil II (und die Schummelseite) eine gute Wiederholung dieser Themen, bevor Sie mit der Analysis beginnen. Wenn Sie momentan keinen Analysiskurs besuchen und dieses Buch nur lesen, um Ihre Neugier im Hinblick auf die Analysis zu befriedigen, können Sie sich einen sinnvollen Überblick über das Thema verschaffen, ohne die ganzen Details aus Algebra, Geometrie und Trigonometrie beherrschen zu müssen. Sie können dann aber vielleicht nicht alle Aufgaben nachvollziehen. Kurz, ohne die Grundlagen sehen Sie den Analysiswald, aber nicht die einzelnen Bäume. Wenn Sie in einen Analysiskurs eingeschrieben sind, haben Sie keine andere Wahl – Sie müssen sich mit den Bäumen beschäftigen.

dass Sie fleißig sind.

Ich habe versucht, den Stoff so eingängig wie möglich zu gestalten, aber das Ganze bleibt Analysis. Es ist nicht möglich, Analysis zu lernen, indem Sie einfach eine Kassette im Auto anhören oder eine Pille schlucken – noch nicht, jedenfalls.

Ist das zu viel verlangt?

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Das Buch ist in Teile gegliedert, die Teile in Kapitel, die Kapitel in Themenbereiche und diese in Unterthemenbereiche. (Für diese Struktur habe ich ein Patent angemeldet.)

Teil I: Analysis – ein Überblick

Nachdem Sie Teil I gelesen haben, gehören Sie endlich dazu. Sie können die Fragen »Was ist Analysis?« und »Wofür ist sie gut?« beantworten. Ich werde hier einige praktische Verwendungszwecke der Analysis beschreiben und aufzeigen, wie sie die Welt auf vielfältige Weise geändert hat. Ich erkläre in verständlicher Sprache die beiden wesentlichen Konzepte der Analysis: Differenziation und Integration. Schließlich zeige ich Ihnen noch das mathematische Schlüsselkonzept, mit dem die Analysis erst funktioniert: die Grenzwerte.

Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis

Teil II ist ein Überblick über Algebra (einschließlich Funktionen) und Trigonometrie (einschließlich Geometrie), die Sie für die Analysis brauchen. Wenn Sie diesen Überblick nicht benötigen, können Sie ihn einfach überblättern oder gegebenenfalls nur darin nachschlagen. Wenn Sie dagegen ein wenig aus der Übung sind, ist es durchaus sinnvoll, diesen Teil durchzuarbeiten – wenigstens oberflächlich. Ohne diese Voraussetzungen ist es nicht möglich, Analysis zu lernen – insbesondere was Algebra betrifft.

Teil III: Grenzwerte

Der gesamten Analysis liegt die Mathematik der Grenzwerte zugrunde. Grenzwerte erlauben uns in gewisser Weise, eine Funktionskurve so lange zu vergrößern, bis sie schließlich gerade wird. Nachdem die Kurve schließlich gerade ist, können die ganz gewöhnliche Algebra und Geometrie angewendet werden. Das ist die Magie der Analysis.

Teil IV: Differenziation

Differenziation ist das erste der beiden großen Konzepte der Analysis. Das andere ist die Integration (siehe Teil V). Differenziation und Integration bilden das Herz des Analysislehrplans. Differenziation ist der Prozess, eine Ableitung zu finden, und eine Ableitung ist einfach eine Änderungsrate, wie etwa Kilometer pro Stunde oder Euro pro Artikel. Für den Graphen einer Funktion gibt die Ableitung die Steigung der Kurve an.

In diesem Teil geht es um Differenziationsregeln für Anfänger, Differenziationsregeln für Profis und darum, was Ihnen die Ableitung über die Form einer Kurve mitteilt und wie Sie die Ableitung nutzen, um Probleme aus der Praxis zu lösen.

Teil V: Integration und unendliche Reihen

Integration, das zweite große Konzept, ist eine verrückte Addition – sehr verrückt. Das ist eigentlich alles. Kurz gesagt, es handelt sich dabei um den Prozess, eine Form zu betrachten, deren Fläche Sie nicht direkt berechnen können, sie in winzige Teile zu zerlegen, deren Flächen Sie berechnen können, und dann alle winzigen Teile zu addieren, um die Gesamtfläche zu erhalten. Dieser Teil beschreibt Integrationstechniken für Anfänger, Integrationstechniken für Profis, numerische oder näherungsweise Integration; und er zeigt schließlich, wie auch die Integration genutzt werden kann, um Probleme aus der Praxis zu lösen.

Was ist mit den unendlichen Reihen? Denken Sie kurz darüber nach: Wenn Sie einen Meter von einer Wand stehen und dann die Hälfte der Distanz dorthin zurücklegen, und dann wieder die Hälfte und wieder die Hälfte (Sie haben sicher schon von dieser Theorie gehört), wie lange brauchen Sie dann, bis Sie die Wand erreichen? Lösung: Das kommt darauf an. Es gibt unendlich viele Schritte in diesem Prozess, wenn also jeder Schritt eine Sekunde dauert, kommen Sie nie dort an. Wenn Sie dagegen eine konstante Geschwindigkeit von zum Beispiel 1 m/s beibehalten können, nicht anhalten und nicht am Ende jedes Schrittes langsamer werden, brauchen Sie immer noch eine unendliche Anzahl von Schritten, aber Sie gelangen innerhalb von einer Sekunde zu der Mauer.

Dieses überraschende Ergebnis, dass man eine unendliche Anzahl von Zahlen addiert und dabei eine endliche Summe erhält, ist Thema des letzten Kapitels von Teil V. Ein Thema voller seltsamer Paradoxa.

Teil VI: Der Top-Ten-Teil

Hier finden Sie zwei Top-Ten-Listen: zuerst zehn Dinge, die Sie sich merken sollten, weil sie richtig und nützlich sind. Und dann zehn Dinge, die Sie sich ebenfalls merken sollten, weil sie falsch sind – damit Sie diese Fehler nicht machen. (Das sind Fehler, bei denen Ihr Lehrer in Versuchung gerät, verzweifelt die Korrektur Ihrer Klausur abzubrechen – tun Sie sich und ihm das nicht an!)

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Achten Sie auf die folgenden Symbole:

Neben diesem Symbol finden Sie wichtige Analysisregeln, Definitionen und Formeln, die Sie unbedingt kennen sollten.

Dies sind Dinge, die Sie aus der Algebra, Geometrie oder Trigonometrie kennen sollten, oder Dinge, die Sie in diesem Buch bereits kennengelernt haben.

Dieses Symbol wird neben Informationen angezeigt, die Ihnen das Leben leichter machen. Lesen Sie sie unbedingt durch.

Dieses Symbol weist auf häufig gemachte Fehler in der Analysis hin. Achten Sie darauf!

Im Gegensatz zu den wichtigen Konzepten müssen Sie sich die komplizierten Formeln neben diesem Symbol größtenteils nicht merken, es sei denn, Ihr Analysislehrer besteht darauf.

Wie es weitergeht

Mit Kapitel 1 natürlich, wenn Sie ganz vorn anfangen wollen. Wenn Sie bereits Grundwissen aus der Analysis mitbringen oder nur eine Auffrischung für das eine oder andere Thema benötigen, können Sie jederzeit an anderen Stellen anfangen zu lesen. Im Inhaltsverzeichnis finden Sie, was Sie suchen. Wenn alles gut geht, werden Sie in einem halben Jahr in der Lage sein, Analysis von Ihrer Liste zu streichen:

___ Einen Marathon laufen

___ Fallschirmspringen

___ Ein Buch schreiben

✓ Analysis lernen

___ Den Ärmelkanal durchschwimmen

___ Krebs heilen

___ Eine Symphonie komponieren

___ Nach Neuseeland auswandern

Setzen Sie diese Liste nach Belieben fort.

Tabellenverzeichnis

Kapitel 7

Tabelle 7.1 Eingabe- und Funktionswerte von

, wenn sich

dem Wert 2 annähert

Tabelle 7.2 Durchschnittliche Geschwindigkeiten von 1 Sekunde bis

t

Sekunden

Kapitel 8

Tabelle 8.1 Wertetabelle für

Tabelle 8.2 Wertetabelle für

Tabelle 8.3 Wertetabelle für

Kapitel 9

Tabelle 9.1 Punkte auf der Geraden

und die Steigung an diesen Punkten

Tabelle 9.2 Punkte auf der Parabel

und die Steigungen an diesen Punkten

Kapitel 11

Tabelle 11.1 Werte von

an den kritischen Stellen und an den Randpunkten des I...

Kapitel 13

Tabelle 13.1 Näherung der Fläche unter

unter Verwendung von immer mehr »linke...

Tabelle 13.2 Näherung der Fläche unter

durch eine steigende Anzahl »rechter« ...

Tabelle 13.3 Annäherung der Fläche unter

unter Verwendung steigender Anzahlen...

Tabelle 13.4 Näherungen der Fläche unter

zwischen 0 und 3 für eine steigende ...

Kapitel 14

Tabelle 14.1 Fünf einfache Regeln für bestimmte Integrale

Tabelle 14.2 Grundlegende Formeln für die Stammfunktionen

Kapitel 15

Tabelle 15.1 Eine Tabelle für die Wurzelformen

Illustrationsverzeichnis

Kapitel 1

Abbildung 1.1 Der Unterschied zwischen elementarer Mathematik und ...

Abbildung 1.2 Wenn man die Kurve ausreichend vergrößert, wird sie ...

Abbildung 1.3 Ohne und mit Analysis

Abbildung 1.4 Mit und ohne Analysis

Abbildung 1.5 v. A. und n. A. (vor Analysis und nach Analysis)

Kapitel 2

Abbildung 2.1 Die Steigung einer Geraden ist gleich der Höhe divid...

Abbildung 2.2 Die Steigung einer Kurve ist nicht so einfach zu ber...

Abbildung 2.3 Die Kurve wird vergrößert.

Abbildung 2.4 Durchschnittliche Geschwindigkeit und momentane Gesc...

Abbildung 2.5 Wenn Sie die Fläche auf der linken Seite nicht berec...

Abbildung 2.6 Und noch einmal: Wenn Sie (unendlich weit) vergrößer...

Abbildung 2.7 Gesamtzahl der Kilowattstunden an Energie, die von e...

Abbildung 2.8 Achilles und die Schildkröte – ein Fotofinish

Kapitel 3

Abbildung 3.1 Die Parabel

mit einer Tangente am Punkt (1, 1)

Abbildung 3.2 Eine Kurve – drei Fragestellungen

Abbildung 3.3 Der Beginn des Vergrößerungsprozesses

Abbildung 3.4 Ihr Endziel – die Ebene unter, unter, unter … dem At...

Kapitel 5

Abbildung 5.1 Der Getränkeautomat ist eine Funktion, der Spielauto...

Abbildung 5.2

f

ist eine Funktion,

g

nicht.

Abbildung 5.3 Eine Funktionsmaschine: Fleisch wird eingegeben, Wur...

Abbildung 5.4 Zwei Funktionsmaschinen hintereinander

Abbildung 5.5 Vier Schaubilder von Funktionen

Abbildung 5.6 Diese beiden Kurven sind keine Funktionskurven, weil...

Abbildung 5.7 Die Gerade ist der Graph der Funktion

.

Abbildung 5.8 Die Gerade

hat die Steigung 3.

Abbildung 5.9 Die Graphen von

und

Abbildung 5.10 Die Graphen von

und

Abbildung 5.11 Die Graphen für

und

Abbildung 5.12 Die Graphen von

(für

) und

Abbildung 5.13 Der Graph von

Abbildung 5.14 Die Graphen von

,

,

Abbildung 5.15 Die Graphen

und

Kapitel 6

Abbildung 6.1 So sieht es am rechtwinkligen Dreieck aus.

Abbildung 6.2 Das 45°-45°-90°-Dreieck und das 30°-60°-90°-Dreieck

Abbildung 6.3 Der Einheitskreis mit einigen Winkeln

Abbildung 6.4 Quadrant I des Einheitskreises mit drei Winkeln und ...

Abbildung 6.5 Der Einheitskreis mit 16 Winkeln und den zugehörigen...

Abbildung 6.6 Die Graphen der Funktionen Sinus, Kosinus und Tangen...

Kapitel 7

Abbildung 7.1 Der Graph von

Abbildung 7.2 Der Graph von

g

sieht genau gleich aus wie der von

f

– bis auf den...

Abbildung 7.3 Der Graph von

h

sieht ebenfalls aus wie der von

f

(und

g

), aber...

Abbildung 7.4 Die Graphen von

f

(

x

),

g

(

x

) und

h

(

x

)

Abbildung 7.5

p

(

x

): eine Darstellung des einseitigen Grenzwerts

Abbildung 7.6 Eine typische rationale Funktion

Abbildung 7.7 Der Graph der Funktion für die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall [1,

t

] s

Abbildung 7.8 Die Graphen für

f

(

x

),

g

(

x

),

p

(

x

) und

q

(

x

)

Abbildung 7.9 Die Graphen von

r

(

x

) und

s

(

x

)

Kapitel 8

Abbildung 8.1 Die Graphen der Funktionen

und

Abbildung 8.2 Die Sandwichmethode für die Bestimmung eines Grenzwerts. Die Funktionen...

Abbildung 8.3 Der Graph von

Abbildung 8.4 Ein Graph von

,

und

Abbildung 8.5 Der Graph von

Abbildung 8.6 Der Graph der Funktion

und seine Hüllkurven

Kapitel 9

Abbildung 9.1 Differenziation bedeutet einfach, die Steigung zu be...

Abbildung 9.2 Die Ableitung = Steigung

Abbildung 9.3 Diese Linie durch das N hat eine

negative

Steigung (...

Abbildung 9.4 Die Gerade

Abbildung 9.5 Laurel und Hardy – ohne die geringste Ahnung, welche...

Abbildung 9.6 Der Graph für

L

= 2

H

Abbildung 9.7 Die Parabel

Abbildung 9.8 Die Normalparabel

mit einer Tangente im Punkt (2, ...

Abbildung 9.9 Die Normalparabel

mit einer Tangente und einer Sek...

Abbildung 9.10 Die Normalparabel

mit einer Tangente und zwei Se...

Abbildung 9.11 Die Steigung der Tangente an die Normalparabel im ...

Abbildung 9.12 Der Graph von

y

=

x

2

, wo gezeigt wird, wie ein Gre...

Abbildung 9.13 Die beiden Fälle, in denen es keine Ableitung gibt

Kapitel 10

Abbildung 10.1 Der Graph von

Abbildung 10.2 Die Graphen zweier zueinander inverser Funktionen

Kapitel 11

Abbildung 11.1 Der Graph von

f

mit mehreren interessanten Punkten

Abbildung 11.2 Der Graph von

Abbildung 11.3 Die kritischen Stellen von

Abbildung 11.4 Der Vorzeichengraph für

Abbildung 11.5 Der Graph von

Abbildung 11.6 Der Vorzeichengraph für

Abbildung 11.7 Der Graph von

Abbildung 11.8 Zwei Funktionen ohne absolute Extremwerte

Abbildung 11.9 Ein Vorzeichengraph für die zweite Ableitung von

Abbildung 11.10 Der Graph von

, der die lokalen Extrempunkte, d...

Abbildung 11.11 Die Graphen von

und der ersten Ableitung,

Abbildung 11.12 Eine Darstellung des Mittelwertsatzes

Kapitel 12

Abbildung 12.1 Die Schachtel wird aus einem 30�cm × 30 cm großen ...

Abbildung 12.2 Analysis für Cowboys – Maximierung einer Weidefläc...

Abbildung 12.3 Die Höhe des Jo-Jos von 0 bis 4 Sekunden

Abbildung 12.4 Die Graphen der Jo-Jo-Funktionen für Höhe, Geschwi...

Abbildung 12.5 Einen Ballon aufblasen

Abbildung 12.6 Ein Trog soll mit Schweinefutter gefüllt werden – ...

Abbildung 12.7 Analysis – ein Ausflug aufs Land

Abbildung 12.8 Die Parabel

y

=

x

2

und zwei Tangenten durch den Pu...

Abbildung 12.9 Die Parabel

und drei Normalen durch (3, 15)

Abbildung 12.10 Der Graph von

und eine Tangente an die Kurve a...

Abbildung 12.11 Die Tangente und mehrere darauf liegende Punkte

Abbildung 12.12 Der Graph einer Kostenfunktion

C

Abbildung 12.13 Die Graphen der Umsatz- und Kostenfunktionen. De...

Kapitel 13

Abbildung 13.1 Eine Lampe mit einem geschwungenen Lampenfuß

Abbildung 13.2 Der Lampenfuß wurde in dünne, horizontale Scheiben...

Abbildung 13.3 Im Grenzwert (wenn Δ

x

infinitesimal klein ist) gil...

Abbildung 13.4 Die Integration von

von

nach

bedeutet, es wi...

Abbildung 13.6 Die exakte Fläche unter der Kurve

zwischen 0 und...

Abbildung 13.7 Sechs »linke« Rechtecke nähern die Fläche unter de...

Abbildung 13.8 Drei

rechte

Rechtecke, die verwendet werden, um di...

Abbildung 13.9 Drei Mittelpunktrechtecke verschaffen Ihnen eine s...

Abbildung 13.10 Sechs rechte Rechtecke nähern die Fläche unter

d

...

Abbildung 13.11 Drei Trapeze nähern die Fläche unter der Kurve

Abbildung 13.12 Drei »Trapeze« mit gekrümmter Oberseite nähern d...

Kapitel 14

Abbildung 14.1 Die Familie der Kurven zu

. Alle diese Funktionen...

Abbildung 14.2 Die Fläche unter der Funktionskurve

zwischen

u...

Abbildung 14.3 Die Fläche unter

= 10 zwischen 3 und

x

wird durc...

Abbildung 14.4 Die Fläche unter

zwischen 2 und

x

wird durch die...

Abbildung 14.5 Drei Flächenfunktionen für

Abbildung 14.6 Die Fläche zwischen

a

und

b

wird mit zwei verschie...

Abbildung 14.7 Der schattierte Bereich ist gleich 30 – weil es si...

Abbildung 14.8 Das Wesen der Differenziation und Integration in e...

Kapitel 15

Abbildung 15.1 Der Rahmen für die partielle Integration

Abbildung 15.2 Der Rahmen wird gefüllt.

Abbildung 15.3 Der ausgefüllte Rahmen für

Abbildung 15.4 Ein Rahmen mit einer 7. Wer behauptet, Analysis se...

Abbildung 15.5 Der Rahmen

Abbildung 15.6 Noch mehr Rahmen

Abbildung 15.7 Die Rahmen für

Abbildung 15.8 Ein rechtwinkliges Dreieck für den Fall

Welcher ...

Abbildung 15.9 Ein rechtwinkliges Dreieck für den Fall

Kapitel 16

Abbildung 16.1 Die Veranschaulichung des Mittelwertsatzes der Int...

Abbildung 16.2 Die Fläche zwischen

und

zwischen

und

Abbildung 16.3 Wer ist oben?

Abbildung 16.4 Wie groß ist die schattiert dargestellte Fläche? H...

Abbildung 16.5 Ein gewaltiges Stück Wurst

Abbildung 16.6 Ein umgefallener Pfannkuchenstapel

Abbildung 16.7 Ein gekippter Donut-Stapel – Sie addieren einfach ...

Abbildung 16.8 Die schattierte Fläche ist gleich

. Der

Gesamtkre

...

Abbildung 16.9 Ein Umriss wie beim römischen Kolosseum und einer ...

Abbildung 16.10 Der Satz des Pythagoras,

, ist der Schlüssel zu...

Abbildung 16.11 Das Weinflaschennproblem. Wenn Sie die Analysis ...

Abbildung 16.12 Eine Drehoberfläche – hier wie ein Trompetentric...

Abbildung 16.13 Vom Quadrat zu einer unendlich ausgedehnten Fläc...

Abbildung 16.14 Die Fläche unter

von 1 bis

und die Fläche un...

Abbildung 16.15 Gabriels Horn

Kapitel 17

Abbildung 17.1 Die

-Koordinaten der Punkte auf der Kurve

bilde...

Orientierungspunkte

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Inhaltsverzeichnis

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Teil I

Analysis – ein Überblick

IN DIESEM TEIL …

… beantworte ich häufig gestellte Fragen, wie etwa: »Was ist Analysis?«, »Wofür ist die Analysis eigentlich gut?« oder »Wie funktioniert die Analysis?«Ich werde hier verschiedene praktische Anwendungszwecke der Analysis vorstellen und aufzeigen, wie sie die Welt auf die verschiedensten Weisen verändert hat.Außerdem erkläre ich die zwei entscheidenden Konzepte der Analysis: Differenziation und Integration.Und schließlich zeige ich Ihnen das wichtigste mathematische Konstrukt, durch das die Analysis überhaupt erst funktioniert: den Grenzwert.

Kapitel 1

Was ist Analysis?

IN DIESEM KAPITEL

Erst auf der ersten Seite und schon müssen Sie sich einem Analysistest stellenAnalysis – ein bisschen auffrisierte MathematikDer Trick liegt im VergrößernDie Welt vor und nach der Analysis

»Mein heiterstes Erlebnis in Analysis K13 war der Tag, an dem ich den Unterricht verlassen musste, um mich einer Wurzelbehandlung zu unterziehen.«

– Mary Johnson

»Mich verfolgt immer wieder dieser Traum, in dem mein Analysislehrer mit der Axt hinter mir her ist.«

– Tom Franklin, Student im zweiten Semester

»Analysis macht Spaß und ist völlig logisch. Ich weiß gar nicht, was sie immer alle haben.«

– Sam Einstein, Urenkel von Albert

In diesem Kapitel beantworte ich Ihnen die Frage »Was ist Analysis?« in verständlicher Sprache und zeige Ihnen durch Beispiele aus der Praxis, wie die Analysis genutzt wird. Nachdem Sie dieses und die beiden folgenden kurzen Kapitel gelesen haben, werden Sie verstehen, worum es sich bei Analysis handelt. Aber zuerst machen wir es ganz anders: Sie werden erfahren, was Analysis nicht ist.

Was Analysis nicht ist

Das Unvermeidbare hinauszuzögern, ist wenig sinnvoll. Bereit für den ersten Analysistest? Antworten Sie mit richtig oder falsch!

Richtig?

Wenn Sie nicht wirklich gerne einen Kopfschutz tragen, brauchen Sie sich gar nicht mit Analysis zu beschäftigen.

Richtig?

Analysis gefährdet Ihre Gesundheit.

Richtig?

Analysis ist längst überholt.

Falsch, falsch, falsch! Man erzählt sich heute noch über die Analysis, sie sei ein unheimlich schwieriges, unwahrscheinlich geheimnisvolles Thema, das kein Mensch, der noch halbwegs bei Verstand ist, lernen will – es sei denn, man braucht eine gute Note.

Lassen Sie sich nicht von diesem Irrglauben leiten. Natürlich ist Analysis nicht einfach – ich will Ihnen gar nichts vormachen –, aber es ist in jedem Fall machbar. Sie haben Algebra, Geometrie und Trigonometrie gelernt. Die Analysis macht genau da weiter, wo Sie dort aufgehört haben – sie bildet ganz einfach den nächsten Schritt in einer logischen Reihe.

Und die Analysis ist keine tote Sprache wie Latein, die nur von Akademikern gesprochen wird. Es handelt sich dabei um die Sprache der Ingenieure, Natur- und Wirtschaftswissenschaftler – und ist damit vielleicht nicht Teil Ihres Alltagslebens und auch nicht unbedingt der Brüller auf Partys. Aber die Arbeit dieser Ingenieure, Natur- und Wirtschaftswissenschaftler hat einen wesentlichen Einfluss auf Ihr tägliches Leben – von Ihrer Mikrowelle, dem Handy, dem Fernsehgerät und dem Auto bis hin zu der Medizin, die Sie schlucken, den Leistungen der Wirtschaft und unserem Verteidigungssystem. In dem Moment, in dem Sie dies lesen, wird irgendetwas in Ihrer unmittelbaren Reichweite oder in Ihrem Blickfeld durch die Analysis beeinflusst.

Was also ist Analysis?

Analysis ist im Grunde genommen eine Fortsetzung der Algebra und der Geometrie. In gewisser Hinsicht handelt es sich dabei nicht einmal um einen neuen Themenbereich – hier werden die bekannten Regeln der Algebra und Geometrie angewendet, wenn auch vielleicht etwas optimiert, um sie für komplexere Aufgabenstellungen zu verwenden. (Der Punkt dabei ist natürlich, dass diese gewisse Hinsicht ein neues und viel komplizierteres Thema ist.)

Betrachten Sie jetzt Abbildung 1.1. Auf der linken Seite schiebt ein Mann eine Kiste eine gerade Straße hinauf – die Straße ist an jeder Stelle gleich steil, sie besitzt überall die gleiche Steigung. Rechts schiebt der Mann dieselbe Kiste eine gekrümmte Straße entlang, hier ändert sich also die Steigung der Straße unterwegs. In beiden Situationen lautet die Frage, wie viel Energie erforderlich ist, um die Kiste ganz nach oben zu schieben. Für die rechte Seite brauchen Sie die Analysis (vorausgesetzt, Sie kennen keine Abkürzung aus der Physik).

Für die gerade Straße schiebt der Mann mit unveränderter Kraft und die Kiste wird entlang der Straße in unveränderter Richtung bewegt. Mit ein paar Formeln aus der Physik und ganz normaler Mathematik (einschließlich Algebra und Trigonometrie) können Sie berechnen, wie viel Energie erforderlich ist, um die Kiste die Straße hinaufzuschieben. Beachten Sie, dass die pro Zeiteinheit verbrauchte Energie (für die Physikexperten unter Ihnen: also die Leistung) gleich bleibt.

Für die gekrümmte Straße dagegen ändern sich die Dinge ständig. Die Steigung ändert sich – und zwar nicht nur so, dass eine Steigung für die ersten 10 m und eine andere für die nächsten 10 m gilt –, sie ändert sich permanent. Und der Mann schiebt mit einer sich ständig ändernden Kraft – je steiler die Straße, desto schwerer ist das Schieben. Das Ergebnis ist, dass sich auch die Menge der pro Zeiteinheit verbrauchten Energie ständig ändert. Aus diesem Grund handelt es sich hier um eine Aufgabe für die Analysis. Es sollte Sie also nicht überraschen, dass man die Analysis auch als die »Mathematik der Veränderung« bezeichnet. Die Analysis erweitert die Regeln der »elementaren« Mathematik und wendet sie auf Probleme an, in denen die Grundgrößen (wie im Beispiel die Steigung der Straße und demzufolge die erforderliche Kraft und die Leistung) nicht mehr konstant sind.

Abbildung 1.1 Der Unterschied zwischen elementarer Mathematik und Analysis: die Kurve

Für die Aufgabenstellung mit der gekrümmten Straße bleiben die Formeln aus der Physik dieselben und die Algebra und die Trigonometrie, die Sie verwenden, bleiben ebenfalls gleich. Der Unterschied (und gleichzeitig die Grundidee) ist, dass Sie – im Gegensatz zu der Aufgabenstellung mit der geraden Straße, bei der Sie alles in einem einzigen Schritt berechnen können – die gekrümmte Straße in kleine Abschnitte zerlegen und jeden Abschnitt separat berechnen. Abbildung 1.2 zeigt einen kleinen Abschnitt der gekrümmten Straße, der hier um ein Vielfaches vergrößert wurde.

Abbildung 1.2 Wenn man die Kurve ausreichend vergrößert, wird sie gerade (zumindest fast).

Wenn Sie weit genug vergrößern, wird der kleine Abschnitt der gekrümmten Straße, den Sie dabei betrachten, »praktisch gerade«. Und weil er »praktisch gerade« ist, können Sie diesen kleinen Abschnitt wie eine gerade Straße berechnen. Jeder dieser kleinen Abschnitte wird auf dieselbe Weise berechnet, und anschließend addieren Sie alle Ergebnisse.

Das ist die Analysis im Groben. Sie betrachtet Aufgabenstellungen, die mit der elementaren Mathematik nicht gelöst werden können, weil sich die Gegebenheiten ständig ändern – die sich ändernden Größen kann man grafisch als Kurven darstellen. Die Analysis vergrößert die Kurve, bis sie schließlich »praktisch gerade« wird, und wendet dann die elementare Mathematik zur Lösung der Aufgabe an.

Wie weit muss man denn nun eigentlich vergrößern, bis die Kurve »praktisch gerade« wird? Antwort: Unendlich weit – denn wenn sich die Steigung permanent ändert, dann ändert sie sich auch in jedem noch so kleinen Abschnitt! Das ist das Fantastische an der Analysis: Sie rechnen auf die eine oder andere Art immer mit unendlich großen oder unendlich kleinen Größen. (Und das ist nebenbei bemerkt auch der Grund, weswegen die Analysis als so schwierig verrufen ist!)

Beispiele für die Analysis aus der Praxis

Mithilfe der elementaren Mathematik können Sie die Aufgabe mit der konstanten Steigung lösen; mithilfe der Analysis können Sie auch die Aufgabenstellung mit der variablen Steigung lösen. Nachfolgend zeige ich Ihnen noch ein paar weitere Beispiele.

Mit der herkömmlichen Mathematik können Sie die Länge eines Erdkabels berechnen, das diagonal von einer Ecke eines Grundstücks zur anderen Ecke verläuft. Mithilfe der Analysis können Sie die Länge eines Kabels berechnen, das zwischen zwei Türmen hängt und die Form einer Seilkurve hat (die sich übrigens von einem einfachen Kreisbogen oder einer Parabel unterscheidet; der Fachausdruck für diese Kurve heißt Kettenlinie oder Katenoide – falls Sie mal jemanden beeindrucken müssen). Die Kenntnis der genauen Länge ist selbstverständlich wichtig für ein Energieversorgungsunternehmen, das Hunderte Kilometer neuer Elektrokabel verlegen muss. Sehen Sie sich dazu auch Abbildung 1.3 an.

Abbildung 1.3 Ohne und mit Analysis

Die Fläche eines normalen Hausdachs können Sie mithilfe der elementaren Mathematik berechnen. Mithilfe der Analysis können Sie die Fläche eines komplizierten, nicht kreisrunden Dachs berechnen, wie beispielsweise der Kuppel der Frauenkirche oder des Daches des Münchener Olympiastadions. Architekten, die ein solches Gebäude planen, müssen die Fläche der Kuppel kennen, um die Materialkosten zu ermitteln und um das Gewicht der Kuppel berechnen zu können (mit und ohne Schnee). Das Gewicht braucht man natürlich für die Planung der Stützstruktur. Sehen Sie sich dazu Abbildung 1.4 an.

Abbildung 1.4 Mit und ohne Analysis

Mit der elementaren Mathematik und ein bisschen einfacher Physik können Sie berechnen, um wie viel ein Mittelfeldspieler seinem Linksaußen voraus sein muss, um einen Pass spielen zu können. Beachten Sie, dass der Linksaußen in einer geraden Linie und bei konstanter Geschwindigkeit läuft. Als jedoch die NASA 1975 den »Vorlauf« für die Zielrichtung der Sonde Viking I auf den Mars berechnete, brauchte man dazu die Analysis, weil sich sowohl die Erde als auch der Mars in elliptischen Umlaufbahnen (unterschiedlicher Formen) bewegen und sich die Geschwindigkeiten von beiden ständig ändern – nicht zu erwähnen, dass die Sonde auf ihrem Weg zum Mars den verschiedenen und sich von Ort zu Ort ändernden Gravitationsfeldern von Erde, Mond, Mars und Sonne ausgesetzt ist (Abbildung 1.5).

Abbildung 1.5 v. A. und n. A. (vor Analysis und nach Analysis)

Kapitel 2

Die beiden wichtigsten Konzepte der Analysis: Differenziation und Integration

IN DIESEM KAPITEL

Auf zur Ableitung: Sie ist eine Änderungsrate oder eine SteigungUnd dann weiter zum Integral – Addition für ProfisUnendliche Reihen: Achilles und die Schildkröte – die Wette gilt!

Dieses Buch beschreibt die beiden wesentlichen Themen der Analysis – Differenziation und Integration – ebenso wie ein drittes Thema, unendliche Reihen. Alle drei Themen berühren Himmel und Erde, weil sie alle auf den Regeln der elementaren Mathematik aufbauen und alle das Konzept des Rechnens mit dem unendlich Großen oder dem unendlich Kleinen beinhalten.

Differenziation – Definition

Die Differenziation ist der Prozess, eine Ableitung zu berechnen. Die Ableitung einer Kurve ist einfach der der Analysis eigene Begriff für die Steigung einer Kurve, also wie steil sie an einem bestimmten Punkt verläuft. In Anwendungen kann die Steigung einer Kurve dabei auch eine Änderungsrate, wie etwa Kilometer pro Stunde oder Gewinn pro Artikel, beschreiben.

Die Ableitung ist eine Steigung

In der Algebra haben Sie die Steigung einer Geraden kennengelernt – sie ist gleich dem Verhältnis von Höhe zu Weite. Anders formuliert: . Betrachten Sie dazu Abbildung 2.1. Ich ahne es: Sie haben einen plötzlichen Anfall von Algebra-Nostalgie.

Abbildung 2.1 Die Steigung einer Geraden ist gleich der Höhe dividiert durch die Weite.

In Abbildung 2.1 ist die Höhe etwa halb so groß wie die Weite, die Gerade hat also eine Steigung von etwa ½.

Auf einer Kurve ändert sich die Steigung ständig, Sie brauchen also die Analysis, um ihre Steigung zu bestimmen. Betrachten Sie dazu Abbildung 2.2.

Abbildung 2.2 Die Steigung einer Kurve ist nicht so einfach zu berechnen.

So wie die Gerade in Abbildung 2.1 hat auch die Gerade in Abbildung 2.2 eine Steigung von annähernd ½. Die Steigung dieser Geraden ist an jedem Punkt zwischen A und B gleich. Aber Sie erkennen, dass sich demgegenüber die Steigung der Kurve zwischen A und B permanent ändert. Am Punkt A ist die Kurve weniger steil und am Punkt B ist die Kurve steiler als die Gerade. Was machen Sie, um beispielsweise die genaue Steigung am Punkt C zu berechnen? Wissen Sie es schon? Bestimmt. Antwort: Sie vergrößern. Betrachten Sie dazu Abbildung 2.3.

Abbildung 2.3 Die Kurve wird vergrößert.

Wenn Sie die Kurve weit genug vergrößern – und zwar wirklich weit, nämlich unendlich weit –, wird der kleine Kurvenabschnitt gerade und Sie können die Steigung auf die übliche Weise berechnen. Und genau so funktioniert die Differenziation.

Die Ableitung ist eine Änderungsrate

Weil die Ableitung einer Kurve die Steigung ist – die wiederum gleich oder Höhe pro Weite ist –, ist auch die Ableitung eine Änderungsrate, wie etwa dies pro jenes, Kilometer pro Stunde oder Liter pro Minute (der Name der jeweiligen Änderungsrate ist davon abhängig, welche Einheiten auf der x- und der y-Achse verwendet werden). Die beiden Graphen in Abbildung 2.4 zeigen eine Beziehung zwischen Ort und Zeit auf – sie könnten beispielsweise eine Autofahrt darstellen. Die Kurve gibt dann an, an welchem Ort Sie sich mit Ihrem Fahrzeug zu welcher Zeit befinden.

Abbildung 2.4 Durchschnittliche Geschwindigkeit und momentane Geschwindigkeit

Abbildung 2.4 zeigt eine Aufgabenstellung aus der Algebra. Wenn Sie die Positionen von A und B kennen, können Sie die Steigung zwischen A und B bestimmen. Sie erhalten die durchschnittliche Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde für das Intervall zwischen A und B.

Für die Aufgabenstellung auf der rechten Seite dagegen brauchen Sie die Analysis. Unter Verwendung der Ableitung der Kurve können Sie die exakte Steigung der Kurve am Punkt C ermitteln. Unmittelbar links von C ist die Steigung geringer und rechts von C ist die Steigung höher. Genau am Punkt C, für genau diesen Moment, erhalten Sie eine Steigung, die sich von den benachbarten Steigungen unterscheidet. Die Steigung für diesen einzigen Moment zeigt Ihnen die momentane Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde am Punkt C. Diese Momentangeschwindigkeit ist die Anzeige auf Ihrem Tachometer.

Und jetzt zur Integration

Die Integration ist das zweite große Konzept der Analysis. Dabei handelt es sich letztlich einfach nur um eine auffrisierte Addition. Die Integration ist der Prozess, eine Fläche in winzige Abschnitte zu zerschneiden, die Flächen der kleinen Abschnitte zu berechnen und diese kleinen Flächenabschnitte dann zu addieren, um die Gesamtfläche zu bestimmen. Abbildung 2.5 zeigt zwei Aufgabenstellungen für die Flächenberechnung – eine, die Sie mithilfe elementarer Geometrie lösen können, und eine, für die Sie die Analysis brauchen.

Abbildung 2.5 Wenn Sie die Fläche auf der linken Seite nicht berechnen können, werfen Sie Ihren Taschenrechner weg!

Die schattierte Fläche auf der linken Seite ist einfach ein Rechteck. Ihr Inhalt ist also einfach Länge mal Breite. Die Fläche auf der rechten Seite können Sie nicht mithilfe einfacher Geometrie berechnen, weil es keine Formel für einen solchen unregelmäßigen Umriss gibt. Was machen Sie also? Sie wissen es: vergrößern. Abbildung 2.6 zeigt den oberen Teil eines schmalen Streifens des unregelmäßigen Umrisses vielfach vergrößert.

Abbildung 2.6 Und noch einmal: Wenn Sie (unendlich weit) vergrößern, wird die Kurve gerade.

Wenn Sie die Kurve vergrößern, wie in Abbildung 2.6 gezeigt, wird die Kurve praktisch gerade, und je weiter Sie vergrößern, desto »gerader« wird sie – auch bei der Integration vergrößern Sie letztlich unendlich weit. Sie erhalten schließlich den Umriss rechts in Abbildung 2.6, ein normales Trapez – oder, wenn Sie wirklich zurück zu den Grundlagen gehen wollen, ein Dreieck, das auf einem Rechteck sitzt. Weil Sie die Flächen von Rechtecken, Dreiecken und Trapezen mithilfe elementarer Geometrie berechnen können, können Sie die Fläche dieses und aller anderen schmalen Streifen berechnen und diese Flächen dann zur Gesamtfläche aufaddieren. Dabei müssen Sie bedenken, dass Sie – wenn Sie wirklich unendlich weit vergrößern – letztlich unendlich schmale Streifen haben; davon brauchen Sie dann natürlich unendlich viele, um die ganze Fläche zu überdecken. Wie das genau funktioniert, müssen wir uns noch anschauen – aber das ist Integration.

Abbildung 2.7 zeigt zwei Graphen für den Bedarf an elektrischer Leistung einer Stadt an einem typischen Sommertag. Die horizontale Achse zeigt die Uhrzeit (in Stunden nach Mitternacht) an, auf der vertikalen Achse ist die Leistung (in Kilowatt) aufgetragen. Die Zickzacklinie des linken Bildes und die Kurve des rechten Bildes zeigen also jeweils, welche Leistung von der Stadt zu jeder Tageszeit angefordert wird.

Abbildung 2.7 Gesamtzahl der Kilowattstunden an Energie, die von einer Stadt an einem Tag verbraucht wird

In beiden Fällen zeigt die schattierte Fläche die während eines typischen Zeitraums über 24 Stunden vom Elektrizitätswerk gelieferte Energie. Das auf der linken Seite vereinfacht dargestellte Problem kann mit gewöhnlicher Geometrie gelöst werden: Die Fläche setzt sich aus Dreiecken und Rechtecken zusammen, deren Inhalt elementargeometrisch berechnet werden kann. Aber die Beziehung zwischen der gelieferten Leistung und der Tageszeit im rechten Bild ist komplizierter als links, weil die Funktionskurve gekrümmt ist: Hier brauchen Sie die Analysis, um die Gesamtfläche zu berechnen. In der realen Welt ist die Beziehung zwischen verschiedenen Variablen selten so einfach wie in dem Graphen mit den geraden Linien. Und genau dafür ist die Analysis so praktisch.

Unendliche Reihen

Unendliche Reihen entstehen, wenn man eine unendliche Anzahl von Zahlen addieren will (oder muss). Probieren Sie das auf Ihrem Taschenrechner gar nicht erst aus – es sei denn, Sie haben wirklich zu viel Zeit. Nachfolgend sehen Sie ein einfaches Beispiel. Die folgende Zahlenfolge wird durch einen einfachen Verdoppelungsprozess erzeugt – jedes Glied der Folge ist das jeweils Doppelte des vorhergehenden Gliedes:

Die unendliche Reihe, die dieser Folge von Zahlen zuzuordnen ist, ist einfach die Summe der Zahlen:

Divergierende Reihen

Die oben gezeigte Zahlenreihe mit den sich jeweils verdoppelnden Zahlen ist divergent, denn wenn Sie die Addition endlos fortsetzen, wächst die Summe ebenfalls endlos. Und wenn Sie wirklich »alle« Zahlen in dieser Reihe addieren könnten – das heißt unendlich viele davon –, wäre die Summe unendlich. Was divergent genau bedeutet, lernen Sie in Kapitel 17 – hier haben Sie aber bereits eine wichtige Art von Divergenz kennengelernt, nämlich dass sich die Glieder der Reihe »zu unendlich addieren«.

Solche divergenten Reihen sind relativ uninteressant, weil sie genau das tun, was Sie erwarten. Sie addieren immer mehr Zahlen, die Summe wächst weiter, und wenn Sie dies endlos fortsetzen, wächst die Summe gegen unendlich. Keine große Überraschung.

Konvergierende Reihen

Konvergierende Reihen sind sehr viel interessanter. Bei einer konvergierenden Reihe addieren Sie ebenfalls immer weitere Zahlen, die Summe wächst weiter, aber selbst wenn Sie unendlich lange Zahlen addierten, wäre die Summe aller unendlich vielen Terme eine endliche Zahl. Das überraschende Ergebnis führt mich zum berühmten Paradoxon von Achilles und der Schildkröte, das Zeno formuliert hat. (Ich meine natürlich Zeno von Elea, 5. Jahrhundert vor Christus.)

Achilles tritt zu einem Rennen gegen eine Schildkröte an. Tapferer Krieger! Unser großzügiger Held gibt der Schildkröte beim Start einen Vorsprung von 100 m. Achilles läuft mit 36 km/h. Die Schildkröte »läuft« mit 3,6 km/h (also eine Schildkröte mit Turboantrieb!). Zeno verwendete das folgende Argument, um zu »beweisen«, dass Achilles die Schildkröte niemals erreichen, geschweige denn überholen kann. Ich habe Zenos Gedanken aus dem Altgriechischen in unsere moderne Welt übersetzt – selbstverständlich hatte Zeno keinen Fotoapparat zur Verfügung.

Stellen Sie sich vor, Sie sind der Journalist, der in der Sportwoche über das Rennen schreibt. Sie nehmen verschiedene Fotos für Ihre Reportage auf. Abbildung 2.8 zeigt die Situation zu Beginn des Rennens und Ihre beiden ersten Fotos.

Sie nehmen das erste Bild in dem Moment auf, in dem Achilles den Punkt erreicht, von dem aus die Schildkröte startete. Wenn Achilles dort ankommt, ist die Schildkröte weitergelaufen und befindet sich jetzt 10 m vor Achilles. (Die Schildkröte läuft ein Zehntel so schnell wie Achilles; in der Zeit, die Achilles für 100 m braucht, läuft die Schildkröte also 10 m.) Wenn Sie die Mathematik nachvollziehen, stellen Sie fest, dass Achilles genau 10 Sekunden braucht, um die 100 m zu laufen.

Abbildung 2.8 Achilles und die Schildkröte – ein Fotofinish

Als Profi haben Sie natürlich eine ultraschnelle Kamera. Auf dem ersten Bild sehen Sie also ganz genau, wo sich die Schildkröte befindet, wenn Achilles den Startpunkt der Schildkröte überschreitet. Die Position der Schildkröte ist Punkt A auf dem ersten Foto in Abbildung 2.8.

Anschließend nehmen Sie Ihr zweites Foto auf, wenn Achilles Punkt A erreicht, wofür er eine weitere Sekunde braucht. In dieser Sekunde ist die Schildkröte weiter zu Punkt B gekrochen. Sie nehmen das dritte Foto auf (das hier nicht gezeigt ist), wenn Achilles Punkt B erreicht und die Schildkröte bei Punkt C ist.

Immer wenn Achilles den Punkt erreicht, an dem die Schildkröte zuvor war, nehmen Sie ein neues Foto auf. Diese Fotoreihe nimmt kein Ende. Angenommen, Sie und Ihr Fotoapparat arbeiten unendlich schnell, dann erhalten Sie eine unendliche Anzahl von Fotos. Und immer wenn Achilles den Punkt erreicht, an dem sich die Schildkröte befand, hat die Schildkröte wieder Boden gutgemacht – selbst wenn es nur ein Millimeter oder ein Millionstel Millimeter ist. Das Argument greift also, weil Sie nie ein Ende für Ihre unendliche Fotoreihe finden. Achilles wird die Schildkröte nie einholen.

Natürlich wissen Sie und ich (und auch Zeno wusste das), dass Achilles die Schildkröte sehr wohl erreicht und überholt – ein Paradoxon also. Die Mathematik unendlicher Reihen erklärt, wie diese unendliche Reihe von Zeitintervallen zu einer endlichen Zeitdauer summiert wird – der exakte Zeitpunkt, wann Achilles die Schildkröte überholt. Und hier die Summe – für die Neugierigen unter Ihnen:

Achilles holt die Schildkröte nach Sekunden an der -Meter-Marke ein.

Kapitel 3

Warum die Analysis funktioniert

IN DIESEM KAPITEL

Mithilfe von Grenzwerten Kurven vergrößernSteigung ist Höhe durch Weite:Die Dreiecksfläche ist gleich die halbe Basis mal der Höhe:Der Satz von Pythagoras lautet

Wenn Sie die Kapitel 1 und 2 gelesen haben, haben Sie festgestellt, dass ich viel über das Vergrößern einer Kurve geschrieben habe, bis sie gerade aussieht. Die Mathematik der Analysis funktioniert dank der grundlegenden Eigenschaft der Kurven, dass sie lokal gerade sind – mit anderen Worten: Kurven sind auf mikroskopischer Ebene gerade (genauer, nach »unendlicher Vergrößerung«). Die Erde ist eine Kugel, aber wir haben den Eindruck, sie sei flach, weil wir uns auf der mikroskopischen Ebene bewegen – verglichen mit der Größe der Erde. Die Analysis funktioniert, weil man mit Kurven, nachdem sie durch »unendliche Vergrößerung« gerade geworden sind, mit den Methoden der elementaren Algebra und Geometrie umgehen kann. Der unendliche Vergrößerungsprozess wird dabei durch die Mathematik der Grenzwerte realisiert.

Das Grenzwertkonzept: Ein mathematisches Mikroskop

Die Mathematik der Grenzwerte ist das Mikroskop, das eine Kurve vergrößert darstellt. Nachfolgend erkläre ich, wie ein Grenzwert funktioniert. Angenommen, Sie suchen die genaue Steigung der Parabel am Punkt (1, 1). Betrachten Sie dazu Abbildung 3.1.

Mit der Steigungsformel aus der Algebra können Sie die Steigung der geraden Linie (der Sekante an die Parabel) zwischen den Punkten (1, 1) und (2, 4) berechnen. Von (1, 1) nach (2, 4) gehen Sie eine Einheit nach rechts und drei Einheiten nach oben, die Steigung ist also 3/1 oder einfach 3. In Abbildung 3.1 sehen Sie jedoch, dass diese Linie steiler ist als die Tangente an der Stelle (1, 1), die die Steilheit der Parabel an diesem bestimmten Punkt zeigt. Beim Grenzwertprozess verschieben wir jetzt den rechten Punkt entlang der Parabel, beginnend am Punkt (2, 4), in Richtung (1, 1), bis er von diesem nur noch einen Tausendstel Zentimeter entfernt ist, dann einen Millionstel Zentimeter, einen Milliardstel Zentimeter und so weiter, und schließlich, bis er »unendlich dicht« bei (1, 1) liegt – das meine ich, wenn ich von der »mikroskopischen Ebene« rede. Wenn Sie die Mathematik nachvollziehen, würden die Steigungen zwischen (1, 1) und Ihrem wandernden Punkt etwa wie 2,001, 2,000001, 2,000000001 und so weiter aussehen. Und mit der geradezu magischen Mathematik der Grenzwerte können Sie schließen, dass die Steigung bei (1, 1) genau 2 ist, selbst wenn der wandernde Punkt diesen erreicht. (Wenn er das täte, hätten Sie nur noch einen Punkt übrig; aber man braucht zwei Punkte für die Steigungsformel.) Die Mathematik der Grenzwerte basiert auf diesem Vergrößerungsprozess, und auch hier funktioniert er, denn je mehr Sie vergrößern, desto weniger fällt die Krümmung der Kurve ins Gewicht.

Abbildung 3.1 Die Parabel mit einer Tangente am Punkt (1, 1)

Was passiert beim Vergrößern?

Abbildung 3.2 zeigt drei Diagramme einer Kurve und drei Dinge, die Sie vielleicht über die Kurve wissen wollen: 1) die exakte Steigung oder Steilheit am Punkt C, 2) die Fläche »unter der Kurve« zwischen den Punkten A und B und 3) die exakte Länge der Kurve zwischen A und B. Sie können diese Fragen nicht mit elementarer Mathematik beantworten, weil die Formeln für die Steigung, die Fläche und die Länge dort nur für gerade Linien funktionieren (und für einfache Kurven, wie etwa Kreise), aber nicht für unregelmäßige Kurven wie die der Abbildung 3.2.

Abbildung 3.2 Eine Kurve – drei Fragestellungen

Die erste Zeile in Abbildung 3.3 zeigt ein vergrößertes Detail aus den drei Diagrammen der Kurve in Abbildung 3.2. Die zweite Zeile zeigt eine weitere Vergrößerung und die dritte Zeile noch eine weitere. Sie sehen, wie jede Vergrößerung die Kurven immer »gerader« macht (die Krümmung spielt eine immer kleinere Rolle) und sie immer näher zur Diagonalen des Rechteckausschnitts bringt. Dieser Vergrößerungsprozess wird beim Grenzübergang unendlich fortgesetzt. Man könnte auch sagen, man blickt durch ein immer stärkeres Mikroskop und betrachtet dabei einen immer kleineren Ausschnitt der Kurve.

Abbildung 3.3 Der Beginn des Vergrößerungsprozesses

Nachdem »unendlich« vergrößert wurde, ist die Kurve völlig gerade. Jetzt funktionieren die Formeln aus der gewöhnlichen Algebra und Geometrie.

Für die Zeichnung in Abbildung 3.4 oben können Sie jetzt die normale Steigungsformel aus der Algebra anwenden, um die Steigung am Punkt C zu ermitteln. Sie ist genau ¾. Das ist die Antwort auf die erste Frage in Abbildung 3.2.