Computación cuántica: circuitos y algoritmos E-Book

Jean-Pierre Deschamps

• Herausgeber: Marcombo
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2023

Seitenzahl: 341

Beschreibung

Las tecnologías actuales permiten desarrollar ordenadores cuyos componentes funcionan de acuerdo con los postulados de la mecánica cuántica, una disciplina con fama de gran complejidad. A pesar de ello, la computación cuántica conforma un ámbito de la tecnología de la información que no puede ser ignorado. Si quiere saber lo que se entiende por circuito cuántico y algoritmo cuántico, y conocer qué sistemas cuánticos puede construir con la tecnología actual, ha llegado al libro indicado. Gracias a su lectura: "Entenderá los fundamentos de la computación cuántica. "Será capaz de sintetizar y simular circuitos cuánticos simples a partir de una descripción algebraica. "Entenderá cuáles son los tipos de algoritmos susceptibles de ser ejecutados por un sistema cuántico, con una ventaja evidente respecto a implementaciones con circuitos digitales. Además, en poco más de trescientas páginas sabrá si pueden definirse circuitos elementales similares a las puertas lógicas de los sistemas digitales, descubrirá cómo sintetizar circuitos grandes utilizando esas puertas y aprenderá qué algoritmos pueden ejecutarse en circuitos cuánticos con una eficacia superior a la de los circuitos digitales. Aproveche esta oportunidad: adéntrese con este libro en la computación cuántica y conozca todos sus misterios. El autor, Jean-Pierre Deschamps, es ingeniero electrónico y doctor en ciencias con una larga experiencia en el desarrollo de sistemas digitales. Ello le permite subrayar los aspectos en los que la computación cuántica supera a la computación digital.

Leseprobe

Computación cuántica: circuitos y algoritmos

Primera edición, 2023

© 2023 Jean-Pierre Deschamps

© 2023 MARCOMBO, S. L.

www.marcombo.com

Cubierta: ENEDENÚ DISEÑO GRÁFICO

Maquetación: Reverté-Aguilar

Correctora: Mónica Muñoz

Directora de producción: M.a Rosa Castillo

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.

ISBN del libro en papel: 978-84-267-3683-3

ISBN del libro electrónico: 978-84-267-3710-6

Producción del ePub: booqlab

El autor

Jean-Pierre Deschamps es ingeniero electrónico por la Universidad de Lovaina (Bélgica), doctor en Ciencias por la Universidad Autónoma de Barcelona y doctor en Ciencias Técnicas por la Escuela Politécnica de Lausana (Suiza). Ha trabajado en diversas empresas y universidades, en Bélgica, Argentina y España. Es profesor titular retirado de la Universidad Rovira i Virgili (Tarragona). Sus principales temas de interés son el diseño de circuitos integrados y de dispositivos programables, los circuitos aritméticos y la computación cuántica. Es autor de 12 libros y de más de cien artículos científicos y técnicos.

Agradecimientos

Agradezco a la editorial Marcombo, en particular al señor Jeroni Boixareu Pallarès y a la señora Rosa Castillo, por su confianza e interés en la publicación de este libro, así como por la ayuda durante su redacción.

Índice

Prefacio

Capítulo 1

ÁLGEBRA LINEAL

1.1. Espacios vectoriales

1.2. Operadores lineales y matrices

1.3. Producto exterior

1.4. Vectores y valores propios

1.5. Operadores hermitianos

1.6. Operadores unitarios

1.7. Producto tensorial

1.8. Funciones de operadores

1.9. Conmutadores y anticonmutadores

1.10. Ejercicios

Índice onomástico

Capítulo 2

SISTEMAS CUÁNTICOS

2.1. Ecuación de Schrödinger

2.2. Operador de Hamilton

2.3. Evolución del estado

2.4. Un primer ejemplo: pozo infinito

2.5. Un segundo ejemplo: oscilador armónico

2.6. Operadores de medición

2.7. Sistemas compuestos

2.8. Ejercicios

Índice onomástico

Capítulo 3

MODELO CUÁNTICO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

3.1. Modelo cuántico de un circuito eléctrico

3.2. Pares de Cooper y efecto Josephson

3.3.Transmon

3.4. Realizaciones prácticas

3.5. Ejercicios

Índice onomástico

Capítulo 4

QUBITS, PUERTAS CUÁNTICAS Y CIRCUITOS CUÁNTICOS

4.1.Qubits

4.2. Registros de n qubits

4.3. Puertas cuánticas

4.4. Circuitos cuánticos

4.5. Operadores de medición

4.6. Ejercicios

Índice onomástico

Capítulo 5

DESCRIPCIÓN Y SIMULACIÓN DE CIRCUITOS CUÁNTICOS

5.1.Qubits

5.2. Puertas

5.3. Circuitos

5.4. Simulación

5.5. Comentarios

5.6. Ejercicios

Índice onomástico

Capítulo 6

SÍNTESIS

6.1. Funciones de conmutación

6.2. Operadores unitarios

6.3. Operadores unitarios sobre un qubit

6.4. Comentarios finales

6.5. Ejercicios

Índice onomástico

Capítulo 7

ALGORITMOS CUÁNTICOS

7.1. Paralelismo cuántico

7.2. Algoritmo de Deutsch

7.3. Transformada cuántica de Fourier

7.4. Algoritmo de estimación de la fase

7.5. Orden de un natural

7.6. Algoritmo de búsqueda

7.7. Ejercicios

Índice onomástico

Conclusiones

Referencias

Prefacio

Durante gran parte del siglo XX, siguieron desarrollándose la teoría y los experimentos, con el objetivo de entender mejor las leyes de la naturaleza y así poder predecir su evolución. Durante las últimas décadas del siglo XX, empezaron a aparecer publicaciones relacionando la mecánica cuántica con las ciencias de la computación. La idea podría resumirse como sigue: el hecho de que el conocimiento del estado de una partícula sea de tipo probabilístico —su energía es igual a E1, con una probabilidad p1, E2 con una probabilidad p2, etc.— parece ser un inconveniente. Sin embargo, en lugar de interpretar esta característica como una incertidumbre, se podría interpretar como una superposición de estados. Este es el punto de partida de la computación cuántica: la superposición de estados permitiría la ejecución en paralelo de operaciones que, con la computación tradicional, se deberían ejecutar de forma secuencial. En lugar de usar la mecánica cuántica, solamente para explicar los fenómenos naturales, aparece un nuevo uso: la creación de sistemas que utilizan las propiedades cuánticas de las partículas para almacenar y procesar datos.

Para llegar a la situación actual, falta una etapa. Las partículas cuyo comportamiento cuántico ha sido estudiado —ejemplos de partículas son los electrones o los átomos— no son fácilmente observables ni controlables, y difícilmente podrían servir de soporte para la materialización de computadores cuánticos. Por ello, se han desarrollado, desde principios de este siglo, dispositivos que a la vez obedecen las reglas de la mecánica cuántica y pueden ser fabricados con las tecnologías actuales. Se califican a veces de «átomos artificiales». Una de las propuestas más atractivas se basa en la superconductividad: son circuitos de microondas que funcionan a prácticamente cero grados Kelvin. Grandes compañías como IBM y Google han desarrollado y construido verdaderos computadores cuánticos basados en ese tipo de circuitos. Se podría decir que la mecánica cuántica ha entrado en el campo de la ingeniería.

Este libro tiene como objetivo final la descripción de algoritmos que, por su naturaleza, son susceptibles de ser ejecutados por un computador cuántico, con unas prestaciones muy superiores a las alcanzables por un computador digital tradicional. Además, se aporta una introducción a la mecánica cuántica y al diseño de un tipo particular de átomo artificial, con el objetivo de que el lector se convenza de que la computación cuántica es una realidad y tenga cierta intuición de cómo se materializa.

La primera parte del libro (capítulo 1) es un resumen de álgebra lineal. Es la base matemática de la computación cuántica. La segunda parte (capítulos 2 y 3) es una introducción a la mecánica cuántica y su aplicación al diseño de circuitos de microondas, que materializan un tipo concreto de átomo artificial. Tanto la primera como la segunda parte no suponen más conocimientos previos que los impartidos en el primer ciclo de las carreras de Ingeniería y de Ciencias.

La parte central del libro es la tercera. En el capítulo 4, se describen los circuitos básicos. En el capítulo 5, se describen y simulan circuitos definidos a partir de los circuitos básicos. El capítulo 6 está dedicado a la síntesis de circuitos a partir de una descripción funcional; en este caso, una matriz unitaria. Finalmente, en el capítulo 7, se describen varios algoritmos cuya ejecución en un circuito cuántico es posible y, además, con prestaciones superiores a las de los circuitos digitales.

CAPÍTULO 1

ÁLGEBRA LINEAL

La base matemática de la computación cuántica es el álgebra lineal. Se podría decir que el álgebra lineal desempeña en el estudio de los sistemas cuánticos un papel similar al del álgebra de Boole en el estudio de los sistemas digitales. Tal como se verá más adelante, la unidad fundamental de información en un sistema de computación cuántica es el bit cuántico o qubit. Su materialización es un sistema físico que, a semejanza de los bits de un sistema digital, puede observarse, siendo la conclusión de esta observación un valor binario; por ejemplo, 0 o 1. Sin embargo, a diferencia de los bits de un sistema digital, el conocimiento del sistema dentro del cual está incluido el qubit, de su estado inicial y de los impulsos que recibe, no permite, habitualmente, predecir cuál será el resultado de la observación. Solo se puede predecir cuál será la probabilidad de medir el estado 0 o el estado 1. Ello significa que un qubit contiene una información no directamente observable, de cierta manera oculta, pero, como se verá a lo largo de este estudio, muy relevante. La conclusión podría ser que el estado de un qubit puede ser descrito por un número real p indicando la probabilidad de obtener 0 como resultado de una observación siendo 1-p la probabilidad de observar el valor 1. Sin embargo, este modelo no es suficiente. Se verá cómo dos qubits, con el mismo valor inicial de p, sometidos a los mismos estímulos, pueden llegar a estados diferentes. El modelo correcto asocia a un qubit un par de números complejos:

El objetivo de la computación cuántica no es solamente la codificación y almacenamiento de datos. La misma palabra indica que su principal objetivo es el procesamiento de datos. Por tanto, deviene fundamental definir una estructura algebraica que permita describir las operaciones que modifican el estado de un qubit, o de un conjunto de qubits. Además, teniendo en cuenta que el estado de un qubit puede influir en el estado de otros qubits por entrelazamiento (entanglement), no se deben considerar solamente operaciones individuales sobre cada qubit, sino también operaciones que actúan sobre conjuntos de qubits. Por tanto, el modelo algebraico adecuado no queda limitado al espacio vectorial de dimensión 2, sino que deben considerarse espacios de dimensión n, siendo n generalmente una potencia de 2.

En cuanto a las operaciones, se comentará más adelante que la evolución de los sistemas cuánticos puede modelarse mediante operadores lineales que, además, tienen que respetar un principio de reversibilidad. Grosso modo significa que, si existe una secuencia de operaciones que llevan el sistema cuántico de un estado a otro, debe existir una secuencia de operaciones que permita volver al estado inicial. Esta condición está relacionada con principios físicos básicos. Considérese un sistema ideal en el cual la transición de un nivel de energía Ei al nivel Ei + 1 supone un aporte de Ei + 1 − Ei unidades de energía e, inversamente, la transición del nivel Ei + 1 al nivel Ei implica la emisión de Ei + 1 − Ei unidades de energía. Se ve cómo, en este sistema ideal, se conserva la energía. A la inversa, se podría decir que la irreversibilidad produce pérdida de energía; por ejemplo, calor. En términos algebraicos, la consecuencia es que las operaciones que son capaces de ejecutar los sistemas cuánticos ideales pertenecen a una categoría particular de transformaciones lineales. Son las transformaciones unitarias.

1.1. Espacios vectoriales

Los espacios vectoriales constituyen un concepto muy conocido y utilizado en numerosos campos de la ciencia y de la ingeniería. La definición de espacio vectorial, como estructura algebraica abstracta, es la siguiente.

Definición 1.1

Dado un cuerpo F, un conjunto V es un espacio vectorial sobre F si se puede definir una operación binaria en la que, a dos elementos x e y de V, se asocia un elemento x + y de V(suma vectorial) y una operación que, a un elemento c de F y a un elemento x de V, se asocia un elemento cx de V(producto escalar). Además, si x, y y z son elementos de V, y si c y d son elementos de F, entonces deben cumplirse las propiedades siguientes:

siendo sus componentes xi números complejos. Si x e y son elementos de V, entonces la suma x + y es un vector cuyas componentes son las sumas en C de las componentes de x e y, e si c es un número complejo, el producto escalar cx es un vector cuyas componentes son el producto en C de c por las componentes de x:

El elemento 0 es el vector cuyas componentes son iguales a 0 y el elemento −x es el vector cuyas componentes se obtienen negando las componentes de x. Por tanto,

Con esas definiciones, teniendo en cuenta las propiedades del cuerpo C de los números complejos, es evidente que se cumplen las condiciones de la definición 1.1.

Definición 1.2

Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo F, un subconjunto W de V es un subespacio de V si se cumplen las condiciones:

Ejemplos 1.1

• El conjunto Cn de todas las n-tuplas de números complejos es un espacio vectorial sobre el cuerpo C.

• El conjunto Rn de todas las n-tuplas de números reales es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los números reales. Sin embargo, no es un subespacio de Cn ya que, si bien es cierto que la suma de dos números reales es un número real, el producto de un número complejo por un número real es un número complejo.

• El subconjunto de Cn de n-tuplas cuyo último elemento es 0 es un subespacio de Cn.

A continuación, se dan algunas definiciones fundamentales.

Definición 1.3

Considérese un espacio vectorial V sobre el cuerpo F:

siendo c1, c2, ..., cm elementos del cuerpo F, es un conjunto generador(spanning set) del espacio V.

Ejemplos 1.2

• Los vectores constituyen una base, ya que cualquier vector x puede expresarse como combinación lineal:

• Los vectores constituyen también una base, ya que cualquier vector x puede expresarse como combinación lineal:

Los espacios vectoriales con los que se describen los estados de un sistema cuántico pertenecen a una categoría particular: son espacios en los cuales se puede definir un producto interno. Se conocen como «espacios de Hilbert».

Definición 1.4

Considérese un espacio vectorial V sobre el cuerpo C de los números complejos. Un producto interno sobre V es una operación en la que se asocia, a cada par de vectores x e y de V, un elemento (x, y) de C. Esta operación debe satisfacer las relaciones que siguen para todos los vectores x, y, z de V y todos los elementos c de C. En esas relaciones se utiliza c* para representar el número complejo conjugado de c:

• si x ≠ 0 entonces (x, x) > 0.

A partir de las condiciones anteriores es fácil demostrar las propiedades siguientes del producto interno.

Propiedades 1.1

En el caso del espacio vectorial Cn sobre C compuesto de todas las n-tuplas de números complejos, el producto interno se define como sigue: si

entonces

Se puede demostrar que se cumplen las condiciones de la definición 1.4. En particular obsérvese que

El concepto de producto interno permite definir conceptos geométricos importantes.

Definición 1.5

Considérese un espacio vectorial V sobre C con producto interno:

• La longitud o norma |x| de un vector x es la raíz cuadrada del producto interno (x, x). Por tanto,

• Dos vectores x e y son ortogonales si su producto interno (x, y) es nulo.

• Una base compuesta de vectores v1, v2, ..., vn que satisface las condiciones:

es una base ortonormal.

Ejemplos 1.3

• La base del primero de los ejemplos 1.2 (la base natural) es ortonormal:

• Los vectores de la base del segundo ejemplo son ortogonales, pero sus normas no son unitarias:

• La base del ejercicio 1.10.1 no es ni ortogonal ni normal.

Propiedad 1.2

La representación de un vector v en la base B es única.

Demostración

Como las bases son conjuntos generadores, ello establece una relación biyectiva entre el espacio vectorial V sobre el cuerpo F y el conjunto Fn de n-tuplas de elementos de F:

Como corolario de esta relación biyectiva se puede demostrar que todas las bases tienen el mismo número n de elementos (ejercicio 1.10.2), lo que permite definir el concepto de dimensión de un espacio vectorial.

Definición 1.6

Si V es un espacio vectorial cuyas bases tienen un número finito n de vectores, entonces V es un espacio de dimensión n.

A la inversa, considérese un conjunto de n vectores linealmente independientes. Todas las combinaciones lineales de elementos de este conjunto definen elementos diferentes de V; si no, se podría definir una combinación lineal igual a 0 sin que todos los coeficientes sean nulos. Ello establece una relación inyectiva entre el conjunto Fn de n-tuplas de elementos de F y el espacio vectorial V. Como corolario se puede demostrar que todo conjunto de n vectores linealmente independientes es un conjunto generador y, por tanto, una base (ejercicio 1.10.3).

Ejemplos 1.4

• El primero de los ejemplos 1.1 es un espacio de dimensión n, una de cuyas bases es el conjunto de vectores:

• El segundo ejemplo es también un espacio de dimensión n con el mismo conjunto (1.15) de vectores de base.

• El tercer ejemplo es un espacio de dimensión n-1, una de cuyas bases es el conjunto de vectores (1.15) con k ≤ n-1.

Las bases ortonormales desempeñan una función importante. Por tanto, es normal preguntarse si siempre existen bases ortonormales. El siguiente algoritmo da respuesta a esa pregunta: indica cómo definir una base ortonormal a partir de una base cualquiera.

Algoritmo 1.1 (Gram-Schmidt)

Considérese una base {w1, w2, ..., wn} de un espacio vectorial V sobre C, de dimensión n. Se define una nueva base por inducción:

etc.

etc.

Por tanto, los vectores vk así definidos son ortonormales. Queda por comprobar que {v1, v2, ..., vn} es un conjunto generador. Efectivamente, w1 es el producto escalar de v1 por |u1|, w2 es una combinación lineal de v2 y v1, w3 es una combinación lineal de v3, v2 y v1, etc. Por tanto, toda combinación lineal de los vectores Wk es también una combinación lineal de los vectores vk.

Ejemplo 1.5

1.2. Operadores lineales y matrices

Una vez definido el modelo algebraico que servirá para definir el estado de un sistema cuántico, concretamente un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos, se necesita un formalismo para describir la evolución a lo largo del tiempo del estado del sistema. Lo que en la física cuántica se indica es que la evolución de un sistema cuántico puede ser definida por operadores lineales.

Definición 1.7

Considérense dos espacios vectoriales V y W sobre el cuerpo F. Una aplicación A: V → W es un operador lineal (o transformación lineal) si satisface las condiciones siguientes, para todos los pares de vectores v1 y v2 de V y todos los elementos c de F:

Una consecuencia de la condición (1.16) es que, si un vector v de V se expresa como combinación lineal c1v1 + c2v2 + ... + cnvn de vectores de V, entonces A(v) es un vector de W que se expresa como combinación lineal de vectores de W:

Se pueden componer los operadores lineales, obteniéndose otros operadores lineales.

Definición 1.8

Considérense tres espacios vectoriales V, W y X sobre el cuerpo F. Si A: V → W y B: W → X son operadores lineales, entonces se puede definir un nuevo operador lineal BA: V → X:

Es fácil demostrar que es un operador lineal.

Los espacios vectoriales que se usarán a lo largo de este texto, para modelar los sistemas cuánticos, son espacios de dimensión finita. Ello permite establecer una relación directa entre operadores lineales y matrices. Considérense dos espacios vectoriales V y W. El espacio V tiene una base {v1, v2, ..., vn} y el espacio W una base {w1, w2, ..., wm}. Si A: V → W es un operador lineal, entonces a cada vector vk de la base de V corresponde un vector A(vk) de W que puede expresarse en la base de W:

Considérese ahora un vector v de V expresado como combinación lineal de vectores de la base de V:

Entonces, según (1.17), (1.19) y (1.20):

Ello significa que A(v) se expresa, en la base de W, como d1w1 + d2w2 + ... + dmwm, donde

Esta última relación puede expresarse en forma de producto matricial. Recuérdense antes algunas definiciones y propiedades del cálculo matricial.

Definiciones 1.9 y propiedades de las matrices

1. Una matriz A sobre el cuerpo F es un arreglo compuesto de n filas y m columnas, cada componente del arreglo siendo un elemento de F. Se usa la notación Akl para representar la componente de la matriz A que está en la fila número k y la columna número l.

4. Se puede demostrar que, si A, B y C son matrices n × m, m × p y p × q, respectivamente, entonces se cumple la propiedad de asociatividad del producto matricial, es decir,

5. Si A es una matriz n × m la matriz traspuestaAT es una matriz m × n que se define intercambiando filas y columnas, es decir,

6. Si A es una matriz n × m sobre el cuerpo de los números complejos, la matriz adjuntaA+ es una matriz m × n que se define sustituyendo cada componente Akl por el número complejo conjugado Akl* e intercambiando filas y columnas, es decir,

7. Se puede demostrar que, si A y B son matrices n × m y m × p, respectivamente, entonces

Con esas definiciones, los vectores definidos como n-tuplas de elementos del cuerpo F (véase 1.2) pueden también ser considerados como matrices n × 1. Ello permite reescribir la relación (1.22) en forma de producto matricial:

Es importante entender que la matriz m × n de la relación (1.29), cuyas componentes son definidas por (1.19), representa un operador A: V → W que asocia a un vector v, expresado en una base predefinida de V, un vector A(v) expresado en una base predefinida de W. Si se cambian las bases, se modifica la matriz. La base predefinida de V podría llamarse base de entrada y la base predefinida de W, base de salida.

Otra definición que se expresa en términos de producto matricial es el producto interno (definición 1.4). Considérense dos vectores x e y representados en una base ortonormal {v1, v2, ..., vn}, es decir,

Según las propiedades 1.1 del producto interno:

ya que los vectores vk son ortogonales y de norma igual a 1. De (1.32) se deduce que, si x y y se representan como n-tuplas compuestas de los coeficientes de sus respectivas representaciones en una misma base ortonormal, es decir,

entonces

En el caso particular de operadores A: V → V, siendo V un espacio de dimensión n, la matriz que describe A es cuadrada, con n filas y n columnas (recuérdese que todas las bases tienen el mismo número n de vectores). El operador identidadI se define como sigue:

Si se utiliza la misma base {v1, v2, ..., vn} para definir v e I(v), entonces la matriz correspondiente es la matriz unidadIn:

donde δkj es el símbolo delta de Kronecker.

Ejemplo 1.6

Considérese el espacio vectorial V de dimensión 2 constituido por los pares de números complejos. El conjunto {v1, v2} con

es la base natural en la cual la representación de es trivial:

Otra base es {u1, u2} con

La representación de v en esta base es:

Defínase un operador lineal A: V → V:

Si se utiliza la base natural {v1, v2} tanto para v como A(v), la matriz asociada es:

Si se utiliza la base {u1, u2} tanto para v como A(v), la matriz asociada es:

Una tercera posibilidad es el uso de la base {v1, v2} para v y de la base {u1, u2} para A(v). Entonces la matriz asociada es:

Definiciones 1.10 (notación de Dirac)

1. En el ámbito de la física cuántica, es habitual representar los elementos v de un espacio vectorial sobre el cuerpo C con la notación |v〉. En términos de cálculo matricial, |v〉 es un vector columna cuyos elementos son los coeficientes de la representación de v en cierta base ortonormal. El vector fila, compuesto de los conjugados de los coeficientes de |v〉, es decir |v〉+, se representa como 〈v|.

2. Con esas notaciones, el producto interno (v, w) se representa como 〈v|w〉:

Comentario 1.1

A un operador lineal A: V → W y a bases de V y W se asocia una matriz que describe la operación A. En muchos casos, se identifican el operador y la matriz. Sin embargo, conviene recordar que a un mismo operador corresponden diferentes matrices según las bases utilizadas.

1.3. Producto exterior

Además del producto interno que, a un par de vectores, asocia un elemento del cuerpo F, se define también un producto exterior que, a un par de vectores, asocia un operador lineal.

Definición 1.11

Si x es un elemento de un espacio vectorial V de dimensión n con producto interno, e y un elemento de un espacio vectorial W de dimensión m con producto interno, ambos espacios sobre el cuerpo C, entonces el producto exterior de x e y es un operador lineal T: V → W definido como sigue:

es decir, a un vector x’ de V, el operador T asocia el producto escalar del vector y de W por el coeficiente (x, x’) de F. Utilizando la notación de Dirac

con lo cual, en adelante, el producto exterior de |x〉 por |y〉 se representa como

Esta relación define también el producto de un vector columna |y〉 de m componentes por un vector fila 〈x| de n componentes, es decir, una matriz m × n que define la transformación lineal T, siendo las bases de entrada y salida las bases predefinidas de V y W, respectivamente.

Se pueden definir combinaciones lineales de productos exteriores que, a su vez, definen combinaciones lineales de operadores lineales. Considérense elementos |t1〉, |t2〉, ... de V, elementos |u1〉, |u2〉, ... de W y coeficiente c1, c2, ... de C. Entonces se puede definir un operador lineal

que asocia a un elemento |x〉 de V el siguiente elemento de W:

La relación (1.47) define también una matriz m × n. Es la matriz asociada al operador lineal T con las bases predefinidas de V y W.

Una propiedad de las bases ortonormales, conocida como propiedad de completitud, se expresa en términos de productos exteriores.

Propiedad 1.3

Si {|v1〉, |v2〉, ..., |vn〉} es una base ortonormal de V, entonces el operador A: V → V definido por la suma de los productos exteriores,

es el operador unidad IV.

Demostración

Considérese un vector x representado en la base {|v1〉, |v2〉, ..., |vn〉}:

Por ortonormalidad de la base y linealidad en el segundo argumento del producto interno (primera de las propiedades 1.1),

Por tanto, aplicando el operador A a cualquier vector |x〉 de V se obtiene:

lo que demuestra que A es el operador unidad sobre V.

Ejemplo 1.7

La propiedad 1.3 permite expresar los operadores lineales en términos de productos exteriores.

Propiedad 1.4

Si V y W son espacios vectoriales con producto interno sobre el cuerpo C, y {|v1〉, |v2〉, ..., |vn〉} y {|w1〉, |w2〉, ..., |wm〉} son bases ortonormales de V y W, respectivamente, entonces cualquier operador lineal A: V → W puede descomponerse como sigue:

Demostración

Si IV e IW son los operadores unidad en V y W, respectivamente, entonces, según la propiedad 1.3:

Por tanto, por asociatividad del producto matricial, teniendo en cuenta que 〈wk|A|vl〉 es un elemento ckl de C, se deduce (1.53).

Ejemplo 1.8

Comentario 1.2

1.4. Vectores y valores propios

El estado de un sistema cuántico se describe mediante un espacio vectorial V sobre el cuerpo de los números complejos. Su evolución a lo largo del tiempo se modela con operadores lineales A: V → V. Conociendo una base b de V, este operador A puede ser descrito por una matriz n × n, siendo n la dimensión del espacio V. A bases diferentes corresponden matrices diferentes. Una pregunta natural es si entre todas las bases de V no existen algunas para las cuales las matrices asociadas tengan propiedades interesantes, por ejemplo, características que hagan más fácil el cálculo de la evolución del sistema. El cálculo de los vectores y valores propios de un operador lineal da respuesta a esa pregunta.

Definición 1.12

Considérese un espacio vectorial V sobre el cuerpo F y un operador lineal A: V → V. Un vector propio del operador lineal A es un elemento |x〉 de V, diferente de 0, que satisface la relación

El elemento c de F es el valor propio correspondiente.

donde I es la matriz unidad de dimensión n × n. Este tipo de sistema homogéneo tiene soluciones no triviales solamente si el determinante de la matriz A − cI es igual a 0 (Angot [1965], Horn y Johnson [1985]). La conclusión es que los valores propios c son soluciones de la ecuación

Desarrollando (1.60), se obtiene una ecuación algebraica de grado n, siendo c la incógnita:

Ejemplo 1.9

La relación (1.66) significa que la matriz MA es una matriz diagonal

cuyos coeficientes de la diagonal principal son valores propios de la transformación A. Un operador A para el cual existe una base ortonormal tal que la matriz MA asociada sea una matriz diagonal es un operador diagonalizable. Sin embargo, el hecho de tener n vectores propios ortonormales no es una condición necesaria. El producto exterior proporciona una definición más completa.

Definición 1.13

Una representación diagonal de un operador lineal A: V → V, siendo V un espacio vectorial con producto interno sobre el cuerpo de los números complejos, es una representación de A como combinación lineal de productos exteriores

donde los vectores |vk〉 son vectores propios ortonormales y los coeficientes ck son los valores propios correspondientes.

A continuación, se establece la relación entre la definición 1.13 y la existencia de una base ortonomal tal que la matriz MA asociada sea una matriz diagonal. Supóngase que la transformación A tenga m vectores propios |v1〉, |v2〉, ..., |vm〉 ortonormales a los cuales corresponden los valores propios c1, c2, ..., cm. Se puede definir una base ortonormal que contiene esos m vectores más otros n-m vectores |vm+1〉, ..., |vn〉. En esa base, los coeficientes de la matriz MA son definidos por la relación (1.19); es decir,

Si se cumple (1.68), entonces:

Inversamente, considérese un operador que en la base b se representa como una matriz diagonal, existiendo la posibilidad de que algunos coeficientes de la diagonal principal sean nulos. Supóngase que los coeficientes a11, a22, ..., amm sean no-nulos y que los coeficientes restantes de la diagonal principal sean nulos. Entonces, la matriz MA puede representarse como

donde los coeficientes del vector |vk〉 son nulos excepto el número k. En particular son ortonormales. Se demuestra así que la condición (1.68) es a la vez necesaria y suficiente para que el operador A sea diagonalizable.

Ejemplo 1.10

1.5. Operadores hermitianos

La herramienta matemática fundamental utilizada por los físicos para la descripción y el estudio de los sistemas cuánticos es el operador de Hamilton o hamiltoniano (cap. 2). Pertenece a la categoría de los operadores hermitianos, razón por la cual se da una especial importancia a este tipo de operador.

Definición 1.14

Considérese un espacio vectorial V con producto interno sobre el cuerpo C y un operador A: V → V. El operador adjuntoB se define como siendo aquel que satisface la siguiente relación:

Propiedades 1.5

3.

Definición 1.15

Una consecuencia de la definición anterior es que, si M es la matriz asociada a un operador hermitiano, sus coeficientes mkl satisfacen la relación

Los valores y vectores propios de un operador hermitiano tienen las propiedades siguientes.

Propiedades 1.6

1. Los valores propios de un operador hermitiano son reales.

2. Si dos vectores propios tienen valores propios diferentes, son ortogonales.

Demostración

Obsérvese que, según la cuarta de las propiedades 1.5, el operador |v〉〈v| es hermitiano. Más generalmente, se pueden definir operadores hermitianos, llamados «proyectores», que son sumas de productos exteriores. En mecánica cuántica, se usan para definir operadores de medición (cap. 2).

Definición 1.16

Considérense un espacio vectorial V con producto interior y un subespacio W de V. Supóngase que se hayan definido una base ortonormal {|v1〉, |v2〉, ..., |vm〉} de W y una base ortonormal {|v1〉, |v2〉, ..., |vm〉, |vm+1〉, ..., |vn〉} de V. El proyectorP de V sobre W es el operador:

Es una combinación lineal de operadores hermitianos, con lo cual es hermitiano.

La definición anterior se corresponde con lo que se entiende por «proyección sobre un eje o un plano» en el caso del espacio tridimensional con coordenadas x, y, z. En este caso, la base ortonormal está constituida por los vectores

y el proyector Pxy sobre el plano definido por los ejes 0x y 0y es el operador

Con la base natural (1.76) la matriz Mxy correspondiente es:

Aplicada a un vector del espacio tridimensional, da como resultado el vector .

Ejemplo 1.11

Los proyectores son operadores hermitianos que satisfacen las siguientes propiedades.

Propiedades 1.7

Demostración

Volviendo a la definición 1.16, además del proyector P sobre el subespacio W, se puede definir otro proyector.

Definición 1.17

Según la propiedad 1.3 y la definición del proyector P, el operador Q se puede expresar como

Esta última relación significa que Q es un proyector sobre el subespacio generado por los vectores {|vm + 1〉, ..., |vn〉}.

Ejemplo 1.12

En el caso del proyector definido por (1.79), el complemento es el proyector definido por

Los operadores hermitianos constituyen un caso particular de los operadores normales.

Definición 1.18

Se puede demostrar el teorema siguiente (véase, por ejemplo, el capítulo 2 de Nielsen y Chuang [2010]).

Teorema 1.1

Todo operador normal sobre el espacio vectorial V es diagonalizable.

Ello significa que, si A es normal, entonces existe una base ortonormal b de V tal que al operador A se le asocie una matriz MA diagonal. Por tanto, según la definición 1.13, si A es un operador normal, entonces existe un conjunto {|v1