Darstellende Geometrie des Geländes und verwandte Anwendungen der Methode der kotierten Projektionen E-Book

Rudolf Rothe

• Herausgeber: DigiCat
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Veröffentlichungsjahr: 2022

Beschreibung

In "Darstellende Geometrie des Geländes und verwandte Anwendungen der Methode der kotierten Projektionen" von Rudolf Rothe wird ein tiefgreifender Einblick in die technischen und künstlerischen Aspekte der darstellenden Geometrie gegeben. Das Buch beleuchtet die Methodik und die theoretischen Grundlagen der kotierten Projektionen, um die Geometrie des Geländes anschaulich und präzise abzubilden. Der Autor verfolgt dabei einen klar strukturierten, didaktischen Ansatz, der sowohl anspruchsvollen Studierenden als auch Fachleuten aus Geodäsie und Ingenieurwissenschaften zugutekommt. Dies wird durch zahlreiche Abbildungen und Anwendungsbeispiele ergänzt, die die Komplexität und die Bedeutung dieser Thematik in der modernen Geometrie verdeutlichen. Rudolf Rothe wird als ein herausragender Wissenschaftler angesehen, dessen Fachwissen im Bereich der Geometrie und deren Anwendungen weitreichend anerkannt ist. Integrierte Rothe Erfahrungen und Erkenntnisse aus seiner akademischen und praktischen Laufbahn in dieses Werk, um eine Brücke zwischen Theorie und Praxis zu schlagen. Sein Hintergrund als Geometer und seine Leidenschaft für die Darstellung geometrischer Objekte bilden das Fundament für die in diesem Buch entwickelten Konzepte. Dieses Buch ist eine unverzichtbare Lektüre für alle, die sich mit der Anwendung der darstellenden Geometrie im Gelände und darüber hinaus befassen. Es vermittelt nicht nur theoretisches Wissen, sondern auch praktische Fähigkeiten, die in der Technik und der visuellen Darstellung von Bedeutung sind. Leser werden inspiriert, die Methoden der kotierten Projektionen selbst zu erproben und deren Potenzial in ihrer Arbeit zu erkennen.

Leseprobe

Rudolf Rothe

Darstellende Geometrie des Geländes und verwandte Anwendungen der Methode der kotierten Projektionen

 

EAN 8596547073482

DigiCat, 2022 Contact: [email protected]

Inhaltsverzeichnis

EINLEITUNG

I. GRUNDBEGRIFFE UND ELEMENTARE KONSTRUKTIONEN ÜBER KOTIERTE PROJEKTIONEN

II. ELEMENTARE ANWENDUNGEN

III. DARSTELLUNG DER GELÄNDEFLÄCHEN

IV. AUFGABEN UND ANWENDUNGEN

V. MASZBESTIMMUNGEN UND BEZIEHUNGEN ZUR ZEICHNERISCHEN ANALYSIS

ALPHABETISCHES SACHVERZEICHNIS

EINLEITUNG

Inhaltsverzeichnis

Eine Landkarte, die einen nicht zu großen Teil der Erdoberfläche darstellt, gibt im großen und ganzen das Bild wieder, das sich einem senkrecht darüber befindlichen Beobachter aus solcher Höhe darbietet, wo für ihn die Höhenunterschiede des Geländes unmerklich geworden sind. Um diese Höhenunterschiede in der Karte dennoch kenntlich zu machen, pflegt man eine genügende Anzahl von Punkten durch beigesetzte Höhenzahlen (Koten) zu bezeichnen, die ihre senkrechte Entfernung von einer gedachten Horizontalebene, meist dem Meeresspiegel, in einer gewählten Längeneinheit, z. B. in Metern, angeben. Auf diese Weise entsteht eine mehr oder weniger getreue Darstellung (kotierter Riß) der Erdoberfläche mit ihren Erhebungen und Senken; oder in allgemeinerer Bedeutung, es entsteht die Darstellung einer Geländefläche oder topographischen Fläche, worunter in der Regel eine solche verstanden wird, die von jeder Senkrechten in genau einem Punkte geschnitten wird; bei manchen, z. B. bei geologischen Betrachtungen, ist diese Bedingung freilich nicht immer erfüllt.

Eine auf der Fläche gelegene Linie, deren sämtliche Punkte die gleiche Höhe (Kote) haben, heißt Höhenlinie (Schichtlinie, Niveaulinie, Isohypse), bei Höhen unter dem Meeresspiegel auch Tiefenlinie (Isobathe); sie ist die Schnittlinie der Geländefläche mit einer horizontalen Ebene. Ein abgelassener Teich läßt oft solche Schichtlinien, die Spuren früherer Wasserstände, an seinen Ufern erkennen.

Die Brauchbarkeit und Anschaulichkeit der Darstellung einer Geländefläche durch eine Karte gewinnt erheblich, wenn auf ihr eine genügende Anzahl von Höhenlinien der Art verzeichnet ist, daß ihnen eine Einteilung der Fläche in Schichten gleicher Dicke entspricht (Schichtenplan). Auf dieser Darstellung einer Geländefläche durch ihre Schichtlinien beruht die Möglichkeit, auf zeichnerisch-konstruktiven Wegen eine große Anzahl von Fragen und Aufgaben zu beantworten, wie sie in der Vermessungskunde, Kartenkunde, Geographie, militärischen Topographie, Bauingenieurwissenschaft, Geologie, Bergbaukunde usw. vorkommen können. Die Ausführung der Methoden, die zur zeichnerischen Lösung solcher Fragen dienen, bildet ein wichtiges Mittel der angewandten Geometrie, das sich aus praktischen Bedürfnissen heraus, ursprünglich nautischen und militärischen, entwickelt hat, zuerst in Frankreich, wo die Kenntnis derartiger Dinge noch bis vor hundert Jahren militärisch geheim gehalten wurde.

In dieses Gebiet, das zum Verständnis im allgemeinen nur wenige elementargeometrische Vorkenntnisse erfordert, und dessen Pflege wegen der sofort in die Augen springenden praktischen Verwendbarkeit besonders reizvoll und anregend ist, will die vorliegende Schrift eine Einführung geben.

Es wird zweckmäßig sein, zunächst auch auf einige grundlegende geometrische Begriffe und Konstruktionen einzugehen, auf denen die alsdann zu besprechenden Aufgaben über Geländeflächen beruhen.

I. GRUNDBEGRIFFE UND ELEMENTARE KONSTRUKTIONEN ÜBER KOTIERTE PROJEKTIONEN

Inhaltsverzeichnis

§1. Kotierte Projektion. Ein Punkt P' des Raumes ist durch Angabe seiner senkrechten Grundrißprojektion P auf eine Horizontalebene (Rißebene, Zeichenebene) und der Maßzahl k seines senkrechten Abstandes (Höhenzahl, Kote) von der Ebene, gemessen in Einheiten des Höhenmaßstabs, eindeutig bestimmt: kotierte Projektion. Eine Karte mit Höhenangaben ist also eine geometrische Grundrißdarstellung eines Geländes durch kotierte Projektionen: kotierte Ebene.

Fig.1.

Fig.2.

Übrigens heißt φ der Fallwinkel, tgφ das Gefälle, der Anstieg oder die Böschung der Geraden g'.

Da man es im folgenden immer mit der Zeichnung in der Rißebene zu tun hat, so spricht man in der Regel von dem Fallwinkel, dem Gefälle usw. der gezeichneten Geraden g, der Projektion von g', obwohl man darunter natürlich stets die Größen meint, die g' selbst zukommen. Darauf ist in Zukunft zu achten.

§2. Maßstab der Zeichnung. Die Abmessungen der Zeichnung werden meist mit denen der Wirklichkeit nicht übereinstimmen, sondern geben sie in verkleinerten Maßstäben wieder. Verhalten sich z. B. die Horizontalentfernungen der Zeichnung zu denen der Wirklichkeit wie 1:α (bei den preußischen Meßtischblättern wie 1:25000), die gezeichneten Höhen zu den wirklichen wie 1:β, so ist die wirkliche Entfernung nicht mehr

sondern sie ist

und der Neigungswinkel im allgemeinen nicht φ, so daß

sondern gleich Φ, so daß

bestimmen.

Fig.3.

Eine lotrechte Gerade hat als Projektion einen Punkt und ist durch dessen Angabe eindeutig bestimmt. Eine wagerechte Gerade hat keinen Gefällemaßstab; sie ist durch ihre Projektion und durch Angabe der Höhe irgendeines ihrer Punkte eindeutig bestimmt.

Fig.4.

Wenn g1 und g2 zusammenfallen, liegen g1', g2' in derselben lotrechten Ebene; der Winkel ψ von g1' und g2' ist in einem Dreieck zu finden (Fig.5 u. 6), dessen Grundlinie durch Zusammenfügen von i1 und i2 (mit Berücksichtigung des Richtungssinns) entsteht, und dessen Höhe, die in dem i1 und i2 gemeinsamen Punkt zu errichten ist, gleich der Einheit des Höhenmaßstabes ist. Der Schnittwinkel ψ ist ein rechter, wenn die Höhe 1 die mittlere Proportionale zwischen i1 und i2 ist, d. h. wenn

und überdies die Graduierungen entgegengesetzten Sinn haben.

Fig.5.

Fig.6.

§7. Ebene. Zwei sich schneidende oder parallele Geraden des Raumes bestimmen eine Ebene. Nachdem die beiden Geraden gestuft sind, lassen sich die Schichtlinien der Ebene als Verbindungsgeraden der Punkte gleicher Höhenzahlen konstruieren; sie sind also parallele Geraden. Wenn umgekehrt die Verbindungsgeraden je zweier und daher aller Punkte gleicher Höhenzahlen auf zwei gestuften Geraden einander parallel sind, dann liegen die Geraden in einer Ebene, d. h. schneiden sich, wie in Fig.7g1 und g2, oder sind parallel, wie g1 und g3; andernfalls kreuzen sie sich, wie g2 und g3.

Fig.7.

Fig.8.

§8. Gefällemaßstab. Die zu den Schichtlinien senkrechten Geraden der Ebene heißen ihre Fallinien1; durch die Schnittpunkte mit den Schichtlinien werden sie graduiert. Eine Ebene ist durch eine gestufte Fallinie, ihren Gefälle- oder Böschungsmaßstab, eindeutig gegeben; man pflegt ihn als gestufte Doppelgerade (Fig.8) zu zeichnen, wobei die stärker ausgezogene oder mit einer Pfeilspitze versehene als die eigentliche Fallinie gelten soll. Der Gefällemaßstab einer Ebene erscheint danach wie eine aus großer Höhe gesehene Leiter mit ihren Sprossen.

1 In der Fig.8 verläuft die Gerade 3,6 … 9,6 zufällig wie eine Fallinie.

§9. Aufgabe. Durch drei kotierte Punkte eine Ebene zu legen. Man verbindet die Punkte durch drei Geraden, graduiert diese nach §4, zeichnet durch Verbindung gleichkotierter Punkte der Geraden die Schichtlinien der Ebene und danach senkrecht zu diesen den Gefällemaßstab (Fig.8).

§10. Böschung, Fallen und Streichen. Der Fallwinkel φ der Fallinien heißt das Einfallen oder das Fallen der Ebene, tgφ ihre Böschung, die durch zunehmende Höhen gegebene Richtung der Fallinien die Anstiegsrichtung der Ebene. Unter Streichrichtung versteht man diejenige Richtung der Schichtlinien – die daher bei der Ebene auch Streichlinien heißen –, von der aus man im mathematisch positiven, d. h. dem Uhrzeigerlaufe entgegengesetzten Sinne um einen rechten Winkel zu drehen hat, um die Anstiegsrichtung der Ebene zu erhalten. Der Winkel σ, um den man von einer festen (SN)-Richtung aus im positiven Sinne zu drehen hat, um die Streichrichtung zu erhalten, heißt das Streichen der Ebene (Fig.9).

Fig.9.

Fig.10.

Die Begriffe und Bezeichnungen des Fallens und Streichens einer Ebene sind, wenn auch nicht immer eindeutig genug erklärt, dem Bergmanne und Geologen sehr geläufig, weil durch die leicht ausführbare Messung dieser Winkel an einem der Lage nach bekannten Orte auch die Lage der Ebene, z. B. einer erzführenden ebenen oder als nahezu eben anzunehmenden Schicht, vollständig bestimmt ist.

§12. Schnittgerade zweier Ebenen. Zwei nicht parallele Ebenen schneiden sich in einer Geraden. In der Karte der Ebenen erhält man diese Gerade und zugleich ihre Stufung im allgemeinen als Ort der Schnittpunkte gleichkotierter Schichtlinien (Fig.11).

Fig.11.

Fig.12.

Das Verfahren versagt jedoch um so mehr, je mehr die Schichtlinien der beiden Ebenen einander parallel werden. Dann schneidet man die beiden Ebenen (1) und (2) durch eine beliebige Hilfsebene (3) in geeigneter Lage, bestimmt die Schnittgeraden (1, 3) und (2, 3) und deren Schnittpunkt A, der auf der Schnittgeraden (1, 2) gelegen sein muß. Eine zweite Hilfsebene (4) bestimmt ebenso die Schnittgeraden (1, 4) und (2, 4) und deren Schnittpunkt B; durch A und B ist aber die gesuchte Schnittgerade (1, 2) völlig bestimmt (Fig.12). Zweckmäßig, und in der Figur ist das so ausgeführt, wählt man die zweite Hilfsebene (4) so, daß ihr Gefällemaßstab der gleiche, aber entgegengesetzt gerichtete zu dem von (3) ist. Da er ganz willkürlich ist, so genügt es zur wirklichen Ausführung der Konstruktion, die Schichtlinien der beiden gegebenen Ebenen durch zwei Parallelen p', p'' in beliebigem Abstand zu schneiden.

Fig.13.

Fig.14.

§13. Ebenen mit parallelen Gefällemaßstäben. Dieses Verfahren ist auch anwendbar, wenn die Schichtlinien der beiden gegebenen Ebenen, also auch ihre Gefällemaßstäbe genau parallel sind; man kann alsdann p', p'' mit diesen zusammenfallen lassen. Die Schnittgerade steht jetzt senkrecht auf den beiden Gefällemaßstäben, weil sie die gemeinsame Schichtlinie der beiden Ebenen ist (Fig.13).