Geoinformatik E-Book

Markus Penzkofer

• Herausgeber: Books on Demand
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2017

Seitenzahl: 181

Beschreibung

In diesem Manuskript sollen einige theoretische Hintergründe und Zusammenhänge der Geoinformatik zusammengestellt werden. Auch die wichtigsten Formeln aus Mathematik, Niederer Geodäsie, Höherer Geodäsie und Kartographie sollen kurz vorgestellt werden. Neben diesen Fächern bildet natürlich die Informatik einen wesentlichen Bestandteil von Geoinformationssystemen. Anschließend werden alle Grundlagen zu einem kurzen Überblick über die Geoinformatik vereint, wobei insbesondere die Modellierungen, Erweiterungen, Spezialisierungen und Analysen der Geoinformatik gezeigt werden. Die vom Autor erstellte Open Source GIS-Anwendung MensorGIS setzt die besprochene Thematik in Quellcode und Funktionalität um. In einem abschließenden Kapitel wird aufgezeigt, wo sich dort die Grundlagen am besten erkennen lassen. Als Zusatz wird die in allen Fachgebieten des Vermessungswesens wichtige Ausgleichungsrechnung mit Beispielen vorgestellt. A Geoinformatik - von der Theorie zur Anwendung 1 Einführung 2 Überblick über die Grundlagen der Geoinformatik 3 Grundlagen der Mathematik 4 Grundlegende Berechnungen der Niederen Geodäsie 5 Grundlegende Berechnungen der Höheren Geodäsie 6 Grundlagen der Kartographie und Photogrammetrie 7 Grundlagen der Informatik 8 Geoinformatik 9 Praktische Anwendung in MensorGIS B Statistik und Ausgleichungsrechnung 1 Einführung 2 Grundlagen der Statistik 3 Grundlagen der Matrizenrechnung 4 Ausgleichungsrechnung 5 Anwendung der Ausgleichungsrechnung Mit umfangreichem Anhang und Index. Das Buch sollte von Studenten gelesen werden, die in die Fachvorlesungen mit Schwerpunkt Geoinformatik einsteigen. Auch Quereinsteigern zu empfehlen, die sich für die geodätischen Hintergründe der Geoinformationssysteme interessieren.

Leseprobe

Bild auf der Aussenseite:

Kartenausschnitt aus dem Berchtesgadener Land,

erzeugt mit der Druck-Funktion von MensorGIS

Inhaltsverzeichnis

Einführung

1.1 Anwendungsfelder der Geoinformatik

1.2 Zeilsetzung dieses Skripts

Überblick über die Grundlagen der Geoinformatik

2.1 Die Mathematik

2.2 Die Niedere Geodäsie

2.3 Die Höhere Geodäsie

2.4 Kartographie und Photogrammetrie

2.5 Die Informatik

2.6 Die Geoinformatik

Grundlagen aus der Mathematik

3.1 Trigonometrie

3.1.1 Das Bogenmaß

3.1.2 Das Rechtwinklige Dreieck

3.2 Statistik

3.2.1 Beschreibende Statistik

3.2.2 Analytische Statistik

3.3 Matrizenrechnung

3.3.1 Vektoren und Matrizen

3.3.2 Matrizenalgebra

3.3.3 Lineare Gleichungssysteme

3.4 Analytische Geometrie

3.4.1 Gleichungen von Geraden und Ebenen

3.4.2 Schnitte von Geraden und Ebenen

3.5 Interpolationsverfahren

3.5.1 Lineare Interpolation auf der Linie

3.5.2 Lineare Interpolation in Dreiecken

3.5.3 Korrelationsverfahren

3.6 Affine Abbildungen

3.7 Topologie

3.7.1 Topologie allgemein

3.7.2 Die Graphentheorie

Grundlegende Berechnungen der Niederen Geodäsie

4.1 Grundlegende Konventionen

4.1.1 Geodätisches Koordinatensystem und Geodätische Winkelmessung

4.1.2 Richtungswinkel und Strecke

4.2 Bestimmung von Einzelpunkten in der Lage

4.2.1 Klassische Verfahren

4.2.2 Polygonometrische Punktbestimmung

4.2.3 Polarverfahren

4.3 Transformationen

4.3.1 Helmert-/Ähnlichkeitstransformation

4.3.2 Affin-Transformation

4.4 Trassierung

4.4.1 Verwendung der Trassierungselemente

4.4.2 Methoden zur Kreisbogenabsteckung

4.4.3 Formeln zur Klothoide

4.5 Punktbestimmung in der Höhe

4.5.1 Geometrische Höhenbestimmung

4.5.2 Nivellitische Höhenbestimmung

4.5.3 Satellitengestützte Höhenbestimmung

Grundlegende Berechnungen der Höheren Geodäsie

5.1 Grundlegende Konventionen

5.1.1 Geodätische Bezugssysteme und Koordinaten

5.1.2 Ellipsoidparameter

5.1.3 Geodätische Grundaufgaben

5.2 Transformationen

5.2.1 Transformationen Dreidimensionale ↔ Geodätische Koordinaten

5.2.2 Transformationen Geodätische ↔ Ebene Koordinaten

5.2.3 Datumstransformationen

5.3 Geodätische Abbildungen

5.3.1 Gauß-Krüger-Koordinaten

5.3.2 UTM-Koordinaten

5.4 Satellitengestützte Ortsbestimmung

5.4.1 Entwicklung der Systeme

5.4.2 Messprinzip am Beispiel GPS

5.5 Ausgleichungsmodelle

5.5.1 Grundlegende Modelle

5.5.2 Robuste Modelle

Grundlagen der Kartographie und der Photogrammetrie

6.1 Grundlagen der Photogrammetrie

6.1.1 Prinzip der Photogrammetrie

6.1.2 Methoden der Photogrammetrie

6.1.3 Produkte von Photogrammetrie und Fernerkundung

6.2 Erzeugung des Kartenbildes

6.2.1 Geometrische Eigenschaften

6.2.2 Graphische Eigenschaften

6.2.3 Thematische Karten

6.3 Kartographische Projektionen

6.3.1 Azimutale Abbildungen

6.3.2 Zylindrische Abbildungen

6.3.3 Konische Abbildungen

6.3.4 Spezielle Abbildungen

6.3.5 Grundlegende Verzerrungseigenschaften

6.4 Kartographische Verarbeitung von Höhendaten

6.4.1 Höhendarstellung im Grundriss

6.4.2 Höhenprofile

6.4.3 Analyse von Geländeformen

Grundlagen der Informatik

7.1 Computergraphik

7.1.1 Bilddaten

7.1.2 Grauwert-Interpolationsverfahren

7.1.3 Projektionen

7.2 Programmierumgebungen

7.2.1 Programmiersprachen

7.2.2 Entwicklungsumgebungen

7.3 Strukturen und Methoden der Programmierung

7.3.1 Strukturierung von Daten

7.3.2 Methoden zum Verarbeiten von Daten

7.4 Datenformate

7.4.1 XML (Extensible Markup Language)

7.4.2 Bilddaten-Formate

7.5 Datenbanken

7.5.1 Das Entity-Relationship-Modell

7.5.2 Grundlegende Datenbank-Modelle

7.5.3 Anbindung an Programmiersprachen

7.5.4 Datenbank-Management

7.6 Verteilte Anwendungen

7.6.1 Client-Server-Systeme

7.6.2 Web-Dienste

7.6.3 Web-Anbindung von Datenbanken

7.6.4 Middleware

Geoinformatik

8.1 Datenarten

8.1.1 Rasterdaten

8.1.2 Vektordaten

8.1.3 Sachdaten (Attributive Daten)

8.2 Datenhaltung

8.2.1 Datenformate

8.2.2 Geo-Datenbanken

8.3 Datenmodellierung

8.3.1 Objektarten und Objektarten-Katalog

8.3.2 Das Simple Feature-Modell

8.3.3 Topologie

8.3.4 Referenzsysteme

8.3.5 Metadaten

8.4 Datendarstellung in GIS-Anwendungen

8.4.1 Geometrische Darstellung

8.4.2 Thematische Darstellung

8.5 Datenerfassung

8.5.1 Erfassung von Geometrie-Daten

8.5.2 Erfassung von Sachdaten

8.5.3 Datenqualität

8.6 GIS-Analysen

8.6.1 Attributive Abfragen

8.6.2 Grundlegende Räumliche Abfragen

8.6.3 Statistische Auswertungen

8.6.4 Topologische Analysen

8.6.5 Dreidimensionale Analysen

8.7 Moderne GIS-Architekturen

8.7.1 Geo Web Services

8.7.2 Location Based Services (LBS)

8.8 Anwendung von GIS

8.8.1 Verfügbare GIS-Daten

8.8.2 Anwendungsgebiete

8.8.3 GIS-Produkte und GIS-Software

Praktische Anwendung in MensorGIS

9.1 Anwendung der Mathematik

9.1.1 Trigonometrie

9.1.2 Statistik

9.1.3 Matrizenrechnung

9.1.4 Analytische Geometrie

9.1.5 Interpolationsverfahren

9.1.6 Affine Abbildungen

9.1.7 Topologie

9.2 Anwendung der Niederen Geodäsie

9.2.1 Bestimmung von Einzelpunkten in der Lage

9.2.2 Transformationen

9.2.3 Trassierung

9.2.4 Punktbestimmung in der Höhe

9.3 Anwendung der Höheren Geodäsie

9.3.1 Transformationen

9.3.2 Geodätische Abbildungen

9.3.3 Ausgleichungsmodelle

9.4 Anwendung der Kartographie

9.4.1 Erzeugung des Kartenbildes

9.4.2 Kartographische Projektionen

9.4.3 Verarbeitung von Höhendaten

9.5 Anwendung der Informatik

9.5.1 Computergraphik

9.5.2 Programmierung

9.5.3 Strukturen und Methoden

9.5.4 Datenformate

9.5.5 Datenbanken

9.6 Anwendung der Geoinformatik

9.6.1 Datenarten

9.6.2 Datenhaltung

9.6.3 Datenmodellierung

9.6.4 Datendarstellung

9.6.5 Datenerfassung

9.6.6 GIS-Analysen

9.6.7 GIS-Architekturen

9.6.8 GIS-Anwendungen

9.7 Tutorials zu MensorGIS

9.8 Programm-Module von MensorGIS

9.8.1 Module zur Definition der Programmstrukturen

9.8.2 Module und Forms zur Implementierung der GIS-Funktionalität

9.9 Projekt-Format von MensorGIS

Anhänge

Anhang A: Bibliographie

Anhang B: Internetadressen

Anhang C: Konstanten und Referenzsysteme

Anhang D: Formelsymbole

Anhang E: Geschichte

Anhang F: Glossar

Seitenindex

Abbildungsverzeichnis

4.1 Bogenschnitt

4.2 Vorwärtsschnitt

4.3 Rückwärtsschnitt

5.1 Erste Geodätische Grundaufgabe

5.2 Zweite Geodätische Grundaufgabe

9.1 MensorGIS: Atlas-Viewer (Gesamtansicht)

9.2 MensorGIS: Attribut-Abfrage nach SQL-Syntax

9.3 MensorGIS: Surveying-Tutorial

9.4 MensorGIS: Georeferenzierung mit Resampling

9.5 MensorGIS: Orthophoto mit GPX- und DGM-Daten

9.6 MensorGIS: Freie Stationierung (Messdaten-Transformation)

9.7 MensorGIS: Höhenlinien-Plan

9.8 MensorGIS: Diagramm-Karte

9.9 MensorGIS: DGM-Interpolation und OSM-Daten

10.1 Projekt Frida/Osnabrück (freie Geodaten)

Kapitel 1

Einführung

1.1 Anwendungsfelder der Geoinformatik

Die Geoinformatik besitzt viele unterschiedliche Anwendungsbereiche, die heutzutage auch der Öffentlichkeit bekannt sind. Reine Expertensysteme sind nun die Ausnahme, wobei hinter jeder Nutzeroberfläche selbstverständlich nach wie vor ein Kern steckt, der von einem fachlichen Administrator bedient werden muss. Üblicherweise werden die Anwendungsbereiche von GIS-Anwendungen wie folgt eingeteilt:

Fach-Informationssysteme, z.B. Grunddaten-Erfasser, Umwelt-Informationssysteme, Energie- u. Wasser-Dienstleister, Flottenmanagement

Öffentliche Informationssysteme, z.B. Routing (Navigationssystem), Google Earth, Location Based Services, Geodatenportale

1.2 Zeilsetzung dieses Skripts

In diesem Manuskript sollen einige theoretische Hintergründe und Zusammenhänge der Geoinformatik zusammengestellt werden. Auch die im Kontext Geoinformatik wichtigsten Formeln aus Mathematik, Niederer Geodäsie, Höherer Geodäsie und Kartographie sollen kurz vorgestellt werden. Neben diesen Fächern bildet natürlich die Informatik einen wesentlichen Bestandteil der GIS-Anwendungen. Anschließend werden alle Grundlagen zu einem kurzen Überblick über die Geoinformatik vereint, wobei insbesondere die Modellierungen, Erweiterungen, Spezialisierungen und Analysen der Geoinformatik gezeigt werden. In einem abschließenden Kapitel werden Funktionalität und Quellcode der Open-Source GIS-Anwendung MensorGIS dahingehend diskutiert, wo sich dort die Grundlagen am besten erkennen lassen. Ziel dieses GIS-Projekts ist nicht seine operative Verwendung, sondern die beispielhafte Umsetzung von Algorithmen. MensorGIS ist frei verfügbar unter: https://sourceforge.net/projects/mensorgis/.

Dieses Skriptum kann für jeden einzelnen Fachbereich nur die grundlegenden Thematiken ansprechen; falls das eine oder andere vermisst wird, sollte in der entsprechenden Fachliteratur nachgeschlagen werden (siehe auch Literaturverzeichnis im Anhang A). Das Buch sollte von Studenten, ggf. auch von Quereinsteigern, gelesen werden, die in Fachvorlesungen mit Schwerpunkt Geoinformatik einsteigen.

Das nächste Kapitel gibt eine Übersicht über die einzelnen Disziplinen, die bei der Konzipierung, Programmierung und Nutzung eines GIS notwendig sind. Dabei wird u.a. auch auf die bei der Implementierung zu beachtenden Sachverhalte verwiesen.

Wichtige Begriffe sind in Fettdruck, zusätzliche Begriffe und Kapitelverweise in kursiver Schrift angegeben.

Kapitel 2

Überblick über die Grundlagen der Geoinformatik

Wenn über GIS-Anwendungen gesprochen wird, werden meistens Grundlagen aus Mathematik, Landesvermessung und Informatik genannt. Wenn man jedoch an die Herkunft der GIS-Daten denkt, gehören sowohl einige der Messverfahren der Niederen Geodäsie vor dem GPS-Zeitalter als auch die Photogrammetrische Herstellung von Orthophotos und Geländemodellen dazu. Daneben werden einige wichtige Methoden der Kartographie auch in GIS-Anwendungen benötigt. Das Vermessungswesen bringt das traditionelle Wissen ein, die Informatik stellt die Grundlagen zur Einführung neuer Techniken in die Informationsverarbeitung von Geodaten zur Verfügung.

2.1 Die Mathematik

Die Mathematik bildet die Grundlage für viele Ingenieurwissenschaften, aber auch für die theoretischen und praktischen Anwendungen der Informatik. Im Hinblick auf die Geoinformatik fließt sie beginnend bei der Niederen und Höheren Geodäsie über Kartographie und Photogrammetrie schließlich auch in die Informatik und Geoinformatik ein.

Die grundlegenden geodätischen Anwendungen betreffen v.a. die Trigonometrie, Geometrie und Matrizenrechnung. Kartographie und Photogrammetrie benötigen dieselben Grundlagen, daneben noch Interpolationsverfahren. In der Informatik spielen bei der Programmierung die Zahlendarstellung und die Boolsche Logik eine Rolle. Eine spezielle GIS-Analyse basiert auf der Graphentheorie als Teilgebiet der mathematischen Topologie.

2.2 Die Niedere Geodäsie

Die Niedere Geodäsie umfasst alle Berechnungen, die unter Annahme einer ebenen Bezugsfläche durchgeführt werden können. Dazu wird entweder ein lokales ebenes Koordinatensystem verwendet oder mit Koordinaten aus einer Projektion gerechnet. Höhenwerte werden klassischerweise getrennt von Grundrissdaten gemessen (Ausnahme GPS).

Aus der Niederen Geodäsie stammen die meisten praktischen Messdaten, wenn man auch die Messung von GPS heutzutage als „normalen“ Vermessungsalltag betrachtet.

2.3 Die Höhere Geodäsie

Die Höhere Geodäsie basiert auf der Festlegung einer Bezugsfläche, die im Gegensatz zur Niederen Geodäsie gekrümmt ist, d.h. in früheren Zeiten eine Kugel, in der jüngeren Geschichte ein Ellipsoid oder Geoid zur Repräsentation der Erde. Die Höhere Geodäsie legt landes- oder weltweite Bezugssysteme fest. Außerdem beschäftigt sie sich mit der Messung und Definition des Erdschwerefeldes (in Bezug auf GIS nicht weiter zu verfolgen). Eine Methode, die sowohl in der Niederen und Höheren Geodäsie als auch in der Photogrammetrie verwendet wird, ist die Ausgleichungsrechnung (siehe auch zweiten Teil dieses Buchs).

2.4 Kartographie und Photogrammetrie

Mittels Methoden der Kartographie kann eine systematische Darstellung (Kartierung) von gemessenen und berechneten Objekten erfolgen. Zwei Teilgebiete der Kartographie sind für die Geoinformatik wesentlich: Zum einen die mathematischen Berechnungsverfahren zur Abbildung dieser Objekte in die Ebene (Kartenprojektion), zum anderen die graphische Aufbereitung und Ausgestaltung der Objekte in Geometrie und Erscheinungsform (z.B. Generalisierung, Farbgebung, Schraffur, Thematische Darstellung).

Die Photogrammetrie ermittelt aus zweidimensionalen Bilddaten dreidimensionale Koordinaten. Auf diesem Weg können ebenfalls Daten gewonnen werden, die zur Kartierung und/oder als Eingabe in ein GIS verwendet werden. Wie die Niedere Geodäsie ist die Photogrammetrie somit ein Datenlieferant für GIS-Anwendungen, die Kartographie kann diese als auch die terrestrisch ermittelten Daten verwenden.

2.5 Die Informatik

Die Informatik stellt heutzutage Rechen- und Datenhaltungswerkzeuge zur Verfügung. Von der zeilenweisen Eingabe in Computeralgebra-Systemen bis hin zur Erstellung eigenständiger Programme mit graphischer Oberfläche reichen die Möglichkeiten der Informatik, um Berechnungen zu automatisieren.

Eigenständige Programme bieten i.d.R. zusätzlich den Import, Export sowie die dauerhafte Speicherung der Daten in einer Datenbank an. Dies setzt eine durchdachte Datenmodellierung voraus. Wesentlicher Bestandteil heutiger GIS-Anwendungen ist auch eine Möglichkeit zur graphischen Darstellung der Daten. Hier spielt die Computergraphik eine bedeutende Rolle. Im Zeitalter des Internets finden Verteilte Systeme zunehmende Verbreitung.

2.6 Die Geoinformatik

Die Geoinformatik vereint vieles aus den bisher genannten Grundlagen. Insbesondere die Art der Datenhaltung und Datenmodellierung sowie die Visualisierungsund Analysemöglichkeiten zeichnen GIS-Anwendungen aus. Dabei gibt es gegenüber der Informatik und auch den anderen klassischen Fachrichtungen viele Erweiterungen und Spezialisierungen. Davon soll im Kapitel über Geoinformatik die Rede sein.

Kapitel 3

Grundlagen aus der Mathematik

Die Mathematik ist natürlich viel zu umfangreich, um hier vollständig dargestellt zu werden. Im Folgenden sollen nur die für die Niedere Geodäsie, Kartographie und Geoinformatik wesentlichen Teilgebiete herausgenommen werden.

3.1 Trigonometrie

Die Trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens, deren Inverse und weitere trigonometrische Funktionen treten sowohl in der Geodäsie (z.B. bei Transformationen) als auch in der Kartographie (z.B. bei Projektionen) häufig auf.

Bei der Programmierung ist zu beachten, daß die meisten Programmiersprachen Funktionsargumente in Radiant erwarten. Radiant ist die Angabe in Vielfachen von π und wird in Formeln als rad geschrieben.

3.1.1 Das Bogenmaß

Der Umrechnungsfaktor zwischen Gradmaß (Altgrad) und Bogenmaß beträgt:

Für Neugrad (Gon) gilt folgender Umrechnungsfaktor:

Diese Erwähnung klingt banal, der falsche oder vergessene Umrechnungsfaktor führt jedoch in längeren Berechnungen (Programmen) oft zu ärgerlichen Ergebnissen.

3.1.2 Das Rechtwinklige Dreieck

Formeln zur Auflösung des Rechtwinkligen Dreiecks treten in der Geodäsie sehr häufig auf. Die dem Rechten Winkel gegenüberliegende Seite bezeichnet man als Hypotenuse, die beiden anderen Seiten als Katheten. Deshalb hier die Definitionen der grundlegenden Trigonometrischen Funktionen im Rechtwinkligen Dreieck als Merkregeln:

Weitere mathematische Zusammenhänge wie z.B. trigonometrische Identitäten entnehme man einer Formelsammlung!

3.2 Statistik

Auch die Statistik ist ein großes Teilgebiet der Mathematik; hier werden nur grundlegende Verfahren und Teilbereiche skizziert (mehr dazu im zweiten Teil dieses Buchs!).

3.2.1 Beschreibende Statistik

Die Beschreibende Statistik berechnet aus einem Datenbestand empirische Größen, welche diese Daten charakterisieren. Das Ergebnis sind z.B. Häufigkeitsverteilungen

(Histogramme), Mittelwerte (arithmetisches Mittel, geometrisches Mittel, gewichtetes Mittel, Median) und Streuungsgrößen (Varianz, Standardabweichung).

Arithmetisches Mittel und Varianz σ2 bzw. Standardabweichung σ sind die am häufigsten verwendeten Größen, daher hier ihre Formeln (für n Werte xi):

Der Medianq50 ist ein Mittelwert, der von Ausreißern weniger stark beeinflusst wird als die anderen Mittelbildungen. Die zu verarbeitenden Zahlenwerte xi müssen zuerst sortiert werden und der „mittlere“ Index gebildet werden, dann gibt es zwei Fälle:

Hierbei ist FIX() die Fixum-Funktion, die zum nächsten ganzzahligen Wert abrundet.

3.2.2 Analytische Statistik

In der Analytischen Statistik werden Beziehungen innerhalb der Daten aufgedeckt. Hier treten z.B. Fragen nach den Zusammenhängen zwischen zwei oder mehr Variablen auf (Korrelation, Regression), die bis zu Klassifikationsmethoden (Minimum-Box-Klassifikation, Distanz-Klassifikation, Maximum-Likelihood-Klassifikation) reichen.

3.3 Matrizenrechnung

Die Matrizenrechnung ist im Zeitalter des Computers die optimale Form zur Darstellung und direkten Umsetzung von bestimmten Gleichungssystemen. Die meisten Computeralgebra-Systeme bauen auf Matrizen und ihren Anwendungen auf, z.B. MATLAB, Maple und Mathematica (kommerziell) oder FreeMat und Scilab (Open-Source).

3.3.1 Vektoren und Matrizen

Matrizen können als eine rechteckige Anordnung von Zahlenwerten bzw. Ausdrücken beschrieben werden. Die angeordneten Zahlenwerte werden auch als Elemente der Matrix bezeichnet.

Es folgen einige grundlegende Vektor- und Matrix-Eigenschaften:

Ordnung einer Matrix

Die Ordnung einer Matrix A ist durch die Anzahl ihrer Zeilen und Spalten bestimmt.

Hinweis: Dieser Begriff ist nicht mit dem Rang einer Matrix zu verwechseln, der die linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten angibt.

Transponierte einer Matrix

Eine Matrix A kann transponiert werden, indem Zeilen und Spalten vertauscht werden. Die transponierte Matrix schreibt man A′ oder manchmal auch AT.

Vektor als Sonderfall einer Matrix

Eine Matrix, die nur aus einer einzelnen Zeile oder Spalte besteht, wird als Vektor bezeichnet. Es gibt Zeilen- und Spaltenvektoren, je nachdem welche Dimension die Ordnung 1 hat.

3.3.2 Matrizenalgebra

Für Matrizen können ähnliche Rechenregeln definiert werden wie für einzelne Zahlen, die im Zusammenhang mit Matrizen auch als Skalare bezeichnet werden.

Das Skalarprodukt

Ein Zeilenvektor a′ und ein Spaltenvektor b gleicher Ordnung n bilden ein Skalarprodukt wie folgt (das Ergebnis ist eine Zahl, ein Skalar):

Addition und Subtraktion von Matrizen

Zwei Matrizen A und B gleicher Ordnung werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die an gleicher Stelle stehenden Elemente addiert bzw. subtrahiert:

Multiplikation von Matrizen

Das Produkt einer Matrix A mit einer Matrix B ist nur möglich, falls die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt. Jedes Element der neuen Matrix entsteht aus dem Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B:

Inverse von Matrizen

Nicht immer existiert die Inverse; falls dies der Fall ist, gibt es zu deren Ermittlung bestimmte Rechenverfahren. Das bekannteste ist die Gauß-Elimination, die auch zur Lösung von Gleichungssystemen in Matrizenform verwendet wird.

3.3.3 Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme können mit Matrizen und Vektoren gut dargestellt werden. Sie treten in vielen Ingenieurwissenschaften auf, in der Geodäsie u.a. in der Ausgleichungsrechnung (siehe Kapitel Höhere Geodäsie).

Es wird ersichtlich, daß es sich im Fall von gesuchten dreidimensionalen Koordinaten xi um drei Gleichungen handelt. Mittels sogenannter Eliminationsverfahren können die Unbekannten bestimmt werden. Für nähere Informationen siehe entsprechende Mathematik-Literatur (bzw. Beispiele im zweiten Teil dieses Buchs).

3.4 Analytische Geometrie

Die Analytische Geometrie beschreibt Geraden, Ebenen und andere Körper im dreidimensionalen Raum mit Hilfe von parametrisierten Gleichungen. Auch Schnitte dieser Objekte und andere Berechnungen sind auf diese Weise lösbar.

3.4.1 Gleichungen von Geraden und Ebenen

In die parametrisierten Gleichungen gehen die Koordinaten der definierenden Punkte ein. Die Gleichung einer Geraden mit den Endpunkten p und q hat folgende Formen:

Die Gleichung einer Ebene durch die Punkte p, q und r hat folgende Formen:

3.4.2 Schnitte von Geraden und Ebenen

Bei Schnitten zwischen Geraden und Ebenen entsteht ein Lineares Gleichungssystem, für das die Parameter gesucht sind.

Als Beispiel sei hier der Schnitt zweier Geraden vorgestellt. Zum Finden der Lösung werden die beiden Geradengleichungen gleichgesetzt:

3.5 Interpolationsverfahren

Interpolationsverfahren erlauben die Berechnung von Werten (z.B. Höhe) an Stellen, wo keine Messung stattgefunden hat. Da es unterschiedliche (statistische) Verfahren gibt, die auch zu unterschiedlichen Werten führen können, spricht man auch von einer Schätzung. Drei grundlegende Interpolationsverfahren sollen kurz beschrieben sein.

3.5.1 Lineare Interpolation auf der Linie

Lineare Interpolation auf der Linie tritt z.B. bei der Interpolation von Höhenlinien auf. Seien hU und hO die Höhenangaben unten bzw. oben, s der Abstand zwischen den Höhenkoten, d der vorgegebene Höhenlinienabstand und h01 der erste runde Höhenwert, so ergibt sich folgende Berechnung:

Hierbei ist FIX() die Fixum-Funktion, die zum nächsten ganzzahligen Wert abrundet.

3.5.2 Lineare Interpolation in Dreiecken

Die Ebene durch die drei Eckpunkte eines Dreiecks lässt sich darstellen als

Der Interpolationswert des Punktes P lässt sich demnach berechnen, wenn die Koeffizienten ai bekannt sind. Diese errechnen sich aus den Koordinaten (xi yi zi) der Eckpunkte Pi und des Interpolationspunktes P aus

Dieses Interpolationsverfahren ist einfach in Bezug auf die Interpolationsformel. Es muss jedoch eine Dreiecksvermaschung (z.B. Delaunay-Triangulation) über die Stützpunkte berechnet und für jeden Interpolationspunkt das Dreieck bestimmt werden, in dem er liegt.

3.5.3 Korrelationsverfahren

Das Korrelationsverfahren ermittelt den Interpolationswert im Punkt P aus den n Stützpunktwerten zi durch das gewichtete arithmetische Mittel

Die Gewichtepi werden streckenproportional festgelegt, wobei meist der inverse oder der inverse quadratische Abstand zwischen Interpolationspunkt P und dem jeweiligen Stützpunkt Pi verwendet wird:

Dieses Interpolationsverfahren ist ebenfalls sehr einfach in Bezug auf die Interpolationsformel. Für die Auswahl der Stützstellen für den jeweiligen Interpolationspunkt muss ein geeignetes Nachbarschaftskriterium (z.B. Punktanzahl, Radius) verwendet werden.

3.6 Affine Abbildungen

Eine affine Abbildung (affine Transformation) ist eine Abbildung zwischen zwei affinen Räumen, bei der Parallelität, Kollinearität und Teilverhältnisse erhalten bleiben. In Matrixschreibweise stellt sie sich so dar:

Die Mathematik teilt die Affinitäten nach der Anzahl ihrer Fixpunkte ein. Dabei unterscheidet man Achsenaffinitäten, Affinitäten mit einem Zentrum und Affinitäten ohne Fixpunkt. Für unsere Zwecke ist die Drehstreckung als ein Fall der Affinitäten mit einem Zentrum von Bedeutung (Koordinaten-Transformation):

wobei r der Streckfaktor und φ der Drehwinkel sind.

3.7 Topologie

Die Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik, die dem Ingenieur-Studenten in der Regel vorenthalten wird. Die Grundlegenden Strukturen und Definitionen eines Teilgebiets der Topologie sind jedoch nicht schwer nachzuvollziehen - und ohne Topologie kein Routing!

3.7.1 Topologie allgemein

Die Topologie ist ein Zweig der Mathematik, die sich mit den Eigenschaften geometrischer Gebilde beschäftigt, die bei umkehrbar eindeutigen, stetigen Abbildungen invariant bleiben. Die metrischen Verhältnisse spielen dabei keine Rolle, es kommt lediglich auf die gegenseitige Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum an.

Die Topologie im Allgemeinen ist ein größeres Teilgebiet als im folgenden dargestellt wird. Insbesondere die Graphentheorie spielt für Anwendungszwecke eine wichtige Rolle. Am Beispiel des Routings soll sie nun erläutert werden.

3.7.2 Die Graphentheorie

Der Teil der Topologie, der für die Geoinformatik interessant ist, wird auch als Graphentheorie bezeichnet. Ein Graph besteht aus einer Menge von Knoten, einer Menge von Kanten und einer Abbildung, die jeder Kante je zwei Knoten zuordnet. Bezogen auf ein Routing spielen die Orte die Rolle der Knoten und die zwischen den Orten liegenden Verkehrswege die der Kanten.

Zu den Begriffen Knoten und Kanten gibt es weitere Begriffe und Definitionen. Einer der hier wichtigen ist wohl der des Kantenzugs: Kommt in einer Kantenfolge keine Kante zweimal vor, spricht man von einem Kantenzug.

Auch ein Bewerteter Graph kommt beim Routing vor: Wird jeder Kante eine reelle Zahl zugeordnet, so erhält man einen bewerteten Graphen. Die sog. Kantenwerte beschreiben in der Anwendung z.B. die Entfernung zwischen den Knoten oder die Geschwindigkeit, mit der die Verkehrswege befahren werden können.

Das Wesentliche für ein Routing ist nun bereit: Die Zuordnungen zwischen Knoten und Kanten werden i.d.R. mit Hilfe von Matrizen (s.o.) beschrieben. Dabei steht beim Unbewerteten Graphen dort eine 1, wo eine solche Zuordnung besteht, ansonsten eine 0. Beim Bewerteten Graphen steht anstelle der 1 eine Angabe über die Entfernung oder die Geschwindigkeit. Das Routing sucht einen optimalen Kantenzug, der den kürzesten oder den schnellsten Weg darstellt. Hierfür gibt es Rechenverfahren, die systematisch diesen Weg ermitteln können. Das bekannteste unter ihnen ist der Dijkstra-Algorithmus.