Kursziele bestimmen mit Fibonacci E-Book

Karin Roller

• Herausgeber: FinanzBuch Verlag
• Kategorie: Fachliteratur
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2020

Seitenzahl: 196

Beschreibung

»Die Gesetze der Massenpsychologie folgen der Fibonacci-Zahlenreihe.« Mit dieser fundamentalen These kann die zentrale Prämisse der Anhänger von Fibonacci-Techniken, insbesondere der Elliott-Wellen-Theorie, beschrieben werden. Tatsächlich sind in Kursverläufen immer wieder Fibonacci-Zahlen und -Relationen anzutreffen. Dies gilt nicht nur für die Verhältnisse von Trend und Korrektur (Retracements), sondern auch für die Verhältnisse der Trend- und Impulsbewegungen zueinander. Auch für die zeitliche Dimension zwischen Hoch- und Tiefpunkten stellen Fibonacci-Techniken oftmals ein adäquates Analyse-Instrument dar. Karin Roller beschreibt kurz, prägnant und leicht verständlich theoretische Hintergründe und vermittelt leicht nachvollziehbare Beispiele aus der Praxis.

Leseprobe

Karin Roller

Kursziele bestimmen mit Fibonacci

TITEL DER SIMPLIFIED-BUCHREIHE

Wieland Arlt

Risiko- und Money-Management

Holger Bengs | Mike Bayer

Investieren in Biotechnologie

Norbert Betz | Ulrich Kirstein

Börsenpsychologie

Andreas Braun

Social Trading

Andreas Braun

Nachhaltig investieren

Ed Downs

Die besten Chartmuster

Georg Eckert

Die Privatanlegerbibel

Judith Engst

Erben und vererben

Horst Fugger

Börsenlexikon

Lars Gottwik

Rainbow-Trading

Peter Hasler

Unternehmensanleihen

Markus Jordan

Zertifikate

Jay Kaeppel

Die 4 größten Fehler beim Handel mit Optionen

Dennis Metz

Devisenhandel

Markus Miller

Abgeltungssteuer – Nein danke!

David Morgan

Insiderwissen: Silber

Dr. Klaus Mühlbauer

Die 133 wichtigsten Fragen und Antworten zur Vermögensanlage

Melvin Pasternak

Die 21 wichtigsten Candlestick-Formationen

Michael J. Plos

Alles, was Sie über Day-Trading wissen müssen

Michael Proffe

Die besten Trendfolgestrategien

Stefan Riße

CFDs

Karin Roller

Kursziele bestimmen mit Fibonacci

Christopher A. Runge | Martin Užík | Konstantin von Reden-Lütcken

Alternative Wege der Unternehmensfinanzierung

Arne Sand | Max Schott

Die besten Dividenden-Aktien

Raimund Schriek

Besser mit Behavioral Finance

Daniel Schütz

Trading für Einsteiger

Daniel Schütz

CFD-Trading

Engst | Morrien

Depotabsicherung leicht gemacht

Norman Schwarze

Depotabsicherung leicht gemacht

André Tiedje

Elliott-Wellen leicht verständlich

Michael Vaupel

Mehr Geld verdienen mit Rohstoffen

Martin Voigtmann

Geschlossene Fonds

Harald Weygand

Short Selling

Daniel Wilhelmi

BRIC ist die Zukunft

www.simplified.de

Karin Roller

KURSZIELEBESTIMMEN MITFIBONACCI

Korrektorat: Manuela Kahle

Umschlaggestaltung: Pamela Machleidt, München

Satz: Bernadette Grohmann, Röser MEDIA GmbH

eBook: ePubMATIC.com

3. Auflage der 5., komplett überarbeiteten und erweiterten Auflage 2024

© 2012 by FinanzBuch Verlag, ein Imprint der Münchner Verlagsgruppe GmbH,

Türkenstraße 86

D-80799 München

Tel.: [phone]

Für Fragen und Anregungen:

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ISBN Print 978-3-95972-337-4

ISBN E-Book (PDF) 978-3-96092-620-7

ISBN E-Book (EPUB, Mobi) 978-3-96092-621-4

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Inhalt

Vorwort zur 5. Auflage

Vorwort zur 1. Auflage

Über dieses Buch

Zum inhaltlichen Aufbau

Kapitel 1: Der Goldene Schnitt – der geheime Code

Chronologie zum Goldenen Schnitt

Variationen des Goldenen Schnitts

Kapitel 2: Die Fibonacci-Zahlenfolge

Kapitel 3: Die Anwendung in der Preisachse

3.1 Retracements

3.2 Extension – Variante 1

3.3 Projektion – Variante 2

3.4 Expansion – Variante 3

3.5 Treffergenauigkeit der Fibonacci-Ratios

3.6 Relevanz von Fibonacci-Ratios

3.7 Klappt das bei allen Instrumenten und in allen Zeithorizonten?

3.8 Die vier Varianten – aus einem anderen Blickwinkel

Kapitel 4: Muster mit Fibonacci-Ratios

4.1 ABC-Muster oder 1-2-3-Muster

4.2 ABCD-Muster

4.3 Gartley-Pattern

4.4 Butterfly-Pattern

4.5 Zusammenfassung: Muster

Kapitel 5: Anwendungsvarianten

5.1 Fibonacci-Kanäle

5.2 Fibonacci-Fächer

5.3 Zusammenfassung: Anwendungsvarianten

Kapitel 6: Die Anwendung in der Zeitachse

6.1 Fibonacci-Zeitziele

6.2 Fibonacci-Zeitprojektion

Anhänge

Anhang I – Technische Analyse

Anhang II – Dow-Theorie

Anhang III – Formationsanalyse

Anhang IV – Indikatoren und Oszillatoren

Anhang V – Elliott-Waves-Principle

Anhang VI – Candlesticks

Anhang VII – Traders Trick Entry*

Zusammenfassung – Schlussfolgerung

Abbildungsverzeichnis

Chartsoftware

Literaturliste

Über die Autorin

DIE SIMPLIFIED-BUCHREIHE

Vorwort zur 5. Auflage

Von Dr. Raimund Schriek – Autor von Du bist Trader!

Großartig wie Karin Roller bereits in der fünften Auflage Leser für Fibonacci begeistert. Die hohe Nachfrage belegt eindrucksvoll, dass sich Fibonacci-Anwendungen mittlerweile zu grundlegenden Tools der Technischen Analyse gemausert haben. Sprüche wie »das ist mir zu esoterisch« oder »daran muss man glauben« gehören längst der Vergangenheit an.

Vorrangiges Ziel von Geldanlage und Trading sollte es sein, Geld zu verdienen. Und das kann gelingen, wenn einerseits Risiken begrenzt und andererseits sinnvolle Kursziele ermittelt werden. Der Buchtitel verspricht »Kursziele bestimmen mit Fibonacci« und hält es auch. Kaufen Sie dieses Buch und machen Sie sich mit Fibonacci-Anwendungen vertraut. So verschaffen Sie sich den entscheidenden Vorsprung gegenüber anderen Marktteilnehmern.

Die Gründe, warum Sie sich intensiv mit Fibonacci beschäftigen sollten, sind vielfältig: In gewisser Weise entschlüsseln Sie mit Fibonacci die Märkte, mehr noch: Der regelmäßige Einsatz trägt dazu bei, dass Ihre Trades eine klare Struktur bekommen: Realistische Kursziele können punktgenau bestimmt, mögliche Rücksetzer aufgespürt werden, wodurch es möglich ist, bestehende Positionen anzupassen, und schlussendlich sind Sie auch in der Lage, Stopps an den richtigen Stellen zu platzieren.

Karin Roller erläutert anschaulich die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten der magischen Zahlfolge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ... Sie hat in dieser Auflage sämtliche Charts und Texte aktualisiert. Besonders wertvoll ist das hinzugefügte Kapitel über den statistischen Nachweis, dass Fibonacci tatsächlich funktioniert. So bringt sie auch die letzten Skeptiker auf ihre Seite.

Trading mit geringem Risiko und großer Chance, davon träumen Geldanleger und Trader. Mit Fibonacci wird dieser Traum war – gleichermaßen für Anfänger wie Fortgeschrittene.

Vorwort zur 1. Auflage

Von Dr. Raimund Schriek – Autor von Besser mit Behavioral Finance

Fibonacci – allein der Klang ist für viele Musik in den Ohren. Fibonacci-Verhältnisse sind etwas Natürliches, etwas von Rhythmik Bestimmtes und finden sich überall. Und doch gewinnt man immer wieder den Eindruck, dass das auf den ersten Blick nicht Sichtbare und dadurch schwieriger zu Beweisende, die Kritiker per se auf den Plan ruft.

Fibonacci-Verhältnisse werden als angenehm, teilweise sogar als vollendet wahrgenommen. Der Mensch als Teil der Natur wendet Fibonacci bewusst und auch unbewusst in der Musik, der Kunst und der Architektur an. Wieso sollten Fibonacci-Verhältnisse dann nicht auch in von Menschen hervorgerufenen Bewegungen der Märkte eine Rolle spielen?

Der Grund, warum Marktanalyse unter Berücksichtigung von Fibonacci in eine sogenannte esoterische Ecke geschoben wird, liegt darin, dass Beweise für eine allgemeine Gültigkeit fehlen. Derartige Vorbehalte kenne ich auch aus dem Bereich der Finanzpsychologie. Ob das Wissen um Fibonacci-Verhältnisse ursächlich für das Auffinden in den Märkten ausschlaggebend ist oder ob es sich tatsächlich um eine sich selbst erfüllende Prophezeiung handelt, ist zweitrangig, solange es funktioniert.

Der ad absurdum geführte Homo oeconomicus gewinnt ein bisschen an Kontur, wenn er wenigstens sein Risiko managt. Das, was für Sie als Trader oder Anleger oberste Priorität haben sollte, sind risikoarme Einstiege, die mit Fibonacci unter Beachtung weniger Regeln in vielen liquiden Märkten möglich sind. Letztlich finden Sie so natürlich auch sinnvolle Ausstiegspunkte.

Karin Roller ist es mit dieser auf den Punkt gebrachten kompakten Darstellung gelungen, Ihnen die Welt und die Möglichkeiten von Fibonacci aufzuzeigen. Fibonacci ist kein Allheilmittel. Dennoch: Mit diesem Wissen und dessen Anwendung eröffnet sich Ihnen ein weiterer Zugang, vielleicht auch tieferes Verständnis für die Bewegungen der Märkte, den Sie gewinnbringend für sich nutzen können.

Über dieses Buch

Jeder Trader – ob langfristig oder kurzfristig orientiert – kennt die Herausforderung: Da hat man einen guten Einstieg gefunden – ob rein diskretionär, aufgrund fundamentaler Daten, mit einem ausgefeilten Handelssystem oder mithilfe Technischer Analyse –, doch wann realisiert man seine Gewinne? Wo sichert man seine Position ab? Wann also aussteigen? Schließlich möchte nicht jeder seine Wertpapiere vererben ...

Grundsätzlich sollte gelten: Wer Wertpapiere kauft, sollte sich auch Gedanken über den Verkauf machen. Denn der Akt des Kaufens ist in der Regel mit »sich viele Gedanken machen und informieren« verbunden. Und wenn man sich schon so viele Gedanken über den Einstieg macht, sollte man sich auch mit dem Ausstieg befassen.

Für den Ausstieg gibt es jede Menge Timing-Möglichkeiten: ein fixer Euro-Betrag, eine prozentuale Gewinn- oder auch Verlustgrenze oder eine zeitliche Dimension, zum Beispiel vor oder nach der Hauptversammlung beziehungsweise der Dividendenausschüttung oder zum Jahreswechsel.

Und hier kommt Fibonacci ins Spiel. Die Zahlenfolge, mit der sich allerhand mathematische Spielereien anstellen lassen und mit welcher der Goldene Schnitt in engem Zusammenhang steht. Kursziele lassen sich mit Fibonacci-Ratios berechnen.

Es gibt jede Menge wissenschaftliche Arbeiten, die der Kurszielberechnung mit Fibonacci nicht mehr beimessen als Zufall. Andere wissenschaftliche Arbeiten liefern wiederum das Ergebnis, dass Fibonacci-Kursziele signifikante Wendepunkte im Markt darstellen. Diesen Widerspruch gilt es unter anderem in diesem Buch zu lösen.

Fibonacci – für die einen der Heilige Gral, für die anderen Esoterik. Die Wahrheit liegt – wie nicht anders zu erwarten – irgendwo dazwischen. Grundsätzlich gibt es keinen rationalen Grund, wieso sich die Entwicklung von Börsenkursen an Fibonacci-Ratios halten soll. Der Goldene Schnitt ist in der Natur allgegenwärtig – aber in den Finanzmärkten? Tatsache ist allerdings, dass viele Händler Fibonacci-Ratios zur Kurszielbestimmung verwenden. Auch im automatisierten Handel, dem Algo-Trading, werden Fibonacci-Ratios verwendet.

Im Wertpapierhandelsgesetz wird der algorithmische Handel beschrieben als »Handel mit Finanzinstrumenten, dass ein Computeralgorithmus die einzelnen Auftragsparameter automatisch bestimmt … Auftragsparameter … sind insbesondere Entscheidungen, ob der Auftrag eingeleitet werden soll, über Zeitpunkt, Preis oder Quantität des Auftrags oder wie der Auftrag nach seiner Einreichung mit eingeschränkter oder überhaupt keiner menschlichen Beteiligung bearbeitet wird.«

Und nichts ist leichter, als einen Algo so zu programmieren, dass an einem bestimmten Fibonacci-Ratio eine Position eröffnet werden soll oder Gewinne mitgenommen werden sollen.

Egal, was wir vom Einsatz von Algos halten, hier sollten wir pragmatisch ganz nach dem Motto Avoid it or exploit it vorgehen. Salopp übersetzt heißt das: Vermeide es oder nutze es aus. Wir als kleiner Fisch im Haifischbecken sollten unser Fibonacci-Wissen nutzen!

Damit ist es grob fahrlässig, diese Methode als Irrglauben abzutun. Selbst wenn es keinen rationalen Grund gibt, an den Einfluss von Fibonacci in den Finanzmärkten zu glauben – wenn es die Mehrheit der Händler anwendet, wird diese Methode nach dem Prinzip der Selffulfilling Prophecy1 funktionieren. Solche Phänomene sind in den Finanzmärkten nicht ungewöhnlich, sie sind Studienobjekt in einem relativ jungen Teilgebiet der Wirtschaftswissenschaften, den Behavioral Economics. Sie beschäftigt sich mit menschlichem Verhalten in wirtschaftlichen Situationen. Dabei werden Konstellationen untersucht, in denen Menschen im Widerspruch zur Modell-Annahme des Homo oeconomicus, also des rational handelnden Menschen und Nutzenmaximierers, agieren. Das Spezialfeld Behavioral Finance beschäftigt sich mit irrationalem Verhalten in den Finanz- und Kapitalmärkten.

Um die verschiedenen Fibonacci-Tools erfolgreich zu nutzen, müssen sie zuerst korrekt angewendet und in ihrer Aussage verstanden werden. Dann gilt es, durch das Studium der historischen Marktbewegungen eines Finanzinstrumentes zu verifizieren, ob sich Fibonacci-Ratios in den Marktbewegungen widerspiegeln, und falls ja, an welchen Ratios in diesem Markt besonders häufig Wendepunkte ausgebildet werden. Wenn ja – dann verwendet der »Markt« – das sind die Akteure in diesem Finanzinstrument – Fibonacci zur Kurszielbestimmung. In diesem Fall kann man davon ausgehen, dass der Markt auch in Zukunft Fibonacci-Tools zur Kurszielbestimmung verwenden wird.

Auch wenn es für die Verwendung der Fibonacci-Ratios keine rationale Begründung gibt, so sind sie doch ein nützliches Werkzeug, um das Verhalten vieler Händler am Markt zu prognostizieren. Aus diesem Grund sind die Fibonacci-Tools sinnvolle und wirksame Bestandteile einer Handelsstrategie.

Vielleicht gelingt es mir mit diesem Buch über Fibonacci, den einen oder anderen Skeptiker davon zu überzeugen, dass Fibonacci-Tools eine sinnvolle Ergänzung der Handelsstrategie darstellen. Wenn Sie zu den überzeugten Fibonacci-Anwendern gehören, können Sie Ihr Wissen vertiefen oder auch die Ihnen unbekannten Methoden in Ihr Repertoire übernehmen.

Ein Dankeschön auch an alle, die mich auf meinem Weg, ein Buch über Fibonacci und deren Anwendung in der Praxis zu schreiben, unterstützt und begleitet haben.

Senden Sie Ihr Feedback gerne an [email protected]

Zum inhaltlichen Aufbau

Bücher lesen kann man auf vielerlei Arten, zum Beispiel konsequent und systematisch von der ersten bis zur letzten Seite durchlesen. Oder selektiv, zuerst die spannendsten Kapitel und dann die weniger spannenden – bei einem Krimi nicht unbedingt sinnvoll, bei einem Fachbuch wie diesem eine durchaus zielführende Variante.

Damit Sie sich, werte Leserinnen und Leser dieses Buches, die sich einem Buch eher selektiv nähern, zügig orientieren können, finden Sie hier eine kleine Übersicht der einzelnen Kapitel:

Kapitel 1

beinhaltet eine Chronologie zum Goldenen Schnitt und einigen Variationen des Goldenen Schnitts.

In

Kapitel 2

wird dann die Mathematik erklärt, die hinter den Fibonacci-Zahlen und -Ratios steckt. Die Fibonacci-Ratios können in einem Chart in der Preisachse und in der Zeitachse angewendet werden. (Die Preisachse ist die Y-Achse und damit die vertikale Achse im Chart, die Zeitachse ist die X-Achse und damit die horizontale Achse im Chart, siehe

Abbildung 95

).

In

Kapitel 3

wird die Anwendung von Fibonacci-Ratios in der Preisachse gezeigt: Retracement, Extension, Projektion und Expansion.

In

Kapitel 4

werden einige Muster vorgestellt, die auf Fibonacci-Ratios basieren: das ABC-Muster, das Gartley-ABCD-Muster, das Gartley-222-Muster und das Schmetterlingsmuster.

In

Kapitel 5

finden Sie zwei Anwendungsvarianten: Fibonacci-Kanäle und Fibonacci-Fächer.

Im abschließenden

Kapitel 6

erwartet Sie dann noch die Anwendung von Fibonacci-Zahlen und Fibonacci-Ratios in der Zeitachse.

In den Anhängen werden »simplified« Einführungen in Themen gegeben, die im Verlauf des Buches angesprochen wurden:

Anhang I

: Technische Analyse

Anhang II

: Dow-Theorie

Anhang III

: Formationsanalyse

Anhang IV

: Indikatoren und Oszillatoren + Berechnung und Interpretation des MACD-Indikators und MACD-Histogramms

Anhang V

: Elliott-Wellen-Theorie

Anhang VI

: Candlesticks

Anhang VII

: Traders Trick Entry

2

Kapitel 1: Der Goldene Schnitt – der geheime Code

Chronologie zum Goldenen Schnitt

Der Goldene Schnitt (lat.: sectio aurea), auch Göttliche Teilung (lat.: proportio divina) genannt, fasziniert die Menschheit bereits seit Jahrtausenden. In der Natur ist der Goldene Schnitt allgegenwärtig. In der griechischen Antike galt er als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie und fand in der Architektur und der Kunst seine Anwendung.

Die frühen Baumeister haben den Goldenen Schnitt, einem nur für Eingeweihte zugänglichen Geheimnis von »Maß und Zahl«, als Stilmittel in den Proportionen ihrer Bauwerke umgesetzt.

Einige Beispiele: In den Schriften des griechischen Geschichtsschreibers Herodot (* um 490/480 bis 424 v. Chr.) soll geschrieben stehen, dass das Verhältnis der Wand der Cheopspyramide zu ihrer Höhe dem Goldenen Schnitt entspricht. Zum besseren Verständnis ist dieses Beispiel als Skizze in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1: Cheopspyramide

Zufall? Oder kannte der Baumeister bereits das Geheimnis von Maß und Zahl?

Auch beim Parthenon, bei vielen gotischen Kathedralen, wie zum Beispiel der Kathedrale von Chartres oder bei modernen »Tempeln« wie zum Beispiel der Walhalla bei Regensburg wurde der Goldene Schnitt in den Proportionen berücksichtigt.

Der Architekt Le Corbusier3 entwickelte ein Proportionssystem (Modulor), basierend auf den menschlichen Maßen und dem Goldenen Schnitt.

Mathematisch dargestellt wurde der Goldene Schnitt erstmals von Euklid4 (* um 360 bis ca. 280 v. Chr.) in seinem berühmtesten Werk Die Elemente. Er teilte eine Linie in ein »äußeres und ein mittleres Verhältnis« (proportio habens medium et duo extrema). Die Strecke L wird so zweigeteilt, dass sich das größere Segment (der Major) zum kleineren Segment (der Minor) so verhält wie die Summe aus beiden zum größeren Segment:

Abbildung 2: a verhält sich zu b wie (a + b) zu a

Abbildung 2: Goldener Schnitt

Wie kann die Strecke L entsprechend dem Goldenen Schnitt geteilt werden?

Die in der Geometrie verwendeten Konstruktionsverfahren beschränken sich auf die Verwendung von Zirkel und Lineal (ohne Skala). Für die göttliche Teilung gibt es jede Menge Verfahren, auch Euklid hat eines dazu beigesteuert (Abbildung 3):

Abbildung 3: Innere Teilung nach Euklid

Euklid selbst verwendete nicht den Begriff Goldener Schnitt – dieser stammt von Luca Pacioli aus dem späten Mittelalter.

Leonardo da Pisa (* um 1180 in Pisa, † um 1241) ist der bedeutendste Mathematiker des Mittelalters. Der Beiname Fibonacci ist zurückzuführen auf Bonaccio, dem Namen des Großvaters. Filius Bonacii – Sohn des Bonaccio –, daraus wurde dann Fibonacci. Über die Biografie Fibonaccis ist nur wenig bekannt. Der Kaufmannssohn bereiste Nordafrika und Arabien und lernte nicht nur das Rechnen mit den neun indo-arabischen Ziffern, sondern auch die Null kennen. In Europa wurde zu dieser Zeit noch mit römischen Ziffern gerechnet, mit welchen keine höhere Mathematik möglich war – ein echter Hemmschuh für die Weiterentwicklung der Wissenschaften in der damaligen Zeit.

In seinem Hauptwerk Liber Abbaci (erschienen 1202) stellte er der lateinisch sprechenden Welt die Vorzüge der neun indo-arabischen Ziffern und der Null vor und etablierte das noch heute verwendete Zahlensystem im mittelalterlichen Europa.

Leonardo da Pisa gehörte zum Gelehrtenkreis um den Staufer-Kaiser Friedrich II5. Von diesem soll die »Kaninchen-Aufgabe« gestellt worden sein. Das ist das Beispiel mit dem Kaninchen-Paar, das nach jedem zweiten Monat ein weiteres Paar Kaninchen wirft (in Abbildung 4 dargestellt). Die Nachkommen verhalten sich ebenso. Die Kaninchen leben unter idealen Bedingungen, sie sind unsterblich, von außen kommen keine hinzu, und sie können ihr Paradies nicht verlassen.

Abbildung 4: Kaninchenaufgabe – Herleitung der Zahlenfolge

Aus dieser Kaninchen-Aufgabe heraus lässt sich die Fibonacci-Zahlenfolge entwickeln (Details zur Fibonacci-Zahlenfolge in Kapitel 2).

Leonardo da Pisa hat sich allerdings nicht weiter mit der Zahlenfolge beschäftigt, er stellte auch keinen Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt her, der ihm bekannt war. Erst Édouard Lucas6 – der über 600 Jahre später lebte – hat dieser Zahlenfolge den Namen »Fibonacci Sequence« gegeben.

Der Franziskanermönch und Mathematiker Luca Pacioli7 (* um 1445 – 1514) aus Florenz soll als Erster den Begriff divina proportio (Göttliche Teilung) verwendet haben. Sein Buch De divina proportione erschien 1509 und wurde von Leonardo da Vinci8 (1452–1519), seinem Mathematikschüler, illustriert. Von diesem Universalgenie stammt die Darstellung des Menschen in Quadrat und Kreis (homo ad quadratum et circulum), der vitruvianische Mensch. In dieser Zeichnung ist der Goldene Schnitt im Verhältnis der Seitenlänge des Quadrats zum Radius des Kreises verewigt. Diese Federzeichnung Leonardo da Vincis findet sich auf der Rückseite der italienischen Variante der 1-Euro-Münze (Abbildung 5).

Abbildung 5: Rückseite der italienischen 1-Euro-Münze

Der Mathematiker, Physiker und Astronom Johannes Kepler9 (1571–1630) hat den Zusammenhang zwischen der Fibonacci-Zahlenfolge und dem Goldenen Schnitt aufgezeigt. Von ihm stammt die Bezeichnung sectio divina (Göttlicher Schnitt).

Die erste bekannte Berechnung des Goldenen Schnitts als »ungefähr 1,6180340« schrieb der Tübinger Professor Michael Maestlin 1597 in einem Brief an seinen früheren Schüler Johannes Kepler.

In der Zeitreihe erscheint dann Édouard Lucas (1842–1891), der der Zahlenfolge den Namen Fibonacci-Zahlenfolge gegeben hat. Lucas stellte auch eine eigene Zahlenfolge auf, die sich nach derselben Gesetzmäßigkeit wie die Fibonacci-Zahlenfolge errechnet. In der Lucas-Zahlenfolge werden jedoch andere Startwerte verwendet. Näheres dazu finden Sie in Kapitel 2.

Der amerikanische Mathematiker Mark Barr hat dann um 1909 den Goldenen Schnitt mit der heute üblichen Bezeichnung, dem griechischen Buchstaben Φ (Phi) zu Ehren des Baumeisters des Parthenon, Phidias (Φιδιασ, 490 – 430 v. Chr.) mit dem Anfangsbuchstaben seines Namens versehen.

Variationen des Goldenen Schnitts

Der Goldene Schnitt als ein Streckenverhältnis oder Zahlenverhältnis:

Das (große) Phi Φ hat den Zahlenwert 1,618. Die Herleitung erfolgt über diese Formel:

Das (kleine) phi ϕ ist der reziproke Wert10 vom großen Phi Φ und hat den Zahlenwert 0,618. Die Kehrwertberechnung hier:

Abbildung 6: Ein Goldenes Rechteck (blaue und rote Linien) und ein Rechteck, dessen Seitenverhältnisse einem DIN-A4-Blatt (graue Linien) entspricht.

Goldenes Dreieck: Ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem zwei Seiten dem Seitenverhältnis des Goldenen Schnitts entsprechen, bezeichnet man als Goldenes Dreieck (Abbildung 7).

Abbildung 7: Goldenes Dreieck

Goldener Winkel: Den Goldenen Winkel Psi11 Ψ erhält man, wenn ein Kreis im Verhältnis des Goldenen Schnitts in zwei Kreisausschnitte geteilt wird (Abbildung 8). In der Regel wird der kleinere dieser Winkel als Ψ1 und der größere dieser Winkel als Ψ2 bezeichnet.

Abbildung 8: Goldener Winkel

Werden Blätter um einen Stängel im Goldenen Winkel gedreht, erhält man Blattansätze wie in Abbildung 9 dargestellt.

Abbildung 9: Blattansätze im Goldenen Winkel

Goldene Spirale: Prominentestes Beispiel für eine Goldene Spirale ist die Schale des Nautilus12 (Perlboot), einem Kopffüßer der ursprünglichsten Form (Bild siehe vorderer Buchdeckel).

Wenn man jetzt kein Perlboot ist und für die Konstruktion einer Goldenen Spirale nicht auf ein uraltes, genetisches Programm zurückgreifen kann – dann startet man für die Konstruktion einer Goldenen Spirale mit einem Goldenen Rechteck. Dieses Rechteck wird immer im Verhältnis 61,8% (in blau) zu 38,2% (in rot) geteilt, also immer in einen Major und Minor. Der Minor wird dann wieder im Verhältnis 61,8% zu 38,2% geteilt und so weiter. Durch die wiederholten Teilungen erhält man eine Figur, in dem eine Spirale eingezeichnet werden kann (Abbildung 10).

Abbildung 10: Aufbau der Goldenen Spirale

Kapitel 2: Die Fibonacci-Zahlenfolge

Die Fibonacci-Zahlenfolge ist eine mathematische Folge nicht negativer, ganzer Zahlen, die durch das rekursive Bildungsgesetz

definiert wird.

In Worte ausgedrückt: Die beiden ersten Zahlen 0 und 1 werden vorgegeben, und jede weitere Zahl wird aus der Summe ihrer beiden Vorgänger gebildet.

Die beispielhafte Herleitung der ersten 7 Zahlen ist in den folgenden Zeilen dargestellt:

Die neuen Vorgänger sind nun die 1 und die 2. Diese werden wieder addiert:

Daraus ergibt sich die Folge (0, 1,) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

In der Natur finden sich die Fibonacci-Zahlen mit großer Regelmäßigkeit. Hier nur einige Beispiele: Bei einem Tannen- oder einem Pinienzapfen, einer Ananas oder der Blüte einer Sonnenblume gibt es rechtsdrehende und linksdrehende, konzentrische Spiralen. Die Anzahl der Spiralen sind immer zwei Nachbarszahlen aus der Fibonacci-Zahlenfolge.

Die Zahlenfolge hat interessante Eigenschaften:

Ein kleiner Exkurs in die Tiefen der deutschen Sprache:

Ratio ist ein lateinischer Begriff. In der Mathematik bedeutet das Wort meist Verhältnis beziehungsweise Quotient und weist darauf hin, dass eine Größe zu einer anderen in Beziehung gesetzt wurde. Die beiden Wörter Ratio und Verhältnis können also gleichbedeutend verwendet werden.

Kommen wir zurück zu den Eigenschaften der Fibonacci-Zahlenfolge anhand eines Beispiels. Wie Sie bereits wissen, beträgt das Verhältnis einer Zahl zur Nächsthöheren gerundet 0,618.

Der Quotient (n/n+1) nähert sich mit immer größeren Zahlen der Zahl 0,618. In der Mathematik wird das als Grenzwert oder Limes der Folge