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- Herausgeber: Marcombo
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Spanisch
- Veröffentlichungsjahr: 2022
Las matemáticas financieras tienen una inmediata y amplia aplicación a situaciones de la vida real. Por ello, es de vital importancia forjar un sólido conocimiento en la disciplina. Este libro ha sido preparado de tal manera que pueda alcanzar el entrenamiento necesario para desenvolverse y progresar con ductilidad en el estudio de la materia, respetando los siguientes ejes: • Tratamiento ameno pero riguroso de la teoría • Ejercitación práctica con resoluciones comentadas • Aplicación a problemas del mundo real Asimismo, el libro cuenta con recursos adicionales que se pueden descargar gratis desde www.marcombo.info para reforzar los conocimientos aprendidos sobre la materia, como comentarios a las resoluciones de los ejercicios, que serán muy útiles para facilitar la comprensión de los temas. Si es un estudiante de las carreras de grado y posgrado de económicas, finanzas o ingenierías, un ejecutivo financiero u otro profesional que utiliza las matemáticas financieras en su labor cotidiana, este libro será su gran aliado. Guillermo L. Dumrauf: Doctor en Ciencias Económicas por la Universidad de Buenos Aires y consultor económico financiero, es profesor titular en prestigiosas universidades y autor de 12 libros de finanzas, matemáticas aplicadas a las finanzas y macroeconomía. Asimismo, ha escrito numerosas publicaciones, colabora en revistas y participa en infinidad de congresos. Es conferencista internacional y miembro de comités académicos en maestrías y doctorados.
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Manual de matemáticas financieras
Manual de matemáticas financieras
Guillermo L. Dumrauf
Manual de matemáticas financieras
Guillermo López Dumrauf
Derechos reservados © Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V., Argentina
Segunda edición: 2021
ISBN: 978-987-383-277-2
Segunda edición: MARCOMBO, S.L. 2022
© 2022 MARCOMBO, S.L.
www.marcombo.com
«Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra sólo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra».
ISBN: 978-84-267-3437-2
Producción del ePub: booqlab
A mis padres, a mi familia y a mis alumnos.
Mensaje del editor
Los conocimientos son esenciales en el desempeño profesional. Sin ellos es imposible lograr las habilidades para competir laboralmente. La universidad o las instituciones de formación para el trabajo ofrecen la oportunidad de adquirir conocimientos que serán aprovechados más adelante en beneficio propio y de la sociedad. El avance de la ciencia y de la técnica hace necesario actualizar continuamente esos conocimientos. Cuando se toma la decisión de embarcarse en una vida profesional, se adquiere un compromiso de por vida: mantenerse al día en los conocimientos del área u oficio que se ha decidido desempeñar.
Alfaomega y Marcombo tienen por misión ofrecer conocimientos actualizados a estudiantes y profesionales dentro de tendencias pedagógicas que faciliten su utilización y permitan desarrollar las competencias requeridas por una profesión determinada. Alfaomega y Marcombo esperan ser sus compañeros profesionales en este viaje de por vida por el mundo del conocimiento.
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Cada capítulo se desarrolla con argumentos presentados en forma sencilla y estructurada claramente hacia los objetivos y metas propuestos. Asimismo, cada uno de ellos concluye con diversas actividades pedagógicas para asegurar la asimilación del conocimiento y su extensión y actualización futura.
Los libros de Alfaomega y de Marcombo están diseñados para ser utilizados dentro de los procesos de enseñanza-aprendizaje y pueden ser usados como textos guía en diversos cursos o como apoyo para reforzar el desarrollo profesional.
Alfaomega y Marcombo esperan contribuir así a la formación y el desarrollo de profesionales exitosos para beneficio de la sociedad.
Acerca del autor
Guillermo L. Dumrauf es doctor en Ciencias Económicas con una tesis sobre la estructura de capital óptima de la firma y se desempeña como profesor titular de la Maestría en Finanzas de la universidad del Centro de Estudios Macroeconómicos de la Argentina (CEMA). Es autor de doce libros sobre finanzas y matemática aplicada a la economía y las finanzas: Finanzas Corporativas, Renta Fija, Macroeconomía Inversiones Financieras y Fusiones y Adquisiciones. Ha dirigido diez tesis doctorales en las tres disciplinas: economía, finanzas y administración, y ejercido de revisor de papers que han sido publicados en journals indexados.
El Dr. Dumrauf es frecuentemente invitado como conferenciante para disertar en el país y en el exterior. Ha dictado también seminarios y cursos de maestría y doctorado en varias instituciones del país y de Latinoamérica. Es consejero académico de doctorados y maestrías de distintas universidades.
En la práctica profesional, se le reconoce una importante trayectoria como consultor en finanzas corporativas y mercado de capitales. Es asesor de varias compañías, entidades financieras y organismos gubernamentales en Argentina, Brasil, México, Uruguay, Ecuador, Bolivia y Estados Unidos. Su campo de actuación se concentra en la valuación de empresas, oferta pública inicial de acciones, estructuras de financiamiento, evaluación de proyectos, coberturas de riesgo con derivados, opciones reales y análisis de escenarios económicos. Para más acerca del perfil profesional de su consultora, donde también puede encontrarse material académico, su página web es:
www.dumrauf.com.ar
Índice
Mensaje del editor
Acerca del autor
Registro en la web de apoyo
Información del contenido de la página web
Prefacio
Destinatarios
Panorámica de la obra
Página web del libro
Reconocimientos
Capítulo 1: Introducción
1.1 ¿Por qué debemos saber matemáticas financieras?
El valor tiempo del dinero: un euro del futuro vale menos que un euro del presente
Diferencia entre el interés y la tasa de interés
Diferencia entre incremento porcentual y veces en que crece un capital
Tasas de interés e inflación
Tasas de interés y riesgo: un euro con riesgo vale menos que un euro sin riesgo
Aplicaciones de las matemáticas financieras en la vida real
1.2 Revisión de álgebra
Factor común
Transposición de términos
Común denominador
Propiedad distributiva de la multiplicación
Potencias
Progresiones aritméticas
Progresiones geométricas
Función exponencial
La función exponencial natural
Función logarítmica
Logaritmo natural
Propiedades de los logaritmos
Derivadas
Cálculo de la tasa de interés instantánea
1.3 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 2: Interés simple
2.1 Introducción
2.2 Monto a interés simple
Evolución del interés simple
Fórmulas derivadas del monto a interés simple
Tasa proporcional en el interés simple
¿Año de 360 días o año de 365 días?
Interés civil y comercial
Ejemplos de aplicación del interés simple en la vida real
Análisis de las funciones monto e interés acumulado
Análisis del rendimiento efectivo
Plazo medio
Tasa media
2.3 Descuento simple
Descuento racional y tasa de interés vencida
El descuento racional
Evolución del descuento racional
Fórmulas derivadas del descuento racional
El descuento comercial y la tasa «anticipada» o «adelantada»
La operación de descuento en la vida real: la tasa de descuento nominal
Descuento comercial y racional: dos medidas diferentes de una misma operación
Cuadro de evolución del descuento comercial
Fórmulas derivadas del descuento comercial
Análisis del descuento comercial
Tiempo que tarda el descuento en anular un capital o documento
Acerca de la controversia entre «descuento» y «actualización»
2.4 Equivalencia de capitales en el régimen simple y reemplazo de pagos
Vencimiento común
Vencimiento medio
Un atajo para calcular el vencimiento medio: la tasa no influye en el descuento comercial
2.5 Resumen
2.6 Preguntas
2.7 Problemas
Ejercicios de descuento simple
2.8 Respuesta a las preguntas
2.9 Resolución de los problemas
2.10 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 3: Interés compuesto
3.1 Introducción
3.2 Monto a interés compuesto
Características principales del interés compuesto
Evolución del interés compuesto
Monto a interés compuesto cuando la tasa de interés varía
Fórmulas derivadas del monto a interés compuesto
Intereses acumulados
Aplicaciones del interés compuesto en la vida real
Rendimientos de las bolsas en Latinoamérica y EE. UU
El interés compuesto y las medias geométricas
Tiempo necesario para que un capital se convierta en múltiplo de sí mismo
Tiempo en que dos capitales, colocados a diferente tasa, alcanzan igual monto
Análisis de las funciones monto e interés acumulado
Comparación entre el monto simple y el monto compuesto
Monto fraccionario
La tasa proporcional y equivalente en los regímenes simple y compuesto
Una clasificación para el régimen compuesto
3.3 Descuento compuesto con tasa de interés vencida
Análisis de la función del valor presente utilizando derivadas
3.4 Descuento compuesto con tasa anticipada
Fórmula del número de períodos
Análisis del descuento compuesto con tasa anticipada
Comparación del interés y el descuento en los regímenes simple y compuesto
Relación entre la tasa de interés y la tasa anticipada en el régimen compuesto
Equivalencia de capitales en el interés compuesto
Vencimiento común y vencimiento medio
Comparación del vencimiento medio en los regímenes simple y compuesto
3.5 Resumen
3.6 Preguntas
3.7 Problemas
3.8 Respuesta a las preguntas
3.9 Resolución de los problemas
3.10 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 4: Tasas de interés
4.1 Introducción
4.2 Tasas de interés vencidas
Tasa nominal y tasa proporcional
Forma de contar los días del año
Tasa efectiva
Tasa equivalente
Observaciones sobre el concepto de la tasa efectiva
Obtención de la TNA a partir de la TEA
Tasa instantánea
Análisis de la función en.δ
Teoría matemática del interés
Intereses obtenidos en un infinitésimo de tiempo
Cálculo de la tasa de interés instantánea
4.3 La inflación y la tasa de interés real
Las unidades de inversión
La ecuación de arbitraje de Fisher
Obtención de la tasa real en el régimen continuo
4.4 Operaciones en moneda extranjera
La variación del tipo de cambio
Teoría de la paridad de las tasas de interés
Teoría de la paridad relativa del poder adquisitivo
El efecto de Fisher Internacional
4.5 Tasas anticipadas
Tasas de descuento nominal, proporcional y el descuento subperiódico
La tasa efectiva de descuento a partir de la tasa nominal de descuento
La tasa equivalente de descuento
Frecuencia de capitalización y las tasas de interés
El valor límite de las tasas nominales de interés y anticipada
4.6 Resumen
4.7 Preguntas
4.8 Problemas
4.9 Respuesta a las preguntas
4.10 Resolución de los problemas
4.11 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 5: Rentas o series uniformes
5.1 Introducción
5.2 Rentas temporales
Notación simbólica por utilizar
Una clasificación operativa para las rentas
Renta temporal inmediata de pagos vencidos (valor presente)
Fórmulas derivadas de la renta temporal inmediata
Valor de la cuota
Número de períodos
Tasa de interés
Renta temporal inmediata de pagos adelantados
Resolución de rentas con Excel
Resolución con calculadora financiera Hewlett-Packard HP 12C
Rentas diferidas
Rentas anticipadas e imposiciones (valor futuro)
Imposición de pagos vencidos
Imposiciones de pagos adelantados
Diferencia entre una renta anticipada y una imposición
5.3 Relación entre las distintas rentas
Renta inmediata e imposición
Cuadro resumen del valor de las rentas temporales
Análisis y gráficos de las funciones de rentas
Un ejemplo del mundo real: estimación de la renta de jubilación
Análisis de sensibilidad del valor de una renta con Excel
5.4 Cálculo de la tasa implícita de una renta con interpolación lineal
El método de la interpolación lineal
5.5 Resumen
5.6 Preguntas
5.7 Problemas
5.8 Respuesta a las preguntas
5.9 Resolución de los problemas
5.10 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 6: Rentas perpetuas y rentas variables
6.1 Introducción
6.2 Rentas perpetuas
Renta inmediata de pagos vencidos
Aplicaciones de la renta perpetua: el modelo de los dividendos y el coste capitalizado
Rentas diferidas
Rentas anticipadas
6.3 Rentas variables temporales en progresión geométrica
Renta inmediata con pagos variables vencidos
Rentas variables diferidas
Rentas variables anticipadas (imposición)
6.4 Rentas variables perpetuas en progresión geométrica
Renta inmediata, variable, de pagos vencidos
Críticas al modelo de los dividendos con crecimiento
Crecimiento por fases
Renta variable diferida
Renta variable anticipada
6.5 Rentas variables temporales en progresión aritmética
Renta inmediata variable de pagos vencidos
Cálculo de la renta inmediata temporal a través de la diferencia entre dos rentas inmediatas perpetuas
Renta variable diferida
Imposición
6.6 Rentas variables perpetuas en progresión aritmética
Renta variable inmediata de pagos vencidos
Renta variable diferida
Renta variable anticipada
Esquema y fórmulas de rentas perpetuas y variables
6.7 Resumen
6.8 Preguntas
6.9 Problemas
6.10 Respuesta a las preguntas
6.11 Resolución de los problemas
6.12 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 7: Sistemas de amortización de préstamos
7.1 Introducción
7.2 Sistema francés
Cuadro de evolución y fórmulas utilizadas
Cálculo del saldo del préstamo: métodos prospectivo y retrospectivo
Método prospectivo
Imputación de amortizaciones parciales y cálculo del saldo del préstamo
Método retrospectivo
Cálculo del saldo del préstamo en un período irregular
Tiempo medio de reembolso
Fondo amortizante
Intereses periódicos
Intereses abonados entre períodos no consecutivos
Resumen de fórmulas para el sistema francés
Refinanciación del préstamo y cálculo de la nueva cuota
Sensibilidad de la cuota con respecto a la tasa de interés y al plazo
Efecto de pagos extraordinarios en el valor de la cuota: la cuota «balloon»
Efecto de los gastos y los impuestos en el coste efectivo del préstamo
Indexación en el sistema francés
La indexación a partir del ajuste en el capital
La indexación a partir del ajuste en la tasa de interés
7.3 Sistema alemán
Fórmulas más utilizadas
Amortización periódica
Cuadro de evolución
Cálculo del saldo del préstamo: métodos prospectivo y retrospectivo
Método prospectivo
Método retrospectivo
Intereses periódicos
Cuota periódica
Intereses abonados entre períodos no consecutivos
Resumen de fórmulas
Comparación entre el sistema de amortización francés y alemán
7.4 Sistema americano
Sistema americano tradicional
Cuadro de evolución
Sistema americano con constitución de fondo de amortización
Comparación del sistema americano de las dos tasas con el sistema francés
Sistemas francés, alemán y americano: balance
7.5 Resumen
7.6 Preguntas
7.7 Problemas
7.8 Respuesta a las preguntas
7.9 Resolución de los problemas
7.10 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 8: Métodos de evaluación de proyectos de inversión
8.1 Introducción
8.2 El período de recuperación (payback)
Desventajas del payback
¿Se utiliza el período de recuperación?
Período de recuperación descontado (discounted payback)
8.3 El valor presente neto
Regla de decisión del VPN
Análisis de la función del VPN
¿Cuál es la tasa de interés que debe utilizarse para calcular el VPN?
El supuesto de la reinversión de fondos en el VPN
8.4 La tasa interna de retorno (TIR)
Regla de decisión de la TIR
El supuesto de la reinversión de fondos
Cómo calcular la TIR sin ayuda de calculadoras financieras
Diferencias y analogías entre el VPN y la TIR
8.5 La tasa interna de retorno modificada (TIRM)
Consideraciones sobre los supuestos de la TIRM
8.6 El índice de rentabilidad o relación beneficio-coste
Regla de decisión del índice de rentabilidad
8.7 Algunas complicaciones: cuando el VPN y la TIR no coinciden
Racionamiento de capital y proyectos mutuamente excluyentes
1. El efecto del tamaño de la inversión inicial
El cálculo de la TIR incremental o tasa de Fisher
2. Igual inversión original, diferente desarrollo en el flujo de fondos
3. Diferente vida útil
Chequeo de la tasa de Fisher con «Solver»
Presencia de TIR múltiples o TIR indeterminada
¿Cómo calcular la tasa de rentabilidad cuando aparecen TIR múltiples o incalculables?
Proyectos con diferente vida: cuando la regla del VPN puede fallar
El método de la anualidad equivalente
8.8 Resumen
8.9 Preguntas
8.10 Problemas
8.11 Respuesta a las preguntas
8.12 Resolución de los problemas
8.13 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 9: Introducción al análisis de bonos
9.1 Introducción
9.2 Conceptos fundamentales: ¿qué es un bono?
El valor nominal de un bono
El precio de un bono y su flujo de caja
Relación entre el precio y la tasa de interés
Uso de la función «tabla» de Excel para analizar la sensibilidad del precio
Relación entre la tasa del cupón, la TIR y el precio del bono
Valoración y rendimiento de un bono cupón cero
La «TIR anualizada»
9.3 Analizando el rendimiento de la inversión en bonos
La TIR (yield to maturity)
Rendimiento corriente (current yield)
Ganancias de capital (capital gain yield)
Evolución del precio del bono hasta su vencimiento
9.4 Cálculo del rendimiento total esperado (total return)
El rendimiento total monetario en el vencimiento
El rendimiento total en el vencimiento
Análisis del rendimiento total en el vencimiento
El rendimiento total en el vencimiento y el rol de la tasa de reinversión
Análisis de sensibilidad del rendimiento total
Rendimiento total esperado para el horizonte de inversión
9.5 Análisis financiero de un bono real: cálculo del rendimiento de un bono latinoamericano
Diseño del cash flow y cálculo de la «TIR no periódica» con hoja de cálculo
Cálculo y análisis del retorno total en el vencimiento
9.6 Resumen
9.7 Preguntas
9.8 Problemas
9.9 Respuesta a las preguntas
9.10 Resolución de los problemas
9.11 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 10: Métodos de depreciación
10.1 Introducción
Método de la línea recta
Método de la suma de dígitos
Método del porcentaje fijo
Método del fondo de amortización
10.2 Comparación de los métodos de depreciación
10.3 Consideración de la inflación
10.4 Consideraciones económicas de los métodos de depreciación
10.5 Resumen
10.6 Preguntas
10.7 Problemas
Método de la línea recta
Método de la suma de dígitos
Método del porcentaje fijo
Método del fondo de amortización
10.8 Respuesta a las preguntas
10.9 Resolución de los problemas
Método de la línea recta
Método de la suma de dígitos
Método del porcentaje fijo
Método del fondo de amortización
10.10 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 11: Opciones financieras
11.1 Introducción
11.2 Principales tipos de opciones
Activo subyacente
La prima
Opciones de compra
Posición del comprador de un call
Valor del tiempo
El time decay
Posiciones long y short
Posición del vendedor del call
Opciones de venta
Límite mínimo y máximo para las opciones de venta que no distribuye dividendos
Usted no precisa esperar al vencimiento
11.3 Factores que determinan el precio de la opción
El precio de la acción
El precio de ejercicio
La volatilidad
El tiempo de vida de la opción
La tasa de interés libre de riesgo
Los dividendos
11.4 Ejercicio de la opción antes de su vencimiento
Call sobre acciones que no distribuyen dividendos
Put sobre acciones que no distribuyen dividendos
El efecto de los dividendos
11.5 La paridad put-call en las opciones europeas
¿Se puede arbitrar con la paridad put-call?
11.6 Resumen
11.7 Preguntas
11.8 Ejercicios
11.9 Respuestas a las preguntas
11.10 Resolución de los problemas
Capítulo 12: La fórmula de Black-Scholes
12.1 Introducción
12.2 Valoración de opciones con la fórmula de Black-Scholes
¿Qué es la función N(d)?
12.3 Volatilidad implícita
12.4 Resumen
12.5 Preguntas
12.6 Problemas
12.7 Respuestas a las preguntas
12.8 Resolución de los problemas
Referencias bibliográficas
Glosario
Registro en la web de apoyo
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Estimado profesor: si desea acceder a los contenidos exclusivos para docentes, por favor contacte con el representante de la editorial que le suele visitar o envíenos un correo electrónico a [email protected].
Información del contenido de la página web
El material marcado con asterisco (*) solo está disponible para docentes.
Capítulo 1Introducción
Mapa conceptualAutoevaluaciónPresentaciones*
Capítulo 2Interés simple
Mapa conceptualAutoevaluaciónPresentaciones*
Capítulo 3Interés compuesto
Mapa conceptualAutoevaluaciónPresentaciones*
Capítulo 4Tasas de interés
Mapa conceptualAutoevaluaciónPresentaciones*
Capítulo 5Rentas o series uniformes
Mapa conceptualAutoevaluaciónPresentaciones*
Capítulo 6Rentas perpetuas y rentas variables
Mapa conceptualAutoevaluaciónPresentaciones*
Capítulo 7Sistemas de amortización de préstamos
Mapa conceptualAutoevaluaciónHoja de Excel:
• Préstamos con intereses sobre saldos, tablas de evolución
• Modelo de préstamo francés con IVA, gastos y otros detalles
• Préstamos con indexación del capital
• Préstamos, problemas resueltos Presentaciones*
Presentaciones*
Capítulo 8Métodos de evaluación de proyectos de inversión
Mapa conceptualAutoevaluaciónHoja de Excel:
• Métodos de evaluación de proyectos, problemas resueltos
Presentaciones*
Capítulo 9Introducción al análisis de bonos
Mapa conceptualAutoevaluaciónHoja de Excel:
• Bonos, ejemplos del capítulo y problemas resueltos
Presentaciones*
Capítulo 10Métodos de depreciación
Mapa conceptualAutoevaluaciónHoja de Excel:
• Métodos de depreciación, ejemplos del capítulo y problemas resueltos.
Presentaciones*
Capitulo 12 La fórmula de Black-Scholes
Hoja de Excel:
• Valor de la opción de compra con la fórmula de Black-Scholes
Fe de erratas
Prefacio
Las matemáticas financieras tal vez sean una de las pocas disciplinas estudiadas en la facultad que tiene una aplicación inmediata en una gran cantidad de problemas que enfrentamos en la vida real: cálculos de tasas de interés efectivas, equivalencias de rendimientos para distintas operaciones, saldos de deuda en un préstamo, refinanciaciones de obligaciones, rentabilidad de bonos, etc. Cada vez que la inflación asoma su horrible cabeza, se suma la complejidad de un contexto inflacionario, donde se hace necesario el cálculo del rendimiento «real» de las operaciones y el conocimiento acerca de cómo funcionan los índices de precios.
En la vida real, a menudo los problemas no se resuelven mediante la aplicación directa de una fórmula; los detalles hacen que las soluciones sean necesariamente indirectas. Es por eso que, ante una situación novedosa, es necesario el conocimiento científico previo para resolverla satisfactoriamente.
Sin abandonar el tratamiento matemático riguroso, se ha tratado de mantener las demostraciones matemáticas en el nivel necesario, privilegiándose la aplicación práctica. No obstante, no aparecen en este libro fórmulas sueltas; en todos los casos se realiza su deducción previa, pues creemos que saber de dónde salen las fórmulas entrena al practicante para lidiar con los detalles de los problemas reales y las situaciones nuevas que suelen aparecer en la práctica.
Nuestro deseo es que esta obra quede «gastada» por su manoseo en la consulta diaria, que brinde al lector un conocimiento acabado del cálculo financiero y que se convierta en una referencia obligada para ayudar a tomar mejores decisiones financieras.
Guillermo L. Dumrauf
Destinatarios
Este libro está destinado fundamentalmente a los estudiantes de la carrera de grado que realizan su primer curso de matemáticas financieras; también es adecuado para cursos de posgrado, analistas financieros, ejecutivos financieros y otros profesionales que hagan uso de las matemáticas financieras en su labor cotidiana.
Panorámica de la obra
Las categorías que componen las matemáticas financieras se encuentran llenas de detalles; no obstante, el orden de los temas sigue la estructura lógica que debe tener un manual sobre la disciplina y que permita al lector transitar con fluidez por la avenida principal de las matemáticas financieras.
El Capítulo 1 constituye un repaso dedicado al lector que busque refrescar sus conocimientos de matemática básica. Aquí se explican de manera sencilla las operaciones más comunes: trasposición de términos, potenciación, logaritmos y derivadas.
Los Capítulos 2, 3 y 4 se ocupan de las operaciones simples, con un solo capital. Aquí tratamos el interés simple, el interés compuesto y las tasas de interés.
Los Capítulos 5 y 6 tratan las operaciones «complejas», tal como se denomina a aquellas operaciones que involucran una serie de pagos uniformes o rentas. En la vida real, hay una cantidad de situaciones donde se producen corrientes de pagos a intervalos equidistantes de tiempo, como los planes de ahorro, las jubilaciones y pensiones, los fondos de amortización y las valuaciones de acciones por el método de dividendos, por nombrar algunas.
El Capítulo 7 trata los sistemas de amortización de préstamos sobre saldos. En todos los casos se incluyen aspectos prácticos como la refinanciación de deudas, los costes asociados a la transacción y otros.
El Capítulo 8 aborda las técnicas de evaluación de proyectos, que es generalmente el capítulo preferido tanto por los profesores como por los alumnos.
El Capítulo 9 constituye una introducción al cálculo del rendimiento y la valoración de títulos de renta fija o bonos.
El Capítulo 10 trata sobre los distintos métodos de depreciación de los activos fijos.
El Capítulo 11 constituye una introducción al mundo de las opciones financieras y, finalmente, el Capítulo 12 trata la fórmula de valoración de opciones de Black-Scholes.
En cada capítulo, se ha procurado una inmediata conexión con las situaciones reales que enfrentan cotidianamente los profesionales que hacen uso de las matemáticas financieras. Por caso, el efecto de los coeficientes de indexación creados por los gobiernos nacionales en las operaciones financieras, condiciones que suelen ofrecer los bancos en los préstamos y otras operaciones. Se incluyen varias aplicaciones con hoja de cálculo tipo Excel y también calculadora financiera del tipo HP 12 C, que permiten resolver los problemas con mayor rapidez.
En total, esta edición contiene cerca de 100 preguntas y más de 200 ejercicios, además de las preguntas de autoevaluación y los ejercicios y ejemplos que aparecen tratados dentro de cada capítulo. La totalidad de las respuestas y las resoluciones aparecen al final de cada capítulo, donde se detallan las fórmulas utilizadas y se ofrece un comentario para los ejercicios más complejos que ayuda a su resolución paso a paso.
Página web del libro
El libro cuenta con una página web que contiene cuestionarios y ejercicios diseñados por Gabriel Gambetta (candidato a Doctor en Finanzas, CEMA) y que serán de invaluable apoyo para los alumnos, donde podrán verificar y autocalificar su desempeño en matemática financiera. Para acceder a estos materiales, siga las instrucciones de la página XXI.
Reconocimientos
Siempre digo que la parte de los agradecimientos es una de las que más disfrutamos los autores. En realidad, el placer es doble, ya que esta sección se escribe después de haber sido consumido por los laberintos del libro. Por ello, quiero agradecer a los docentes que se tomaron el trabajo de realizar una lectura crítica y juiciosa de algunos capítulos. Tuve la ayuda desinteresada de los siguientes profesores: David Yepes Raigosa y Héctor Cadavid Jiménez (Universidad EAFIT, Colombia), Mario Cruz Vargas (Universidad Autónoma de Nuevo León, México).
Un agradecimiento especial para la profesora Soledad Retamar, que hizo una revisión concienzuda y que me ayudó mucho para corregir errores de la primera edición.
Deseo agradecer a mis editores, Marcelo Grillo Gianetto y Damián Fernández, que confiaron en el proyecto y a Diego Linares que diseñó el lay-out de la obra. También a Alejandro Aranda Durañona que, siempre con su buen gusto, diseñó la tapa del libro.
Finalmente, quiero agradecer a aquellos que, sin saberlo, fueron sometidos a los primeros borradores, cuando en el aula o en la vida real se trataba una cuestión o se analizaba una operación financiera. Y a todos aquellos que aun ignorando que sus opiniones estaban alimentando la obra, han proporcionado un invaluable aporte.
«No basta tener buen ingenio; lo principal es aplicarlo bien.»
René Descartes (1596-1650),filósofo y matemático francés
1
Introducción
Contenido
1.1 ¿Por qué debemos saber matemáticas financieras?
1.2 Revisión de álgebra
1.3 Contenido de la página web de apoyo
Objetivos
• Repasar operaciones matemáticas básicas.
1.1 ¿Por qué debemos saber matemáticas financieras?
¿Cuán importante es saber matemáticas financieras para el profesional en ciencias económicas? En primer lugar, puede decirse que es una parte fundamental de la matemática de los negocios y que es una de las pocas materias que se estudia en las carreras de ciencias económicas que, una vez aprendida, tiene aplicación inmediata. El conocimiento de las matemáticas financieras es obligatorio para el profesional que se desempeña en los mercados de capitales, ya que debe analizar permanentemente el rendimiento de inversiones financieras como acciones, bonos o portafolios de inversiones. Para el profesional que se desempeña en las finanzas de empresa, también es necesaria, ya que deberá revisar el rendimiento de un depósito a plazo, la viabilidad de un proyecto de inversión o analizar la conveniencia de un préstamo.
Saber matemáticas financieras ayuda a mejorar la asignación de los recursos, con lo cual toda la sociedad sale ganando. Por ejemplo, imagine que debe seleccionar la inversión más rentable entre un conjunto de proyectos que conducen a diferentes costes, ingresos y vida útil de los equipos involucrados. Seleccionar la mejor inversión conduce a un mayor ingreso para distribuir entre los propietarios y esto luego se refleja en un mayor consumo, mejorando la economía como un todo.
En el ámbito personal, también hay razones para conocer las herramientas fundamentales de las matemáticas financieras. La mayoría debería estar de acuerdo en que debemos tener un plan financiero para ciertas metas en nuestra vida: comprar una vivienda, garantizar la educación de nuestros hijos y el retiro personal se cuentan entre las más importantes.
El valor tiempo del dinero: un euro del futuro vale menos que un euro del presente
En las operaciones financieras, siempre están presentes tres elementos: el capital, el tiempo de la operación y la tasa de interés. ¿Cuál es el valor del tiempo? El tiempo siempre tiene valor, pues, si hoy contamos con 1 €, tenemos la oportunidad de colocarlo a interés durante un año, al cabo del cual tendremos el euro inicial más el interés ganado:
Figura 1.1 Valor futuro de un euro colocado a interés.
Regla: un euro del futuro vale menos que un euro del presente.
Si tenemos el derecho a cobrar un euro dentro de un año, pero deseamos el efectivo, su disponibilidad inmediata tendrá un precio, que es el descuento: recibiremos solamente el valor presente del euro futuro:
Figura 1.2 Valor presente de un euro futuro.
En el ejemplo anterior, solo había un período en la operación. El valor tiempo del dinero a veces nos da sorpresas, especialmente cuando hay capitalización compuesta de intereses. Imagine que a usted le han prestado un euro hoy a una tasa del 20 % anual. Dentro de 5 años, usted debería casi 2,5 euros. La figura 1.3 muestra la evolución de un euro a lo largo de 5 años, con capitalización de intereses para cada año:
Figura 1.3 Evolución de un euro en 5 años.
Una pintoresca leyenda acerca de la fuerza del interés compuesto es la que nos cuenta sobre la vida de Hetty Green (1834-1916), también conocida como «la bruja de Wall Street». Cuenta la historia que Hetty Green recibió, como herencia de su padre, un millón de dólares y centuplicó su valor al cabo de 50 años. No buscaba los rendimientos de corto plazo; en cambio, invertía conservadoramente en busca de los rendimientos de largo plazo. Se dice que a su fallecimiento, 50 años después, su millón heredado se convirtió en casi 100 millones. Debemos percatarnos de que esto puede alcanzarse con una tasa ligeramente superior al 9,5 % anual a interés compuesto, como puede verse en la figura 1.4.1 Los beneficios del interés compuesto requieren un horizonte de largo plazo. El punto clave es que el valor de un capital fijo se incrementa con el paso del tiempo.2
Figura 1.4 Evolución de 1 millón al 9,6% anual compuesto.
Hetty Green probó que las mujeres no son «financieramente» inferiores al hombre. Según cuenta la leyenda, batalló con los mejores hombres financieros y ganó varias veces. Hoy las mujeres tienen mayores oportunidades para trabajar en el área de finanzas y esto se refleja en una mayor participación de mujeres en trabajos que antes ocupaban solamente los hombres.
Diferencia entre el interés y la tasa de interés
La tasa de interés representa el precio de la unidad de capital en la unidad de tiempo. En tal sentido, representa el precio por «alquilar» una unidad o un euro de capital. Para los cálculos matemáticos, la tasa de interés siempre es expresada en tanto por uno. Por ejemplo, para una tasa de interés del diez por ciento, sería:
El interés representa el valor absoluto (el valor en «metálico») que resulta de multiplicar la tasa de interés por un capital.
Recuerde que la tasa de interés siempre expresa un valor relativo mientras que el interés representa una magnitud absoluta, en «metálico». La tasa de interés aparece expresada simbólicamente también en tanto por ciento, generalmente cuando es publicitada en las pizarras de los bancos (por ejemplo, podemos ver que los bancos publicitan las tasas de interés para los depósitos a plazo fijo como 1 % para 30 días, etc.).
Diferencia entre incremento porcentual y veces en que crece un capital
A veces se confunde el porcentaje de rendimiento con la cantidad de veces en que crece un capital o un índice de precios. La tabla 1.1 aclara la diferencia. Mientras que un incremento del 100 % es igual a 2 veces de incremento en el capital, 900 % es igual a 10 veces:
Tabla 1.1 Incremento porcentual e incremento medido en cantidad de veces
Capital al inicio
Capital al final
Incremento en porcentaje
Incremento en cantidad de veces
100
200
100 %
2
100
1000
900 %
10
Es fácil ver que 1000 es igual a 100 diez veces; sin embargo, para calcular el porcentaje de incremento, la cuenta clásica es 1000/100 − 1, y luego multiplicamos este resultado por 100 para obtener el porcentaje de incremento. En el Capítulo 2, cuando tratemos el interés simple, se aclarará perfectamente por qué se realiza de esta forma el cálculo del incremento porcentual.
Tasas de interés e inflación
La tasa de interés suele contener siempre tres componentes: la inflación, el interés puro y el riesgo. En esta sección analizaremos brevemente los dos primeros y en la próxima sección veremos el componente riesgo.
Cuando existe inflación, la tasa de interés pasa a ser aparente, pues si queremos medir el verdadero rendimiento, debemos calcular la tasa de interés real. Le enseñaremos a hacerlo en el Capítulo 4. Por ahora diremos que cuanto mayor sea la tasa de inflación, mayor debería ser la tasa de interés, pues si los depósitos a plazo no recibieran como mínimo la tasa de inflación, los depositantes no tendrían ningún incentivo para realizarlos, ya que la inflación disminuiría su valor.3
Además, es justo que la tasa de interés tenga un rendimiento que recompense, además de la inflación, la espera. Cuando un individuo deposita dinero en el banco, pospone su consumo mientras el individuo que recibe ese dinero lo anticipa. Esa espera, que no es otra cosa que el «alquiler» del dinero, representa el «interés puro» o real. Cuando la tasa de interés supera a la inflación, la tasa de interés real es positiva; cuando la inflación supera a la tasa de interés, la tasa de interés real es negativa.
Tasas de interés y riesgo: un euro con riesgo vale menos que un euro sin riesgo
Cuanto mayor es el riesgo de una inversión, mayor debe ser la recompensa por asumir dicho riesgo y, por lo tanto, mayor deberá ser la tasa de interés que rinde dicha inversión. Es natural que a las inversiones peligrosas se les exija un mayor premio a cambio para compensar el riesgo asumido.
Regla: un euro invertido con riesgo vale menos que un euro invertido sin riesgo.
Aplicaciones de las matemáticas financieras en la vida real
Las matemáticas financieras tienen inmediata aplicación en una gran cantidad de situaciones de la vida real. Una vez que usted aprenda matemáticas financieras, comprobará que será capaz de:
•Calcular el rendimiento efectivo de un depósito a plazo. Este tipo de operación es muy común cuando debemos calcular el rendimiento de nuestros ahorros. Normalmente, deberá calcular la tasa efectiva de una operación de depósito, en la cual el banco le ofrece una tasa nominal anual.
•Comparaciones de rendimientos entre activos financieros. Seguramente, usted realizará inversiones en su vida y deseará comparar sus desempeños. Aquí, la denominada «tasa equivalente» juega un rol fundamental para comparar rendimientos expresados en diferentes plazos.
•Evaluar un proyecto de inversión. Si trabaja en finanzas, muy posiblemente le toque algún día tener que evaluar la bondad financiera de un proyecto de inversión. Para ello, necesitará conocer en detalle las técnicas del valor presente neto y la tasa interna de rentabilidad, entre otros métodos.
•Medición del desempeño de una inversión en bonos. La inversión en bonos puede llegar a ser muy sofisticada y para realizar un análisis exhaustivo precisará contar con sólidos conocimientos de matemáticas financieras y también técnicas de evaluación de proyectos de inversión.
•Evaluar alternativas de financiamiento y préstamos. Cuando deba financiar una inversión o analizar un préstamo para comprar su vivienda, verá que le serán muy útiles los conocimientos del capítulo sobre préstamos, donde tratamos las diferentes modalidades que los bancos suelen ofrecer.
•Planificar sus finanzas personales y su jubilación. Todos debemos tomar conciencia sobre la importancia de planificar nuestras metas y necesidades futuras; en este sentido, las matemáticas financieras resultan de imprescindible ayuda para establecer un buen emparejamiento entre nuestros recursos y necesidades.
1.2 Revisión de álgebra
Esta sección constituye un repaso de las funciones que aprendió en un curso de análisis matemático y tienen por objeto prepararlo para tratar con ductilidad las situaciones que se le presentarán en capítulos posteriores. Puede saltar la lectura de este capítulo si considera que no precisa este repaso o, alternativamente, consultarlo cuando necesite refrescar algún conocimiento.
Factor común
Un polinomio que tiene un factor o varios factores comunes en todos sus términos se puede escribir como el producto del o los factores comunes por un paréntesis, dentro del cual figura el polinomio formado por los cocientes entre cada uno de los términos del polinomio original y el factor o los factores comunes detectados. Dada la siguiente expresión: 16a4b2 + 8a2b.
Los factores comunes son 2, a y b, entonces:
2ab (8b4 + 4a)
Note que en el paréntesis se escribe el polinomio de manera que multiplicado por el factor común nos vuelve a dar el polinomio original. En matemáticas financieras para una expresión del tipo:
(1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3
Podemos sacar como factor común (1 + i) y quedaría (1 + i) [1 + (1 + i) + (1 + i)2]
Transposición de términos
Si un número está sumando en un miembro, pasa al otro miembro restando y viceversa. Si un número está en un miembro multiplicando pasa al otro miembro dividiendo y viceversa. Podemos demostrar estas relaciones despejando la x de la siguiente expresión:
En matemáticas financieras, despejando términos podemos derivar fórmulas a partir de otras.
Común denominador
En las fracciones en que el denominador es el mismo, podemos expresarlo como común denominador:
De la misma manera, pueden separarse los dos términos del numerador en dos fracciones, respetando el denominador:
En matemáticas financieras, a menudo deberemos sacar el común denominador de expresiones tales como:
También puede ser útil separar los términos del numerador para poder obtener una sola n en la expresión:
Recordad, también, que en matemáticas:
Por ejemplo,
Este tipo de operación es común en los despejes que se realizan en las fórmulas que involucran pagos constantes, como las denominadas rentas o anualidades.
Propiedad distributiva de la multiplicación
El producto de una suma indicada de números enteros por otro número entero es igual a la suma de los productos de cada sumando por dicho número,
y con respecto a la resta de números enteros,
Potencias
Cuando (a·a·a·a·a) se abrevia como a5, se dice que a es una base y que 5 es un exponente. Las leyes matemáticas de los exponentes son:
a. Suma de exponentes:
La aplicamos cuando tenemos dos factores con la misma base:
Los factores con exponentes negativos aparecen cuando queremos expresar un factor de descuento. Por ejemplo, si queremos expresar el valor presente de un euro con una tasa de interés del 10 %:
b. Resta de exponentes:
La aplicamos cuando tenemos dos factores con la misma base, al igual que en la suma de exponentes:
Por ejemplo,
c. Multiplicación de exponentes:
d. Exponente cero: el resultado es siempre 1 (uno).
e. Exponente negativo: significa invertir la base.
f. Transposición de exponentes al otro miembro:
Cuando los exponentes pasan al otro miembro mantienen el signo, pero se invierten. Por ejemplo, el exponente −2 de la primera expresión pasa al otro miembro como −1/2.
g. Exponente fraccionario: implica escribir la base como una operación de radicación en la cual el índice es el denominador del exponente.
Por ejemplo, un factor con una tasa de interés del tipo (1+i)1/3 también puede exponerse como .
h. Radicación:
Progresiones aritméticas
Una sucesión numérica forma una progresión aritmética cuando sus términos se van obteniendo al sumarle al anterior un número constante (r) llamado razón de la progresión. Suponga la siguiente sucesión numérica: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26. Es fácil ver que la razón es 3. Los préstamos por sistema de amortización alemán constituyen un ejemplo de progresión aritmética decreciente, ya que los intereses se reducen en una suma fija período a período.
El cálculo de un término cualquiera an de la progresión se puede calcular haciendo:
Suma de todos los términos: se obtiene mediante la fórmula:
En el ejemplo dado, será:
Progresiones geométricas
El cálculo de un término cualquiera an se puede obtener directamente haciendo:
En el ejemplo 0, el 5.º término es:
Suma de todos los términos: en una progresión geométrica finita, la suma de los términos de esta se calcula con las siguientes fórmulas:
para progresiones crecientes.
para progresiones decrecientes.
Si la progresión geométrica tiene infinitos términos, con una razón 0 < q < 1, la última fórmula expresada se transforma del siguiente modo:
Observe que en el 2.º término del resultado, si n→∞ entonces qn→0 por ser 0 < q < 1, con lo cual, se anula todo ese término y queda:
Función exponencial
Figura 1.5 Función exponencial.
La función exponencial natural
Uno de los números más útiles como base para las funciones exponenciales es el número irracional denotado por la letra e en honor al matemático suizo Leonard Euler. Sus primeras cifras son 2,718281. Aunque este número parece raro para ser la base de una función exponencial, es muy utilizado en finanzas y en economía, principalmente para modelizar funciones de crecimiento y disminución de precios cuando se asume que se producen en forma continua.
El número e se obtiene al resolver un binomio del tipo cuando n tiende a infinito, y puede comprobarse que cuando aumenta n, el valor de e se estabiliza en 2,718281:
Figura 1.6 Función exponencial natural.
Para comprender mejor la utilización del número e en finanzas, pensemos en un ejemplo. Si un activo financiero tiene hoy un precio de 100 € y este crece al 5 % anual en forma continua (el 5 % se compone continuamente) dentro de un año su valor será:
Función logarítmica
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, ya que la función logarítmica invierte la acción de la función y viceversa. Si se calculó el valor de una función exponencial, por ejemplo, un monto a interés compuesto, para un dato de entrada x (tiempo) se obtuvo un resultado y (monto); en cambio, en la función logarítmica, el dato de entrada es el monto y se obtiene el exponente. Entonces, el logaritmo de un número es un exponente. Concretamente, es el de la potencia a la que se debe elevar la base (que cuando es el número e, se denomina logaritmo natural) para obtener el monto. Por ejemplo:
Figura 1.7 Función exponencial.
Figura 1.8 Función logarítmica.
Logaritmo natural
Dados dos números reales y positivos n y b, se llama logaritmo del número n en base b al número x, siendo x el número al cual hay que elevar b para obtener n:
Hasta aquí estaríamos hablando de un logaritmo común, pero si consideramos que la base b es igual al número e —que describimos en la Sección 2.4—, entonces estaríamos en presencia de un logaritmo natural, o también denominado neperiano. Por ejemplo:
Figura 1.9 Función logaritmo natural.
Se puede observar en la figura 1.9 que:
• Ln(x) < 0 para 0 < x < 1.
• Ln(x) > 0 para x > 1.
Los números negativos y el 0 no tienen logaritmos. El ámbito son todos los números reales. Los números entre 0 y 1 tienen logaritmos negativos, y conforme más cercano está el valor de x a cero, más negativo es su logaritmo. No existe ordenada en el origen.
Propiedades de los logaritmos
1. Logaritmo de un producto: es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
2. Logaritmo de un cociente: es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
3. Logaritmo de una potencia: es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.
4. Logaritmo de una raíz: es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.
Derivadas
La derivada de una función f se denota por f’ (se lee «f prima») y está definida por .
Esta relación podemos representarla en un gráfico de la función monto a interés compuesto donde f’(x) es el interés de un infinitésimo de tiempo, cuando Dx representa una intervalo de tiempo muy pequeño, que tiende a cero.
Figura 1.10 Función f(x).
Cálculo de la tasa de interés instantánea
Si ahora realizamos el cociente entre el interés ganado en un infinitésimo de tiempo y el capital invertido, obtenemos la tasa de interés de un infinitésimo de tiempo, que como sabemos recibe el nombre de tasa instantánea:
De manera que la tasa instantánea es igual a la derivada de la función f’(x) dividida por la función f(x), y como la derivada del logaritmo de una función también es igual a la derivada de la función dividida por la función, tendremos:
A continuación, se resumen las derivadas de las funciones más utilizadas:
1.3 Contenido de la página web de apoyo
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Mapa conceptual
Autoevaluación
Presentaciones*
____________
1 Si el 9,6 % anual compuesto es una buena tasa de rendimiento, todo depende de la inflación que hubo en ese período y de los rendimientos que se alcanzaron con otras inversiones de riesgo similar.
2 El interés compuesto también puede exterminar al deudor. Si hubiéramos recibido 1 millón en préstamo, y nunca hubiéramos amortizado capital o pagado intereses, deberíamos 100 millones al cabo de 50 años.
3 Del otro lado, podría decirse que las empresas que aumentaron sus precios estarían en condiciones de pagar tasas más altas.
2
Interés simple
Contenido
2.1 Introducción
2.2 Monto a interés simple
2.3 Descuento simple
2.4 Equivalencia de capitales en el régimen simple y reemplazo de pagos
2.5 Resumen
2.6 Preguntas
2.7 Problemas
2.8 Respuesta a las preguntas
2.9 Resolución de los problemas
2.10 Contenido de la página web de apoyo
Objetivos
• Calcular el monto de un depósito a plazo fijo y el interés de la operación.
• Calcular el valor presente en una operación de descuento.
• Calcular una tasa proporcional.
• Calcular un capital equivalente dando un vencimiento común a documentos que vencen en diferentes fechas.
2.1 Introducción
En el contexto del cálculo financiero, es posible hablar de dos tipos de régimen: simple y compuesto. Entendemos por régimen simple aquel donde los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial de la operación; por lo tanto, los intereses que produce dicho capital son siempre una suma fija.
El régimen simple existe tanto en sentido positivo del tiempo (capitalización) como en sentido negativo del mismo (descuento). En la capitalización vamos desde el presente hacia el futuro cuando depositamos una suma de dinero que gana interés durante un cierto período de tiempo, y en el descuento recorremos el camino inverso cuando calculamos el valor presente de un capital futuro. También veremos que es posible hablar de una tasa de interés vencida y una tasa de descuento o anticipada.
En la vida real, existen numerosas situaciones donde nos encontraremos con el interés simple. ¿Quién no ha realizado alguna vez un depósito a plazo en una institución bancaria? En este caso, los depósitos ganan un interés que se calcula sobre el capital inicial de la operación, por un período de tiempo determinado que puede ser un mes, dos meses, etc. Puesto que no hay capitalización de intereses en el período por el que se realiza el plazo fijo, estos son calculados de acuerdo a las reglas del interés simple. También los intereses de la caja de ahorros dentro del período de capitalización, los préstamos que calculan intereses directos sobre el capital, algunos ajustes de deudas impositivas y algunos casos de sentencias judiciales son ejemplos donde se aplica el interés simple.
En este capítulo veremos las principales operaciones que se realizan mediante el régimen simple, incluyendo el descuento comercial, una operación muy extendida en la práctica. Estableceremos la equivalencia fundamental entre la tasa de interés vencida y la tasa de descuento, y finalmente realizaremos una introducción a la equivalencia de capitales que se encuentran expresados en diferentes momentos de tiempo.
Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz de:
• Calcular el monto de un depósito a plazo fijo y el interés de la operación.
• Calcular el valor presente en una operación de descuento.
• Calcular una tasa proporcional.
• Calcular un capital equivalente dando un vencimiento común a documentos que vencen en diferentes fechas.
2.2 Monto a interés simple
Las características principales del monto a interés simple son las siguientes:
1.Los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial, de forma que los intereses no generan nuevos intereses, el capital inicial permanece constante hasta la fecha en que haya sido convenido su reembolso.1
2. Se deduce de 1 que los intereses representan una suma fija, no existe, por lo tanto, capitalización de intereses.
3. Los intereses son proporcionales al capital, al tiempo y a la tasa de interés de la operación.
La mejor forma de apreciar las variables que componen una operación de interés simple y su evolución es observar el cuadro que se desarrolla a continuación:
Evolución del interés simple
Tabla 2.1 Evolución del interés simple
Note que para obtener esta expresión solo multiplicamos el capital original de la operación por el factor de capitalización (1 + ni) transformando el capital inicial en un capital equivalente final o monto. Por ejemplo, si contáramos con 100 € que se invierten durante 5 meses a una tasa de interés del 2 % mensual, al final del plazo tendremos:
Fórmulas derivadas del monto a interés simple
Las fórmulas que se derivan de la fórmula genérica del monto a interés simple solo requieren simples despejes de términos. Realizaremos algunos comentarios respecto a ellas por que creemos que pueden revestir interés.
Tabla 2.2 Fórmulas del interés simple
a. Fórmula del capital inicial
Simplemente, el capital inicial se obtiene descontando por n períodos el monto o capital final. Por caso, un capital final de 150 €, que fue obtenido con una tasa de interés del 10 % al cabo de 5 períodos, tiene hoy un valor de:
b. Fórmula de la tasa de interés
Esta fórmula es muy intuitiva, ya que se aplica muchas veces de manera automática para obtener porcentajes de rendimiento, aunque no se concozca su naturaleza. Piense por un momento que usted vende un bien a 150 € que adquirió cierto tiempo atrás por 120 €. El tiempo que media representa el período de la operación que para nosotros será igual a 1 (1 mes, 1 bimestre, un período de cierta cantidad de días, no importa realmente cuánto tiempo, para nosotros representa un período en este caso). Ahora supongamos que usted quiere conocer el porcentaje de rendimiento de esa operación. El cálculo intuitivo es tomar los 150, dividirlo por 120 y restar el 1 (uno):
Pues bien, la tasa de interés se calcula de esa forma, ya que representa la fórmula que resulta de obtener la tasa a partir de la fórmula del monto:
c. Fórmula del número de períodos
Simplemente, observe que el numerador de la fórmula representa el interés acumulado, de forma tal que también puede escribirse:
d. Fórmula del interés acumulado
La fórmula del interés acumulado también puede razonarse como la diferencia entre el monto y el capital inicial:
O como la suma de todos los intereses periódicos:
En el régimen simple, las tasas siempre se suman.
e. Fórmula del monto a interés simple cuando cambia la tasa de interés y rigen por períodos irregulares
En la práctica, la tasa de interés no es constante, y también es posible que cada tasa se gane por períodos de tiempo diferentes; en este caso, no podemos utilizar la fórmula genérica del interés simple, puesto que la tasa es posible que se haya modificado mensualmente. En ese caso, desarrollaremos un factor de capitalización sumando las distintas tasas i1, i2... in, para los diferentes períodos de tiempo, (en el caso de que sean diferentes, los llamaremos p1, p2... pn). La fórmula resultante es:
