Mathematik verstehen mit fischertechnik® E-Book

Thomas Püttmann

• Herausgeber: dpunkt.verlag
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2022

Seitenzahl: 355

Beschreibung

Mathematik spielend, konstruktiv und mit allen Sinnen verstehen und begreifen.

• Geometrie und schwierige Algebra spielend erlernen
• Mit fischertechnik Spaß an Mathematik haben
• Mathematische Kernkonzepte aus einer neuen, faszinierenden Perspektive

28 Modelle zum Nachbauen und Experimentieren laden dich zu einer Reise durch die Welt der Mathematik ein. Durch die zählenden, rechnenden, zeichnenden und messenden Apparate lernst du mathematische Kernkonzepte aus einer neuen, faszinierenden Perspektive kennen. Thematisch spannt das Buch einen weiten Bogen durch die Schulmathematik und darüber hinaus - von einfachen Instrumenten wie dem Zirkel über funktionsfähige Rechenmaschinen bis hin zu Apparaten, die lineare Gleichungssysteme lösen oder Sinusfunktionen grafisch überlagern.

Das Buch wendet sich gleichermaßen an Schüler, Lehrer, Hobbyisten, Enthusiasten und an jeden, der Mathematik mag. Es ist in einem motivierenden Fragen-und-Antworten-Stil geschrieben. Dadurch kannst du selbst bestimmen, ob du über das experimentelle Verständnis zu einem Thema hinausgehen möchtest und wie weit du die Theorie dahinter verstehen möchtest.

In jedem Kapitel werden noch Literatur und Links ergänzt, wie auch eine Einzelteilliste.

Leseprobe

Thomas Püttmann ist außerplanmäßiger Professor für Mathematik an der Ruhr-Universität Bochum. Die Modelle in diesem Buch hat er über viele Jahre in Workshops für Schülerinnen und Schüler und in universitären Seminaren erprobt und verbessert. Gemeinsam mit Dirk Fox hat er die beiden Bücher »Technikgeschichte mit fischertechnik®« und »fischertechnik®-Roboter mit Arduino« geschrieben, die ebenfalls im dpunkt.verlag erschienen sind. Er ist verheiratet und hat vier Kinder.

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Thomas Püttmann

Mathematik verstehen mit fischertechnik®

28 faszinierende Modelle bauen, die rechnen, zeichnen und messen

Thomas Püttmann

[email protected]

Lektorat: Dr. Michael Barabas

Projektkoordinierung/Lektoratsassistenz: Anja Weimer

Copy-Editing: Alexander Reischert, www.aluan.de

Satz: Ulrich Borstelmann, www.borstelmann.de

Herstellung: Stefanie Weidner, Frank Heidt

Umschlaggestaltung: Helmut Kraus, www.exclam.de

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

ISBN:

Print 978-3-86490-936-8

PDF 978-3-96910-914-4

ePub 978-3-96910-915-1

mobi 978-3-96910-916-8

1. Auflage 2023

Copyright © 2023 dpunkt.verlag GmbH

Wieblinger Weg 17

69123 Heidelberg

Hinweis:

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Es wird darauf hingewiesen, dass die im Buch verwendeten Soft- und Hardware-Bezeichnungen sowie Markennamen und Produktbezeichnungen der jeweiligen Firmen im Allgemeinen warenzeichen-, marken- oder patentrechtlichem Schutz unterliegen.

Dies gilt insbesondere für »fischertechnik«, eine eingetragene Marke der fischertechnik GmbH, 72178 Waldachtal. Alle Angaben und Programme in diesem Buch wurden mit größter Sorgfalt kontrolliert. Weder Autor noch Verlag können jedoch für Schäden haftbar gemacht werden, die in Zusammenhang mit der Verwendung dieses Buches stehen.

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Vorwort

Liebe Leserin, lieber Leser,

herzlich willkommen in der Welt der mathematischen Modelle aus fischertechnik!

Dieses Buch stellt dir in 28 Kapiteln ganz verschiedene mathematische Instrumente, Apparate und Gegenstände vor und lädt dich zum Bauen und Experimentieren ein.

Natürlich soll dir das Bauen und Experimentieren in erster Linie Spaß machen. Auch wenn du eigentlich nur an fischertechnik interessiert bist und mit Mathematik nicht viel am Hut hast, wirst du hoffentlich einige Modelle finden, die dein Interesse wecken.

Das Ziel dieses Buchs ist es natürlich auch, Mathematik zu vermitteln. Zunächst einmal ohne viele Worte, sondern durch Hand und Auge in den Kopf. Hast du ein Modell nach der Bauanleitung am Ende eines Kapitels zusammengebaut, so findest du am Anfang des Kapitels meist direkt eine Bedienungsanleitung. Damit kannst du loslegen, d. h. mit den Modellen zeichnen, messen, rechnen. Dabei werden sich automatisch einige Fragen sowie viele kleinere oder größere Aha-Effekte ergeben.

Erst danach erkläre ich den mathematischen Hintergrund und gebe dir weitere Informationen. Durch die Strukturierung in Fragen und Antworten kannst du dabei das herauspicken, was dich am meisten interessiert, und das überspringen, was dir noch zu schwierig erscheint.

Einige der Apparate und Objekte kennst du bestimmt, von anderen hast du vielleicht schon einmal gehört. Ich konnte allerdings auch einige übersehene Schätze bergen: Die Schleppe, der Selbstenttwister, der Seilcomputer, der Isograph und der Faktorisierer haben aus unterschiedlichen Gründen nie einen größeren Bekanntheitsgrad erreicht. Ich stelle sie in diesem Buch detailliert vor und hoffe, dass sie als Lernobjekte einen bleibenden Wert haben werden.

Besonders wichtig ist mir, dass alle Modelle tatsächlich funktionieren. Einige haben sogar einen hohen Gebrauchswert. Ich selbst verwende keinen anderen Zirkel mehr und nutze gerne meine Schleppe, wenn ich gelegentlich einen Flächeninhalt messe, oder meinen Sextanten bei Himmelsbeobachtungen. Einer meiner Söhne hat wochenlang seine Grundschulrechenaufgaben mit den Multiplikationswalzen durchgeführt.

Mathematik durch Modelle und Exponate zu vermitteln ist nicht neu. Bahnbrechend in den letzten Jahrzehnten war die Gründung des mathematischen Mitmachmuseums Mathematikum in Gießen durch Albrecht Beutelspacher im Jahre 2002, in dessen Folge weltweit eine ganze Reihe ähnlicher Institutionen entstanden ist. Ein Besuch des Mathematikums lohnt sich auf jeden Fall!

Das gilt auch für viele andere Museen. Im Arithmeum in Bonn und im Heinz-Nixdorff-MuseumsForum in Paderborn zum Beispiel findest du neben phänomenalen Sammlungen von Rechenhilfsmitteln, Rechenmaschinen und Computern schöne und lehrreiche Exponate zum Ausprobieren.

Auch an einigen Universitäten sind mathematische Modellsammlungen in den letzten Jahren wieder liebevoll entstaubt und ergänzt worden. Eine der ersten solcher Sammlungen stammte von dem bedeutenden Mathematiker Felix Klein (1845–1925), der sich entschieden für den Einsatz von Modellen in der Lehre einsetzte. Von ihm stammt der Satz:

»Wie heute, so war auch damals der Zweck des Modells, nicht etwa Schwäche der Anschauung auszugleichen, sondern eine lebendige, deutliche Anschauung zu entwickeln, ein Ziel, das vor allem durch das Selbstanfertigen von Modellen am besten erreicht wird.«

Durch das »Selbstanfertigen« lernst du die Modelle in allen Details kennen und begreifst, wie die einzelnen Einheiten zusammenspielen und was dabei wesentlich ist. Oft verstehst du genau dadurch auch die Feinheiten eines mathematischen Konzepts.

Damit die komplexeren Modelle auch funktionieren, musst du beim Zusammenbau zwangsläufig sehr gut mitdenken. Daher präsentiere ich dir die Bauanleitungen in Form von über 600 Fotos, die das Verständnis für die Funktionseinheiten unterstützen.

Das Zusammenbauen und Zum-Laufen-Bringen der komplexeren Modelle schult dein Durchhaltevermögen und deine Frustrationstoleranz – beides Eigenschaften, die in einem naturwissenschaftlichen oder ingenieurwissenschaftlichen Studium, einem technischen Beruf oder einer handwerklichen Ausbildung sehr hilfreich sein können.

Die Modelle in diesem Buch hätte ich so nicht bauen können ohne die vielen Tricks und Kniffe, die ich auf Ausstellungen, in der ft:pedia, im Clubblatt des fischertechnikclub Niederlande, im Bilderpool der ftcommunity und in persönlichen Gesprächen von anderen fischertechnik-Begeisterten gelernt habe. Dafür möchte ich mich herzlich bedanken!

Viele Modelle können lehrplankonform im Schulunterricht eingesetzt werden. Ich selbst habe sie in mehr als 30 Workshops für Schülerinnen und Schüler erprobt und verbessert. Oft haben nur kleine Änderungen an den Modellen für einen deutlich reibungsloseren Ablauf der Lehreinheiten gesorgt. Mein Dank gilt hier den Lehrerinnen und Lehrern der Schulklassen für die gute Zusammenarbeit und Raphaela Meißner und Klaus Trimborn vom Bochumer zdi-Netzwerk IST.bochum für die Koordination und Förderung.

Vor diesem Buch habe ich zusammen mit Dirk Fox die beiden Bücher Technikgeschichte mit fischertechnik® und fischertechnik®-Roboter mit Arduino geschrieben, die ebenfalls im dpunkt.verlag erschienen sind. Durch die Zusammenarbeit mit Dirk habe ich vieles gelernt, das in das aktuelle Buch eingeflossen ist. Auch dafür sage ich gerne danke!

Abschließend möchte ich mich noch beim freundlichen Team vom dpunkt.verlag für die konstruktive Zusammenarbeit bedanken und bei meiner Familie für die Unterstützung.

Bochum, 6. Juli 2022

Thomas Püttmann

Was du brauchst

Zuerst einmal brauchst du natürlich fischertechnik. Die benötigten Teile für jedes Modell findest du in den Teilelisten auf der Webseite zum Buch unter:

http://mathematik-mit-fischertechnik.de

Falls du fischertechnik-Neuling bist oder zu wenige Teile besitzt, stelle ich dir auf dieser Internetseite auch Möglichkeiten vor, wie du an die Teile kommen kannst.

Viele Instrumente und Apparate verfügen über Skalen oder Beschriftungen. Die dafür benötigte Datei zum Ausdrucken findest du unter:

http://mathematik-mit-fischertechnik.de/Druckmaterial.pdf

Darüber hinaus brauchst du:

Stabilo-Fineliner in verschiedenen Farben (

Kapitel 1

,

2

,

9

,

21

–

26

)

eine Stecknadel (

Kapitel 1

)

Leinen- oder Ramiezwirn (

Kapitel 20

–

26

)

doppelseitiges transparentes Klebeband (

Kapitel 3

,

6

,

8

,

14

,

15

,

16

,

18

,

19

,

20

,

27

,

28

)

bedruckbare Overhead-Folie (

Kapitel 6

,

10

)

Die Stabilo-Fineliner kannst du in jedem Schreibwarengeschäft bekommen, die Stecknadel und den Leinenzwirn in fast jeder Kurzwarenabteilung. Als doppelseitiges Klebeband kann ich das Klebeband Knorr prandell 217901105 sehr empfehlen, das du im Online-Versandhandel beziehen kannst. Die Breite von 15 mm passt genau zum fischertechnik-System. Es eignet sich hervorragend zum Anbringen der Skalen und Beschriftungen.

1 Der Zirkel

Du möchtest Kreise in leuchtenden Farben statt im matten Grau der Zirkelminen? Dann bau dir diesen präzisen Zirkel aus fischertechnik. Ob bei Konstruktionen im Unterricht oder beim Zeichnen und Basteln zuhause, überall unterstützen die Farben deine Ideen und deine Kreativität.

Anzahl der Teile: 19 (Zirkel)

Größte Schwierigkeit: Ausrichten der Stecknadel

Bauzeit: 10 min

Lehrplanbezug: Kreise und ihre Eigenschaften, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

1.1 Fragen und Antworten

Wie benutze ich den Zirkel?

Du stellst den gewünschten Radius des Kreises ein, indem du die beiden Drehscheiben gegeneinander verdrehst. Der Radius ist der Abstand zwischen der Spitze der Stecknadel und der Spitze des Stiftes. Mit der Stecknadel stichst du in einen Punkt auf dem Blatt Papier, setzt den Stift auf und drehst ihn ohne Druck am Stiftende um den Einstichpunkt.

Abb. 1–1: Der Zirkel im Einsatz

Was genau ist ein Kreis?

Ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r besteht aus allen Punkten, die von M die Entfernung r besitzen. Genau dieses mathematische Konzept setzt der Zirkel mechanisch um. Allerdings etwas indirekt: Du stellst den Radius (einen Abstand) über einen Winkel ein. Direkter ist es beim Stangenzirkel. Bei ihm stellst du die Entfernung des Stiftes zum Mittelpunkt direkt durch Verschieben ein. Ein Stangenzirkel ist für große Radien oder für den Einsatz von Schneidwerkzeugen sehr gut geeignet. Der Stift bzw. das Werkzeug steht nämlich stets senkrecht auf dem Untergrund.

Abb. 1–2: Der Stangenzirkel

Wozu soll ich Kreise zeichnen?

Zunächst, weil es Spaß macht. Probiere doch einmal Folgendes aus: Du zeichnest einen Kreis. Ohne den Radius zu verändern, stichst du die Nadel danach in einen Punkt der Kreislinie und zeichnest einen weiteren Kreis. Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten. Um diese Punkte zeichnest du wieder zwei Kreise. Mit weiteren Kreisen um die Schnittpunkte kannst du die Zeichnung zu einer wunderschönen Rosette vervollständigen. Ist es nicht faszinierend, mit welcher Präzision sich mehrere Kreislinien in einem Punkt schneiden?

Abb. 1–3: Eine Rosette – mit unserem Zirkel gezeichnet

Kreise zu zeichnen, ist natürlich auch nützlich. Beim Basteln aller möglichen Gegenstände aus Papier, Karton oder Holz kannst du einen Zirkel häufig sehr gut gebrauchen.

Schließlich ist ein Zirkel neben dem Geodreieck das wichtigste Werkzeug im Geometrieunterricht. Es gibt spannende Konstruktionen, die leider heutzutage in der Schule oft viel zu kurz kommen. Dabei gibt es nichts Besseres, um mathematisches Denken zu erlernen.

Was ist eine geometrische Konstruktion?

Eine geometrische Konstruktion ist wie ein Krimi. Du bist der Detektiv. Du musst beobachten, Fragen stellen, vermuten und diese Vermutungen entweder als falsch erkennen oder durch Kombinieren beweisen. Immer wieder betreten neue Figuren die Bühne und du musst einschätzen, ob sie für deinen Fall wichtig oder unwichtig sind und welche Rolle sie spielen. Du musst dich in Beziehungsgeflechte eindenken. Anders als im Krimi geht es allerdings nie um Missetaten oder Schlechtigkeiten, sondern immer um positive Eigenschaften. Außerdem ist es vollkommen ungefährlich. Hast du den Fall am Ende gelöst, ist das ein erhebendes Gefühl. Viel stärker, als wenn du ein Puzzle mit 1000 Teilen zusammengesetzt hast!

Ich zeige dir ein paar einfache Beispiele. Am besten nimmst du dir deinen Zirkel, ein Lineal sowie ein Blatt Papier und konstruierst einfach mit.

Wie kann ich einen Kreis mit 5 cm Radius durch zwei Punkte legen?

Auf das Blatt Papier zeichnest du zwei Punkte und nennst sie A und B. Wie kannst du einen Kreis zeichnen, der durch die beiden Punkte verläuft und den Radius 5 cm hat?

Abb. 1–4: Wie zeichnet man einen Kreis mit 5 cm Radius durch A und B?

Vielleicht weißt du zunächst nicht, wie du anfangen sollst. Dann versuche herauszufinden, was genau du nicht weißt. Hier ist es recht einfach: Du weißt nicht, wo du deinen Zirkel einstechen sollst.

Wenn man keine Idee hat, sollte man deswegen nicht in Untätigkeit verfallen. Wie im Sport ist die Bewegung in der Mathematik das Wichtigste. Spiele ein bisschen mit dem herum, was in der Aufgabe steht. Wenn dir nichts anderes direkt einfällt, zeichne doch einfach Kreise mit einem Radius von 5 cm um die Punkte A und B. Es sind ja bis jetzt keine anderen Punkte da!

Abb. 1–5: Kreise mit einem Radius von 5 cm um die Punkte A und B

Vermutlich schneiden sich deine beiden Kreise in zwei Punkten. Nenne diese Punkte C und D. Das sind neue Mittelpunkte für deinen Zirkel! Stich gleich in diese Punkte ein und zeichne zwei weitere Kreise mit einem Radius von 5 cm. Diese Kreise verlaufen durch die Punkte A und B. Wie aus dem Nichts ist dein Problem gelöst! Und du hast nicht nur eine Lösung für dein Problem gefunden, sondern gleich zwei.

Abb. 1–6: Die Kreise mit 5 cm Radius um C und D verlaufen durch A und B

.

Warum funktioniert diese Konstruktion nun? Der Punkt C liegt auf dem Kreis um A mit Radius 5 cm und auf dem Kreis um B mit Radius 5 cm. Er ist also von beiden Punkten 5 cm entfernt. Wenn wir nun einen Kreis mit einem Radius von 5 cm um C schlagen, so muss dieser durch die Punkte A und B gehen. Ebenso der Kreis mit einem Radius von 5 cm um D.

Was aber, wenn sich die beiden ursprünglichen Kreise um A und B in Abbildung 1–5 gar nicht schneiden? Das könnte nur dann passieren, wenn A und B weiter als 10 cm voneinander entfernt sind. In diesem Fall gibt es keinen Kreis mit Radius 5 cm durch A und B.

Wie kommt hierbei Symmetrie ins Spiel?

Zeichne die Gerade durch C und D.

Abb. 1–7: Die Gerade durch die Punkte C und D

Falte die linke Hälfte des Papiers auf die rechte Hälfte sorgfältig entlang dieser grünen Geraden. Was stellst du fest?

Genau: Der Punkt A landet auf dem Punkt B, die beiden blauen Kreise landen aufeinander, die beiden roten jeder auf sich. Alles, was du gezeichnet hast, ist symmetrisch zur grünen Geraden. Warum ist das so?

Du kannst sagen, das sei offensichtlich. Aber das ist kein Beweis. Ein stichhaltiges Argument anzugeben, ist am Anfang nicht leicht. Es wird aber leichter mit jeder Konstruktion, die du gesehen hast, und mit jeder Minute, die du in solche Probleme investierst.

Der entscheidende Punkt ist, dass die Punkte C und D auf dem Falz liegen. Um das zu verstehen, falte das Blatt auseinander, drehe es auf die Rückseite, suche die Einstichstellen von C und D, stich dort noch einmal mit dem Zirkel ein und zeichne rote Kreise mit dem gleichen Radius wie zuvor. Sie liegen natürlich genau über den roten Kreisen auf der Vorderseite. Die Entfernungen auf der Vorder- und der Rückseite des Blatts sind ja gleich. Auch die Schnittpunkte der beiden neuen Kreise liegen daher genau über den Punkten A und B auf der anderen Seite.

Wenn du jetzt das Blatt wieder wie zuvor zusammenfaltest, siehst du, warum der Punkt A auf dem Punkt B landet. Stich noch einmal in die Punkte C und D auf dem Falz und zeichne um diese Punkte rote Halbkreise mit dem gleichen Radius wie zuvor. Natürlich zeichnest du dabei nur die Halbkreise auf der Rückseite des Blatts nach. Andererseits zeichnest du sie jetzt genau über die darunterliegenden Halbkreise auf der rechten Vorderseite des Blatts. Somit muss der Schnittpunkt A auf den Schnittpunkt B fallen.

Die Gerade durch C und D heißt die Mittelsenkrechte von A und B. Warum? Falte das Papier einmal sorgfältig entlang der Geraden durch A und B. Du beobachtest, dass dabei die obere Hälfte der grünen Geraden durch C und D auf die untere Hälfte gelegt wird. Vielleicht kannst du sogar wie oben begründen, warum das so sein muss? Wenn du noch einmal längs der Geraden durch C und D faltest, siehst du, dass die vier Winkel zwischen den Geraden durch A und B und durch C und D alle aufeinanderliegen und daher gleich groß sind. Auseinandergefaltet ergeben sie zusammen 360°, also muss jeder 90° groß sein.

Abb. 1–8: Jeder Punkt E auf der Mittelsenkrechten ist gleich weit von A und B entfernt

.

Die Gerade durch C und D verläuft also senkrecht zur Geraden durch A und B. Sie liegt auch in der Mitte. Es gilt sogar noch mehr: Jeder Punkt E auf der Mittelsenkrechten von A und B ist gleich weit von A und von B entfernt. Der Punkt E liegt ja auf dem Falz und der Punkt A landet beim Falten auf dem Punkt B. Darum landet auch die Strecke zwischen E und A beim Falten auf der Strecke zwischen E und B. Die beiden Strecken EA und EB sind also gleich lang.

Wie kann ich durch drei Punkte einen Kreis zeichnen?

Zeichne drei verschiedene Punkte auf ein Blatt Papier und nenne sie A, B und C.

Abb. 1–9: Wie kann man einen Kreis durch drei Punkte zeichnen?

Du möchtest einen Kreis durch die drei Punkte zeichnen. Wie machst du das?

Zuerst konstruierst du die Mittelsenkrechte von A und B. Dazu stellst du den Zirkel auf einen Radius ein, der größer ist als die Entfernung zwischen A und B, und zeichnest damit Kreisbögen um A und B, die sich in zwei Punkten schneiden. Die Schnittpunkte verbindest du durch eine Gerade. Ebenso konstruierst du die Mittelsenkrechte von B und C. Die Punkte auf der Mittelsenkrechten von A und B besitzen die gleiche Entfernung zu A und zu B, die Punkte auf der Mittelsenkrechten von B und C besitzen die gleiche Entfernung zu B und C. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist also von allen drei Punkten A, B und C gleich weit entfernt! Das ist der geeignete Mittelpunkt für deinen Kreis. Bezeichne ihn daher mit M. Stich dort ein und zeichne einen Kreis durch alle drei Punkte.

Abb. 1–10: Konstruktion des Umkreismittelpunkts mithilfe zweier Mittelsenkrechten

Man nennt M den Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC. Vielleicht hast du ihn in der Schule kennengelernt.

Übrigens verläuft natürlich auch die dritte Mittelsenkrechte von B und C durch M. Und es ist schon etwas Besonderes, wenn sich drei Geraden in einem Punkt schneiden. Drei zufällig hingezeichnete Geraden umranden normalerweise ein Dreieck.

Diese Konstruktion kannst du auch sehr gut beim Basteln oder Werken einsetzen, zum Beispiel wenn du einen großen Kreis mit einem Teller auf Sperrholz gezeichnet hast und ein Loch genau in die Kreismitte bohren möchtest. Markiere dann einfach drei Punkte auf dem Kreisrand und konstruiere zwei Mittelsenkrechten.

1.2 Ausblick

Viele Hintergrundinformationen zu allen möglichen Arten von Zirkeln und Pantografen, Längen- und Winkelmessern findest du in dem Buch [1]. Darin gibt es auch viele aussagekräftige Fotos von Originalinstrumenten.

Mit Zirkel und Lineal kannst du viele elementargeometrische Konstruktionen durchführen. In alten Schulbüchern der Klassen 6–8 wurden diese Konstruktionen oft sehr gut aufbereitet und dargestellt. Gelegentlich gibt es in Schulen noch nicht entsorgte Restexemplare, die dir deine Lehrerin oder dein Lehrer gerne kostenlos überlassen.

Wenn dir Zeichnungen mit Zirkel und Lineal Spaß machen, solltest du auch einmal ein regelmäßiges Fünfeck konstruieren. Anders als beim regelmäßigen Dreieck, Viereck und Sechseck wirst du die Konstruktion kaum alleine finden. Ein regelmäßiges 7-Eck andererseits lässt sich überhaupt nicht ausschließlich mit Zirkel und Lineal konstruieren. Eine Übersicht zu diesem Thema findest du in dem Video [2].

[

1

]

H.-J. Vollrath,

Verborgene Ideen

, Springer Spektrum, Wiesbaden 2013.

[

2

]

E. Weitz, Das regelmäßige 17-Eck und andere Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, YouTube-Video vom 03.09.2017,

https://youtu.be/1Ye9KLRgwxc

, zuletzt abgerufen am 10.08.2022.

1.3 Bauanleitung

Zirkel

Versieh zunächst die Drehscheibe mit einer Flachnabe. Stecke eine Achse 50 in die Nabe und ziehe die Nabe anschließend fest an.

Abb. 1–11: Die Drehscheibe mit Achse 50

Setze den oberen und den unteren Stifthalter zusammen und baue sie an die Drehscheibe.

Abb. 1–12: Oberer Stifthalter

Abb. 1–13: Drehscheibe mit Stifthaltern

Als Nächstes befestigst du eine Stecknadel mit zwei Klemmbuchsen an einer Achse 60. Diese Achse steckst du in eine zweite Drehscheibe, die Rücken an Rücken mit der ersten Drehscheibe auf der Achse 50 festgezogen wird. Beide Naben sollten gut festgezogen werden, aber noch ohne Gewalt gegeneinander verdreht werden können.

Abb. 1–14: Achse 60 mit Stecknadel

Abb. 1–15: Die zweite Drehscheibe

Die Achse mit der Nadel drehst du so, dass die Nadel innen liegt. Den Fineliner drückst du so in die Stifthalter, dass seine Spitze möglichst nah an der Nadelspitze liegt.

Abb. 1–16: Der fertige Zirkel

Stangenzirkel

Baue zunächst das Zirkellager und den Räderblock zusammen.

Abb. 1–17: Das Zirkellager mit Halter

Abb. 1–18: Der Räderblock

Es folgen die Dreheinheit und der Schlitten.

Abb. 1–19: Die Dreheinheit

Abb. 1–20: Der Schlitten

Auf den Abbildungen 1–21 und 1–22 erkennst du, wie der Schlitten, die Dreheinheit und der Räderblock auf die beiden Achsen 260 geschoben werden. Dreheinheit und Räderblock werden durch Klemmringe fixiert.

Abb. 1–21: Dreheinheit und Schlitten auf den Achsen 260

Abb. 1–22: Schlitten und Räderblock auf den Achsen 260

Abb. 1–23: Der fertige Stangenzirkel

2 Der Fasskreis

Möchtest du Kreise einmal ganz anders zeichnen als mit einem Zirkel? Statt mit einem konstanten Abstand mit einem konstanten Winkel? Unser fischertechnik-Modell lädt dich ein, diese ungewöhnliche Art, Kreise zu zeichnen, einmal auszuprobieren.

Anzahl der Teile: 20

Bauzeit: 10 min

Lehrplanbezug: Gleichschenklige Dreiecke, Satz vom Fasskreis

2.1 Fragen und Antworten

Was ist ein Fasskreisbogen?

Am besten baust du dazu gleich das Modell aus Abbildung 2–1 auf. Wenn du die beiden Achsen in Gedanken verlängerst, treffen sie sich unter einem Winkel von 60° in der Mitte der Drehscheibe. Genau durch diesen Mittelpunkt sollte der Stift gehen. Ziehe den Stift möglichst nah an A heran und bewege ihn dann locker in die Richtung, in die er sich am leichtesten ziehen lässt. Der Stift zeichnet nun einen Kreisbogen. Je weniger Führung du ausübst, desto genauer gelingt er. Dieser Kreisbogen heißt Fasskreisbogen zu den beiden Punkten A und B und dem Winkel 60°. Von jedem Punkt dieses Kreisbogens siehst du die beiden Punkte A und B unter dem Winkel 60°.

Abb. 2–1: Ein Fasskreisbogen

Zeichnet das Modell tatsächlich einen Kreisbogen?

Das ist eine gute Frage. Nur weil etwas in etwa wie ein Kreisbogen aussieht, muss es ja noch lange kein Kreisbogen sein. Die Antwort ist: Ja. Wir werden das später beweisen. Das braucht allerdings ein paar Vorbereitungen. Am besten überprüfst du es erst einmal praktisch. Markiere die Drehpunkte A und B der beiden Lager auf dem Papier, verbinde sie durch eine Strecke und trage in A und B jeweils 30°-Winkel ab. Die beiden neuen Strahlen schneiden sich in einem Punkt M. Stich dort mit deinem Zirkel ein und zeichne einen Kreis durch die Punkte A und B. Glaubst du jetzt, dass das Modell einen Kreisbogen zeichnet?

Abb. 2–2: Vergleich mit einem gezirkelten Kreis

Wie viele Fasskreisbögen gibt es?

Zu einem vorgegebenen Winkel α und zwei Punkten A und B gibt es genau zwei Fasskreisbögen, von denen aus man die Punkte A und B unter dem Winkel α sieht. Beide Fasskreisbögen sind spiegelsymmetrisch zur Geraden durch die Punkte A und B.

In Abbildung 2–1 könntest du den zweiten Fasskreisbogen zeichnen, indem du das Modell um den Mittelpunkt zwischen A und B um 180° drehst. Die gezeichnete Figur insgesamt ähnelt dann einem Schmetterling.

Wodurch unterscheiden sich die beiden Fasskreisbögen?

Stell dir vor, du befindest dich in Abbildung 2–1 dort, wo der Stift ist, und schaust auf die Strecke von A nach B. Dann siehst du A rechts und B links. Vom spiegelsymmetrischen unteren Fasskreisbogen aus siehst du A links und B rechts.

Gehen die Fasskreisbögen bis zu den Punkten A und B?

Ja. Unser Modell kann allerdings die letzten Abschnitte bis zu diesen Punkten nicht mehr zeichnen.

Was ist eine Sehne?

Ein Bogen zum Schießen hat eine Sehne. Genauso ist es auch bei einem Kreisbogen. Verbindest du die Endpunkte eines Kreisbogens durch eine Strecke, so nennt man diese Strecke Sehne. Die Statikträger zwischen den Punkten A und B in Abbildung 2–1 verlaufen also entlang der Sehne des Fasskreisbogens.

Was ist der Sehnen-Winkel-Satz?

Der Sehnen-Winkel-Satz besagt, dass man von jedem Punkt S auf einem Kreisbogen die zugehörige Sehne immer unter dem gleichen Winkel sieht.

Abb. 2–3: Die grüne Sehne wird von jedem Punkt S auf dem Kreisbogen unter dem gleichen Winkel gesehen

.

Der Sehnen-Winkel-Satz beantwortet nicht direkt unsere ursprüngliche Frage, warum unser Modell einen Kreisbogen zeichnet. Bei unserem Modell liegen der Winkel und die beiden Punkte A und B durch die Konstruktion fest. Der Kreisbogen ist das Ergebnis.

Beim Sehnen-Winkel-Satz sind Kreisbogen und Sehne zuerst da und die Konstanz des Winkels ist das Ergebnis.

Der Beweis des Sehnen-Winkel-Satzes kann uns aber helfen, unsere ursprüngliche Frage zu beantworten.

Wie kann man den Sehnen-Winkel-Satz beweisen?

Der Schlüssel zum Erfolg liegt bei geometrischen Problemen oft darin, weitere Strecken, Geraden oder Kreisbögen zu ergänzen. Hier sind das die Kreisradien vom Mittelpunkt M zu den Punkten A, B und S.

Abb. 2–4: Ergänzung der Strecken zum Kreismittelpunkt

Die Kreisradien sind alle gleich lang. Daher sind die Dreiecke ΔAMB, ΔAMS und ΔBMS alle gleichschenklig. In gleichschenkligen Dreiecken sind die zwei Basiswinkel gleich groß, siehe Abbildung 2–4.

Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck beträgt 180°. Daher gilt:

180°(α+γ)+(γ+β)+(β+α)2(α+β+γ)

Wenn du die Gleichung halbierst und danach auf beiden Seiten y abziehst, erhältst du:

α+β90°−γ

Das ist der gesuchte Winkel bei S. Und er hängt gar nicht vom Punkt S ab! Schon Kreisbogen und Sehne allein legen ja fest, wie groß der Winkel γ ist. Egal wohin du den Punkt S auf dem Kreisbogen verschiebst, immer wird der Winkel dort 90°−γ groß sein.

Was passiert, wenn der Kreisbogen 180° oder weniger umfasst?

Bei solchen geometrischen Problemen muss man oft zwei oder sogar mehr Fälle unterscheiden. So ist das auch hier. Wenn der Kreisbogen 180° oder weniger umfasst, liegt der Kreismittelpunkt nicht mehr in der Figur, die aus Kreisbogen und Sehne besteht.

Abb. 2–5: Der Kreismittelpunkt liegt außerhalb der Figur aus Kreisbogen und Sehne.

In diesem Fall siehst du von jedem Punkt S auf dem Kreisbogen die grüne Sehne unter dem Winkel 90°+γ. Überlege dir doch einmal selbst, warum das so ist! Wenn du den Beweis oben verstanden hast, ist es gar nicht so schwer.

Wie kann man Fasskreisbögen mit dem Zirkel zeichnen?

Möchtest du den Fasskreisbogen zur Sehne AB und dem Winkel δ mit dem Zirkel zeichnen, so gehst du folgendermaßen vor:

Ist der Winkel δ<90° so setze γ90°−δ. Trage den Winkel γ wie in Abbildung 2–4 an beiden Enden der Sehne ab. Der Schnittpunkt der beiden neuen Schenkel ist der Mittelpunkt eines Kreisbogens, von dem aus du A und B unter dem Winkel δ siehst. Um den zweiten Fasskreisbogen zu bekommen, musst du die Winkel γ zur anderen Seite der Sehne abtragen.

Ist der Winkel δ>90°, so setzt du γδ−90°. Passend zu Abbildung 2–5 trägst du den Winkel γ an beiden Enden der Sehne ab und bekommst so den Mittelpunkt eines der beiden Fasskreisbögen. Den zweiten bekommst du, indem du die Winkel auf der anderen Seite der Sehne abträgst.

Kann es weitere Punkte außerhalb der beiden Fasskreisbögen geben, von denen man die Punkte A und B unter einem Winkel δ sieht? Nein. Hast du einen solchen Punkt S, so kannst du den Umkreis durch A, B und S zeichnen (siehe Kapitel Der Zirkel). Die Abbildungen 2–4 bzw. 2–5 zusammen mit den Gleichungen γ90°−δ bzw. γδ−90° zeigen, dass der Umkreisbogen von A über S zu B einer der beiden oben konstruierten Fasskreisbögen ist. Somit liegt S auf einem der beiden Fasskreisbögen.

Kann das Modell nur Fasskreise zu 60°-Winkeln zeichnen?

Durch Umstecken der Achsen in der Drehscheibe kannst du auch Fasskreise zu 120°-Winkeln zeichnen. Auch für Thales-Kreise findest du im Folgenden eine Bauanleitung. Die Winkelauswahl ist damit aber immer noch spärlich. Unser Modell ist daher ein reines Lernmodell. Praktisch kannst du Fasskreise besser mit dem Zirkel zeichnen.

2.2 Bauanleitung

Baue zunächst die beiden Hälften des Stifthalters zusammen und bringe sie an der Drehscheibe an.

Abb. 2–6: Die beiden Hälften des Stifthalters

Abb. 2–7: Anbringen an der Drehscheibe

Danach baust du die Basisstrecke und die drehbaren Lager für die langen Achsen zusammen.

Abb. 2–9: Die drehbaren Lager

Stelle das Modell fertig, indem du die langen Achsen in die Drehscheibe steckst und den Stift einsetzt.

Abb. 2–10: Der fertige Fasskreis-Zeichner

Durch Umstecken der Achsen kannst du Fasskreise mit 120°-Winkeln zeichnen.

Abb. 2–11: Ein Fasskreis zu einem Winkel von 120°

Thales-Kreise sind Fasskreise zum Winkel 90°. Du kannst sie zeichnen, indem du die Achsen wie in