Nichtlineare Finite-Elemente-Analyse von Festkörpern und Strukturen E-Book

René de Borst

• Herausgeber: Wiley-VCH
• Kategorie: Fachliteratur
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2014

Seitenzahl: 671

Beschreibung

Echte Ingenieursprobleme sind intrinsisch nichtlinear. Kennnisse der nichtlinearen Finiten-Elemente-Analyse sind für Maschinenbauer, Bauingenieure und Werkstofftechniker daher unabdingbar. Mit ihrer Hilfe lassen sich mechanische Festigkeitsberechnungen durchführen, zeit- und kostenintensive Tests bei der Produktentwicklung werden so reduziert. Didaktisch schlüssig vom Modell und dessen theoretischer Durchdringung bis zum Algorithmus und dessen praktischer Implementierung bietet dieses Buch eine Einführung in die nichtlineare Finite-Elemente-Analyse ? leicht zugänglich, kompakt und auf die technische Ausrichtung fokussiert: - mathematische und kontinuumsmechanische Grundlagen, Lösungstechniken für nichtlineare Probleme in der statischen und dynamischen Analyse - erste Einblicke in geometrische Nichtlinearitäten - Schädigung, Plastizität und zeitabhängige Nichtlinearitäten - Plastizität von Balken, Bögen und Schalen - elastische und elastoplastische Finite-Elemente-Analyse großer Dehnungen - Einführung in moderne Diskretisierungskonzepte Hilfreich fürs Bestehen von Prüfungen sind die Beispiele im frei erhältlichen Finite-Elemente-Code auf Python?-Basis. Das dazugehörige Hintergrundwissen macht den User mit den Möglichkeiten und Grenzen moderner Finite-Elemente-Software vertraut. Der ideale Einstieg in die nichtlineare Finite-Elemente-Analyse für Studenten und Praktiker ? mit so viel Mathematik wie nötig und so vielen realen Ingenieursproblemen wie möglich. Mit Beispielen im Finite-Elemente-Code auf Python?-Basis unter: www.wiley-vch.de

Leseprobe

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Titel der Originalausgabe: de Borst/Crisfield/ Remmers/Verhoosel „Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures“, 2nd edition (Print-ISBN 9780470666449)

© All Rights Reserved. Authorised translation from the English language edition published by John Wiley & Sons Limited. Responsibility for the accuracy of the translation rests solely with Wiley-VCH Verlag GmbH. & Co. KGaA and is not the responsibility of John Wiley & Sons Limited. No part of this book may be reproduced in any form without the written permission of the original copyright holder, John Wiley & Sons Limited.

Autoren

René de Borst

University of GlasgowGroßbritannien

Mike A. Crisfield †

Imperial College of Science Technology and MedicineGroßbritannien

Joris J. Remmers

TU EindhovenNiederlande

Clemens V. Verhoosel

TU EindhovenNiederlande

Übersetzer

Matthias Delbrück

Am Rebgarten 6669221 DossenheimDeutschland

Alle Bücher von Wiley-VCH werden sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren, Herausgeber und Verlag in keinem Fall, einschließlich des vorliegenden Werkes, für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler irgendeine Haftung.

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Print ISBN 978-3-527-33660-9ePDF ISBN 978-3-527-67797-9ePub ISBN 978-3-527-67802-0Mobi ISBN 978-3-527-67801-3

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort zur zweiten englischen Auflage

Formeln und Abkürzungen

Teil I Grundlegende Konzepte und Lösungstechniken

1 Einleitung

1.1 Ein einfaches Beispiel für nichtlineares Verhalten

1.2 Wiederholung: Grundlagen der Linearen Algebra

1.3 Vektoren und Tensoren

1.4 Spannungs- und Dehnungstensor

1.5 Elastizität

1.6 Die PyFEM-Finite-Elemente-Bibliothek

2 Nichtlineare Finite-Elemente-Analyse

2.1 Gleichgewicht und virtuelle Arbeit

2.2 Räumliche Diskretisierung mit finiten Elementen

2.3 PyFEM-Programme für Ansatzfunktionen

2.4 Inkrementell-iterative Analyse

2.5 Lastkontrolle contra Verschiebungskontrolle

2.6 PyFEM: ein linearer Finite-Elemente-Code mit Verschiebungskontrolle

3 Geometrische Nichtlinearität

3.1 Trägerelemente

3.2 PyFEM: der flache Träger

3.3 Spannungs- und Dehnungsmaße in Kontinua

3.4 Geometrisch nichtlineare Formulierung für Kontinuumselemente

3.5 Lineare Knickanalyse

3.6 PyFEM: geometrisch nichtlineares Kontinuumselement

4 Lösungstechniken für quasistatische Analysen

4.1 Line-Search-Verfahren

4.2 Bogenlängenverfahren

4.3 PyFEM: Implementierung des Riks-Bogenlängen-Solvers

4.4 Stabilität und Eindeutigkeit in diskretisierten Systemen

4.5 Lastschrittweite und Konvergenzkriterien

4.6 Quasi-Newton-Methoden

5 Lösungsverfahren für die nichtlineare Dynamik

5.1 Semidiskrete Gleichungen

5.2 Explizite Zeitintegration

5.3 PyFEM: ein Solver mit expliziter Zeitintegration

5.4 Implizite Zeitintegration

5.5 Stabilität und Genauigkeit bei Nichtlinearitäten

5.6 Algorithmen mit Energieerhaltung

5.7 Zeitschrittkontrolle und Element-Technologie

Teil II Material-Nichtlinearitäten

6 Schädigungsmechanik

6.1 Das Konzept der Schädigung

6.2 Isotrope elastische Schädigung

6.3 PyFEM: Ebene-Dehnung-Schädigungsmodell

6.4 Stabilität, Elliptizität und Gittersensitivität

6.5 Kohäsionszonenmodelle

6.6 Element-Technologie: Eingebettete Unstetigkeiten

6.7 Komplexe Schädigungsmodelle

6.8 Rissmodelle für Beton und andere quasispröde Materialien

6.9 Regularisierte Schädigungsmodelle

7 Plastizität

7.1 Ein einfaches Gleitmodell

7.2 Fließtheorie der Plastizität

7.3 Integration der Spannungs-Dehnungs-Relation

7.4 Tangenten-Steifigkeitsoperatoren

7.5 Multi-Fließflächen-Plastizität

7.6 Bodenplastizität: Cam-Clay-Modell

7.7 Gekoppelte Schädigungs-Plastizitäts-Modelle

7.8 Element-Technologie: volumetrisches Locking

8 Zeitabhängige Stoffmodelle

8.1 Lineare Viskoelastizität

8.2 Kriechmodelle

8.3 Viskoplastizität

Teil III Elementare Bauteile

9 Balken und Bögen

9.1 Ein flacher Bogen

9.2 PyFEM: ein Kirchhoff-Balkenelement

9.3 Korotierende Elemente

9.4 Isoparametrisches entartetes Kontinuums-Balkenelement in zwei Dimensionen

9.5 Isoparametrisches entartetes Kontinuums-Balkenelement in drei Dimensionen

10 Platten und Schalen

10.1 Flache-Schale-Formulierungen

10.2 Isoparametrisches entartetes Kontinuums-Schalenelement

10.3 Festkörperartige Schalenelemente

10.4 Plastizität bei Schalen: das Ilyushin-Kriterium

Teil IV Große Dehnungen

11 Hyperelastizität

11.1 Mehr Kontinuumsmechanik

11.2 Dehnungsenergiefunktionen

11.3 Element-Technologie

12 Elastoplastizität großer Dehnungen

12.1 Euler-Formulierungen

12.2 Multiplikative Elastoplastizität

12.3 Multiplikative Elastoplastizität und Ratenformulierungen

12.4 Integration der Ratengleichungen

12.5 Exponentielle Return-Mapping-Algorithmen

Teil V Fortgeschrittene Diskretisierungskonzepte

13 Grenzflächen und Unstetigkeiten

13.1 Grenzflächenelemente

13.2 Unstetige Galerkin-Methoden

14 Gitterfreie Methoden und die Zerlegung der Eins

14.1 Gitterfreie Methoden

14.2 Ansätze mit einer Zerlegung der Eins

15 Isogeometrische Finite-Elemente-Analyse

15.1 Basisfunktionen in der geometrischen Modellierung

15.2 Isogeometrische finite Elemente

15.3 PyFEM: Ansatzfunktionen für die isogeometrische Analyse

15.4 Isogeometrische Analyse in der nichtlinearen Festkörpermechanik

Literatur

Stichwortverzeichnis

Vorwort zur zweiten englischen Auflage

Als der erste Autor vom Verlag John Wiley & Sons Ltd. gebeten wurde, eine neue Ausgabe von Mike Crisfields berühmtem Buch Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures zu schreiben, hatte er zunächst erhebliche Bedenken. Natürlich würde die Aufgabe einen beachtlichen Arbeitsaufwand bedeuten. Viel schwerer wog aber, dass es unmöglich sein würde, Mikes ganz besonderen Schreibstil beizubehalten, der so sehr zum Erfolg des Buches beigetragen hat. Auf der anderen Seite war es eine lohnende Aufgabe, der Engineering Community ein Buch an die Hand zu geben, das so leicht zugänglich wie möglich ist und dabei sowohl eine breite Einführung in die nichtlineare Finite-Elemente-Analyse als auch Ausblicke auf die neuesten Entwicklungen gibt – und all dies in dem einzigartigen Ingenieursgeist, der in Mikes Buch zum Ausdruck kommt. Dies ist, kurz gesagt, die Philosophie hinter dieser zweiten Auflage. Das Hauptaugenmerk lag definitiv darauf, bei allen inhaltlichen Änderungen immer die technische Ausrichtung mit der Betonung auf praktischen Lösungen beizubehalten.

Eines der Ziele der ursprünglich zweibändigen Ausgabe war es, der Leserin bzw. dem Leser fortgeschrittene nichtlineare Finite-Elemente-Codes zur Verfügung zu stellen – zusammen mit ausreichendem Hintergrundwissen, einer Grundvoraussetzung für die vernünftige Anwendung moderner Finite-Elemente-Software. Eng verwandt damit ist das Ziel, die User mit den Möglichkeiten, aber eben auch den Grenzen und Fallstricken solcher Pakete vertraut zu machen. Seit Mike Crisfields Bemerkungen zum „Black-Box-Syndrom“ im Vorwort zu Band 1 hat sich die Computertechnologie dramatisch weiterentwickelt. Seine Warnungen sind darum heute nur umso wesentlicher, was die Veröffentlichung einer zweiten Auflage zusätzlich rechtfertigt.

Anders als die erste Auflage erscheint diese Ausgabe in einem einzigen Band. Die dazu notwendige Komprimierung des Stoffs wurde erreicht, indem die Diskussion von aus heutiger Sicht weniger zentralen Entwicklungen der numerischen Mechanik gestrafft wurde. Alle Themen werden generell kompakter und stärker fokussiert behandelt. Weiterhin wurde aller FORTRAN-Code aus dem Buch entfernt, stattdessen wurde ein kleiner Finite-Element-Code in Python entwickelt, der über eine begleitende Website erhältlich ist. Hauptzweck dieses Codes ist es, die im Buch vorgestellten Modelle zu illustrieren und zu zeigen, wie sich abstrakte Konzepte in Finite-Elemente-Module umsetzen lassen. Hierzu wird die Theorie jeweils zunächst in Algorithmen transformiert, meistens in gesondert hervorgehobenen Kästen. Anschließend wird auf Grundlage des Literate Programming („beschreibendes Programmieren“) erklärt, wie sich diese Algorithmen in einem PyFEM-Code implementieren lassen, der die grundlegenden numerischen Tools zum Aufbau eines Finite-Elemente-Pakets enthält. Einige in diesem Buch behandelte Lösungstechniken, Element-Formulierungen und Materialmodelle sind beigefügt. Sie werden in einer Reihe von Beispielprogrammen mit zunehmender Komplexität eingesetzt.

Das Buch hat fünf Teile. Teil I diskutiert mathematische und kontinuumsmechanische Grundlagen sowie Lösungstechniken für nichtlineare Probleme in der statischen und dynamischen Analyse und gibt einen ersten Einblick in geometrische Nichtlinearitäten. Manche Begriffe und Konzepte davon sind möglicherweise bereits bekannt, aber sicher nicht alle, sodass die ersten Kapitel auch dazu dienen, eine gemeinsame Basis für die nachfolgenden Teile des Buches zu schaffen. Teil II enthält größere Kapitel über Schädigung, Plastizität und zeitabhängige Nichtlinearitäten wie das Kriechen. Er umfasst alle Material-Nichtlinearitäten, die in diesem Buch behandelt werden, mit Ausnahme der Plastizität von Schalen, die in Teil III thematisiert wird. Dieser konzentriert sich auf Bauteile wie Balken, Bögen und Schalen. Ausgehend von einem einfachen flachen Bogen erstreckt sich die Diskussion bis zu modernen Konzepten wie festkörperartigen Schalentheorien. In Teil IV stellen wir zuerst weitere Begriffe aus der Kontinuumsmechanik vor, die wir in den nachfolgenden Kapiteln über die elastische und elastoplastische Finite-ElementeAnalyse großer Dehnungen benötigen. Teil V gibt schließlich eine Einführung in neuere Diskretisierungskonzepte der letzten zwanzig Jahre: Grenzflächenelemente, unstetige Galerkin-Methoden, gitterfreie Methoden und Methoden auf Basis der Zerlegung der Eins sowie die isogeometrische Analyse. Dabei liegt der Schwerpunkt auf ihrem Potenzial zur Lösung von Problemen der nichtlinearen Analyse, wie etwa Locking-Phänomenen, Schädigung und Bruchprozessen sowie der nichtlinearen Schalenanalyse.

Glasgow und Eindhoven

René de Borst, Joris Remmers, Clemens Verhoosel

Eine persönliche Bemerkung

Wie viele Kollegen und Freunde in der Community habe ich wundervolle Erinnerungen an meine Treffen und Diskussionen mit Mike. Ich werde niemals meine Besuche am Transport and Road Research Laboratory und später beim Imperial College of Science, Technology and Medicine vergessen. Nach einem Tag voller intensiver Diskussionen über Rissausbreitung, Dehnungsentfestigung, Stabilität und Lösungstechniken gingen wir gewöhnlich zu ihm nach Hause, wo seine Frau Kiki sich mit in die Diskussionen einbrachte, welche sich über einem guten Essen auf immer breitere Themenbereiche erstreckten.

Mike war ein echter Wissenschaftler und ein Gentleman. Ich hoffe sehr, dass diese zweite Auflage seinem Andenken gerecht wird und dass sie dazu beiträgt, den Ingenieursgeist in der numerischen Mechanik lebendig zu halten, zu dem er so viel beigetragen hat.

René

Formeln und Abkürzungen

Lineare Algebra und mathematische Operatoren

Grundlegende Kontinuumsmechanik

Elastizität

Finite-Elemente-Datenstrukturen

Geometrisch nichtlineare Analyse

Inkrementelle iterative Analyse- und Lösungstechniken

Dynamik und zeitabhängige Materialmodelle

Schädigung und Bruchprozesse

Plastizität

Bauteile

Isogeometrische Analyse

Teil I Grundlegende Konzepte und Lösungstechniken

1

Einleitung

Dieses Kapitel hat vor allem zwei Ziele: Es soll zum einen die Leserinnen und Leser mit der Notation vertraut machen, die in diesem Buch durchgängig verwendet wird. Zum anderen werden wichtige Grundlagen aus der Mathematik (insbesondere der Linearen Algebra) und der Technischen Mechanik wiederholt. Was die Notation anbelangt, werden wir in der Regel den Matrix-Vektor-Formalismus benutzen. Die Tensorschreibweise – mit Indizes oder direkt – wird seltener benötigt. Für diejenigen, die mit der Tensorschreibweise weniger vertraut sind, wurde ein kleiner Abschnitt hierüber angefügt. Zunächst aber stellen wir ein anschauliches Beispiel für nichtlineares Verhalten in einem Bauteil vor – ein einfaches Trägerelement –, das sich analytisch lösen lässt. Dabei werden die verschiedenen, in diesem Buch beschriebenen Techniken zur Behandlung nichtlinearer Prozesse vorgestellt; ebenso wird das korrekte Lösen der sich daraus ergebenden Anfangs- bzw. Randwertprobleme beschrieben.

1.1 Ein einfaches Beispiel für nichtlineares Verhalten

Viele Eigenschaften von Lösungsverfahren lassen sich anhand eines einfachen Trägerelements – eventuell in Kombination mit Federn – diskutieren. Nichtlinearitäten können in diesem Fall sowohl von geometrischen als auch von Material-Nichtlinearitäten herrühren. Wir nehmen in diesem Abschnitt an, dass die Verschiebungen und Rotationen beliebig groß sein können, die auftretenden Dehnungen jedoch klein bleiben, z. B. kleiner als 5 %. Diese Beschränkung werden wir erst in Teil IV des Buches aufheben und dann die Diskussion auf beliebig große elastische und inelastische Dehnungen ausweiten.

Wenden wir uns nun dem flachen Trägerelement in Abb. 1.1 zu. Für den verformten Zustand erhalten wir aus elementaren Gleichgewichtsbetrachtungen den folgenden Ausdruck für die wirkenden Kräfte in einer der zueinander symmetrischen Hälften des flachen Trägers:

(1.1)

Abb. 1.1 Ebenes flaches Trägerelement.

Dabei steht σ für die axiale Spannung im Element, FFed ist die halbe auf die Feder wirkende Kraft und ϕ der Winkel, den das verformte Trägerelement mit der Horizontalen einnimmt. Unter der oben angesprochenen Annahme kleiner Dehnungen kann die Differenz zwischen der Querschnittfläche A im verformten Zustand und A0 im Ursprungszustand vernachlässigt werden. Aus dem gleichen Grund können wir den Unterschied zwischen der Länge des Balkens im Ursprungszustand

(1.2)

und der Balkenlänge im verformten Zustand

(1.3)

im Nenner des Ausdrucks für die Dehnung vernachlässigen:

(1.4)

Der Neigungswinkel ϕ errechnet sich entsprechend näherungsweise

(1.5)

Die Strecken b und h sind in Abb.1.1 definiert. Die vertikale Verschiebung v sollbei einer Bewegung nach unten positiv gezählt werden. Die halbe Kraft auf die Feder ergibt sich dann zu

(1.6)

mit der Federkonstante k und der axialen Spannung σ im Balken, für die gilt:

(1.7)

E ist der Elastizitätsmodul. Einsetzen der Ausdrücke für σ, die Federkraft FFed und den Winkel ϕ in die Gleichgewichtsbedingung (1.1) ergibt

(1.8)

Gleichung (1.8) beschreibt die interne (innere) Kraft in der Struktur als eine nichtlineare Funktion der vertikalen Verschiebung v. Normalerweise ist die externe (äußere) Kraft zur Zeit gegeben. Die Verschiebung v muss dann aus

(1.9)

bestimmt werden. Dies geschieht iterativ, beispielsweise mit dem Newton-Verfahren (auch Newton-Raphson-Verfahren):

(1.10)

In linearer Näherung beträgt die iterative Korrektur von v im j-ten Iterationsschritt

(1.11)

Die Iteration endet, wenn ein Konvergenzkriterium erfüllt ist (ε ist eine kleine Zahl). Im vorliegenden Fall können wir die Ableitung (in der Sprache der numerischen Mechanik: den Tangentenmodul) aus (1.8) folgendermaßen bestimmen:

(1.12)

Dabei haben wir den allgemeinen Fall angenommen, dass sowohl die Steifigkeit des Trägerelements als auch die der Feder von der Auslenkung abhängt. Ohne diese sog. Material-Nichtlinearität verschwinden die Terme mit und . Der letzte Term in (1.12) beschreibt die Effekte großer Auslenkungen oder Rotationen (geometrische Nichtlinearität) und ist linear in der Spannung. Dieser Term ist von entscheidender Bedeutung, wenn die Stabilität von schlanken Konstruktionen berechnet werden soll. Abb. 1.2 zeigt das Verhalten des Trägerelements bei verschiedenen Werten der Federkonstante k. Die Kurven ergeben sich direkt aus der analytischen Formel für die interne Kraft (1.8) und der Gleichgewichtsbedingung (1.9). Das Iterationsverfahren kann nur angewendet werden, wenn die Federkonstante k groß genug ist, d. h., wenn die Last-Verschiebungs-Kurve kein lokales Maximum besitzt.

1.2 Wiederholung: Grundlagen der Linearen Algebra

Bei der rechnergestützten Behandlung der Mechanik von Festkörpern tauchen sehr häufig Vektoren und Matrizen auf. Unter einem Vektor versteht man dabei ein eindimensionales Feld von Skalaren. Ein Skalar wiederum ist eine physikalische Größe, deren Wert vom jeweiligen Bezugssystem unabhängig ist. Skalare bezeichnen wir mit kursiven Symbolen, Vektoren mit fett-kursiven Kleinbuchstaben.

Der Vektor v hat somit n skalare Komponenten v1,...,vn:

(1.13)

In (1.13) haben wir die Komponenten in Spaltenform notiert (Spaltenvektor). Alternativ ist auch die Schreibweise als Zeilenvektor möglich. Dieser entsteht aus einem Spaltenvektor durch Transposition, der transponierte Vektor wird wie folgt geschrieben:

Die Addition von Vektoren ist definiert als Addition der Komponenten;