Te regalo un teorema E-Book

Pablo Groisman

• Herausgeber: TantaAgua Editorial
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: Cienciación
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2023

Seitenzahl: 137

Beschreibung

¿Sabías que, si le damos suficiente tiempo, un mono tipeando al azar puede escribir las obras completas de Shakespeare? ¿Y que, en promedio, tus parejas tuvieron más parejas que vos? ¿Cuántas personas debe haber en una reunión para que la probabilidad de que dos cumplan el mismo día sea mayor al 50%? ¿Creés que se le puede ganar al Tetris? ¿Te parece posible resolver el cubo mágico haciendo movimientos totalmente aleatorios? ¿Por qué las pompas de jabón son redondas? ¿Cómo demostrar que hay infinitos números primos? ¿Qué decía el último teorema de Fermat, que tardó más de tres siglos y medio en ser demostrado? Los teoremas matemáticos que forman este libro sorprenden, emocionan y deslumbran. Son al mismo tiempo una verdad eterna, una obra de arte y un acto de comunicación descollante. Hay para todos los gustos: sencillos, complicados, elementales, evidentes, inesperados, clásicos y divertidos. Todos ellos fueron elegidos por Pablo Groisman e ilustrados por Diego Feld (Gofel) para que puedas disfrutar, conocer más, aprender, entender, enseñar, regalar, enamorar… y enamorarte. Porque Te regalo un teorema es, ante todo, una declaración de amor (y de humor) a la matemática.

Leseprobe

Groisman, Pablo

Te regalo un teorema : Matemática para enamorar / Pablo Groisman ; ilustrado por Diego Feld ; prólogo de Alicia Dickenstein ; Eduardo Sáenz de Cabezón. - 1a ed ilustrada. - Ciudad Autónoma de Buenos Aires : Julieta Irene Elffman, 2023.

ISBN 978-987-88-7894-2

1. Matemática. I. Feld, Diego, ilus. II. Dickenstein, Alicia, prolog. III. Sáenz de Cabezón, Eduardo, prolog. IV. Título.

CDD 510.1

© TantaAgua 2022

Av. Córdoba 6040

Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina

[email protected]

www.tantaagua.com.ar

@tantaaguaeditorial

Textos: Pablo Groisman

Ilustraciones: Diego Feld

Dirección editorial: Julieta Elffman

Corrección técnica: Pablo Coll

Corrección de textos: Cuqui Gómez Sierra

Corrección de galeras: Juan Horowicz

Diseño: Daniel Vidable | Kroda

Tapa: Diego Feld

Tipografías:

Montserrat - Julieta Ulanovsky, Sol Matas, Juan Pablo del Peral, Jacques Le Bailly

Sacramento - Astigmatic

Saira Condensed - Gatti & Omnibus-Type Team

Truculenta Original - Castro, Sanz & Omnibus-Type Team

Digitalización: Proyecto451

Versión 1.0

Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional. Se permite el uso parcial o total de la presente obra con fines informativos y educativos, y su transmisión a través de todos los medios posibles con cita completa. No se autorizan usos comerciales ni la realización de reproducciones, impresiones ni productos derivados con fines de lucro.

Libro de edición argentina, realizado con el apoyo del Programa de Fomento al Sectordel Libro del Ministerio de Cultura de la Nación.

Queda hecho el depósito que establece la ley nº 11.723.

Dedicado a Manu, Viole, Yael,mis agasajados favoritos.

Pablo Groisman

-1 Prólogo................................................................................................................................9

-½ Intro.......................................................................................................................................11

-¼ Este libro es un hilo que es un libro que es un hilo..................................13

-⅛ De qué hablamos cuando hablamos de teoremas…..............................15

- ...y de qué hablamos cuando hablamos de demostraciones........19

0 Catálogo de teoremas..................................................................................21

¿Se puede resolver el cubo mágico al azar?............................................130

∞ Para seguirla..................................................................................................138

Bibliografía.............................................................................................................................145

Agradecimientos................................................................................................................148

ÍNDICE

9

-1 Prólogo

Imaginen que alguien promete regalarles el Partenón, o la Ciudad Pro-hibida de Pekín enterita. O la Torre Eiffel o las pirámides de Chichén-Itzá. Sería una locura, es cierto, no tiene ningún sentido… o, esperen, ¿quizá sí lo tiene? En el mundo hay muchos lugares que son patrimonio de la hu-manidad, y lo son no solamente por la materialidad de sus construcciones o la belleza de su fábrica. Lo son sobre todo por su trascendencia, porque de alguna manera nos dicen qué significa “ser humano”, cómo nos hemos comprendido a nosotros mismos a lo largo de la historia, y cuál ha sido nuestra relación con el tiempo, con la naturaleza, con los dioses. Son la decantación destacada de lo mejor que hemos sabido hacer. Y cuando alguien nos dice “te regalaría el Partenón”, no nos imaginamos que nos va a traer a casa veintidós mil toneladas de mármol pentélico. Pensamos en un regalo de permanencia, de solidez, lleno de significado, un regalo que no se deje amilanar por el paso de los años, ¡ni siquiera de los siglos! Pensamos en todo lo que representan el Partenón y su desafío al tiempo. Pues bien, este libro está repleto de esos regalos. Regalos tan sólidos como el Partenón o las pirámides mayas, tan bellos como la Torre Eiffel o los te-jados de la Ciudad Prohibida. Y más permanentes. Este libro está repletito de teoremas para regalar.

Están por entrar a un libro muy matemático y muy apasionado, dos ad-jetivos que la mayoría de la gente no imagina juntos. Pero Pablo Groisman es muy matemático y muy apasionado por la matemática y por transmitir su entusiasmo, y por eso nos ofrece un libro lleno de esos regalos “eternos”: teoremas, es decir, enunciados que son verdaderos para siempre porque

10

alguna vez se demostraron. Pero no solo nos regala teoremas. Pablo tam-bién nos cuenta historias, porque la matemática –al menos por ahora*– la hacemos seres humanos. Y los seres humanos tenemos muchas historias.

Es difícil definir qué es la matemática. Una respuesta muy aceptada y que nos gusta es que es la ciencia y el arte de descubrir patrones, y a partir de esta estructura conjeturar qué vale y que no, y con suerte, demostrar un teorema que deje establecido este comportamiento… y que nos permita predecir el comportamiento de objetos que muestren el mismo patrón, aunque tengan otro nombre y otra forma.

Pablo nos transmite en este libro ideas y modos de pensar matemáticos, sobre todo en temas que tienen que ver con la matemática de los sucesos probables o aleatorios, es decir, que pueden ocurrir pero que no podemos saber con seguridad que ocurrirán o cuándo porque dependen del azar. ¿No les parece fantástico que nuestro razonamiento nos permita demos-trar teoremas verdaderos sobre sucesos aleatorios? ¿Se imaginaban esto antes de abrir este libro?

También nos habla de números muuuy grandes y de muchas cuestio-nes intrigantes. No todos los capítulos tienen la misma dificultad. Algunos requieren más conocimientos que otros, o tener más entrenamiento para razonarlos. Pero seguramente, si los leen varias veces, verán que cada vez las mismas palabras dicen algo más, que estas “aproximaciones sucesi-vas” permiten que nuestros cerebros vayan agregando las piezas faltantes para armar el rompecabezas. Esto es placentero (¡aunque tal vez es algo que tampoco imaginaban!). Y si no entienden alguna parte, no pasa nada, ¡disfruten el resto!

Les ganamos de mano, nosotros ya leímos y disfrutamos Te regalo un teoremay ¡nos sentimos muy agasajados! (y por lo tanto, muy agradeci-dos). Los invitamos a compartir esta experiencia.

Alicia Dickenstein y Eduardo Sáenz de Cabezón

* Ese “por ahora” es porque no sabemos adónde llevará nuestra ciencia (ni nuestra civilización) la irrupción creciente de los algoritmos de inteligencia artificial.

11

Si me siento infeliz, hago matemática para volverme feliz.

Si me siento feliz, hago matemática para mantenerme feliz.

Alfred Rényi

La audiencia escuchaba atentamente, haciendo un esfuerzo sobrehuma-no para dar sentido a las palabras que salían de su boca. Desde ya, solo lo lograban parcialmente. Algunos. Pocos. El teorema proclamado era su-mamente seductor: un enunciado simple pero profundo que contenía en sí mismo caminos y puertas a diversas cuestiones de gran relevancia. Los ocho pizarrones del gran salón estaban inundados de sus anotaciones con tiza, casi sin espacio para nada más. Pero en un rincón, abajo y a la derecha, quedaba un pequeño espacio. Ahí anotó: QED. Quod Erat De-monstrandum. Del latín: “lo que se quería demostrar”. Sigla inconfundible que indica que la demostración ha concluido. Alguien del público levantó la mano y preguntó “¿Y el caso general?”. El disertante se dio vuelta, sonrió y respondió: “Voy a dejar eso para la próxima generación”. Y caput.

Así soñó su muerte Paul Erdős, posiblemente el matemático más prolífico de nuestra era, aunque no es a ello a que debe su fama. Tanto su forma de hacer y vivir la matemática como su legado en teoremas y áreas enteras de la disciplina que crecieron gracias a él, han marcado profundamente a la comunidad. Su muerte no fue exactamente así, pero tampoco estuvo tan alejada. Erdős murió hacia fines del siglo pasado

12

durante una conferencia en Varsovia, luego de resolver un problema de geometría. Lo cierto es que nadie se habría sorprendido demasiado si la escena del comienzo hubiera ocurrido.

Por esos días, Martin Aigner, Günter Ziegler y el propio Erdős trabaja-ban en el manuscrito de un futuro libro. A Erdős le encantaba hablar de “EL LIBRO”, en el que Dios guardaba las demostraciones perfectas de los teoremas. Decía que no es necesario creer en Dios pero, como matemá-tico, para él era obligatorio creer en EL LIBRO. Aigner, Ziegler y Erdős em-prendieron la tarea de escribir una aproximación a EL LIBRO como quien intenta materializar las sagradas escrituras, pero la muerte de Erdős los encontró a mitad de camino. Aigner y Ziegler concluyeron la empresa va-liente y honrosamente. Hoy se llama Proofs from THE BOOK.

El libro en tus manos también es un libro de teoremas, pero no son ni teoremas ni demostraciones de EL LIBRO. O, al menos, no es eso lo que los aglutina. Estos son teoremas para regalar. La selección es tan arbitraria como los regalos que hacemos. El autor salió de paseo por la matemática como quien sale en busca de un obsequio, y fue eligiendo teoremas que le gustaban para regalar cada vez que los consideró apropiados, interesan-tes, atractivos o, en el mejor de los casos, todo eso junto. En los distintos casos, la elección puede deberse a distintos motivos. ¿Por qué uno regala lo que regala? A veces porque nos gusta a nosotros y queremos que al-guien más lo disfrute, a veces porque creemos que le va a gustar a el o la destinataria. A veces porque pensamos que “le viene bien”, y a veces por-que, aunque no encontramos justificación, nos parece un capricho her-moso para disfrutar. A veces porque pensamos que “no se puede vivir sin esto”, y a veces porque creemos que ayudaremos a nuestra homenajeada a construirse como persona. A veces por compromiso, y a veces por amor.

Eduardo Sáenz de Cabezón sugirió una vez que no hay nada más eter-no que un teorema*, y que si queremos demostrarle a una persona que la queremos para siempre, siempre, le regalemos un teorema. Entonces, qué mejor que un catálogo de teoremas para elegir el regalo perfecto. Este es un libro lleno de teoremas para regalar.

* https://www.ted.com/talks/eduardo_saenz_de_cabezon_math_is_forever

13

La esencia de la matemática está en su libertad.

Georg Cantor

Este libro nació en Twitter. Un día de alta tensión política en Argentina, el autor pensó que no hay nada mejor que un teorema para descomprimir un poco (?) y se mandó a tuitearlo nomás, con su enunciado y su corres-pondiente demostración. La cosa prendió. El pueblo tuitero pidió más y más. Y así fue como #TeRegaloUnTeorema se fue convirtiendo en entre-gas semanales. Cada viernes, un teorema. A veces acompañado de su de-mostración, a veces, de su contexto, a veces, de un poco de historia, a veces, de más preguntas que respuestas. Y, a veces, todo eso junto.

Los teoremas se fueron acumulando en el éter (o, mejor dicho, en los servidores de Twitter) y alguien pensó que sería buena idea combatir su efimeridad plasmándolos en un libro. Y que sería muchísimo mejor si pudiéramos acompañar cada teorema con una ilustración. Para disfru-tar tanto del teorema como de la ilustración, y para remarcar que este es justamente un libro para disfrutar. Gofel tomó la tarea y concibió una ilustración para acompañar cada uno de los teoremas, con el humor que lo caracteriza.

El autor se tomó algunas licencias poéticas al nombrar a varios de los teoremas. No todos los teoremas tienen nombre, así que ahí hay espacio para la imaginación, como cuando decidimos decorar un regalo ya hecho

14

por alguien más, o hacer un regalo artesanal para alguien muy querido (tí-picamente una madre, y nosotros estamos en sala de 5). Así que, ya saben, no se tomen muy en serio los títulos de los teoremas.

Los asiduos consumidores de matemática ya deben estar enterados, y a los novatos les cuento: leer un texto de matemática es –entre otras cosas– una montaña rusa. De a ratos vamos al trote pasando párrafo tras párrafo cual paseo de domingo. Y de repente llega un momento en don-de un párrafo nos detiene. No entendemos lo que dice. Le dedicamos un buen rato, y nada. Otro rato más. Y nada. Y otro más, y otro y otro. Y cuando pensamos que nunca lo vamos a superar empezamos a darnos cuenta de que estábamos subiendo hasta la cima de la montaña. Y llegamos. Y entendemos. Y a partir de ahí nuevamente se hace cuesta abajo durante un buen rato. Hasta que aparece la próxima subida. La buena noticia es que esos momentos en que entendemos han sido comparados por más de uno con el chocolate, el deporte, el enamoramiento y el (buen) sexo.

Así que a no desesperar. Y sobre todo, a no autoflagelarse por no enten-der un párrafo de inmediato, que es de lo más común. Lo mejor es apren-der a convivir con eso. Puede ser buena idea leer y releer una y otra vez con papel y lápiz en mano. Y si en algún momento dan ganas de abandonar y pasar al siguiente teorema, no pasa nada. El libro está armado para poder saltear uno o varios teoremas, o dejarlos para después sin nada que temer.

15

La elegancia de un teorema es directamente proporcionalal número de ideas que se pueden ver en él, e inversamenteproporcional al esfuerzo que lleva verlas.

George Pólya

Para el último Día del Padre recibí una especie de botellón muy ancho en su base, hecho de un hermoso cristal. O tal vez era un florero. ¿O será que es un recipiente para guardar la leche en la heladera? Pero la base es muy ancha como para eso. Como sea, la caja decía “decantador”. Yo me sigo preguntando qué es lo que me regalaron. Tal vez a vos te esté pasan-do lo mismo con este libro y, además de preguntarte cómo describir lo que tenés en tus manos, te preguntás “¿Qué es un teorema?”. Pregunta de difícil respuesta. Una búsqueda rápida en Google arroja las primeras impresiones.

Según Wikipedia, “en matemática y lógica, un teorema es un enuncia-do no evidente cuya veracidad ha sido demostrada ya sea sobre la base de axiomas aceptados o sobre la base de enunciados que ya han sido establecidos como verdaderos (otros teoremas). Un teorema es entonces una consecuencia lógica de los axiomas, siendo su demostración un ar-gumento lógico que establece su verdad a través de las reglas inferencia-les de un sistema deductivo. Esto contrasta con la noción de ley científica, que es eminentemente experimental”. Bla, bla, bla. Perfectamente cierto. No es tan claro cuánto ayuda. De hecho, se parece a decir que El Quijote

16

es un conjunto de oraciones, formadas por palabras, que a su vez están formadas por letras. Perfectamente cierto. No parece estar contando todo sobre el asunto.

Alfred Rényi decía que “un matemático es una máquina de convertir café en teoremas”.Su compañero de aventuras, Paul Erdős, amaba esa frase y casi que la hizo propia. Ambos formaron parte de la increíble escue-la húngara que deslumbraba al mundo con sus hazañas. La frase de Rényi ayuda un poco más. ¿Qué es un teorema? Es lo que hacen los matemáti-cos. Sirve. No termina de resolver nuestro intríngulis, pero sirve.

Erdős y Rényi escribieron juntos decenas de artículos, todos ellos reple-tos de teoremas. Pero esos teoremas solitos no alcanzan para cuantificar el valor de sus contribuciones. Algunos de esos artículos terminaron con-virtiéndose en piedras fundacionales para diversas áreas de la matemáti-ca, a veces a partir de teoremas ahí contenidos, pero también a través de preguntas, problemas sin resolver, teoremas a medias, conjeturas, argu-mentos heurísticos.

Una de esas áreas es lo que en el mundo de la matemática llamamos “grafos aleatorios”. Es un área que se ocupa del estudio de grandes redes, como las redes sociales. Erdős y Rényi no conocían Facebook ni Twitter, pero sentaron las bases matemáticas para poder estudiar y entender la dinámica de esas redes y de muchas otras (de moléculas, de neuronas, de proteínas). El famoso artículo seminal de Erdős y Rényi fue publicado en 1959*, y consta tan solo de ocho páginas. Hasta el inicio de este siglo, había recibido menos de cien citas. La cantidad de citas recibidas por un artículo suele usarse (y abusarse) en la comunidad científica para darse una some-ra idea del impacto que puede haber tenido. No es infalible, pero muchas veces sirve para aproximarse. En ese artículo, Erdős y Rényi enunciaron y demostraron un hermoso teorema, pero el gran valor del manuscrito está más en la idea de considerar a los grafos aleatorios como objeto mate-mático, de estudiarlos y utilizarlos como herramienta para resolver otros

* Edgar Gilbert propuso un modelo casi idéntico en simultáneo y en forma independiente. Unos años antes, en 1957, Hammersley y Broadbent también consideraron ciertos grafos alea-torios, pero con otras motivaciones.

17

problemas, que en