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- Herausgeber: FISCHER E-Books
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2014
Die Jagd nach der Weltformel – über 20 Wochen auf der Spiegel-Bestseller-Liste Eine Harvard-Physikerin sorgt mit ihrem Buch über verborgene Dimensionen des Universums für Furore. Die beobachtbare Welt, so ihre Hypothese, ist nur eine von vielen Inseln inmitten eines höherdimensionalen Raums. Nur ein paar Zentimeter weiter könnte es ein anderes Universum geben, das für uns unerreichbar bleibt, da wir in unseren drei Dimensionen gefangen sind. Sie führt Relativität, Quantenmechanik, Gravitation und eine weiterentwickelte Stringtheorie zusammen, zeichnet ein das Denken revolutionierendes Bild sich durchdringender, überlagernder und verwerfender »Multiversen« – und zeigt, wie man diese bizarr anmutenden Dinge experimentell beweisen könnte. Lisa Randall gehört zu einer neuen Generation von Wissenschaftlern, die mit ihren spannenden und höchst lesbaren Arbeiten drastisch unsere Vorstellungen von der Welt verändern werden. Eine spannende Reise durch die Grenzregionen der heutigen Teilchenphysik und eine Begegnung mit einer erstklassigen Denkerin.
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Seitenzahl: 800
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Lisa Randall
Verborgene Universen
Eine Reise in den extradimensionalen Raum
Aus dem Amerikanischen von Hartmut Schickert
FISCHER E-Books
Inhalt
Vorwort und Dank
Schon als junges Mädchen liebte ich die intellektuellen Spiele von mathematischen Problemen oder von Büchern wie Alice im Wunderland. Aber obwohl Lesen zu meinen Lieblingsaktivitäten gehörte, fühlte ich mich nie sonderlich zu naturwissenschaftlichen Sachbüchern hingezogen – ich fühlte mich von ihnen nicht genügend angesprochen oder herausgefordert. Im Ton schienen sie mir den Lesern gegenüber herablassend, zu viel Ehrfurcht vor den Wissenschaftlern sprach aus ihnen, oder sie waren schlicht langweilig. Ich hatte das Gefühl, die Autoren mystifizierten die Erkenntnisse oder glorifizierten die Menschen, die sie gewonnen hatten, statt die Wissenschaft selbst zu beschreiben und den Prozess herauszuarbeiten, mit dem die Forscher die Zusammenhänge aufdecken. Das war das, was ich eigentlich wissen wollte.
Als ich mich dann näher mit Naturwissenschaften befasste, lernte ich sie lieben. Zuvor hatte ich keine Ahnung, dass ich einmal so empfinden und selbst Physikerin werden würde; als ich jung war, kannte ich keine Naturwissenschaftler. Aber sich mit dem Unbekannten zu beschäftigen ist unwiderstehlich aufregend. Ich fand es spannend, Zusammenhänge zwischen scheinbar disparaten Phänomenen herauszufinden, Probleme zu lösen und die überraschenden Eigenheiten unserer Welt vorherzusagen. Als Physikerin weiß ich heute, dass Naturwissenschaft etwas Lebendiges ist, das sich immer weiter entwickelt. Nicht nur die Antworten sind das Interessante daran, sondern genauso die Spiele und die Rätsel und das Dabeisein.
Als ich mich zu diesem Projekt entschloss, stellte ich mir ein Buch vor, das die Begeisterung für meine Arbeit vermitteln sollte, ohne dass die wissenschaftliche Darstellung darunter leiden würde. Ich hoffte, das Faszinierende an der theoretischen Physik offen zu legen, ohne das Thema irreführend zu vereinfachen oder es als eine Sammlung unveränderlicher, abgeschlossener, passiv zu bewundernder Monumente zu präsentieren. Physik ist viel kreativer und macht viel mehr Spaß, als die Leute im Allgemeinen glauben. Diese Aspekte wollte ich mit Menschen teilen, die das noch nicht unbedingt aus eigenen Stücken erkannt hatten.
Eine neue Weltsicht kommt auf uns zu. Zusätzliche Dimensionen haben die Art und Weise verändert, wie Physiker über das Universum nachdenken. Und weil die Verbindungen zwischen diesen zusätzlichen Dimensionen und der Welt sich in viele ältere, bereits etablierte physikalische Ideen einbinden lassen, sind Zusatzdimensionen eine Möglichkeit, ältere, bereits verifizierte Fakten über das Universum auf neuen und fesselnden Wegen anzugehen.
Einige der von mir präsentierten Ideen sind abstrakt und spekulativ, aber es gibt keinen Grund, warum sie nicht jeder, der neugierig ist, verstehen sollte. Ich beschloss, die Faszination der theoretischen Physik für sich selbst sprechen zu lassen und die Geschichte oder die Personen nicht überzubetonen. Ich wollte nicht den irreführenden Eindruck erwecken, dass alle Physiker und Physikerinnen nach einem einzigen Archetyp modelliert sind oder dass ein bestimmter Persönlichkeitstypus sich für Physik interessiert. Aufgrund meiner eigenen Erfahrungen und Gespräche bin ich ziemlich sicher, dass es viele Leser gibt, die klug, interessiert und offen genug sind, um mehr von der eigentlichen Sache erfahren zu wollen.
Dieses Buch spart nicht mit den fortgeschrittensten und fesselndsten theoretischen Ideen, aber ich habe mein Möglichstes getan, dass man es aus sich selbst heraus verstehen kann. Ich berücksichtige sowohl die entscheidenden Begriffe und Vorstellungen als auch die physikalischen Phänomene, auf die sie sich beziehen. Die Kapitel sind so angeordnet, dass die Leser sich das Buch je nach eigenem Hintergrund und eigenen Interessen maßschneidern können. Um diesen Prozess zu erleichtern, habe ich mit fetten Punkten Dinge markiert, auf die ich später bei den neuen Ideen über Zusatzdimensionen zurückkommen werde. Dieselben Punkte habe ich am Ende der extradimensionalen Kapitel verwendet, um herauszustreichen, was die einzelnen möglichen Optionen für extradimensionale Universen voneinander unterscheidet.
Weil die Vorstellung zusätzlicher Dimensionen wahrscheinlich vielen Lesern neu ist, erkläre ich in den ersten Kapiteln, was ich mit solchen Begriffen meine und warum es zusätzliche Dimensionen geben kann, sie aber nicht zu sehen und nicht zu greifen sind. Danach umreiße ich die theoretischen Methoden, mit denen Teilchenphysiker arbeiten, um zu klären, wie das Denken funktioniert, das in diese zugegeben sehr spekulative Forschung Einzug gehalten hat.
Die neuartige Erforschung von Extradimensionen arbeitet sowohl mit traditionellen als auch mit modernen theoretisch-physikalischen Konzepten, um die Methoden und die Fragen, die damit zu beantworten sind, festzulegen. Um zu vermitteln, was solche Forschung vorantreibt, habe ich eine ausführliche Übersicht über die Physik des 20. Jahrhunderts eingebaut. Sie können diesen Teil einfach überblättern, wenn Ihnen danach ist – wenn Sie es aber tun, werden Sie eine Menge verpassen!
Diese Übersicht beginnt mit der allgemeinen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik, dann wendet sie sich der Teilchenphysik und deren wichtigsten heutigen Konzepten zu. Ich stelle auch ein paar ziemlich abstrakte Ideen vor, die oft vernachlässigt werden – zum Teil eben weil sie so abstrakt sind –, aber diese Ideen sind mittlerweile durch Experimente bestätigt und werden bei allen unseren heutigen Forschungen berücksichtigt. Obwohl nicht alles von diesem Material nötig ist, um zu verstehen, was ich später über zusätzliche Dimensionen ausführe, glaube ich, dass viele Leser froh sein werden, ein umfassendes Bild geboten zu bekommen.
Danach beschreibe ich ein paar neuere, eher spekulative Überlegungen, denen man seit 30 Jahren nachgeht – nämlich Supersymmetrie und Stringtheorie. Traditionellerweise besteht Physik aus einem Wechselspiel von Theorie und Experiment. Die Supersymmetrie ist eine Weiterentwicklung bekannter teilchenphysikalischer Konzepte, und es besteht Aussicht, sie bei kommenden Experimenten überprüfen zu können. Mit der Stringtheorie verhält es sich anders. Sie basiert einzig und allein auf theoretischen Fragen und Ideen und ist bislang noch nicht einmal vollständig mathematisch ausgearbeitet, also können wir uns auch nicht ihrer Vorhersagen sicher sein. Was mich angeht, so bin ich bei diesem Thema Agnostikerin – ich weiß nicht, als was sich die Stringtheorie letztlich erweisen wird oder ob sie die Fragen zur Quantenmechanik und Gravitation beantworten kann, die mit ihr angegangen werden. Aber die Stringtheorie hat zahlreiche neue Ideen hervorgebracht, von denen ich einige für meine eigene Erforschung zusätzlicher Raumdimensionen genutzt habe. Diese Ideen sind von der Stringtheorie unabhängig, aber die Stringtheorie gibt uns guten Grund zu der Annahme, dass einige der ihnen zugrunde liegenden Annahmen richtig sein könnten.
Wenn ich dann den Kontext etabliert habe, kehre ich schließlich zu den vielen aufregenden Neuentwicklungen hinsichtlich zusätzlicher Dimensionen zurück. Da gibt es Bemerkenswertes zu berichten, beispielsweise dass Extradimensionen unendlich groß, aber unsichtbar sein können oder dass wir vielleicht in einem räumlich dreidimensionalen Schlundloch eines höherdimensionalen Universums leben. Wir kennen jetzt auch Gründe, warum es unbekannte Parallelwelten mit völlig anderen Eigenschaften als denen unserer Welt geben könnte.
Das ganze Buch hindurch erkläre ich physikalische Konzepte ohne Gleichungen. Für diejenigen, die sich für die mathematischen Details interessieren, habe ich aber einen mathematischen Anhang verfasst; auf diesen verweisen die kursiven Anmerkungsziffern. Im Text selbst versuche ich, das Spektrum von Metaphern auszuweiten, mit denen man in der Regel naturwissenschaftliche Konzepte erklärt. Ein Gutteil des üblichen beschreibenden Vokabulars rührt aus räumlichen Analogien her, aber diese Begriffe versagen oft im winzigen Reich der Elementarteilchen und beim schwer vorstellbaren Raum mit Zusatzdimensionen. Ich denke, dass weniger konventionelle Metaphern, sogar welche aus dem Bereich der Kunst und des Essens und persönlicher Beziehungen, abstrakte Ideen mindestens genauso gut erklären können.
Um den neuen Vorstellungen in jedem Kapitel den Weg zu bahnen, beginne ich jeweils mit einer kurzen Geschichte, die ein Schlüsselkonzept mit eher vertrauten Metaphern und Milieus herausarbeitet. Diese Geschichten haben mir Spaß gemacht, also sollten Sie, wenn Sie möchten, nach dem jeweiligen Kapitel darauf zurückkommen, um die Bezüge zu begreifen. Sie können sich die Geschichten als zweidimensionale Erzählstränge vorstellen, die sich vertikal durch das jeweilige Kapitel und horizontal quer durch das Buch ziehen. Oder Sie betrachten sie als eine Art spielerische Hausaufgabe, anhand deren Sie ermessen können, wann Sie sich die Ideen eines jeden Kapitels zu Eigen gemacht haben.
Viele Freunde und Kollegen haben mir geholfen, bei diesem Buch meine Ziele zu erreichen. Obwohl ich oft wusste, worauf ich hinauswollte, war mir nicht immer klar, wann mir das gelungen war. Eine ganze Reihe von Personen verdient Dank dafür, dass sie mir so großzügig ihre Zeit opferten, mich ermutigten und mit Begeisterung und Neugier auf die Vorstellungen reagierten, die ich beschreibe.
Mehrere begabte Freunde verdienen besonderen Dank für ihre unschätzbaren Kommentare zum Manuskript in seinen verschiedenen Stadien. Anna Christina Büchmann, eine wunderbare Autorin, lieferte herrlich detaillierte Kommentare, die mir halfen, meine Geschichten zu Ende zu bringen, sowohl die physikalischen als auch die allgemeinen. Sie gab mir wertvolle Schreibtipps, die mir stets Mut machten. Polly Shulman, eine andere überaus begabte Freundin, las und kommentierte jedes einzelne Kapitel sorgfältig. Ich bewundere ihr logisches und spielerisches Denken und schätze mich sehr glücklich, dass ich ihre Unterstützung fand. Lubos Motl, ein brillanter Physiker und hingebungsvoller Wissenschaftsvermittler (dessen scheinheilige Ansichten zu Frauen in den Naturwissenschaften wir ignorieren werden), las alles, sogar noch ehe es lesbar war, und machte außerordentlich nützliche Vorschläge und ermutigte mich in jedem Stadium. Tom Lewenson erteilte mir wichtige Ratschläge, wie sie nur ein talentierter Wissenschaftsautor liefern kann, und machte mehrere wichtige Vorschläge, die von entscheidender Bedeutung waren. Michael Gordin trug die Sichtweise des Wissenschaftshistorikers und des Kenners dieser Art von Literatur bei. Jamie Robins lieferte kenntnisreiche Kommentare zu mehr als einer Version des Manuskripts. Esther Chiao half mit nützlichen Anmerkungen zum Manuskript und bot die extrem hilfreiche Perspektive einer klugen, interessierten Leserin mit einem Hintergrund außerhalb der Naturwissenschaften. Und ich bin höchst erfreut, dass Cormack McCarthy freiwillig im Endstadium dieses Buches mit wertvollen Vorschlägen und tatkräftiger Unterstützung half.
Mehrere Menschen trugen interessante Geschichten und Beobachtungen bei, die mir in den Anfangsstadien des Projekts weiterhalfen. Massimo Porrati verfügt über einen Fundus faszinierender Fakten, von denen einige hier wieder auftauchen. Gerald Holtons Kenntnisse der Physik des frühen 20. Jahrhunderts bereicherten meine Vorstellungen über Quantenmechanik und Relativitätstheorie. Jochen Brocks lieferte nützliche Erkenntnisse, was er an der Wissenschaftspublizistik mag, und regte zu einigen Schreibideen an. Gespräche mit Chris Haskett und Andy Singleton halfen mir zu begreifen, was Nichtphysiker vielleicht zu lernen hoffen. Albion Lawrence half mit wertvollen Beiträgen, die es mir möglich machten, einige schwierige Kapitel in den Griff zu bekommen. Und John Swain lieferte mir ein paar nette Möglichkeiten, Material zu präsentieren.
Viele Kollegen unterstützten mich mit wertvollen Kommentaren und Vorschlägen. Von den vielen, denen ich zu Dank verpflichtet bin, lasen Bob Cahn, Csaba und Zsusanna Csaki, Paolo Creminelli, Joshua Erlich, Ami Katz und Neil Weiner erhebliche Teile des Buches und lieferten ihre kenntnisreichen Kommentare ab. Ich danke auch Allan Adams, Nima Arkani-Hamed, Martin Gremm, Jonathan Flynn, Melissa Franklin, David Kaplan, Andreas Karch, Joe Lykken, Peter Lu, Ann Nelson, Amanda Peet, Riccardo Rattazzi, Dah Shrag, Lee Smolin und Darien Wood, die alle mit Kommentaren und Ratschlägen halfen. Howard Georgi lehrte mich und viele der oben genannten Physiker die effektive theoretische Denkweise, die dieses Buch durchzieht. Ich danke auch Peter Bohacek, Wendy Chun, Enrique Rodriguez, Paul Graham, Victoria Gray, Paul Moorhouse, Curt McCullen, Liam Murphy, Jeff Mrugan, Sesha Pretap, Dana Randall, Enrique Rodriguez und Judith Surkis für hilfreiche Kritik und Vorschläge und Ermutigung. Gleichfalls danke ich Marjorie Caron, Tony Caron, Barry Ezarsky, Josh Feldman, Marsha Rosenberg und anderen Familienmitgliedern, die mir halfen, mein Publikum besser zu verstehen.
Greg Elliott und Jonathan Flynn fertigten die schönen Illustrationen in diesem Buch an, und ich bin ihnen für ihren wertvollen Beitrag außerordentlich dankbar. Ich danke Rob Meyer und Laura Van Wyk, die mir halfen, die Abdruckgenehmigungen für die vielen Zitate überall im Buch zu bekommen. Ich habe alles nur Mögliche getan, um die Quellen richtig anzugeben. Wenn Sie glauben, dass Sie in diesem Zusammenhang nicht korrekt berücksichtigt wurden, lassen Sie mich das bitte wissen.
Ich möchte auch meinen Mitarbeitern bei den in diesem Buch beschriebenen Forschungen danken, besonders Raman Sundrum und Andreas Karch, mit denen zusammenzuarbeiten einfach großartig war. Und ich möchte gern die Beiträge der vielen Physiker anerkennen, die über diese und damit zusammenhängende andere Ideen, die zu berücksichtigen mir nicht der Platz blieb, nachgedacht haben.
Meine Dankbarkeit möchte ich auch meinem Lektor bei Ecco Press, Dan Halpern, ausdrücken, meinen Lektoren bei Penguin, Stefan McGrath und Will Goodlad, sowie meinen Textredakteuren in den Vereinigten Staaten und in England, Lyman Lyons und John Woodruff, die viele hilfreiche Vorschläge machten und mich unterstützten. Und ich möchte meinem Agenten John Brockman danken und genauso Katinka Matson, die mich mit Rat und wichtigen Kommentaren unterstützten und eine unschätzbare Hilfe waren, dieses Buch auf den Weg zu bringen. Ich danke auch der Harvard University und dem Radcliffe Institute for Advanced Study dafür, dass sie mir die Zeit ließen, mich auf dieses Buch zu konzentrieren, sowie dem MIT, Princeton, Harvard, der National Science Foundation, dem Department of Energy und der Alfred P. Sloan Foundation für die Unterstützung meiner Forschung.
Schließlich möchte ich meiner Familie danken: Meinen Eltern Richard Randall und Gladys Randall, und meinen Schwestern Barbara Randall und Dana Randall, die mich bei meiner wissenschaftlichen Laufbahn unterstützten und mir über die Jahre hinweg ihren Humor, ihre Gedanken und ihre Ermutigung zuteil werden ließen. Lynn Festa, Beth Lyman, Gene Lyman und Jen Sacks waren eine große Hilfe, und ich danke ihnen für all ihre wunderbaren Ratschläge und Hilfestellungen. Und zu guter Letzt bin ich Stuart Hall für seine verständnisvolle Sichtweise, seine hilfreichen Kommentare und seine selbstlose Unterstützung überaus dankbar.
Ich danke euch allen und hoffe, ihr bekommt den Eindruck, dass sich eure Mitwirkung gelohnt hat.
Lisa RandallCambridge, MAApril 2005
IDimensionen des Raums (und Denkens)
Einleitung
Got to be good looking
’Cause he’s so hard to see.
Er muss gut aussehen
Weil er so schwer zu sehen ist.
The Beatles
Das Universum hat so seine Geheimnisse. Zusätzliche Raumdimensionen könnten eines davon sein. Wenn dem so ist, hat das Universum diese Dimensionen versteckt, schützt sie, hält sie züchtig bedeckt. Bei flüchtigem Hinsehen würde man rein gar nichts bemerken.
Die Desinformationskampagne begann schon damals im Kinderbett, als Sie zum ersten Mal den drei räumlichen Dimensionen begegneten. Das waren die beiden Dimensionen, in denen Sie krabbelten, plus die eine dazu, in der Sie herauskletterten. Seit jener Zeit haben die Gesetze der Physik – ganz zu schweigen vom gesunden Menschenverstand – den Glauben an diese drei Dimensionen gestärkt und jeden Verdacht, es könnte noch mehr geben, zum Schweigen gebracht.
Aber die Raumzeit könnte sich dramatisch von allem unterscheiden, das Sie sich je vorgestellt haben. Keine uns bekannte physikalische Theorie diktiert, dass es nur drei räumliche Dimensionen geben muss. Die Möglichkeit zusätzlicher Dimensionen zu verwerfen, noch ehe man ihre Existenz in Betracht gezogen hat, könnte sehr voreilig sein. Genau wie »oben-unten« eine andere Richtung ist als »links-rechts« oder »vorwärts-rückwärts«, könnte es andere, völlig neue Dimensionen in unserem Kosmos geben. Wir können sie zwar mit unseren Augen nicht sehen und mit unseren Fingerspitzen nicht ertasten, von der Logik her sind zusätzliche Raumdimensionen aber möglich.
Solche hypothetischen, nie gesehenen Dimensionen haben bislang noch keinen Namen. Aber sollte es sie geben, wären sie neue Richtungen, entlang deren sich etwas bewegen könnte. Wenn ich also einen Namen für eine zusätzliche Dimension brauche, werde ich sie manchmal eine Passage nennen. (Und wenn ich explizit zusätzliche Dimensionen diskutiere, verwende ich Kapiteltitel mit »Passagen« darin.)
Die dreidimensionale Welt eines Babys.
Diese Passagen könnten flach sein wie die Dimensionen, an die wir gewöhnt sind. Sie könnten aber auch verzerrt sein wie die Reflexionen in einem Spiegelkabinett auf dem Jahrmarkt. Sie könnten winzig sein – viel kleiner als ein Atom –, und bis vor kurzem hatten das alle angenommen, die an Extradimensionen glaubten. Neue Arbeiten aber haben gezeigt, dass zusätzliche Dimensionen auch groß oder sogar unendlich groß und dennoch schwer zu sehen sein könnten. Unsere Sinne registrieren nur drei große Dimensionen, und folglich könnte eine unendliche Zusatzdimension unvorstellbar klingen. Aber eine unendliche, unsichtbare Dimension ist eine der vielen bizarren Möglichkeiten, die es im Kosmos geben könnte, und in diesem Buch werden wir sehen, warum.
Die Erforschung zusätzlicher Dimensionen hat auch zu anderen bemerkenswerten Konzepten geführt – solchen, die Träume von Science-Fiction-Fans in Erfüllung gehen lassen könnten – wie beispielsweise Paralleluniversen, verzerrte Geometrien und dreidimensionale Schlundlöcher. Ich fürchte, solche Vorstellungen klingen eher nach dem Wirkungsbereich von Romanautoren oder Geistesgestörten als nach dem Gegenstand wirklich wissenschaftlicher Forschung. Aber so weit hergeholt sie im Moment auch scheinen mögen, sind sie doch echte wissenschaftliche Szenarien, zu denen es in einer extradimensionalen Welt kommen könnte. (Seien Sie unbesorgt, wenn Sie mit diesen Begriffen oder Vorstellungen noch nicht vertraut sind, wir werden sie später einführen und erkunden.)
Warum unsichtbare Dimensionen in Betracht ziehen?
Selbst wenn die Physik zusätzlicher Raumdimensionen solche spannenden Szenarien zulässt, fragen Sie sich vielleicht, warum Physiker, die mit Vorhersagen von beobachtbaren Phänomenen beschäftigt sind, sie so ernst nehmen. Die Antwort ist so dramatisch wie die Vorstellung zusätzlicher Dimensionen selbst. In jüngster Zeit gemachte Fortschritte legen den Schluss nahe, dass Zusatzdimensionen, die bislang noch nicht aufgespürt und noch nicht einmal völlig begriffen sind, nichtsdestotrotz einige der grundlegenden Mysterien unseres Universums erklären könnten. Extradimensionen könnten sich auf die Welt, die wir sehen, auswirken, und das Nachdenken darüber könnte letztlich Zusammenhänge aufdecken, die uns im dreidimensionalen Raum entgehen.
Wir würden ja auch nicht verstehen, warum Inuit und Chinesen gemeinsame körperliche Merkmale aufweisen, wenn wir nicht die Dimension der Zeit berücksichtigen könnten, die uns ihre gemeinsame Herkunft erkennen lässt. Ähnlich könnten die Zusammenhänge, die sich aus zusätzlichen Raumdimensionen ergeben, irritierende Aspekte der Teilchenphysik aufhellen und Licht auf jahrzehntealte Rätsel werfen. Beziehungen zwischen Eigenschaften und Kräften von Teilchen, die unerklärlich scheinen, wenn man den Raum auf drei Dimensionen beschränkt, scheinen in einer Welt mit mehr Raumdimensionen elegant zueinander zu passen.
Ob ich an zusätzliche Dimensionen glaube? Ich gestehe: Ja. In der Vergangenheit habe ich physikalische Spekulationen jenseits des Messbaren – einschließlich meiner eigenen Überlegungen – größtenteils fasziniert, aber auch mit einem gewissen Maß an Skepsis betrachtet. Ich glaube, das hält mein Interesse wach, und ich bleibe zugleich ehrlich. Manchmal jedoch wirkt eine Idee auf mich, als enthielte sie einen Keim der Wahrheit. Als ich vor rund fünf Jahren eines Tages auf dem Weg zur Arbeit den Charles River nach Cambridge überquerte, wurde mir plötzlich klar, dass ich tatsächlich glaubte, irgendeine Form zusätzlicher Dimensionen müsse es geben. Ich blickte mich um und dachte über die vielen Dimensionen nach, die ich nicht sehen konnte. Über meine veränderte Weltsicht war ich genauso schockiert und überrascht wie damals, als mir aufging, dass ich, eine gebürtige New Yorkerin, während eines Play-off-Spiels gegen die Yankees die Red Sox anfeuerte – etwas, das ich mir nie hätte vorstellen können.
Die größere Vertrautheit mit zusätzlichen Dimensionen hat meinen Glauben an ihre Existenz nur gestärkt. Die Gegenargumente sind zu löcherig, um darauf bauen zu können, und physikalische Theorien ohne sie lassen zu viele Fragen offen. Darüber hinaus haben wir beim Nachdenken über zusätzliche Dimensionen in den letzten paar Jahren das Spektrum möglicher extradimensionaler Universen, die unserem eigenen ähneln könnten, ausgeweitet, was darauf schließen lässt, dass wir nur die Spitze des Eisbergs identifiziert haben. Selbst wenn zusätzliche Dimensionen nicht genau den Vorstellungen entsprechen werden, die ich präsentieren will, glaube ich, dass es sie höchstwahrscheinlich in der einen oder anderen Form gibt und dass sie überraschende und beeindruckende Folgen zeitigen werden.
Vielleicht weckt es Ihre Neugier, dass eine Spur von zusätzlichen Dimensionen in Ihrem Küchenschrank versteckt sein könnte – eine Antihaft-Pfanne, die mit Quasikristallen beschichtet ist. Quasikristalle sind faszinierende Strukturen, und die Ordnung, die ihnen zugrunde liegt, zeigt sich nur in zusätzlichen Dimensionen. Ein Kristall ist ein höchst symmetrisches Gitter von Atomen und Molekülen, bei dem ein Grundelement sich viele Male wiederholt. In drei Dimensionen wissen wir, welche Strukturen Kristalle bilden können und welche Muster möglich sind. Das Arrangement von Atomen und Molekülen in Quasikristallen entspricht jedoch keinem einzigen dieser Muster.
Dies ist eine »Penrose-Parkettierung«. Es handelt sich um die Projektion einer fünfdimensionalen Kristallstruktur auf zwei Dimensionen.
Abbildung 2 zeigt ein Beispiel für ein quasikristallines Muster. Ihm fehlt die präzise Regelmäßigkeit eines echten Kristalls, die eher dem Gitternetz eines Diagrammpapiers ähneln würde. Die eleganteste Möglichkeit, das Muster der Moleküle in diesen seltsamen Materialien zu erklären, besteht in einer Projektion – einer Art dreidimensionalen Schatten – eines höherdimensionalen Kristallmusters, die die Symmetrie des Musters in einem höherdimensionalen Raum erkennen lässt. Was in drei Dimensionen wie ein völlig unerklärliches Muster aussieht, reflektiert eine geordnete Struktur in einer höherdimensionalen Welt. Die mit Quasikristallen beschichtete Antihaft-Pfanne macht sich die Strukturunterschiede zwischen den Projektionen höherdimensionaler Kristalle in der Beschichtung und der eher profanen Struktur gewöhnlicher dreidimensionaler Nahrungsmittel zunutze. Die unterschiedliche Anordnung von Atomen, die verhindert, dass sie sich aneinander binden, macht Hoffnung, dass es zusätzliche Dimensionen gibt und sie beobachtbare physikalische Phänomene erklären.
Übersicht
Genau wie zusätzliche Dimensionen uns das verwirrende Molekülarrangement in einem Quasikristall verstehen helfen, spekulieren Physiker heute, dass Theorien über zusätzliche Dimensionen auch Zusammenhänge in der Teilchenphysik und der Kosmologie erhellen werden, die mit lediglich drei Dimensionen schwierig zu begreifen sind.
30 Jahre lang haben sich die Physiker auf eine Theorie verlassen, die sie als Standardmodell der Teilchenphysik bezeichnen und die uns etwas über das grundsätzliche Wesen der Materie und die Kräfte sagt, mittels deren ihre elementaren Bestandteile wechselwirken.[1] Physiker haben das Standardmodell getestet, indem sie Teilchen erzeugen, die es in unserer Welt seit den allerersten Sekunden des Universums nicht mehr gegeben hat, und sie haben festgestellt, dass das Standardmodell viele ihrer Eigenschaften außerordentlich gut beschreibt. Und doch kann das Standardmodell einige grundsätzliche Fragen nicht beantworten – die von so fundamentaler Natur sind, dass ihre Lösung neue Einsichten in die Bausteine unserer Welt und ihre Wechselwirkungen verspricht.
Dieses Buch berichtet davon, wie ich und andere nach Lösungen für die Rätsel des Standardmodells forschen und uns dabei in extradimensionalen Welten wiederfinden. Die neuen Entwicklungen mit zusätzlichen Dimensionen werden letztlich im Zentrum der Aufmerksamkeit stehen, aber zunächst werde ich die Zuspieler vorstellen – die revolutionären physikalischen Fortschritte des 20. Jahrhunderts. Die neuesten Ideen, die ich später diskutiere, bauen auf diesen außerordentlichen Durchbrüchen auf.
Bei dieser Übersicht werden wir Themen begegnen, die sich grob in drei Kategorien einteilen lassen: die Physik des frühen 20. Jahrhunderts, die Teilchenphysik und die Stringtheorie. Wir werden die Grundideen der Quantenmechanik genauso ergründen wie den Status quo der Teilchenphysik und die Probleme, die sich möglicherweise mit zusätzlichen Dimensionen lösen lassen. Wir werden auch die Konzepte kennen lernen, die der Stringtheorie zugrunde liegen, von der viele Physiker glauben, dass sie die beste Kandidatin für eine Theorie ist, die sowohl Quantenmechanik als auch Gravitation einschließt. Der Stringtheorie zufolge sind die grundlegenden Einheiten in der Natur nicht Teilchen, sondern fundamentale oszillierende Strings oder Fäden, und sie hat in erheblichem Maß dazu motiviert, sich mit zusätzlichen Dimensionen zu beschäftigen, weil sie selbst mehr als drei räumliche Dimensionen voraussetzt. Und ich werde auch die Rolle von Branen beschreiben – von Membranen ähnelnden Objekten im Rahmen der Stringtheorie –, die für die Theorie so entscheidend sind wie die Strings selbst. Wir werden sowohl die Leistungen dieser Theorien betrachten als auch die Fragen, die sie offen lassen – diejenigen, die die gegenwärtige Forschung vorantreiben.
Eines der größten Rätsel ist, warum die Gravitation so viel schwächer ist als die anderen bekannten Kräfte. Die Schwerkraft fühlt sich nicht gerade schwach an, wenn Sie einen Berg besteigen, aber das liegt daran, dass die gesamte Erde an Ihnen zerrt. Ein winziger Magnet kann eine Büroklammer hochheben, obwohl die gesamte Masse der Erde sie in die entgegengesetzte Richtung zieht. Warum ist die Gravitation gegen das bisschen Anziehungskraft eines winzigen Magneten so machtlos? In der Standard-Teilchenphysik mit ihren drei Dimensionen ist die Schwäche der Gravitation ein gigantisches Rätsel. Zusätzliche Dimensionen könnten jedoch eine Antwort liefern. 1998 haben mein Mitarbeiter Raman Sundrum und ich einen Grund aufgezeigt, warum das so sein könnte.
Unser Vorschlag gründet sich auf die verzerrte Geometrie, ein Konzept, das aus Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie hervorgeht. Dieser Theorie zufolge sind Raum und Zeit in ein einziges Raumzeit-Gebilde integriert, das von Materie und Energie verformt, gekrümmt und verzerrt wird. Raman und ich haben diese Theorie in einem neuen, extradimensionalen Kontext angewandt. Wir fanden eine Konfiguration, bei der Raumzeitverzerrungen so schwer wiegend sind, dass selbst dann, wenn die Gravitation in einer Raumregion stark ist, sie überall sonst schwächelt.
Und wir fanden etwas, das sogar noch bemerkenswerter ist. Obwohl Physiker seit 80 Jahren annehmen, dass zusätzliche Dimensionen winzig sein müssen, wenn man erklären will, warum wir sie noch nie gesehen haben, entdeckten 1999 Raman und ich, dass nicht nur ein verzerrter Raum die Schwäche der Gravitation erklären kann, sondern dass sich auch eine unsichtbare zusätzliche Dimension ins Unendliche erstrecken kann, wenn sie in einer gekrümmten Raumzeit entsprechend verzerrt ist. Eine zusätzliche Dimension kann unendlich groß sein – aber nichtsdestotrotz versteckt. (Nicht alle Physiker akzeptierten unseren Vorschlag auf der Stelle. Aber meine nicht aus der Physik kommenden Freunde waren schneller davon überzeugt, dass ich da auf etwas gestoßen war – nicht weil sie die Physik in vollem Umfang verstanden hätten, sondern weil nach einem Vortrag über meine Arbeit beim Konferenzbankett mir Stephen Hawking einen Stuhl frei gehalten hatte.)
Ich werde die physikalischen Prinzipien erklären, die diesen und anderen theoretischen Entwicklungen zugrunde liegen, und die neuen Raumbegriffe, die sie vorstellbar machen. Und später werden wir sogar einer noch verrückteren Möglichkeit begegnen, die der Physiker Andreas Karch und ich ein Jahr später entdeckten: Wir könnten in einer dreidimensionalen Tasche des Raums leben, auch wenn der Rest des Universums sich verhält, als wäre er höherdimensional. Diese Erkenntnis eröffnet eine Fülle neuer Möglichkeiten für das Gebilde der Raumzeit, das aus unterschiedlichen Regionen bestehen könnte, von denen jede eine unterschiedliche Anzahl von Dimensionen umfasst. Wir sind nicht nur nicht das Zentrum des Universums, womit Kopernikus vor 500 Jahren die Welt schockierte, wir leben vielleicht bloß in einem abgelegenen Winkel mit drei Raumdimensionen, der Teil eines höherdimensionalen Kosmos ist.
Die in jüngster Zeit untersuchten, Membranen ähnelnden Objekte namens Branen sind wichtige Komponenten der umfassenden höherdimensionalen Landschaften. Wenn zusätzliche Dimensionen der Spielplatz der Physiker sind, dann sind Branenwelten – hypothetische Universen, in denen wir auf einer Brane leben – unwiderstehliche, vielschichtige, facettenreiche Klettergerüste. Dieses Buch entführt Sie in Branenwelten und Universen mit aufgerollten, verzerrten, großen und unendlichen Dimensionen, von denen einige eine einzige Brane enthalten und andere multiple Branen haben, die Heimat ungesehener Welten sind. All dies liegt im Bereich des Möglichen.
Der Reiz des Unbekannten
Die angenommenen Branenwelten sind ein Sprung ins Ungewisse und die dahinter stehenden Ideen spekulativ. Wie beim Aktienmarkt jedoch können riskantere Geschäfte zwar schief gehen, sie können einen aber auch mit höheren Gewinnen belohnen.
Stellen Sie sich den Schnee unter einem Ski-Sessellift am ersten schönen Tag nach einem Schneesturm vor, wenn das jungfräuliche Pulver Sie lockt. Sie wissen: Was auch geschehen wird, wenn Sie erst einmal den Schnee unter den Füßen haben, wird es ein herrlicher Tag. Einige Abfahrten werden steil und voller Buckel sein, andere leicht zu fahren, und wieder andere werden verschlungen zwischen Bäumen hindurch führen. Aber selbst wenn Sie ab und an einmal die falsche Kurve kriegen, wird der größte Teil des Tages wunderschön werden.
Für mich hat das Konstruieren von Modellen – so nennen Physiker die Suche nach Theorien, die den momentanen Beobachtungen zugrunde liegen könnten – dieselbe unwiderstehliche Anziehungskraft. Das Modellebauen ist eine Abenteuertour durch Konzepte und Ideen. Manchmal liegen neue Ideen auf der Hand, und manchmal sind sie schwierig zu finden und zu begreifen. Aber selbst wenn wir nicht wissen, wo sie hinführen, ergründen interessante neue Modelle oft unberührtes, wunderbares Terrain.
Wir werden nicht sofort wissen, welche der Theorien unseren Platz im Universum richtig beschreibt. Bei einigen werden wir es vielleicht niemals wissen. Unglaublicherweise gilt das jedoch nicht für alle extradimensionalen Theorien. Das Aufregendste an jeder die Schwäche der Gravitation erklärenden extradimensionalen Theorie ist, dass wir bald herausfinden werden, ob sie zutrifft. Bei Experimenten mit sehr energiereichen Teilchen könnten Beweise entdeckt werden, die diese Hypothesen und die in ihnen angenommenen Zusatzdimensionen bekräftigen – und zwar binnen der nächsten fünf Jahre, sobald der Large Hadron Collider (LHC), ein Hochenergie-Teilchenbeschleuniger bei Genf, in Betrieb ist.
Dieser Beschleuniger, der 2007 in Betrieb gehen soll, wird extrem energiereiche Teilchen aufeinander prallen lassen, die sich in neue Materietypen verwandeln könnten, die wir noch nie zuvor gesehen haben. Wenn irgendeine der extradimensionalen Theorien richtig ist, könnte es beim LHC sichtbare Anzeichen dafür geben. Zu den Beweisen würden auch Teilchen namens Kaluza-Klein-Moden zählen, die sich in den zusätzlichen Dimensionen bewegen, Spuren ihrer Existenz aber hier in den vertrauten drei Dimensionen hinterlassen. Kaluza-Klein-Moden wären Fingerabdrücke von Extradimensionen in unserer dreidimensionalen Welt. Und wenn wir sehr viel Glück haben, werden bei den Experimenten auch andere Hinweise registriert, vielleicht sogar auf höherdimensionale Schwarze Löcher.
Die Detektoren, die jene Objekte entdecken, werden von beeindruckender Größe sein – so groß, dass bei der Arbeit daran Bergsteigerausrüstungen wie Sicherheitsleinen und Helme nötig sind. Ich nutzte diese Ausrüstung sogar einmal, als ich in der Schweiz nahe der Europäischen Organisation für Kernforschung (CERN) – dem Forschungszentrum, das den LHC betreiben wird – eine Gletscherwanderung machte. Diese enormen Detektoren werden Teilcheneigenschaften registrieren, aus denen die Physiker dann rekonstruieren werden, was hindurchgegangen ist.
Zugegeben, die Beweise für zusätzliche Dimensionen werden irgendwie indirekt sein, und wir werden das Bild aus verschiedenen Hinweisen zusammensetzen müssen. Aber das gilt für fast alle physikalischen Entdeckungen in jüngerer Zeit. Während die Physik sich im Lauf des 20. Jahrhunderts weiterentwickelte, entfernte sie sich immer mehr von Dingen, die man mit bloßem Auge beobachten kann, in Richtung von Sachen, die man nur mittels Messungen, gepaart mit theoretisch-logischen Ableitungen, »sehen« kann. Quarks beispielsweise, Komponenten des Protons und des Neutrons, die vielleicht noch aus der Oberstufenphysik bekannt sind, treten niemals isoliert auf; wir finden sie, indem wir den Beweisketten folgen, die sie hinterlassen, wenn sie auf andere Teilchen einwirken. Dasselbe gilt für so spannende Dinge wie die Dunkle Energie und die Dunkle Materie. Wir wissen nicht, wo der größte Teil der Energie im Universum herkommt oder was das Wesen der meisten Materie im Universum ist. Wir wissen aber, dass es im Universum Dunkle Materie und Dunkle Energie gibt, nicht weil wir sie direkt entdeckt hätten, sondern nur, weil sie sich merklich auf die Materie ringsum auswirken. Wie Quarks oder Dunkle Materie und Dunkle Energie, deren Existenz wir nur indirekt ermitteln können, werden Extradimensionen sich uns nicht direkt offenbaren. Nichtsdestotrotz könnten Signaturen zusätzlicher Dimensionen, selbst wenn sie nur indirekt sind, letztlich deren Existenz bestätigen.
Lassen Sie mich von Anfang an klarstellen, dass natürlich nicht alle neuen Ideen sich als richtig erweisen werden und dass viele Physiker gegenüber neuen Theorien skeptisch sind. Die von mir hier vorgestellten Theorien bilden da keine Ausnahme. Aber die Spekulation ist die einzige Möglichkeit, Fortschritte zu machen. Selbst wenn sich herausstellen sollte, dass die Details nicht mit der Realität übereinstimmen, kann eine neue theoretische Idee dennoch die physikalischen Prinzipien erhellen, die in der wahren Theorie des Kosmos am Werk sind. Ich bin ziemlich sicher, dass die Ideen über zusätzliche Dimensionen, denen wir in diesem Buch begegnen werden, mehr als einen Keim der Wahrheit enthalten.
Wenn man sich auf das Unbekannte einlässt und mit spekulativen Ideen arbeitet, finde ich es beruhigend, sich daran zu erinnern, dass die Entdeckung fundamentaler Strukturen immer eine Überraschung gewesen und auf Skepsis und Widerstand gestoßen ist. Seltsamerweise haben nicht nur die Öffentlichkeit, sondern manchmal genau die Personen, die tiefer liegende Strukturen postulierten, zunächst gezögert, an sie zu glauben.
James Clerk Maxwell beispielsweise, der die klassische Theorie der Elektrizität und des Magnetismus entwickelte, glaubte nicht an die Existenz fundamentaler Entitäten wie Ladung oder Elektronen. George Stoney, der gegen Ende des 19. Jahrhunderts das Elektron als die fundamentale Einheit der Ladung vorschlug, glaubte nicht, dass Wissenschaftler je Elektronen von den Atomen, deren Komponenten sie sind, isolieren könnten. (Dabei braucht man dafür bloß Hitze oder ein elektrisches Feld.) Dimitri Iwanowitsch Mendelejew, Schöpfer des Periodensystems der Elemente, lehnte die Vorstellung der Wertigkeit ab, nach der sein System organisiert war. Max Planck, der vorschlug, dass die vom Licht transportierte Energie diskontinuierlich sei, glaubte in Wirklichkeit nicht an Lichtquanten, wie sie seine eigene Überlegung voraussetzte. Albert Einstein, der diese Lichtquanten vorgeschlagen hatte, wusste nicht, dass ihre mechanischen Eigenschaften es erlauben würden, sie als Teilchen zu identifizieren – Photonen, wie wir heute wissen. Nicht jeder mit richtigen neuen Ideen hat jedoch deren Bezug zur Realität geleugnet. Viele Ideen, ob man an sie glaubte oder nicht, haben sich als zutreffend erwiesen.
Wartet noch mehr darauf, entdeckt zu werden? Als Antwort auf diese Frage greife ich zu den allzu vergänglichen Worten George Gamows, des berühmten Kernphysikers und Wissenschaftspublizisten. 1945 schrieb er: »Statt einer ziemlich großen Zahl von ›unsichtbaren Atomen‹ der klassischen Physik haben wir jetzt nur noch drei essenziell unterschiedliche Entitäten; Nukleonen, Elektronen und Neutrinos … Es sieht also danach aus, dass wir bei unserer Suche nach den Grundelementen, aus denen Materie gebildet ist, tatsächlich ans Ende gekommen sind.« Als Gamow dies schrieb, hatte er keine Ahnung, dass die Nukleonen aus Quarks zusammengesetzt sind, die im Lauf der nächsten 30 Jahre entdeckt werden würden!
Wäre es nicht merkwürdig, wenn wir die ersten Wissenschaftler wären, für die die Suche nach weiteren, noch tiefer liegenden Strukturen nicht länger fruchtbar wäre? Das wäre sogar so merkwürdig, dass es kaum glaubhaft ist. Widersprüche in den bestehenden Theorien sagen uns, dass sie nicht das letzte Wort sein können. Frühere Generationen hatten weder die Mittel noch die Motivation heutiger Physiker, die extradimensionalen Schauplätze zu erforschen, die dieses Buch beschreiben wird. Zusätzliche Dimensionen – oder was immer dem Standardmodell der Teilchenphysik zugrunde liegen mag – wären eine Entdeckung von überragender Bedeutung.
Und was die Welt um uns herum angeht: Haben wir eine andere Wahl, als sie zu erforschen?
1Eingangspassagen: Entmystifizierte Dimensionen
You can go your own way.
Go your own way.
Du kannst deinen Weg gehen.
Geh deinen Weg.
Fleetwood Mac
»Ike, wegen der Geschichte, die ich da schreibe, bin ich mir nicht so sicher. Ich überlege, weitere Dimensionen hinzuzufügen. Was hältst du davon?«
»Athena, dein großer Bruder weiß wenig darüber, wie man Geschichten hinbekommt. Aber ich denke, es kann nicht schaden, neue Dimensionen hinzufügen. Willst du neue Charaktere einführen, oder denen, die du hast, mehr Tiefe geben?«
»Weder noch; das meine ich nicht. Ich plane, neue Dimensionen einzuführen – etwa neue Dimensionen des Raums.«
»Du machst Witze, oder? Du willst über alternative Realitäten schreiben – etwa Orte, an denen Leute alternative spirituelle Erlebnisse haben oder wo sie hingehen, wenn sie sterben, oder wo sie Nahtod-Erfahrungen haben?[2] Ich hätte nicht gedacht, dass du für so etwas zu haben bist.«
»Mach mal halblang, Ike. Du weißt, dass dem nicht so ist. Ich rede von anderen räumlichen Dimensionen – nicht anderen spirituellen Ebenen!«
»Aber was könnten andere räumliche Dimensionen schon bewirken? Wenn du Papier mit anderen Dimensionen nimmst – etwa 250x353 mm statt 210x297 mm –, würde das doch überhaupt nichts ändern!«
»Mach keine Witze. Davon rede ich auch nicht. Ich plane wirklich, neue Raumdimensionen einzuführen, genau wie die Dimensionen, die wir sehen, nur in völlig neuen Richtungen.«
»Dimensionen, die wir nicht sehen? Ich dachte, mehr als drei Dimensionen gibt es nicht.«
»Warts ab, Ike. Das werden wir ja bald sehen!«
Wie so viele Begriffe, die den Raum oder die Bewegung durch ihn hindurch beschreiben, lässt sich auch das Wort »Dimension« auf mannigfaltige Weise interpretieren – und ich glaube, mittlerweile kenne ich alle Deutungen. Weil wir die Dinge in räumlichen Bildern sehen, neigen wir dazu, viele Konzepte einschließlich Zeit und Denken mit räumlichen Begriffen zu beschreiben. Das heißt, dass viele Wörter, die sich auf den Raum beziehen, mehrfache Bedeutungen haben. Und wenn wir solche Wörter für technische Zwecke verwenden, können deren alternative Verwendungen dazu führen, dass die Definitionen verwirrend klingen.
Der Ausdruck »zusätzliche Dimensionen« ist besonders rätselhaft, denn selbst wenn wir diese Wörter auf den Raum anwenden, liegt jener Raum außerhalb unserer sinnlichen Wahrnehmung. Dinge, die man nur schwer visualisieren kann, lassen sich im Allgemeinen auch schwer beschreiben. Wir sind physiologisch einfach nicht dazu geschaffen, mehr als drei räumliche Dimensionen zu verarbeiten. Licht, Gravitation und all unsere Werkzeuge zur Beobachtung präsentieren uns eine Welt, die nur drei räumliche Dimensionen zu umfassen scheint.
Weil wir zusätzliche Dimensionen nicht direkt wahrnehmen können – selbst wenn es sie gibt –, befürchten einige Leute, dass Versuche, sie zu verstehen, ihnen Kopfschmerzen bereiten werden. Wenigstens sagte mir das ein Nachrichtensprecher der BBC während eines Interviews. Es ist jedoch nicht das Nachdenken über zusätzliche Dimensionen, sondern der Versuch, sie sich vorzustellen, was so viel Unbehagen bereitet. Der Versuch, eine höherdimensionale Welt zu zeichnen, bringt unvermeidlicherweise Komplikationen mit sich.
Über Zusatzdimensionen nachzudenken ist eine völlig andere Sache. Wir sind durchaus in der Lage, ihre Existenz in Betracht zu ziehen. Und wenn meine Kollegen und ich die Begriffe »Dimensionen« und »Extradimensionen« verwenden, haben wir dabei präzise Vorstellungen. Bevor wir also weitere Schritte unternehmen oder ergründen, wie neue Ideen in unser Bild vom Universum passen – man beachte die räumlichen Metaphern –, will ich die Begriffe »Dimensionen« und »Zusatzdimensionen« erklären und darlegen, was ich damit meine, wenn ich sie später verwende.
Wir werden bald sehen, dass bei mehr als drei Dimensionen Begriffe (und Gleichungen) mehr sagen können als tausend Bilder.
Was sind Dimensionen?
Mit vieldimensionalen Räumen zu arbeiten ist eigentlich etwas, das alle jeden Tag tun, auch wenn ich zugeben muss, dass die meisten von uns das nicht so sehen. Aber denken Sie an all die Dimensionen, die in Ihre Überlegungen eingehen, wenn Sie eine wichtige Entscheidung zu treffen haben wie beispielsweise den Kauf eines Hauses. Sie ziehen die Größe in Betracht, die Schulen in der Nähe, die Entfernung zu den für Sie wichtigen Örtlichkeiten, die Architektur, das Geräuschniveau – und die Liste ist noch viel länger. Sie müssen all Ihre Bedürfnisse und Wünsche berücksichtigen und in einem multidimensionalen Kontext ein Optimum finden.
Die Anzahl der Dimensionen ist die Anzahl der Größen, die man kennen muss, um einen Punkt im Raum vollständig festzulegen. Der multidimensionale Raum mag ein abstrakter sein wie etwa der Komplex von Kriterien, den Sie bei der Haussuche berücksichtigen müssen, oder ein konkreter wie der reale physikalische Raum, über den wir bald nachdenken werden. Aber beim Hauskauf können Sie sich die Anzahl der Dimensionen als die Anzahl der Größen vorstellen, die Sie in die jeweiligen Felder einer Datenbank eintragen würden – die Zahl der Größen, die zu untersuchen Sie wichtig finden.
Etwas frivoler kann man den Begriff der Dimension auch auf Menschen anwenden. Wenn Sie jemanden als eindimensional abstempeln, denken Sie dabei an etwas ganz Bestimmtes: Sie meinen, dass die Person nur ein einziges Interesse verfolgt. Sam beispielsweise, der nichts weiter tut, als zu Hause Sportfernsehen zu gucken, kann mit bloß einer Information beschrieben werden. Wenn Sie wollen, können Sie diese Information als einen Punkt auf einem eindimensionalen Graphen darstellen: Sams Neigung zum Sportfernsehen etwa. Wenn Sie so einen Graphen zeichnen, müssen Sie Ihre Einheiten spezifizieren, damit ein anderer verstehen kann, was die Abstände auf dieser einen Achse bedeuten. Abbildung 3 zeigt ein Diagramm, bei dem Sam ein Punkt auf einer horizontalen Achse ist. Dieses Diagramm stellt die Anzahl von Stunden pro Woche dar, an denen Sam sich TV-Sportsendungen anschaut. (Glücklicherweise kann man Sam mit diesem Beispiel nicht beleidigen; er zählt nicht zu den multidimensionalen Lesern dieses Buches.)
Das Diagramm des eindimensionalen Sam.
Lassen Sie uns diese Vorstellung ein wenig weiter treiben. Icarus Rushmore III (Ike in der Geschichte oben), der in Boston wohnt, ist ein komplexerer Charakter. Er ist dreidimensional. Ike ist 21 Jahre alt, fährt schnelle Autos und verliert sein Geld in Wonderland, einer Stadt bei Boston mit einer Hunderennbahn. In Abbildung 4 habe ich Ike graphisch dargestellt. Das Diagramm habe ich zwar auf die zweidimensionale Oberfläche eines Blattes Papier gezeichnet, aber die drei Achsen sagen uns, dass Ike definitiv dreidimensional ist.[3]
Wenn wir Menschen beschreiben, schreiben wir ihnen in der Regel jedoch mehr als eine charakteristische Eigenschaft zu, meistens auch mehr als drei. Athena, Ikes Schwester, ist elf Jahre alt, liest begierig, glänzt in Mathe, informiert sich über die Vorgänge in der Welt und hält sich Eulen als Haustiere. Vielleicht wollen Sie auch sie in einem Diagramm darstellen (obwohl ich mir nicht sicher bin, warum Sie das eigentlich sollten). In diesem Fall müsste Athena als ein Punkt in einem fünfdimensionalen Raum dargestellt werden, dessen Achsen dem Alter, der Anzahl pro Woche gelesener Bücher, dem Punktedurchschnitt der Mathematiktests, der Anzahl der täglich mit Zeitungslektüre verbrachten Minuten und der Anzahl der von ihr gehaltenen Eulen entsprechen. Ich habe jedoch Schwierigkeiten, solch einen Graphen zu zeichnen. Ich bräuchte dafür einen fünfdimensionalen Raum, und ein solcher ist schwer zu malen. Selbst Computerprogramme können nicht mehr als 3-D-Graphik bewältigen.
Dennoch gibt es im abstrakten Sinn einen fünfdimensionalen Raum mit einer Ansammlung von fünf Zahlen, beispielsweise (11, 3, 100, 45, 4), der uns sagt, dass Athena elf Jahre alt ist, durchschnittlich drei Bücher pro Woche liest, in Mathe immer 100 Punkte schafft, täglich 45 Minuten Zeitung liest und momentan vier Eulen besitzt. Mit diesen fünf Zahlen habe ich Athena beschrieben. Wären Sie mit ihr bekannt, würden Sie sie anhand dieses Punkts in fünf Dimensionen wiedererkennen.
Das Diagramm des dreidimensionalen Ike. Die fett gezeichneten Linien sind die Koordinatenachsen des dreidimensionalen Diagramms. Der mit »Ike« markierte Punkt entspricht einem einundzwanzigjährigen jungen Mann, der jeden Monat 24 Dollar in Wonderland verliert und durchschnittlich 3,3-mal pro Woche mit seinem schnellen Auto herumrast.
Die Anzahl der Dimensionen für jede der drei Personen entsprach der Anzahl der Attribute, anhand deren ich sie identifizierte: eines für Sam, drei für Ike und fünf für Athena. Wirkliche Menschen sind in der Regel natürlich nur schwer mit so wenigen Informationen darzustellen.
In den folgenden Kapiteln werden wir mittels Dimensionalität nicht Menschen, sondern den Raum selbst erkunden. Mit »Raum« meine ich die Region, in der es Materie gibt und physikalische Prozesse stattfinden. Ein Raum von einer bestimmten Dimensionalität ist ein Raum, in dem eine bestimmte Anzahl von Größen nötig ist, um einen Punkt zu spezifizieren. Bei einer Dimension wäre dies ein Punkt in einem Diagramm mit einer einzigen x-Achse; bei zwei Dimensionen ein Punkt in einem Diagramm mit einer x- und einer y-Achse; bei drei Dimensionen wäre es ein Punkt in einem Diagramm mit einer x-, einer y- und einer z-Achse.[1]
Diese Achsen sind in Abbildung 5 dargestellt.
Die drei Koordinatenachsen, die wir für einen dreidimensionalen Raum verwenden.
Im dreidimensionalen Raum braucht man nichts weiter als drei Zahlen, um etwas präzise zu lokalisieren. Bei diesen Zahlen könnte es sich um Längengrad, Breitengrad und Höhe über Normalnull handeln oder um Angaben in Längs-, Quer- und vertikaler Richtung; Sie könnten auch nach einer ganz anderen Methode drei Zahlen wählen. Entscheidend dabei ist, dass man bei drei Dimensionen genau drei Zahlen braucht. Im zweidimensionalen Raum brauchen Sie zwei Zahlen, und in einem höherdimensionalen Raum brauchen Sie mehr.
Mehr Dimensionen bedeuten die Freiheit, sich in einer größeren Zahl von völlig unterschiedlichen Richtungen zu bewegen. Ein Punkt in einem vierdimensionalen Raum erfordert einfach nur eine zusätzliche Achse – wiederum schwierig zu zeichnen. Aber es sollte nicht schwer fallen, sich deren Existenz vorzustellen. Wir werden darüber mit verbalen Begriffen und mathematischen Ausdrücken nachdenken.
Die Stringtheorie schlägt sogar noch mehr Dimensionen vor: Sie geht von sechs oder sieben zusätzlichen räumlichen Dimensionen aus, was bedeutet, dass sechs oder sieben weitere Koordinaten nötig sind, um einen Punkt festzulegen. Und allerneueste Arbeiten über die Stringtheorie haben gezeigt, dass es sogar noch mehr Dimensionen sein könnten. In diesem Buch bleibe ich geistig beweglich und halte die Möglichkeit offen, dass es beliebig viele Zusatzdimensionen geben könnte. Es ist zu früh zu sagen, wie viele Dimensionen das Universum tatsächlich hat. Viele Konzepte von Extradimensionen, die ich beschreiben werde, gelten für beliebige Anzahlen von zusätzlichen Dimensionen. In den seltenen Fällen, in denen das nicht zutrifft, werde ich das klarstellen.
Um einen physikalischen Raum zu beschreiben, braucht es aber mehr, als bloß Punkte zu identifizieren. Man muss auch eine Metrik spezifizieren, aus der die Messskala hervorgeht oder die physische Entfernung zwischen zwei Punkten. Das sind die Markierungen entlang der Achsen eines Graphen. Es reicht nicht aus zu wissen, dass die Entfernung zwischen zwei Punkten 17 beträgt, solang man nicht weiß, ob das 17 Zentimeter, 17 Kilometer oder 17 Lichtjahre meint. Die Metrik brauchen wir, um zu wissen, wie wir Entfernungen messen sollen: Welcher Entfernung der Abstand zwischen zwei Punkten auf einem Graphen in der Welt, die der Graph repräsentiert, entspricht. Die Metrik liefert einen Maßstab, der zeigt, welche Einheiten man für seine Messskala gewählt hat; das ist wie bei einer Karte, bei der ein halber Zentimeter einen Kilometer repräsentieren kann, oder beim metrischen System, das uns einen Maßstab an die Hand gibt, auf den wir uns alle einigen können.
Aber das ist nicht alles, was eine Metrik spezifiziert. Sie sagt uns auch, ob der Raum gekräuselt oder gekrümmt ist, etwa wie die Oberfläche eines Luftballons, den wir zu einer Kugel aufblasen. Die Metrik enthält alle Informationen über die Gestalt des Raums. Die Metrik für einen gekrümmten Raum sagt uns etwas sowohl über Entfernungen als auch über Winkel. Genau wie ein Zentimeter unterschiedliche Entfernungen repräsentieren kann, kann ein Winkel unterschiedlichen Formen entsprechen. Das vertiefe ich später, wenn wir den Zusammenhang zwischen gekrümmtem Raum und Gravitation erkunden. Für den Moment sagen wir einfach nur, dass die Oberfläche einer Kugel nicht dasselbe ist wie die Oberfläche eines flachen Blattes Papier. Dreiecke auf dem einen sehen nicht wie Dreiecke auf dem anderen aus, und den Unterschied zwischen den beiden zweidimensionalen Räumen kann man an ihrer Metrik erkennen.[2]
Während die Physik sich weiterentwickelte, hat sich auch die Menge an Informationen vermehrt, die in der Metrik gespeichert sind. Als Einstein die Relativitätstheorie entwickelte, erkannte er, dass eine vierte Dimension – die Zeit – von den drei Raumdimensionen nicht zu trennen ist. Auch die Zeit braucht eine Messskala, und so formulierte Einstein die Gravitation mit einer Metrik für eine vierdimensionale Raumzeit, fügte also die Dimension der Zeit den drei Dimensionen des Raums hinzu.
Und jüngere Entwicklungen haben gezeigt, dass es auch zusätzliche Raumdimensionen geben könnte. In diesem Fall wird die zutreffende Raumzeit-Metrik mehr als drei räumliche Dimensionen umfassen. Die Anzahl der Dimensionen und die Metrik für diese Dimensionen geben die Mittel an die Hand, einen solchen multidimensionalen Raum zu beschreiben. Doch bevor wir uns näher mit Metrik und Metriken für multidimensionale Räume beschäftigen, wollen wir über die Bedeutung des Ausdrucks »multidimensionaler Raum« gründlicher nachdenken.
Spielerische Passagen durch zusätzliche Dimensionen
In Roald Dahls Charlie und die Schokoladenfabrik stellt Willy Wonka seinen Besuchern einen gläsernen Fahrstuhl vor: »Das ist kein gewöhnlicher Fahrstuhl, der einfach nur rauf und runter fährt«, erklärt er. »Dieser Fahrstuhl fährt vorwärts und rückwärts und seitwärts und schrägwärts – wohin ihr wollt.«[4] Genauer gesagt, konnte sich sein Transportmittel in all die Richtungen bewegen, die in den drei uns bekannten Dimensionen möglich sind. Ein hübscher, phantasievoller Einfall.
Doch der gläserne Fahrstuhl konnte sich nicht überall dorthin bewegen, »… wohin ihr wollt«. Willy Wonka argumentierte etwas oberflächlich, weil er extradimensionale Passagen vernachlässigte. Zusätzliche Dimensionen sind völlig andere Richtungen. Sie sind schwer zu beschreiben, aber mit Hilfe von Analogien kann man sie leichter begreifen.
Um eine Vorstellung von zusätzlichen Dimensionen zu vermitteln, veröffentlichte der englische Mathematiker Edwin A. Abbott im Jahr 1884 einen Roman namens Flächenland.[5] Er spielt in einem fiktionalen, zweidimensionalen Universum – dem Flächenland des Titels –, in dem zweidimensionale Wesen (von unterschiedlicher geometrischer Form) leben. Abbott zeigt uns, warum Flächenländler, die ihr gesamtes Leben in zwei Dimensionen verbringen – beispielsweise auf einer Tischfläche –, von drei Dimensionen so verwirrt sind wie Leute in unserer Welt von dem Gedanken an vier.
Bei uns überschreiten mehr als drei Dimensionen unser Vorstellungsvermögen, in Flächenland aber übersteigen schon drei Dimensionen das Verständnis seiner Bewohner. Jeder glaubt, es liege auf der Hand, dass das Universum nicht mehr als die zwei wahrnehmbaren Dimensionen hat. Flächenländler insistieren so sehr darauf wie die meisten Menschen bei uns auf ihren dreien. Der Erzähler des Buches, A. Quadrat (ein Namensvetter des Autors, Edwin A2), wird in die Realität einer dritten Dimension eingeführt. In der ersten Phase seiner Weiterbildung beobachtet er, noch immer in Flächenland, eine dreidimensionale Kugel, die vertikal durch seine zweidimensionale Welt reist. Weil A. Quadrat auf Flächenland beschränkt ist, sieht er eine Serie von Kreisen, deren Durchmesser zu- und dann wieder abnimmt, wobei es sich um Scheiben der Kugel handelt, die A. Quadrats Ebene passiert (siehe Abbildung 6).
Wenn eine Kugel eine Fläche passiert, nimmt ein zweidimensionaler Beobachter eine Scheibe wahr. Die Kugel setzt sich aus der Abfolge von Scheiben zusammen, die der Beobachter im Verlauf der Zeit wahrnimmt.
Anfänglich verwirrt das den zweidimensionalen Erzähler, der sich nie mehr als zwei Dimensionen hat vorstellen können und nie über dreidimensionale Objekte wie eine Kugel nachgedacht hat. Erst als A. Quadrat aus Flächenland heraus in die umgebende dreidimensionale Welt emporsteigt, kann er sich wirklich eine Kugel vorstellen. Aus seiner neuen Perspektive erkennt er die Kugel als ein Gebilde, das aus den von ihm beobachteten zweidimensionalen Scheiben zusammengesetzt ist. Auch in seiner zweidimensionalen Welt hätte A. Quadrat die Abfolge der Scheiben als Funktion der Zeit (wie in Abbildung 6) wahrnehmen und so die Kugel rekonstruieren können. Aber erst nachdem seine Reise durch eine dritte Dimension ihm die Augen geöffnet hatte, konnte er die Kugel und ihre dritte räumliche Dimension in vollem Umfang begreifen.
Analog würden wir, wenn eine Hypersphäre (eine Kugel mit vier räumlichen Dimensionen) unser Universum passierte, sie als eine zeitliche Abfolge von dreidimensionalen Kugeln wahrnehmen, die an Größe erst zu- und dann abnehmen.[3] Unglücklicherweise haben wir nicht die Möglichkeit, durch eine zusätzliche Dimension zu reisen. Wir werden niemals eine statische Hypersphäre zur Gänze sehen. Trotzdem können wir schlussfolgern, wie Objekte in Räumen von unterschiedlichen Dimensionen aussehen – selbst von Dimensionen, die wir nicht sehen. Mit einigem Zutrauen können wir ableiten, dass unsere Wahrnehmung einer drei Dimensionen passierenden Hypersphäre einer Serie von dreidimensionalen Sphären entsprechen würde.
Als ein weiteres Beispiel wollen wir uns den Aufbau eines Hyperkubus vorstellen – eine Verallgemeinerung eines Würfels auf mehr als drei Dimensionen. Ein eindimensionales Liniensegment besteht aus zwei Punkten, die mit einer geraden, eindimensionalen Linie verbunden sind. Das können wir auf zwei Dimensionen zu einem Quadrat verallgemeinern, indem wir ein zweites eindimensionales Liniensegment über dem Ersten anordnen und sie mit zwei zusätzlichen Segmenten verbinden. Wir können weiter auf die drei Dimensionen eines Würfels verallgemeinern; wir konstruieren ihn, indem wir ein zweidimensionales Quadrat über dem Ersten positionieren und die beiden mit vier zusätzlichen Quadraten verbinden, jeweils eines an den Kanten der ursprünglichen Quadrate (siehe Abbildung 7).
Wie man niedrigdimensionale Objekte zu höherdimensionalen zusammensetzt. Wir verbinden zwei Punkte zu einem Liniensegment, zwei Liniensegmente zu einem Quadrat, zwei Quadrate zu einem Würfel und (nicht abgebildet, weil zu schwierig zu zeichnen) zwei Würfel zu einem Hyperkubus.
Wir können auf vier Dimensionen zu einem Hyperkubus verallgemeinern und auf fünf Dimensionen zu etwas, für das wir noch nicht einmal einen Namen haben. Obwohl wir dreidimensionalen Sterblichen diese beiden Objekte nie gesehen haben, können wir das Verfahren, das in weniger Dimensionen funktionierte, verallgemeinern. Um einen Hyperkubus zu konstruieren, positioniert man einen Würfel über dem anderen und verbindet sie, indem man sechs zusätzliche Würfel hinzufügt, die die Oberflächen der beiden ursprünglichen Würfel miteinander verbinden. Diese Konstruktion ist eine Abstraktion und schwierig zu zeichnen, aber das macht den Hyperkubus in keiner Weise weniger real.
Als ich auf der High School war, verbrachte ich einen Sommer in einem Mathematik-Camp (was viel vergnüglicher war, als man glauben mag), wo man uns eine Filmversion von Flächenland zeigte.[6] Am Ende versuchte der Erzähler vergeblich, in die Richtung der den Flächenländlern unzugänglichen dritten Dimension zu zeigen, und sagte mit köstlichem britischen Akzent: »Aufwärts, nicht nordwärts.« Unglücklicherweise sind wir genauso frustriert, wenn wir versuchen, in Richtung einer vierten Raumdimension, einer Passage, zu zeigen. Aber genau wie die Flächenländler keine dritte Dimension sahen oder bereisten, obwohl es sie in Abbotts Geschichte gab, bedeutet der Umstand, dass wir noch keine weitere Dimension gesehen haben, nicht, dass es keine gibt. Obwohl wir eine solche Dimension bislang weder beobachtet noch bereist haben, wird sich durch Verborgene Universen ein Subtext ziehen, der da lautet: »Nicht nordwärts, sondern vorwärts, eine Passage entlang.« Wer weiß, was es noch alles gibt, das wir bislang noch nicht gesehen haben?
Aus zwei mach drei
Im Rest dieses Kapitels werden wir nicht mehr über Räume nachdenken, die mehr als drei Dimensionen haben; ich möchte davon berichten, wie wir mit unserem beschränkten visuellen Vorstellungsvermögen mit Hilfe von zweidimensionalen Bildern über drei Dimensionen nachdenken und sie zeichnen. Zu wissen, wie wir diese Umsetzung zweidimensionaler Bilder in eine dreidimensionale Realität bewerkstelligen, wird uns später helfen, wenn wir niedrigdimensionale »Bilder« höherdimensionaler Welten interpretieren. Stellen Sie sich diesen Abschnitt als eine Aufwärmübung vor, die Ihr Denken darauf vorbereitet, sich zusätzliche Dimensionen einzuverleiben. Es könnte hilfreich sein, sich daran zu erinnern, dass man im gewöhnlichen Leben ständig mit Dimensionalität umgeht. So unvertraut ist uns das gar nicht.
Oft sehen wir nichts weiter als Teile der Oberfläche von Dingen, und diese Oberfläche ist nur ihr Äußeres. Dieses Äußere hat zwei Dimensionen, auch wenn es im dreidimensionalen Raum gekrümmt ist, weil man nur zwei Zahlen braucht, um einen beliebigen Punkt zu identifizieren. Dass die Oberfläche nicht dreidimensional ist, leiten wir daraus ab, dass sie keine Dicke hat.
Wenn wir Bilder, Filme, Computerbildschirme oder die Zeichnungen in diesem Buch ansehen, betrachten wir im Allgemeinen zweidimensionale, nicht dreidimensionale Repräsentationen. Nichtsdestotrotz aber können wir daraus die dreidimensionale Realität ableiten, die dargestellt ist.
Wir können zweidimensionale Informationen dazu verwenden, drei Dimensionen zu konstruieren. Dazu gehört, bei der Anfertigung zweidimensionaler Repräsentationen Informationen zu unterdrücken und zugleich zu versuchen, genügend Informationen zu erhalten, um entscheidende Elemente des ursprünglichen Objekts zu reproduzieren. Lassen Sie uns also über die Methoden nachdenken, mit denen wir oft höherdimensionale Objekte zu niedrigeren Dimensionen reduzieren – in Scheiben schneiden, projizieren, eine Holographie davon anfertigen und manchmal einfach die dritte Dimension ignorieren –, und wie wir andersherum arbeiten, um daraus die repräsentierten dreidimensionalen Objekte abzuleiten.
Die einfachste Möglichkeit, hinter die Oberfläche zu sehen, besteht darin, das Objekt in Scheiben zu schneiden. Jede Scheibe ist zweidimensional, aber alle Scheiben zusammen bilden ein reales dreidimensionales Objekt. Wenn Sie beispielsweise beim Metzger Schinken bestellen, wird das dreidimensionale Schinkenstück ganz einfach gegen zweidimensionale Scheiben ausgetauscht.[7] Indem Sie all die Scheiben wieder aufeinander stapeln, könnten sie die ursprüngliche, dreidimensionale Schinkenform rekonstruieren.
Dieses Buch ist dreidimensional. Seine Seiten haben jedoch nur zwei Dimensionen. Alle zweidimensionalen Seiten zusammen machen das Buch aus.[8] Das Zusammenfügen der Seiten können wir auf mancherlei Weise illustrieren. Eine davon demonstriert Abbildung 8, die das Buch von der Seite zeigt. Bei diesem Bild haben wir schon wieder mit Dimensionalität gespielt, da jede Linie eine Seite repräsentiert. Solange wir wissen, dass die Linien zweidimensionale Seiten darstellen, müsste diese Illustration klar sein. Später werden wir ähnliche Vereinfachungen verwenden, wenn wir Objekte in multidimensionalen Welten darstellen.
Ein dreidimensionales Buch besteht aus zweidimensionalen Seiten.
In Scheiben schneiden ist nur eine Möglichkeit, höhere Dimensionen durch niedrigere zu ersetzen. Die Projektion, ursprünglich ein Fachbegriff aus der Geometrie, stellt eine weitere dar. Eine Projektion ist ein genau definiertes Verfahren zur Erzeugung einer niedrigdimensionalen Repräsentation eines höherdimensionalen Objekts. Ein Schatten an der Wand ist ein Beispiel für eine zweidimensionale Projektion eines dreidimensionalen Objekts. Abbildung 9 zeigt, wie Informationen verloren gehen, wenn wir (oder Kaninchen) eine Projektion erzeugen. Die Punkte des Schattenwurfs werden nur durch zwei Koordinaten definiert, von links nach rechts und von oben nach unten an der Wand. Das projizierte Objekt jedoch hat eine dritte räumliche Dimension, die bei der Projektion nicht erhalten bleibt.
Eine Projektion transportiert weniger Informationen als das höherdimensionale Objekt.
Das einfachste Projektionsverfahren besteht darin, eine Dimension zu ignorieren. Abbildung 10 zum Beispiel zeigt einen Würfel in drei Dimensionen, der auf zwei Dimensionen projiziert wird. Die Projektionen können mancherlei Formen annehmen, von denen die einfachste ein Quadrat ist.
Projektionen eines Würfels. Man beachte, dass die Projektion ein Quadrat sein kann, wie man am Diagramm in der Mitte sieht, dass Projektionen aber auch andere Gestalt annehmen können.
Um zu unseren früheren Beispielen der Graphen von Ike und Athena zurückzukehren: Wir könnten von Ike ein zweidimensionales Diagramm anfertigen, indem wir vernachlässigen, dass er schnelle Autos fährt. Und wir wollen vielleicht auch gar nicht wissen, wie viele Eulen sich Athena hält, und machen daher statt eines fünfdimensionalen nur ein vierdimensionales Diagramm. Athenass Eulen außer Acht zu lassen ist eine Projektion.
Eine Projektion lässt Informationen über das ursprüngliche höherdimensionale Objekt einfach weg (siehe Abbildung 9
