Elasticidad. Teoría y ejercicios prácticos resueltos E-Book

Pablo López Morell

• Herausgeber: Marcombo
• Kategorie: Fachliteratur
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2022

Seitenzahl: 168

Beschreibung

¿Qué tiene la elasticidad de los materiales que sirve para diseñar cualquier elemento, desde un eje de un automóvil hasta una pata de una silla o una presa de un embalse? Elasticidad, teoría y ejercicios prácticos resueltos ofrece una visión general de la teoría y la práctica de la elasticidad, que la hace fácil de comprender mediante el planteamiento de problemas de diferentes niveles de dificultad. Con historias estimulantes, realizará un viaje a través del tiempo: descubrirá las ecuaciones de la elasticidad, quiénes fueron las personas que las plan-tearon y por qué, incluyendo anécdotas curiosas que las rodearon. Asimis-mo, el libro contiene: •25 ejercicios resueltos paso a paso, con todas las explicaciones y cro-quis explicativos necesarios para no perderse en la resolución. •El planteamiento y la demostración de las ecuaciones de la elasticidad. •335 diagramas explicativos que facilitan la comprensión de la materia. •Una extensa recopilación de las propiedades mecánicas de los materia-les más comunes en arquitectura, diseño e ingeniería (metales, made-ras, plásticos y compuestos cerámicos), para resolver cualquier duda que tenga sobre tensiones y deformaciones para el material que haya escogido en su diseño.

Leseprobe

Esta obra ha recibido una ayuda a la edición del Ministerio de Cultura y Deporte del Gobierno de España, por el Plan de Recuperación, Transformación y Resiliencia, Financiado por la Unión Europea (NextGenerationEU)

Elasticidad, teoría y ejercicios prácticos resueltos

Primera edición, 2023

© 2023 Pablo López Morell

© 2023 MARCOMBO, S.L.

www.marcombo.com

Diseño de la cubierta: ENEDENÚ DISEÑO GRÁFICO

Corrección: Mónica Muñoz

Directora de producción: M.a Rosa Castillo

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ISBN: 978-84-267-3588-1

Producción del ePub: booqlab

ÍNDICE

1 CONCEPTOS GENERALES DE LA ELASTICIDAD

1.1. UBICACIÓN DENTRO DEL CAMPO DE LA CIENCIA Y DE LA TÉCNICA

1.2. CONCEPTO DE «SÓLIDO»

1.3. CONCEPTO DE «SÓLIDO ELÁSTICO»

1.4. CONCEPTO DE «PRISMA MECÁNICO»

1.5. EQUILIBRIO ESTÁTICO Y EQUILIBRIO ELÁSTICO

1.6. ESFUERZOS EN UN PRISMA MECÁNICO SOMETIDO A FUERZAS EXTERNAS

1.7. CONCEPTO DE «TENSIÓN»

1.8. EJERCICIOS

2 ESTADO TENSIONAL DE UN MEDIO ELÁSTICO

2.1. CONCEPTO DE «TENSIÓN»

2.2. COMPONENTES INTRÍNSECAS DEL VECTOR TENSIÓN

2.3. TENSIONES EN EL PARALELEPÍPEDO ELEMENTAL

2.4. TENSOR DE TENSIONES

2.5. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO

2.6. ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO

2.7. MATRIZ DE TENSIONES EN CUALQUIER PUNTO DEL CUERPO

2.8. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA

2.9. TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

2.10. CÍRCULOS DE MOHR

2.11. ELIPSOIDE DE TENSIONES DE LAMÉ

2.12. EJERCICIOS

3 ESTADO DE DEFORMACIONES EN UN MEDIO ELÁSTICO

3.1. DESPLAZAMIENTO DE UN PUNTO

3.2. DESPLAZAMIENTO DE UNA ARISTA

3.3. DEFORMACIONES LONGITUDINALES Y TRANSVERSALES

3.4. TENSOR DE DEFORMACIONES

3.5. VECTOR DEFORMACIÓN UNITARIA EN UNA DIRECCIÓN

3.6. DEFORMACIONES PRINCIPALES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

3.7. CÍRCULOS DE MOHR

3.8. VARIACIONES DE VOLUMEN

3.9. DEFORMACIÓN ANGULAR

3.10. EJERCICIOS

4 RELACIÓN ENTRE ESTADOS TENSIONAL Y DE DEFORMACIONES

4.1. LEY DE HOOKE

4.2. EL CONCEPTO DE LA «FATIGA»

4.3. COMPORTAMIENTO DE DIFERENTES MATERIALES

4.4. COMPORTAMIENTO A DIFERENTES TEMPERATURAS

4.5. COMPORTAMIENTO DIFERENTE EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

4.6. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES SEGÚN SU RESISTENCIA

4.7. COEFICIENTE DE POISSON

4.8. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

4.9. LEY DE HOOKE GENERALIZADA

4.10. ECUACIONES DE LAMÉ

4.11. EJERCICIOS

5 PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA ELÁSTICO

5.1. TIPOS DE PROBLEMAS ELÁSTICOS

5.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ELÁSTICO EN DESPLAZAMIENTOS

5.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ELÁSTICO EN TENSIONES

5.4. UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA ELÁSTICO

5.5. PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

5.6. DEFORMACIONES Y TENSIONES DE ORIGEN TÉRMICO

5.7. EJERCICIOS

6 ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL

6.1. ESTADO DE TENSIÓN PLANA

6.2. ESTADO DE DEFORMACIÓN PLANA

6.3. DIRECCIONES Y TENSIONES PRINCIPALES

6.4. COMPONENTES INTRÍNSECAS DEL VECTOR TENSIÓN

6.5. CURVAS REPRESENTATIVAS DEL ESTADO ELÁSTICO PLANO: ISOSTÁTICAS

6.6. OTRAS REPRESENTACIONES DEL ESTADO ELÁSTICO

6.7. EJERCICIOS

7 ANEXO I. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES

7.1. PROPIEDADES DE LOS METALES

7.2. PROPIEDADES DE LOS PLÁSTICOS

7.3. PROPIEDADES DE LAS MADERAS

7.4. PROPIEDADES DE OTROS MATERIALES

8 BIBLIOGRAFÍA

9 WEBGRAFÍA

10 IMÁGENES

1

CONCEPTOS GENERALES DE LA ELASTICIDAD

1.1. Ubicación dentro del campo de la ciencia y de la técnica

Este libro trata sobre la elasticidad y las historias de las personas que contribuyeron a su desarrollo como disciplina; por ello, para situar al lector, lo primero que haremos será definir el objeto de estudio de esta disciplina y la ubicaremos respecto al resto de disciplinas de la ciencia y la técnica.

La teoría de la elasticidad es una de las disciplinas con las que se estudia el comportamiento de los cuerpos dentro de la mecánica racional. Las distintas disciplinas que componen la mecánica racional se diferencian entre sí por el tipo de modelo empleado para representar el comportamiento del cuerpo.

En función del comportamiento del cuerpo que se desee analizar, será más apropiada una u otra; así, para el estudio de la trayectoria descrita por un cuerpo lanzado al aire con una velocidad inicial, resulta apropiada la mecánica del punto material, del mismo modo que, para estudiar las órbitas descritas por los planetas dentro del sistema solar, resulta apropiada la mecánica de los sistemas de puntos materiales.

Figura 1-1 Modelo del universo geocéntrico de Ptolomeo1.

Figura 1-2 Modelo del universo heliocéntrico de Copérnico.

Sin embargo, esta disciplina no permitiría estudiar el movimiento de los cangilones en una noria para la elevación de agua, ya que no permite estudiar la rotación de un cuerpo sobre sí mismo. Por ello, se hace necesario emplear un modelo de cuerpo más complejo, con el que se contemple el hecho de que el cuerpo ocupa un volumen en el espacio; del estudio de este tipo de cuerpos se ocupa la mecánica de los cuerpos rígidos.

Figura 1-3 Noria antigua con cangilones de madera.

De nuevo, este modelo no resulta apropiado para estudiar el comportamiento del agua al caer de los cangilones; además, tampoco permite considerar el hecho de que las barras que soportan el conjunto experimentarán una deformación cuando estos se llenen de agua.

Para considerar estos fenómenos, se emplea un modelo de cuerpo que puede experimentar deformaciones. Según el estado de agregación en el que se encuentre el cuerpo, emplearemos para estudiarlo la mecánica de los fluidos o la mecánica de los sólidos.

Figura 1-4 Mecánica de los fluidos. Imagen cedida por COMSOL

Figura 1-5 Mecánica de los sólidos.

Por último, en función de la magnitud de las cargas que se apliquen sobre el cuerpo, este puede tener un comportamiento elástico, plástico o viscoelástico. Cuando las cargas aplicadas sobre el cuerpo son de una magnitud en la que el cuerpo tiene un comportamiento elástico, la disciplina que se encarga de su estudio es la teoría de la elasticidad.

En la resistencia de materiales, se trata el estudio de los sólidos deformables que presentan ciertas peculiaridades geométricas (como, por ejemplo, cuando el cuerpo tiene forma de barra), bajo las mismas hipótesis generales y con los mismos propósitos que la teoría de la elasticidad.

Figura 1-6 Ubicación de la teoría de la elasticidad dentro del campo de la ciencia y de la técnica.

En la teoría de la elasticidad, se pueden abarcar modelos relativamente complejos, mientras que la resistencia de materiales posibilita un estudio pormenorizado del comportamiento del sólido gracias a las simplificaciones que las peculiaridades geométricas de las barras y las placas permiten. Es de gran utilidad a la hora de diseñar estructuras, dado que la inmensa mayoría de los elementos resistentes que se diseñan tienen forma de barra (una dimensión espacial es mucho mayor que las otras dos) o de placa (una dimensión espacial es mucho menor que las otras dos).

La frontera entre la teoría de la elasticidad y la resistencia de materiales es, por tanto, imprecisa, y el estudio de ciertos tipos de problemas en uno u otro contexto resulta, en muchos casos, una cuestión de tradición histórica.

1.2. Concepto de «sólido»

Un sólido rígido es aquel en el que, ante cualquier esfuerzo que se le aplique (por grande que sea), la distancia entre dos moléculas cualesquiera permanecerá invariable.

La mecánica del sólido rígido versa sobre la predicción de las condiciones de reposo o movimiento de los sólidos rígidos bajo la acción de fuerzas exteriores. El modelo de sólido que emplea es el sólido rígido que, por definición, es indeformable. Como en todas las ramas de la mecánica racional, no se trata de que haya materiales que realmente se comporten de este modo, sino que el modelo empleado simplifica el comportamiento real, despreciando la deformación del cuerpo. Los resultados que se obtienen darán una solución que representará correctamente lo que ocurre si las deformaciones no tienen una magnitud comparable con los movimientos que experimenta el cuerpo. Por ello, este modelo estará limitado para determinados rangos de valores pues, si aplicamos fuerzas muy elevadas, podemos encontrarnos con que el cuerpo se deforma mucho o que incluso puede llegar a romperse.

Así pues, se hace necesario distinguir entre diferentes conceptos de sólidos.

1.3. Concepto de «sólido elástico»

Un sólido elástico es aquel en el que la distancia entre dos moléculas cualesquiera variará proporcionalmente al esfuerzo que se le aplique (independientemente de lo grande que sea dicho esfuerzo).

Aunque la construcción de estructuras complejas ya era una técnica conocida por los egipcios, los griegos y los romanos, los diseños se basaban en una transmisión de buenas prácticas obtenidas mediante la experiencia y el concepto del sólido empleado era fundamentalmente el de sólido rígido.

Figura 1-7 Vista aérea del acueducto de Segovia tomada por Juan Laurent en 1856. Fuente: Department of Image Collections, National Gallery of Art Library, Washington, DC.

No fue hasta el Renacimiento cuando se empezó a cuestionar el porqué del comportamiento de las estructuras. Leonardo da Vinci (1452-1519) trató, sin éxito, de obtener una explicación analítica al comportamiento de una viga isostática. Partiendo de los planteamientos de Leonardo da Vinci, Galileo Galilei publicó en 1638 el esquema de la Figura 1-8, que constituye uno de los estudios más antiguos acerca de las deformaciones experimentadas por los cuerpos. En este análisis, planteó el concepto del «momento de una fuerza».

Figura 1-8 Estudio de la flexión de una viga en voladizo publicado por Galileo Galilei en Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, en el año 1638.

La diferencia fundamental entre el sólido considerado por los griegos, romanos y egipcios y el sólido planteado por Da Vinci y Galileo consiste en que los primeros consideran que las distancias entre las partes o puntos interiores del sólido no varía; por ello, a este concepto se lo denomina sólido rígido, mientras que los segundos consideran que las distancias entre los puntos interiores del sólido no permanecen constantes y, por tanto, podemos afirmar que se trata de sólidos deformables.

La existencia de las fuerzas internas en el interior de un sólido no podría hacerse si el modelo considerado fuese un sólido rígido, ya que solo tendrían sentido cuando las distancias entre los puntos interiores varían. Estas fuerzas resultan imprescindibles para cuantificar en qué grado nos acercamos a la resistencia máxima de un elemento estructural. Dichas consideraciones son la base de las verificaciones que permiten establecer si un determinado elemento es seguro desde el punto de vista estructural.

Siguiendo la evolución indicada, podemos distinguir tres modelos diferentes para el sólido:

• Sólido rígido

• Sólido elástico

• Sólido verdadero

Figura 1-9 Sólido rígido.

Figura 1-10 Sólido elástico.

Figura 1-11 Sólido verdadero.

La disciplina que se encarga específicamente del estudio de los sólidos deformables es la teoría de la elasticidad. Esta disciplina permite obtener la deformación, o desplazamiento, entre las moléculas de un cuerpo sólido que se encuentra sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio. Para dicho estudio, se parte de los postulados de la mecánica, así como de las propiedades de los materiales (que se conocen experimentalmente) y de hipótesis referentes a las deformaciones de los sólidos, aplicándolas a los modelos de sólidos deformables.

Con la teoría de la elasticidad, se trabaja sobre otro modelo de cuerpo sólido: el sólido elástico. Del mismo modo que sucedía en la mecánica del sólido rígido, se trata de una simplificación del comportamiento del sólido verdadero. Según el modelo del sólido elástico, este experimentará una deformación proporcional al esfuerzo aplicado y siempre recuperará su forma inicial cuando se retire el sistema de fuerzas que actúa sobre el cuerpo.

Al tratarse de una idealización, es necesario definir los supuestos bajo los que esta es capaz de dar unos resultados que se corresponden, de forma adecuada, con el comportamiento real de los cuerpos. En ese sentido consideraremos que, en general, el sólido elástico ocupa un volumen, V, del espacio tridimensional y que tiene una superficie exterior, que denotaremos Se. Por otro lado, se supondrá que el material que constituye el sólido elástico cumple las siguientes hipótesis:

•Homogéneo: el material tiene las mismas propiedades en todos sus puntos; es decir, no consideraremos sólidos compuestos por una amalgama de materiales con comportamientos diferentes.

•Isótropo: en cualquier punto del sólido, las propiedades del material son las mismas, independientemente de la dirección considerada. Ejemplos de materiales reales que no cumplen esta hipótesis son la madera o el acero laminado, que presentan resistencias diferentes, en función de la dirección en la que se aplique el esfuerzo.

•Continuo: en el material no existen discontinuidades, independientemente de lo pequeña que sea la fracción del volumen que se considere.

Figura 1-12 Sólido no homogéneo.

Figura 1-13 Sólido no isótropo.

Figura 1-14 Sólido no continuo.

El motivo por el que se adoptan estas hipótesis, que como puede observase en los ejemplos no son totalmente ciertas para muchos materiales, reside en que se simplifica de forma muy considerable el planteamiento analítico del problema elástico y que, además, los resultados obtenidos, cuando se realizan estas simplificaciones, se muestran suficientemente semejantes al comportamiento real como para poder ser empleados desde el punto de vista ingenieril.

1.4. Concepto de «prisma mecánico»

Puesto que el objetivo de la teoría de la elasticidad es analizar el comportamiento de los sólidos elásticos, necesitaremos definir un modelo teórico para el cuerpo, que denominaremos prisma mecánico. Este será isótropo, homogéneo y continuo. Para su definición, se emplearán criterios meramente geométricos.

Figura 1-15 Sección plana S.

Figura 1-16 Prisma mecánico.

Así, si partimos de una sección plana S de área A con centro de gravedad en G, como la mostrada en la Figura 1-15, si suponemos que se desplaza a lo largo de la curva c, a la que denominaremos línea media o directriz, siendo el plano que contiene a G normal a la curva. Denominaremos prisma mecánico al sólido engendrado por el área A, al recorrer la línea media. El área A no tiene por qué permanecer constante a lo largo del recorrido, tal como se muestra en la Figura 1-16.

El prisma mecánico será alabeado, plano o recto, dependiendo de que la línea media sea alabeada, plana o recta.

Por otro lado, si el área A es constante a lo largo de c, podrá afirmarse que el prisma es de sección constante, mientras que, si el área varía, se dirá que el prisma es de sección variable.

Figura 1-17 Curvatura pronunciada en línea media.

Figura 1-18 Cambio brusco de sección.

Para evitar las complejidades que implicaría que esas secciones tuviesen interferencias, la línea media no puede tener curvaturas muy pronunciadas. Además, para evitar discontinuidades en el perímetro del prisma mecánico al pasar de una sección arbitraria a otra sección próxima, el cambio de la sección A no debe ser brusco, sino gradual.

Para los cálculos, se considerarán para cada punto de c tres ejes de referencia, con origen en G, según el siguiente criterio:

• El eje X será tangente a la línea media en este punto.

• Los ejes Y y Z serán los ejes principales de inercia de la sección S.

1.5. Equilibrio estático y equilibrio elástico

De acuerdo con la segunda ley de Newton, «la aceleración que adquiere un cuerpo es proporcional a la fuerza neta aplicada sobre él. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo (que puede ser o no ser constante)»2.

En la Figura 1-20, puede verse el texto que describe la ley, que corresponde a la conocida ecuación (1-1).

Figura 1-19 Principios matemáticos de la filosofía natural.

Figura 1-20 Primera y segunda ley de Newton.

Figura 1-21 Isaac Newton (1642-1727).

Para que el cuerpo esté en equilibrio, la aceleración que experimenta debe ser nula, lo que implica que la fuerza neta aplicada sobre él debe ser nula. Estas condiciones (son varias, porque han de verificarse en cada grado de libertad del sólido) devienen el punto de partida de la estática y reciben el nombre de condiciones de equilibrio.

Las fuerzas aplicadas sobre el sólido elástico pueden ser fuerzas de superficie, FA (fuerzas que actúan sobre la superficie exterior), y fuerzas de volumen, FV (fuerzas que actúan sobre cada unidad volumen del sólido). Si el sólido se encuentra en equilibrio estático, las condiciones de equilibrio que deberán cumplir las fuerzas netas aplicadas sobre él serán las mostradas en la Figura 1-22.

Figura 1-22 Fuerzas aplicadas sobre un prisma mecánico.

•Resultante nula de fuerzas: la resultante de las fuerzas aplicadas debe ser nula. Esta condición asegura que el sólido no experimente traslaciones:

•Resultante nula de momentos: la resultante de los momentos de las fuerzas aplicadas con respecto a cualquier punto del espacio debe ser nula. Esta condición asegura que el sólido no experimenta giros.

Donde es el vector de posición (Figura 1-22).

Las ecuaciones (1-2) y (1-3), aplicadas a la segunda ley de Newton, nos permiten determinar en qué condiciones el cuerpo no se mueve o, lo que es lo mismo, en qué condiciones se encuentra en equilibrio. Si la resultante no fuese nula, el cuerpo estaría moviéndose, lo que, para una estructura, por ejemplo, no sería una buena señal ya que, previsiblemente, lo hará hacia el suelo. A estas ecuaciones se las denomina condiciones de equilibrio estático.

En un sólido elástico, sin embargo, estas condiciones son necesarias, pero no suficientes ya que, si se practica un corte imaginario sobre una sección cualquiera del sólido y se prescinde de una de las partes, es necesario que el sistema de fuerzas interiores en los puntos de la sección ideal sea equivalente al sistema de fuerzas que actúan sobre la parte eliminada.

Este planteamiento fue el mismo que empleó Euler en 1750 para distinguir entre los principios externos de movimiento y los principios internos de movimiento; estos últimos fueron parte de los antecedentes teóricos que más tarde llevarían a Cauchy a desarrollar el concepto de «tensión», como veremos más adelante.

Figura 1-23. Sección del prisma mecánico y fuerzas interiores.

Esta última condición es la característica del equilibrio elástico: es necesario que las fuerzas exteriores que actúan sobre el sólido sean contrarrestadas por las fuerzas interiores de cohesión molecular.

La obtención analítica de las fuerzas que aparecen en el interior del cuerpo y que determinan la variación de la distancia entre las moléculas que componen el cuerpo es el objetivo de la teoría de la elasticidad, y su utilidad resulta clave para otras disciplinas, ya que estas determinarán en qué medida el cuerpo será capaz de resistir, de forma segura, un sistema de fuerzas externas.

Para realizar el análisis de las fuerzas interiores, plantearemos un corte imaginario al modelo de sólido elástico que hemos definido, a través de la superficie S. Este corte dividirá al cuerpo en dos partes, A y B, como se muestra en la Figura 1-23. Partiendo del planteamiento de que ambas partes se encuentran en equilibrio, se hace necesario que cada parte ejerza sobre la otra unas fuerzas adicionales a las fuerzas externas aplicadas sobre el cuerpo, que equilibren las acciones exteriores aplicadas sobre la parte que no se ha eliminado.

Teniendo en cuenta la tercera ley de Newton (principio de acción y reacción), puede deducirse que las fuerzas que ejerce la parte A sobre la parte B, a través de la superficie de corte, son iguales y de signo contrario a las fuerzas que ejerce la parte B sobre la parte A, a través de esa misma superficie. Para que el cuerpo esté en equilibrio elástico, debe cumplirse esta condición, independientemente de cuál sea la superficie imaginaria S que se considere. Por tanto, las dos partes en las que quedaría dividido el prisma mecánico deben estar en equilibrio, tanto con las acciones externas aplicadas sobre cada parte como con las fuerzas internas que cada parte transmite a la otra a través de la superficie imaginaria de corte S.

1.6. Esfuerzos en un prisma mecánico sometido a fuerzas externas

Continuando con el análisis del prisma mecánico seccionado, al analizar las fuerzas internas en una de las partes en las que queda dividido el prisma mecánico debido al corte, se obtiene una fuerza resultante, que denominaremos R para el análisis.

Figura 1-24 Fuerzas internas en una sección del prisma mecánico.

Si se descompone la resultante R en los ejes según se han definido en el apartado 1.4, se obtienen los esfuerzos mostrados en la Figura 1-25.

Figura 1-25 Descomposición de R en los ejes de la sección.

• N esfuerzo normal o axil: recibe ese nombre porque es normal a la superficie S y, por lo tanto, tiene la dirección x. Tiende a acercar o separar dos secciones contiguas, lo que provoca esfuerzos de compresión o tracción.

• Qyesfuerzo cortante o tangencial en el eje y.

• Qzesfuerzo cortante o tangencial en el eje z.

Para facilitar la comprensión del concepto de cada esfuerzo, imaginemos las dos partes del cuerpo como unas gomas de borrar conectadas entre sí por unos muelles.