Estática de las estructuras E-Book

Tomás Wilson Alemán Ramírez

• Herausgeber: Marcombo
• Kategorie: Geisteswissenschaft
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2024

Seitenzahl: 189

Beschreibung

¿Busca un apoyo de confianza para consolidar sus conocimientos acerca del estudio de las estructuras? Si le apasionan los edificios, puentes, embalses y otras obras de ingeniería civil, debe saber que su análisis y diseño involucran procesos fisicomecánicos muy complejos. Estos resultan fáciles de entender cuando se tiene una sólida comprensión teórica y práctica de las leyes que gobiernan el equilibrio estático de las estructuras. El equilibrio estático proporciona la base teórica para examinar una variedad de proyectos infraestructurales y se halla en diversas ramas de la ingeniería civil. Comprender y aplicar las leyes del equilibrio estático será la principal fortaleza durante su preparación como ingeniero civil. En Estática de las estructuras encontrará los conceptos necesarios para la cimentación de los conocimientos concernientes a la estática de las partículas. También descubrirá los fundamentos correspondientes a la estática del cuerpo rígido. Asimismo, al finalizar su lectura: "Comprenderá cómo actúan las cargas en las diversas estructuras. "Reconocerá la importancia que tiene la geometría de los cuerpos para mantener su equilibrio estático. "Aplicará las ecuaciones de equilibrio a situaciones cotidianas. "Tendrá mayor facilidad para abordar tópicos mucho más complejos en diversas áreas de la ingeniería civil. "Podrá realizar sus primeros proyectos. Además, en la parte inferior de la primera página del libro encontrará el código de acceso que le permitirá descargar de forma gratuita los contenidos adicionales en www.marcombo.info. Sin duda, esta obra le brindará la seguridad que necesita para construir su brillante futuro en la ingeniería civil. ¡Proporcione a sus proyectos el firme cimiento que merecen! Tomás Wilson Alemán Ramírez es ingeniero civil, titulado por excelencia en la Universidad Autónoma Gabriel René Moreno. Tiene un máster en Educación Superior Tecnológica y más de veinte años de experiencia profesional en análisis y diseño de estructuras. Es director de Ingeniería Civil de la Universidad Católica Boliviana en su sede Santa Cruz y docente de las asignaturas: Estructuras Isostáticas, Estructuras Hiperestáticas, Resistencia de Materiales, Análisis Matricial de Estructuras, Elementos Finitos y Teoría de la Elasticidad.

Leseprobe

Estática de las estructuras

© 2024 Tomás Wilson Alemán Ramírez

Primera edición, 2024

© 2024 MARCOMBO, S. L.

www.marcombo.com

Ilustración de cubierta: Jotaká

Maquetación: Reverte-Aguilar, S. L.

Corrección: José López Falcón

Directora de producción: M.ª Rosa Castillo Hidalgo

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra

ISBN del libro en papel: 978-84-267-3746-5

ISBN del libro electrónico: 978-84-267-3806-6

Producción del ePub: booqlab

Este libro está dedicado a mi hijita Briana, quien con su ternura inefable es la luz iridiscente que inspira mi alma y guía mis pasos, colmando mi existencia de un amor inmarcesible y de capacidad resiliente para luchar por ella.

Antes de comenzar a leer este libro

Cada capítulo del libro está diseñado del mismo modo: en primer lugar, se aborda el sustento teórico de cada tema; luego se presenta la parte aplicativa, en la cual tendrás a tu disposición una colección bastante abundante de ejercicios resueltos, con las operaciones descritas al detalle.

Es fundamental que se lean y practiquen los ejercicios de manera secuencial, procurando no saltar los subtítulos o capítulos, con el propósito de obtener un mejor aprovechamiento en el proceso de aprendizaje de cada tema.

Contenido

Prólogo

Agradecimientos

CAPÍTULO 1PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE MECÁNICA

1.1.Conceptos básicos

1.1.1.Concepto de física

1.1.2.Partes de la física

1.1.3.Concepto de mecánica

1.1.3.1. Concepto de estática

1.1.3.2. Concepto de dinámica

1.1.3.3. Concepto de cinemática

1.2.Principios fundamentales de la mecánica

1.2.1.Fuerza equivalente

1.2.2.Principio de transmisibilidad de fuerzas

1.2.3.Primera ley de Newton

1.2.4.Segunda ley de Newton

1.2.5.Tercera ley de Newton

1.2.6.Ley gravitatoria de Newton

1.3.Planteamiento de problemas de mecánica de cuerpo rígido

1.3.1.Problemas de estática

1.3.2.Problemas de dinámica

CAPÍTULO 2ESTÁTICA DE PARTÍCULAS

2.1.Resultante de fuerzas concurrentes y coplanarias

2.1.1.Métodos gráficos

2.1.1.1. Método del paralelogramo

2.1.1.2. Método del triángulo

2.1.1.3. Método del polígono

2.1.2.Métodos analíticos

2.1.2.1. Resultante de fuerzas colineales

2.1.2.2. Resultante de dos fuerzas concurrentes, coplanarias y ortogonales

2.1.2.3. Resultante de dos fuerzas concurrentes, coplanarias y no ortogonales

2.1.2.4. Resultante por descomposición de fuerzas

2.2.Esfuerzo normal en sistemas estructurales simples

2.3.Problemas de esfuerzo normal en el espacio

2.3.1.Descomposición de fuerzas en el espacio

2.3.2.Ángulos directores

Prácticas

CAPÍTULO 3SISTEMA EQUIVALENTE DE FUERZAS

3.1.Definición de momento

3.1.1.Significado geométrico del momento

3.2.Teorema de Varignon

3.3.Resultante de dos o más fuerzas paralelas

3.4.Tipos de cargas

3.4.1.Cargas superficiales

3.4.2.Cargas volumétricas

3.4.3.Cargas másicas

3.5.Cargas distribuidas lineales

3.5.1.Carga rectangular

3.5.2.Carga triangular

3.5.2.1. Carga triangular de una pendiente

3.5.2.2. Carga triangular simétrica de dos pendientes

3.5.2.3. Carga triangular asimétrica de dos pendientes

3.5.3.Carga trapezoidal

3.5.4.Carga según una función

3.6.Propiedades de las cargas distribuidas

3.7.Esfuerzos normales en sistemas con fuerzas coplanarias y no concurrentes

3.8.Problemas en el espacio

Prácticas

CAPÍTULO 4TIPOLOGÍA DE LAS ESTRUCTURAS

4.1.Sistema estructural

4.1.1.Partes de un sistema estructural

4.1.2.Idealización

4.1.2.1. Idealización de barras o elementos

4.1.2.2. Idealización de apoyos

4.1.2.3. Idealización de uniones

4.2.Clasificación de las estructuras

4.2.1.Según su tipo de material

4.2.2.Según su tipo de idealización

4.2.3.Según su condición cinemática

4.2.4.Según su grado de restricciones

4.2.5.Según la cantidad de ejes de referencia

4.2.6.Según su uso

4.2.7.Según las características de sus cargas

4.3.Tipología de las estructuras isostáticas coplanarias

4.3.1.Vigas

4.3.2.Pórticos o marcos

4.3.3.Reticulados o cerchas

4.3.4.Arcos

CAPÍTULO 5EQUILIBRIO DE CUERPO RÍGIDO

5.1.Concepto de equilibrio

5.2.Condiciones de equilibrio estático

5.2.1.Reacciones en los apoyos

5.3.Estructura isostática, hiperestática e hipostática

5.4.Combinación de las ecuaciones de equilibrio

5.5.Número mínimo de reacciones para mantener el equilibrio estático

5.6.Dependencia lineal

5.7.Tipología de cargas

5.7.1.Cargas puntuales

5.7.2.Cargas distribuidas

5.7.2.1. Cargas distribuidas en ejes globales

5.7.2.2. Cargas distribuidas en ejes locales

5.7.2.3. Cargas distribuidas en barras oblicuas

5.7.2.4. Cargas en arcos circulares

5.8.Articulaciones

5.8.1.Verificación de isostaticidad y estabilidad en estructuras con articulaciones

5.8.1.1. Verificación de isostaticidad

5.8.1.2. Verificación de estabilidad

5.8.2.Ecuaciones adicionales de equilibrio

5.9.Prueba para verificar las reacciones obtenidas

5.10.Apoyos oblicuos

5.11.Problemas en el espacio

Prácticas

CAPÍTULO 6CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES

6.1.Características geométricas de una sección

6.2.Área de la sección

6.3.Baricentro o centro de gravedad

6.3.1.Propiedades del baricentro

6.4.Momento estático o momento de primer orden

6.5.Momento de inercia o momento de segundo orden

6.5.1.Teorema de Steiner para momento de inercia

6.5.2.Propiedades del momento de inercia

6.6.Momento de inercia polar

6.7.Producto de inercia

6.7.1.Teorema de Steiner para producto de inercia

6.7.2.Propiedades del producto de inercia

6.8.Otras características de las secciones

6.8.1.Radio de giro

6.8.2.Módulo resistente

Prácticas

CAPÍTULO 7INTRODUCCIÓN A LOS ESFUERZOS INTERNOS

7.1.Concepto de esfuerzo interno

7.2.Esfuerzos internos en una sección

7.2.1.Vigas

7.2.2.Pórticos

7.2.3.Reticulados

7.2.4.Arcos

7.2.5.Estructuras espaciales

7.3.Diagrama de esfuerzos en vigas biapoyadas

7.3.1.Carga rectangular

7.3.2.Carga triangular

7.3.3.Carga puntual

7.3.4.Momento puntual

Prácticas

ANEXOGLOSARIO TÉCNICO

Prólogo

Me complace, como miembro de la comunidad de educadores de la Universidad Católica Boliviana San Pablo, y como apasionado por el análisis estructural, presentar este trabajo, que tiene como fin último acercar y facilitar a la población estudiosa de esta área del conocimiento los conceptos básicos para su consolidación y desarrollo. Se constituye en un punto de partida tanto para profesores como para estudiantes, también para toda aquella persona que sienta inquietud por desarrollar capacidades de análisis en temas inherentes a la estática de las estructuras.

Contribuir con un documento que refleja los conocimientos y experiencias del autor sobre la temática desarrollada tiene un doble mérito, pues a través de la redacción de conceptos y ejemplos trata de allanar el camino para que el lector adquiera los insumos necesarios con la idea de que pueda afianzar sus conocimientos sobre estática de estructuras. Finalmente realiza un importante aporte a la bibliografía existente sobre esta temática, pero contextualizada a las necesidades académicas de la Ingeniería Civil.

El autor elabora, con todo rigor académico, una propuesta didáctica que desarrolla de forma sencilla, clara y comprensible diferentes asuntos relacionados con la estática de las estructuras. Se ofrece un amplio y variado repertorio de ejemplos de diferente complejidad, que permiten ir consolidando de forma gradual los conceptos expuestos, para partir de la teoría y culminar con la práctica, cerrando el ciclo del aprendizaje.

La obra queda estructurada en dos partes: en la primera se presentan los conceptos necesarios para la cimentación de los conocimientos concernientes a la estática de las partículas; en la segunda se exponen y consolidan los conceptos correspondientes a la estática del cuerpo rígido.

El presente documento se convierte en un referente importante para el inicio del estudio de la estática de las estructuras, y por esto se constituye en un apoyo académico para estudiantes y profesionales dedicados al estudio en este ámbito.

Agradezco de antemano la gentil consideración y confianza depositada por el ingeniero Tomás Alemán, profesional y docente de reconocida trayectoria, hacia mi persona, para apoyar en la revisión y análisis del documento de referencia. Le expreso desde aquí mi profunda convicción y certeza de que ha logrado afianzar los conocimientos sobre esta temática tan importante para los estudiantes de Ingeniería.

Farfán LawrenceMáster en Ciencias

Agradecimientos

Agradezco a Dios, que me ha mostrado el camino y que ha puesto en él a las personas precisas con las que puedo compartir mi experiencia profesional y docente a través de la publicación de este libro, fruto de más de veinte años de ejercicio profesional.

CAPÍTULO 1

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE MECÁNICA

1.1. CONCEPTOS BÁSICOS

Antes de introducirnos en el estudio de la estática, es importante comprender el lugar que ocupa esta disciplina en el universo de la física, así como aquellos conceptos, principios y leyes fundamentales que nos permitan encarar de manera efectiva los diferentes problemas que se presentan en la ingeniería civil.

1.1.1. CONCEPTO DE FÍSICA

La física es una ciencia experimental que estudia, observa y gobierna mediante leyes los fenómenos físicos.

Los fenómenos físicos son aquellos cambios que sufre la materia sin modificar su estructura interna o composición. Por ejemplo:

- Los cambios de forma que experimentan los cuerpos cuando existen variaciones en su temperatura.

Figura 1.1 Dilatación lineal de una barra.

El cuerpo mostrado se dilata o alarga debido al incremento de temperatura.

Figura 1.2 Contracción lineal de una barra.

El mismo cuerpo se contrae o acorta debido a la reducción de temperatura.

- Los cambios de estado que experimenta el agua, en su fase sólida, líquida y gaseosa.

Figura 1.3 Cambios físicos del agua.

- Los cambios de posición cuando un cuerpo es lanzado al aire y describe una trayectoria en su recorrido.

Figura 1.4 Cambios de posición de un cuerpo.

- Los cambios de esfuerzos en el interior de un par de tensores, cuando son sometidos a diferentes fuerzas o pesos.

Figura 1.5 Cambios de tensión en cables.

La tensión en el primer sistema de cables es T, la cual se duplica en el segundo sistema y se triplica en el tercero.

1.1.2. PARTES DE LA FÍSICA

Haciendo énfasis en la rama de mecánica, la física en su conceptualización más clásica se divide en las siguientes partes:

1.1.3. CONCEPTO DE MECÁNICA

Es una rama de la física que estudia, observa y gobierna mediante leyes los fenómenos físicos relacionados con el equilibrio y el movimiento de los cuerpos cuando estos se ven afectados por una o más fuerzas.

La mecánica de cuerpo rígido asume que todos los cuerpos que intervienen en los procesos físicos son perfectamente rígidos y, por lo tanto, no experimentan ningún tipo de deformación.

1.1.3.1. CONCEPTO DE ESTÁTICA

Es una rama de la mecánica de cuerpo rígido que estudia mediante leyes el equilibrio de los cuerpos frente a la acción de un conjunto de fuerzas.

1.1.3.2. CONCEPTO DE DINÁMICA

Es una rama de la mecánica de cuerpo rígido que estudia mediante leyes el movimiento de los cuerpos con relación a las fuerzas que generan estos fenómenos.

1.1.3.3. CONCEPTO DE CINEMÁTICA

Es una rama de la mecánica de cuerpo rígido que estudia mediante leyes el movimiento de los cuerpos, sin considerar las fuerzas que intervienen en este proceso.

1.2. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA

Los problemas de mecánica requieren de la aplicación de los principios que explicamos a continuación.

1.2.1. FUERZA EQUIVALENTE

Establece que un conjunto de fuerzas puede sustituirse por una fuerza única llamada resultante, sin modificar su comportamiento. La siguiente imagen sintetiza este principio.

Figura 1.6 Fuerza equivalente FR.

El comportamiento del cuerpo 1 es igual al del cuerpo 2.

1.2.2. PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD DE FUERZAS

Este principio especifica que una fuerza aplicada a un cuerpo puede ubicarse en cualquier posición de su línea de acción sin modificar su comportamiento. Véase el siguiente gráfico.

Figura 1.7 Transmisibilidad de una fuerza.

1.2.3. PRIMERA LEY DE NEWTON

Esta ley establece que, cuando las fuerzas que actúan en un cuerpo tiene una resultante nula (R=0), este puede presentar dos comportamientos: encontrarse en reposo (equilibrio estático) o en movimiento rectilíneo uniforme (equilibrio cinemático).

De esta ley se establece como condición de equilibrio que la sumatoria de fuerzas tienen que ser igual a cero.

Para fines prácticos esta ecuación puede discriminarse según los ejes ortogonales X, Y y Z, tal como se muestra a continuación.

Figura 1.8 Cuerpo rígido en equilibrio.

1.2.4. SEGUNDA LEY DE NEWTON

La segunda ley de Newton establece que, cuando la resultante de un conjunto de fuerzas aplicadas a un cuerpo es diferente de cero, este se moverá sobre la línea de acción de su fuerza resultante con una aceleración que es directamente proporcional a tal fuerza e inversamente proporcional a su masa. Véase la siguiente figura:

Figura 1.9 Fuerza resultante y línea de acción.

Usando las matemáticas, este principio se expresa a través de la siguiente expresión:

1.2.5. TERCERA LEY DE NEWTON

Este principio establece que, si un cuerpo A le aplica una fuerza a un cuerpo B, este último reaccionará con la misma intensidad, pero con sentido contrario. Véase la siguiente figura:

Figura 1.10 Interacción de fuerzas entre dos cuerpos.

La fuerza de acción es el peso del bloque (FA) y la fuerza de reacción (FB) es la que aplica la mano para mantener el equilibrio. Ambas fuerzas tienen la misma intensidad, pero sentidos contrarios.

Es importante aclarar que las fuerzas de acción y reacción no se anulan en ningún caso, porque, si bien tienen la misma intensidad y sentido contrario, no se aplican a un mismo cuerpo.

1.2.6. LEY GRAVITATORIA DE NEWTON

Esta ley sustenta que dos cuerpos, de masas M1 y M2, separados una distancia d, desarrollan una fuerza de atracción que es proporcional a su gravedad y al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Véase la siguiente imagen:

Figura 1.11 Atracción entre dos cuerpos de masas M1 y M2.

Este principio se expresa en términos matemáticos a través de la siguiente expresión:

1.3. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE MECÁNICA DE CUERPO RÍGIDO

Los problemas en mecánica que son de nuestro interés se dividen en problemas de estática y problemas de dinámica. Es importante aprender a diferenciarlos y a emplear los principios que sustentan su comportamiento. A continuación, se describen los principios que deben utilizarse en cada caso.

1.3.1. PROBLEMAS DE ESTÁTICA

Los problemas de estática sustentan que el cuerpo en estudio se encuentra en reposo. Para analizar su solución requieren de la aplicación de los siguientes principios fundamentales de la mecánica:

- Fuerza equivalente

- Principio de transmisibilidad de fuerzas

- Primera ley de Newton

- Tercera ley de Newton

1.3.2. PROBLEMAS DE DINÁMICA

En dinámica el cuerpo en cuestión se encuentra en movimiento, sometido a una aceleración. Para este caso es fundamental encarar su análisis mediante el empleo de los siguientes principios:

- Fuerza equivalente

- Principio de transmisibilidad de fuerzas

- Segunda ley de Newton

- Ley gravitatoria

CAPÍTULO 2

ESTÁTICA DE PARTÍCULAS

2.1. RESULTANTE DE FUERZAS CONCURRENTES Y COPLANARIAS

Dos o más fuerzas son concurrentes cuando convergen o divergen en un mismo punto. Son coplanarias cuando se posicionan en un mismo plano de referencia. Para los problemas que habitualmente resolvemos en ingeniería es muy usual utilizar el plano cartesiano XY, tal como se muestra a continuación:

Figura 2.1 Sistema coplanario de fuerzas concurrentes.

Las fuerzas mostradas en la figura anterior son concurrentes y coplanarias a la vez. Para determinar la fuerza equivalente o resultante existen métodos gráficos y analíticos, los cuales se estudiarán en este capítulo.

2.1.1. MÉTODOS GRÁFICOS

Los métodos gráficos son procedimientos aproximados que se sustentan en las habilidades que tiene el estudiante de Ingeniería para manejar instrumentos de medición y trazo. Su precisión dependerá de la calidad de los instrumentos que se utilicen, y de la experiencia y cuidado que se tenga al momento de realizar el esquema gráfico. Por las diversas dificultades de precisión que puedan existir en su aplicación, se sugiere emplearlos como un recurso de apoyo a los métodos analíticos que abordaremos más adelante.

2.1.1.1. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

Para aplicar este método es necesario conocer la magnitud, dirección y sentido de dos vectores concurrentes y coplanarios, tal como se muestra a continuación:

Figura 2.2 Dos fuerzas concurrentes y coplanarias.

Para determinar la resultante por este método se deben seguir las siguientes instrucciones:

2do. Con la ayuda de un par de escuadras, hay que trazar segmentos paralelos a cada vector a partir del extremo donde se encuentra el sentido de los vectores. Estos dos trazos deberán intersectarse en un punto B, tal como se muestra a continuación:

Figura 2.3 Dos fuerzas concurrentes y coplanarias.

3ro. Con una regla trazar la fuerza equivalente o resultante uniendo los puntos A y B, para luego medir en centímetros su longitud (LR) y hacer la conversión a fuerzas, según la escala adoptada. Véase la siguiente figura:

Figura 2.4 Resultante (R) de dos fuerzas.

Para transformar la longitud del vector R a un valor de fuerza debemos multiplicar la escala por la distancia que representa a la fuerza resultante (LR), es decir:

2.1.1.2. MÉTODO DEL TRIÁNGULO

Este método es muy similar al anterior, por lo cual los datos de entrada también serán la magnitud, la dirección y el sentido de dos vectores concurrentes y coplanarios, tal como se muestra a continuación.

Figura 2.5 Dos fuerzas concurrentes y coplanarias.

Para determinar la resultante por este método se deben seguir las siguientes instrucciones:

1ro. Dibujamos ambas fuerzas, trazando primero su dirección y luego delimitando su magnitud, a través del empleo de una escala, la cual debe adoptarse en función del tamaño de las fuerzas y de la precisión que se pretenda conseguir. Se dibujarán las fuerzas una a continuación de la otra, tal como se muestra en la siguiente figura:

Figura 2.6 Fuerzas ordenadas una detrás de otra.

2do. Con una regla, hay que trazar la fuerza equivalente o resultante uniendo los puntos A y B, para luego medir en centímetros su longitud (LR) y hacer la conversión a fuerza, según la escala adoptada. Véase la siguiente figura:

Figura 2.7 Resultante (R) de las fuerzas F1 y F2.

Igual que en el método anterior, la longitud del vector R debe transformarse a un valor de fuerza, para lo cual es posible aplicar la siguiente expresión:

2.1.1.3. MÉTODO DEL POLÍGONO

Cuando se tienen más de dos fuerzas concurrentes y coplanarias tenemos que aplicar el método del polígono. Para aplicar este procedimiento se requiere conocer la magnitud, la dirección y el sentido de todas las fuerzas que intervienen, tal como se muestra a continuación:

Figura 2.8 Conjunto de fuerzas concurrentes y coplanarias.

La resultante se obtiene mediante la aplicación de los siguientes pasos:

1ro. Trazamos la dirección y la magnitud de cada vector dibujándolos uno a continuación de otro, adoptando para esto una escala para los módulos de las fuerzas según su magnitud y la precisión que se quiera obtener. Véase la siguiente figura:

Figura 2.9 Fuerzas ordenadas una a continuación de otra.

2do. Con una regla, hay que trazar la fuerza equivalente o resultante uniendo los puntos A y B, para luego medir en centímetros su longitud (LR) y hacer la conversión a fuerzas, según la escala adoptada. Véase la figura siguiente:

Figura 2.10 Resultante (R) de un conjunto de fuerzas.

Igual que en el método anterior, la longitud del vector R debe transformarse a un valor de fuerza, para lo cual es posible aplicar la siguiente expresión:

Las unidades de la escala serán fuerza/longitud. De este modo la resultante R quedará en unidades de fuerza.

2.1.2. MÉTODOS ANALÍTICOS

Estos métodos dependen de las habilidades matemáticas del estudiante, pues para determinar la fuerza resultante es necesario aplicar expresiones trigonométricas. Los métodos analíticos se dividen en los siguientes casos:

2.1.2.1. RESULTANTE DE FUERZAS COLINEALES

En este único caso, la resultante se obtiene por simple suma aritmética de vectores, los cuales han de estar asociados a un signo según el sentido que tengan. En el caso particular de fuerzas horizontales y verticales se suelen adoptar los sentidos convencionales de los ejes cartesianos XY. Sin embargo, es posible adoptar los signos de manera arbitraria.

Figura 2.11 Fuerzas colineales en X.

Figura 2.12 Fuerzas colineales en la dirección U.

2.1.2.2. RESULTANTE DE DOS FUERZAS CONCURRENTES COPLANARIAS Y ORTOGONALES

Dos fuerzas son ortogonales cuando forman una abertura de noventa grados.

Para este caso la fuerza resultante se obtiene mediante la aplicación del teorema de Pitágoras y su ángulo director mediante la función tangente.

Figura 2.13 Fuerzas F1, F2 y su resultante R.

En las fórmulas mostradas R es la resultante y θ es el ángulo director.

EJERCICIOS DE APLICACIÓNRevise las prácticas 1 y 2.

2.1.2.3. RESULTANTE DE DOS FUERZAS CONCURRENTES, COPLANARIAS Y NO ORTOGONALES

Los datos de partida para este caso son los módulos de las fuerzas F1 y F2, además del ángulo α, el cual deberá ser diferente a noventa grados. Véase la siguiente figura:

Figura 2.14 Fuerzas concurrentes, coplanarias y no ortogonales.

El método de solución consiste en aplicar las fórmulas empleadas para la solución de triángulos oblicuángulos (ley de cosenos y senos).

En la figura mostrada, β es el ángulo suplementario de α.

Figura 2.15 Resultante (R) de las fuerzas F1 y F2.

Aplicamos la siguiente Identidad:

Reemplazamos en la fórmula de resultante:

Hay que destacar que la fórmula anterior está en función a los datos de entrada declarados al inicio de este apartado.

Para calcular el ángulo director θ, debemos aplicar la ley de senos:

Figura 2.16 Resultante (R) de las fuerzas F1 y F2.

Aplicamos la siguiente identidad:

Reemplazando en la ley de senos:

Figura 2.17 Resultante de las fuerzas F1 y F2.

Para el siguiente caso, cuando el ángulo director de la resultante es obtuso (θ>90°), es aconsejable utilizar la ley de cosenos para calcular el ángulo director θ.

Figura 2.18 Aplicación del método del triángulo.

Despejamos el ángulo θ:

EJERCICIOS DE APLICACIÓNRevise las prácticas 3, 4, 7 y 8.

2.1.2.4. RESULTANTE POR DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS

Descomponer una fuerza consiste en proyectarla sobre los ejes X e Y de un sistema de ejes cartesianos.

Considerando que los datos de entrada son la magnitud de F y el ángulo α, sus proyecciones FX y FY se calculan del siguiente modo:

Figura 2.19 Descomposición de la fuerza F.

Cuando las fuerzas que intervienen en el cálculo de la resultante son más de dos, lo aconsejable es descomponer todas las fuerzas en las direcciones X e Y, para luego calcular una resultante en X y otra en Y. Estas resultantes parciales permitirán mediante el teorema de Pitágoras el cálculo de la resultante final. Veamos el siguiente caso:

Figura 2.20 Descomposición de fuerzas.

Figura 2.21 Resultante total.

EJERCICIOS DE APLICACIÓNRevise las prácticas 5 y 6.

2.2. ESFUERZO NORMAL EN SISTEMAS ESTRUCTURALES SIMPLES

Un sistema estructural se denomina simple cuando está constituido por elementos rígidos o flexibles (rígido=barra y flexible=cable), vinculados entre sí por rotulas o pernos, los cuales, al estar sometidos a fuerzas puntuales en sus uniones, generan la transmisión única de fuerzas y además permiten una solución simple a través de la aplicación directa de las ecuaciones de equilibrio. Véanse los siguientes ejemplos:

Figura 2.22 Sistema compuesto de elementos rígidos.

Figura 2.23 Sistema compuesto de elementos flexibles.

Los esfuerzos normales son fuerzas axiales internas convergentes o divergentes que permanecen constantes en el interior de cada elemento. Son producidas por las fuerzas externas aplicadas en las uniones del sistema.

Figura 2.24 Normal de tracción.

Figura 2.25 Normal de compresión.

El esfuerzo normal de tracción se caracteriza por desarrollar fuerzas divergentes en el interior del elemento que lo traccionan o lo alargan; en cambio, el esfuerzo normal de compresión está constituido por un par de fuerzas convergentes que comprimen o acortan al elemento.