Estructuras hiperestáticas E-Book

Tomás Wilson Alemán Ramírez

• Herausgeber: Marcombo
• Kategorie: Geisteswissenschaft
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2024

Seitenzahl: 187

Beschreibung

Descubra las ventajas de las estructuras hiperestáticas y por qué son idóneas en la industria de la construcción En el mundo cambiante de la construcción y la arquitectura, la demanda por estructuras complejas y estéticamente agradables es más alta que nunca. Las estructuras hiperestáticas, en mérito a sus reacciones superabundantes, se erigen como las protagonistas ideales para este desafío. Su capacidad para controlar deformaciones, distribuir eficientemente esfuerzos internos y adaptarse a geometrías intrincadas las coloca en el centro de la revolución constructiva, pues la seguridad, resistencia y estética son ventajas intrínsecas a estas estructuras. Sin embargo, los métodos para analizar este tipo de estructuras suelen ser muy tediosos, extensos en su desarrollo y requieren de bastante entrenamiento práctico. Si bien existen software de ingeniería que resuelven estos problemas, requieren de un usuario con buen criterio para garantizar la fiabilidad de sus resultados. En Estructuras hiperestáticas encontrará un entrenamiento práctico y sistematizado con el que se convertirá en un experto en el análisis de estructuras hiperestáticas: "Dominará la representación gráfica de deformaciones en diferentes tipos de estructuras. "Resolverá vigas hiperestáticas con diversos tipos de cargas. "Determinará soluciones confiables en diferentes tipos de pórticos. "Evaluará los esfuerzos internos en reticulados. "Analizará diversos tópicos especiales, como el efecto de la temperatura en las estructuras, el asentamiento de sus apoyos, los arcos circulares y parabólicos, los elementos de sección variable, entre otros. Además, en la parte inferior de la primera página del libro encontrará el código de acceso que le permitirá descargar de forma gratuita los contenidos adicionales en www.marcombo.info. No espere más para embarcarse en el análisis de estructuras hiperestáticas y conseguir las herramientas necesarias para garantizar resultados exitosos en cualquier proyecto. ¡Especialícese en estructuras hiperestáticas y dele forma al futuro de la construcción con su destreza! Tomás Wilson Alemán Ramírez es ingeniero civil, titulado por excelencia en la Universidad Autónoma Gabriel René Moreno. Tiene un máster en Educación Superior Tecnológica y más de veinte años de experiencia profesional en análisis y diseño de estructuras. Es director de Ingeniería Civil de la Universidad Católica Boliviana en su sede Santa Cruz y docente de las asignaturas: Estructuras Isostáticas, Estructuras Hiperestáticas, Resistencia de Materiales, Análisis Matricial de Estructuras, Elementos Finitos y Teoría de la Elasticidad.

Leseprobe

Estructuras hiperestáticas

© 2024 Tomás Wilson Alemán Ramírez

Primera edición, 2024

© 2024 MARCOMBO, S. L.

www.marcombo.com

Ilustración de cubierta: Jotaká

Maquetación: Reverté-Aguilar, S. L.

Corrección: Nuria Barroso

Directora de producción: M.a Rosa Castillo

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra

ISBN del libro en papel: 978-84-267-3748-9

ISBN del libro electrónico: 978-84-267-3808-0

Producción del ePub: booqlab

Para mi sol, mi cielo y mis estrellas. Las tres con su amor, cariño ycomprensión han hecho posible la publicación de este libro, mi mamáMartha Ramírez (†), mi esposa Fabiola Ochoa y mi hijita Briana Alemán.

Antes de comenzar a leer este libro

Es muy importante mantener una secuencia en el aprendizaje de los temas porque la publicación ha sido diseñada didácticamente para que exista una continuidad gradual y sistematizada del contenido y de los ejercicios resueltos, por esa razón es importante abordar la obra de principio a fin, sin obviar la teoría y siempre poniéndote como reto el volver a resolver los ejercicios propuestos en cada capítulo.

Contenido

Prólogo

Agradecimientos

CAPÍTULO 1

MÉTODO DE CARGA VIRTUAL

1.1. Objetivos

1.2. Introducción

1.3. Clasificación de los cuerpos según su deformación

1.3.1. Cuerpos elásticos

1.3.2. Cuerpos plásticos

1.3.3. Cuerpos rígidos

1.4. Deformación – Desplazamiento

1.4.1. Deformación

1.4.2. Desplazamiento

1.5. Desplazamientos en nudos

1.5.1. Desplazamientos en vínculos internos

1.5.2. Desplazamientos en vínculos externos o apoyos

1.6. Clasificación de los desplazamientos

1.6.1. Desplazamientos longitudinales

1.6.2. Desplazamientos angulares, giros o rotaciones

1.7. Relación de esfuerzo-deformación

1.8. Carga virtual

1.8.1. Principio de conservación de la energía

1.8.2. Principio de trabajo virtual

1.8.3. Formulación del método

1.8.3.1. Consideraciones

1.9. Integración semigráfica

1.10. Línea deformada

1.11. Deformaciones en arcos

1.11.1. Arcos circulares

1.11.2. Arcos parabólicos

1.11.3. Arcos según una función

1.12. Piezas de sección variable

1.13. Efecto térmico

1.13.1. Efecto térmico en arcos circulares

1.13.2. Efecto térmico en arcos parabólicos

1.13.3. Efecto térmico en barras de sección variable

1.14. Asentamientos

1.14.1. Asentamiento horizontal

1.14.2. Asentamiento vertical

1.14.3. Asentamiento rotacional

1.14.4. Desplazamientos en una estructura que se asienta

1.14.5. Convenio de signos

1.15. Apoyos elásticos

1.15.1. Deformaciones en estructuras con apoyos elásticos

1.16. Error de montaje

1.17. Efectos combinados

CAPÍTULO 2

MÉTODO DE LAS FUERZAS

2.1. Objetivos

2.2. Introducción

2.3. Estructuras hiperestáticas

2.4. Ventajas y desventajas de las estructuras hiperestáticas

2.4.1. Ventajas

2.4.2. Desventajas

2.5. Método de las fuerzas

2.6. Clasificación de las estructuras hiperestáticas según el método de las fuerzas

2.6.1. Estructuras externamente hiperestáticas o estructuras abiertas

2.6.2. Estructuras internamente hiperestáticas o estructuras cerradas

2.6.3. Estructuras interna y externamente hiperestáticas o estructuras complejas

2.7. Determinación del grado hiperestático

2.8. Principios fundamentales

2.8.1. Principio de superposición de efectos

2.8.2. Principio de proporcionalidad

2.9. Planteamiento del método

2.9.1. Sistematización del método

2.10. Sistema isostático equivalente

2.10.1. Liberación de reacciones

2.10.1.1. Estructuras simples

2.10.1.2. Para estructuras compuestas

2.10.2. Cortes

2.10.3. Adición de articulaciones

2.10.4. Sistema isostático equivalente para un sistema de barras concurrentes

2.10.5. Sistema isostático equivalente para reticulados

2.11. Tópicos especiales

2.11.1. Arcos

2.11.1.1. Arcos circulares

2.11.1.2. Arcos parabólicos

2.11.2. Elementos de sección variable

2.11.3. Temperatura

2.11.4. Asentamiento o hundimiento

2.11.5. Apoyos elásticos

2.11.6. Error de montaje

CAPÍTULO 3

MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES

3.1. Objetivos

3.2. Introducción

3.3. Criterios generales

3.4. Grado de indeterminación

3.4.1. Desplazamientos internos

3.4.2. Desplazamientos externos

3.5. Clasificación de las estructuras según el método de las deformaciones

3.5.1. Estructuras intraslacionales

3.5.2. Estructuras traslacionales

3.6. Planteamiento y formulación del método de las deformaciones para estructuras intraslacionales

3.6.1. Desensamblado de la estructura

3.6.2. Análisis individual de cada elemento

3.6.3. Análisis individual de cada nudo

3.6.4. Cálculo de reacciones

3.7. Planteamiento y formulación del método de las deformaciones para estructuras traslacionales

3.7.1. Disposición gráfica de la estructura desplazada

3.7.2. Ecuación adicional de momentos

3.8. Reticulados

CAPÍTULO 4

MÉTODO DE HARDY CROSS

4.1. Objetivos

4.2. Introducción

4.3. Clasificación de las estructuras hiperestáticas

4.4. Método de Cross

4.4.1. Coeficientes de rigidez de las barras

4.4.2. Factores de distribución

4.4.3. Momento debido a cargas

4.4.4. Momento debido a traslaciones

4.4.5. Momento distribuido

4.4.6. Momento transportado

4.4.7. Momento resultante y número de interacciones

4.4.8. Proceso de cálculo

ANEXO

FORMULARIO

Prólogo

Muchas de las personas que estudian ingeniería civil presentan dificultad para analizar el comportamiento de los esfuerzos y deformaciones en estructuras. Esta afirmación se fundamenta en el bajo nivel de aprovechamientos en las diferentes materias estructurales dictadas en nuestras universidades. Lamentablemente, esta situación hace que muchos estudiantes de ingeniería civil decidan escoger otras especialidades de la carrera.

De esta situación nace mi interés por elaborar esta publicación que, si bien no es la solución para este problema, al menos pretende aumentar el índice de aprovechamiento de nuestros universitarios.

Esta obra contiene los métodos más importantes para el análisis de estructuras, enfocados desde un punto de vista menos tradicional y más práctico, de tal manera que el lector pueda introducirse inmediatamente en las aplicaciones prácticas; sin embargo, no se intenta descuidar la importancia de la teoría, por lo cual se le da un tratamiento especial a los conceptos teóricos que el estudiante debe afianzar para poder encarar cualquier tipo de problema.

En cada capítulo se explica la importancia de estudiar cada tema, los objetivos que el lector deberá alcanzar una vez finalizado el mismo, así como los conceptos básicos, los criterios fundamentales, el desarrollo matemático de las fórmulas y los artificios estructurales que a la hora de encarar los problemas prácticos serán de vital importancia. La colección de ejercicios resueltos ha sido calculada paso a paso, procurando no saltar ninguna operación importante y, además, han sido verificados a través de tecnología informática de última generación para que tengas la seguridad de que están bien calculados.

El autor

Agradecimientos

Agradezco a Dios que me ha mostrado el camino y a las personas precisas para que pueda compartir mi experiencia profesional y docente a través de la publicación de un libro, que es el fruto de más de veinte años de ejercicio profesional.

CAPÍTULO 1

MÉTODO DE CARGA VIRTUAL

1.1. OBJETIVOS

Al finalizar este capítulo el lector deberá tener la habilidad para:

- Representar la deformación de vigas, pórticos y reticulados.

- Calcular cualquier tipo de desplazamiento.

- Analizar los desplazamientos de una sección debido a efectos especiales, como temperaturas, asentamientos, etc.

1.2. INTRODUCCIÓN

Cuando se diseña la estructura de un edificio, se debe considerar dos factores muy importantes, las tensiones y las deformaciones; ambos fenómenos inciden en la vida útil y apariencia estética de una edificación. Por esta razón, las piezas que componen el esqueleto estructural deben ser diseñadas con la capacidad de absorber estas demandas de una manera armónica y equilibrada, es decir, dentro de los límites permitidos por el material.

Las deformaciones exageradas en estructuras suelen ocasionar serios problemas en la funcionalidad y estética de los edificios, por ejemplo, si una viga se flexiona exageradamente adquiriendo una curvatura pronunciada esta afectará a los materiales que estén dispuestos por encima de ella. Vea la siguiente figura:

Figura 1.1 Elementos estructurales deformados.

El mismo fenómeno ocurre con los materiales de las losas cuando estas se encuentren apoyadas sobre vigas con deformaciones muy pronunciadas. Observe la figura anterior.

Cuando las deformaciones son difíciles de controlar, como es el caso de vigas con grandes luces, se suele recomendar un incremento en la altura de la sección, de tal modo que la pieza incremente su inercia y con ellos su capacidad indeformable; sin embargo, al hacer esto, también se está incrementando la carga que produce dicha deformación. Esta lógica nos hace pensar en una solución más practica como la de construir una viga con una leve deformación contraria, de tal manera que una vez aplicada las cargas esta pueda contrarrestar el sentido gravitacional de la deformación. Véase la siguiente figura:

Figura 1.2 Viga con deformación antigravedad.

En fin, un edificio con grandes deformaciones no le da confianza a ningún usuario; por ello que, aunque existan, deben ser tan pequeñas que no puedan ser percibidas a simple vista.

1.3. CLASIFICACIÓN DE LOS CUERPOS SEGÚN SU DEFORMACIÓN

Cualquier estructura deformada consta de las siguientes partes:

Figura 1.3 Partes de una viga deformada.

En la figura anterior se tienen los siguientes elementos:

La posición de la línea elástica con respecto a la línea primitiva, para un cargamento actuante en un periodo de tiempo arbitrario, nos permite definir el comportamiento deformativo de tres tipos de cuerpos, que se detallan a continuación.

1.3.1. Cuerpos elásticos

Los cuerpos elásticos son aquellos que se deforman simultáneamente con la aplicación de la carga y tienen la capacidad de volver a su estado inicial no deformable una vez es retirada la carga.

1.3.2. Cuerpos plásticos

Se denominan cuerpos plásticos a aquellos elementos estructurales, que, al estar sometidos a un conjunto de carga, se deforman sin la posibilidad de recuperar su estado inicial, por más que se hayan retirado las cargas.

1.3.3. Cuerpos rígidos

Se llaman elementos rígidos a aquellos cuerpos que no sufren deformación alguna durante o después de aplicarse sobre estos un conjunto de cargas. En estos sólidos la línea elástica se superpone con la línea primitiva manteniéndose invariable.

1.4. DEFORMACIÓN - DESPLAZAMIENTO

Estos dos conceptos suelen ser empleados como sinónimos en muchas situaciones; sin embargo, no es lo correcto, por ende, es muy importante tener claro estos dos conceptos antes de empezar su estudio.

1.4.1. Deformación

La deformación comprende los cambios de forma, longitud y posición que experimenta el conjunto de la estructura cuando es sometida a un sistema de cargas. Vea la figura siguiente.

Figura 1.4 Pórtico deformado.

Las barras de esta estructura cambian de longitud al comprimirse la columna y traccionarse la viga; además, se flexionan (curvean) y presentan la tendencia parcial a trasladarse lateralmente a la derecha.

La deformación de una estructura es descriptiva en términos generales y cuantitativa cuando se hace mención a una traslación o desplazamiento máximo que representa su comportamiento.

1.4.2. Desplazamiento

El desplazamiento se refiere al cambio de posición o traslación longitudinal/angular que experimenta una sección cualquiera de la estructura cuando se encuentra deformada. A través de un conjunto de desplazamientos longitudinales y angulares se puede definir la configuración deformativa de cualquier estructura. Vea la figura siguiente:

La sección s-s de la barra horizontal experimenta tres desplazamientos, una traslación horizontal (derecha), otra vertical (abajo) y una rotacional (horaria). Estos desplazamientos definen la coordenada de un punto por donde pasa la línea deformada de la estructura.

Figura 1.5 Desplazamientos en el extremo libre del voladizo.

1.5. DESPLAZAMIENTOS EN NUDOS

Los desplazamientos en los nudos se clasifican en:

1.5.1. Desplazamientos en vínculos internos

Estos desplazamientos pueden ser de nudo continuo o articulado.

a) Nudo continuo: Cuando dos o más barras se unen para formar un solo cuerpo, estos adquieren la capacidad de rigidez continua. Este tipo de nudo experimenta una misma traslación longitudinal y además tiene la cualidad de rotar de manera conjunta. Vea la siguiente figura:

Figura 1.6 Desplazamiento de una unión continua.

El nudo 2 es continuo; por lo tanto, las barras 1-2 y 2-3 experimentan en el nudo 2 los mismos desplazamientos longitudinales (ΔH y ΔV) y el mismo desplazamiento rotacional (θ).

b) Nudo articulado: Cuando dos o más barras se articulan a un mismo nudo, adquieren la capacidad de desplazarse longitudinalmente de manera conjunta, y de mantener desplazamientos rotacionales independientes en cada barra. Véase la siguiente figura:

El nudo 3, es articulado,; por lo tanto, las barras 2-3 y 3-4 experimentan en el nudo 3 los mismos desplazamientos longitudinales (ΔH y ΔV) y diferente desplazamiento rotacional (θ).

Figura 1.7 Desplazamientos de una unión articulada.

1.5.2. Desplazamientos en vínculos externos o apoyos

Según sus grados de libertad, los apoyos pueden presentar desplazamientos traslacionales o rotacionales.

a) Apoyo empotrado: Un nudo con este apoyo no experimenta ningún tipo de desplazamiento.

b) Apoyo fijo: Sus traslaciones horizontal y vertical se encuentran restringidas, por lo tanto, solo pueden girar o rotar.

c) Apoyo móvil: Tienen dos grados de libertad, por lo cual, pueden trasladarse en una dirección longitudinal y otra angular.

d) Apoyos elásticos: Estos apoyos a pesar de contener una o más reacciones admiten dos desplazamientos longitudinales y uno rotacional.

En el siguiente ejemplo tenemos una columna perteneciente a un pórtico con diferentes tipos de apoyos. Veamos su comportamiento deformativo.

Figura 1.8 Desplazamientos en apoyos.

1.6. CLASIFICACIÓN DE LOS DESPLAZAMIENTOS

De forma general, los desplazamientos se clasifican en:

- Desplazamientos longitudinales

- Desplazamientos angulares

Estos desplazamientos a su vez se pueden descomponer en otra forma de desplazamientos que describiremos a continuación.

1.6.1. Desplazamientos longitudinales

Es el vector distancia correspondiente al cambio de coordenada que experimenta un punto material de la estructura siguiendo una trayectoria rectilínea. Estos desplazamientos se miden en mm, cm y m. Ver figura siguiente.

Figura 1.9 Coordenadas de los nudos desplazados.

Al igual que todo elemento vectorial, los desplazamientos longitudinales están definidos por:

- Magnitud

- Dirección

- Sentido y

- Punto de aplicación

Por ejemplo, para la siguiente estructura la sección S se traslada a la posición S’ después de deformarse; esta nueva ubicación es la referencia para definir la magnitud, dirección, sentido y punto de aplicación del vector desplazamiento. Véase la figura siguiente.

Figura 1.10 Vector desplazamiento de la sección s-s.

Para que este vector quede perfectamente definido tendremos que obtener:

Magnitud: Distancia existente entre la sección S (estructura no deformada) y la sección S’ (estructura deformada).

Dirección: Ángulo de la línea recta que pasa por los puntos S y S’.

Sentido: Orientación del desplazamiento definido siempre de S hacia S’.

Punto de aplicación: Siempre la sección S (estructura no deformada).

Como todo elemento de naturaleza vectorial, se puede descomponer en diferentes direcciones según convenga; veamos estos componentes que también son desplazamientos y que, además, son motivo de cálculo en este tema.

a) Desplazamiento de una sección S según una recta directriz

Figura 1.11 Desplazamiento transversal y axial.

b) Desplazamiento de una sección S según los ejes cartesianos X, Y.

Figura 1.12 Desplazamientos cartesianos.

c) Desplazamiento de una sección S según un eje axial y otro transversal a la barra.

Figura 1.13 Desplazamientos transversal y axial.

1.6.2. Desplazamientos angulares, giros o rotaciones

Se refieren al cambio angular que experimenta una sección cuando se ha deformado transversalmente. Para entender mejor este concepto veamos el siguiente ejemplo.

Supongamos una viga simplemente apoyada en sus extremos.

Figura 1.14 Viga simplemente apoyada.

Dividamos esta viga en 6 partes iguales o 5 secciones, tal como se muestra a continuación:

Figura 1.15 Viga seccionada.

Ahora apliquemos un conjunto de carga y veamos cómo se deforma.

Figura 1.16 Secciones giradas por la deflexión de la viga.

Las secciones marcadas rotan o giran a medida que la viga se deforma, las secciones 1 y 2 rotan en sentido horario, mientras que las secciones 4 y 5 lo hacen en sentido antihorario. La medición angular de la rotación siempre se realiza desde la sección inicial sin deformar hacia la sección de la viga deformada; este fenómeno se denomina desplazamiento angular, y sus unidades de medición se expresan en radianes o grados sexagesimales.

Al igual que los desplazamientos longitudinales, este desplazamiento también se puede expresar como un elemento vectorial, donde sus componentes son:

Magnitud: Ángulo comprendido entre la abertura formada por la sección de la viga sin deformar con la sección de la viga deformada.

Dirección: La rotación o giro tiene como única dirección la trayectoria de una circunferencia.

Sentido: Puede ser horario o antihorario y siempre se orienta desde la sección sin deformar y se dirige hacia la sección deformada.

Punto de aplicación: Es la sección de la viga sin deformar.

Pero no olvidemos que, para efectos de cálculos, debemos trabajar sobre la viga idealizada; por este motivo se propone la siguiente representación gráfica del giro o rotación.

Pongamos como ejemplo la rotación de la sección 2.

Dibuje la viga idealizada y su deformación. Véase la siguiente figura:

Figura 1.17 Viga idealizada deformada.

Por la sección 2 de la viga ya deformada pasemos una recta que sea tangente a la viga deformada.

Figura 1.18 Recta tangente en el punto 2 de la línea deformada.

El giro (θ) en la sección 2 estará comprendido por el ángulo de la abertura formada entre la viga idealizada y la recta tangente a la sección 2 que pasa por la línea deformada.

Figura 1.19 Giro o rotación del nudo 2.

El sentido del giro estará orientado desde la viga idealizada hacia la línea deformada, para nuestro ejemplo es horario.

Los desplazamientos angulares se dividen a su vez en:

• Rotación o giro de una sección s-s

• Giro relativo de una sección s-s con otra r-r

• Giro de una cuerda o barra A-B

• Giro relativo de una cuerda A-B con otra C-D

• Rotación torsional o giro torsional

• Giro torsional relativo de una sección s-s con otra r-r

Veamos gráficamente en qué consisten estos giros:

a) Giro de una sección s-s: Cambio de posición angular que experimenta una sección.

Figura 1.20 Giro de la sección s-s.

b) Giro relativo de una sección s-s con otra r-r: Abertura formada por dos secciones después de haber girado.

Figura 1.21 Rotación relativa de las secciones s-s y r-r.

c) Giro de una cuerda o barra A-B: Abertura formada por la cuerda AB de la estructura sin deformar con la cuerda A’B’ de la estructura deformada.

Figura 1.22 Rotación absoluta de la cuerda AB.

d) Giro relativo de una cuerda A-B con otra C-D: Abertura formada por las cuerdas AB y CD después de que la viga se ha deformado.

Figura 1.23 Rotación relativa de las cuerdas AB y BC.

e) Rotación torsional o giro torsional: Ángulo comprendido entre la sección sin deformar con la sección deformada cuando la misma ha rotado sobre su propio eje.

Figura 1.24 Rotación o giro torsional de la sección s-s.

f) Giro torsional relativo de una sección s-s con otra r-r: Abertura formada entre las secciones s-s y r-r después de haber rotado sobre su propio eje.

Figura 1.25 Giro relativo de s-s con r-r.

1.7. RELACIÓN DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN

Si a un pórtico plano lo sometemos a un conjunto de cargas, estas afectarán a todos los puntos materiales de la estructura, provocando la aparición de esfuerzos internos que transformarán la geometría y dimensión de la estructura. Véase la figura:

En la sección s-s, debido al cargamento aplicado, se producen los esfuerzos de momento, normal y cortante tal como lo indica la siguiente figura.

Figura 1.26 Esfuerzos internos en la sección s-s.

Estos esfuerzos internos tienen relación directa con la deformación que sufre la estructura, veamos en qué consisten estas relaciones.

a) Relación momento – giro: Es la rotación relativa de dos secciones paralelas, separadas una distancia ds (ds tiende a cero) que son producidas por un momento flector M.

Figura 1.27 Relación momento flector y giro.

b) Relación esfuerzo normal – deformación axial: Es la deformación axial de dos secciones paralelas separadas una distancia ds (ds tiende a cero), debido al esfuerzo normal N.

Figura 1.28 Relación esfuerzo normal y deformación axial.

c) Relación esfuerzo de corte-deformación cortante: Es el deslizamiento transversal a la barra de dos secciones paralelas separadas una distancia ds, debido al esfuerzo cortante.

Figura 1.29 Esfuerzo cortante versus deformación transversal.

d) Relación Momento torsión-giro torsional: Es la rotación relativa transversal a la barra que experimenta dos secciones paralelas separadas una distancia ds, debido al momento torsor T.

Figura 1.30 Momento de torsión vers giro torsional.

Las siguientes son inercias torsionales para secciones conocidas.

Figura 1.31 Secciones rectangular y circular.

1.8. CARGA VIRTUAL

Carga virtual es un método para calcular desplazamientos debido a diversas causas y en diferentes tipos de estructura. Su formulación está sustentada en el principio de la conservación de la energía y el trabajo virtual. Este método a comparación de los métodos geométricos es mucho más general y de mayor aplicación, porque nos permite calcular desplazamientos no solo en vigas, sino también en pórticos, reticulados, parrillas, pórticos espaciales, reticulados espaciales y nos permite considerar efectos de cargamentos complejos como temperatura, error de montaje, hundimiento, etc.

Para entender la lógica de este método es preciso estudiar los siguientes criterios estructurales.

1.8.1. Principio de conservación de la energía

Un cuerpo al estar sometido a un conjunto de cargas externas experimenta dos fenómenos:

Figura 1.32 Cuerpo genérico.

- Las fuerzas externas (P1, P2, P3 y P4) aplicadas al exterior del cuerpo empujan ciertas partes del sólido desplazándolas en la misma dirección de las fuerzas.

- En el interior del cuerpo aparecen fuerzas internas (momento, normal y cortante) aplicadas en los infinitos puntos materiales de la estructura. Ante esta situación, las partículas, en su intento de mantenerse unidas, cederán en su forma, deformándose pequeñas cantidades y, al mismo tiempo, reacomodándose con respecto a las otras partículas. Es precisamente la deformación de estas partículas las que definen los desplazamientos en las direcciones de las fuerzas externas.

De estos dos fenómenos podemos concluir dos condiciones que debe cumplir todo cuerpo para mantenerse en equilibrio.

- Las fuerzas externas (P1, P2, P3 y P4) y las fuerzas internas (M, N y Q) deben estar condicionadas por ecuaciones de equilibrio estático.

- Las fuerzas externas producen desplazamientos en sus mismas direcciones y los esfuerzos internos deformaciones en cada punto material del sólido. Para que estos desplazamientos y deformaciones estén en equilibrio, el trabajo efectuado por todas las fuerzas externas (We) que actúan sobre el cuerpo, deben ser igual al trabajo interno (Wi) o energía de deformación producida por los esfuerzos internos.

1.8.2. Principio de trabajo virtual

Supongamos una viga biapoyada sometida a una fuerza F1.

Figura 1.33 Viga simplemente apoyada.

La viga se deformará y presentará un desplazamiento particular debajo de F1:

Figura 1.34 Viga con desplazamiento 1.

Si luego aplicamos sobre F1 una segunda fuerza F2, la viga aumentará su deformación en un valor Δ2.

Figura 1.35 Viga incrementada en su deformación.

El trabajo que produce F1 con respecto a Δ2 es conocido como trabajo virtual debido a que este desplazamiento en realidad es producido por F2; sin embargo, cuando se produce este nuevo desplazamiento (Δ2) la fuerza F1 acompaña el movimiento de la sección y por lo tanto es válido el concepto de trabajo. Así pues, llamaremos trabajo virtual al producto de una fuerza con un desplazamiento de igual dirección que no es producido por dicha fuerza, es decir:

Es importante tener en cuenta que la fuerza F2 con respecto al desplazamiento Δ1 no produce ningún tipo de trabajo, esto debido a que cuando se aplica la fuerza F2 el desplazamiento Δ1 ya existe en el sistema.

Con el objetivo de ser más prácticos y poder determinar cuantitativamente el valor de este trabajo debemos separar el sistema de viga anterior en dos sistemas simples, es decir:

Figura 1.36 Descomposición de efectos según fuerza y deformación.

Para determinar el trabajo virtual W1-2, consideremos el siguiente criterio:

“El trabajo virtual es la fuerza del sistema 1 multiplicado por el desplazamiento del sistema 2”, es decir:

Es importante considerar este criterio, pues el mismo se aplicará para deducir la fórmula del método de carga virtual. Además, observe que no se requiere para nada el desplazamiento del sistema 1, ni la fuerza del sistema 2.

1.8.3. Formulación del método