Resistencia de materiales E-Book

Tomás Wilson Alemán Ramírez

• Herausgeber: Marcombo
• Kategorie: Geisteswissenschaft
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2024

Seitenzahl: 252

Beschreibung

Aleje cualquier posibilidad de colapso en sus estructuras con análisis y medios fiables Nada despierta más inquietud en un ingeniero civil que presenciar el desmoronamiento prematuro de un edificio. Esta angustiante realidad resalta la vital importancia de la resistencia de materiales en la ingeniería estructural. Más allá del mero sensacionalismo que genera hablar sobre el colapso de estructuras, este libro se sumerge en lo verdaderamente esencial: las técnicas, métodos y normativas que garantizan construcciones confiables y duraderas. Resistencia de materiales presenta las herramientas necesarias para asegurar que los cálculos se traduzcan en estructuras que perduren en el tiempo, desafiando las adversidades y ofreciendo seguridad. Asimismo, en él se abordan, de manera pragmática y sencilla, los diversos tópicos de la mecánica de los materiales aplicados a la ingeniería civil: "Aprenderá a identificar, calcular y controlar las tensiones que producen el colapso de una estructura. "Controlará las deformaciones en los elementos que conforman el esqueleto de un edificio. "Identificará las propiedades de los materiales que intervienen en el cálculo de resistencia y rigidez de un elemento estructural. "Desarrollará la confianza necesaria para realizar proyectos relacionados con la resistencia de materiales. "Tendrá una base sólida para abordar temas de mayor complejidad. Además, en la parte inferior de la primera página del libro encontrará el código de acceso que le permitirá descargar de forma gratuita los contenidos adicionales en www.marcombo.info. Emprenda este viaje de conocimiento y garantice la longevidad y solidez de sus proyectos estructurales. Tomás Wilson Alemán Ramírez es ingeniero civil, titulado por excelencia en la Universidad Autónoma Gabriel René Moreno. Tiene un máster en Educación Superior Tecnológica y más de veinte años de experiencia profesional en análisis y diseño de estructuras. Es director de Ingeniería Civil de la Universidad Católica Boliviana en su sede Santa Cruz y docente de las asignaturas: Estructuras Isostáticas, Estructuras Hiperestáticas, Resistencia de Materiales, Análisis Matricial de Estructuras, Elementos Finitos y Teoría de la Elasticidad.

Leseprobe

Resistencia de materiales

© 2024 Tomás Wilson Alemán Ramírez

Primera edición, 2024

© 2024 MARCOMBO, S. L.

www.marcombo.com

Ilustración de cubierta: Jotaká

Maquetación: Reverte-Aguilar, S. L.

Corrección: Haizea Beitia

Directora de producción: M.a Rosa Castillo

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra

ISBN del libro en papel: 978-84-267-3749-6

ISBN del libro electrónico: 978-84-267-3809-7

Producción del ePub: booqlab

Tu recuerdo, amor y ejemplo de vida me inspiran a seguir escribiendo. A la memoria de mi madre, Martha Ramírez Cáceres ().

Antes de comenzar a leer este libro

El contenido de cada capítulo fue diseñado pensado en las competencias que deben lograr los ingenieros civiles para analizar, calcular y verificar la resistencia y rigidez en diferentes tipos de estructuras; también se consideró la importancia que tiene esta asignatura como soporte de otras materias como, por ejemplo, Estructuras de Madera, Estructuras Metálicas, Hormigón Armado, Hormigón Pretensado y otras.

Las fórmulas deducidas y los ejercicios ilustrativos han sido desarrollados cuidadosamente, combinando procedimientos matemáticos y esquemas gráficos, de tal manera que el lector pueda asimilar correctamente la mecánica de cálculos y los criterios aplicados, pero también para que pueda reconocer los alcances y limitaciones de cada fórmula al momento de utilizarla.

Para un adecuado aprendizaje es muy importante que aborde cada capítulo párrafo por párrafo, sin saltarse ningún concepto o ejercicio propuesto.

Contenido

Prólogo

Agradecimientos

CAPÍTULO 1

TENSIÓN SIMPLE

1.1. Esfuerzos internos

1.2. Tensión axial simple (tensión normal)

1.3. Tensión máxima o resistencia característica del material

1.4. Tensión admisible o resistencia de diseño de materiales

1.5. Tipos de problemas en resistencia de materiales

1.6. Tensión simple en depósito de pared delgada sometido a una presión uniforme

1.6.1. Depósito cilíndrico de sección circular

1.6.2. Depósito cilíndrico de sección elíptica

1.6.3. Depósito esférico

1.7. Tensión cortante simple

1.7.1. Punzonamiento

1.8. Tensión de aplastamiento

CAPÍTULO 2

DEFORMACIÓN SIMPLE

2.1. Concepto de deformación

2.2. Tipos de deformaciones

2.3. Curva tensión-deformación

2.4. Deducción de la fórmula para calcular deformación axial

2.5. Elementos deformables e indeformables

2.6. Representación gráfica de las deformaciones

2.6.1. Criterio de Williot

2.6.2. Desplazamientos versus deformaciones

2.7. Problemas hiperestáticos

2.8. Cálculo de la deformación axial por integrales

2.9. Ecuación diferencial de los desplazamientos axiales

2.10. Problemas hiperestáticos resueltos por la ecuación diferencial de los desplazamientos

2.11. Carga térmica

2.12. Error de montaje o error de longitud

CAPÍTULO 3

MOMENTO DE TORSIÓN

3.1. Introducción

3.2. Concepto de momento de torsión

3.3. Conceptos generales

3.3.1. Regla de la mano derecha

3.3.2. Distorsión angular

3.3.3. Ley de Hooke para tensiones tangenciales

3.3.4. Inercia polar en sección circular

3.3.5. Giro torsional nulo

3.3.6. Continuidad de giros

3.4. Diagrama de torsión

3.5. Deducción de las fórmulas de tensión y giro torsional

3.6. Ecuación diferencial del giro torsional

3.6.1. Cargas distribuidas de torsión

3.6.2. Barras de sección variable

3.6.3. Problemas hiperestáticos

3.7. Problemas usuales de la resistencia de materiales

CAPÍTULO 4

TENSIÓN EN VIGAS

4.1. Introducción

4.2. Conceptos generales

4.2.1. Concepto de viga

4.2.2. Tensión

4.2.3. Inercia o momento de inercia

4.2.4. Momento estático

4.2.5. Deformación unitaria

4.2.6. Relación esfuerzo cortante y momento flector

4.3. Tensiones en vigas

4.4. Tensión axial debido al momento flector

4.5. Diagrama de tensiones axiales para una sección

4.6. Tensión tangencial debida al esfuerzo cortante

4.7. Diagrama de tensión tangencial

4.8. Problemas de la resistencia de materiales

4.8.1. Verificación de resistencia

4.8.2. Carga máxima resistente

4.8.3. Sección mínima resistente

CAPÍTULO 5

DEFORMACIÓN EN VIGAS

5.1. Introducción

5.2. Conceptos generales

5.2.1. Partes de una viga deformada

5.2.2. Convenio de signos para desplazamientos y giros

5.2.3. Condiciones de borde o contorno

5.3. Deducción de la ecuación de la línea elástica

5.4. Flecha de una viga

5.5. Comportamiento de apoyos y uniones frente a la deformación de una viga

5.6. Vigas hiperestáticas

5.7. Deformaciones cortantes

CAPÍTULO 6

VIGAS HIPERESTÁTICAS CONTINUAS

6.1. Introducción

6.2. Viga hiperestática continua

6.3. Conceptos preliminares

6.3.1. Desviación tangencial

6.3.2. Coordenada xG del centro de gravedad

6.3.3. Teorema de área de momento para desviación tangencial

6.4. Ecuación de los tres momentos para vigas hiperestáticas continuas

6.4.1. Casos de vigas hiperestáticas continuas

6.5. Cálculo del esfuerzo cortante

6.6. Cálculo de reacciones

CAPÍTULO 7

ESFUERZOS COMBINADOS

7.1. Introducción

7.2. Combinación de esfuerzos

7.3. Esfuerzo normal más momento flector

7.4. Excentricidad del eje neutro

7.5. Estado biaxial

7.5.1. Ecuación del eje neutro

7.6. Núcleo central

7.6.1. Sección circular

7.7. Combinación de esfuerzo cortante y momento de torsión

7.8. Tensiones en un punto

7.8.1. Generalización y convenio de signos

7.9. Tensiones en un punto asociado a un plano oblicuo

7.10. Tensiones máximas

7.11. Círculo de Mohr para tensiones

7.11.1. Procedimiento para construir el círculo de Mohr

CAPÍTULO 8

ESTABILIDAD EN COLUMNAS

8.1. Introducción

8.2. Conceptos previos

8.2.1. Pandeo

8.2.2. Inestabilidad

8.2.3. Fuerza crítica de pandeo

8.3. Clasificación de las columnas

8.4. Carga crítica de Euler

8.5. Fórmula de Euler

8.5.1. Apoyo de la columna: Articulado-Articulado

8.5.2. Apoyo de la columna: Empotrado-Libre

8.5.3. Apoyo de la columna: Empotrado-Empotrado

8.5.4. Apoyo de la columna: Empotrado-Articulado

8.6. Criterios de verificación de resistencia y estabilidad en columnas

ANEXO

GLOSARIO TÉCNICO

Prólogo

Uno de los primeros pasos que debe dar un estudiante de ingeniería civil es el de entender el comportamiento mecánico de los materiales cuando estos son sometidos a procesos de deformación mediante la aplicación de solicitaciones externas.

Conceptos como compresión, tracción, cortante, torsión, flexión, deformación y pandeo, por citar algunos, son los que acompañan el ejercicio de la profesión de una o de otra manera, ya sea en el análisis de puentes, edificios, túneles y muros de contención o en el diseño de tuberías, presas y toda obra relacionada a la ingeniería civil.

El presente texto representa un gran aporte del autor al entendimiento de los fenómenos mecánicos de los materiales con un enfoque aplicado a la ingeniería civil. Su contenido explicativo incorpora la didáctica, experiencia y capacidad docente del autor para entregar al medio profesional y estudiantil una obra de alta calidad que merece el reconocimiento del plantel docente de la Universidad Católica Boliviana San Pablo.

Es para mí un gusto poder dirigir unas palabras dedicadas al texto del profesor Tomás Alemán, quien, aparte de ser un destacado profesional, es una persona digna de admirar por sus principios de nobleza, claridad y transparencia.

Dr. Mauricio Prudencio

Agradecimientos

Agradezco a Dios, que me ha mostrado el camino y a las personas precisas para que pueda compartir mi experiencia profesional y docente a través de la publicación de un libro, que es el fruto de más de 20 años de ejercicio profesional.

CAPÍTULO 1

TENSIÓN SIMPLE

1.1. ESFUERZOS INTERNOS

Supongamos que tenemos un cuerpo genérico en el espacio sometido a un conjunto de fuerzas (F1, F2, F3 y F4) y sustentado por vínculos externos (apoyos) que garanticen su estado de equilibrio (fuerza resultante cero), tal como se muestra a continuación:

Figura 1.1 Cuerpo genérico en equilibrio.

Para conocer las fuerzas que se desarrollan en el interior de este cuerpo vamos a efectuar un corte imaginario a través de un plano transversal que divida al cuerpo en dos porciones, A y B. Véase la siguiente figura:

Figura 1.2 Cuerpo seccionado por plano de corte.

Es importante aclarar que el plano de corte adquiere la cualidad de ser transversal cuando es perpendicular a la curva del eje axial en el punto de corte. Esto se envidencia a través de la recta tangente a la curva en el punto G, el cual, a su vez, resulta ser el baricentro de la sección generada por el corte. Obsérvese la siguiente figura:

Figura 1.3 Cuerpo subdividido en dos porciones.

Como la división es imaginaria, debemos suponer que ambos cuerpos permanecen en equilibrio, pero también debemos comprender que la porción A interactúa con la porción B, por lo tanto, cada porción aporta al equilibrio de la otra. Bajo este razonamiento podemos afirmar que para mantener el equilibrio traslacional y rotacional en ambas porciones debemos sustituir su parte complementaria por una fuerza y momento que garanticen su equilibrio.

En teoría, ambas porciones interactúan entre sí a través de la sección de corte, por lo cual podemos también afirmar que, según la tercera ley de Newton (acción-reacción), las fuerzas y momentos que sustituyan a la porción complementaria deberán ser iguales y con sentidos contrarios en cada porción del cuerpo.

El punto G de cada sección será el encargado de hospedar a la fuerza (F) y el momento (M), los cuales, al tratarse de un problema espacial, estarán direccionados también en un entorno espacial, tal como se muestra en la figura siguiente:

Figura 1.4 Fuerza y momento en el interior de la sección cortada.

Para entender un poco más la existencia de F y M, diremos que la fuerza y el momento ubicados en la porción A son los transmitidos por la porción B, para que ambas porciones mantengan el equilibrio. Con la fuerza y el momento del otro lado ocurre algo similar, pues estos esfuerzos son los necesarios para garantizar el equilibrio traslacional y rotacional en el sistema.

En la porción izquierda vamos a introducir un sistema ortogonal (x, y, z) de referencia en el baricentro de la sección. Una característica importante de este sistema de referencia es que el eje x es perpendicular a la sección s-s y, por ende, los otros ejes quedarán direccionados de manera tangencial. Véase la siguiente figura:

Figura 1.5 Sistema ortogonal de referencia en la sección.

Descompongamos la fuerza (F) y el momento (M) en los ejes de referencia x, y y z. Empecemos primero por el vector F; a sus componentes los denominaremos esfuerzo normal (N), esfuerzo cortante en y (Qy) y esfuerzo cortante en z (Qz). Obsérvese la siguiente figura:

Figura 1.6 Descomposición de F en N, Qx y Qy.

La característica principal de estos esfuerzos internos es que N es perpendicular a la sección (axial), mientras que Qy y Qz son tangenciales, es decir, están contenidos en la sección.

Realicemos la misma operación con el momento (M), tal como se muestra a continuación:

Figura 1.7 Descomposición de M en T, Mx y My.

El componente T se denomina Esfuerzo de torsión y la principal cualidad de este esfuerzo es que es perpendicular a la sección s-s. Los otros esfuerzos se denominan momentos flectores alrededor de los ejes y y z, los cuales son tangenciales a la sección s-s.

También es importante aclarar que, por la facilidad que supone, hemos representado el momento (M) de manera vectorial; sin embargo, el lector puede esquematizarlo de forma rotacional mediante la aplicación de la regla de la mano derecha para su mejor comprensión, tal como se presenta en el siguiente gráfico:

Figura 1.8 Representación vectorial del momento mediante la regla de la mano derecha.

Supongamos ahora que tenemos un sistema estructural coplanario donde el cuerpo, cargas y vínculos están ubicados geométricamente en un sistema de referencias xy, tal como se muestra a continuación:

Figura 1.9 Cuerpo plano con eje de corte.

En estas estructuras, la situación es más sencilla de ver: cuando efectuamos un corte transversal imaginario en una sección arbitraria aparecen en total tres esfuerzos que garantizan el equilibrio de ambas porciones, un esfuerzo normal, otro cortante y un momento flector. Estos tres esfuerzos garantizan que el cuerpo estará en equilibrio traslacional en x e y pero además conservará el equilibrio rotacional sobre el plano xy. Véase la siguiente figura:

Figura 1.10 Cuerpo plano subdividido en dos porciones.

El esfuerzo normal se caracteriza por ser perpendicular a la sección s-s, mientras que el esfuerzo cortante es perpendicular al esfuerzo normal y tangente a la sección s-s.

Los esfuerzos N, Q y M ubicados en la porción B se calculan con las fuerzas F1, F2 y las reacciones del apoyo fijo que se encuentran en la porción A, y los esfuerzos de la porción A se calculan con las fuerzas F3, F4 y la reacción del apoyo móvil de la porción B.

Para calcular la magnitud de estos esfuerzos realizaremos una sumatoria de fuerzas y momentos según el siguiente convenio internacional de signos.

Figura 1.11 Sentidos convencionales de los esfuerzos internos.

Es decir, si calculamos los esfuerzos internos con las fuerzas de la porción A (lado izquierdo), los sentidos positivos para la sumatoria serán los siguientes:

Figura 1.12 Esfuerzos internos en la porción izquierda del cuerpo.

En la porción B (lado derecho) ocurre algo similar.

Figura 1.13 Esfuerzos internos en la porción derecha del cuerpo.

Según lo anteriormente expuesto, para el caso de barras horizontales (vigas) se adoptarán los siguientes sentidos positivos para calcular sus esfuerzos internos:

Figura 1.14 Viga con sección s-s para el análisis de sus esfuerzos internos.

Lado izquierdo de la sección s-s.

Figura 1.15 Porción izquierda de la viga.

Lado derecho de la sección s-s

Figura 1.16 Porción derecha de la viga.

En resumen, el convenio de signos para vigas o barras horizontales es el siguiente:

Figura 1.17 Sentidos positivos convencionales de los esfuerzos internos.

En las estructuras porticadas resulta importante considerar un vector de recorrido en función a la numeración de los nudos, para luego determinar los sentidos positivos de los esfuerzos internos.

Figura 1.18 Pórtico con sus vectores de recorrido.

Para la barra 1-2, marcamos una sección s-s y consideramos el siguiente convenio de signos:

Figura 1.19 Sentidos positivos de los esfuerzos internos en el tramo 1-2.

Para la barra 2-3, el convenio de signos es igual que para vigas. Finalmente, según el vector de recorrido se adoptará el siguiente convenio de signos para la barra 3-4:

Figura 1.20 Sentidos positivos de los esfuerzos internos en el tramo 3-4.

EJEMPLO 1

Calcular los esfuerzos internos en la sección s-s.

Figura 1.21 Viga con sección s-s.

Paso 1: Descomposición de fuerzas

Paso 2: Cálculo de reacciones

Paso 3: Cálculo de esfuerzos internos

Considerando el lado izquierdo, tenemos:

Estos resultados se grafican en la sección del lado derecho.

EJEMPLO 2

Calcular los esfuerzos internos en la sección s-s.

Figura 1.22 Pórtico con sección s-s.

Paso 1: Cálculo de la resultante y descomposición de fuerzas

Paso 2: Cálculo de reacciones

Asumimos el sentido de las reacciones.

El signo negativo de V1 indica que su sentido es contrario.

Paso 3: Cálculo de esfuerzos internos en la sección s-s

Para realizar este cálculo consideremos el lado izquierdo de la sección s-s.

Descompongamos las fuerzas en dirección axial y transversal.

Estos resultados se grafican en la sección del lado derecho.

1.2. TENSIÓN AXIAL SIMPLE (TENSIÓN NORMAL)

Consiste en distribuir de manera uniforme el esfuerzo normal en toda la superficie de la sección transversal.

Figura 1.23 Transformación del esfuerzo normal N en tensión σ.

La tensión axial se define matemáticamente como el cociente entre el esfuerzo normal y el área de la sección transversal.

A continuación, se muestran algunas secciones y sus áreas:

Tabla 1: Área de diferentes secciones

La fórmula de tensión axial es un referente para medir la resistencia en piezas sometida a tracción y compresión. Esta fórmula solo se puede aplicar cuando el esfuerzo normal cae en el baricentro de la sección y no en cargas excéntricas.

Figura 1.24 Resultante de fuerzas paralelas.

El primer caso genera una tensión axial simple porque su resultante se ubica en el baricentro G.

Figura 1.25 Traslación de fuerzas resultante R.

EJEMPLO 3

Las siguientes barras de acero experimentan su máxima tensión axial. Indicar cuál es más resistente.

Figura 1.26 Cuerpos esféricos suspendidos por cables.

Calculamos la tensión en cada barra:

La barra 1 experimenta 10 veces mayor tensión que la barra 2, por lo tanto, es la de mayor resistencia.

∴ Como σ1 > σ2, el cuerpo 1 es más resistente que el cuerpo 2.

EJEMPLO 4

Para la siguiente estructura, obtener:

a) Diagrama de esfuerzo normal

b) Diagrama de tensión axial

Datos

Figura 1.27 Sistema unidimensional de barras.

Paso 1: Cálculo de normales

Considerando las fuerzas por encima de la sección s-s:

Considerando las fuerzas por encima de la sección r-r:

Considerando las fuerzas por encima de la sección t-t:

Paso 2: Diagrama del esfuerzo normal

Escalas:

Paso 3: Cálculo de tensión axial

Paso 4: Diagrama de tensión axial

Escalas:

EJEMPLO 5

Obtener el diagrama de tensión para la siguiente pieza.

Figura 1.28 Cuerpo de sección variable con carga axial.

Paso 1: Ecuación de base (by) y altura (hy)

La ecuación de la base es:

Aplicamos condiciones de borde en la base.

Reemplazamos en la ecuación 1.

Aplicamos condiciones de borde en la parte superior.

Reemplazamos en la ecuación 1.

Reemplazamos m y n en la ecuación 1.

Realizamos la misma operación para la ecuación hy.

Aplicamos condiciones de borde en la base.

Reemplazamos en la ecuación 2.

Condiciones de borde en la parte superior.

Reemplazamos en la ecuación 2.

Reemplazamos m y n en la ecuación 2.

Paso 2: Ecuación de la tensión

Paso 3: Representación gráfica de las tensiones

Escalas:

y [cm]

σ [kg/cm2]

0

-4,167

100

-5,442

200

-7,407

300

-10,667

400

-16,667

EJEMPLO 6

Para el siguiente sistema, obtener el diagrama de tensión axial en kg/cm2 debido a su propio peso.

Datos

Sección cuadrada

Figura 1.29 Cuerpo con orificio rectangular.

Paso 1: Cálculo de la reacción

Primero calculamos el peso de la pieza.

Calculamos la reacción en el apoyo.

Paso 2: Cálculo del esfuerzo normal

a) Tramo 1-2 (0 ≤ x ≤ 2)

b)Tramo 2-3 (2 ≤ x ≤ 4)

c) Tramo 3-4 (4 ≤ x ≤ 6)

Paso 3: Ecuaciones de tensiones

Para transformar de kg/m2 a kg/cm2 dividimos el resultado entre 104.

Paso 4: Diagrama de tensión

Escalas:

Tramo

X

σ [kg/cm2]

1-2

0

0

2

0,50

2-3

2

0,75

4

1,25

3-4

4

0,833

6

1,333

EJEMPLO 7

Graficar la variación de tensión axial a lo largo de la siguiente pieza, sin considerar el peso propio (resultado en t/m2).

Figura 1.30 Cuerpo de sección variable con orificio rectangular.

Paso 1: Cálculo de la base como función de x

Paso 2: Áreas por tramo

a) Tramo 1 − 2

b) Tramo 2 − 3

c) Tramo 3 − 4

Paso 3: Ecuación de tensión

a) Tramo 1 − 2

b) Tramo 2 − 3

c) Tramo 3 − 4

Paso 4: Diagrama de tensión axial

Tramo

x(m)

σ(t/m2)

1-2

0

-40

0,5

-43,64

2-3

0,5

-96

1

-120

1,5

-160

3-4

1,5

-53,34

2

-60

2,5

-68,58

3

-80

EJEMPLO 8

Diagramar tensión axial para la siguiente pieza debido a su propio peso.

Dato

Figura 1.31 Cuerpo cilíndrico sometido a su propio peso.

Paso 1: Fuerza normal generada por el peso

Paso 2: Función de tensión axial

Paso 3: Diagrama de tensión axial

y (m)

σ (t/m2]

0

0

1

2,5

2

5

3

7,5

4

10

5

12,5

Conclusión

La sección más crítica se da en el apoyo porque tiene que soportar todo el peso del elemento.

EJEMPLO 9

Datos

Figura 1.32 Sistema de vigas y cables.

Paso 1: Cálculo de normales

a) Diagrama de cuerpo libre de la viga A

b) Diagrama de cuerpo libre de la viga B

Paso 2: Cálculo de tensiones

Las tensiones deben ser menores a las admisibles para garantizar su resistencia:

σ1, σ2, σ3 ≥ σadm ∴ Colapsanσ4 ≤ σadm ∴ Resiste

EJEMPLO 10

Proponer un diámetro comercial de sección única para que los cables del ejemplo anterior resistan

Trabajaremos con el cable de mayor esfuerzo:

Apliquemos la condición de resistencia:

Despejamos el diámetro:

Seleccionamos el diámetro comercial que sea igual o mayor al requerido.

Ø (pulg)

Ø (cm)

1

2,54

1 1/4

3,175

1 1/2

3,81

1 3/4

4,445

2

5,08

EJEMPLO 11

Calcular las tensiones en los cables.

Figura 1.33 Sistema de vigas y cables.

Paso 1: Cálculo de esfuerzos normales en los cables

a) D.C.L. de la barra 1

b) D.C.L. de la barra 2

Paso 2: Cálculo de tensiones axiales

1.3. TENSIÓN MÁXIMA O RESISTENCIA CARACTERÍSTICA DEL MATERIAL

Es la máxima tensión que puede soportar un material que admita un comportamiento elástico. La elasticidad en los materiales es la capacidad que tienen los cuerpos para revertir su deformación una vez es retirada la fuerza que la produce. Respecto a este concepto tan elemental, nos queda preguntarnos qué materiales son elásticos. Sin lugar a duda, algunos dirán que todos los materiales son elásticos y otros, que ningún material es perfectamente elástico. Ambas respuestas tienen mucho de cierto, porque todos los materiales bajo ciertas condiciones de carga pueden comportarse de esta manera; sin embargo, si queremos aplicar este concepto de forma mucho más estricta, diremos que un material para ser considerado perfectamente elástico debe cumplir las siguientes hipótesis:

a) Hipótesis de homogeneidad

Esta hipótesis no considera la estructura molecular de la materia, es decir, considera que la misma se distribuye de manera uniforme. Esto se traduce en iguales propiedades físicas para cualquier muestra arbitraria obtenida de un mismo cuerpo.

b) Hipótesis de continuidad

La materia se distribuye sin dejar espacios vacíos, fisuras u oquedades, por lo cual se asume que las tensiones generadas en su interior se distribuyen de manera continua.

c) Hipótesis de isotropía.

Dos porciones arbitrarias obtenidas de un mismo cuerpo mantendrán las mismas cualidades mecánicas (resistencia y elasticidad) sin importar la dirección en la que son examinadas.

Según estas hipótesis, el material que más se aproxima a cumplir con estas cualidades es el acero. Por ejemplo, un acero A-36, según su fabricante, presenta una resistencia característica de 36 KSI o 2530 kg/cm2. Esto se debe interpretar como la concentración máxima de carga que admite una unidad de área.

Figura 1.34 Representación de la intensidad de tensión

1.4. TENSIÓN ADMISIBLE O RESISTENCIA DE DISEÑO DE MATERIALES

La tensión admisible no es más que la minoración de la resistencia característica del material obtenida en laboratorio (límite elástico lineal). El material se ve afectado por un coeficiente de seguridad que contempla dos niveles de incertidumbre.

Un primer nivel de incertidumbre se refiere a las condiciones en las cuales se obtiene el valor de la resistencia característica del material; estas condiciones suelen ser procesos rigurosamente controlados que en todos los casos difieren de las condiciones reales en las cuales estará siendo tensionado el material.

Un segundo nivel de incertidumbre está referido a la estimación de las cargas, pues estas son aproximaciones que sugieren un comportamiento que no es cien por ciento real, por lo cual, para este caso, deberá contemplarse un margen de acción de cargas no consideradas.

Estos dos niveles de incertidumbre definen el valor del coeficiente de minoración (α) que afecta directamente a la tensión elástica lineal. Este coeficiente en muchos casos suele asumir el valor de 0,9; sin embargo, depende del contexto donde se aplica y el tipo de material que se emplea.

donde:

1.5. TIPOS DE PROBLEMAS EN RESISTENCIA DE MATERIALES

En la ingeniería de estructuras aparecen tres tipos de problemas a partir de la caracterización del material, es decir, una vez sea conocida su tensión admisible. Estos problemas se resumen en los siguientes casos:

a) Verificación de la resistencia del material

Es una simple comparación entre la máxima tensión producida en el sistema estructural con la tensión admisible del material. Para verificar esta situación se deberá cumplir con la siguiente desigualdad:

σmax ≤ σadm

La expresión anterior es sinónimo de que el sistema resiste las cargas impuestas.

b) Mínima área de la sección

A partir de la condición de resistencia es posible conocer el área necesaria de la sección transversal que garantice la resistencia del sistema.

En el caso de que la sección de los elementos sea circular, podemos determinar su diámetro mínimo:

También es posible trabajar con otras formas de sección, como, por ejemplo, la sección rectangular.

- Conociendo la base (b) de la sección, podemos determinar su altura (h):

- Conociendo la altura (h) de la sección podemos determinar su base (b):

Máxima carga admisible

En estos casos, el máximo esfuerzo normal (Nmax) deberá estar en función de la carga, para luego aplicar la condición de resistencia y así obtener su magnitud.

En la expresión anterior se utilizará P para cargas puntuales y q para cargas distribuidas.

EJEMPLO 12

Verificar la resistencia de las siguientes barras.

Datos

Figura 1.35 Barras articuladas.

Paso 1: Cálculo de α y β

Aplicamos la ley de senos para calcular β.

Aplicamos suma de ángulos interiores en triángulos.

Paso 2: Cálculo de esfuerzos normales

Paso 3: Cálculo de tensiones

Paso 4: Verificación de resistencia

EJEMPLO 13

Figura 1.36 Sistema de viga y cables.

Paso 1: Cálculo de esfuerzos normales en los cables

a) Diagrama de cuerpo libre de la barra:

b) Diagrama de cuerpo libre de la unión de cables:

Paso 2: Cálculo del diámetro

Despejamos el diámetro.

Reemplazamos los datos de los cables 1, 2, 3 y 4.

Respuesta: De todos los diámetros, seleccionamos el más grande. Esto se debe a que, si elegimos el más pequeño, aquellos cables que exijan mayor sección van a colapsar; es decir, el diámetro a considerar es de 2,225 cm. Sin embargo, esta medida no existe comercialmente, por lo tanto, debemos buscar un diámetro comercial que se aproxime. Veamos la siguiente lista:

Puig.

cm

1/4

0,635

1/2

1,270

3/4

1,905

1

2,540

1 1/4

3,175

1 1/2

3,810

13/4

4,445

2

5,080

Siempre el valor elegido debe estar por encima del calculado, nunca por debajo, por más que exista mayor aproximación. Por lo tanto, el diámetro buscado es de 1 pulgada.

EJEMPLO 14

Determinar la máxima fuerza (P) que pueden soportar los cables sabiendo que el cable resiste 200 Mpa y el cable 100Mpa a tracción.

Datos

A1=20 mm2

A2=15 mm2

Figura 1.37 Cables afectados por una carga P.

Paso 1: Cálculo de esfuerzos normales

Paso 2: Cálculo de esfuerzos normales

a) Para el cable 1:

Reemplazamos valores:

Despejamos P:

b) Para el cable 2:

Respuesta: Elegimos la menor carga porque, si tomamos la mayor, el cable 2 colapsará por tener menor capacidad de resistencia. Por lo tanto, la respuesta es:

EJEMPLO 15

Determinar la altura (h) de las barras 1, 3 y 5 sabiendo que la resistencia a compresión del acero es 300 Mpa y la resistencia a tracción es 400 Mpa.

Figura 1.38 Reticulado 2D.

Paso 1: Cálculo de reacciones

Paso 2: Cálculo de esfuerzos normales (Ritter)

Paso 3: Cálculo de áreas

Transformamos los datos de tensión a N/mm2 y los datos de esfuerzos normales a Newton.

Finalmente, calculamos la altura (h) de las secciones:

Asumimos la mayor altura de todas las opciones porque con esta dimensión se garantiza la resistencia de sus barras. Por lo tanto, las dimensiones buscadas son las siguientes:

La altura obtenida es una dimensión teórica que debe ser ajustada a una medida con características prácticas, para lo cual se sugiere completar su magnitud a una cantidad entera superior. Véase nuestra propuesta.

EJEMPLO 16

Determinar la máxima carga (P) que pueden soportar los cables.

Datos

Figura 1.39 Viga suspendida por dos cables.

Paso 1: Cálculo de normales

Paso 2: Cálculo de P

Realizamos el cambio de unidad de los diámetros:

Aplicamos la condición de resistencia:

σmax ≤ σadm

a) Cable 1

b) Cable 2

La máxima carga que soportarían ambos cables es de 15 201,260 kg, porque si elegimos la más grande el cable 1 colapsaría.

EJEMPLO 17

Para la siguiente pieza de 2 pulgadas de espesor, calcular el valor de P máximo sabiendo que σadm=200 kg/cm2.

Figura 1.40 Barra con orificios sometidos a carga axial.

Paso 1: Cálculo de áreas

a) Para la sección s-s:

b) Para la sección r-r:

Paso 2: Cálculo de P máximo

σmax ≥ σadm

a)Para la sección s-s:

P ≥ 200 • 152,400

P ≥ 30480 kg

b)Para la sección r-r:

P ≥ 200 • 203,195

P ≥ 40639 kg

De los valores de P obtenidos seleccionamos el menor para evitar el colapso de la sección con menor área (menor resistencia).

1.6. TENSIÓN SIMPLE EN DEPÓSITO DE PARED DELGADA SOMETIDO A UNA PRESIÓN UNIFORME

Los depósitos de pared delgada pueden ser cilíndricos de sección circular, de sección elíptica o esféricos. Veamos cómo analizar cada uno de estos casos.

1.6.1. Depósito cilíndrico de sección circular

Cuando un depósito cilíndrico es afectado por una presión interna puede colapsar de manera longitudinal o transversal debido a las tensiones traccionantes que se generan. Véanse las siguientes figuras:

Figura 1.41 Depósitos fisurados.

Para analizar las tensiones que producen estas roturas debemos realizar un corte imaginario en la ruta de colapso y relacionar los valores geométricos del recipiente, su presión interna y las tensiones producidas. Veamos cómo realizar este análisis.

a) Tensión longitudinal

Realizamos un corte longitudinal manteniendo la trayectoria de la posible rotura del recipiente; en la parte cortada aparecerá una tensión longitudinal σL, tal como se muestra a continuación:

Figura 1.42 Presión y tensión en la pared de un depósito cilíndrico.

Calculamos R1 debido a la tensión σL.

Calculamos R debido a la presión (p).

Figura 1.43 Franja de análisis Da.

Sustituir en :

Sustituir en :

Descomponemos la resultante:

La componente dRx se eliminará en el proceso de integración debido a la simetría del problema, es decir, que la Rx del lado izquierdo, que tendrá signo negativo, se eliminará con la Rx del lado derecho, que tendrá signo positivo; por lo tanto, únicamente calcularemos Ry.

Figura 1.44 Resultante en x en las paredes de un depósito cilíndrico.

Sustituir y en :

Aplicamos la siguiente identidad trigonométrica:

Cuando:

Por lo tanto:

Si integramos desde 0 hasta π:

La expresión anterior se puede resumir en el siguiente criterio:

La resultante en y, debido a una presión constante p (ortogonal a la pared de un recipiente), es equivalente al producto de p con su área proyectada (Ap).

Figura 1.45 Área proyectada de la superficie curva.

Finalmente, aplicando la primera ley de Newton:

Figura 1.46 Resultante R1 debido a la tensión y Ry debido a la presión.

Sustituimos R1 y Ry:

Despejamos σL:

b) Tensión transversal

Efectuamos un corte transversal al recipiente y analizamos la relación entre la tensión en las paredes y la presión al interior del mismo. Véase la siguiente figura:

Figura 1.47 Resultante R2 de la tensión y R1 de la presión.

Calculamos R1:

Calculamos R2:

Aplicando la primera ley de Newton:

Despejamos σT:

1.6.2. Depósito cilíndrico de sección elíptica

Estos depósitos pueden colapsar longitudinalmente en dos direcciones y transversalmente en una sola dirección.

Figura 1.48 Modos de fisuración de un tanque cilíndrico de sección elíptica.

Datos de entrada:

a) Tensión longitudinal 1

Figura 1.49 Área proyectada de la superficie curvilínea.

Aplicando la primera ley de Newton: