Gestión Moderna de Portafolio E-Book

Bernardo León Camacho

• Herausgeber: CESA
• Kategorie: Fachliteratur
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2024

Seitenzahl: 390

Beschreibung

Presenta a nivel teórico y aplicado los principales desarrollos que han consolidado la teoría moderna de portafolio. Para ello, se presentan los elementos fundamentales del modelo media-varianza introducido por Markowitz en 1952 para la construcción de portafolios óptimos, así como sus principales extensiones mediante la incorporación de otras medidas de riesgo como: las medidas de semivarianza, el VaR o CVaR, entre otros; así como diferentes medidas de desempeño como: Sharpe, Sortino, Treynor, Omega, entre otras. Asimismo, se presentan diferentes formulaciones del problema de optimización de portafolio a partir de la incorporación de enfoques mucho más robustos como: el enfoque bayesiano, la optimización robusta de portafolio y el enfoque de paridad de riesgo. Además, se introducen los criterios ASG para el diseño de estrategias de inversión óptimas, los cuales permiten redefinir el modelo de optimización de portafolios para la incorporación de nuevas preferencias de los inversionistas.

Leseprobe

332.6 / L579 2023

León Camacho, Bernardo 1966-

Gestión moderna de portafolio: una guía cuantitativa con aplicaciones en R y Python / Bernardo León Camacho y Carlos Andrés Zapata. Bogotá: Colegio de Estudios Superiores de Administración – CESA, Editorial CESA, 2023. 299 páginas.

DESCRIPTORES:

Administración del portafolio – Teorías

Mercado de capitales – Procesamiento electrónico de datos

Análisis de inversiones – Procesamiento electrónico de datos

Modelos de valoración de activos de capital

Riesgo (Finanzas) – Teorías

Inversiones socialmente responsables

Inversiones extranjeras

Tasa de retorno – Modelos matemáticos

© 2023 CESA - Colegio de Estudios Superiores de Administración

© 2023 Bernardo León Camacho

© 2023 Carlos Andrés Zapata Q.

ISBN impreso: 978-958-8988-79-5

ISBN digital: 978-958-8988-80-1

Nota: códigos disponibles en https://doi.org/10.57130/FK2/3L339Z

La Editorial CESA y los autores aclaran que los códigos están destinados a respaldar la teoría y los resultados del libro, por tanto, no son responsables de ninguna garantía expresa o implícita ya que: i. no garantizan que los códigos estén libres de errores y, ii. los códigos están escritos bajo determinados estándares y sin seguir una estructura general.

El uso de los códigos para otros diferentes a la verificación de los resultados del libro es responsabilidad del lector. Los autores y el editor renuncian a toda responsabilidad por daños directos o consecuentes que resulten en su uso.

Los códigos acompañantes de esta obra y otros datasets, pueden consultarse en el Repositorio de datos académicos CESA: https://opendata.cesa.edu.co/

Editorial CESA

Casa Incolda

Diagonal 34a No. 5a-23

www.editorialcesa.com

www.cesa.edu.co

[email protected]

Bogotá, D.C., junio de 2023

Dirección: Editorial CESA

Corrección de estilo: José Ignacio Curcio

Diseño portada: Damaris Martínez

Composición: Carlos Andrés Zapata Q.

Impresión: Imagepriting

Todos los derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo escrito.

Diseño epub:Hipertexto – Netizen Digital Solutions

Índice

Prólogo de los autores

I    Selección de portafolio y evaluación de desempeño

1. Activos financieros y portafolios de inversión

1.1. Activos riesgosos: medidas de retorno y de riesgo

1.1.1. Tasa de retorno de los activos

1.1.2. Tasa de retorno del portafolio: Rp

1.2. La medida de riesgo de los activos

1.3. La medida de riesgo del portafolio

1.4. Consideraciones sobre los parámetros estimados

2. Construcción de portafolios óptimos y el modelo MV

2.1. Caso de dos activos

2.2. El efecto de diversificación

2.3. Portafolio óptimo para n activos

2.4. Formulación general de la FE

2.5. Portafolio de mínima varianza global

2.6. Teorema de separación de fondos

2.7. Portafolio óptimo con el activo libre de riesgo

2.8. Restricciones en los pesos negativos

2.9. Implementación de los modelos: un ejemplo práctico

2.10. Limitaciones y extensiones del modelo MV

3. Modelo de valoración CAPM y portafolio óptimo

3.1. El portafolio de mercado

3.2. Línea del mercado de activos (LMA) y medida de riesgo sistemático

3.3. Estimación del modelo

3.4. Descomposición de la varianza del activo

3.5. Beta del portafolio (βP)

3.6. Modelo de mercado y portafolio óptimo

3.6.1. Modelo de mercado de Sharpe y FE

3.6.2. Modelo de Treynor y clasificación de activos

3.6.3. Portafolio óptimo de Treynor

3.6.4. Modelo de Jensen

3.7. Alcance y limitaciones del CAPM

4. Utilidad esperada y aversión al riesgo

4.1. Incertidumbre y aversión al riesgo

4.2. Utilidad esperada y portafolio óptimo

4.3. Modelo MV y función de utilidad cuadrática

4.4. Alcance y limitaciones

5. Medidas de downside risk: semivarianza, VaR y CVaR

5.1. Medidas de riesgo a la baja o downside risk

5.1.1. Semivarianza y la medida de Sortino

5.1.2. Valor en riesgo (VaR)

5.1.3. Valor en riesgo condicional (CVaR)

6. La medida Omega (Ω)

6.1. La medida Ω y su aplicación en el portafolio

6.2. Formulación del problema de optimización

7. Evaluación de desempeño

7.1. Medidas basadas en el retorno del portafolio

7.1.1. Retorno activo del portafolio

7.2. Medidas basadas en la relación riesgo-retorno

7.2.1. Medida de Sharpe

7.2.2. Medida de Treynor

7.2.3. Medida de Sortino

7.2.4. Medida Omega (Ω)

7.3.Tracking-error y el coeficiente de información

7.4. Medidas de atribución

7.4.1. El modelo de atribución de Brinson

7.5. Limitaciones en la evaluación de desempeño

8.Tracking-error e indexación

8.1. Formulación óptima para el TE

8.1.1.Index tracking y portafolio Sparse

II    Análisis factorial y portafolio internacional

9. Modelos Factoriales

9.1. Modelo APT y factores de riesgo sistemático

9.2. Estimación del modelo factorial

9.3. Modelos factoriales de Fama-French y Carhart

10. Factores fundamentales y estilos de inversión

10.1. Análisis de estilo basado en factores de riesgo

10.2. Modelos institucionales

11. Diversificación internacional

11.1. Portafolio internacional: un enfoque factorial

11.1.1. El índice de mercado mundial

11.1.2. Retorno y riesgo sistemático del portafolio internacional

11.2. Enfoques alternativos sin incorporar el riesgo cambiario

11.3. Alcance y limitaciones de la diversificación internacional

III    Enfoque Bayesiano, optimización robusta y paridad de riesgo

12. Nuevos paradigmas en la gestión de inversiones

13. Modelo Black-Litterman

13.1. Supuestos del modelo BL y retornos de equilibrio

13.2. Formulación de las views del inversionista

13.3. Fórmula del modelo BL

13.4. Implementación del modelo BL

13.5. Los estimadores Shrinkage

14. Optimización Robusta de Portafolios

14.1. Conjuntos de incertidumbre

14.1.1. Conjunto de incertidumbre de intervalo para los retornos

14.1.2. Conjunto de incertidumbre de tipo elipsoidal para los retornos

14.2. La contraparte robusta

14.2.1. Modelo MV robusto con incertidumbre de intervalo

14.2.2. Modelo MV robusto con incertidumbre elipsoidal

14.3. Modelo de Sharpe robusto

14.4. Modelo Robusto-Bayesiano (Meucci, 2011)

15. Paridad de riesgo y diversificación

15.1. Contribución al riesgo

15.1.1. Contribución marginal al riesgo

15.1.2. Contribución total al riesgo

15.2. Paridad de riesgo naive

15.3. Paridad de riesgo vanilla

15.4. Formulación general: medida de concentración y aproximación convexa

15.5. Máxima diversificación del portafolio

15.5.1. La medida de máxima diversificación

IV    Portafolios socialmente responsables

16. Criterios ASG y portafolio óptimo

16.1. Indicadores ASG y proveedores de información

16.2. Construcción del portafolio óptimo MV-ASG

16.2.1. Formulación general del portafolio MV-ASG

16.2.2. Portafolio óptimo de Sharpe-ASG

16.2.3. Medida de eficiencia del portafolio ASG

16.3. Enfoques alternativos del portafolio ASG

Referencias

Notas al pie

Índice de figuras

1.1. Precios de AAPL y AMZN

1.2. Histograma de los retornos

2.1. Efecto diversificación

2.2. Diversificación de Markowitz

2.3. Efecto diversificación para diferentes ρ

2.4. Efecto del número de activos

2.5. Frontera eficiente

2.6. Plano Riesgo-Retorno y FE

2.7. Cambios en los pesos óptimos de los activos

2.8. Plano Riesgo-Retorno, FE y PMVG

2.9. Activo libre de riesgo y la LMC

2.10. Plano Riesgo-Retorno, FE y Pmvg

2.11. Región factible y solución óptima

2.12. FE con y sin restricciones en los pesos negativos

2.13. Frontera eficiente y el portafolio tangente

2.14. Frontera eficiente y portafolio tangente

2.15. Correlaciones

2.16. Portafolios óptimos de Markowitz y Sharpe - con cortos

2.17. Portafolios óptimos de Markowitz y Sharpe - sin cortos

2.18. Ventana movil para el PT

3.1. Frontera eficiente y la LMC

3.2. Frontera eficiente y la LMC

3.3. LMC, LMA y el riesgo de mercado

3.4. Riesgo sistemático y no sistemático

3.5. Estimación lineal

3.6. Estimación lineal del modelo

3.7. Modelo de mercado y portafolio óptimo

3.8. Coeficiente de Treynor y tasa de corte C∗

3.9. Portafolio óptimo de Treynor

3.10. Comparación portafolios de Treynor y Sharpe

3.11. LMA y α del portafolio

3.12. Regresión lineal usando MCO

4.1. Función de utilidad y utilidad marginal

4.2. Curva de indiferencia y plano riesgo-retorno

4.3. FE y la función de utilidad

5.1. Distribución de los retornos y la semivarianza

5.3. FE en el modelo de semivarianza

5.4. Pesos óptimos

5.5. Distribución de los retornos y el VaR

5.6. Comparación VaR y CVaR

5.7. Comparación de portafolios óptimos CVaR y PMVG de Markowitz

5.8. Retornos históricos del portafolio

5.9. FE en el modelo Media-CVaR

5.10. FE Media-CVaR

6.1. Distribución de los retornos y umbral h

6.2. Relación entre h y la medida Ω

6.3. Frontera eficiente para la medida Omega

6.4. Portafolios óptimos Omega y de Sharpe

6.5. Efecto diversificación y efecto del umbral h

7.1. División del periodo de análisis: in-sample y out-sample

7.2. Portafolio óptimo de Markowitz

7.3. Comparación de desempeño: PMVG

7.4. Coeficiente de Sharpe

7.5. Portafolio óptimo de Sharpe

7.6. Comparación de desempeño: PT

7.7. Portafolio óptimo de Treynor

7.8. Comparación de desempeño

7.9. Portafolio óptimo de Sortino

7.10. Comparación de desempeño

7.11. Portafolio óptimo Ω

7.12. Comparación de desempeño

8.1. FE para la medida TE

8.2. Frontera para un TE dado

8.3. Portafolio óptimo TE

8.4. Frontera eficiente para el TE

8.5. Comportamiento histórico de los dos portafolios

8.6. Comportamiento histórico de los dos portafolios

8.7. Comparación en los pesos de los portafolios

9.1. Relación lineal de los retornos y factores

9.2. Relación lineal de los retornos con los factores

9.3. Portafolio Factorial

9.4. Componentes principales

10.1. Factores de riesgo

11.1. Riesgo y diversificación internacional

11.2. Índices de MSCI

11.3. Relación lineal de los retornos con los factores

11.4. Correlaciones históricas para S&P 500, FTSE y DAX

13.1. Portafolio de equilibrio

13.2. Comparación de resultados: BL Vs. solución de Equilibrio

13.3. Comparación de desempeño histórico

13.4. Portafolio óptimo BL

14.1. Resultados de los portafolios MV

14.2. Resultados del PRMVi

14.3. Resultados del PRMVe

14.4. Comparación de desempeño histórico

14.5. Resultados del PRBM

14.6. Comparación de desempeño histórico

15.1. Resultados para el portafolio NRP

15.2. Comparación de resultados: NRP y PMVG

15.3. Resultados para el portafolio VRP

15.4. Comparación de resultados del portafolio VRP

15.5. Comparación de desempeño: PR y PMVG

15.6. Comparación de resultados del portafolio de PR

15.7. Portafolios MDR y PMVG

15.8. Portafolios MDR y NRP

16.1. Frontera eficiente

16.2. Resultados de los portafolios

16.3. FE para diferentes indicadores ASG

Índice de tablas

1.1. Precios de cierre de la acción de AAPL

1.2. Retornos mensuales de la acción de AAPL

2.1. Acciones seleccionadas

3.1. Estimación de parámetros del modelo CAPM

3.2. Varianza de los activos

3.3. Estimaciones modelo de Treynor

3.4. Estimaciones de modelo

3.5. Estimación de i

5.1. Retornos mensuales

5.2. VaR y CVaR del portafolio

7.1. Retornos esperados y volatilidades (mensuales)

7.2. Comparación de resultados de desempeño

7.3. Comparación de resultados de desempeño

7.4. Comparación de resultados de desempeño

7.5. Comparación de resultados de desempeño

7.6. Comparación de resultados de desempeño

7.7. Comparación de resultados de desempeño

7.8. Acciones seleccionadas por sectores

7.9. Cálculos de pesos y retornos por sectores

7.10. Cálculos de los tres efectos

8.1. Solución óptima y PoTE

8.2. Retorno esperado y volatilidad

9.1. Resultados de la estimación para WMT

9.2. Estimación factorial

9.3. Clasificación de las empresas

9.4. Estimación de retornos para AAPL

11.1. Retornos esperados, volatilidades y betas (datos anualizados)

11.2. Matriz de correlaciones

13.1. Retornos esperados y volatilidades (datos anualizados)

13.2. Retornos esperados de equilibrio y views

13.3. Retornos esperados del modelo BL y pesos óptimos

13.4. Comparación de los resultados de desempeño

14.1. Retornos esperados y volatilidades (datos anualizados)

14.2. Cálculo del δi para el intervalo de confianza

14.3. Comparación de resultados de desempeño

14.4. Comparación de resultados de desempeño

15.1. Retornos esperados y volatilidades (mensuales)

15.2. Comparación de resultados de desempeño

15.3. Retornos esperados y volatilidades (datos anualizados)

16.1. Proveedores de indicadores ASG

16.2. Proveedores de indicadores ASG

16.3. Retornos esperados y volatilidades (datos anualizados)

Siglas

Análisis de componentes principales (ACP)

Aproximación convexa sucesiva (SCA)

Asociación nacional de corredores de valores automatizado (NASDAQ)

Aversión absoluta al riesgo (ARA)

Aversión absoluta al riesgo constante (CARA)

Aversión absoluta al riesgo creciente (IARA)

Aversión relativa al riesgo constante (CRRA)

Contribución al riesgo (CR)

Contribución marginal al riesgo (CMR)

Contribución relativa al riesgo (CRR)

Frontera eficiente (FE)

GNU Linear Programming Kit (GLPK)

Intensidad de carbono (CI)

Inversión socialmente responsable (SRI)

Kuhn-Tucker (KT)

Línea del mercado de activos (LMA)

Línea del mercado de capitales (LMC)

Medía-Varianza (MV)

Medida de diversificación (DR)

Medida máxima de diversificación (MDR)

Mínimos cuadrados ordinarios (MCO)

Modelo Black-Litterman (BL)

Modelo de valoración de activos de capital (CAPM)

Modelo de Fama-French de tres factores (FF3)

Modelo de Fama-French de cinco factores (FF5)

Morgan Stanley Capital International (MSCI)

Optimización robusta (OR)

Paridad de riesgo (PR)

Paridad de riesgo naive (NRP)

Paridad de riesgo vanilla (NRP)

Pérdida esperada de cola (ETL)

Portafolio de mínima varianza global (PMVG)

Portafolio tangente (PT)

Portafolio óptimo de tracking-error (PoTE)

Portafolio robusto bayesiano de Meucci (PRBM)

Prima compensatoria por riesgo (PCR)

Principios de inversión responsable (PIR)

Programación cuadrática (QP)

Programación convexa (CVX)

Programación de cono de segundo orden (SOCP)

Relación de información (IR)

Retoro mínimo aceptable (MAR)

Riesgo-retorno (RR)

Standard & Poor’s 500 (S&P 500)

Teoría moderna de portafolio (TMP)

Tracking-Error (TE)

Valor contable (VC)

Valor de mercado (VM)

Valor en riesgo (VaR)

Valor en riesgo condicional (CVaR)

Valoración por no arbitraje (APT)

Prólogo de los autores

El libro Gestión moderna de portafolios: una guía cuantitativa con aplicaciones en R y Python presenta los principales desarrollos la teoría moderna de portafolio (TMP), los cuales han permitido consolidar este campo de investigación como uno de los más desarrollados de la ciencia financiera por sus contribuciones al impulso y profundización del mercado de capitales. Para ello, se abordan inicialmente los elementos fundamentales del modelo media-varianza (MV) introducido por Markowitz en 1952, así como sus extensiones mediante la incorporación de otras medidas de riesgo o de diferentes formulaciones del problema de optimización de portafolio. En este sentido, el libro incorpora, a nivel teórico y aplicado, las principales contribuciones de la TMP durante los últimos 70 años.

El modelo MV proporcionó un enfoque para cuantificar la relación riesgo-retorno y, con ello, la construcción de portafolios de inversión diversificados. Desde la publicación del trabajo de Markowitz (1952) el modelo MV ha sido la solución dominante para la selección de portafolios óptimos. Además, su trabajo inició un amplio campo de investigación de la teoría financiera al aportar, junto con Tobin (1958) y Treynor (1961), las bases fundamentales para la construcción del modelo de valoración de activos de capital (CAPM, por sus siglas en inglés), que fue desarrollado por Sharpe (1964), Lintner (1965) y Mossin (1966). El CAPM sostiene que los inversionistas son compensados por asumir, no el riesgo total, sino el riesgo de mercado o riesgo sistemático, ya que el riesgo específico de los activos puede diversificarse a partir de la construcción de portafolios óptimos. Desde entonces, el CAPM se convirtió en el modelo base para la valoración de los activos financieros (Treynor, 1965; Elton et al., 1976).

Así mismo, se han desarrollado extensiones importantes del modelo MV para la construcción de portafolios óptimos teniendo en cuenta otras medidas de riesgo, como las medidas de riesgo a la baja o downside risk: la semivarianza de Sortino y Price (1994); el VaR o CVaR de Rockafellar y Uryasev (2000) y Uryasev (2000), entre otros. Todos estos desarrollos representan un avance importante de la TMP hasta inicios del siglo XXI, y son los temas que se abordan en la primera parte del libro.

Ahora bien, desde la década de los 70 los modelos de valoración se volvieron más sofisticados al involucrar tanto los aspectos intertemporales, así como la incertidumbre y otras fuentes de riesgo en el ejercicio de valoración y en la toma de decisiones de inversión. Conceptualmente el modelo CAPM es un modelo de un solo factor que toma como medida de riesgo de mercado la beta y se expande a un enfoque multifactorial del riesgo (o multibeta) para explicar los retornos de los activos y portafolios de inversión. Los trabajos de Ross (1976), a partir de la formulación teórica del modelo de valoración por no arbitraje (APT, por sus siglas en inglés) y Roll (1977) a nivel de contrastación empírica del modelo de valoración, crearon una base importante en el campo de los modelos multifactoriales que definen una alternativa al CAPM. En este contexto, se encuentran los trabajos de Fama y French (1992), Fama y French (1993), Carhart (1997), entre otros.

Además, estos desarrollos se adaptan al diseño de estrategias de inversión en el mercado financiero internacional. Solnik (1974) fue el primero en adaptar el modelo CAPM a un enfoque de aplicación global, donde el riesgo cambiario cumple un papel fundamental. Estos desarrollos, en los ámbitos de valoración y diseño de estrategias de inversión, se abordan en la parte 2 del libro.

Por otra parte, el modelo MV de Markowitz presenta algunas fallas y limitaciones que fueron identificadas por Michaud (1989), Best y Grauer (1991), Black y Litterman (1991, 1992) y Chopra y Ziemba (1993), entre otros. El modelo MV, aunque brindó las bases para la construcción de inversiones diversificadas, genera portafolios muy concentrados y presentan una alta sensibilidad a los parámetros estimados. Para superar este problema, se exponen diferentes propuestas alternativas que expanden el campo de investigación de la TMP a los enfoques de: i) optimización robusta (OR), ii) el enfoque bayesiano y iii) el enfoque de paridad de riesgo. Estos nuevos desarrollos teóricos, que serán tratados en la parte 3 del libro, definen un nuevo marco para la construcción de portafolios óptimos con una estructura mucho más robusta.

Los enfoques de OR y el bayesiano, al tener en cuenta la incertidumbre de los parámetros estimados como los retornos y las covarianzas, proporcionan una solución mucho más consistente en comparación con el modelo MV. En el primer caso, la OR como enfoque de optimización bajo incertidumbre basada en conjuntos (o sets) de información, representa una forma intuitiva y fácil de lidiar con la incertidumbre de los parámetros, ya que permite incorporar información adicional de las estimaciones puntuales de los retornos y de sus covarianzas, como afirman Fabozzi et al. (2007) y Pachamanova y Fabozzi (2012). Mientras que el enfoque bayesiano que se identifica principalmente en los trabajos de Black y Litterman (1991, 1992) y de Ledoit y Wolf (2003, 2004), genera estimaciones robustas de los retornos esperados y de la matriz de covarianzas, respectivamente.

Además, como el modelo MV solo considera el riesgo del portafolio en su conjunto, ignora la contribución al riesgo que aporta cada activo en el portafolio. Los trabajos de Quian (2005, 2006, 2011) y Choueifaty y Coignard (2008), entre otros, han contribuido a consolidar el enfoque de paridad de riesgo (o risk parity) para mejorar el grado de diversificación, y han permitido reorientar la gestión de portafolios de inversión en la asignación para diferentes fuentes de riesgo.

Estos desarrollos teóricos de la TMP, así como de todas sus extensiones, tuvieron una fuerte incidencia en el desarrollo del mercado financiero. Sin embargo, en estas últimas dos décadas han empezado a surgir nuevas preocupaciones para los inversionistas y gestores de inversiones, ya que se han empezado a preocupar también por las cuestiones ambientales y sociales, así como por las consecuencias que ha traído el cambio climático. Estas preocupaciones han reorientado la forma de diseñar las estrategias de inversión y han creado un nuevo campo que se denomina “la inversión socialmente responsable o SRI”, por sus siglas en inglés. Para ello, se han adoptado los “Principios de Inversión Responsable” de las Naciones Unidas de 2006, los cuales incorporaron nuevos criterios para la gestión de inversiones que no solo tienen en cuenta los aspectos puramente financieros como el retorno esperado o el riesgo de los activos, sino también criterios ambientales (A), sociales (S) y de buen gobierno (G) o criterios ASG.

Como respuesta, el modelo MV se adapta para crear portafolios de inversión que incorporan estos nuevos criterios y permite no solo alcanzar una relación riesgo-retorno óptima sino también cumplir con las temáticas de tipo ambiental y social que ahora preocupan a los inversionistas. Los trabajos de Hirschberger et al. (2013), Utz et al. (2014), Gasser et al. (2017), De Spiegeleer et al. (2021), Cesarone et al. (2022), entre otros; presentan importantes contribuciones en este campo y definen un nuevo enfoque teórico que puede denominarse el modelo MV-ASG. El último capítulo del libro aborda estos desarrollos.

De esta forma, “Gestión moderna de portafolios: una guía cuantitativa con aplicaciones en R y Python” es una contribución importante en el campo de investigación de la TMP porque consolida los principales desarrollos que han dominado la teoría de portafolios y se publica en conmemoración de los 70 años de publicación del trabajo seminal de Markowitz. Como resultado, el lector encuentra los desarrollos de cada enfoque para la construcción de portafolios óptimos de inversión, y puede practicar con los ejemplos que se presentan para cada tema y utilizar los códigos de R y Python que le permitirán replicar los ejercicios de aplicación. Los ejemplos que se encuentran identificados con los iconos de R y Python, como se muestra a continuación, tienen los códigos disponibles.

Todos los ejemplos de código se pueden obtener en el Repositorio de datos académicos CESA https://doi.org/10.57130/FK2/3L339Z. Sin embargo, los autores aclaramos que estos códigos están destinados a respaldar la teoría y los resultados de este libro. Por tanto, renunciamos a cualquier garantía expresa o implícita ya que:

i. no garantizamos que estos códigos estén libres de errores.

ii. los códigos están escritos bajo ciertos estándares y no siguen una estructura general.

El uso de los códigos para otros fines que no sean verificar los resultados del libro queda bajo la responsabilidad del lector. Los autores y el editor renuncian a toda responsabilidad por daños directos o consecuentes que resulten en su uso.

Parte I

Selección de portafolio y evaluación de desempeño

Capítulo 1

Activos financieros y portafolios de inversión

La teoría moderna de portafolio (TMP) representa uno de los campos de estudio centrales de la teoría financiera. Estudia el proceso de toma de decisiones de inversión óptimas en un entorno incierto, a partir de la construcción de portafolios de inversión. Este ejercicio es una tarea difícil, teniendo en cuenta que toda inversión representa un desembolso o compromiso actual de recursos con la expectativa de encontrar un beneficio o ganancia en el futuro. Sin embargo, todo portafolio de inversión involucra más de un activo financiero cuya naturaleza intrínseca es incierta, lo cual representa un determinado nivel de riesgo para cualquier inversionista. Por tanto, todo análisis dentro de este campo debe partir de la caracterización probabilística de los activos financieros y de los portafolios de inversión.

Dada la complejidad que amerita este tratamiento se requieren herramientas analíticas propias de la teoría de la probabilidad, del cálculo y de la optimización, que son fundamentales para la construcción de un portafolio óptimo de inversión. El trabajo pionero de Markowitz (1952) y su revisión posterior de 1959, reúne estos elementos, al presentar una solución óptima para la construcción de portafolios de inversión que tiene en cuenta las medidas de retorno y riesgo de los activos financieros. De acuerdo con Constantinides y Malliaris (1995) y Markowitz (2012), este desarrollo de Markowitz (1952) consolida los trabajos previos de la teoría de inversiones y del análisis para la toma de decisiones bajo incertidumbre, al incorporar:

i. La caracterización de los retornos de los activos a partir de una distribución de probabilidad, como fue sugerido por Fisher (1906), y el marco de análisis para la cuantificación del riesgo de Bernoulli.

ii. La representación de las preferencias del inversionista y de su perfil de aversión al riesgo, mediante el uso de la función de utilidad y de las curvas de indiferencia en el espacio riesgo-retorno, desarrollado por Marschak (1938).

iii. La teoría axiomática de la utilidad esperada desarrollada por Von Neumann y Morgenstern (1944).

iv. El análisis de toma de decisiones óptimas bajo incertidumbre de Bellman (1957).

En este ámbito, la formulación de Markowitz introduce dos elementos esenciales de la TMP1. El primero fue el análisis conjunto riesgo-retorno de los activos, al considerar como insumos del modelo de portafolio los retornos esperados y sus covarianzas. El segundo fue la formulación del problema de selección de portafolio como un problema de optimización que persigue un doble objetivo:

i. Maximizar el retorno esperado (media) del portafolio para un determinado nivel de riesgo.

ii. Minimizar la varianza del portafolio para un determinado nivel de retorno.

De esta forma, Markowitz (1952, 1959) sentó las bases fundamentales de la TMP. Su modelo sustenta gran parte del análisis cuantitativo para la creación de portafolios óptimos que aún está vigente2 y se conoce como el modelo media-varianza (MV). De aquí en adelante haremos referencia al modelo de Markowitz como el modelo MV. Un aspecto importante en el ejercicio de construcción de portafolios óptimos, que hace parte del primer elemento esencial, es el efecto que tienen las correlaciones o las covarianzas de los activos. Este efecto, que fue identificado por Markowitz (1952) como efecto diversificación, es fundamental para la construcción de un portafolio de mínima varianza o de menor riesgo. Lo anterior, teniendo en cuenta que la medida de riesgo de un portafolio depende de cómo se relacionan los retornos de los activos, es decir, de sus correlaciones.

Por otra parte, el análisis MV se puede generalizar al incorporar problemas, por ejemplo, de maximización de la utilidad esperada o, incluso, la valoración misma de los activos, como se verá más adelante. De esta forma, el modelo MV representa un desarrollo importante que sirve como punto de partida de un amplio campo de investigación que aún se encuentra vigente. Todos estos desarrollos se exponen en detalle a lo largo de esta primera parte del libro.

1.1. Activos riesgosos: medidas de retorno y de riesgo

Antes de entrar en detalle en el ejercicio de construcción de los portafolios de inversión, se debe comprender la caracterización de los activos financieros y las medidas de retorno esperado y de riesgo, las cuales se asumen como dadas o conocidas.

Por otra parte, al igual que las acciones que emiten las empresas en el mercado de capitales, existen muchas clases de activos que tienen esa misma connotación riesgosa, por ejemplo, los títulos de deuda (o bonos) corporativos, los bienes básicos o commodities, los fondos negociados (o ETF, por sus siglas en ingles), o incluso los derivados financieros, entre otros. Aunque estos activos son algunos ejemplos de activos riesgosos, todos ellos comparten características distintivas al ser parte de otras clases de activos4.

1.1.1. Tasa de retorno de los activos

El retorno (neto, simple o aritmético) de un activo financiero i, entre el periodo t − 1 y t, se define como:

Donde: Pt es el precio actual del activo, Pt−1 es el precio del activo en el periodo anterior. Además, denota la relación entre el precio final y el precio inicial del activo, y se puede interpretar como el retorno bruto del activo, es decir:

Mientras que (1 + ) se puede entender como el retorno bruto acumulado o total para k periodos, es decir, desde t − k hasta t.

Por tanto, el retorno neto o simple (discreto) cumple con la propiedad aditiva multiplicativa.

Ahora, si representa el retorno continuo o retorno logarítmico del activo para k periodos, se tiene:

Entonces, el retorno continuo total en k periodos también puede verse como:

Es decir, el retorno continuo cumple solo con la propiedad aditiva. Ahora, teniendo en cuenta la ecuación (1.7), se puede establecer una relación de aproximación o de equivalencia entre la tasa de retorno neto (o discreto) y el retorno continuo5, es decir:

Por tanto, entre mayor sea la frecuencia de capitalización, mayor será el retorno discreto. Esto puede interpretarse de la siguiente forma: si it es la tasa de retorno periódica, tal que n representa el número de periodos de capitalización en un año, entonces se tiene que por tanto:

Dada la ventaja práctica que tiene trabajar con retornos logarítmicos o continuos, todas las operaciones y cálculos que se realicen de ahora en adelante tendrán en cuenta este tipo de retornos.

Por otra parte, la definición de retorno también puede incorporar los pagos que realiza el activo entre el momento t − 1 y t, por ejemplo, el dividendo (Dt). Su incorporación implica el cambio indicado en la ecuación (1.11).

De ahora en adelante nos referiremos al retorno del activo esperado mediante E(Ri) o µi y cada vez que se haga referencia al retorno observado para un periodo t se utilizara Ri,t. El ejemplo 1.1 se presenta para entender las definiciones anteriores y las diferencias en los retornos discretos y continuos.

Ejemplo 1.1

Tabla 1.1: Precios de cierre de la acción de AAPL

Teniendo en cuenta la información anterior, se encuentra que los retornos totales (discreto y continuo), sin contemplar el pago de los dividendos, son los siguientes:

Retorno discreto:

Retorno continuo:

Retorno discreto:

Retorno continuo:

Al incorporar el dividendo se encuentra una pequeña diferencia en el cálculo del retorno total en los dos casos. Se aclara al lector que el cálculo adecuado requiere llevar a cabo las operaciones como muestran las ecuaciones (1.4) y (1.8), teniendo en cuenta que cada dividendo se agrega al cálculo en el respectivo mes en que se paga.

Ahora, para el cálculo del retorno esperado (discreto y continuo) se toman los retornos mensuales, como muestra la tabla 1.2.

Tabla 1.2: Retornos mensuales de la acción de AAPL

De esta forma se encuentra el retorno esperado mensual discreto y continuo:

O el retorno esperado anual:

A partir de este resultado se debe alertar al lector de la inconsistencia del cálculo del retorno esperado anual discreto en el ejercicio de anualización de los resultados. Mientras que E(r)anual coincide con el cálculo aditivo de los retornos continuos mensuales (rt), es decir, que 0,2859 también se obtiene al sumar todos rt como muestra la ecuación (1.8), no sucede lo mismo con el retorno anual discreto. El cálculo del retorno discreto de 0,361 es diferente al resultado de aplicar la ecuación (1.3), ya que este daría como resultado un retorno total de 0,3308, no del 0,361. El lector puede validar este resultado.

1.1.2. Tasa de retorno del portafolio: Rp

El retorno del portafolio para un momento de tiempo t (RP,t) se obtiene como la combinación lineal de los retornos individuales para los n activos, teniendo en cuenta su peso o participación porcentual (wi), es decir, viene dado por:

Ejemplo 1.2

El inversionista tiene la posibilidad de invertir en un portafolio conformado por las acciones de AAPL y AMZN. Para el cálculo de los retornos esperados anuales se toma la información histórica con periodicidad mensual para los años 2010-2021. Para este periodo de análisis, se encuentra que el comportamiento del precio de ambas acciones que se muestran en la figura 1.1 y los retornos históricos se presentan mediante el histograma de frecuencias en la figura 1.2. De acuerdo con esta información histórica, las dos acciones tienen los siguientes retornos esperados:

Figura 1.1: Precios de AAPL y AMZN

Fuente: elaboración propia.

Figura 1.2: Histograma de los retornos

Fuente: elaboración propia.

El resultado anterior no representa, por ahora, una solución óptima de inversión. Sin embargo, se debe resaltar que para la construcción del portafolio se debe cumplir la restricción de asignación de los recursos disponibles en la inversión, la cual es equivalente a la suma total de los pesos de 1 0 100 %.

1.2. La medida de riesgo de los activos

La medida de riesgo de los activos fue introducida por Markowitz (1952)6. Para Markowitz, el riesgo de un activo se puede medir como la varianza de los retornos del activo o su raíz cuadrada que es la desviación estándar o volatilidad (σi)7. Esta definición fue adoptada bajo el supuesto de normalidad en los retornos, ya que la varianza mide la variabilidad en la distribución de los retornos alrededor de su valor esperado8. Es decir, el riesgo representa la medida de variabilidad alrededor de retorno esperado, como muestra la ecuación (1.15).

De forma análoga, esta medida de riesgo también puede ser representada por la desviación estándar.

Markowitz (1952) argumentó que esta medida de variabilidad es equivalente a la incertidumbre que hay sobre la inversión. Si un activo tiene una dispersión nula en sus retornos significa que no tiene riesgo.

Ejemplo 1.3

Para calcular el riesgo, medido como desviación estándar de las acciones de Apple (AAPL) y Amazon (AMZN), se toma la misma información del ejemplo 1.2. A partir de esta información, se obtienen las desviaciones estándar o volatilidades de las dos acciones:

1.3. La medida de riesgo del portafolio

Aunque Markowitz (1952) adoptó la misma definición de riesgo de los activos para el portafolio de inversión, se debe diferenciar el riesgo de un activo individual de la medida de riesgo del portafolio. Es decir, aunque la definición es equivalente su cálculo no lo es. Si se parte de la definición de la varianza, para el portafolio se tiene:

y, teniendo en cuenta que los pesos de los activos (w1 y w2) se encuentran en ambos términos, entonces de la ecuación (1.19) se obtiene la siguiente expresión:

Al aplicar las propiedades del valor esperado se obtiene:

Finalmente, retomando las definiciones de varianza para los activos y de su covarianza, que viene determinada por:

Se obtiene la varianza del portafolio:

Esta misma demostración puede extenderse para el caso de n activos. Así, por ejemplo, para un portafolio conformado por 3 activos, se obtiene:

La ecuación (1.24) se puede generalizar al tomar la sumatoria de los términos similares: i) aquellos que multiplican por las varianzas de los activos y, ii) aquellos que multiplican por las covarianzas de los activos. Por ejemplo, los tres primeros términos representan la parte cuadrática de la fórmula de varianza, que se puede expresar para n activos como mientras la segunda parte representa todas las posibles combinaciones en pares de pesos y covarianzas que puede expresarse como para todo i ≠ j. Por tanto, la fórmula general de la varianza puede expresarse como:

Finalmente, para efectos prácticos la ecuación (1.25) puede generalizarse aún más si se tiene en cuenta que las estimaciones de las varianzas y las covarianzas están contenidas en la misma matriz, donde las varianzas se encuentran en su diagonal, como la siguiente matriz de varianzas y covarianzas:

Sin embargo, para los términos de la diagonal se encuentra que y, por tanto, De esta forma, la varianza del portafolio puede expresarse como muestra la ecuación (1.26).

O de forma matricial

Donde: Σ es la matriz de covarianzas y w es el vector de pesos. Así, de forma general podemos referirnos a la medida de riesgo individual a partir de las covarianzas de los activos (σij).

Ejemplo 1.4

Para calcular el riesgo del portafolio, tanto su varianza como la desviación estándar, conformado por las acciones de Apple (AAPL) y Amazon (AMZN), se toman las desviaciones estándar de las dos acciones estimadas anteriormente:

1.4. Consideraciones sobre los parámetros estimados

Un supuesto importante del modelo de Markowitz es que el inversionista tiene conocimiento los parámetros de entrada al modelo del portafolio, es decir, tiene conocimiento de los retornos esperados de los activos (µ) y de su matriz de covarianzas (Σ). Sin embargo, en la práctica estos parámetros no se conocen y, por tanto, deben estimarse. En este sentido, el modelo de portafolio se alimenta de las estimaciones de los parámetros y , tal y como se mostró en los ejemplos anteriores.

El método más utilizado en la práctica comprende el uso de una muestra de datos históricos9. Por ejemplo, se pueden usar retornos mensuales de los activos para un período de tres, cinco o diez años. Aunque este método es el más simple y el más usado, implica asumir que el futuro será igual al pasado, lo cual no siempre es así e incorpora un sesgo enorme en los resultados, como afirman Black y Litterman (1992), Chopra y Ziemba (1993), Meucci (2005), entre otros. Esto puede traer serias implicaciones prácticas en el ejercicio de construcción del portafolio y en su evaluación de desempeño ex post o fuera de muestra. Por ejemplo, los portafolios óptimos pueden presentar una fuerte sensibilidad a estos parámetros estimados, como argumentan estos autores y como será discutido al final del libro. A pesar de esta limitación, el desarrollo de las dos primeras partes del libro estará basado en la estimación mediante el uso de datos históricos.

Por otra parte, los retornos de los activos también se pueden pronosticar mediante el uso de modelos de series de tiempo u otra técnica econométrica, o bien mediante el uso de métodos de previsión basados en las variables fundamentales del activo, como ratios financieros y demás características de las empresas emisoras de esos títulos. Estas variables, aunque serán abordadas más adelante, solo se tomarán como insumo para la estimación en los métodos robustos y bayesianos, y tienen como propósito actualizar o mejorar las estimaciones del modelo MV, al incorporar información adicional. Por ejemplo, esta es la principal característica del modelo Black-Litterman que será presentado en la tercera parte del libro, así como de los estimadores shrinkage.

Capítulo 2

Construcción de portafolios óptimos y el modelo MV

El análisis del modelo MV inicia con un inversionista que tiene que escoger un portafolio óptimo conformado n activos riesgosos, por ejemplo, acciones. Las acciones representan el conjunto de oportunidades de inversión disponible para el inversionista en el mercado de capitales. Cada activo i tiene asociado un peso wi que representa su peso o participación porcentual dentro del portafolio, tal que la suma total de todos ellos es 100 % o 1 como proporción.

y su varianza es:

Los términos en negrilla de la ecuación (2.3) representan las expresiones matriciales (vectores o matrices) en cada caso.

Ahora, teniendo en cuenta que formulación el problema del inversionista puede representarse como un problema de optimización con restricciones de igualdad, al asumir que los inversionistas son agentes racionales y que toman sus decisiones de inversión en el sentido MV, es decir, solo se preocupan por el retorno esperado y la medida de riesgo, el problema se puede representar como un problema de minimización de la varianza, como indica la ecuación (2.4).

Donde: µ0 en la primera restricción del problema representa una retorno dado del portafolio sobre el cual se obtiene la mínima varianza.

Por otra parte, del problema formulado en (2.4) se pueden resaltar dos aspectos: i) se trata de un problema de programación cuadrática (QP, por sus siglas en inglés) y, ii) como las dos restricciones son de igualdad, se puede obtener una solución analítica o única del problema2. Este desarrollo se muestra a continuación paso a paso, para lo cual se define el problema más simple con 2 activos y luego se generaliza para n activos.

2.1. Caso de dos activos

Los pesos óptimos del portafolio conformado por dos activos pueden obtenerse usando las técnicas estándar de optimización. Si la varianza del portafolio a minimizar está determinada por:

La derivada de la ecuación (2.6) es:

Al igualar la derivada a cero y despejar w, se obtiene:

Donde w representa el peso óptimo del activo 1, mientras que para el activo 2 la solución óptima es:

El ejemplo 2.1 ayuda a ilustrar esta solución para el caso de dos activos riesgosos.

Ejemplo 2.1

Considere un portafolio conformado por las acciones de Apple (AAPL) y Amazon (AMZN). Al tomar la misma información histórica con periodicidad mensual del ejemplo 1.2 se tienen los siguientes parámetros.

E(Ri)

σi

AAPL

0,2762

0,2645

AMZN

0,2675

0,2737

Como resultado, el portafolio óptimo está conformado por un mayor peso de AAPL con 0,5294, mientras que AMZN representa el 0,4706. Este resultado se debe principalmente a la menor desviación estándar de APPL (0,2645), es decir, el menor riesgo que representa este activo en el portafolio. Ahora bien, al tomar los pesos óptimos de las dos acciones se encuentra que el retorno esperado (E(RP)) y la desviación estándar del portafolio (σP) son:

Este resultado muestra que el nivel de riesgo total del portafolio óptimo (de mínima varianza) es incluso inferior al activo menos riesgoso, lo que confirma el efecto diversificación señalado por Markowitz, como se muestra en la figura 2.1. Donde el punto P representa la ubicación riesgo-retorno del portafolio óptimo, es decir, de menor varianza. A continuación, se presentan más detalles sobre el efecto diversificación.

Figura 2.1: Efecto diversificación

Fuente: elaboración propia.

2.2. El efecto de diversificación

Markowitz (1952) reconoció que la selección de un portafolio óptimo de inversión involucra un tipo adecuado de diversificación que permite reducir el riesgo sin sacrificar su retorno esperado. Esta diversificación de Markowitz requiere combinar activos con correlaciones menores a 1 (ρ < 1), aunque cuanto más bajas sean las correlaciones menos riesgoso será el portafolio resultante3