Matemática básica para administradores E-Book

Agustín Curo Cubas

• Herausgeber: Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
• Kategorie: Fachliteratur
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2017

Beschreibung

Este libro es una guía teórico-práctica que permite al estudiante de administración y carreras afines entender los conceptos sobre los que se fundamenta cada tema y aplicarlos a sus análisis administrativos. Para ello, además de una breve explicación teórica, en cada tema se presentan ejemplos resueltos y luego por resolver para fijar el aprendizaje. Finalmente, se cierra cada unidad con una serie de ejercicios aplicados. Esta obra es producto de la experiencia obtenida a lo largo de varios años en la coordinación y dictado de los cursos de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas como Nivelación de Matemáticas, Lógica Matemática y, principalmente, Matemática Básica para Administradores. Asimismo, está complementado con los aportes y problemas propuestos por la mayoría de los profesores de estos cursos. Se trata entonces de una publicación útil y práctica para administradores, estudiantes y profesores.

Leseprobe

© Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)

Tercera publicación: agosto de 2016

Corrección de estilo:

Jessica Vivanco L. / André Maguiña

Diseño de cubierta:

Christian Castañeda

Diagramación:

Diana Patrón Miñán

Editor del proyecto editorial

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas S. A. C.

Av. Alonso de Molina 1611, Lima 33 (Perú)

Teléf: 313-3333

www.upc.edu.pe

Primera edición: marzo de 2013

Segunda edición: julio de 2014

Tercera edición: agosto de 2016

Versión ebook 2016

Digitalizado y Distribuido por Saxo.com Perú S.A.C.

https://yopublico.saxo.com/

Telf: 51 1 221 9998

Dirección: Calle Dos de Mayo 534 Of. 304, Miraflores

Lima-Perú

BIBLIOTECA NACIONAL DEL PERÚCentro Bibliográfico Nacional

510.711 Curo, Agustín, 1963-

C97 Matemática básica para administradores / Agustín Curo Cubas y Mihály

2016 Martínez Miraval.-- 3a ed.-- Lima : UPC, 2016 (Lima : Gráfica Biblos).

522 p. ; 21 cm.

D.L. 2016-09663

ISBN de la versión impresa: 978-162-318-056-0

ISBN de la versión PDF: 978-612-318-066-9

ISBN de la versión e-pub y mobi: 978-612-318-065-2

1. Matemáticas – Estudio y enseñanza (Educación superior) 2. Matemáticas – Problemas, ejercicios, etc. 3. Ecuaciones – Problemas, ejercicios, etc. I. Martínez, Mihály, 1977- II. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas III. Título

BNP: 2016-137

Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, ni en todo ni en parte, ni registrada en o transmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, sin el permiso previo, por escrito, de la editorial.

El contenido de este libro es responsabilidad de los autores y no refleja necesariamente la opinión de los editores.

Contenido

Prólogo

Introducción

Unidad 1: Introducción a la lógica

1.1. Lógica proposicional

1.2. Análisis de argumentos

1.3. Estrategias y resolución de problemas

1.4. Conjunto de los números reales. Ecuaciones

1.5. Ecuación de segundo grado. Ecuación polinómica

1.6. Ecuaciones racionales e irracionales reducibles a ecuaciones de primer y segundo grado

1.7. Aplicaciones de ecuaciones de primer y segundo grado

1.8. Logaritmos

1.9. Aplicaciones de las exponenciales y logaritmos al interés compuesto

1.10. Sistema de ecuaciones de dos variables

1.11. Intervalos e inecuaciones de primer grado

1.12. Inecuaciones polinomiales y racionales

Unidad 2: Matrices

2.1. Definición. Tipos y operaciones básicas

2.2. Aplicaciones de operaciones con matrices

2.3. Sistema de ecuaciones lineales. Determinantes y la regla de Cramer

2.4. Sistema de ecuaciones lineales. Método de reducción de matrices

2.5. Aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales

Unidad 3: Gráfica de ecuaciones en el plano

3.1. Sistema de coordenadas rectangulares

3.2. Ecuación de la recta

3.3. Aplicaciones de rectas

3.4. Desigualdades en dos variables

3.5. Programación lineal

Unidad 4: Funciones reales de variable real

4.1. Funciones

4.2. Gráfica de funciones

4.3. Lectura de gráficas

4.4. Transformaciones gráficas de funciones

4.5. Aplicaciones de la función lineal y las transformaciones de gráficas

4.6. Función cuadrática

4.7. Función polinomial

4.8. Aplicaciones de funciones polinomiales. Optimización

4.9. Ajuste de curvas

4.10. Razón de cambio promedio, variación porcentual y aplicaciones

4.11. Aplicaciones: Elasticidad, precio de la demanda

4.12. Operaciones con funciones

4.13. Composición de funciones

4.14. Aplicaciones de las operaciones con funciones

4.15. Función inversa. Relación implícita

4.16. Aplicaciones de la función inversa y la relación implícita

Unidad 5: Función exponencial y logarítmica

5.1. Función exponencial

5.2. Función logarítmica

5.3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

5.4. Aplicaciones de funciones exponenciales

Respuestas

Bibliografía

Otros títulos publicados por Editorial UPC

Enfoque práctico de la teoría de robots. Con aplicaciones en Matlab Enrique Arnaez Braschi

Enfoque práctico del control moderno. Con aplicaciones en Matlab Enrique Arnaez Braschi

Física mecánica. Nivelación para estudiantes universitarios Lily Arrascue Córdova

Avances en Neurociencias: Neuropéptidos Investigación básica y clínica Rafael Coveñas y Luis Aguilar

Encuentre más publicaciones de Editorial UPC, en versión impresa y digital, ingresando a: www.upc.edu.pe/editorialupcVisite la página de Facebook Editorial UPC: www.facebook.com/editorialupc

Prólogo

Matemática básica para administradores es un libro que se enfoca en desarrollar una forma diferente de enseñar el curso inicial de Matemática a los futuros administradores. En este libro, los autores ponen en práctica la innovadora idea que tienen para hacer que los alumnos participen de manera activa en el desarrollo de las clases.

La gran dificultad de los estudiantes en el aprendizaje de la matemática a nivel universitario es el reto más importante con el que los profesores deben actualmente lidiar. ¿Por qué los alumnos tienen tanta dificultad para aprender matemática a nivel universitario? Esta es la gran pregunta que los docentes han tratado de responder desde hace mucho tiempo. Este libro no espera dar respuesta a esta pregunta, sino que plantea una solución y esta es que el alumno sea un participante activo de su propio aprendizaje, interiorizando la filosofía educativa de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC).

Los profesores Agustín Curo y Mihály Martínez han logrado plasmar en este libro toda su experiencia en la docencia universitaria y—con el apoyo de todos aquellos profesores que de una u otra forma colaboraron con la maduración del curso que se dicta en la UPC—han logrado redondear un conjunto de ejercicios que muestran toda su intención de que el estudiante logre obtener los resultados esperados. Todos los profesores que han dictado el curso de Matemática Básica para Administración se han desatacado por su preocupación constante en el nivel de aprendizaje que deben lograr los estudiantes de las carreras de Administración y, a través de una metodología participativa, han sido capaces de atraer la atención de los alumnos en la resolución de problemas de matemática.

El presente libro es una prueba de lo importante que es hacer participar al estudiante en su propio proceso de aprendizaje. Los profesores Curo y Martínez, a través de ejercicios y problemas, logran captar la atención de sus alumnos y así desarrollar una técnica de enseñanza que obtiene mejores resultados a medida que el estudiante se identifica con la necesidad de su propio involucramiento en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Matemática básica para administradores es un libro que brindará a los estudiantes una herramienta muy positiva para incrementar los resultados que puedan lograr en el curso. Sin duda alguna, este libro será fundamental para mejorar los resultados hasta hoy obtenidos tanto dentro como fuera de la UPC.

Fernando SoteloDirector del Área de CienciasUniversidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Introducción

La presente obra tiene por objetivo ayudar al alumno en su camino al aprendizaje de la matemática básica. Los contenidos que la conforman son los que normalmente se desarrollan en un primer curso para los estudiantes de Administración y Negocios, y van desde una introducción a la lógica de proposiciones y análisis de argumentos, transitando por el álgebra elemental y las matrices, hasta las funciones reales de variable real, concluyendo con las funciones exponenciales y logarítmicas. Esperamos que le sea útil al autor no solo como un manual de ejercicios, sino como una guía teórico práctica que le permita entender los conceptos sobre los que se fundamenta cada tema y aplicar lo aprendido a sus análisis administrativos.

Todos los temas tratados aquí tienen una estructura similar de aprendizaje que consta de tres partes muy marcadas e importantes: la base teórica, el cálculo algebraico y geométrico, y la modelación y resolución de problemas de situaciones del contexto real en el ámbito de administración.

Una de las piezas fundamentales de nuestra obra es la base teórica sobre la que descansa cada tema tratado. En ella, aunque de manera breve, se justifican los procedimientos realizados para la obtención de resultados; el análisis de los errores cometidos; el porqué de las operaciones realizadas, de la discriminación de soluciones, de la interpretación de resultados; etcétera.

Otra parte elemental de nuestra obra es la referida al cálculo algebraico y al geométrico. Los diversos ejemplos planteados en el libro permiten realizar operaciones elementales que poco a poco irán desarrollando la destreza en el cálculo. Los ejemplos planteados no se han concebido bajo la idea de aumentar la complejidad de ellos de modo abstracto, sino de crear ejemplos que al resolverlos desarrollen diferentes tipos de razonamientos que involucren el conocimiento de otros conceptos, para así evitar cálculos engorrosos. El cálculo algebraico, debido a su amplitud, permite encontrar diferentes caminos y procedimientos para obtener una solución, pero enfocar dicho cálculo bajo un aspecto geométrico genera otro tipo de habilidades sumamente importantes, sobre todo, referidas a la interpretación. Por ejemplo, plantear una ecuación lineal en dos variables cobra vida cuando se le asocia a la gráfica de una recta en el plano y, eso no es todo, al enfocar la gráfica de la recta como una función lineal se pueden apreciar visualmente sus diferentes características. En este libro se presentan distintos métodos de graficación y de interpretación gráfica, de modo que constantemente se puede transitar entre diferentes registros de representación, lo que permitirá a los lectores una mejor aprehensión de la información en cada tema tratado.

La modelación de problemas de situaciones reales en el ámbito de administración es también uno de los aportes de este libro de trabajo. Se han adaptado en el libro todos los temas matemáticos, de naturaleza abstracta, a situaciones del contexto real. Los problemas de modelación planteados utilizan conceptos estudiados en los cursos de las carreras de Administración y Negocios. Entre ellos destacan los conceptos de costos, ingresos, utilidades, oferta, demanda, impuestos, elasticidad, etc. La riqueza de estos problemas se basa en poder aplicar la matemática a situaciones reales en las cuales se entrelacen la teoría matemática, el enfoque algebraico, la interpretación gráfica y los conceptos administrativos, siendo el principal objetivo que los lectores analicen situaciones y basen sus resultados dentro del dominio de la matemática.

Matemática básica para administradores Muchos de los temas aquí desarrollados siguen una secuencia lógica que se puede encontrar en cualquier otro texto de la misma naturaleza, sin embargo, en algunos temas se ha creído conveniente cambiar el orden sin alterar el orden lógico de los mismos. Por ejemplo, el tema de determinantes y la regla de Cramer se presenta antes del desarrollo de sistemas de ecuaciones lineales (SEA) por el método de la eliminación de Gauss. Esto tiene una explicación, la regla de Cramer solo resuelve cierto tipo de sistemas de ecuaciones lineales mientras que el método de eliminación Gauss resuelve todos estos sistemas.

Por otro lado, se han incorporado al inicio algunos aspectos fundamentales de la lógica que ayudarán al estudiante a entender los conectivos lógicos más usados y sus valores de verdad para obtener proposiciones equivalentes, y las reglas básicas de inferencia lógica para utilizarlas adecuadamente a entender la lectura de un problema, analizar argumentos y hacer conclusiones válidas a partir de ciertas premisas.

La forma como se presentan los contenidos de cada tema y el modo de guiar a los lectores en la resolución de los ejemplos y de los problemas planteados son fruto de los estudios, experiencia, reuniones constantes de discusión e intercambio de ideas de los autores; es también consecuencia de los diálogos y críticas constructivas de los docentes del curso de Matemática Básica para administradores de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas, así como de los materiales de clase desarrollados por ellos y por los autores. Todo esto permitió desarrollar un libro de matemática que escapa del tradicional libro teórico y aplicativo.

Características pedagógicas

En cada sección se ha tratado de incorporar, en la medida de lo posible, el modelo pedagógico de la Universidad, que es el modelo MATE: motivación, adquisición, transferencia y evaluación. En las definiciones y en cada explicación de conceptos, resolución de ejemplos y problemas, se ha hecho un esfuerzo por utilizar un lenguaje sencillo cercano al estudiante, justificando cada paso, incorporando métodos constructivos y reflexivos en el aprendizaje. Los ejemplos están presentados en orden creciente de dificultad y variados. Se destaca en la obra la forma como se estructuran los problemas. Cada tema empieza con un ejemplo desarrollado en el que se explican los conceptos involucrados en la resolución; luego, se plantea otro ejemplo en el que el lector va siendo guiado por el mismo libro en su desarrollo. El objetivo es que el estudiante aprenda a resolver ejemplos de forma ordenada, racional y que, en ese proceso, sienta un libro amigable que promueva el aprendizaje autónomo. En la mayor parte de la obra, se ha tratado de cerrar un bloque con una sección de aplicaciones.

En esta tercera edición, se han incorporado algunos ejemplos y actividades colaborativas. Además, esta edición cuenta con una sección dedicada a ajuste de curvas y cada unidad cuenta con un texto introductorio.

Reconocimientos

Deseamos expresar nuestro agradecimiento a los siguientes profesores con quienes compartimos el dictado del curso de Matemática Básica (ADM) de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas en estos últimos años y que aportaron con sus comentarios, críticas constructivas, y en la resolución y comprobación de soluciones de los ejercicios que han sido valiosos en el desarrollo del curso: Edith Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Giovanna Arce Cortez, Luis Leoncio Barboza Carape, Mónica Luz Cabrera Ortega, Raúl Chávez Aquino, Reynaldo Hugo Cortez Zevallos, Alejandro Wálter de la Cruz Sánchez, Gloria Angélica Elena Espinoza Colán de Herrera, Jairo Yamil Esquivel Ortiz, Luis Demetrio Fernández Basaldua, Marie Cosette Girón Suazo, Magna Julia Guerrero Celis, Jorge Luis Guzmán Aguilar, Juan Guillermo Herrera García, Nelly Kau Kau, Johnny Alberto Malaver Ortega, David Alberto Maldonado Carrasco, Hortensia Mamani Cosco, Renzo Patricio Mere Donayre, Fernando Damián Montesinos Andreses, Armando Alfredo Novoa Allagual, Eduardo Ortiz Chauca, Aldrín Ethel Peña Lizano, Erick Jozsef Pozsgai Hernani, Jorge Humberto Prado Linares, Óscar Reynaga Alarcón, Claudio Felipe Ríos Ibarra, Juan de Dios Saavedra Farfán, David Sáenz López, Jorge Raul Silva Santisteban Chero, Ángel Felipe Soto Valdivia, Mario Saúl Tiza Domínguez, Alberto Uchasara Quispe, Carlos Eleodoro Valencia Segura, Cecilia Lina Vidal Castro y Edwin Villogas Hinostroza.

Queremos agradecer también a nuestros revisores Marie Cosette Girón Suazo, Erick Jozsef Pozsgai Hernani y Héctor Viale Tudela, por sus contribuciones en esta obra. Un agradecimiento muy especial a los profesores Gloria Angélica Elena Espinoza Colán de Herrera y Juan Guillermo Herrera García, quienes desde un inicio estuvieron apoyándonos y colaborando de manera muy estrecha disponiendo de su valioso tiempo; al profesor Jorge Luis Guzmán Aguilar por su importante aporte en las secciones de Lógica y al profesor Erick Jozsef Pozsgai Hernani por su revisión minuciosa y sugerencias detalladas.

Finalmente, queremos agradecer a Fernando Sotelo Raffo, director del Área de Ciencias de la Universidad, por su confianza y la oportunidad de hacer realidad esta obra, asimismo, agradecemos a los colegas profesores a tiempo completo de Matemática del Área de Ciencias por su apoyo.

Unidad 1: Introducción a la lógica

Entre los historiadores de la lógica se otorga a Aristóteles, por tradición, el título de padre de esta disciplina.

Aristóteles nació en Estagira (actual Stavros), Macedonia, hacia los años 386, 385 o 384 a. C. Aristóteles fue discípulo de Platón y de otros pensadores como Eudoxo durante los veinte años que estuvo en la Academia.

Aristóteles

Los tratados de lógica de Aristóteles (384-332 a. C.), conocidos como Organón, contienen el primer tratamiento sistemático de las leyes de pensamiento en relación con la adquisición de conocimiento.

Estos tratados representan el primer intento de establecer a la lógica como ciencia. Aristóteles da una clasificación de todos los conceptos o nociones (sustancias, cantidad, relación, acción, pasión, diferencia, propiedad y accidente) y trata las reglas del razonamiento silogístico.

En palabras de Descartes «el silogismo es una forma de razonamiento deductivo que puede aplicarse siempre que se disponga de una verdad general, esto es, de una premisa mayor. Consta, en efecto, de dos premisas: una mayor—que enuncia el principio general—y una menor—que se refiere al caso particular incluido en el principio general—. De ambas premisas se extrae una conclusión, que es la nueva verdad que interesa. Repitamos una vez más el ejemplo ofrecido por Aristóteles: ‘Todos los hombres son mortales’ (premisa mayor, que enuncia el principio general); ‘Sócrates es hombre’ (premisa menor); ‘Sócrates el mortal’ (conclusión). Sin la premisa mayor no es posible construir un silogismo» (Descartes 2011: 15-16).

Según Kant, «la lógica ha llevado ya esa marcha segura desde los tiempos más remotos, puede colegirse, por el hecho de que, desde Aristóteles, no ha tenido que dar un paso atrás a no ser que se cuenten como correcciones la supresión de algunas sutilezas inútiles o la determinación más clara de lo expuesto, cosa empero que pertenece más a la elegancia que a la certeza de la ciencia. Notable es también en ella el que tampoco hasta ahora hoy ha podido dar un paso adelante. Así pues, según toda apariencia, hállase conclusa y perfecta» (Kant 2003: 7).

Referencias bibliográficas

DESCARTES, René (2011) Discurso del método. 3a ed. Madrid: Alianza Editorial.

KANT, Immanuel (2003) Crítica a la razón pura (consulta: 21 de junio de 2016) (http://www.biblioteca.org.ar/libros/89799.pdf).

El estudio de la lógica de proposiciones ha venido a menos en estos últimos tiempos. En las escasas oportunidades en que se desarrolla, se realiza enfatizando en la parte algebraica de la determinación de valores de verdad o simplificando expresiones proposicionales complejas. Poco se detiene en el estudio reflexivo de los conectivos lógicos, las expresiones proposicionales equivalentes, la aplicacción correcta de las reglas de inferencia. Por ejemplo, sean las siguientes expresiones:

• No es cierto que voy a la biblioteca o a la cafetería.

• No voy a la biblioteca o no voy a la cafetería.

¿Son equivalentes estas expresiones? En esta sección se hace un estudio elemental de las proposiciones, los conectivos y sus valores de verdad, y las proposiciones equivalentes.

1.1. Lógica proposicional

Un enunciado es toda frase u oración que se utiliza en el lenguaje común. Algunos enunciados son afirmaciones, órdenes, interrogaciones, exclamaciones, etcétera.

Ejemplo 1

a. La UPC tiene más de 15 000 estudiantes.

b. ¡Feliz aniversario!

c. La tolerancia para ingresar al aula de clase en la universidad es de 15 minutos.

d. ¿Cuál es la nota mínima para aprobar un curso en la universidad?

e. Prohibido fumar en clase.

f. Esta proposición es falsa.

Una proposición es un enunciado que puede ser calificado, o bien como verdadero o bien como falso, pero no ambos a la vez.

Ejemplo 2

a. La inflación del Perú en el año 2011 fue menor al 3%.

b. Ya se firmó el TLC entre Perú y Japón.

c. La economía se divide en microeconomía y macroeconomía.

d. Hoy estudio para el examen de Matemática y escucho música instrumental.

e. Voy a la biblioteca o a la cafetería.

f. Si el precio del producto es mayor al precio de equilibrio, entonces hay exceso de oferta.

Ejemplo 3

Indique con un check los enunciados que sean proposiciones:

a. ¿Usted habla italiano?

__________

b. Prohibido fumar en lugares públicos como este.

__________

c. Toda ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales.

__________

d. La captura del terrorista Abimael Guzmán fue en el año 2000.

__________

e. A quien madruga Dios le ayuda.

__________

f. Dios es misericordioso.

__________

g. En un monopolio, los precios de los artículos suben.

__________

h. El PBI crecerá 5,4% durante el periodo 2011-2012.

__________

i. Esta proposición es falsa.

__________

Las proposiciones simples son aquellas que tienen un solo componente, es decir, no se pueden separar en dos proposiciones. Se les denota con las letras minúsculas p, q, r, etcétera. A la verdad (V) o falsedad (F) de la proposición se le llama valor de verdad.

Por ejemplo, las proposiciones:

a. La inflación del Perú en el año 2011 fue menor al 3%.

b. Ya se firmó el TLC entre Perú y Japón.

c. La economía se divide en microeconomía y macroeconomía.

son simples, ya que expresan una sola idea. A estas proposiciones se les puede simbolizar así:

p: La inflación del Perú en el año 2011 fue menor al 3%

q: Ya se firmó el TLC entre Perú y Japón.

r: La economía se divide en microeconomía y macroeconomía.

Una proposición compuesta es aquella que está formada por dos o más proposiciones simples, llamadas componentes de la proposición compuesta. Estas proposiciones simples están unidas o relacionadas por no, y, o, si..., entonces…, etcétera, llamados conectivos o conectores.

Por ejemplo, las siguientes proposiciones:

a. Hoy estudio para el examen de Matemática y escucho música instrumental.

b. Voy a la biblioteca o a la cafetería.

c. Si el precio del producto es mayor al precio de equilibrio, entonces hay exceso de oferta.

están formadas por dos proposiciones simples, la primera: «Hoy estudio para el examen de Matemática» y «hoy escucho música instrumental», separadas por el conector y; la segunda: «Voy a la biblioteca» o «voy a la cafetería», separadas por el conector o; la tercera: Si «el precio del producto es mayor al precio de equilibrio», entonces «hay exceso de oferta», separadas por el conector entonces.

Sin embargo, existen proposiciones que dan la impresión de ser compuestas, pero no lo son, porque no se pueden separar en dos proposiciones simples, tal es el caso de la siguiente proposición:

Alicia y Juan son hermanos.

Ahora considere la proposición «El promedio ponderado de mis cursos es mayor que 15». La negación se obtiene intercalando la palabra no o anteponiendo la expresión no es cierto que en la proposición, así:

«El promedio ponderado de mis cursos no es mayor que 15», o

No es cierto que el promedio ponderado de mis cursos es mayor que 15».

La negación de una proposición verdadera es falsa y la negación de una proposición falsa es verdadera.

Conectivos lógicos

Para simplificar el estudio de las proposiciones lógicas, se utilizan símbolos para los conectivos lógicos, los cuales se muestran en la tabla:

Formalización de proposiciones lógicas

Es el procedimiento mediante el cual se identifican proposiciones simples y conectivos lógicos que se enlazan formando fórmulas organizadas con signos de agrupación.

Ejemplo 4

Sean las proposiciones:

p: Voy a la biblioteca.

q: Voy a la cafetería.

Formalice las siguientes proposiciones:

a. Voy a la biblioteca o voy la cafetería.

p v q

b. Voy a la biblioteca y voy a la cafetería.

c. Si voy a la biblioteca, entonces voy a la cafetería.

d. No voy a la biblioteca.

e. O voy a la biblioteca o voy a la cafetería.

f. Voy a la biblioteca si y solo si voy a la cafetería.

A continuación, se presenta una tabla con algunos términos del lenguaje natural que designan conectivos equivalentes a los mencionados anteriormente.

Proposición

Término

Formalización

Negación

No pEs absurdo que pEs falso que p

~p

Conjunción

p pero qp aunque qp sin embargo qp y q

p ∧ q

Disyunción inclusiva (Débil)

p a menos que qp salvo que qp excepto qp o q

p ∨ q

Disyunción exclusiva (Fuerte)

O p o qp o solamente qp o únicamente q

p ∆ q

Condicional

p entonces qSi p, qp implica qp por lo tanto qp es suficiente para qq si pq porque pq es necesaria para p

p → q

Bicondicional

p si y solo si qp siempre y cuando qp equivale a q

p ↔ q

Ejemplo 5

Formalice las siguientes proposiciones:

a. La utilidad marginal es positiva, pero disminuye conforme aumenta el consumo.

Simbolizando cada proposición simple se tiene:

p: La utilidad marginal es positiva.

q: La utilidad marginal disminuye conforme aumenta el consumo.

Formalización: p ∧ q

b. Cuando aumenta el precio de un bien, disminuye la cantidad demandada del mismo.

c. La utilidad total aumenta a menos que aumente el costo fijo.

d. El costo promedio disminuye salvo que el nivel de producción no aumente.

e. Subió el precio de las verduras porque subió la gasolina.

f. No es cierto que hoy es martes y hay reunión de coordinación de curso.

g. Si voy a la clase o solamente a la biblioteca, implica que no iré al cine.

h. Cuando la demanda aumenta y la oferta disminuye, el precio de equilibrio baja.

i. No es cierto que suba el precio del pan porque suba el precio de la gasolina, salvo que el gobierno no pueda controlar la inflación.

Valores de verdad de las proposiciones

Sobre la base de los valores de verdad de las proposiciones simples, se determinan los valores de verdad de las proposiciones compuestas.

Ejemplo 6

Dadas las proposiciones p, q verdaderas y r falsa, para determinar el valor de verdad de la proposición compuesta (p → ∼ q) ↔ (∼p ∨ r) procedemos el análisis de la siguiente manera:

Como p es V y ∼ q es F, entonces p → ∼ q) es F. Ahora, ∼p es F y r es F, entonces (∼ p ∨ r) es F.

Por lo tanto, el bicondicional de dos proposiciones falsas (p → ∼ q) y (∼ p ∨ r) resulta V.

Ejemplo 7

Dadas las proposiciones p, q y r falsas, determine el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta:

(∼p → ∼q) ∆ (∼r → q)

Ejemplo 8

Para hallar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r, si se sabe que es falsa la siguiente proposición compuesta:

(p ∨ r) →∼(∼ p ∧ q)

debemos identificar el conectivo principal, que es el condicional →. Por lo tanto:

• Si la proposición (p ∨ r) → ∼(∼ p ∧ q) es F, entonces (p ∨ r) es V y ∼(∼p ∧ q) es F.

• Luego, (∼ p ∨ q) es V, por lo tanto, ∼p es V y q es V. Así p es F.

• Como (p ∨ r) es V, donde p es F, se tiene que r es V.

• En conclusión, p es F, q es V y r es V.

Ejemplo 9

Halle el valor de verdad de las proposiciones p, q y r, si se sabe que la siguiente proposición compuesta es verdadera:

p ∧ ∼ [(r ↔ ∼ p) ∨ ∼ q]

Ejemplo 10

Halle el valor de verdad de las proposiciones p, q y r, si se sabe que la siguiente proposición es falsa:

(∼ p ∨ q) ∨ (∼ r → ∼ p)

Ejemplo 11

Considere la siguiente proposición:

«Si la demanda de un bien aumenta, entonces el precio del bien aumentará; salvo que, si la crisis económica continúa, entonces habrá más pobreza».

a. Formalice la proposición compuesta.

b. Analice el valor de verdad de la proposición, asumiendo que todas las proposiciones simples son verdaderas.

c. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición si la demanda del bien no aumenta y no hay más pobreza?

d. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición si la crisis no continúa ni el precio del bien aumenta?

Ejercicios 1.1

1. Determine qué enunciados son proposiciones. Luego, clasifíquelas como simples o compuestas y formalice.

a. El pisco es peruano.

b. Prohibido fumar en lugares públicos como este.

c. 3 + 5 > 7

d. Alemania y China son potencias económicas.

e. Estados Unidos y México son países fronterizos.

f. Es falso que Arequipa sea un país y Cuzco su capital.

g. La familia promueve el bienestar, aunque también la prosperidad de todos sus miembros.

h. Seré un profesional de éxito porque estudio en esta universidad.

i. Si la carne de avestruz es cara, su crianza no tiene razón de ser.

j. El que tengamos un amplio intercambio comercial con Europa conlleva a que nos afecte su crisis financiera.

k. En la medida que estudies, triunfarás.

l. Es falso que si la importación afecta la inversión interna, el crecimiento poblacional afectará al PBI.

m. La jalea real es el alimento especial de las abejas reinas o solo de las obreras.

2. Suponga que p y r son falsas y q es verdadera. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. (∼ p ∧ ∼ q) → (p ∧ ∼ r)

b. (p → ∼ q) → (∼ p ∧ ∼ r)

c. (p → ∼ q) ∨ (p → r)

3. Si (∼ p ∧ ∼ q) es verdadera, halle el valor de verdad de [(p ∨ ∼ q) → (∼ p ∨ q)]

4. Halle el valor de verdad de las proposiciones p, q, r y s, sabiendo que:

a. [r ∨ p) ∧ ∼ q] → p es falsa

b. [(s ∧ p] ∨ [(p → q) ∨ ∼ r] es falsa

5. ¿Se puede afirmar que la proposición [(∼ p ∨ ∼ q) ∧p] → ∼q siempre es verdadera?

6. Considere la siguiente proposición:«Si el salario mínimo aumenta, entonces habría más desempleo de los obreros menos calificados.Sin embargo, si la población tuviera mejores ingresos, entonces consumiría más bienes».

a. Identifique las variables y formalice mediante un lenguaje simbólico.

b. Suponga que el salario mínimo no aumenta, la población no incrementa sus ingresos y que las demás proposiciones simples son verdaderas. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición compuesta?

c. Si la proposición compuesta es verdadera, y el primer antecedente y el segundo consecuente son falsos, halle los posibles valores de verdad de las demás proposiciones simples.

1.2. Análisis de argumentos

Suponga la siguiente situación:

Hoy en la mañana, le dije a mi novia que mi jefe me había convocado a una reunión, seguramente, para aumentarme el sueldo.

Le hice la siguiente promesa: «Si me suben el sueldo, entonces me caso contigo». Ella, feliz e ilusionada, espera noticias en la noche. Desafortunadamente, al llegar a su casa, le dije: «No me subieron el sueldo».

Usted, ¿qué puede concluir de esto? ¿Significa que no me voy a casar con ella?

En esta sección se observarán algunas reglas básicas de inferencia lógica que permitirán analizar argumentos y hacer inferencias válidas.

Cuantificadores

A menudo se encuentran enunciados con palabras o expresiones que indican cantidad. Las palabras todos, cada uno, ninguno se denominan cuantificadores universales y las expresiones existe, algunos, hay al menos uno se llaman cuantificadores existenciales.

Por ejemplo, considere la proposición: Todos los estudiantes de Ciencias son extrovertidos. La negación se escribiría así: «No todos los estudiantes de Ciencias son extrovertidos», o lo que es lo mismo decir: «Existen algunos estudiantes de Ciencias que no son extrovertidos».

Ahora, considere la proposición: Algunas preguntas del examen son difíciles. La negación se escribiría así: «No es cierto que algunas preguntas del examen son difíciles», o lo que es lo mismo decir: «Todas las preguntas del examen no son difíciles».

Como se observa, la negación de un cuantificador universal es el cuantificador existencial y la negación de un cuantificador existencial es el cuantificador universal.

Proposiciones equivalentes

Dos proposiciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad para todas las situaciones posibles. Si p y q son las proposiciones equivalentes, se simboliza p ≅ q.

Ejemplo 1

Se demuestra que p → q ≅ ∼ q → ∼ p utilizando la tabla de verdad.

p q

p → q

∼q → ∼p

V V

V

F V F

V F

F

V F F

F V

V

F V V

F F

F

V V V

Ejemplo 2

Determine que:

a. ∼ (p ∨ q) ≅ ∼ p ∧ ∼ q

b. ∼ (p ∧ q) ≅ ∼ p ∨ ∼ q

p q

∼(p ∨ q)

∼p ∧ ∼q

V V

V F

F V

F F

p q

∼(p ∧ q)

∼p ∨ ∼q

V V

V F

F V

F F

Resumiendo, se tienen las siguientes equivalencias:

i.p → q ≅ ∼ q → ∼ p

ii. ∼(p ∨ q) ≅ ∼ p ∧ ∼ q

iii. ∼(p ∧ q) ≅ ∼ p ∨ ∼ q

Ejemplo 3

Escriba de manera equivalente las siguientes proposiciones:

a. Si la crisis económica continúa, entonces habrá más pobreza.

Formalizando:

p: La crisis económica continúa.

q: Habrá más pobreza.

Se tiene que p → q ≅ ∼ q → ∼ p. Entonces, escribimos de manera equivalente:

«Si no habrá más pobreza, entonces la crisis económica no continúa».

b. No es cierto que voy a la biblioteca o a la cafetería.

Formalizando:

p: Voy a la biblioteca.

q: Voy a la cafetería.

Se tiene que ∼(p ∨q) ≅ ∼ p ∧ ∼ q. Entonces, escribimos de manera equivalente:

«No voy a la biblioteca ni a la cafetería».

Ejemplo 4

Escriba de manera equivalente las siguientes proposiciones:

a. Cuando aumenta el precio de un bien, disminuye la cantidad demandada del mismo.

b. No es cierto que la utilidad total aumenta a menos que aumente el costo fijo.

c. Hoy no es martes y no hay reunión de coordinación del curso.

Inferencia lógica

Un argumento lógico es un juicio, en el que a partir de una serie de proposiciones llamadas premisas (leyes, reglas, suposiciones, etcétera), se llega a una proposición llamada conclusión. Cuando se razona a partir de las premisas de un argumento para obtener una conclusión, se pretende que el argumento sea válido.

Los siguientes ejemplos muestran algunos argumentos. (La premisa está sobre la línea horizontal y la conclusión, debajo).

a. Si el sábado hay examen, entonces hoy empiezo a estudiar.

El sábado hay examen.

∴ Hoy empiezo a estudiar.

b. Si me suben el sueldo, me caso contigo.

No me subieron el sueldo.

∴ No me caso contigo.

Cuando la conclusión y las premisas son verdaderas, un argumento es válido. Un argumento no válido es una falacia.

A continuación, se describen algunas formas de razonamiento más comúnmente empleadas, llamadas reglas de inferencia.

1. Modus ponendo ponens (MPP)

Por ejemplo, considere las dos siguientes premisas:

Si el Estado incrementa los sueldos, la población demandará más de los bienes.

El Estado incrementa los sueldos.

Para determinar una conclusión válida, se formalizarán las premisas. Sea p «El Estado incrementa los sueldos» y sea q «La población demandará más de los bienes». Las premisas pueden escribirse simbólicamente:

Según la regla MPP, se escribe la concusión válida «La población demandará más de los bienes».

2. Modus tollendo tollens (MTT)

Por ejemplo, considere las dos siguientes premisas:

Si me suben el sueldo, me caso contigo.

No me caso contigo.

Para determinar una conclusión válida, se formalizarán las premisas. Sea p «Me suben el sueldo» y sea q «Me caso contigo». Las premisas pueden escribirse simbólicamente:

Según la regla MTT, se escribe la conclusión válida – p «No me suben el sueldo».

3. Silogismo hipotético puro (SHP)

Por ejemplo, considere las dos siguientes premisas:

Si aumenta el sueldo, se incrementa la demanda.

Si se incrementa la demanda, suben los precios.

Para determinar una conclusión válida, se formalizarán las premisas. Sea p «Aumenta el sueldo», sea q «Se incrementa la demanda» y sea r «Suben los precios». Las premisas pueden escribirse simbólicamente:

Según la regla SHP, se escribe la concusión válida p → r «Si aumenta el sueldo, suben los precios».

4. Silogismo disyuntivo (SD)

Por ejemplo, considere las dos siguientes premisas:

Voy a la biblioteca o a la cafetería.

No voy a la biblioteca.

Para determinar una conclusión válida, se formalizarán las premisas. Sea p «Voy a la biblioteca» y sea q «Voy a la cafetería». Las premisas pueden escribirse simbólicamente:

Según la regla SD, se escribe la conclusión válida q «Voy a la cafetería».

Ejemplo 5

Proporcione una conclusión válida para las siguientes premisas:

a. Si el maestro eleva la calidad de la enseñanza, entonces se genera el progreso que el Perú necesita.

El maestro eleva la calidad de la enseñanza, por lo tanto…

Sea p «El maestro eleva la calidad de la enseñanza».

Sea q «Se genera el progreso que el Perú necesita».

Las premisas pueden escribirse simbólicamente:

Según la regla MPP, se escribe la conclusión válida q «Se genera el progreso que el Perú necesita».

b. Si se eleva la cotización del dólar, se devalúa el nuevo sol. No se devalúa el nuevo sol. Por lo tanto…

c. Los precios se elevan siempre que la demanda aumenta. La demanda no aumenta. En consecuencia…

d. Estudias para el examen final o desapruebas el curso de Lógica. Apruebas el curso de Lógica. Por lo tanto…

e. Si se elevan los impuestos, habrá déficit. Habrá desocupación si hay déficit. Por lo tanto…

f. Si la selección de fútbol de Perú gana todos sus partidos, se clasifica para el mundial. Si Perú se clasifica al mundial, sus jugadores se cotizan mejor. La selección de fútbol gana todos sus partidos.

Por lo tanto…

Sea p «La selección de fútbol de Perú gana todos sus partidos».

Sea q «El Perú se clasifica para el mundial».

Sea r «Los jugadores de la selección se cotizan mejor».

Las premisas pueden escribirse simbólicamente:

Según la combinación de las reglas MPP y SHP, se escribe la conclusión válida r «Los jugadores de la selección se cotizan mejor».

g. Cuando estudias para los exámenes, apruebas el curso de Lógica. Si eres un estudiante responsable, estudias para los exámenes. Eres un estudiante responsable. Por lo tanto…

h. No será separado del aula a menos que guarde su teléfono celular. Si no es separado del aula, atenderá la clase. No guarda su teléfono celular. Por lo tanto…

i. Si haces tu examen con lapicero, tienes derecho a pedir recalificación. Si estás seguro de tus respuestas, harás tu examen con lapicero. No tienes derecho a pedir recalificación. Por lo tanto…

Ejercicios 1.2

1. Escriba la negación de las siguientes proposiciones:

a. Todas las clases de Lógica son interesantes.

b. Algunos textos del sílabo son de consulta.

c. Cada estudiante trae sus apuntes de clase.

d. Existen calculadoras solares.

e. Juan es puntual o pierde su trabajo.

f. Nelly es servicial y Gloria, amable.

g. Ni Juan ni David son egoístas.

h. José va a la reunión o no le suben el sueldo.

2. Escriba una proposición equivalente a las siguientes:

a. Si Noé promueve el negocio, entonces se opone al pensamiento de Pedro.

b. No es cierto que hoy devuelvo los libros y me condonan la multa.

c. Ni las políticas de Estado son malas, ni el costo social es alto.

3. Escriba la negación de las siguientes proposiciones:

a. Raúl triunfa o se retira del torneo.

b. Ana aprueba el curso y Luis no pierde su empleo.

c. Alex asiste a clase o no será del equipo de trabajo.

En los siguientes ejercicios, determine, en caso de ser posible, la conclusión que haga válido el argumento.

4. Se encuentran exonerados de ITF los depósitos en las cuentas de ahorro si el depósito es de remuneraciones. Juan no recibió un depósito de remuneraciones. Por lo tanto...

5. Si se realizan transferencias de fondos, entonces la transacción se verá afectada por el ITF. José realizó una transferencia de fondo. Por lo tanto…

6. Juan no gana utilidades porque no arriesga en su inversión. Ocurre que Juan gana utilidades. Luego…

7. Subió el precio del pan porque subió el precio de la gasolina. Si subió el precio del pan, el gobierno no podrá controlar la inflación. Por consiguiente…

8. Cuando la información es relevante, esta debe ser guardada para futuras referencias. La información debe ser fácilmente recuperable porque se guarda para futuras referencias. Cierta información no es fácilmente recuperable. En consecuencia…

9. No es posible que la inseguridad en las carreteras se incremente y las primas de los seguros vehiculares disminuyan. Pero la inseguridad en las carreteras se incrementa. Por lo tanto…

10. Si la demanda crece, entonces las compañías se expanden. Las compañías no se expanden o los obreros no tienen más horas de trabajo. Pero se da que los obreros tienen más horas de trabajo. Por lo tanto…

11. Sube el precio del pan porque subió el precio de la gasolina. Sube el precio de la gasolina o el gobierno no puede controlar la inflación. El gobierno controla la inflación. Luego…

12. Si el alumno es memorista y predomina la exposición del docente, entonces el alumno se convierte en un ente receptor y acumulador de conocimiento. Si el alumno es un ente receptor y acumulador de conocimientos, entonces no será libre de expresar su opinión. Por lo tanto…

1.3. Estrategias y resolución de problemas

Los jóvenes de esta generación son muy prácticos: tantean, experimentan, y si se percatan de que un hecho se da con cierta frecuencia, tienden a generalizar un resultado sin tener cuidado de que no siempre es posible. Ante la necesidad de resolver problemas, se presentan dos formas de razonamiento: el inductivo y el deductivo.

Razonamiento inductivo

Una conjetura es una suposición que se construye sobre la base de observaciones o experimentaciones repetidas de un patrón o proceso particular. La conjetura puede ser verdadera o falsa. En ese sentido, el razonamiento inductivo se caracteriza por llegar a una conclusión general (mediante una conjetura), a partir de observaciones repetidas de casos específicos o particulares.

Una conjetura por medio del razonamiento inductivo es falsa si hay una situación en la que no se aplica. Este es un contraejemplo.

Por ejemplo, considere la siguiente secuencia de números naturales:

1; 4; 7; 10; …

El patrón más probable es que cada número, a partir del segundo, se obtiene al sumar tres al anterior. Efectivamente, esta es la regla. Ahora considere la siguiente fórmula para los números naturales: p

Al asignarse los primeros valores naturales para n a esta fórmula, se obtienen números primos.

n

p

1

41

2

43

3

47

4

53

…

…

10

131

20

401

…

…

El razonamiento inductivo no garantiza un resultado verdadero, pero sí proporciona un medio para hacer una conjetura. Nunca se puede estar seguro de que lo que es cierto para ciertos casos particulares será cierto en general.

Razonamiento deductivo

El razonamiento deductivo se caracteriza por la aplicación de principios o leyes generales a casos particulares.

Por ejemplo, la fórmula que se utiliza para calcular la suma de los primeros n números naturales 1; 2; 3; … está dada por:

Como se observa, se utiliza una fórmula general y se aplica al caso particular.

Ejemplo 1

Se usará un argumento deductivo para obtener la suma Sn de los primeros n números enteros positivos.

Esta suma también se puede reescribir como:

Al sumar miembro a miembro se tiene:

Ejemplo 2

Deduzca una fórmula para la suma de los primeros n números.

a. Enteros positivos pares.

b. Enteros positivos impares.

Resolución de problemas

George Pólya (1888-1985) desarrolló un importante estudio en técnicas para la resolución de problemas. En su obra clásica Cómo plantear y resolver problemas (How to solve it), se presenta un proceso de cuatro pasos para resolver problemas:

1.o Entender el problema. Comprender de qué trata y qué se está solicitando en el problema. Es recomendable leer el problema más de una vez y analizarlo cuidadosamente.

2.o Formular un plan. Determinar cuál es el plan adecuado para abordar el problema. Se pueden emplear algunas de las siguientes estrategias: elaborar una tabla o un diagrama, buscar un patrón, hacer un bosquejo, usar el sentido común, utilizar el método de prueba y error, etcétera.

3.o Poner en práctica el plan. Llevarlo a cabo una vez que se ha encontrado el problema. Ser perseverante si nuestro plan falla o si aparecen obstáculos en el camino.

4.o Revisar y comprobar. Analizar si la respuesta es razonable de acuerdo con el contexto del problema.

Uso de tablas

Problema 1

Un científico comprobó que la población de un determinado tipo de bacterias se duplica por cada minuto transcurrido. Si en un momento dado la población es de 1 000 bacterias, ¿cuántas bacterias habrá en la población transcurridos tres minutos? ¿Y después de quince minutos?

El problema se puede reformular de la siguiente manera: el número inicial de bacterias es igual a 1 000 y este valor se duplica en el transcurso de un minuto. El nuevo valor se duplicará en el siguiente minuto y así sucesivamente.

Se utilizará una tabla para responder a la primera pregunta.

Minuto

Población

0

1 000

1

2 000

2

4 000

3

8 000

De la tabla se obtiene que la población será de 8 000 bacterias después de tres minutos.

Para responder a la siguiente pregunta, se puede observar que existe un patrón de crecimiento a partir del tiempo transcurrido. La siguiente tabla muestra dicho patrón:

De la tabla se obtiene que la población será de 32,8 millones de bacterias aproximadamente transcurridos 15 minutos.

Problema 2

Una pareja de esposos colocó un par de conejos recién nacidos en una jaula: una hembra y un macho. Durante el primer mes, los conejos no pudieron tener crías, pero a partir del segundo mes empezaron a producir una pareja de conejos por mes. Si cada pareja de conejos se reproduce de la misma forma, ¿cuántas parejas de conejos habrá luego de seis meses? ¿Cuántas parejas de conejos habrá después de un año?

Complete el siguiente cuadro y responda a las preguntas:

Resolución de atrás hacia adelante

Problema 3

Cada semana José acostumbra ir al casino con sus amigos. La primera semana duplicó su dinero, pero luego perdió $ 20. A la semana siguiente, triplicó lo que tenía y perdió $ 140. La semana siguiente volvió a intentarlo y perdió la mitad de lo que tenía y regresó a su casa con $ 500. ¿Con cuánto dinero empezó José en la primera semana?

Para determinar con cuánto dinero José empezó la semana, se resolverá el problema de atrás hacia adelante. Puesto que llegó a su casa con $ 500 y representa la mitad con la que inició la tercera semana, José empezó la tercera semana con:

Antes de perder los $ 140 la segunda semana, tenía los $ 1 000 anteriores más los $ 140 que perdió. Estos $ 1 140 representan el triple de lo tuvo al empezar la segunda semana. José empezó la segunda semana con:

Si se repite este proceso una vez más para la primera semana, se obtiene que José empezó la primera semana con:

La solución obtenida se puede verificar realizando las siguientes operaciones:

Este problema se pudo trabajar utilizando una ecuación algebraica, pero este método de ir hacia atrás puede aplicarse fácilmente.

Problema 4

Miguel fue a la librería (ubicada a una cuadra de su casa) y compró un libro que costó S/ 60. Luego, tomó un taxi para ir a la universidad y gastó la sexta parte de lo que le quedaba; el almuerzo en la universidad le costó S/ 10. Después usó la mitad de lo que le quedaba aún en pagar una deuda contraída con un amigo. Finalmente, se fue a su clase con S/ 40 en la billetera. ¿Cuánto dinero tenía Miguel antes de comprar el libro?

Uso de diagramas

Problema 5

Todos los sábados, en un parque de Pueblo Libre, se reúne un grupo de chicos para jugar fútbol. A veces juegan uno contra uno, dos contra dos, y así, dependiendo del número de chicos que salga a jugar. Si cuando se arman los dos equipos, la tradición es que cada uno de los integrantes de uno de ellos salude a cada uno de los integrantes del equipo contrario con un apretón de mano, ¿cuántos saludos se efectuarán si juegan dos equipos de tres integrantes cada uno? ¿Cuántos saludos habrá en un partido oficial de fútbol (11 jugadores por equipo)?

Para resolver este problema, se puede utilizar el siguiente diagrama:

Se efectuarán nueve apretones de mano en total.

Para responder a la siguiente pregunta, observe el patrón que se genera:

Problema 6

Por su cumpleaños, María realizó una fiesta en su casa e invitó a todas sus amigas del barrio y de la universidad. Si solo asistieron cuatro amigas de María a la fiesta, y todas se saludaron con un beso en la mejilla, ¿cuántos saludos se efectuaron? Y si asistieran 60 amigas, ¿cuántos saludos se efectuarían?

Búsqueda de patrones

Problema 7

Un profesor ofrece clases particulares para alumnos universitarios. En vista de que enseña muy bien y lo recomiendan constantemente, el número de alumnos a los que enseña por semana se ha ido incrementando, formando una sucesión aritmética de la siguiente manera:

4; 8; 12; 16; …

a. ¿En qué semana tendrá 28 alumnos? ¿Y cuándo tendrá 108 alumnos?

Para responder a la primera pregunta, se puede completar la sucesión, ya que el número de términos pedido es pequeño: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28. Se concluye que en la séptima semana habrá 28 alumnos.

Para responder a la segunda pregunta, se debe encontrar un patrón que nos permita calcular el número de semanas sin completar la sucesión.

A partir de los resultados de la tabla, se obtiene que el profesor enseñará a 108 alumnos en la vigésimo séptima semana.

c. ¿A cuántos alumnos habrá enseñado en total en el transcurso de veinte semanas?

Lo que se debe hacer en esta pregunta es sumar el número de alumnos desde la primera semana hasta la semana vigésima.

Primero, se calcula el número de alumnos de la vigésima semana.

Luego, se hallará la suma S que representa el número total de alumnos.

Un artificio que se puede emplear para sumar sucesiones aritméticas es el siguiente:

Problema 8

La ganancia de una empresa ha ido aumentando cada año en progresión aritmética. Si el primer año se obtuvo una ganancia de $ 10 000 y el sexto año, $ 24 000, ¿cuánto ganó en el tercer año? ¿Y en total hasta el octavo año?

Problema 9

El número de alumnos de un grupo de estudio ha aumentado progresivamente. La siguiente sucesión muestra el total de alumnos por semana en dicho grupo desde que se inició hasta que cerró por mantenimiento:

10; 18; 26; … 410

a. ¿Cuántas semanas atendió a los alumnos el grupo de estudio?

b. ¿Cuántos alumnos recibieron clases en ese lapso?

c. Si cada alumno pagó S/ 5 por clase, ¿cuál fue el ingreso que obtuvo el grupo durante ese periodo?

Uso del ensayo y error

Problema 10

El tatarabuelo de Javier vivió en el siglo xviii. En una reunión familiar, el padre de Javier le hizo el siguiente comentario: «Tu tatarabuelo tenía x años en el año x3». ¿En qué año nació el tatarabuelo de Javier?

Uso del sentido común

Problema 11

Dos monedas actuales de Perú suman, en conjunto, S/ 1,50. Una de ellas no es una moneda de S/ 1. ¿Cuáles son estas dos monedas?

Uso del tanteo

Problema 12

Manuel llevaba en una carpeta varias hojas que había fotocopiado. De un momento a otro se tropezó y la cuarta parte de las hojas cayó en un charco de agua, el triple de la raíz cuadrada del número de hojas cayó en la pista y solo nueve hojas quedaron en el fólder. ¿Cuántas hojas llevaba Manuel en el fólder?

Uso de ecuaciones

Problema 13

La diferencia de edades entre Luis y Juana, actualmente, es de 15 años. Hace 5 años, la edad de Luis era la mitad de la edad de Juana. ¿Qué edad tiene Luis?

Ejercicios 1.3

1. El número de alumnos matriculados por año en el curso Deportes de una universidad ha ido aumentando progresivamente. La siguiente sucesión muestra el número de alumnos por año en dicho curso desde que se inició en el año 2000:

50; 75; 100...

a. ¿Cuántos alumnos se matricularon en 2006?

b. ¿En qué año el número de matriculados será de 350 alumnos?

c. ¿Cuántos alumnos en total se matricularon desde el inicio del año 2000 hasta el final del año 2012?

2. Antes de iniciar cada ciclo de la universidad, los profesores del curso de Matemática Básica se reúnen en la primera coordinación de curso. Por cortesía, los profesores se saludan entre ellos con un apretón de mano y saludan con un beso en la mejilla a cada profesora. Las profesoras también se saludan con un beso en la mejilla.

a. Si el curso está formado por cuatro profesores y dos profesoras, ¿cuántos saludos de mano y de beso en la mejilla hubo en la primera reunión de coordinación? Asuma que todos los profesores y profesoras se saludan.

b. Responda a la misma pregunta (a) si el curso está formado por 20 profesores y 15 profesoras. Asuma que todos los profesores y profesoras se saludan.

3. En determinado momento del día, José mira su reloj y comenta: «El tiempo que ha transcurrido del día es igual a la tercera parte de lo que falta para que acabe». ¿Qué hora marcaba el reloj de José?

4. El padre de Luis le dijo a su hijo: «Hoy te voy a dar S/ 1; mañana, S/ 2, y así sucesivamente hasta que la suma alcanzada llegue a tener cuatro dígitos».

a. ¿Después de cuántos días el padre de Luis dejará de darle propina?

b. Si Luis gasta S/ 1 cada día, ¿cuánto dinero ahorrará?

5. Alonso llevaba en su bolsillo varias monedas de un sol. Como estaba apurado, fue corriendo a su casa y se tropezó con una cáscara de plátano. La tercera parte de las monedas cayó en el pasto, la sexta parte en la pista, el doble de la raíz cuadrada del número de monedas se perdió y solo seis quedaron en su bolsillo. ¿Cuánto dinero le queda finalmente a Alonso?

6. La diferencia de edades entre Raúl y André, actualmente, es de 15 años. Hace 10 años, la edad de André era el doble de la edad de Raúl. ¿Cuánto sumarán sus edades dentro de 8 años?

7. Un especialista ha analizado el crecimiento de una población de determinado tipo de bacterias. Si inicialmente había 200 bacterias y cada minuto se triplicaba en número respecto del minuto anterior, entonces:

a. ¿Cuántas bacterias habrá en la población dentro de cuatro minutos?

b. ¿Cuántas bacterias habrá en la población luego de 12 minutos?

1.4. Conjunto de los números reales. Ecuaciones

Miguel compra cámaras fotográficas a $ 350 y las vende a $ 460. Si la meta de Miguel es obtener $ 10 000 de ganancia, ¿cómo se podría calcular el número de cámaras que debe vender para lograr su objetivo?

El problema planteado involucra una serie de algoritmos y conceptos matemáticos que se deben tomar en cuenta para obtener una solución. Como ayuda se plantean las siguientes preguntas: ¿Cómo se relacionan los datos dados en el problema? ¿Se puede definir una variable que represente el número de cámaras fotográficas compradas? ¿Se puede obtener un resultado que no sea un número entero positivo?

Para resolver el problema anterior y tener una base teórica de por qué se toman ciertas decisiones, es necesario definir lo siguiente: el conjunto de los números reales, cómo se presentan las respuestas y cómo se resuelven ecuaciones, en particular, ecuaciones de primer grado. A continuación, se abordarán todos estos cuestionamientos.

El conjunto de los números reales se denota por R y tiene los siguientes subconjuntos numéricos:

• Números naturales (N). Sus elementos son los siguientes:

• Números enteros (Z). Sus elementos son los siguientes:

• Números racionales (Q). Sus elementos son los números que pueden expresarse por el cociente de dos enteros a y b.

• Números irracionales (I). Sus elementos son los números que no pueden ser expresados por el cociente de dos enteros a y b.

Figura 1.1. Diagrama de los números reales

Ejemplo 1

Marque con una X el recuadro al que corresponde cada número.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número real a, denotado por |a|, se define como:

Observación. El valor absoluto de a nunca puede ser negativo.

Por ejemplo, si se sabe que b < a, para expresar | b − a | de forma equivalente sin las barras de valor absoluto, primero se determina el signo de b − a:

b < a ⇒ b − a < 0

Luego, se aplica la definición:

Ejemplo 2

Sea b < a, expresar de forma equivalente sin las barras de valor absoluto.

Ejemplo 3

Escriba las siguientes expresiones, equivalentemente, sin las barras de valor absoluto.

a. Si a < b < 0, entonces

b. Si a < b < 0, entonces

c. Si 0 < a < b, entonces

d. Si a < 0 < b, entonces

e. Si a < b < 0, entonces

f. Si a < b < 0, entonces

g. Si a < b < 0, entonces

h. Si 0 < a < b, entonces

Cálculo y estimación

Cuando se realizan operaciones algebraicas con números, dentro de un ejercicio o problema, se obtienen respuestas numéricas.

El cálculo, obtenido mediante el uso de lápiz y papel o por intermedio de la calculadora, permite obtener el valor numérico de una operación matemática.

La estimación es la manera como se presenta el cálculo. Esta estimación variará dependiendo si el número obtenido presenta o no unidades.

Estimación de números y redondeo de decimales

Solo nos interesa el valor del número obtenido ya que no tiene unidades. A continuación, se presenta un ejemplo que especifica cómo debemos expresar el cociente de la operación división.

Por ejemplo, la respuesta que se obtiene al dividir 15 entre 10 o 3 entre 2 se puede presentar de diferentes formas: entre otras. Si se especifica que la respuesta debe expresarse como fracción, se utilizará cualquiera de las dos primeras o alguna otra semejante a ellas. En cambio, si se puntualiza que la respuesta debe darse con decimales, se puede utilizar cualquiera de las dos restantes.

Se puede dar el caso de que el número presentado como respuesta, obtenido con la calculadora, tenga más de un decimal, incluso infinitos decimales. En estos casos se redondeará el número como se muestra en los siguientes ejemplos:

• Si se desea expresar la respuesta usando dos decimales, primero se restringe N a tres decimales: 48,237. Luego, como el tercer decimal (7 en nuestro ejemplo) es mayor o igual a 5, la respuesta será 48,24.

• Si desea expresar la respuesta usando tres decimales, primero se restringe M a cuatro decimales: 34,1953. Luego, como el cuarto decimal (3 en nuestro ejemplo) es menor a 5, la respuesta será 34,195.

Ejemplo 4

Exprese los siguientes números aproximando a uno, dos y tres decimales.

Estimación de números que presentan unidades

Las respuestas numéricas obtenidas al realizar operaciones algebraicas dentro de un contexto de modelación dependerán de la situación problema y lo que representa ese resultado. Nos interesa saber el valor del número obtenido, las unidades que posee y el conjunto numérico al que pertenece.

En los problemas de modelación, los resultados obtenidos pueden representar lo siguiente: número de objetos, número de personas, dinero, tiempo, longitudes, áreas, etcétera. Cada uno de los resultados anteriores tiene sus propias unidades: unos se restringen a los enteros positivos y otros a los reales positivos.

Por ejemplo, si cada gaseosa cuesta S/ 2 y en la billetera hay S/ 10, se pueden comprar gaseosas. Sin embargo, si se tienen en la billetera S/ 5, se pueden comprar gaseosas. Es claro que el número de gaseosas es un número entero positivo y no admite una respuesta con decimales. Dentro del contexto de la pregunta, solo se podrían comprar dos gaseosas y esta sería nuestra respuesta, ya que si se redondea a tres gaseosas, nos faltaría dinero.

Por ejemplo, si usted va a la tienda y gasta S/ 54 en la compra de 20 chocolates, podemos determinar que cada chocolate costó , es decir, S/ 2,70. Resulta evidente que el número que representa el precio de cada chocolate es un número real positivo. Dentro del contexto de la pregunta, el precio de cada chocolate es S/ 2,70 y esta sería nuestra respuesta, ya que si se redondea a S/ 3 cada chocolate, se hubiera gastado S/ 60 y eso no se afirma en el problema.

Frente a un ejercicio algebraico, se obtienen respuestas que no siempre tendrán sentido real al evaluarlo en el contexto del problema. Es por esta razón que interpretar y estimar el resultado numérico es de vital importancia para la solución del problema.

Ejemplo 5

Responda según el contexto de la pregunta.

Ecuaciones

Las ecuaciones son enunciados en los que dos cantidades o expresiones algebraicas son iguales. Por ejemplo:

•

•

Conjunto de valores admisibles (CVA)

Son los posibles valores que toma la variable que hacen que la expresión exista. Por ejemplo:

• El CVA de la ecuación es igual a [1; +∞[, porque todos los valores de x menores que 1 hacen que la expresión no exista.

Conjunto solución (CS)

Son los valores que toma la variable del CVA que hacen verdadera la igualdad. Por ejemplo:

Para resolver una ecuación, se deben efectuar algunas operaciones para reducirla a otra equivalente, en la que su solución se obtenga de manera directa o quede lista para aplicarle algún método de resolución.

Clasificación de las ecuaciones

Ecuación de primer grado

Ejemplo 6

Resolver la ecuación

Ejemplo 7

Responda concretamente y justifique su respuesta.

Ejemplo 8

Resuelva las siguientes ecuaciones y clasifíquelas según el tipo de solución.

b.

c.

d.

e., donde a y b son constantes.

Ejercicios 1.4

Resuelva las siguientes ecuaciones:

2.

3.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

En los siguientes ejercicios, considere a, b y c constantes.

20.

1.5. Ecuación de segundo grado. Ecuación polinómica

A continuación, se presenta el siguiente problema:

El señor Carranza se dedica a la venta de pantalones en una tienda comercial ubicada en Lima. Por fiestas navideñas, hace buenas ofertas en toda su mercadería. Por ejemplo, el descuento del precio de los pantalones dependerá del número de unidades que un consumidor compre. Si x es el número de pantalones vendidos por el señor Carranza, y estos se venden a un precio de 200 – 10x dólares por unidad, ¿cómo se podría calcular el mínimo número de pantalones que se debe vender para obtener un ingreso de $ 1 500?

Es claro que el señor Carranza obtiene su ingreso multiplicando el número de unidades vendidas por el precio de cada pantalón según la expresión dada. Para hallar el número de pantalones que permite obtener un ingreso de $ 1 500, se resolverá una ecuación cuadrática.

Si bien es cierto que para desarrollar la ecuación se pueden dar valores a la variable hasta aproximarla a un ingreso de $ 1 500, esto se vuelve muy complicado si el número de pantalones está expresado en cientos de unidades. Es mejor aprender diferentes métodos de resolución para resolver ecuaciones de este tipo.

Ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática está formada por el término cuadrático (ax2), el término lineal (bx) y el término independiente (c).

Una ecuación cuadrática se puede resolver por el método de factorización, por fórmula general o completando el cuadrado.

Método de factorización

Parte de la idea de expresar la ecuación cuadrática como un producto de factores igual a cero, de modo que se pueda aplicar la siguiente propiedad de los números reales: