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- Herausgeber: tredition
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2024
Mit diesem Buch versucht der Autor die wichtigsten Themenbereiche der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik anschaulich und möglichst übersichtlich darzustellen. Meist kann man auf unterschiedlichsten Wegen zum Lösungsziel einer mathematischen Aufgabe gelangen. In dieser vorliegenden Zusammenfassung des Lehrstoffs der mathematischen Oberstufe des Gymnasiums wird daher versucht, die wichtigsten Abiturthemen so verständlich wie möglich und ohne komplizierte Umwege darzulegen. Mathematik lernt man jedoch am ehesten durch eigenes Erarbeiten, weshalb die angebotenen Aufgaben erst ohne den Lösungsteil dieses Buchs in Angriff genommen werden sollten. Es kann manchmal auch sinnvoll sein, einen nicht verstandenen Lösungsweg erst nach einiger Zeit nachzuvollziehen. Viele wichtige Mathematiker der Vergangenheit sind durchaus Irrtümern aufgesessen, die sie erst später oder auch niemals berichtigen konnten. Obwohl die Mathematik für die Lösung vieler wissenschaftlicher, technischer oder wirtschaftlicher Probleme unerlässlich ist, kann nicht jede Fragestellung unkompliziert gelöst werden. Die Erkenntnis und der anschließende mathematische Beweis der Unlösbarkeit einer Aufgabenstellung gehören zum Wesen der Mathematik. Man sollte sich daher niemals durch Aufgaben jeglicher Art entmutigen lassen, sondern versuchen, möglichst alternative Lösungswege einzuschlagen. Es kann durchaus Freude bereiten, ein Problem zu einem späteren Zeitpunkt gelöst oder verstanden zu haben. Das vorliegende Lehrbuch eignet sich nicht nur für die Vorbereitung der Abiturprüfung, sondern auch für Personen, die sich in die höhere Mathematik einarbeiten möchten.
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Ähnliche
Mathematik-Abitur
Band 3
Stochastik
Wahrscheinlichkeitsrechnung & Statistik
zur
Abiturvorbereitung
und zum
Selbststudium
von
Reinhold Goldmann
Inhaltsverzeichnis
Cover
Titelblatt
Vorbemerkungen
I. Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Anfänge der Stochastik
2. Grundbegriffe der Stochastik
2.1 Zufallsexperimente
2.2 Ergebnisraum (Ergebnismenge)
2.3 Die Mächtigkeit der Ergebnismenge
2.4 Ereignisse
3. Das Urnenmodell
3.1 Ziehen mit Zurücklegen
3.2 Ziehen ohne Zurücklegen
4. Baumdiagramme:
5. Zusammengesetzte Ereignisse
6. Regeln von De Morgan
7. Häufigkeiten
8. Die Vierfeldertafel
9. Gesetz der großen Zahlen
10. Die Wahrscheinlichkeit
10.1 Die Laplace-Wahrscheinlichkeit
10.2 Produktregel
10.3 Additionssatz
10.4 Unabhängigkeit
11. Kombinatorik
11.1 Permutationen
11.2 Permutationen mit Wiederholung
11.3 Variation mit Wiederholung
11.4 Variation ohne Wiederholung
11.5 Kombination ohne Wiederholung
11.6 Kombination mit Wiederholung
11.7 Zusammenfassung der kombinatorischen Formeln
11.8 Lotto-Wahrscheinlichkeiten
11.9 Geburtstagsparadoxon
12. Die bedingte Wahrscheinlichkeit
13. Zufallsgrößen
14. Der Erwartungswert
15. Varianz σ2 - Standardabweichung σ
15.1 Normalverteilung
15.2 Gültigkeit der Standardabweichung
15.3 Weitere Beispiele zur Varianz
16. Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung Bn;p(k)
16.1 Binomialkoeffizienten
16.2 „Binomische“ Formeln höheren Grades:
16.3 Formel von Jakob Bernoulli (1654 bis 1705)
II. Statistik
17. Testen von Hypothesen
17.1 Historisches zu Hypothesen
17.2 Vorgehensweise beim Testen von Hypothesen
17.3 Möglicher Test einer Hypothese
17.3.1 Hypothesen (Annahmen)
17.3.2 Das Signifikanzniveau
18. Alternativtest
19. Signifikanztest
20. Ausgewählte Abituraufgaben
Abituraufgaben 2019 (Bayern)
III. Lösungen der Aufgaben
Der Autor
Urheberrechte
Mathematik-Abitur
Cover
Titelblatt
1. Anfänge der Stochastik
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I. Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Anfänge der Stochastik
Der Spieler Chevalier de Méré fragte im 17. Jahrhundert den Mathematiker Blaise Pascal, der von 1623 bis 1662 lebte, nach der Wahrscheinlichkeit einer Doppel-Sechs beim Werfen zweier Würfel.
Pascal war diese Frage zu simpel (siehe Beispiel B2).
Die zweite Frage bezog sich darauf, wie der Wetteinsatz zu verteilen sei, wenn ein Spiel vorzeitig abgebrochen werden muss.
Daraus entwickelte Pascal mit Pierre de Fermat die Wahrscheinlichkeitstheorie.
Kurze Beispiele zu den Fragen von de Méré:
B1. Wirft man einen Laplace-Würfel (idealer Würfel), so ist die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln .
B2. Werden gleichzeitig zwei ideale Spielwürfel geworfen, so ist die Wahrscheinlichkeit eine Doppelsechs zu würfeln .
B3. Paradoxon von Chevalier de Meré:
Wird ein Laplace-Würfel viermal geworfen, so liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine Sechs zu würfeln über 50 %.
Wirft man zwei Laplace-Würfel 24-mal so liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens einmal eine Doppelsechs zu würfeln unter 50 %:
Dem Spieler Chevalier de Méré war dies unverständlich.
Hinweis:
Im Folgenden wird als Symbol für Wahrscheinlichkeit der Buchstabe P (engl. Probability bzw. lat. Probabilitas) verwendet.
4. Baumdiagramme:
Mit einem Baumdiagramm kann die Reihenfolge der Ereignisse manchmal leichter bestimmt werden.
Beispiel:
B15. Welche Kugeln waren für die Ziehung ohne Zurücklegen in der Urne vorhanden, die zu dem abgebildeten Baumdiagramm führten?
Baumdiagramme sind insbesondere bei mehrstufigen Zufallsexperimenten nützlich.
Aufgaben (Lösungen aller Aufgaben ab Seite 144):
A1. In einer Tüte befinden sich sieben Bonbons. Davon sind zwei gelb und fünf rot. Nacheinander werde der Tüte drei Bonbons entnommen (ohne Zurücklegen).
a) Skizziere ein Baumdiagramm.
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, der Tüte Bonbons zu entnehmen?
A2. Der Schülerrat eines Berufskollegs besteht aus drei Jungen und zwei Mädchen. Es wird ausgelost, wer in diesem Jahr Vorsitzender und Stellvertreter wird. Zuerst wird der Vorsitzende und dann ein Stellvertreter ausgelost. Zeichne das Baumdiagramm und gib die Ergebnismenge mit deren Mächtigkeit an.
A3. Es wird ein idealer Würfel geworfen. Werden die Augenzahlen 1, 2, 4 oder 5 gewürfelt, so wird danach eine Münze geworfen. Wird eine 3 gewürfelt, so muss aus einer Urne, die drei mit 1, 2 und 3 nummerierte Kugeln enthält, zweimal hintereinander (ohne Zurücklegen) eine Kugel gezogen werden. Bei Ziehen einer 6 ist das Experiment beendet. Skizziere das Baumdiagramm und gib den Ergebnisraum Ω mit seiner Mächtigkeit an.
6. Regeln von De Morgan
Beispiel:
B20. Zeige die Richtigkeit der Regeln von De Morgan mit den folgenden Mengen:
7. Häufigkeiten
Der Begriff „Häufigkeit“ soll mit dem folgenden Beispiel erklärt werden.
B21. Ein Sportverein listet die Jugendsportler auf:
Zu B21.
Absolute Häufigkeit:
Von 223 Sportlern des Beispiels B21 gehören 53 der F-Jugend an. Ein absoluter Wert.
Relative Häufigkeit:
; im Verein gehören 23,77 % der Jugendlichen zur F-Jugend.
Kumulierte Häufigkeit (lat. cumulus – anhäufen):
In der F-, E- und D-Jugend befinden sich 53,36 % der Jugendlichen des Vereins.
Aufgaben:
A7. Ein Sportverein hat 964 Mitglieder. Davon sind 486 Fußballspieler, 232 Leichtathleten und 148 Tennisspieler. Berechne die relativen Häufigkeiten dieser Sportarten im Verein.
A8. 800 Personen wurden bezüglich der Nutzung von Online-Angeboten befragt. Die relative Häufigkeit der Internet-Bank-Nutzer beträgt 0,64, die Häufigkeit der Nutzer von sozialen Medien beträgt 0,78. Berechne die absolute Häufigkeit dieser Nutzergruppen.
A9. Ein Viertel aller Schüler einer Klasse besitzt einen Hund, die Hälfte der Schüler hat eine Katze. Kein Schüler besitzt beide Haustiere. Ermittle den Anteil der Schüler, die keines dieser Haustiere haben.
A10. In einem Hörsaal sitzen 150 Studenten. 110 von ihnen sprechen nur Englisch, 20 nur Französisch und 15 sprechen beide Sprachen.
a) Wie groß ist die relative Häufigkeit der Studenten, die mindestens eine der beiden Sprachen sprechen?
b) Wie groß ist die relative Häufigkeit der Studenten, die keine der beiden Sprachen sprechen?
8. Die Vierfeldertafel
Die Vierfeldertafel ist ein Hilfsmittel der Stochastik, um Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen darzustellen. Man kann Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten verwenden.
A und B bezeichnen zwei Ereignisse, während A̅ und B̅ ihre Gegenereignisse darstellen.
A
A̅
B
h(A∩B)
h(A̅∩B)
h(B)
B̅
h(A∩B̅)
h(A̅∩B̅)
h(B̅)
h(A)
h(A̅)
1
1. Jede absolute Häufigkeit in der untersten Zeile ist die Summe der beiden darüberstehenden Häufigkeiten.
2. Jede absolute Häufigkeit in der letzten Spalte ist die Summe der beiden linksstehenden Häufigkeiten.
3. Die letzte Zeile und die letzte Spalte müssen jeweils in der Summe die Zahl 1 ergeben.
Hinweis:
Werden Prozentwerte verwendet, so ergibt die Summe in der rechten untersten Zeile 100 %.
Beispiel:
B22. 14 Mädchen und 12 Jungen einer Schulklasse nahmen an einem Test teil. Zu den 18 Schülern, die den Test bestanden haben, gehören 10 Mädchen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Schüler den Test nicht bestanden und ist gleichzeitig ein Mädchen?
