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- Herausgeber: tredition
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
Viele Wissenschaften können veranschaulicht werden. In den Naturwissenschaften führen spannende Experimente zu leichterem Verständnis und Aufmerksamkeit. Zu den Gesellschaftswissenschaften können Beispiele aus der Geschichte oder der täglichen Praxis das Erfassen des Sachverhalts ebnen. In der Mathematik ist jedoch die Beschreibung ihrer Objekte nicht immer einfach, da sie häufig Abstraktionen der realen Welt sind. Aber dieses Abheben von der Wirklichkeit ist häufig nötig, um Begriffe zu ordnen und erfassbar zu machen. Mathematische Modellierungen und Berechnungen sind auch in anderen Wissenschaften von großer Bedeutung. Dabei handelt es sich um abstrakte Beschreibungen eines Sachverhalts mit mathematischen Begriffen, Formeln, Gleichungssystemen und vor allem um die Aufstellung von Modellen mit der Untersuchung ihrer Eigenschaften. Die Mathematik ermöglicht die exakte Vorhersage von astronomischen Ereignissen oder das Steuern von Raumfahrzeugen zu anderen Himmelskörpern. Ingenieure benötigen mathematische Berechnungen zur Konstruktion und Entwicklung funktionsfähiger Maschinen, von Gebäuden, Brücken, Aufzügen usw. Anwender können durch Optimierungsberechnungen Material einsparen und Fehlkonstruktionen vermeiden. Computertomographie-Geräte können aus Messungen mittels Algorithmen berechnen, ob im Körper von Lebewesen Verletzungen oder Veränderungen vorliegen und dadurch chirurgische Eingriffe zu steuern oder gar vermeiden zu helfen. Mit der Übersetzung von Informationen in Zahlen sind Computer in der Lage sehr viele Informationen immer schneller zu übertragen. Damit weisen elektronische Rechner, Fernsehgeräte, Mobiltelefone, Alarmanlagen und viele andere Apparate Leistungen auf, die noch vor wenigen Jahren undenkbar waren. Die Chaostheorie ermöglicht Vorausberechnungen komplexer Vorgänge, wie zum Beispiel beim Wetter. Bereits in Urzeiten mussten die Menschen Mathematik aus praktischen Bedürfnissen entwickeln, was in diesem Buch thematisiert werden wird. Bis in die Gegenwart haben stets neue gesellschaftliche Aufgaben die Entwicklung der Mathematik immer weiter angeregt und vorangebracht. Mathematische Aussagen lassen sich jedoch leichter verstehen, wenn Beispiele gesucht werden, auf die sie anwendbar sind. Erfahrungsgemäß kann eine schwierige mathematische Lösung auch dadurch gefunden werden, indem man nach einiger Wartezeit veränderte Lösungswege einschlägt. "Vieles erledigt sich durch Warten." Leider hat auch die exakte mathematische Wissenschaft ihre Grenzen. Dann müssen Näherungsverfahren angewandt werden, die insbesondere bei Integralen oder Differentialgleichungen unerlässlich sind.
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Veröffentlichungsjahr: 2024
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Faszination Mathematik
Eine Reise durch die Welt der Mathematik mit interessanten Gedanken und Zahlenspielereien
Inhalt
Cover
Titelblatt
Einleitung
Urzeit
Mesopotamien
Sumerer
Babylonier
Ägypten
Harappa-Kultur
China
Frühbronzezeit in Mitteleuropa
Kelten
Minoer
Griechenland
Thales von Milet
Pythagoras von Samos
Zenon von Elea
Hippokrates von Chios
Platon
Aristoteles
Archimedes
Eratosthenes
Euklid
Apollonius von Perge
Gedanken zum Aufbau der Materie
Leukipp
Demokrit
Griechische Mathematiker nach Christi Geburt
Heron von Alexandria
Diophantos von Alexandria
Römer
Rechnen mit den Fingern
Abakus
Maya
Indien
Araber
Al-Chwarizmî
Entwicklung der Mathematik in Europa
Fibonacci
Nikolaus von Kues
Regiomontanus
Lucca Pacioli
Leonardo da Vinci
Albrecht Dürer
Nikolaus Kopernikus
Michael Stifel
Adam Ries
Niccolò Tartaglia
Geronimo (Gerolamo) Cardano
Rafael Bombelli
Francois Viète
Tycho Brahe
John Neper (Napier)
Jost Bürgi
Francis Bacon
Galileo Galilei
Johannes Kepler
René Descartes
Pierre de Fermat
Blaise Pascal
Christiaan Huygens
Isaac Newton
Gottfried Wilhelm Leibniz
Die Mathematiker-Familie Bernoulli
Jakob Bernoulli
Johann Bernoulli
Nikolaus Bernoulli
Daniel Bernoulli
Marquis de L’Hospital
Brook Taylor
Christian Goldbach
Leonhard Euler
Joseph Louis Lagrange
Gaspard Monge
Pierre Simon Laplace
Adrien-Marie Legendre
,Jean Baptiste Joseph Fourier
Carl Friedrich Gauß
Bernhard Bolzano
Jean Victor Poncelet
Augustin-Louis Cauchy
August Ferdinand Möbius
Nikolaj Iwanowitsch Lobatschewskij
Pierre Frédéric Sarrus
Niels Henrik Abel
Janos Bolyai
Carl Gustav Jacob Jacobi
Peter Gustav Lejeune Dirichlet
William Rowan Hamilton
Hermann Graßmann
Joseph Liouville
Ernst Eduard Kummer
Evariste Galois
George Boole
Karl Weierstraß
Pafnutij Lwowitsch Tschebyschow
Charles Hermite
Leopold Kronecker
Bernhard Riemann
James Clerk Maxwell
Julius Wilhelm Richard Dedekind
Rudolf Lipschitz
Sophus Lie
Heinrich Martin Georg Weber
Ludwig Boltzmann
William Kingdon Clifford
Georg Cantor
Felix Klein
Ferdinand von Lindemann
Henri Poincaré
Carl David Tolmé Runge
Nikola Tesla
Max Planck
Kurt Hensel
David Hilbert
Hermann Minkowski
Jacques Hadamard
Charles de la Vallée Poussin
Felix Hausdorff
Élie Joseph Cartan
Ernst Steinitz
Henri Léon Lebesgue
Edmund Landau
Leon Lichtenstein
Max Dehn
Albert Einstein
Luitzen Egbertus Jan Brouwer
Amalie Emmy Noether
Max Born
Bharati Krishna Tirthaji
Hermann Weyl
Viggo Brun
Erwin Schrödinger
Richard Courant
Stefan Banach
Norbert Wiener
Heinz (Heinrich) Hopf
Pawel Sergejewitsch Alexandrow
Juliusz Paweł Schauder
Werner Heisenberg
Paul Dirac
John von Neumann
Andrej Nikolajewitsch Kolmogorow
Bartel Leendert van der Waerden
Kurt Gödel
Jean Leray
Erich Kähler
Konrad Zuse
Zahlensysteme für programmierbare Rechner
Alan Turing
Israil Moisejewitsch Gelfand
Claude Shannon
Mark Alexandrowitsch Krasnoselskij
Chen Ning Yang
Freeman John Dyson
Benoît Mandelbrot
Tsung-Dao Lee
Friedrich Hirzebruch
Alexander Grothendieck
Michael Francis Atiyah
Murray Gell-Mann
Paul Cohen
Mitchell Feigenbaum
Alain Connes
Andrew Wiles
Gerd Faltings
Grigori Jakowlewitsch Perelman
Große Wissenschaftler der Universität Göttingen
Einige etwas anders zu lesende Buchkapitel
Mathematische Spielereien
Magische Quadrate
Verblüffende Rechentricks
Berechnung des Wochentags eines Datums
Julianischer und Gregorianischer Kalender
Multiplikation zweistelliger Zahlen im Kopf
Zweistellige Zahlen mit der Einerziffer 5 quadrieren
Subtraktion im Kopf
Multiplikation mit der Zahl 11
Trickreiche Multiplikation großer Zahlen
Ziehen der dritten Wurzel im Kopf
Ziehen der fünften Wurzel im Kopf
Chinesisches Multiplizieren
Kaprekar-Zahl
Die Zahl 1089 über Spiegelzahlen
Achtung Durchschnittsgeschwindigkeit
Eine weitere kleine Geschwindigkeitkeitsaufgabe
Primfaktorenzerlegung
Verschlüsselung mit Primzahlen
Zahlenfolgen
Steinhaus-Zyklus
Eine sehr ungewöhnliche Zahlenfolge
Quersummen-Folgen
Eine andere kuriose Quersummen-Folge
Catalan-Folge
Zufallszahlen
Die Ein-Stein-Fliese
Einige Aufgaben aus diesem Buch
Tafeln zu Quadratzahlen der Babylonier S. 33
Paradoxa des Zenon von Elea S. 56
Das archimedische Prinzip S. 67
Die Vermessung des Erdumfangs in der Antike S. 75
Babylonisches Wurzelziehen S. 88
Multiplizieren mit den Fingern S. 92
Die Fibonacci-Folge und die Zahl Phi S. 104 ff.
Befreundete Zahlen S. 164
Der Fermat’sche Irrtum S. 165
Paradoxon des Chevalier de Méré S. 166
Der Erwartungswert einer Zufallsgröße S. 171
Dreieckszahlen S. 174
Vollkommene Zahlen S. 81 und 176
Das Haus von Nikolaus S. 201
Der Hamiltonweg und die Springertour S. 201
Der Schüler Carl Friedrich Gauß S. 220
Das Möbius-Band S. 236
Kettenbrüche S. 251
Besonderheit der Ziffern 3, 6 und 9 S. 291
Vedisches Multiplizieren S. 322
Zahlensysteme S. 97 und 352
Geschichte der Verschlüsselungen S. 355
Der Autor
Urheberrechte
Faszination Mathematik
Cover
Titelblatt
Einleitung
Der Autor
Urheberrechte
Faszination Mathematik
Cover
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Einleitung
Viele Wissenschaften können veranschaulicht werden. In den Naturwissenschaften führen spannende Experimente zu leichterem Verständnis und Aufmerksamkeit.
Zu den Gesellschaftswissenschaften können Beispiele aus der Geschichte oder der täglichen Praxis das Erfassen des Sachverhalts ebnen.
In der Mathematik ist jedoch die Beschreibung ihrer Objekte nicht immer einfach, da sie häufig Abstraktionen der realen Welt sind. Aber dieses Abheben von der Wirklichkeit ist manchmal nötig, um Begriffe zu ordnen und erfassbar zu machen.
Mathematische Modellierungen und Berechnungen sind auch in anderen Wissenschaften von großer Bedeutung. Dabei handelt es sich um abstrakte Beschreibungen eines Sachverhalts mit mathematischen Begriffen, Formeln, Gleichungssystemen und vor allem um die Aufstellung von Modellen, mit der Untersuchung ihrer Eigenschaften.
Die Mathematik ermöglicht die exakte Vorhersage von astronomischen Ereignissen oder das Steuern von Raumfahrzeugen zu anderen Himmelskörpern.
Ingenieure benötigen mathematische Berechnungen zur Konstruktion und Entwicklung funktionsfähiger Maschinen, von Gebäuden, Brücken, Aufzügen usw.
Anwender können durch Optimierungsberechnungen Material einsparen und Fehlkonstruktionen vermeiden.
Computertomographie-Geräte errechnen aus Messungen mittels Algorithmen, ob im Körper von Lebewesen Verletzungen oder Veränderungen vorliegen, um dadurch chirurgische Eingriffe zu steuern oder gar vermeiden zu helfen.
Mit der Übersetzung von Informationen in Zahlen sind Computer in der Lage sehr viele Informationen immer schneller zu übertragen. Damit weisen elektronische Rechner, Fernsehgeräte, Mobiltelefone, Alarmanlagen und viele andere Apparate Leistungen auf, die noch vor wenigen Jahren undenkbar waren.
Die Chaostheorie ermöglicht Vorausberechnungen komplexer Vorgänge, wie zum Beispiel beim Wetter.
Bereits in Urzeiten mussten die Menschen Mathematik aus praktischen Bedürfnissen entwickeln, was in diesem Buch in den ersten Kapiteln thematisiert werden wird.
Bis in die Gegenwart haben stets neue gesellschaftliche Aufgaben die Entwicklung der Mathematik immer weiter angeregt und vorangebracht.
Mathematische Aussagen lassen sich jedoch leichter verstehen, wenn Beispiele gesucht werden, auf die sie anwendbar sind.
Erfahrungsgemäß kann eine schwierige mathematische Lösung auch dadurch gefunden werden, indem man nach einiger Wartezeit veränderte Lösungswege einschlägt. „Vieles erledigt sich durch Warten.“
Leider hat auch die exakte mathematische Wissenschaft ihre Grenzen. Dann müssen Näherungsverfahren angewandt werden, die insbesondere bei Integralen oder Differentialgleichungen unerlässlich sind.
Für den Autor dieser Zeilen ist es sehr ärgerlich, wenn Prominente sich damit brüsten Mathematik nie verstanden zu haben. Etwas zu verstehen erfordert natürlich auch ein bisschen Denkarbeit. Auch in diesem Sinne soll dieses Buch wirken. Es wäre sehr schön, wenn die beschriebenen Biografien und die zahlreichen mathematischen Beispiele den Lesenden die Faszination der Mathematik erspüren lassen.
Ab Seite 389 werden Zahlenspielereien vorgestellt, mit denen der Autor stets versucht hat, Schülern und mathematisch Interessierten zu zeigen, dass Mathematik wirklich Spaß bereiten kann und nicht nur tierisch ernst und trocken sein muss.
Derartige Aufgaben haben den Schreiber dieser Zeilen auch dazu gebracht, letztendlich Mathematik zu studieren.
Ab der ersten Vorlesung an der Universität verlor sich leider erstmal die Freude an der Mathematik, da fast nur Beweise durchgekaut wurden, die teilweise sogar über eine Stunde lang an die Tafel geschrieben und von hastigen Worten der Professoren begleitet worden waren. Fragen der Studenten wurden häufig mit der Bemerkung abgeschmettert, „dies sei doch alles trivial“.
Zur ersten Vorlesung erschienen so viele Studenten, dass alle Sitzplätze belegt waren, weshalb sich mehrere Zuhörer auf Fensterbänke und auf die Stufen des Hörsaals setzen mussten. Am nächsten Tag war derselbe Hörsaal nur noch halb gefüllt und der Hörerschwund setzte sich noch Wochen fort. Aufgrund der geschilderten Art der Vorlesungen wurden viele Interessierte abgeschreckt und wechselten die Fachrichtung.
Nach jeder Vorlesung mussten mathematische Aufgaben bearbeitet und zeitnah abgegeben werden. Diese waren teilweise recht anspruchsvoll und erforderten anfangs einen erheblichen Zeitaufwand zu ihrer Bearbeitung.
Glücklicherweise kam nach wenigen Studiensemestern wieder mehr Freude an der Mathematik auf.
Dies alles sind Gründe, weshalb der Autor mit diesem Buch versucht, Interesse und Spaß an der Mathematik zu wecken oder zu erhalten und Vorurteile abzubauen.
Urzeit
Als sich nach der Eiszeit, vor etwa 10.000 Jahren, die Erde langsam erwärmte, begannen die Menschen sesshaft zu werden.
Der Tauschhandel erforderte die Entwicklung einfacher Rechenmethoden. Sinnvollerweise mussten die Händler zumindest zählen, vermutlich aber auch multiplizieren können. Die Anzahl der Früchte konnte addiert werden, aber bei Getreidekörnern war das Zählen schon langwieriger. Hier war Schätzen angebracht, das noch heute ein übliches Verfahren in Teilen der Mathematik und den Naturwissenschaften ist.
Zoologische Beobachtungen zeigen, dass auch einige Tierarten in der Lage sind, Zahlen zu verstehen und sogar anzuwenden.
Daher sollte es nicht überraschen, dass sich Mathematik wohl bereits in der Steinzeit entwickelte.
Wie noch heute die Tiere, werden auch die Fähigkeiten der sehr frühen Menschen völlig unterschätzt. Diese nutzten meist keine Schrift und gaben ihr Wissen nur mündlich weiter.
Allerdings wurden Knochen gefunden, auf denen Kerben systematisch eingeritzt waren. Ob diese Scharten Zahlen entsprechen oder nur Zierrat waren, lässt sich nicht immer mit Bestimmtheit sagen.
In Brüssel wird der sogenannte Ishango-Knochen aufbewahrt, der aus Zentral-Afrika stammt und ein Alter von etwa 20.000 Jahren haben soll.
Dieser ungefähr zehn Zentimeter lange Pavianknochen weist in drei Spalten mehrere Gruppen von Kerben auf.
Zwei der Spalten ergeben je genau 60 Kerben, was dem Sexagesimal- bzw. Hexagesimalsystem entspricht, das in diesem Buch auf den Seiten 32, 352 und 450 erklärt wird.
Jedoch könnten diese Einschnitte auch Mondphasen oder ähnliches dokumentiert haben.
Auf jeden Fall scheinen Menschen der Steinzeit schon Mengensysteme, zum Beispiel in Form dieser Kerben, genutzt haben.
Die moderne Mengenlehre entwickelte sich erst Ende des 19. Jahrhunderts, vor allem durch Georg Cantor, dessen Bedeutung in diesem Buch ab Seite 281 ausführlich beschrieben wird.
Harappa-Kultur
Ab etwa 2600 v. Chr. entwickelte sich die Harappa-Kultur im Tal des Indus. Auf einer riesigen Fläche lagen in den Gebieten des heutigen Pakistan und von Nordwestindien über tausend Siedlungen verteilt.
Leider haben diese Menschen nur sehr wenige Texte hinterlassen, die sie meistens auf Steinsiegel meißelten. Auch wegen dieser lückenhaften Textbestandteile konnte deren Schrift noch immer nicht entziffert werden.
Wegen der spärlichen Aufzeichnungen gibt es leider auch keine Hinweise auf mathematische Kenntnisse.
Im mesopotamischen Ur wurden Gegenstände mit Indus-Schriftzeichen gefunden, was auf Handelsbeziehungen hinweist.
Daher werden sich vermutlich die Induskultur und die Kultur Mesopotamiens ausgetauscht und befruchtet haben.
Einige Historiker kommen jedoch zu dem Schluss, dass es in der Indus-Kultur wohl kein Hexagesimalsystem, sondern ein Centesimalsystem, also ein Hundertersystem gegeben habe.
Als Zahlzeichen wurden vermutlich kurze Striche für kleine Werte und lange Striche für die Hunderter-Zahlen verwendet. Für die Zahl 1000 wurde ein Zeichen aus einem vertikalen und einem horizontalen Strich genutzt. Schwierigkeiten traten auf, wenn die Zahlen mit einer größeren Anzahl von kurzen Strichen geschrieben werden sollten, weshalb ein Zehnerzeichen eingeführt wurde und sich langsam ein Dezimalsystem entwickelte.
Frühbronzezeit in Mitteleuropa
Als Beispiel fortschrittlicher Kultur im Mitteleuropa des dritten Jahrtausends vor unserer Zeitrechnung soll die „Himmelsscheibe von Nebra“ etwas ausführlicher erklärt werden. Es handelt sich dabei um eine kreisförmige Bronzeplatte mit Applikationen aus Gold, die als die älteste bisher bekannte konkrete Himmelsdarstellung gilt. Darauf sind astronomische Phänomene und religiöse Symbole abgebildet.
Die vermutlich bewusste Vergrabung vor etwa 3.600 Jahren könnte auf einen längeren, möglicherweise religiösen Gebrauch hinweisen.
Raubgräber fanden die Scheibe im Jahre 1999 auf dem Mittelberg nahe der Stadt Nebra in Sachsen-Anhalt.
Bildquelle:Landesmuseum für Vorgeschichte Halle (Saale)
Die im oberen Bereich der Scheibe zu sehende Gruppe von sieben kleinen Plättchen könnten den Sternhaufen der Plejaden, die zum Sternbild Stier gehören, darstellen. Weitere 25 Plättchen waren bisher astronomisch nicht zuzuordnen und werden deshalb als Verzierung gewertet. Der große mittlere Kreis wurde zunächst als Sonne interpretiert. Möglicherweise könnte er jedoch den Vollmond darstellen, wenn man die rechte Sichel als zunehmendem Mond betrachtet.
Eine andere Interpretation geht davon aus, dass schon in der Bronzezeit der Versuch einer Harmonisierung des Mondjahres von 354 Tagen, die der Mond braucht, um die Erde zwölfmal zu umkreisen, mit dem Sonnenjahr von 365,25 Tagen, die die Erde für eine Sonnenumkreisung benötigt, vorgelegen haben könnte. Womit wahrscheinlich versucht worden war, einen Gleichklang zwischen Mond- und Sonnenjahr zu schaffen.
Damit würde auf der Bronzescheibe ein Äquivalent zu den babylonischen und altägyptischen Schaltmonaten dargestellt worden sein.
Die später hinzugefügten Horizontbögen am rechten Scheibenrand bilden jeweils einen Winkel von 82 Grad, den auch Sonnenaufgang und Sonnenuntergang im Verlauf der Winter- und Sommersonnenwende am Horizont bilden. Am Mittelberg, dem Fundort der Scheibe, könnte die Scheibe waagerecht so positioniert worden sein, dass die gedachte Linie vom oberen Ende des linken Bogens zum unteren Ende des rechten Bogens auf die Spitze des etwa 85 km entfernten Brocken im Harz wies. Deshalb hätte die Scheibe als Kalender zur Verfolgung des Sonnenjahrs genutzt werden können.
Kelten
Die Kultur der Kelten, die spätestens ab dem Jahre 800 v. Chr. Mitteleuropa besiedelten, wurde und wird ebenfalls unterschätzt.
Ihr Kernsiedlungsgebiet lag im heutigen Süddeutschland und in Ostfrankreich.
Der griechische Mathematiker und Philosoph Pythagoras (s. S. 54) soll im 6. Jahrhundert v. Chr. einige Jahre bei keltischen Druiden verbracht haben, um von ihnen zu lernen. Vielleicht auch geprägt durch diese Jahre entwickelte sich Pythagoras, nach Aussage von Aristoteles (s. S. 64), zum „Begründer der griechischen Mathematik“. Aber davon später mehr.
Über die Druiden, die großes Wissen in Astronomie, Mathematik, Medizin, Musik und Rechtsprechung besaßen, bildeten die Kelten ein außergewöhnliches, sehr fortschrittliches Staatssystem heraus. Weil die Kelten keine Schrift besaßen, gaben die Druiden das Wissen mündlich weiter und bildeten dadurch eine geistige Elite.
Eine interessante Skulptur stellt der keltische Wackelstein dar (s. Abb.). Er weist eine ebene Oberseite und eine ellipsoidale Unterseite auf.
Bildquelle:Universität Bremen
Seine Unwucht, hervorgerufen durch asymmetrisch verteilte Gewichte im oder auf dem Wackelstein, macht ihn so besonders. Dieser Symmetriebruch erzeugt eine bevorzugte Rotationsrichtung. Die Drehung entgegen dieser Richtung ist instabil, weshalb der Stein erst in ein mehrfaches Wippen übergeht und nach dem Wippen die Drehungsrichtung ändert. Seine Dynamik ist sehr vielseitig und komplex.
Druiden sollen solche Steine zur Entscheidungsfindung benutzt haben.
Ab dem siebten nachchristlichen Jahrhundert bildeten sich sogenannte „keltische Knoten“, hauptsächlich in Irland zur Verzierung heraus. Diese geometrischen Muster wurden noch viele Jahre später als Dekoration auf Metall- und Steinmetzarbeiten sowie illuminierten Manuskripten verwendet.
Mathematisches Wissen der Kelten und auch die Bedeutung, die mit keltischen Knoten verbunden ist, sind im Laufe der Zeit verloren gegangen, weil die Kenntnisse nur mündlich weitergegeben wurden. Da die keltischen Knoten ohne Anfang und Ende dargestellt wurden, sind sie vielleicht mit der Idee des kontinuierlichen Kreislaufs von Leben, Tod und Wiedergeburt oder den drei Zuständen von Geist, Körper und Seele verbunden.
Es wird angenommen, dass das Verwobene der Stränge möglicherweise Verbindungen im Leben zwischen der realen Welt und der Anderswelt darstellen sollte.
Der Triquetra-Knoten (rechte Abb.) stellt die einfachste Form der keltischen Knoten dar. Er besteht aus drei Bögen, die sich überlappen und keinen Anfang oder Ende aufweisen. Die Zahl Drei hatte für die Kelten eine besondere Bedeutung. Dies zeigt sich auch in ihrem Glauben an die Göttin Brigid, die in dreifacher Gestalt verehrt wurde.
Auch der Triskelion-Knoten (linke Abb.) weist eine dreifache Struktur auf. Für die Bedeutung dieses Symbols gibt es auch verschiedene Interpretationen. So könnte die erste Spirale die reale Welt darstellen, während die zweite Spirale für die Welt der Ahnen, Geister und Götter stehen könnte. Die dritte Spirale stünde eventuell stellvertretend für die kosmische Welt der Sterne, Planeten, Sonne und Mond. Andere Ideen sprechen dem Triskelion die Darstellung der Verbundenheit von Wasser, Erde und Himmel zu.
Im Begriff Dara-Knoten (rechte Abb.) steckt das keltische Wort „doire“, das „Eichenhain“ bedeutet.
Die kompliziert verwobenen Stränge des Knotens sollen wohl das ausgedehnte Wurzelsystem der Eiche symbolisieren. Die Kelten schienen die Eiche als Symbol für Stärke, Weisheit und Langlebigkeit verehrt zu haben.
Weitere Knotensymbole sind bekannt und bezeugen die geometrischen Fähigkeiten der Kelten. Über algebraische Kenntnisse dieses großen Volkes ist jedoch nichts bekannt.
Dafür wurden in den letzten Jahrzehnten einige keltische Kultstätten gefunden, die auf das astronomische Wissen der Kelten verweisen.
Erst vor wenigen Jahren waren im hessischen Glauberg zwei große Grabhügel entdeckt worden, in denen sich zwei außergewöhnlich gut erhaltene Fürstengräber befanden.
Die Sandstein-Statue eines Keltenfürsten wurde zu einem Wahrzeichen dieses archäologischen Parks.
Am größeren der beiden Hügel kamen ein Grabensystem und Spuren von 16 mächtigen hölzernen Pfosten zu Tage. Man deutet die Anlage aufgrund ihrer durchdachten geometrischen Struktur als astronomisches Bauwerk und als einen präzisen Kalender. Mit den etwa acht Meter hohen Eichenpfählen ließen sich als Visiermarken bestimmte Punkte am Horizont genau anpeilen. Dadurch waren die Kelten in der Lage, die tägliche Verschiebung des Mondaufgangspunkts zu messen, was ihnen wiederum ermöglichte, Tage kalendarisch zu fixieren und wichtige Termine des Jahres vorauszuberechnen. Dazu zählten beispielsweise die Zeiträume für Aussaat und Ernte sowie Winter- und Sommersonnenwende.
Auch keltische Gräber auf dem Magdalenenberg bei Villingen-Schwenningen waren auf den Mond und den Sternenhimmel ausgerichtet.
Im Gegensatz zum englischen Stonehenge, das sich am Verlauf der Sonne orientierte, richtete sich die Anlage auf dem Magdalenenberg nach dem Mond. Die Erbauer der Anlage setzten Stangenreihen auf den Hügel, um die Mondwenden zu erfassen.
Bereits Julius Caesar berichtete über die keltische Zeitrechnung nach dem Mond. Durch die Eroberungen der Römer und die damit einhergehende Vernichtung der keltisch-gallischen Kultur, geriet auch ihre Art der Kalenderrechnung in Vergessenheit.
Minoer
Die Minoer bildeten wohl die erste Hochkultur Europas: Schon vor etwa 5.000 Jahren errichteten sie Palastanlagen auf Kreta, bauten Straßen und beherrschten mit ihrer Flotte das östliche Mittelmeer.
Aufgrund der exponierten Lage ihrer Insel Kreta hatten die Minoer Handelsvorteile, die sie geschickt nutzten und dadurch über eine lange Zeit die bestimmende Macht im Mittelmeerraum waren.
Mit dem Minotaurus, einem Mischwesen, das einen menschlichen Körper, aber den Kopf eines Stieres hatte, wurde der Stierkult der Minoer geprägt.
Ein Stier ziert noch heute den Platz vor der Frankfurter Börse und steht für einen florierenden Aktienmarkt.
Minoische Gelehrte nutzten zwei verschiedene Schriftarten, eine Hieroglyphen- und eine Keilschrift.
Schon vor etwa 3.500 Jahren rechneten die Minoer mit Bruchzahlen und schrieben diese mit ihrer Keilschrift nieder.
Aktuellen Annahmen zufolge verwendeten die Minoer ein Dezimalsystem. Nach heutigen Erkenntnissen scheinen Zehnerwerte mit waagerechten Strichen oder Punkten gekennzeichnet worden zu sein, Hunderterwerte mit Kreisen und Tausender mit von Strichen umgebenen Kreisen. Derartige Symbole wurden auf Tontafeln eingeritzt, mit denen Handelsabrechnungen und Verwaltungsakte beschrieben wurden (s. Abb.).
Bildquelle:scinexx
Auf der abgebildeten Tontafel sind 17 dreieckige und halbkreisförmige Grundzeichen erkennbar, die durch Punkte ergänzt sind. Nach derzeitigen Erkenntnissen könnten diese Zeichen Bruchzahlen repräsentieren.
Genaue mathematische Werte des minoischen Zahlensystems sind noch nicht entschlüsselt, da viele der Tontafeln unvollständig und meist kaum lesbar sind. Vermutlich haben die Minoer ihre Zeichen wohl im Laufe der Zeit abgewandelt.
Auch wenn noch nicht alle der minoischen Zeichen zugeordnet werden konnten, kann festgestellt werden, dass dieses Volk großartige mathematische Kenntnisse besaß, um eine derart fortschrittliche Kultur zu entwickeln.
