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- Herausgeber: tredition
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
Mit diesem Buch versucht der Autor die wichtigsten Themenbereiche der Analytischen Geometrie bzw. Linearen Algebra anschaulich und möglichst übersichtlich darzustellen. Meist kann man auf unterschiedlichsten Wegen zum Lösungsziel einer mathematischen Aufgabe gelangen. In dieser vorliegenden Zusammenfassung des Lehrstoffs der mathematischen Oberstufe des Gymnasiums wird daher versucht, die wichtigsten Abiturthemen so verständlich wie möglich und ohne komplizierte Umwege darzulegen. Mathematik lernt man jedoch am ehesten durch eigenes Erarbeiten, weshalb die angebotenen Aufgaben erst ohne den Lösungsteil dieses Buchs in Angriff genommen werden sollten. Es kann manchmal auch sinnvoll sein, einen nicht verstandenen Lösungsweg erst nach einiger Zeit nachzuvollziehen.
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Veröffentlichungsjahr: 2024
Ähnliche
Mathematik-Abitur
Band 2
Analytische Geometrie Lineare Algebra
zur Abiturvorbereitungund zum Selbststudium
von Reinhold Goldmann
Inhalt
Cover
Titelblatt
Einführung
1. Historische Entwicklung
2. Vektoren
2.1 Vektorraum
2.2 Ortsvektor
2.3 Länge eines Vektors
2.4 Abstand von Punkten
2.5 Vektoraddition
2.6 Vektorsubtraktion
2.7 Geometrische Verschiebung
2.8 Einheitsvektor
2.9 Kollinearität
2.10 Komplanarität
2.11 Lineare Unabhängigkeit
3. Berechnung von Vektoren und Punkten
3.1 Mittelpunkt eines Vektors bzw. einer Strecke
3.2 Schwerpunkt eines Dreiecks
3.3 Punkte und Vektoren im Raum
4. Die Basis eines Vektorraums
4.1 Die kanonische Basis
4.2 Basisvektoren
5. Skalarprodukt
5.1 Winkelfreie Darstellung des Skalarprodukts
5.2 Orthogonale Vektoren
5.3 Winkel zwischen Vektoren
6. Vektorprodukt - Kreuzprodukt
6.1 Berechnung des Kreuzprodukts
6.2 Flächeninhalt eines Parallelogramms
6.3 Dreiecksfläche
6.4 Volumen eines Spats
7. Geradengleichungen
7.1 Koordinatenebenen
7.2 Die Normalform der Geraden in einer Koordinatenebene
7.3 Umwandlung der Normalform einer Geraden der xy-Ebene in die Parameterform
7.4 Verlauf von Geraden
7.5 Geradenscharen
7.6 Geradenbündel
7.7 Spurpunkte
7.8 Schnittwinkel von Geraden
7.9 Abstand von Punkten
8. Ebenen
8.1 Parameterformen von Ebenen
8.2 Koordinatenform einer Ebene
8.3 Achsenabschnittsform der Ebene
8.4 Umwandlung der Achsenabschnittform in die Koordinatenform
8.5 Umwandlung der Koordinaten- in die Parameterform
8.6 Schnitt einer Geraden mit einer Ebene
8.6.1 Ebene in Koordinatenform und Gerade in Parameterform
8.6.2 Ebene und Gerade in Parameterform
8.7 Lage zweier Ebenen
8.7.1 Eine Ebene in Koordinatenform, die andere in Parameterform
8.7.2 Vorliegen zweier Ebenen in Koordinatenform
8.7.3 Identität von Ebenen
8.7.4 Parallelität von Ebenen
8.8 Spurgeraden
8.9 Ebenenscharen und Ebenenbüschel
8.10 Trägergerade einer Ebenenschar
8.11 Normalengleichung einer Ebene
8.11.1 Umwandlung der Parameter- in die Normalenform
8.11.2 Das Lot von einem Punkt auf eine Ebene
8.11.3 Spiegelung eines Punktes an einer Ebene
8.12 Die Hessesche Normalenform (HNF)
8.12.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene
8.12.2 Lage von Punkten zu einer Ebene
8.12.3 Abstand windschiefer Geraden
8.13 Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene
8.14 Schnittwinkel zweier Ebenen
9. Ausgewählte Abituraufgaben
10. Lösungen aller Aufgaben
Der Autor
Urheberrechte
Mathematik-Abitur
Cover
Titelblatt
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Urheberrechte
Mathematik-Abitur
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Einführung
Mit diesem Buch versucht der Autor die wichtigsten Themenbereiche der Analytischen Geometrie anschaulich und möglichst übersichtlich darzustellen. Während vieler Jahre der Vermittlung mathematischer Themen an Lernende verschiedenster Altersgruppen gab es ab und zu Verständnisschwierigkeiten, die einem Lehrenden oft nicht mehr bewusst sind. Manchmal wird ein Mathematiker aber auch durch aufmerksame Zuhörer auf einfachere Lösungswege hingewiesen, die das Verstehen mathematischer Zusammenhänge durchaus erleichtern können. Einige dieser Hinweise wurden in den Unterricht und schließlich auch in dieses Werk übernommen.
In der Mathematik können die unterschiedlichsten Wege zum Ziel führen. Deshalb ist ein verständnisvoller Lehrender stets bemüht, die sinnvollsten und einfachsten Lösungswege zu vermitteln. In dieser vorliegenden Zusammenfassung des Lehrstoffs der mathematischen Oberstufe wird daher versucht, die wichtigsten Abiturthemen möglichst verständlich und ohne komplizierte Umwege darzulegen.
Die in diesem Buch gestellten Aufgaben sollten von den Lesern selbstständig zu lösen versucht werden und erst anschließend mit dem Lösungsanhang überprüft werden. Mathematik lernt man am ehesten durch eigenes Erarbeiten. Es kann manchmal auch sinnvoll sein, einen nicht verstandenen Lösungsweg erst nach einiger Zeit nachzuvollziehen. „Manches erledigt sich durch Warten“. Dies ist im täglichen Leben, wie in der Mathematik ein hilfreiches Mittel, um Frust zu vermeiden. Anschließend sollte man sich allerdings seiner Fehler bewusst werden, um diese künftig zu vermeiden.
Viele berühmte Mathematiker und andere heute angesehene Wissenschaftler sind immer wieder mal Irrtümern aufgesessen, die sie erst später oder teilweise nie berichtigen konnten. Was heute als selbstverständlich gelehrt wird und einem Lernenden so großartig und manchmal schwierig erscheint, konnte häufig erst nach vielen Jahren, Jahrzehnten oder gar Jahrhunderten geklärt werden. Dazu gehören Fragen zur „Quadratur des Kreises“ aus dem Altertum, das „Vierfarben-Problem“, welches erst im 21. Jahrhundert mithilfe elektronischer Rechner gelöst werden konnte, die Frage nach der Unendlichkeit von Primzahlen und viele weitere noch ungelöste Fragestellungen.
Auch die Erkenntnis und der anschließende mathematische Beweis der Unlösbarkeit einer Aufgabenstellung gehört zum Wesen der Mathematik.
Man sollte sich allerdings niemals durch Aufgabenstellungen jeglicher Art entmutigen lassen, sondern versuchen, möglichst alternative Lösungswege zu testen. Es kann durchaus Freude bereiten, ein Problem zu einem späteren Zeitpunkt gelöst oder verstanden zu haben.
Das vorliegende Lehrbuch eignet sich nicht nur für die Vorbereitung der Abiturprüfung, sondern auch für Personen, die sich in die höhere Mathematik einarbeiten möchten.
3. Berechnung von Vektoren und Punkten
3.1 Mittelpunkt eines Vektors bzw. einer Strecke
Beispiel:
B9. Bestimme den Ortsvektor und die Koordinaten des Mittelpunkts M zwischen den Punkten P(2|-3|1) und Q(4|-1|3).
Aufgabe:
A10. Errechne den Mittelpunkt zwischen Punkten A(-1|0|2) und B(2|4|-3) und gib den zugehörigen Ortsvektor von M an.
3.2 Schwerpunkt eines Dreiecks
Hinweis:
Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt dieses Dreiecks.
Beispiel:
B10. Bestimme den Schwerpunkt des Dreiecks mit den Eckpunkten A(1|2|3), B(4|5|6) und C(-2|-4|-3).
Aufgabe:
A11. Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks mit den Eckpunkten A(4|1|3), B(-1|-4|0) und C(0|-3|6) und gib den Ortsvektor von S an.
3.3 Punkte und Vektoren im Raum
Beispiel:
B11.
Im Pyramidenstumpf der Abbildung sind die Punkte A(6|0|0), B(6|6|0) und F(5|5|3) gegeben.
a) Welche Koordinaten weisen die restlichen Eckpunkte C, D, E, G und H auf.
Wegen der parallelen Kanten gelten: C(0|6|0) und D(0|0|0). Aus dem Vergleich der Punkte A, B mit F lässt sich eine „Einrückung“ um 1 und die „Höhe“ 3 erkennen: E(5|1|3), H(1|1|3), G(1|5|3)
b) Die Vektoren und sind zu bestimmen.
Zu B11.
c) Welche Koordinaten hat der Mittelpunkt M der Deckfläche EFGH?
M(3|3|3)
