So versteh ich Mathe: Kompetent in die Oberstufe E-Book

Florian Kniedler

• Herausgeber: Books on Demand
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: So versteh ich Mathe
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2019

Seitenzahl: 279

Beschreibung

In diesem Buch werden alle wichtigen Themen für die Qualifikationsphase der Oberstufe ausführlich wiederholt. Außerdem gibt es viele bebilderte Anleitungen zur Benutzung der beiden Taschenrechner TI-Nspire CX CAS und Casio ClassPad II FX-CP400. Wichtig war uns bei der Erstellung, keine reine Aufgabensammlung zu verfassen, sondern die einzelnen Themen nochmals zu erklären und zu erläutern. Nach den ausführlichen Erklärungen gibt es jeweils Beispielaufgaben, um das Verständnis des Themas noch besser zu fördern. Daran anschließend folgen am Ende der Unterkapitel dann auch Übungsaufgaben zu den einzelnen Themen. Zum Abschluss gibt es noch vermischte Aufgaben. Zu allen Aufgaben sind die Lösungen im letzten Kapitel zusammengefasst.

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Grundlagen

1.1 Die Taschenrechner

1.1.1 Casio Classpad II

1.1.2 TI Nspire CX CAS

1.2 Mengen

1.3 Grundrechenarten

1.3.1 Rechenarten

1.3.2 Schriftliches Rechnen

1.4 Rechengesetze

1.5 Bruchrechnung

1.5.1 Grundbegriffe

1.5.2 Grundrechenarten

1.6 Zuordnungen / Dreisatz

1.7 Prozent- und Zinsrechnung

1.7.1 Zinseszins

1.8 Terme

1.9 Lineare Gleichungen

1.10 Maßeinheiten

1.11 Grundlagen der Geometrie

1.11.1 Das Koordinatensystem

1.11.2 Winkel

1.11.3 Grundbegriffe der Geometrie

1.11.4 Eigenschaften von Dreiecken und Vierecken

1.11.5 Besondere Linien im Dreieck

1.11.6 Geometrische Abbildungen

1.12 Vermischte Übungsaufgaben (Lösung S. 273)

Funktionen und Algebra

2.1 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

2.1.1 Potenzen

2.1.2 Wurzeln

2.1.3 Potenzen mit rationalen Exponenten

2.1.4 Logarithmen

2.2 Funktionen

2.2.1 Funktionsbegriff

2.2.2 Proportionale und lineare Funktionen

2.2.3 Quadratische Funktionen

2.2.4 Problemlösen/ Modellieren mit Quadratischen Funktionen

2.2.5 Potenzfunktionen

2.2.6 Exponentialfunktionen

2.3 Lineare Gleichungssysteme

2.3.1 Lösungsverfahren mit 2 Gleichungen

2.3.2 Gauß-Verfahren

2.4 Quadratische Gleichungen

2.4.1 Reinquadratische Gleichungen

2.4.2 Quadratische Gleichungen ohne Konstante

2.4.3 Allgemeine quadratische Gleichungen

2.4.4 Satz von Vieta

2.4.5 Modellieren mit quadratischen Gleichungen

2.5 Exponentialgleichungen

2.6 Berechnung von Schnittpunkten

2.6.1 Schnittpunkt von Geraden

2.6.2 Schnittpunkt einer Geraden und einer Parabel

2.6.3 Schnittpunkte von Parabeln

2.6.4 Nullstellen von Parabeln

2.7 Trigonometrie

2.7.1 Sinus / Kosinus / Tangens

2.7.2 Sinussatz / Kosinussatz

2.7.3 Trigonometrische Funktionen

Analysis

3.1 Funktionen

3.1.1 Ganzrationale Funktionen

3.1.2 Funktionenscharen

3.1.3 Exponentialfunktionen und Logarithmen

3.1.4 Wachstumsprozesse

3.1.5 Symmetrie

3.1.6 Nullstellenbestimmung

3.1.7 Schnittpunkte mit der y-Achse

3.1.8 Vermischte Aufgaben zu Kapitel 3.1

3.2 Differenzierung und Ableitung

3.2.1 Was bedeutet die Ableitung?/ Ableitungsfunktion

3.2.2 Ableitungsregeln

3.2.3 Ableitungen mit dem CAS

3.2.4 Ableitungsgraph

3.2.5 Tangenten- und Normalenbestimmung

3.2.6 Aufgaben zu Kapitel 3.2

3.3 Kurvendiskussion

3.3.1 Definitions- und Wertebereich

3.3.2 Grenzwerte

3.3.3 Monotonie

3.3.4 Nullstellen

3.3.5 Schnittpunkte mit der y-Achse

3.3.6 Extrempunkte und Sattelpunkte

3.3.7 Wendepunkte

3.3.8 Graphen zeichnen

3.3.9 Zusammenhang Funktionsgraph und Ableitungsgraph

3.3.10 Vollständige Kurvendiskussion

3.4 Anwendungen

3.4.1 Lineare Gleichungssysteme

3.4.2 Ganzrationale Funktionen bestimmen/Steckbriefaufgaben

3.4.3 Sachzusammenhang in Anwendungsaufgaben

3.5 Vermischte Aufgaben zum Kapitel

Geometrie / Vielecke und Körper

4.1 Umfangs- und Flächenberechnungen

4.1.1 Umfangs- und Flächenformeln

4.1.2 Umfänge und Flächen berechnen

4.1.3 Zusammengesetzte Flächen

4.2 Darstellungen von Körpern

4.2.1 Schrägbild

4.2.2 Körpernetz

4.3 Körperberechnungen

4.3.1 Oberflächen- und Volumenformeln

4.3.2 Oberflächen- und Volumenberechnungen

4.4 Zusammengesetzte Körper

4.5 Restkörper

4.6 Sätze in der Geometrie

4.6.1 Flächensätze

4.6.2 Satz des Thales

4.6.3 Strahlensätze

Daten und Diagramme / Statistik

5.1 Grundbegriffe der Statistik

5.2 Diagramme erstellen

5.2.1 Boxplots

5.2.2 Andere Diagrammarten

Wahrscheinlichkeitsrechnung

6.1 Grundbegriffe

6.2 Einstufige Zufallsexperimente

6.3 Mehrstufige Zufallsexperimente

6.4 Laplace-Experimente

6.5 Vierfeldertafeln

6.6 Unbekannte Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Vermischte Aufgaben

7.1 Aufgaben im Stile der Abschlussprüfung

7.1.1 Aufbau der Prüfung

7.1.2 Prüfung 1

7.1.3 Prüfung 2

7.1.4 Prüfung 3

Operatoren

Lösungen

9.1 Lösungen Übungsaufgaben

9.1.1 Lösungen: Prüfung 1

9.1.2 Lösungen: Prüfung 2

9.1.3 Lösungen: Prüfung 3

Vorwort

Liebe Schülerinnen, liebe Schüler,

als studierter Mathematiker bzw. studierte Mathematikpädagogin haben wir ausreichend Erfahrung im Geben von Nachhilfe im Fach Mathematik und im Unterrichten von Schülerinnen und Schülern an verschiedenen Schulformen inklusive der Vorbereitung auf die zentralen Prüfungen zum Realschulabschluss und zum Abitur. Seit Sommer 2013 bzw. seit Sommer 2009 unterrichten wir gemeinsam an einem Gymnasium bei Lüneburg. Uns ist es immer wichtig, dass alle SchülerInnen die Möglichkeit haben, die Mathematik nicht nur nachvollziehen oder anwenden zu können, sondern sie auch wirklich zu verstehen. Bei der Vorbereitung hat sich herausgestellt, dass immer wieder vieles wiederholt werden muss. Zudem haben wir im Laufe der Zeit mehr und mehr herausgefunden, wo die meisten Probleme liegen und was den SchülerInnen besonders schwerfällt. Aus dieser Erfahrung heraus ist diese Buchreihe nach und nach entstanden.

Dieses Buch soll euch also helfen, den Start in die Qualifikationsphase der gymnasialen Oberstufe gut zu bewältigen und während der Qualifikationsphase ein Nachschlagewerk zu haben, falls Themengebiete aus der Sekundarstufe I bzw. der Einführungsphase vorausgesetzt werden, die ihr nicht mehr so gut beherrscht.

Solltet ihr irgendwelche Fragen, Anregungen, Lob oder auch Kritik haben, scheut euch nicht, uns diese mitzuteilen. Besucht die Website

www.so-versteh-ich-mathe.de oder www.soverstehichmathe.de

und nehmt dort mit uns Kontakt auf. Oder schreibt uns direkt eine Mail an:

[email protected] oder [email protected]

Wollt ihr uns direkt anschreiben, erreicht ihr uns auch unter:

[email protected]

oder

[email protected]

Wir freuen uns über jede Rückmeldung.

Ansonsten hoffen wir, dass ihr gut mit den Erklärungen zurechtkommt und dann mit dem Einstieg in die Oberstufe kein Problem mehr habt. Ein Professor sagte einmal zu uns, dass er uns kein Glück wünscht, denn das brauchen nur diejenigen, die unvorbereitet in eine Prüfung gehen. Deshalb hat er uns viel Erfolg gewünscht.

Dies werden wir genauso handhaben, denn wenn ihr mit dem Buch arbeitet, habt ihr euch hoffentlich gut vorbereitet.

Also viel Erfolg für die Oberstufe, natürlich nicht nur für Mathe, sondern auch für die anderen Fächer.

Florian Kniedler und Ingrid Lalla

1 Grundlagen

In diesem Kapitel werden noch einmal kurz und knapp die Grundlagen wiederholt, die zwar nicht einzeln abgefragt, aber in den einzelnen Aufgaben vorausgesetzt werden. Besonders wichtige Grundlagen werden in diesem Kapitel ausführlicher behandelt (wie z.B. Gleichungen, Prozentrechnung, usw.).

Am Ende des Kapitels gibt es einen kleinen Test über diese Grundlagen. Wer also meint, dass er hier keine besondere Übung benötigt, kann auch einfach diesen Test bearbeiten und daran sehen, ob er sich richtig eingeschätzt hat und dieses Kapitel überspringen kann oder nicht.

1.1 Die Taschenrechner

Eine große „Baustelle“ in der Oberstufe sind die CAS (Computer Algebra Systeme) und der Umgang mit den modernen Taschenrechnern, die weit mehr können als nur kleine Rechnungen auszuführen. Aus diesem Grunde haben wir uns entschlossen, die beiden wichtigsten CAS zu integrieren. Hierbei handelt es sich um den TI-Nspire CX CAS von Texas Instruments (kurz TI) und den ClassPad II FX-CP400 von Casio. An den Stellen, an denen euch die Taschenrechner gut helfen können, gehen wir auf diese ein und erklären euch den Umgang und die wichtigsten Befehle. Zum besseren Verständnis haben wir mit der Erlaubnis der beiden Hersteller viele Screenshots integriert und hoffen euch damit gut helfen zu können.

Solltet ihr nicht die CAS Variante haben, funktionieren die Befehle für die reinen Rechenoperationen meist genauso. Auch die Graphiken können genauso erstellt werden, der Funktionsumfang ist einfach nur geringer.

Die älteren Varianten funktionieren ebenfalls ähnlich. Viele Befehle funktionieren auch dort.

Auch in diesem Kapitel zeigen wir schon an einigen Themen, wie man die beiden CAS Rechner einsetzen kann. Sei es zur Überprüfung eines Ergebnisses, wenn man etwas ausrechnen soll und den kompletten Rechenweg angeben muss oder auch zur vereinfachten und schnellen Rechnung.

Denkt aber immer daran, dass ihr grundsätzlich alles sowohl mit als auch ohne Taschenrechner lösen können müsst. Es gibt oft sogenannte hilfsmittelfreie Teile in Prüfungen oder Arbeiten, in denen weder Taschenrechner noch Formelsammlung genutzt werden dürfen. Die allgemeinen Teile hingegen sind so ausgelegt, dass ihr eure Taschenrechner einsetzen solltet. Wenn z.B. die Lösung einer größeren Gleichung verlangt wird und nicht extra ein ausführlicher Lösungsweg gesucht wird (z.B.: „Berechnen Sie und geben Sie einen ohne CAS nachvollziehbaren Lösungsweg an“), dann sollte immer der CAS genutzt werden, da die ausführliche Lösung zu zeitaufwendig ist.

1.1.1 Casio Classpad II

Das wichtigste Fenster ist das Hauptmenü, welches aus zwei Übersichten besteht. Die erste Übersicht seht ihr exemplarisch auf der linken Seite, die zweite auf der rechten.

Auf diese Seite kommt ihr immer zurück, wenn ihr unten auf das Feld „Menu“ klickt (im linken Bild markiert).

Wenn ihr den Rechner so wie hier auf Englisch eingestellt habt, geht ihr auf die zweite Seite und klickt auf „System“ (rechts markiert).

Dort klickt ihr oben auf die Weltkugel (siehe Bild) und stellt die Sprache auf Deutsch um.

Euer Menu sieht nun so aus:

Solange ihr ganz normal rechnen wollt und euren ClassPad als Taschenrechner einsetzen oder Terme vereinfachen, Gleichungen lösen oder ähnliches möchtet, nutzt ihr immer den Menüpunkt „Main“ (linkes Bild). Ihr kommt dann in die Ansicht, die ihr im rechten Bild seht.

Wichtig ist noch zu wissen, dass ihr immer alles abspeichern könnt. Allerdings geht es dann nicht um einzelne Rechnungen, sondern es wird immer eine gesamte Datei abgespeichert. Dazu gehört alles, was ihr in den verschiedenen Menüpunkten bearbeitet habt, also z.B. Rechnungen, gezeichnete Funktionen, Tabellen usw..

Speichern könnt ihr immer im Hauptmenü, indem ihr dann oben auf „Menü“ und dann auf „Speichern unter“ klickt (mittleres Bild).

Das bedeutet auch, dass ihr immer ein neues Dokument öffnen solltet, wenn ihr etwas Neues anfangt und nicht mehr auf die „alten“ Werte zurückgreifen möchtet. Ansonsten werden z.B. immer wieder die Werte genommen, die ihr bei einer alten Aufgabe in den Variablen gespeichert habt. Auch dazu klickt ihr auf „Menü“ und dann auf „Neu“ (rechtes Bild).

Grundsätzlich ist noch zu bemerken, dass man im Fenster „Main“ drei Optionen hat, bestimmte Befehle oder Funktionen auszuführen. Die erste Option ist, dass man den Befehl kennt und einfach eintippt. Die Zweite ist über den Menüpunkt „Aktionen“. Hier kann man alles finden und der Befehl wird dann nach der Auswahl eingefügt. Dann kann man diesen mit den gewünschten Parametern ergänzen. Die dritte Option ist der Menüpunkt „Interaktiv“. Hier sind die gleichen Befehle zu finden. Allerdings wird dann nicht einfach der Befehl eingesetzt, sondern es öffnet sich ein Fenster, indem man die Möglichkeit hat alles übersichtlich einzutragen. Man braucht keine Syntax, sondern kann sozusagen eine Tabelle ausfüllen. Wir werden uns bei der Beschreibung der einzelnen Funktionen meist auf diese Option konzentrieren, da sie aus unserer Sicht übersichtlich ist und man oft Probleme hat, sich die ganzen Befehle zu merken. Wenn Ihr damit kein Problem habt, ist die andere Option für Euch dann natürlich auch kein Problem.

Alles Weitere findet ihr an den entsprechenden Stellen im Buch.

1.1.2 TI Nspire CX CAS

Das Startfenster eures TI sieht so aus, wie auf dem rechten Bild zu sehen. Hier seht ihr, dass ihr in die verschiedenen Funktionen wechseln könnt (Symbole unten oder auf der linken Seite als Text) oder auf gespeicherte Dokumente bzw. die Einstellungen zugreifen könnt (rechte Seite).

Die Symbole im Einzelnen:

Calculator: Zum Öffnen des „normalen Taschenrechners“.

Graphs: Zum Öffnen der Zeichenoberfläche für Graphen.

Geometry: Zum Öffnen der Oberfläche für geometrische Zeichnungen.

List & Spreadsheet: Zum Öffnen der Oberfläche der Tabellenkalkulation (ähnlich zu Excel).

Data & Statistics: Zum Öffnen der Oberfläche für Berechnungen im Bereich Statistik und Stochastik.

Notes: Zum Öffnen einer Oberfläche für alle möglichen Notizen.

Vernier DataQuest: Zum Öffnen einer Oberfläche zum Anschluss von Messgeräten und der Aufzeichnung der Ergebnisse.

Wichtig ist noch zu wissen, dass ihr immer alles abspeichern könnt. Allerdings geht es dann nicht um einzelne Rechnungen, sondern es wird immer eine gesamte Datei abgespeichert. Dazu gehört alles, was ihr in den verschiedenen Menüpunkten bearbeitet habt, also z.B. Rechnungen, gezeichnete Funktionen, Tabellen usw.. Ihr seht oben auch immer die momentan geöffneten Tabs.

Speichern könnt ihr immer, indem ihr auf die Taste „doc“ klickt. Es erscheint dann das Fenster im mittleren Bild. Dort klickt ihr auf „Datei“ und dann auf „Speichern unter“ (rechtes Bild).

Das bedeutet auch, dass ihr immer ein neues Dokument öffnen solltet, wenn ihr etwas Neues anfangt und nicht mehr auf die „alten“ Werte zurückgreifen möchtet. Ansonsten werden z.B. immer wieder die Werte genommen, die ihr bei einer alten Aufgabe in Variablen gespeichert habt. Auch dazu klickt ihr auf „doc“ und dann auf „Neues Dokument“.

Das Ganze funktioniert aber nur gut, solange ihr nicht im „Scratchpad“ arbeitet! Gewöhnt es euch am besten an, gar nicht mehr im Scratchpad zu arbeiten.

Alles Weitere findet ihr an den entsprechenden Stellen im Buch.

In der Mathematik gibt es ein paar grundlegende Begriffe, die bekannt sein sollten.

1.2 Mengen

Es gibt einige Grundmengen, die in der Schule nach und nach eingeführt wurden.

Die erste dir bekannte Menge ist die Menge der

natürlichen Zahlen

Diese Menge umfasst also alle Zahlen, die in der „Natur“ vorkommen und die man z.B. mit den Fingern zählen kann. Teilweise zählt auch die 0 zu den natürlichen Zahlen. Wir haben sie jetzt hier herausgelassen und definieren die Menge der natürlichen Zahlen mit der 0 gesondert als

Macht man dies nicht, müsste man die Menge der natürlichen Zahlen ohne die 0 extra definieren.

Dann gibt es die Erweiterung dieser Menge in den negativen Bereich, die sogenannten ganzen Zahlen

Als nächstes gibt es noch die Menge der rationalen Zahlen

Diese Menge sieht etwas kompliziert aus. Die Schreibweise bedeutet einfach nur, dass jede Zahl, die sich als Bruch schreiben lässt, eine rationale Zahl ist. Dies gilt sowohl für positive als auch für negative Zahlen. Daher kann das a (also die Zahl im Zähler) auch eine ganze Zahl, also eine positive oder negative Zahl sein. Da im Nenner keine 0 stehen darf, zeigt sich hier, dass es sinnvoll war, die Menge der natürlichen Zahlen ohne die 0 zu definieren. Sonst hätten wir diesen Fall hier ausschließen müssen.

Es gibt nun aber immer noch Zahlen, die sich nicht als Bruch schreiben lassen. Das sind z.B. oder π. Diese Zahlen haben die Gemeinsamkeit, dass sie nicht endende und nicht periodische Zahlen sind. Sie sind dann in der Menge der reellen Zahlen enthalten. Dies ist also die Menge aller dir bekannten Zahlen.

Insbesondere gilt bei dieser Aufzählung, dass alle natürlichen Zahlen auch ganze Zahlen, rationale Zahlen und reellen Zahlen sind.

Hier ist dieser Zusammenhang nochmals graphisch dargestellt.

Im Inneren sieht man die Menge der natürlichen Zahlen, die komplett in der Menge der ganzen Zahlen liegt. Damit ist jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl. Die Menge der ganzen Zahlen liegt wiederum komplett in der Menge der rationalen Zahlen, welche wieder in der Menge der reellen Zahlen liegt.

1.3 Grundrechenarten

1.3.1 Rechenarten

Es gibt insgesamt vier Grundrechenarten.

Addition

Subtraktion

Multiplikation

Division

Bei jeder Rechenart gibt es feststehende Begriffe, die wie folgt aussehen (a, b, c und d sind im Folgenden beliebige reelle Zahlen, wobei d nicht die 0 sein darf):

Addition:

Beispiel:

Hier ist 5 der 1. Summand, 3 der 2. Summand und 8 ist die Summe der beiden Summanden.

Subtraktion:

Beispiel:

Hier ist 5 der Minuend, 3 der Subtrahend und 2 ist die Differenz von Minuend und Subtrahend.

Multiplikation:

Beispiel:

Hier ist 5 der 1. Faktor, 3 der 2. Faktor und 15 ist das Produkt der beiden Faktoren.

Division:

Beispiel:

Hier ist 6 der Dividend, 3 der Divisor und 2 ist der Quotient aus Dividend und Divisor.

Hier ist es wichtig, dass der Divisor niemals 0 sein darf, (daher haben wir hier d genommen) denn durch 0 darf man niemals teilen!

1.3.2 Schriftliches Rechnen

Immer wieder wird es vorkommen, dass du Rechnungen durchführen musst, die du nicht im Kopf lösen kannst. Für die vier Grundrechenarten gibt es dazu Verfahren, auch ohne Taschenrechner auf das richtige Ergebnis zu kommen.

Addition und Subtraktion:

Bei der Addition und Subtraktion schreibt man die Zahlen so untereinander, dass sie stellengleich untereinander stehen, also Tausender unter Tausender, Hunderter unter Hunderter, Zehner unter Zehner usw. Das gilt ebenso für die Kommastellen. Jetzt wird stellenweise addiert, dabei fängt man rechts an, also in unserem linken Beispiel 0+7+1. Das Ergebnis 8 wird an dieselbe Stelle unter dem Summenstrich geschrieben. Weiter geht es mit 8+6+0, das Ergebnis 14 wird aufgeteilt aufgeschrieben, weil es einen Zehnerübergang gibt. Die 4 kommt ins Ergebnis und die 1 (der „Zehner“) als kleine Ziffer in die nächste Zahlenkolonne. So verfährt man durchgängig bis vorne.

Die Subtraktion funktioniert vom Prinzip her genauso. Wenn man mehrere Zahlen subtrahiert (in diesem Fall die beiden Subtrahenden 289 und 8113 im rechten Bsp.), addiert man diese zunächst und schaut dann, welche Differenz es zum Minuend (hier die 10751) gibt: In unserem Beispiel sind es in der letzten Spalte 3+9=12. Nun überlegt man, wieviel von der 12 noch bis 1 fehlt, da das nicht geht, nimmt man den nächsten Zehnerübergang. Von 12 bis 11 lässt sich aber ebenfalls keine Differenz bilden, deswegen muss man den zweiten Zehnerübergang bemühen: also von 12 bis 21 fehlen 9. Die 9 kommt unter den Ergebnisstrich und die 2 muss als „Zehner“ mit in die nächste Zahlenkolonne geschrieben werden. Weiter geht es mit 2+1+8, das ergibt 11, bis zur 15 fehlen 4 usw.

Multiplikation:

Division:

Und so funktioniert die Division: Man schaut, ob sich die erste Ziffer des Dividenden durch den Divisor teilen lässt, hier im ersten Beispiel also 4 : 9. In unserem ersten Beispiel geht das nicht, weil 4 kleiner als 9 ist. Deshalb nimmt man gleich die zweite Ziffer hinzu. Teilt man nun 41 durch 9, erhält man einen Rest. Also teilt man das nächst kleinere Vielfache von 9. Das Ergebnis von 36 : 9 ist 4, diese 4 wird bereits im Ergebnis rechts vom Gleichheitszeichen notiert. Anschließend wird die 36 von der 41 subtrahiert, es bleiben 5. Um weiter zu rechnen, holt man sich nun aus dem Dividenden die nächste Ziffer dazu, hier ist das die 0 (siehe Pfeil 1). Nun wiederholt man diese Rechenschritte so lange (Pfeil 2), bis am Ende als Rest 0 herauskommt.

Hat man wie in Beispiel 2 eine Kommazahl als Dividenden, so bleibt das Verfahren gleich, aber beim Überschreiten des Kommas (Pfeile 3) - wenn man die nächste Ziffer dazu holt - muss man bereits im Ergebnis ein Komma setzen (Pfeil 4)!

Beispiel 3 zeigt, dass man eine Aufgabe, die sowohl im Dividenden, als auch im Divisor ein Komma enthält, so umschreiben kann, dass das Komma beim Divisor wegfällt. Dazu verschiebt man die Kommas in beiden Zahlen um so viele Stellen nach rechts, bis der Divisor eine ganze Zahl ist, hier also jeweils um eine Stelle. Die Aufgabe wird dann so gerechnet wie in Beispiel 2.

Im vierten Beispiel wird gezeigt, wie man weiter rechnet, wenn der Rest nicht 0 ist, obwohl man bereits alle Ziffern des Dividenden dazu geholt hat. In diesem Fall darf man sich eine 0 dazu holen, muss aber gleichzeitig im Ergebnis ein Komma setzen (Pfeile 5).

Übungsaufgaben: Schriftliches Rechnen (Lösung S. →)

Aufgabe: Berechne.

a) 3875,3 + 662,99 + 4500 + 487,4

b) 9623,7 – 443,1 – 211,05

c) 6389 • 521

d) 73,5 • 28,03

e) 925 : 5

f) 328,44 : 4

g) 154,98 : 2,7

h) 45 : 6

1.4 Rechengesetze

Beim Rechnen müssen einige Gesetze beachtet werden. a, b und c sind wieder beliebige rationale Zahlen.

Kommutativgesetz:

Das Kommutativgesetz (oder auch Vertauschungsgesetz) gilt sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation.

Beispiel:

Es ist also egal, ob man 3+2 oder 2+3 rechnet. Es ergibt beide Male 5.

Assoziativgesetz:

Das Assoziativgesetz (oder auch Verknüpfungsgesetz) gilt ebenfalls sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation.

Beispiel:

Auch hier ist es egal, ob man bei einer Addition oder Multiplikation erst die ersten beiden Summanden (bzw. Faktoren) oder die letzten beiden addiert (bzw. multipliziert).

Distributivgesetz:

Das Distributivgesetz (oder auch Verteilungsgesetz) verbindet die beiden Rechenarten Addition und Multiplikation (oder auch Subtraktion und Division usw.) miteinander.

Beispiel:

Punkt- vor Strichrechnung:

Eine weitere wichtige Regel ist die Punkt- vor Strichrechnung. Achte immer auf diese Regelung und achte auch bei der Eingabe in den Taschenrechner darauf, da dieser die Regel immer berücksichtigt.

Beispiel:

Diese Regel solltest du dir immer wieder bewusst machen. Leider wird sie allzu häufig vergessen und es entstehen Fehler, die unnötig und überflüssig sind. Mache es dir immer wieder bewusst, wenn du etwas zusammenrechnen sollst oder etwas mit dem Taschenrechner berechnest. Der Taschenrechner rechnet auch immer nur so, wie du es ihm sagst.

1.5 Bruchrechnung

Die Bruchrechnung ist grundsätzlich ein sehr wichtiges Thema der Mathematik. Daher werden wir zwar alle Teile behandeln, aber da du in der Prüfung einen Taschenrechner benutzen darfst, werden wir es nicht zu ausführlich vorstellen. Alles was du wissen und können musst, kannst du hier verstehen. Zusammen mit deinem Taschenrechner sollte es dann kein Problem mehr sein. Du solltest dich aber mit dem Thema Bruchrechnung nochmals genau auseinandersetzen, wenn du damit Probleme hast. Es wird dir auch nach der Prüfung immer wieder begegnen, sei es in der Oberstufe oder in der Berufsschule während der Ausbildung oder auch im sonstigen Alltag. Brüche kommen überall vor, auch wenn man es nicht unbedingt erwartet. Als erstes hier eine kleine Übersicht über die wichtigsten Begriffe:

1.5.1 Grundbegriffe

Wie bestimmt man nun solche Bruchteile? Hier ein kleines Beispiel:

In einer Schulklasse sind insgesamt 25 Kinder. 16 davon sind Jungen. Wie groß ist der Anteil der Mädchen?

Da nach den Mädchen gefragt ist, muss man zuerst die Zahl der Mädchen berechnen:

Damit lautet die Lösung:

der Kinder sind Mädchen (und sind Jungen).

Ein zweites Beispiel: In einem Sportverein sind insgesamt 130 Kinder angemeldet.

Davon sind Jungen. Wie viele Jungen und wie viele Mädchen sind angemeldet?

Hier ist es wichtig zu wissen, dass 130 Kinder im Verein sind. Ohne diese Angabe könnte man diese Aufgabe nicht immer eindeutig lösen.

Zur Eingabe der Brüche in den Taschenrechner gibt es unterschiedliche Möglichkeiten. Entweder man nutzt einfach das Zeichen für „geteilt durch“, also „/“. In diesem Fall interpretiert der Taschenrechner die Eingaben automatisch als Bruch. Dazu muss allerdings eingestellt sein, dass die Ergebnisse als Bruch ausgegeben werden. Beim ClassPad muss dazu am unteren Rand des Fensters „Standard“ eingestellt sein. Sollte dies nicht der Fall sein, dann steht dort „Dezimal“. In diesem Fall einfach einmal auf „Dezimal“ klicken und schon steht dort „Standard“. Steht dort „Dezimal“, werden alle Ergebnisse als gerundete Dezimalzahlen (also Kommazahlen) ausgegeben. Beim TI kann man sich das Ergebnis jeweils approximieren (runden) lassen. Dazu muss man erst auf „ctrl“ und dann auf „=“ klicken. Die zweite Möglichkeit, einen Bruch „sauberer“ einzugeben, besteht darin, dass man beim ClassPad zuerst auf „Keyboard“ klickt. Dann öffnet sich die digitale Tastatur und dort kann man dann unter „Math1“ (sollte eigentlich direkt so geöffnet werden) auf das Symbol für Brüche klicken.

Beim TI muss man hingegen auf das Symbol rechts neben der „9“ klicken und dann anschließend auf das Symbol für die Brüche.

Übungsaufgaben: Bruchteile erkennen und bestimmen (Lösung S. →)

Aufgabe 1:

In einer Schule sind insgesamt 560 Kinder angemeldet. 273 davon sind Mädchen.

a) Berechne, wie groß der Anteil der Mädchen an dieser Schule ist.

b) Berechne ebenfalls, wie groß der Anteil der Jungen ist.

Aufgabe 2:

In einer Eisdiele gibt es insgesamt 31 Sorten Eis.

a) Karl kauft insgesamt 4 verschiedene Kugeln Eis. Berechne, welchen Anteil der verschiedenen Sorten er also probiert hat.

b) Karla kauft ebenfalls 4 Kugeln Eis. Sie nimmt aber 2 Kugeln Vanille und 2 Kugeln Schokolade. Berechne den Anteil der verschiedenen Sorten, die sie probiert hat.

c) Frank hat insgesamt der Sorten probiert. Berechne, wie viele Kugeln er mindestens gekauft haben muss. Kannst du auf jeden Fall genau sagen, wie viele Kugeln er gekauft hat?

Aufgabe 3:

Bei der Wahl zum Klassensprecher hat Frank 12 Stimmen, Judith 8 Stimmen, Julian 7 Stimmen und Hanna 1 Stimme erhalten. 1 Stimme war ungültig.

a) Berechne, welchen Anteil der abgegebenen Stimmen die Kandidaten jeweils erhalten haben.

b) Berechne den ungültigen Anteil.

c) Berechne, welchen Anteil der gültigen Stimmen die Kandidaten jeweils erhalten haben. Erkläre den Unterschied zu Aufgabenteil a)!

Aufgabe 4:

In einem Karnevalsverein sind insgesamt weibliche Mitglieder. Der Verein hat zusammen 333 Mitglieder. Berechne jeweils:

a) Wie viele Mitglieder sind weiblich?

b) Wie viele Mitglieder sind männlich?

c) Wie groß ist der Anteil der männlichen Mitglieder?

1.5.2 Grundrechenarten

Begriff

Erklärung

Brüche addieren

Zwei Brüche werden addiert, indem die Nenner gleichnamig gemacht werden (also so erweitert oder gekürzt werden, dass der gleiche Nenner entsteht). Anschließend werden die Zähler addiert und der Nenner wird beibehalten.

Brüche subtrahieren

Zwei Brüche werden subtrahiert, indem die Nenner gleichnamig gemacht werden (also so erweitert oder gekürzt werden, dass der gleiche Nenner entsteht). Anschließend werden die Zähler subtrahiert und der Nenner wird beibehalten.

Brüche multiplizieren

Zwei Brüche werden multipliziert, indem die Zähler miteinander multipliziert werden und die Nenner miteinander multipliziert werden. Am Ende das Kürzen nicht vergessen (geht auch schon während der Rechnung, aber ACHTUNG: Dies geht nur bei der Multiplikation!!!).

Brüche dividieren

Zwei Brüche werden dividiert, indem der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert wird.

Übungsaufgaben: Rechnen mit Brüchen (Lösung S. →)

Aufgabe 1:

Kürze jeweils so weit wie möglich!

a)

b)

Aufgabe 2:

Erweitere mit der in Klammern angegebenen Zahl!

a)

b)

Aufgabe 3:

Finde jeweils einen Wert für das „?“, indem du erweiterst bzw. kürzt! Gib jeweils an, mit welcher Zahl du erweitert bzw. gekürzt hast.

a)

b)

Aufgabe 4:

Berechne!

a)

b)

1.6 Zuordnungen / Dreisatz

Der Dreisatz ist ein sehr gutes Mittel, welches man in vielen Situationen anwenden kann, um Aufgaben zu lösen. Wenn man den Dreisatz beherrscht, benötigt man keine Formeln bei der Prozent- und Zinsrechnung.

Beispiel:

In einer Bäckerei werden 5 Brötchen für 1,25 € angeboten. Wie teuer sind dann 7 Brötchen?

Dazu berechnet man erst einmal wie teuer 1 Brötchen ist. Dies ist ein Grundprinzip beim Dreisatz. Man bestimmt eine Art Grundwert. Da 5 Brötchen 1,25 € kosten, muss man 1,25 € : 5 rechnen. Dies ergibt einen Preis von 0,25 € für ein Brötchen. Wenn man dies nun mit 7 multipliziert, erhält man einen Preis von 1,75 € für 7 Brötchen. Dies kann man in einer Tabelle vereinfacht aufschreiben:

Diesen Dreisatz wendet man bei proportionalen Zuordnungen an, also je mehr Brötchen ich kaufe, desto mehr muss ich bezahlen. (Immer unter der Voraussetzung, dass es keinen Mengenrabatt gibt und jedes Brötchen gleich viel kostet).

Hier ist immer zu beachten, dass eine proportionale Zuordnung wirklich immer nur dann vorliegt, wenn wie hier die doppelte Anzahl an Brötchen auch wirklich das Doppelte kostet und ich auch wirklich nichts bezahlen muss, sollte kein Brötchen gekauft werden. Hier darf also keine Grundgebühr oder ähnliches verlangt werden. In diesem Fall würde es sich um eine lineare Zuordnung (siehe auch Kapitel 2.2.2 Proportionale und lineare Funktionen ab Seite →) handeln.

Daneben gibt es natürlich noch die antiproportionalen Zuordnungen: je mehr Arbeiter an einem Haus bauen, desto weniger Zeit benötigen sie insgesamt, um das Haus zu bauen.

Dazu ebenfalls ein Beispiel:

4 Bagger benötigen 14 Stunden, um ein Loch zu graben. Wie lange benötigen 7 Bagger?

Auch hier rechnet man zuerst aus, wie lange ein Bagger benötigt. Da er dann die vierfache Arbeit machen müsste, muss man die 14 Stunden mit 4 multiplizieren. Ein Bagger benötigt also 56 Stunden. Wenn man diese Arbeit nun auf 7 Bagger aufteilt, muss man 56 Stunden durch 7 dividieren. Damit erhält man das Ergebnis, dass 7 Bagger 8 Stunden benötigen. Wieder als Tabelle:

Auch hier gelten die gleichen Einschränkungen, wie bei proportionalen Zuordnungen, nur eben „andersherum“.

Wenn ich hier die doppelte Anzahl an Baggern nehme, darf natürlich nicht die doppelte Zeit herauskommen, sondern nur die halbe Zeit und andersherum. Im Gegensatz zur proportionalen Zuordnung kann ich mir hier allerdings die Möglichkeit der 0 Bagger nicht anschauen, denn dann würde der Bau nie fertig. Der Ausgangswert darf also nie 0 betragen.

In allen Fällen gilt natürlich, dass dies in der Realität immer an „ideale“ Bedingungen geknüpft sein muss. In diesem Beispiel müssen natürlich beide Bagger getrennt voneinander arbeiten können und sich nicht gegenseitig behindern. Zudem müssen sie genauso leistungsfähig sein und die Baggerführer müssen exakt gleich arbeiten und so weiter. Es sind in solchen Fällen also immer Anhaltspunkte, die man berechnet.

Übungsaufgaben: Zuordnungen (Lösung S. →)

Aufgabe 1:

3 Kilogramm Kartoffeln kosten 6 €. Berechne den Preis von 2 Kilogramm.

Aufgabe 2:

Frank benötigt für 2 Pizzen 300 g Thunfisch. Berechne die Menge für 5 Pizzen.

Aufgabe 3:

Der Futtervorrat für 10 Pferde reicht noch 18 Tage. Leider verstirbt ein Tier. Berechne, wie lange der Vorrat jetzt noch reicht.

Aufgabe 4:

In einem Fußballspiel steht es zur Halbzeit 2:1. Wie endet das Spiel?

Aufgabe 5:

Klaus möchte mit seinem Freunden ins Kino gehen und dort mit ihnen seinen Geburtstag feiern. Insgesamt hat er 14 Freunde eingeladen. Er hat im Vorverkauf bereits die Karten und Gutscheine für Popcorn und Cola besorgt und insgesamt 165 € bezahlt (für jeden eine Eintrittskarte, einmal Popcorn und eine Cola).

Nun sagen leider zwei Freunde kurzfristig ab. Klaus versucht an der Kinokasse die Karten und Gutschein für diese beiden Freunde umzutauschen. Dabei hat er Glück und bekommt das Geld für die Beiden zurück.

Berechne, wie viel Geld er ausgezahlt bekommt.

Aufgabe 6:

Claudia trifft sich mit ihren 4 Freundinnen, um eine kleine Sammlung von Gedichten zu schreiben. Insgesamt sollen es 50 Gedichte werden. Nachdem jede von ihnen bereits 2 Gedichte geschrieben hat, kommen 3 Freundinnen dazu und wollen ebenfalls mitschreiben.

Berechne, wie viele Gedichte jedes der Mädchen jetzt noch schreiben muss, wenn die fehlende Anzahl an Gedichten gleichmäßig aufgeteilt wird.

1.7 Prozent- und Zinsrechnung

Normalerweise sind wir immer dafür, die Prozent- und Zinsrechnung ohne die Formeln anzugehen. Da in der Prüfung aber eine Formelsammlung vorhanden ist, werden wir hier den Dreisatz und die Formeln benutzen. Aber Achtung: In der offiziellen Formelsammlung für die Prüfung ist die Formel nur als gegeben. Wenn man G oder p sucht, muss man diese Formel selbstständig umstellen können. G steht dabei für den Grundwert und entspricht immer 100%. W ist der Prozentwert und p der zugehörige Prozentsatz.

Beispiel:

Karl bekommt 10,- € Taschengeld in der Woche. Nun möchte er 15% auf seinem Sparbuch sparen. Wie viel ist das?

In beiden Fällen kommt man auf eine Lösung von 1,50 €, die Karl jede Woche sparen möchte.

Bei der Zinsrechnung verändern sich nur die Begriffe und Abkürzungen. Das Kapital K entspricht dem Grundwert G, die Zinsen Z entsprechen dem Prozentwert W und der Zinssatz p entspricht dem Prozentsatz p. Hinzu kommt ein Faktor n, der für die Zeit stehen kann. Damit lautet die Formel: mit Zeitfaktor n in Tagen. In der Zinsrechnung entsprechen immer 30 Tage einem Monat und 360 Tage einem Jahr.

Beispiel:

Jan hat 250 € bei einem Zinssatz von 2,5 % für 7 Monate angelegt. Wie viele Zinsen bekommt er?

Hier wurde für n 210 eingesetzt, da 7 Monate 210 Tagen entsprechen. Am Ende muss auf das Runden geachtet werden. Da es um Euro (€) geht, wird immer auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet.

Das bedeutet also, dass der Preis ohne Mehrwertsteuer 49,58 € beträgt. Damit ist die Mehrwertsteuer 9,42 €.

Übungsaufgaben: Prozent- und Zinsrechnung (Lösung S. →)

Aufgabe 1:

Bei der Weinlese eines kleinen Weingutes werden 500 kg Trauben geerntet. 20 % davon können für den besten Wein verwendet werden. Berechne, wie viel Kilogramm das sind.

Aufgabe 2:

75 % der Kinder in der Klasse 10 treiben Sport in einem Verein. Das sind 24 Kinder. Berechne, wie viele Kinder in der Klasse sind.

Aufgabe 3: