So versteh ich Mathe: ZP NRW E-Book

Florian Kniedler

• Herausgeber: Books on Demand
• Kategorie: Bildung
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2017

Seitenzahl: 111

Beschreibung

In diesem Buch werden alle wichtigen Themen für die ZP ausführlich wiederholt. Wichtig war mir bei der Erstellung, keine reine Aufgabensammlung zu verfassen, sondern die einzelnen Themen nochmals zu erklären und zu erläutern. Nach den ausführlichen Erklärungen gibt es jeweils Beispielaufgaben, um das Verständnis des Themas noch besser zu fördern. Daran anschließend folgen am Ende der Unterkapitel dann auch Übungsaufgaben zu den einzelnen Themen. Zum Abschluss gibt es noch Aufgaben im Stile der Abschlussprüfung. So oder so ähnlich könnte eine Prüfung aussehen. Zu allen Aufgaben sind die Lösungen im letzten Kapitel zusammengefasst.

Leseprobe

Ein großer Dank an dieser Stelle geht an Alex und insbesondere Andreas, die mir besonders beim Cover und Titel geholfen haben. Ohne Euch wäre das nicht so schön geworden, wie es jetzt ist!

Weiterhin möchte ich mich bei Ingrid bedanken, die mir geholfen hat, die alte Auflage zu überarbeiten und dafür viel Zeit investiert hat. Bei den nächsten Projekten wirst du mich als Mitautorin unterstützen. Ich freue mich auf erfolgreiche Projekte mit dir! Ohne dich hätte ich diese Neuauflage nicht so hinbekommen!

DANKE!!!

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen

1.1 Mengen

1.2 Grundrechenarten

1.3 Rechengesetze

1.4 Bruchrechnung

1.4.1 Grundbegriffe

1.4.2 Grundrechenarten

1.5 Zuordnungen / Dreisatz

1.6 Prozent- und Zinsrechnung

1.6.1 Zinseszins

1.7 Terme

1.8 Lineare Gleichungen

1.9 Maßeinheiten

1.10 Vermischte Übungsaufgaben

2 Funktionen und Algebra

2.1 Potenzen

2.2 Wurzeln

2.3 Funktionen

2.3.1 Funktionsbegriff

2.3.2 Proportionale und lineare Funktionen

2.3.3 Quadratische Funktionen

2.3.4 Potenzfunktionen

2.3.5 Exponentialfunktionen

2.4 Lineare Gleichungssysteme

2.5 Quadratische Gleichungen

3 Vielecke und Körper

3.1 Grundbegriffe der Geometrie

3.2 Umfangs- und Flächenberechnungen

3.2.1 Umfangs- und Flächenformeln

3.2.2 Umfänge und Flächen berechnen

3.2.3 Zusammengesetzte Flächen

3.3 Körperberechnungen

3.3.1 Oberflächen- und Volumenformeln

3.3.2 Oberflächen- und Volumenberechnungen

4 Sätze in der Geometrie

4.1 Flächensätze

4.1.1 Satz des Pythagoras

4.1.2 Höhensatz

4.1.3 Kathetensatz

4.2 Strahlensätze

5 Trigonometrie

5.1 Sinus / Kosinus / Tangens

5.2 Sinussatz / Kosinussatz

6 Daten und Diagramme / Statistik

6.1 Grundbegriffe der Statistik

6.2 Diagramme erstellen

6.2.1 Boxplots

6.2.2 Andere Diagrammarten

6.2.2.1 Säulendiagramm

6.2.2.2 Balkendiagramm

6.2.2.3 Kreisdiagramm

7 Wahrscheinlichkeitsrechnung

7.1 Grundbegriffe

7.2 Einstufige Zufallsexperimente

7.3 Mehrstufige Zufallsexperimente

8 Aufgaben im Stile der Abschlussprüfung

8.1 Aufbau der Prüfung

8.2 Prüfung 1

8.3 Prüfung 2

8.4 Prüfung 3

9 Lösungen

9.1 Lösungen Übungsaufgaben

9.1.1 Lösungen: Prüfung 1

9.1.2 Lösungen: Prüfung 2

9.1.3 Lösungen: Prüfung 3

Vorwort

Liebe Schülerinnen, liebe Schüler,

ich bin studierter Mathematiker und gebe seit 1999 Nachhilfe im Fach Mathematik. Nach dem Abschluss meines Studiums 2007 habe ich an einer Privatschule in Wesseling unterrichtet und SchülerInnen auf die zentralen Prüfungen zum Realschulabschluss vorbereitet. Seit Sommer 2013 unterrichte ich an einem Gymnasium bei Lüneburg. Mir ist es immer wichtig, dass alle SchülerInnen die Möglichkeit haben, die Mathematik nicht nur nachvollziehen oder anwenden zu können, sondern sie auch wirklich zu verstehen. Mit dieser Einstellung bereite ich seit der Einführung der zentralen Prüfungen in NRW Schülergruppen unter anderem auf diese Prüfungen vor. Dabei hat sich herausgestellt, dass direkt vor dieser Prüfung vieles wiederholt werden muss. Zudem habe ich im Laufe der Zeit mehr und mehr herausgefunden, wo die meisten Probleme liegen und was den SchülerInnen besonders schwerfällt. Aus dieser Erfahrung heraus ist dieses Buch entstanden.

Dieses Buch soll euch also helfen, euch auf die Prüfung vorzubereiten und diese erfolgreich zu bestehen.

Solltet ihr irgendwelche Fragen, Anregungen, Lob oder auch Kritik haben, scheut euch nicht, mir diese mitzuteilen. Besucht die Website

www.so-versteh-ich-mathe.de

und nehmt dort mit mir Kontakt auf. Oder schreibt mir direkt eine Mail an:

[email protected]

Ansonsten hoffe ich, dass ihr gut mit den Erklärungen zurechtkommt und dann mit der Prüfung kein Problem mehr habt. Ein Professor sagte einmal zu uns, dass er uns kein Glück wünscht, denn das brauchen nur diejenigen, die unvorbereitet in eine Prüfung gehen. Deshalb hat er uns viel Erfolg gewünscht.

Dies werde ich genauso handhaben, denn wenn ihr mit dem Buch arbeitet, habt ihr euch hoffentlich gut vorbereitet.

Also viel Erfolg für die Prüfung, natürlich nicht nur für Mathe, sondern auch für die anderen Fächer.

Florian Kniedler

1 Grundlagen

In diesem Kapitel werden noch einmal kurz und knapp die Grundlagen wiederholt, die zwar nicht einzeln abgefragt, aber in den einzelnen Aufgaben vorausgesetzt werden. Besonders wichtige Grundlagen werden in diesem Kapitel ausführlicher behandelt (wie z.B. Gleichungen, Prozentrechnung, usw.).

Am Ende des Kapitels gibt es einen kleinen Test über diese Grundlagen. Wer also meint, dass er hier keine besondere Übung benötigt, kann auch einfach diesen Test bearbeiten und daran sehen, ob er sich richtig eingeschätzt hat und dieses Kapitel überspringen kann oder nicht.

In der Mathematik gibt es ein paar grundlegende Begriffe, die bekannt sein sollten.

1.1 Mengen

Es gibt einige Grundmengen, die in der Schule nach und nach eingeführt wurden.

Die erste dir bekannte Menge ist die Menge der

natürlichen Zahlen

Diese Menge umfasst also alle Zahlen, die in der „Natur“ vorkommen und die man z.B. mit den Fingern zählen kann. Teilweise zählt auch die 0 zu den natürlichen Zahlen. Ich habe sie jetzt hier herausgelassen und definiere die Menge der natürlichen Zahlen mit der 0 gesondert als

Macht man dies nicht, müsste man die Menge der natürlichen Zahlen ohne die 0 extra definieren.

Dann gibt es die Erweiterung dieser Menge in den negativen Bereich, die sogenannten ganzen Zahlen

Als nächstes gibt es noch die Menge der rationalen Zahlen

Diese Menge sieht etwas kompliziert aus. Die Schreibweise bedeutet einfach nur, dass jede Zahl, die sich als Bruch schreiben lässt, eine rationale Zahl ist. Dies gilt sowohl für positive als auch für negative Zahlen. Daher kann das a (also die Zahl im Zähler) auch eine ganze Zahl, also eine positive oder negative Zahl sein. Da im Nenner keine 0 stehen darf, zeigt sich hier, dass es sinnvoll war, die Menge der natürlichen Zahlen ohne die 0 zu definieren. Sonst hätten wir diesen Fall hier ausschließen müssen.

Es gibt nun aber immer noch Zahlen, die sich nicht als Bruch schreiben lassen. Das sind z.B. oder π. Diese Zahlen haben die Gemeinsamkeit, dass sie nicht endende und nicht periodische Zahlen sind. Sie sind dann in der Menge der reellen Zahlen enthalten. Dies ist also die Menge aller dir bekannten Zahlen.

Insbesondere gilt bei dieser Aufzählung, dass alle natürlichen Zahlen auch ganze Zahlen, rationale Zahlen und reellen Zahlen sind.

Hier ist dieser Zusammenhang nochmals graphisch dargestellt.

Im Inneren sieht man die Menge der natürlichen Zahlen, die komplett in der Menge der ganzen Zahlen liegt. Damit ist jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl. Die Menge der ganzen Zahlen liegt wiederum komplett in der Menge der rationalen Zahlen, welche wieder in der Menge der reellen Zahlen liegt.

1.2 Grundrechenarten

Es gibt insgesamt vier Grundrechenarten.

Addition

Subtraktion

Multiplikation

Division

Bei jeder Rechenart gibt es feststehende Begriffe, die wie folgt aussehen (a, b, c und d sind im Folgenden beliebige reelle Zahlen, wobei d nicht die 0 sein darf):

Addition:

Beispiel:

Hier ist 5 der 1. Summand, 3 der 2. Summand und 8 ist die Summe der beiden Summanden.

Subtraktion:

Beispiel:

Hier ist 5 der Minuend, 3 der Subtrahend und 2 ist die Differenz von Minuend und Subtrahend.

Multiplikation:

Beispiel:

Hier ist 5 der 1. Faktor, 3 der 2. Faktor und 15 ist das Produkt der beiden Faktoren.

Division:

Beispiel:

Hier ist 6 der Dividend, 3 der Divisor und 2 ist der Quotient aus Dividend und Divisor.

Hier ist es wichtig, dass der Divisor niemals 0 sein darf, (daher habe ich hier d genommen) denn durch 0 darf man niemals teilen!

1.3 Rechengesetze

Beim Rechnen müssen einige Gesetze beachtet werden. a, b und c sind wieder beliebige rationale Zahlen.

Kommutativgesetz:

Das Kommutativgesetz (oder auch Vertauschungsgesetz) gilt sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation.

Es ist also egal, ob man 3+2 oder 2+3 rechnet. Es ergibt beide Male 5.

Assoziativgesetz:

Das Assoziativgesetz (oder auch Vereinigungsgesetz) gilt ebenfalls sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation.

Beispiel:

Auch hier ist es egal, ob man bei einer Addition oder Multiplikation erst die ersten beiden Summanden (bzw. Faktoren) oder die letzten beiden addiert (bzw. multipliziert).

Distributivgesetz:

Das Distributivgesetz (oder auch Verteilungsgesetz) verbindet die beiden Rechenarten Addition und Multiplikation (oder auch Subtraktion und Division usw.) miteinander.

Beispiel:

Punkt-vor Strichrechnung:

Eine weitere wichtige Regel ist die Punkt- vor Strichrechnung. Achte immer auf diese Regelung und achte auch bei der Eingabe in den Taschenrechner darauf, da dieser die Regel immer berücksichtigt.

Beispiel:

Diese Regel solltest du dir immer wieder bewusst machen. Leider wird sie allzu häufig vergessen und es entstehen Fehler, die unnötig und überflüssig sind. Mache es dir immer wieder bewusst, wenn du etwas zusammenrechnen sollst oder etwas mit dem Taschenrechner berechnest. Der Taschenrechner rechnet auch immer nur so, wie du es ihm sagst.

1.4 Bruchrechnung

Die Bruchrechnung ist grundsätzlich ein sehr wichtiges Thema der Mathematik. Daher werde ich zwar alle Teile behandeln, aber da du in der Prüfung aber einen Taschenrechner benutzen darfst, werde ich es nicht zu ausführlich vorstellen. Alles was du wissen und können musst, kannst du hier verstehen. Zusammen mit deinem Taschenrechner sollte es dann kein Problem mehr sein. Du solltest dich aber mit dem Thema Bruchrechnung nochmals genau auseinandersetzen, wenn du damit Probleme hast. Es wird dir auch nach der Prüfung immer wieder begegnen. Sei es in der Oberstufe oder in der Berufsschule während der Ausbildung oder auch im sonstigen Alltag. Brüche kommen überall vor, auch wenn man es nicht unbedingt erwartet. Als erstes hier eine kleine Übersicht über die wichtigsten Begriffe:

1.4.1 Grundbegriffe

Begriff

Erklärung

Bruch

Ein Bruch ist der Anteil eines Ganzen.

Nenner

Der Nenner ist der Wert unter dem Bruchstrich. Er gibt an, in wie viele gleichgroße Teile ein Ganzes zerteilt werden soll.

Bsp.: Hier ist der Nenner 3.

Zähler

Der Zähler ist der Wert über dem Bruchstrich. Er gibt an, wie viele gleichgroße Teile vom Ganzen genommen werden.

Bsp.: Hier ist der Zähler 2.

Bruchstrich

Der Bruchstrich trennt Zähler und Nenner.

echter Bruch

Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner

Bsp.:

unechter Bruch

Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer als der Nenner.

Bsp.:

gemischte Zahl

Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch.

Bsp.:

erweitern

Einen Bruch erweitern heißt, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren. Der Wert des Bruchs verändert sich dabei nicht.

Bsp.: (hier wurde mit 3 erweitert)

kürzen

Einen Bruch kürzen heißt, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl zu dividieren. Der Wert des Bruchs verändert sich dabei nicht.

Bsp.: (hier wurde durch 4 gekürzt)

Kehrwert

Der Kehrwert eines Bruches ist der Bruch, bei dem Zähler und Nenner vertauscht sind.

Bsp.:

Wie bestimmt man nun solche Bruchteile? Hier ein kleines Beispiel:

In einer Schulklasse sind insgesamt 25 Kinder. 16 davon sind Jungen. Wie groß ist der Anteil der Mädchen?

Da nach den Mädchen gefragt ist, muss man zuerst die Zahl der Mädchen berechnen:

Damit lautet die Lösung:

der Kinder sind Mädchen (und sind Jungen).

Ein zweites Beispiel: In einem Sportverein sind insgesamt 130 Kinder angemeldet.

Davon sind Jungen. Wie viele Jungen und wie viele Mädchen sind angemeldet?

Hier ist es wichtig zu wissen, dass 130 Kinder im Verein sind. Ohne diese Angabe könnte man diese Aufgabe nicht immer eindeutig lösen.

Übungsaufgaben: Bruchteile erkennen und bestimmen (Lösung S. →)

Aufgabe 1:

In einer Schule sind insgesamt 560 Kinder angemeldet. 273 davon sind Mädchen.

a) Wie groß ist der Anteil der Mädchen an dieser Schule?

b) Und wie groß ist der Anteil der Jungen?

Aufgabe 2:

In einer Eisdiele gibt es insgesamt 31 Sorten Eis.

a) Karl kauft insgesamt 4 verschiedene Kugeln Eis. Welchen Anteil der verschiedenen Sorten hat er also probiert?

b) Karla kauft ebenfalls 4 Kugeln Eis. Sie nimmt aber 2 Kugeln Vanille und 2 Kugeln Schokolade. Welchen Anteil der verschiedenen Sorten hat sie also probiert?

c) Frank hat insgesamt der Sorten probiert. Wie viele Kugeln muss er mindestens gekauft haben? Kannst du auf jeden Fall genau sagen, wie viele Kugeln er gekauft hat?

Aufgabe 3:

Bei der Wahl zum Klassensprecher hat Frank 12 Stimmen, Judith 8 Stimmen, Julian 7 Stimmen und Hanna 1 Stimme erhalten. 1 Stimme war ungültig.

a) Welchen Anteil der abgegebenen Stimmen haben die Kandidaten jeweils erhalten?

b) Welcher Anteil war ungültig?

c) Welchen Anteil der gültigen Stimmen haben die Kandidaten jeweils erhalten? Erkläre den Unterschied zu Aufgabenteil a)!

Aufgabe 4:

In einem Karnevalsverein sind insgesamt weibliche Mitglieder. Der Verein hat zusammen 333 Mitglieder.

a) Wie viele Mitglieder sind weiblich?

b) Wie viele Mitglieder sind männlich?

c) Wie groß ist der Anteil der männlichen Mitglieder?

1.4.2 Grundrechenarten

BegriffErklärungBrüche addierenZwei Brüche werden addiert, indem die Nenner gleichnamig gemacht werden (also so erweitert oder gekürzt werden, dass der gleiche Nenner entsteht). Anschließend werden die Zähler addiert und der Nenner wird beibehalten.

Bsp.:

Brüche subtrahierenZwei Brüche werden subtrahiert, indem die Nenner gleichnamig gemacht werden (also so erweitert oder gekürzt werden, dass der gleiche Nenner entsteht). Anschließend werden die Zähler subtrahiert und der Nenner wird beibehalten.

Bsp.:

Brüche multiplizierenZwei Brüche werden multipliziert, indem die Zähler miteinander multipliziert werden und die Nenner miteinander multipliziert werden. Am Ende das