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- Herausgeber: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Serie: ...für Dummies
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2019
Mithilfe dieses Buches können Sie - einfach und verständlich angeleitet - üben, was Sie in der Elektrotechnik-Klausur unbedingt beherrschen sollten. Von einfachen elektrischen Stromkreisen über das ohmsche Gesetz bis hin zu magnetischen Feldern und den Grundlagen der Gleichstromtechnik sind alle wichtigen Themen vertreten. Schon bald werden Sie Aufgaben zu Widerstand, Kondensator und Kapazität, Spule und Induktion ganz selbstverständlich lösen. Dank zahlreichen Beispielen und ausführlichen Lösungen entdecken Sie Ihre Schwächen und überwinden Sie. Klausuren stellen kein Problem mehr für Sie dar. Die nächste Prüfung kann also kommen.
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Seitenzahl: 436
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Übungsbuch Elektrotechnik für Dummies
Schummelseite
LADUNG UND STROM IN METALLISCHEN LEITERN
Coulombkraft:
Ladung:
Stromstärke:
beziehungsweise
Stromdichte:
beziehungsweise über die Integralgleichung
Ohm'sches Gesetz:
ELEKTRISCHE SPANNUNG, WIDERSTAND UND LEITWERT
Spannung und Potenzial:
Leiterwiderstand:
Leitwert:
Temperaturabhängiger Widerstand:
ARBEIT UND LEISTUNG
Arbeit:
Leistung:
Wirkungsgrad:
OHM'SCHES GESETZ, SPEZIFISCHER WIDERSTAND, LEISTUNG, STROMDICHTE UND POTENZIAL
Gesetz von Ohm:
Spezifischer Widerstand:
Leistung:
Stromdichte:
Potenzial:
Warmwiderstand:
QUELLENSPANNUNG, KLEMMENSPANNUNG UND INNERER WIDERSTAND
Spannung und Strom:
Kurzschlussfall :
Leerlauffall :
Leistungsanpassung:
REIHEN- UND PARALLELSCHALTUNG VON WIDERSTÄNDEN
Reihenschaltung:
Spannungsteiler, unbelastet:
Parallelschaltung:
GESETZE VON KIRCHHOFF
Gesetze von Kirchhoff:
Knotenregel:Maschenregel:
Belasteter Spannungsteiler:
ELEKTRISCHES FELD
Kraft im elektrischen Feld:
zwischen zwei Punktladungen:
Elektrische Ladung:
Elektrische Feldstärke:
im homogenen Feld:
einer geladenen Kugel:
eines Leiters der Länge l:
Dielektrizitätskonstante:
im Vakuum:
Elektrische Spannung:
Übungsbuch Elektrotechnik für Dummies
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
1. Auflage 2019
© 2019 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form.
Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form.
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Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.
Coverfoto: © wisawa222 - stock.adobe.com
Print ISBN: 978-3-527-71370-7ePDF ISBN: 978-3-527-82326-0
Über den Autor
Professor Dr.-Ing. Michael Felleisen ist für die Mess-, Steuer- und Regelungstechnik an der Fakultät für Technik der Hochschule Pforzheim berufen. Nach der Ausbildung zum Mess- und Regelmechaniker bei der BASF studierte er Elektrotechnik mit der Vertiefung Regelungstechnik bei Prof. Dr. Dr. Otto Föllinger an der Universität (TH) Karlsruhe. Anschließend arbeitete er als Automatisierungsingenieur bei Siemens und SAP. Er promovierte am Lehrstuhl für Prozessleittechnik der RWTH Aachen bei Prof. Dr. Martin Polke, bevor er 1999 den Ruf an die Hochschule Pforzheim annahm.
Seine Aufgabenschwerpunkte in der Lehre sind die Elektrotechnik, Regelungstechnik, Modellbildung, Prozessleit- und Automatisierungstechnik. Für die Elektro-, Regelungs- und Automatisierungstechnik leitet er die Lehr- und Projektlabore. Seine Forschungsaufgaben liegen in der Entwicklung der formalen Prozessbeschreibung und in der Modellbildung dynamischer Systeme.
Im Jahre 2005 wurde ihm der Landeslehrpreis verliehen. Von 2007 bis 2011 war er hauptamtlicher Prorektor der Hochschule Pforzheim. In den Jahren 2011 bis 2014 war er als Prodekan und Bereichsleiter der Informationstechnik am Ausbau neuer Studiengänge beteiligt. Von 2001 bis 2014 war er im Beirat der Fachzeitschrift Automatisierungstechnische Praxis (atp), und seit 2003 ist er im Förderkreis und dem Redaktionsbeirat des P&A-Kompendiums. Im WILEY-Verlag veröffentlichte er im Dezember 2015 das Buch »Elektrotechnik für Dummies«, zu dem jetzt das zugehörige Übungsbuch mit einer Vielzahl von Aufgaben und ausführlichen Lösungswegen hinzukommt. Mehr Informationen finden Sie unter www.hs-pforzheim.de/personen/felleisen.
Danksagung
Ein Buch zu schreiben, erfordert eine gehörige Portion Zeit, die der Autor für das Recherchieren und Schreiben aufbringen muss. Diese Zeit geht irgendwo verloren, sodass ich zuallererst meiner Frau Anja meinen herzlichen Dank aussprechen möchte. Sie ermöglicht es mir, die erforderliche Zeit in solche Projekte investieren zu können. Weiterhin gilt mein Dank meiner Lektorin, Frau Diplom-Biologin Vanessa Schöner (geb. Schweiß), die die Idee für das Theorie- und das Übungsbuch hatte und mich überzeugte, diese ehrenvolle Aufgabe zu übernehmen. Meinem derzeitigen Lektor, Herrn Marcel Ferner, danke ich für seine Bereitschaft, die Betreuung eines laufenden Projekts zu übernehmen.
Eine umfangreiche Aufgabe ist nie alleine zu meistern. So gilt mein besonderer Dank meinem Dummie-Lektor, Herrn Diplom-Physiker Tobias Schwaibold, mit dem ich nun schon das zweite Dummies-Buch gestalte und der es stets versteht, meine Gedanken in die richtige Richtung zu lenken. Auch ist es eine tolle Besonderheit des WILEY-Verlags, dass es einen Fachlektor gibt, der sich ausschließlich der Fachinhalte widmet. Uns ist es gelungen, meinen ehemaligen Kollegen und langjährigen Freund Prof. Dr. Frank Thuselt für die Aufgabe zu gewinnen, alle Übungsaufgaben in diesem Buch auf deren Richtigkeit zu prüfen. Auch hierfür möchte ich meinen besonderen Dank aussprechen. Ein weiterer herzlicher Dank gilt meinem Kollegen Diplom-Physiker Frank Schmidt, der als mein mathematisches Gewissen fungiert, wenn Fragen bezüglich der korrekten Anwendung mathematischer Gesetze auftauchen.
Dieses Buch ist meinem hochverehrten Doktorvater, Professor Dr. rer. nat. Martin Polke gewidmet, ohne dessen Verständnis ich kaum die Chance bekommen hätte, meine Berufung zum Beruf zu machen. Herzlichen Dank dafür.
Inhaltsverzeichnis
Cover
Titelseite
Impressum
Über den Autor
Danksagung
Einführung
Über dieses Buch
Konventionen in diesem Buch
Was Sie nicht lesenmüssen
Törichte Annahmen über die Leser
Wie dieses Buch aufgebaut ist
Symbole, die in diesem Buch verwendet werden
Wie es weitergeht
Teil I: Elektrizitätsmenge, Ladung und Strom
Kapitel 1: Die wesentlichen mathematischen Grundlagen …
Geradengleichung leicht gemacht
Der Logarithmus in seiner vollen Pracht
Eins, zwei oder drei – Dreiecke und ihre Winkel
Skalare und Vektoren
Lineare Gleichungssysteme und der Gauß'sche Algorithmus
Ohne Schwingungen geht es nicht
Für die Ableitung gibt es keine Umleitung
Auch an der Integration führt kein Weg vorbei
Lösung einer Differenzialgleichung erster Ordnung
Das Wunder der komplexen Rechnung
Zu guter Letzt der Kosinussatz
Kapitel 2: Aus Ladung wird elektrischer Strom
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Kapitel 3: Spannung braucht Widerstand …
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Kapitel 4: Aus Arbeit wird Leistung
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Teil II: Stromkreise und ihre Widerstände
Kapitel 5: Spannung ist Strom mal Widerstand
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Kapitel 6: Ein Blick in die Steckdose
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Das Innenleben der Steckdose
Aufgaben
Kapitel 7: Widerstände – in Reihe und Parallel
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Kapitel 8: Knoten für Ströme und Maschen für Spannungen
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Teil III: Elektrisches Feld und Kondensator
Kapitel 9: Verschiebungsfluss und Flussdichte
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Kapitel 10: Das Speichervermögen des Kondensators
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Kapitel 11: Energie, Energiedichte, Lade- und Entladeverhalten des Kondensators
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Teil IV: Magnetisches Feld und Spule
Kapitel 12: Das Durchflutungsgesetz und seine Wirkung
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Kapitel 13: Das Ohm'sche Gesetz und Kräfte im Magnetfeld
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Kapitel 14: Induktion und Selbstinduktion
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Teil V: Elektromagnetische Felder und der Gleichstrommotor
Kapitel 15: Magnetismus erzeugt Bewegung – der Gleichstrommotor
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Teil VI: Grundlagen der Wechselstromtechnik
Kapitel 16: Auf und ab – sinusförmige Wechselgrößen
Wichtige Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Kapitel 17: Grundschaltungen an sinusförmigen Wechselgrößen
Wichtigste Formeln für die folgenden Aufgaben
Verwendete Einheiten
Aufgaben
Teil VII: Der Top-Ten-Teil
Kapitel 18: Zehn wichtige Erfinder der Elektrotechnik
Quantitative Elektrostatik
Strömung elektrischer Ladungen – der Gleichstrom
Das Wunder des magnetischen Feldes
Die Welt der wechselwirkenden Ströme
Kapitel 19: Zehn wichtige Einheiten und deren Bedeutung
Kapitel 20: Zehn Dekaden der Elektrizität im 19. Jahrhundert
Kapitel 21: Meine zehn Lieblingsbücher für die Übungsaufgaben zur Elektrotechnik
Stichwortverzeichnis
End User License Agreement
Illustrationsverzeichnis
Kapitel 1
Abbildung 1.1: Hauptform der Geraden
Abbildung 1.2: Einfaches Dreieck
Abbildung 1.3: Rechtwinkliges Dreieck
Abbildung 1.4: Vektor im kartesischen Koordinatensystem
Abbildung 1.5: Addition und Länge von Vektoren
Abbildung 1.6: Skalarprodukt zweier Vektoren
Abbildung 1.7: Vektorprodukt zweier Vektoren (räumlich dargestellt)
Abbildung 1.8: Sinusfunktion
Abbildung 1.9: Ableitungen und die Tangente
Abbildung 1.10: Integration und Flächenintegral
Abbildung 1.11: Zeitverlauf einer Differenzialgleichung erster Ordnung
Abbildung 1.12: Darstellung einer komplexen Zahl
Abbildung 1.13: Konjugiert komplexe Zahl
Abbildung 1.14: Komplexe Zahl in Polarkoordinaten
Abbildung 1.15: Wirkung der Drehung des Zeigers
Abbildung 1.16: Winkelberechnung mit dem Kosinussatz
Kapitel 2
Abbildung 2.1: Stromwaage von Ampère
Abbildung 2.2: Gleichgewichtslage beider Kugeln
Abbildung 2.3: Teilskizze für die Geometrie
Abbildung 2.4: Teilskizze für die Kräfte
Kapitel 3
Abbildung 3.1: Voltas Elektrometer
Kapitel 4
Abbildung 4.1: Anschluss des Gleichstrommotors
Kapitel 5
Abbildung 5.1: Ohm'sche Drehwaage
Abbildung 5.2: Strom-Spannungs-Kennlinie zum Ohm'schen Gesetz
Kapitel 6
Abbildung 6.1: Ersatzschaltung Autobatterie und Anlasser zu Aufgabe 6.5
Abbildung 6.2: Skizze des Stromkreises zu Aufgabe 6.6
Abbildung 6.3: Gesuchte Kennlinie für Aufgabe 6.6
Kapitel 8
Abbildung 8.1: Erweiterte Reihenschaltung aus Aufgabe 8.1
Abbildung 8.2: Erweiterte Parallelschaltung für Aufgabe 8.2
Abbildung 8.3: Unbelasteter Spannungsteiler für Aufgabe 8.3
Abbildung 8.4: Belasteter Spannungsteiler für Aufgabe 8.3
Abbildung 8.5: Gesamtwiderstände verschiedener Schaltungen für Aufgabe 8.4
Abbildung 8.6: Schaltung der Satellitensteuerung in Aufgabe 8.5
Abbildung 8.7: Vereinfachte Schaltung der Satellitensteuerung aus Aufgabe 8.5
Abbildung 8.8: Verstärkerschaltung einer E-Gitarre in Aufgabe 8.6
Abbildung 8.9: Vereinfachte Verstärkerschaltung für Aufgabe 8.6
Abbildung 8.10: Schaltung zur Temperaturerfassung aus Aufgabe 8.7
Abbildung 8.11: Schaltung zu Aufgabe 8.7 mit Werten
Abbildung 8.12: Ersatzschaltung I für Aufgabe 8.7
Abbildung 8.13: Ersatzschaltung II für Aufgabe 8.7
Abbildung 8.14: Ersatzschaltbild III für Aufgabe 8.7
Abbildung 8.15: Schaltung aus Aufgabe 8.7 für den Gauß-Algorithmus
Abbildung 8.16: Gemischte Schaltung aus Aufgabe 8.8
Abbildung 8.17: Maschenregel nach Kirchhoff aus Aufgabe 8.8
Kapitel 9
Abbildung 9.1: Skizze des Experimentieraufbaus aus Aufgabe 9.3
Abbildung 9.2: Überlandleitung und Baum aus Aufgabe 9.7
Abbildung 9.3: Wirkung des Feldstärkevektors
aus Aufgabe 9.7
Abbildung 9.4: Wirkung des Feldstärkevektors
aus Aufgabe 9.7
Abbildung 9.5: Winkel des Gesamtfeldstärkevektors
aus Aufgabe 9.7
Abbildung 9.6: Winkelbestimmung mittels Kosinussatz aus Aufgabe 9.7
Abbildung 9.7: Laboraufbau und Integrationsgrenzen aus Aufgabe 9.8
Abbildung 9.8: Abstände der Feldstärken aus Aufgabe 9.8
Kapitel 10
Abbildung 10.1: Reihenschaltung von Kondensatoren aus Aufgabe 10.2
Abbildung 10.2: Gemischte Kondensatorschaltungen aus Aufgabe 10.4
Abbildung 10.3: Gemischte Kondensatorschaltung aus Aufgabe 10.5
Abbildung 10.4: Skizze zum Koaxialkabel aus Aufgabe 10.8
Kapitel 12
Abbildung 12.1: Zylinderspule mit Feldlinienverlauf aus Aufgabe 12.5
Abbildung 12.2: Das Leiterpaar aus Aufgabe 12.6
Abbildung 12.3: Wirkung des Feldstärkevektors
aus Aufgabe 12.6
Abbildung 12.4: Wirkung des Feldstärkevektors
aus Aufgabe 12.6
Abbildung 12.5: Winkel des Gesamtfeldstärkevektors
aus Aufgabe 12.6
Abbildung 12.6: Zur Winkelbestimmung mittels Kosinussatz aus Aufgabe 12.6
Abbildung 12.7: Die Paralleldrahtleitung aus Aufgabe 12.8
Abbildung 12.8: Gesamtdurchflutung der beiden Leiter aus Aufgabe 12.8
Abbildung 12.9: Durchflutete Fläche aus Aufgabe 12.8
Abbildung 12.10: Parallelität der beiden Vektoren
und
aus Aufgabe 12.8
Abbildung 12.11: Integrationsgrenze aus Aufgabe 12.8
Kapitel 13
Abbildung 13.1: Magnetischer Kreis aus Aufgabe 13.4
Abbildung 13.2: Ersatzschaltung des magnetischen Kreises aus Aufgabe 13.4
Abbildung 13.3: Leiterschleife im Magnetfeld aus Aufgabe 13.5
Abbildung 13.4: Kraftwirkung auf die Leiterteile aus Aufgabe 13.5
Abbildung 13.5: Betrag und Richtung der Gesamtkraft aus Aufgabe 13.5
Abbildung 13.6: Das Leiterdreieck aus Aufgabe 13.6
Abbildung 13.7: Kraft auf den Leiter 2 aus Aufgabe 13.6
Abbildung 13.8: Bestimmung des Winkels aus Aufgabe 13.6
Abbildung 13.9: Winkelbestimmung aus Aufgabe 13.6 mittels Kosinussatz
Abbildung 13.10: Leiter mit zwei Eisenkernteilen aus Aufgabe 13.7
Abbildung 13.11: Abgeleitete magnetische Ersatzschaltung aus Aufgabe 13.7
Abbildung 13.12: Kraftwirkung auf das Elektron aus Aufgabe 13.8
Abbildung 13.13: Messanordnung ohne Flugbahn aus Aufgabe 13.8
Abbildung 13.14: Messanordnung mit Flugbahn des Elektrons aus Aufgabe 13.8
Abbildung 13.15: Berechnung des Ablenkungswinkels aus Aufgabe 13.8
Abbildung 13.16: Vergleich der Winkelsummen aus Aufgabe 13.8
Kapitel 14
Abbildung 14.1: Ringspule und Kernquerschnitt aus Aufgabe 14.5
Abbildung 14.2: Bestimmung mittlere Feldlinienlänge aus Aufgabe 14.5
Abbildung 14.3: Bestimmung Kernquerschnittsfläche aus Aufgabe 14.5
Abbildung 14.4: Bestimmung Flächenelement aus Aufgabe 14.6
Abbildung 14.5: Parallelität der Vektoren aus Aufgabe 14.6
Kapitel 15
Abbildung 15.1: Gerätetechnische Darstellung des Motors aus Aufgabe 15.2
Abbildung 15.2: Ersatzschaltbild für den Nebenschlussmotor aus Aufgabe 15.2
Abbildung 15.3: Kennlinienverlauf Motor und Ventilator aus Aufgabe 15.3
Abbildung 15.4: Ersatzschaltbild des Ankerkreises aus Aufgabe 15.4
Abbildung 15.5: Versuchsaufbau der Leiterschleife aus Aufgabe 15.7
Abbildung 15.6: Ladungsverschiebung und Induktionsspannung aus Aufgabe 15.7
Abbildung 15.7: Abstoßung und Bremskraft aus Aufgabe 15.7
Kapitel 16
Abbildung 16.1: Phasenverschiebungs- und Nullphasenwinkel aus Aufgabe 16.3
Abbildung 16.2: Zeiger- und Liniendiagramm aus Aufgabe 16.5
Abbildung 16.3: Zeigerdiagramm mit Effektivwerten aus Aufgabe 16.5
Abbildung 16.4: Verlauf des sinusförmigen Wechselstroms aus Aufgabe 16.6
Abbildung 16.5: Verlauf der Kosinusfunktion und deren Werte aus Aufgabe 16.6
Abbildung 16.6: Periodischer Stromverlauf aus Aufgabe 16.7
Abbildung 16.7: Betrag zum periodischen Stromverlauf aus Aufgabe 16.7
Abbildung 16.8: Sinusfunktion mit Funktionswerten aus Aufgabe 16.7
Abbildung 16.9: Verlauf der Ausgangsspannung am Regler aus Aufgabe 16.8
Kapitel 17
Abbildung 17.1: Verlauf des kapazitiven Blindwiderstands aus Aufgabe 17.6
Abbildung 17.2: Spannungsteiler aus Aufgabe 17.7
Abbildung 17.3: Schaltung aus Aufgabe 17.8
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E1
Einführung
Beim Lesen der Titelseite dieses Buches haben Sie sich sicherlich gefragt, wieso noch ein weiteres Übungsbuch für die Elektrotechnik angeboten wird, wo es doch bereits unterschiedlichste Übungsbücher für dieses Fachgebiet gibt. Nun, Übungsaufgaben sind dazu da, um theoretische Zusammenhänge praktisch zu üben. Und mit den bisherigen Übungsbüchern hatte ich in dieser Hinsicht meine Probleme, da in den meisten von ihnen die Lösungswege entweder nur durch Angabe des Ergebnisses dargestellt oder sonst extrem kurz gehalten sind. In der Regel fehlen mathematische Gesetze und Regeln, da diese entweder als bekannt vorausgesetzt oder als zu elementar für eine weitere Erwähnung eingestuft werden. Doch mathematische Gesetze und Regeln gehören nun mal zur Lösung von Aufgaben der Elektrotechnik dazu! Und auch Skizzen wie Schaltpläne, Kurvenverläufe oder Konstruktionszeichnungen sind unerlässlich, um die physikalischen Zusammenhänge elektrotechnischer Fragestellungen zu verstehen.
Was, das glauben Sie mir nicht? Ich werde es Ihnen beweisen! Stellen Sie sich einmal vor, Sie würden in einer stürmischen Gewitternacht voller hell aufzuckender Blitze einen Drachen an einer feuchten Schnur in die Gewitterwolken aufsteigen lassen, deren metallenes Ende Sie in der Hand halten – mit der Idee, Funken einzufangen und aus dem Gewitter auf die Erde abzuleiten. Diesen absurd anmutenden Versuch hatte einst Benjamin Franklin (1706–1790) tatsächlich durchgeführt. Heute wissen wir nicht zuletzt dank Franklins wagemutigem Forschergeist, dass wir uns damit in Lebensgefahr begeben! Die gute Nachricht: Franklin hat seine lebensgefährlichen Versuche überlebt und aus seinen Erkenntnissen den Blitzableiter konstruiert. Mithilfe seiner Experimente war er in der Lage, die bis dahin den Göttern zugeordneten Naturphänomene zu bändigen und den Nachweis zu erbringen, dass diese durch physikalische Erklärungen und mathematische Beschreibungen erklärbar sind. Durch seine Experimente erbrachte Franklin den Nachweis, dass Blitze durch die Entladung von negativ geladenen Gewitterwolken entstehen. Und was hat das mit Mathematik zu tun? Nun, die negativen Ladungen erzeugen zwischen der Gewitterwolke und der Erde eine Potenzialdifferenz , die irgendwann zu einem Überschlagsstrom führt – was die Luft aufleuchten lässt. (Dabei ist R der Widerstand der Luft.) Die zentrale Erkenntnis von Franklin war also, dass der Blitz nichts anderes ist als ein elektrischer Strom I, dessen Eigenschaften wir mithilfe der Mathematik verständlich beschreiben können. Dank der zugrunde liegenden Mathematik sind wir heute in der Lage, die Stärke von Blitzentladungen abzuschätzen. Und können zum Beispiel bestimmen, welchen Querschnitt A ein Blitzableiter wegen haben muss, um uns vor einem Blitzeinschlag zu schützen. Sie sehen, mit der Darstellung dieser physikalischen Zusammenhänge über mathematische Formeln sind diese einfacher zu erklären.
Dieses Übungsbuch ist die logische Ergänzung zum erfolgreichen Buch Elektrotechnik für Dummies, in dem Sie die spannenden Phänomene der Elektrotechnik aus theoretischer Sicht kennengelernt haben. Wie im Theorieteil werden auch hier alle einzelnen mathematischen Schritte zur Lösung einer Aufgabe erklärend dargestellt. Sie werden stauen, wie einfach sich viele dieser Aufgaben zur Elektrotechnik lösen lassen, wenn Sie nur einige wesentliche mathematische Grundregeln kennen und anwenden können. Die Mathematik, die Sie benötigen, um die Phänomene der Elektrotechnik zu beschreiben beziehungsweise zu verstehen, ist kein Hexenwerk, sondern ein Handwerk! Auch wenn einige Formeln anfangs vielleicht noch unverständlich aussehen – die Mathematik der gymnasialen Oberstufe reicht aus …
Auf unserem Weg durch das Übungsbuch Elektrotechnik für Dummies werden Sie die drei wichtigsten Bauteile der Elektrotechnik – den elektrischen Widerstand, den Kondensator und die magnetische Spule – anhand spezieller Aufgabenstellungen kennen- und berechnen lernen. Lassen Sie uns gemeinsam aufbrechen auf eine spannende Reise zu grundlegenden elektrotechnischen Phänomenen, die es überhaupt erst möglich machen, dass wir elektrisches Licht in unseren Wohnzimmern haben.
Über dieses Buch
Unser heutiges Wissen über Elektrotechnik wurde ab Ende des 18. Jahrhunderts in vielfältigen Experimenten erworben – von neugierigen Erfindern wie Benjamin Franklin. Alle diese Forscher mussten Aufgaben lösen, wie auch Sie sie in den folgenden Kapiteln bearbeiten werden. Viele der in diesem Buch gestellten Aufgaben dienten ihnen als Beweis ihrer Experimente. Um also den tieferen Sinn der Übungsaufgaben zu verstehen, sollten Sie mit mir eine kurze Reise zurück in diese spannende Zeit unternehmen.
Die technische Nutzung elektrischer Phänomene konnte erst erfolgen, nachdem um das Jahr 1800 herum eine Reihe wichtiger Entdeckungen gemacht wurden: Zunächst war es Charles Auguste de Coulomb, der 1788 das Gesetz über die Kräfte zwischen zwei Ladungen bewies. Dank Coulombs Beobachtungen können wir heute Ladungsmengen elegant bestimmen – siehe die Übungsaufgaben im Teil I dieses Buches.
Im Jahre 1780 hatte der Mediziner Luigi Galvani beim Präparieren des Nervs eines Froschschenkels ein Zucken festgestellt, wenn in der Nähe eine Reibungselektrisiermaschine bedient wurde. Angeregt durch die Publikation von Galvani wiederholte der italienische Physiker Alessandro Volta dessen Versuche und machte dabei eine bahnbrechende Entdeckung: Mithilfe seiner Volta-Säule konnte er erstmals einen konstanten Stromfluss in einem Stromkreis erzeugen! Etwa zur gleichen Zeit entdeckte André-Marie Ampère durch spannende Experimente sein elektrodynamisches Grundgesetz, mit dem Sie sich in den Teilen I und IV dieses Buches detailliert auseinandersetzen werden.
Ein weiterer wegweisender Entdecker war Hans Christian Oersted, der im Jahre 1820 die magnetische Wirkung des elektrischen Stromflusses erkannte. Damit war die Grundlage geschaffen für die Erzeugung elektrischer Spannung und später gar der Telegrafie. Im Teil IV dieses Buches werden Sie sich mit Aufgaben auseinandersetzen, die dem magnetischen Feld einer Spule und dessen besonderen Eigenschaften gewidmet sind.
Aber halt! Für all diese Berechnungen benötigen Sie noch die genialen Erkenntnisse eines weiteren Entdeckers: Im Jahre 1826 veröffentlichte Georg Simon Ohm sein weltberühmtes Ohm'sches Gesetz, das die Spannung und den Strom in einem Stromkreis in Bezug zueinander setzt. Einem weiteren genialen Erfinder, Michael Faraday, haben wir die Entdeckung der magnetischen Induktion zu verdanken. Auch die Darstellung der Wirkung des magnetischen Feldes durch Kraftlinien geht auf Faraday zurück. Aufgaben zum Wirken des Magnetfelds werden Sie in Teil III dieses Buches rechnen.
Auf Ihrem Weg durch die Übungsaufgaben in diesem Buch werden Sie mit Gustav Robert Kirchhoff einer weiteren beeindruckenden Persönlichkeit der Elektrotechnik begegnen. Dank seiner im Jahre 1845 veröffentlichten Überlegungen zur Verzweigung elektrischer Ströme werden Sie in der Lage sein, die gemischten Widerstandsschaltungen in Teil II dieses Buches zu berechnen. Auch die sogenannte Wheatstone'sche Messbrücke geht auf Kirchhoffs Wirken zurück.
Um die Übungsaufgaben im Teil V berechnen zu können, müssen Sie auf Erkenntnisse von Werner von Siemens zurückgreifen, der mit der Entdeckung des dynamoelektrischen Prinzips die Grundlage zur Erzeugung elektrischer Ströme legte. Und abschließend sei noch Nikola Tesla erwähnt, der Erfinder des Wechselstroms. Ihm ist zu verdanken, dass Sie die Aufgaben zur Wechselstromtechnik im Teil VI dieses Buches zu einer erfolgreichen Lösung bringen können.
Wie unschwer erkennbar ist, haben sich zahlreiche Persönlichkeiten unserer Technikgeschichte viele Jahre vor Ihnen derselben Herausforderung gestellt wie Sie nun: nämlich Aufgaben zu den Phänomenen der Elektrotechnik lösen zu wollen.
Konventionen in diesem Buch
Dieses Buch beinhaltet einige wenige Konventionen zur Schreibweise:
Vektoren
, also physikalische Größen, die einen
Betrag
und eine
Richtung
haben, werden mit einem Pfeil über der Variablen versehen, wie beispielsweise die elektrische
Feldstärke
.
Physikalische und technische Größen
sind
kursiv
geschrieben, Einheiten bleiben steil stehen. Bei der Größe
m
handelt es sich also um die Masse, während ein nicht kursiv geschriebenes m für die
Einheit
»Meter« steht. Auch neue beziehungsweise zentrale Begriffe werden kursiv geschrieben.
Was Sie nicht lesen müssen
Die Teile dieses Buches sind so formuliert, dass Sie diese nicht hintereinander, sondern unabhängig voneinander lesen können. Die Herleitungen zu den Lösungen der gestellten Aufgaben sollten Sie nachvollziehen und verinnerlichen, falls Sie sich gerade auf eine Prüfung im Fach Elektrotechnik vorbereiten. Für die Prüfungsvorbereitung sind alle in den Kapiteln aufgeführten Aufgaben wichtig. Die detaillierten Lösungswege finden Sie stets hinter den Aufgabenstellungen. Versuchen Sie bitte zunächst, die Aufgaben mit der Theorie des zugehörigen Kapitels zu lösen, ohne den Lösungsweg anzuschauen! Die dargestellten Lösungen sollten Sie erst nutzen, wenn Sie das bei der Aufgabenstellung angegebene Ergebnis nicht herausbekommen, oder zur Kontrolle Ihres eigenen Lösungswegs.
Die Aufgaben sind so angeordnet, dass in der Regel die leichteren vor den schwereren Aufgaben aufgeführt sind. Sie werden also schrittweise von den einfachen zu den komplexeren Anforderungen geführt.
Törichte Annahmen über den Leser
Beim Schreiben dieses Buches bin ich von folgenden Annahmen über Sie, den Leser dieses Buches, ausgegangen:
Sie haben Interesse an Zusammenhängen und Erklärungen zu den Phänomenen der Elektrotechnik.
Sie wollen etwas Neues erlernen oder bekanntes Wissen festigen.
Sie können mit den Gesetzen und Vorgehensweisen der Mathematik für die Oberstufe in Gymnasien umgehen.
Sie haben Interesse an Physik und an Erläuterungen zu Entdeckungen, auf denen die Elektrotechnik aufbaut.
Wie dieses Buch aufgebaut ist
Dieses Buch besteht aus sieben Teilen, die jeweils mehrere Kapitel beinhalten. Die Kapitel fasse ich in der Folge kurz für Sie zusammen, damit Sie entscheiden können, welche Inhalte von besonderem Interesse für Sie sind.
Teil I: Elektrizitätsmenge, Ladung und Strom
In Teil I werden Sie in vier Kapiteln in die grundlegenden Zusammenhänge zur Elektrizitätsmenge, zur Ladung und zum elektrischen Strom eingeführt:
In
Kapitel 1
sind die wesentlichen mathematischen Grundlagen zusammengefasst, die Sie zum Lösen der elektrotechnischen Aufgaben brauchen.
In
Kapitel 2
berechnen Sie erstmals Ladungen und die dadurch verursachten Stromstärken.
In
Kapitel 3
werden Sie Aufgaben zur elektrischen Spannung, zum elektrischen Leiterwiderstand, zu Leiterlängen und Leiterquerschnitten und zur Temperaturabhängigkeit von Widerständen berechnen.
In
Kapitel 4
finden Sie Aufgaben zur Berechnung der elektrischen Arbeit und der Leistung, damit Sie die beliebte Prüfungsfrage beantworten können, was der Unterschied zwischen diesen beiden Größen ist.
Teil II: Stromkreise und ihre Widerstände
In Teil II stehen in vier Kapiteln lineare Gleichstromkreise mit Ohm'schen Widerständen im Fokus unserer gemeinsamen Betrachtung.
In
Kapitel 5
steht das bekannteste Gesetz der Elektrotechnik im Mittelpunkt: das Ohm'sche Gesetz. Aufgaben zur Berechnung der elektrischen Spannung, des Widerstands oder des Stroms führen Sie in diese Zusammenhänge ein.
In
Kapitel 6
berechnen Sie die wichtigen Größen im Inneren einer Steckdose: die Quellenspannung, die Klemmenspannung und den inneren Widerstand.
In
Kapitel 7
berechnen Sie Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen. Die Berechnung der Teilspannungen und -ströme sind eine grundlegende Voraussetzung zum Verständnis komplexer elektrischer Schaltkreise.
In
Kapitel 8
erhalten Sie Unterstützung durch die Kirchhoff'schen Gesetze, um gemischte Schaltungen von Widerständen zu berechnen.
Teil III: Elektrisches Feld und Kondensator
In Teil III wenden wir uns Zusammenhängen zu, die wir Michael Faraday zu verdanken haben: In drei Kapiteln berechnen Sie die wesentlichen Kenngrößen des elektrischen Feldes und zum elektrischen Kondensator.
In
Kapitel 9
berechnen Sie die Kraft auf elektrische Ladungen, die elektrische Flussdichte, die Verschiebungsflussdichte und die zugehörige Feldstärke.
In
Kapitel 10
wenden wir uns der Berechnung der Kapazität von Kondensatoren in verschiedenen Ausführungen zu. Abschließend berechnen Sie die Reihen- und Parallelschaltung von Kondensatoren sowie die Ladung, die Flussdichte und die Feldstärke, die ein Kondensator erzeugen kann.
In
Kapitel 11
lernen Sie, wie man die Energie des elektrostatischen Feldes und die Phänomene beim Auf- und Entladen eines Kondensators berechnet. Anschließend sehen Sie sich die Energiedichte und wirkenden Kräfte im elektrostatischen Feld des Kondensators an.
Teil IV: Magnetisches Feld und Spule
Bei der Betrachtung des magnetischen Feldes werden Sie viele Aufgaben zu Spulen berechnen. Darüber hinaus steht in diesem Teil IV das Durchflutungsgesetz – das nach dem Ohm'schen Gesetz wichtigste Gesetz der Elektrotechnik – und seine Anwendung im Vordergrund.
In
Kapitel 12
werden Sie die Anwendung des Durchflutungsgesetzes anhand verschiedener Aufgaben kennenlernen. Sie berechnen den magnetischen Fluss, die Flussdichte, die Durchflutung und die Feldstärke. Darüber hinaus schauen Sie sich die Herleitung des Durchflutungsgesetzes an.
In
Kapitel 13
berechnen Sie über das auch im Magnetismus geltende Ohm'sche Gesetz den magnetischen Widerstand, Ströme und die Flussdichte.
In
Kapitel 14
steht die Berechnung der Permeabilität, der Induktivität, der Selbstinduktion und der Windungszahlen einer Spule im Fokus unserer Betrachtung. Am Ende werden Sie verstehen, was es mit der von Michael Faraday beschriebenen Bewegung eines Leiters im Magnetfeld und mit dem Elektromotor auf sich hat.
Teil V: Elektromagnetische Felder und der Gleichstrommotor
Um die magnetische Induktion und die bahnbrechende Entdeckung von Werner von Siemens zu verstehen, berechnen Sie in diesem Teil V Aufgaben, die die Funktion des Gleichstrommotors zum Inhalt haben.
In
Kapitel 15
lernen Sie die Dynamik des Gleichstrommotors über dessen Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie kennen. Sie bestimmen dessen Leistung, Strom, Drehmoment und Wirkungsgrad in verschiedenen Anwendungen mit und ohne Last.
Teil VI: Grundlagen der Wechselstromtechnik
In Teil VI des Buches lernen Sie den Umgang mit sinusförmigen Wechselgrößen kennen und berechnen deren wesentliche Kenngrößen.
In
Kapitel 16
berechnen Sie typische Kennwerte von Wechselgrößen wie die Periodendauer, die Kreisfrequenz, den Nullphasenwinkel, die Phasenverschiebung oder die Effektiv- und Scheitelstromstärken.
In
Kapitel 17
ermitteln Sie den Scheinwiderstand, die induktiven und kapazitiven Blindwiderstände sowie den Leistungsfaktor für Grundschaltungen mit elektrischem Widerstand, Kondensator und Spule.
Teil VII: Der Top-Ten-Teil
Der Top-Ten-Teil besteht aus vier Kapiteln, in denen Sie weiterführende Informationen erhalten.
In
Kapitel 18
sind wesentliche Informationen zur Lebensgeschichte und dem Wirken der im Buch genannten Erfinder der Elektrotechnik zusammengefasst.
In
Kapitel 19
stelle ich Ihnen die zehn wichtigsten Einheiten vor, die Sie beim Lösen der Aufgaben stets brauchen.
In
Kapitel 20
werden Sie in zehn Dekaden die wichtigsten Errungenschaften zur Entwicklung der Elektrotechnik im 19. Jahrhundert kennenlernen.
In
Kapitel 21
benenne ich für Sie zehn ausgesuchte Bücher zur Elektrotechnik, die in jedem Regal stehen sollten.
Symbole, die in diesem Buch verwendet werden
Das Tipp-Symbol kennzeichnet Sätze oder Abschnitte, die zur Lösung der Aufgaben hilfreich sind, weil sie Ansätze aufzeigen oder Aufgabenstellungen aus einem anderen Blickwinkel darstellen.
Das Erinnerung-Symbol weist Sie auf Definitionen, Sätze oder Gegebenheiten hin, die Sie zum Bestehen einer Prüfung benötigen. Diese Inhalte sollten Sie in jedem Falle verinnerlichen!
Das Technik-Symbol kennzeichnet Textteile, die Sie nicht unbedingt lesen müssen, wenn Sie sich nur auf wesentliche Sachverhalte konzentrieren wollen. Wenn Sie jedoch Zeit haben oder die Elektrotechnik in ihren Grundzügen verstehen müssen, stellen diese Abschnitte wichtige Hintergrundinformationen für Sie bereit.
Das Warnung-Symbol zeigt Ihnen Textteile an, bei denen Sie sich in Acht nehmen sollten. Hier könnte beim Rechnen etwas schiefgehen!
Wie es weitergeht
So, jetzt können Sie endlich mit dem Berechnen der Übungsaufgaben loslegen. Arbeiten Sie entweder alle Kapitel hintereinander durch oder suchen Sie sich diejenigen Kapitel aus, die Sie am meisten interessieren.
Im Hinblick auf eine Prüfungsvorbereitung prägen Sie sich bitte die wichtigsten Zusammenhänge ein und üben Sie alle Aufgaben mit dem Ziel, eine möglichst selbstständige Lösung zu erarbeiten. Denken Sie auch daran, dass Ihnen in der Klausur nur eine begrenzte Zeit zur Lösungsbearbeitung zugestanden wird! Üben, üben, üben ist das Motto – auch der grundlegenden Mathematik. Wenn Sie die Mathematik hinter der Elektrotechnik verstanden haben, können Ihnen alle Prüfungen dieser Erde nichts anhaben.
Als Ihr persönlicher Berater auf Ihrer Reise durch die spannende Welt der Übungsaufgaben für die Elektrotechnik wünsche ich Ihnen viel Erfolg!
Teil I
Elektrizitätsmenge, Ladung und Strom
IN DIESEM TEIL …
Im ersten Teil dieses Buches werden Sie Übungsaufgaben zur Berechnung der Elektrizitätsmenge, von Ladungen und Strömen kennenlernen. Darüber hinaus gibt es Aufgaben, die Ihnen zeigen, wie Sie die elektrische Spannung, Leiterwiderstände und temperaturabhängige Widerstände berechnen. Ebenso bekommen Sie die Gelegenheit, Aufgaben zur Berechnung der elektrischen Arbeit und der Leistung zu üben. Damit Sie beim Aufgabenlösen nicht im Dschungel der Mathematik verloren gehen, sind im allerersten Kapitel alle wesentlichen mathematischen Grundlagen zusammengefasst.
Kapitel 1
Die wesentlichen mathematischen Grundlagen …
IN DIESEM KAPITEL
Geradengleichung und Logarithmusgesetze
Dreiecke und Trigonometrie
Skalare, Vektoren und Gauß'scher Algorithmus
Schwingungen
Ableitungen und Integrale
Differenzialgleichung und deren Lösung
Rechnen mit komplexen Zahlen
Zu guter Letzt der Kosinussatz
Zur Berechnung elektrotechnischer Aufgaben müssen Sie kein Mathematiker sein, doch Sie werden sich beim Austüfteln der Lösungen leichter tun, wenn Sie einige wesentliche mathematische Gesetze kennen. Nachfolgend sind die für die Elektrotechnik wichtigen mathematischen Grundlagen zusammengefasst, sodass Sie beim Lösen der Aufgaben nachschauen können, wie die zugehörige Mathematik funktioniert.
Geradengleichung leicht gemacht
Häufig können Beziehungen zwischen physikalischen Größen durch Kurven dargestellt werden. Die Gerade ist eine besonders einfache Kurve. In Abbildung 1.1 (nächste Seite) ist die Hauptform einer Geraden dargestellt.
Abbildung 1.1: Hauptform der Geraden
Für die in Abbildung 1.1 skizzierte Gerade gilt die Gleichung:
Die Variablenx und y sind die Koordinaten eines beliebigen Geradenpunktes. Die Größe m ist deren Steigung. Die Größe b gibt an, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet. Für die Steigung m der Geraden gilt der Zusammenhang:
Der Logarithmus in seiner vollen Pracht
Auch der Logarithmus ist eine wichtige mathematische Grundlage für die Elektrotechnik. Eine Zahl der Form heißt Logarithmus und wird als »Logarithmus b zur Basis a« ausgesprochen. Der Logarithmus ist als eindeutige Lösung x zur Gleichung definiert. Damit gilt:
Weiterhin gilt für den Logarithmus eines Produkts die Regel:
Der Logarithmus eines Produkts ist also gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren. Für den Logarithmus eines Bruches gilt eine entsprechende Regel:
Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem mit dem Exponenten multiplizierten Logarithmus der Basis, also gilt:
Daraus folgt direkt, wie es um den Logarithmus einer Wurzel bestellt ist, nämlich:
Denken Sie daran, dass unter dem Wurzelzeichen keine negative Zahl stehen darf! Übrigens, den Logarithmus zur Basis e bezeichnen wir mit .
Eins, zwei oder drei – Dreiecke und ihre Winkel
In manchen Aufgaben müssen Sie Strecken berechnen, deren Längen und Winkel in Beziehung zueinander stehen. Dann spielen Dreiecke eine wichtige Rolle. Abbildung 1.2 zeigt ein einfaches Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c sowie den Winkeln , und .
Abbildung 1.2: Einfaches Dreieck
Die Winkelsumme in einem beliebigen Dreieck ist 180°:
Kennen Sie zwei Winkel des Dreiecks, können Sie den dritten Winkel berechnen.
Rechtwinklige Dreiecke wie in Abbildung 1.3 sind ganz besondere Dreiecke. Neben dem rechten Winkel von 90° besitzt ein rechtwinkliges Dreieck zwei weitere Winkel, die mit und gekennzeichnet sind. Nehmen Sie den Winkel als Ausgangspunkt, so gelten folgende Bezeichnungen:
Die
Gegenkathete a
ist die Seite, die dem Winkel
gegenüberliegt.
Die
Ankathete b
ist die Seite, die an den Winkel
angrenzt.
Die
Hypotenuse c
ist die lange Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
Abbildung 1.3: Rechtwinkliges Dreieck
Für das rechtwinklige Dreieck sind die trigonometrischenFunktionen definiert:
Skalare und Vektoren
In der Elektrotechnik vorkommende Felder haben neben ihrer Stärke (das heißt ihrem Betrag) auch eine Richtung. Deshalb benötigen Sie Kenntnisse zu Skalaren und Vektoren.
Ein Skalar ist eine Größe, die einen Betrag besitzt. So ist der physikalische Druck eine skalare Größe mit einem Wert (zum Beispiel 1 bar). Auch die Zeit ist eine skalare Größe. Ein Vektor ist eine Größe, die einen Betrag und eine Richtung besitzt. Die Geschwindigkeit ist hingegen ein Vektor, weil ihr Betrag alleine nicht ausreicht, um ihre Wirkung zu beschreiben.
Eine skalare Größe wird mit kursiven Buchstaben gekennzeichnet (zum Beispiel p für den Druck). Vektorielle Größen werden wir in diesem Buch stets mit einem Pfeil über dem Buchstaben kennzeichnen (zum Beispiel für das elektrische Feld).
Der Vektor , in Abbildung 1.4 als dicker Strich mit Pfeilspitze gezeichnet, ist durch seinen Betrag (Länge des Pfeiles) und seinen Richtungssinn charakterisiert. Um den Richtungssinn anzuzeigen, geben Sie an, wie weit der Vektor mit seinen Komponenten in die x-Richtung , wie weit in die y-Richtung und wie weit in die z-Richtung verläuft, um vom Anfang des Vektors bis zu dessen Spitze zu gelangen. Die komponentenweise Darstellung eines Vektors lautet damit:
Abbildung 1.4: Vektor im kartesischen Koordinatensystem
Die Länge eines Vektors wird als Betrag bezeichnet. Diesen kennzeichnen Sie durch zwei senkrechte Striche und schreiben . Häufig schreiben Mathematiker dafür vereinfacht nur E, also ohne Pfeil über dem Formelzeichen und damit folglich auch ohne die zwei senkrechten Striche (Betragszeichen). Um den Betrag des Vektors aus seinen Komponenten zu bestimmen, gilt die Beziehung
Aus zwei mach eins: Vektoren addieren
Die Addition von Vektoren erfolgt rechnerisch, indem Sie die einzelnen Komponenten der Vektoren addieren:
Die additive Überlagerung zweier elektrischer Felder und können Sie auch grafisch durchführen, wie in Abbildung 1.5 gezeigt.
Abbildung 1.5: Addition und Länge von Vektoren
Ein von der Ladung verursachtes elektrisches Feld und dessen Wirkung auf den Raumpunkt P wird durch den Vektor in Abbildung 1.5 (linke Darstellung) aufgezeigt. Ebenso das von der Ladung verursachte Feld durch den Vektor . Die Wirkung beider Felder auf den Raumpunkt P ist durch den Vektor gegeben. Er ergibt sich aus der Addition der beiden Vektoren zu . Um den resultierenden Summenvektor grafisch zu bestimmen, wird der Vektor parallel vom Punkt P aus entlang des Vektors verschoben, bis er mit seinem Anfang an der Spitze des Vektors angelangt ist. Dort wird er durch eine gestrichelte Linie eingezeichnet. Der Summenvektor verläuft dann vom Anfangspunkt des Vektors zur Spitze des parallel verschobenen Vektors . Die Bestimmung des Vektorbetrags ist ein Spezialfall der Vektoraddition, wie rechts in Abbildung 1.5 gezeigt. Sie können sich die Komponenten und als Vektoren und entlang der x- beziehungsweise y-Achse vorstellen. Der Vektor ist dann die Summe dieser beiden senkrecht zueinander stehenden Teilvektoren.
Das Skalarprodukt verbindet Vektoren
Möchten Sie zwei Vektoren und multiplizieren, dann können Sie dies über die Berechnung des Skalarprodukts tun, siehe Abbildung 1.6.
Abbildung 1.6: Skalarprodukt zweier Vektoren
Das Skalarprodukt zweier Vektoren und ist definiert als:
Das Ergebnis ist eine Zahl, also ein Skalar. Sie können das Skalarprodukt auch über
ermitteln. Darin ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren und .
Das Vektorprodukt mit dem Kreuz
Das Vektorprodukt beziehungsweise Kreuzprodukt zweier Vektoren heißt so, weil es wiederum einen Vektor liefert, siehe Abbildung 1.7. Statt des Multiplikationszeichens »« wird dafür ein kleines Kreuz »« verwendet.
Abbildung 1.7: Vektorprodukt zweier Vektoren (räumlich dargestellt)
Das Vektorprodukt zweier Vektoren und ergibt einen Vektor , dessen Betrag der Fläche entspricht, die von den beiden Vektoren und aufgespannt wird. Der Vektor steht dabei senkrecht auf den Vektoren und .
Mathematisch ist das Vektorprodukt definiert als:
Sie können den Betrag E des Vektors auch über die Gleichung
ermitteln. Er entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren und aufgespannten Parallelogramms, das in Abbildung 1.7 dargestellt ist. Dabei ist wiederum der Winkel zwischen den beiden Vektoren und .
Lineare Gleichungssysteme und der Gauß'sche Algorithmus
Bei der Lösung von gemischten Schaltungen entstehen häufig lineare Gleichungssysteme. Im folgenden Beispiel lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mithilfe des Gauß'schen Algorithmus. Mit diesem Eliminationsverfahren beseitigen Sie zunächst schrittweise alle Unbekannten, bis nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten verbleibt. Diese lässt sich dann einfach bestimmen. Rückwirkend lösen Sie dann damit alle weiteren Unbekannten auf recht einfache Weise. Gegeben ist also:
In Matrixnotation lautet das Gleichungssystem:
Ziel des Gauß'schen Algorithmus ist es, dass Sie das Gleichungssystem durch Umformen in die folgende Form bringen:
Damit können Sie die Lösung der Unbekannten direkt im Lösungsvektor ablesen. Folgende Umformungen sind dabei erlaubt:
Vertauschen von Zeilen
Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl ungleich Null
Addition und Subtraktion von Zeilen
In unserem Beispiel ist es zunächst ratsam, dass Sie in der ersten Spalte der zweiten Zeile eine Null erzeugen. Hierzu addieren Sie zu Zeile 2 die Zeile 1 und erhalten:
Um auch unten in der ersten Spalte eine Null zu erzeugen, addieren Sie zu Zeile 3 das ()-fache von Zeile 1 und erhalten:
Nun gilt es, die zweite Spalte umzuformen. Um in der Mitte von Zeile 3 eine Null zu erhalten, addieren Sie zu Zeile 3 die mit multiplizierte Zeile 2 und erhalten:
Nun gilt es, in der letzten Spalte in Zeile 1 eine Null zu erzeugen. Dies gelingt, wenn Sie die mit multiplizierte Zeile 3 zur Zeile 1 addieren:
Nun fehlt noch eine Null in der letzten Spalte in Zeile 2. Dies gelingt, wenn Sie die mit multiplizierte Zeile 3 zur Zeile 2 addieren:
Um in der letzten Spalte von Zeile 3 eine Eins zu erzeugen, müssen Sie lediglich mit durchmultiplizieren und erhalten:
In der mittleren Spalte von Zeile 2 erzeugen Sie eine Eins, indem Sie Zeile 2 durch dividieren:
Zum Abschluss eliminieren Sie die in der mittleren Spalte von Zeile 1, indem Sie Zeile 2 mit multiplizieren und zu Zeile 1 addieren:
Die Lösung des Gleichungssystems ist also:
So macht Gleichungslösen doch Spaß, oder?
Ohne Schwingungen geht es nicht
Die wichtigsten trigonometrischen Funktionen sind die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion. Mit ihrer Hilfe können Sie wiederkehrende Ereignisse wie den zeitlichen Verlauf einer Schwingung in einem elektrischen Schwingkreis beschreiben. Die allgemeine Form für eine (harmonische) Schwingung ist definiert mit
Darin ist A die Amplitude der Schwingungsfunktion s(t). ist die Kreisfrequenz
