Wechselstromtechnik für Dummies E-Book

Michael Felleisen

• Herausgeber: Wiley-VCH GmbH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 391

Veröffentlichungsjahr: 2020

Beschreibung

»Wie leicht zu sehen ist, folgt?!« ? dieser Ausspruch sorgt in Vorlesungen stets für Verwirrung. Meist sind für diese vermeintlich leicht zu sehenden Schritte jedoch mehrere Zeilen mit mathematischen Gleichungen erforderlich. Doch keine Sorge: Dieses Buch ist anders! Michael Felleisen führt Sie Schritt für Schritt durch alle Herleitungen und Berechnungen. Dabei werden alle mathematischen Grundgesetze, die Sie zum Verständnis der Wechselstromtechnik beziehungsweise zum Lösen der Übungsaufgaben benötigen in einem Vorspann ausführlich erklärt. Von den besonderen Eigenschaften von Widerstand, Spule und Kondensator an sinusförmigen Wechselgrößen über spezielle Filterschaltungen bis zur Drehstromtechnik ist alles dabei. Auch die praktische Umsetzung der genialen Ideen von Elektropionieren wie Tesla, Gauß, Steinmetz und Bode kommen nicht zu kurz.

Leseprobe

Wechselstromtechnik für Dummies

Schummelseite

KOMPLEXE ZAHLEN

Normalform:

Betrag:

Realteil:

Imaginärteil:

Winkel:

Imaginäre Einheit:

, ,

Trigonometrische Form:

Exponentialform:

KENNWERTE SINUSFÖRMIGER WECHSELGRÖßEN

Wechselspannung:

Periodendauer:

Frequenz:

Kreisfrequenz:

Phasenverschiebungswinkel:

am Ohm'schen Widerstand, Strom und Spannung in Phasean der Spule, Induktivität: Strom zu spät!am Kondensator, Kondensator: Strom vor!Effektivwert:

Scheitelwert (Amplitude):

WIDERSTAND, SPULE UND KONDENSATOR KOMPLEX

Komplexer Widerstand:

Wirkwiderstand:

Blindwiderstand:

Scheinwiderstand:

  Impedanz

Phase zum Widerstand:

Komplexer Leitwert:

Wirkleitwert:

Blindleitwert:

Scheinleitwert:

  Admittanz

Phase zum Leitwert:

OHM’SCHES GESETZ FÜR VERSCHIEDENE WIDERSTÄNDE

Ohm'sches Gesetz:

rein Ohm‘scher (Wirk-)Widerstand/Leitwert:

induktiver (Blind-)Widerstand/Leitwert:

kapazitiver (Blind-)Widerstand/Leitwert:

SCHALTUNGEN IN DER WECHSELSTROMTECHNIK

Reihenschaltung von R und L:

Reihenschaltung von R und C:

Wechselstromtechnik für Dummies

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

1. Auflage 2021

© 2021 Wiley-VCH GmbH, Weinheim

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Coverfoto: luchschenF/stock.adobe.comKorrektur: Claudia Lötschert

Print ISBN: 978-3-527-71674-6ePub ISBN: 978-3-527-82553-0

Über den Autor

Professor Dr.-Ing. Michael Felleisen ist für die Mess-, Steuer- und Regelungstechnik an der Fakultät für Technik der Hochschule Pforzheim berufen. Nach seiner Ausbildung zum Mess- und Regelmechaniker bei der BASF studierte er Elektrotechnik mit der Vertiefung Regelungstechnik bei Prof. Dr. Dr. Otto Föllinger an der Universität (TH) Karlsruhe. Anschließend arbeitete er als Automatisierungsingenieur bei Siemens und SAP. Er promovierte am Lehrstuhl für Prozessleittechnik der RWTH Aachen bei Prof. Dr. Martin Polke, bevor er 1999 den Ruf an die Hochschule Pforzheim annahm.

Michael Felleisens Aufgabenschwerpunkte in der Lehre sind die Elektrotechnik (mit den Teilgebieten Gleichstromtechnik und Wechselstromtechnik), die Regelungstechnik, die Modellbildung sowie die Prozessleit- und Automatisierungstechnik. Für die Elektro-, Regelungs- und Automatisierungstechnik leitet er Lehr- und Projektlabore. Seine Forschungsaufgaben liegen in der Entwicklung formaler Prozessbeschreibungen und in der Modellbildung dynamischer Systeme. 2005 wurde ihm der Landeslehrpreis verliehen. Von 2007 bis 2011 war er der erste hauptamtliche Prorektor der Hochschule Pforzheim, von 2011 bis 2014 Prodekan und Bereichsleiter der Informationstechnik. In beiden Ämtern verantwortete er den Ausbau neuer Studiengänge. Von 2001 bis 2014 war er im Beirat der Fachzeitschrift »Automatisierungstechnische Praxis (atp)« und seit 2003 im Förderkreis und dem Redaktionsbeirat des »P&A-Kompendiums«. Im Wiley-Verlag veröffentlichte er im Dezember 2015 das Buch »Elektrotechnik für Dummies«. Im Januar 2019 kam das »Übungsbuch Elektrotechnik für Dummies« hinzu. Als Ergänzung zu diesen beiden Büchern liegt nun die »Wechselstromtechnik für Dummies« vor.

Mehr Informationen finden Sie unter www.hs-pforzheim.de.

Danksagung

Ein Buch zu schreiben bedeutet, Zeit, Geduld und Ausdauer aufzubringen. Darüber hinaus gehört ein Team dazu, das den Autor unterstützt. Zu diesem Team gehört an erster Stelle meine Frau Anja, der ich meinen herzlichen Dank ausspreche. Ohne ihr Verständnis und ihre Unterstützung wäre es mir kaum möglich, solche Projekte zu verwirklichen. Weiterhin gilt mein Dank meiner Lektorin, Diplom-Biologin Vanessa Schöner, die die zündende Idee für diese Bücher hatte und mich davon überzeugte, ein weiteres …für Dummies-Buch zu schreiben. Marcel Ferner danke ich dafür, dass unser Team frei von Sorgen an diesem Buch arbeiten konnte. Besonderer Dank gebührt meinem Lektor Diplom-Physiker Tobias Schwaibold, mit dem ich nun das dritte …für Dummies-Buch gestalte und der es stets versteht, meine Gedanken in die richtige Richtung zu lenken. Auch meinem Fachlektor Prof. Dr. Frank Thuselt gilt mein großer Dank. Er ergänzt unser Team mit seinem vielfältigen Hintergrundwissen und hat alle meine theoretischen Behauptungen wie auch die Rechenbeispiele sorgfältig auf deren Richtigkeit geprüft. Des Weiteren möchte ich meinem »mathematischen Gewissen« in Form meines Kollegen Diplom-Physiker Frank Schmidt danken, der mir immer dann wertvoll zur Seite steht, wenn etwas Rost im Getriebe meiner mathematischen Denkweisen steckt. Zu guter Letzt gilt es meinem Kollegen Prof. Dr.-Ing. Peter Heidrich, einem ausgewiesenen Experten für die Antriebstechnik, dafür zu danken, dass er meine Zweifel an der (auch mir noch nicht so vertrauten) Drehstromtechnik beseitigen konnte.

Inhaltsverzeichnis

Cover

Titelblatt

Impressum

Über den Autor

Danksagung

Einführung

Über dieses Buch

Konventionen in diesem Buch

Was Sie nicht lesen müssen

Törichte Annahmen über den Leser

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Wie es weitergeht

Teil I: Besonderheiten der Wechselstromtechnik

Kapitel 1: Stets zuerst die mathematischen Grundlagen

Geradengleichungen, wohin das Auge blickt

Ohne den Logarithmus geht es nicht

Auch die Exponentialfunktion spielt mit

Dreiecke und deren Winkel braucht das Land

Und dann noch Skalare und Vektoren

Schwingungen gehören zur Wechselstromtechnik

Auch Ableitungen werden gebraucht

Die irre tolle Integration

Das Wunder der komplexen Rechnung

Kapitel 2: Auf und ab: Sinusförmige Wechselgrößen

Von der Gleich- zur periodischen Wechselgröße

Erzeugung einer sinusförmigen Wechselspannung

Kapitel 3: Kennwerte sinusförmiger Wechselgrößen

Amplitude, Augenblickswert und Frequenz

Woher kommt die Phasenverschiebung?

Wechselgrößen und deren Mittelwerte

Kapitel 4: Zeiger- und Liniendiagramme für Wechselgrößen

Vom Zeiger- zum Liniendiagramm

Komplexe Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen

Teil II: Widerstand, Spule und Kondensator an Wechselgrößen

Kapitel 5: Vom Scheinwiderstand zum Scheinleitwert

Widerstand an Wechselstrom

Kapitel 6: Der Wirkwiderstand an Wechselstrom

Ohm'scher Widerstand an Wechselstrom

Leistungen am Ohm'schen Widerstand

Kapitel 7: Der induktive Blindwiderstand der Spule

Spule an Wechselstrom

Leistungen an der Spule

Kapitel 8: Der kapazitive Blindwiderstand des Kondensators

Kondensator an Wechselstrom

Leistungen am Kondensator

Vergleich der Grundschaltungen an Wechselstrom

Teil III: Gemischte Schaltungen an Wechselgrößen

Kapitel 9: Reihenschaltung linearer Zweipole

Reihenschaltung von Widerstand und Spule

Reihenschaltung von Widerstand und Kondensator

Reihenschaltung von Widerstand, Spule und Kondensator

Reihenresonanz

Reihenschaltung komplexer Widerstände

Spannungsteilerregel für komplexe Widerstände

Kapitel 10: Parallelschaltung linearer Zweipole

Parallelschaltung von Widerstand und Spule

Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator

Parallelschaltung von Widerstand, Spule und Kondensator

Parallelresonanz

Parallelschaltung komplexer Leitwerte

Stromteilerregel für komplexe Leitwerte

Kapitel 11: Umwandlung von Reihen- und Parallelschaltung – Ersatzzweipole

Ersatz für die Parallelschaltung

Ersatz für die Reihenschaltung

Kapitel 12: Leistung im Wechselstromkreis

Leistung bei Wirklast – Wirkleistung am Ohm'schen Widerstand

Leistung bei induktiver Belastung – Blindleistung der Spule

Leistung bei kapazitiver Belastung – Blindleistung des Kondensators

Scheinleistung und Leistungsfaktor

Komplexe Leistung

Blindleistungskompensation

Teil IV: Frequenzgang, Ortskurve und Filterschaltungen

Kapitel 13: Frequenzgangdarstellung und das Bode-Diagramm

Der Frequenzgang und seine Eigenschaften

Eigenschaften des Bode-Diagramms

Kapitel 14: Frequenzkennlinien braucht das Land

Die Frequenzkennlinie – auf dem Weg zum Bode-Diagramm

Was geschieht mit der Ortskurvendarstellung?

Beispiele zur Konstruktion der Ortskurve

Kapitel 15: Elektrische Filterschaltungen

RC- und RL-Tiefpassschaltungen

RC- und RL-Hochpassschaltungen

RC-Bandpass

Kapitel 16: Resonanz im Wechselstromkreis

Die Spannungsresonanz in Reihenschaltungen

Die Resonanzfrequenz und die Thomson'sche Schwingungsformel

Die Stromresonanz in Parallelschaltungen

Teil V: Drehstrom als Dreiphasen-Wechselstromsystem

Kapitel 17: Erzeugung und Darstellung von Dreiphasen-Wechselstrom

Erzeugung von Dreiphasen-Wechselstrom

Generator für Drehstrom

Motor im Drehstromnetz

Kapitel 18: Stern- und Dreieckschaltung des Generators

Sternschaltung des Generators

Dreieckschaltung des Generators

Kapitel 19: Anschluss des Verbrauchers ans Drehstromnetz

Sternschaltung des Verbrauchers

Dreieckschaltung des Verbrauchers

Kapitel 20: Leistung bei Drehstrom

Teil VI: Der Top-Ten-Teil

Kapitel 21: Zehn wichtige Erfinder der Wechselstromtechnik

Michael Faraday: aus Magnetismus werden Ströme

Werner von Siemens: das dynamoelektrische Prinzip

Carl Friedrich Gauß: die komplexe Zahl

Nikola Tesla: aus Gleich- wird Wechselstrom

Georg Westinghouse und die Energieübertragung

Sir William und die Schwingungen

Carl Steinmetz: die komplexe Rechnung

Oskar von Miller: die Drehstrom-Energieübertragung

Galileo Ferraris und das Drehfeld

Hendrik Wade Bode und die Frequenzeigenschaften

Kapitel 22: Zehn wichtige Einheiten und deren Bedeutung

Kapitel 23: Zehn Dekaden der Elektrizität im 19. Jahrhundert

Kapitel 24: Meine zehn Lieblingsbücher für die Wechselstromtechnik

A: Lösungen der Aufgaben

Aufgabe 1.1

Aufgabe 1.2

Aufgabe 3.1

Aufgabe 3.2

Aufgabe 4.1

Aufgabe 4.2

Aufgabe 5.1

Aufgabe 5.2

Aufgabe 7.1

Aufgabe 7.2

Aufgabe 8.1

Aufgabe 8.2

Aufgabe 9.1

Aufgabe 9.2

Aufgabe 9.3

Aufgabe 9.4

Aufgabe 10.1

Aufgabe 10.2

Aufgabe 10.3

Aufgabe 10.4

Aufgabe 11.1

Aufgabe 12.1

Aufgabe 15.1

Aufgabe 16.1

Aufgabe 20.1

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

Tabellenverzeichnis

Kapitel 1

Tabelle 1.1: Funktionswerte der Sinus- und Kosinusfunktion

Kapitel 8

Tabelle 8.1: Grundgleichungen für Wechselstromkreise

Kapitel 13

Tabelle 13.1: Spannungsverhältnisse und ihre dB-Werte

Kapitel 14

Tabelle 14.1: Regeln zur Konstruktion einfacher Ortskurven

Illustrationsverzeichnis

Kapitel 1

Abbildung 1.1: Hauptform der Geraden

Abbildung 1.2: Beliebiges Dreieck mit Seitenlängen und Winkeln

Abbildung 1.3: Rechtwinkliges Dreieck

Abbildung 1.4: Vektor im kartesischen Koordinatensystem

Abbildung 1.5: Addition und Länge von Vektoren

Abbildung 1.6: Sinus- und Kosinusfunktion

Abbildung 1.7: Ableitungen und die Tangente am Beispiel einer Konde...

Abbildung 1.8: Integration und Flächenintegral

Abbildung 1.9: Darstellung einer komplexen Zahl

Abbildung 1.10: Konjugiert komplexe Zahl

Abbildung 1.11: Komplexe Zahl in Polarkoordinaten

Abbildung 1.12: Wirkung der Drehung des Zeigers

Abbildung 1.13: Arkustangensfunktion

Abbildung 1.14: Drehung des Zeigers um +90°

Abbildung 1.15: Anwendungsbeispiel zur komplexen Rechnung

Kapitel 2

Abbildung 2.1: Faradays Versuchsaufbau zu seinem Elektromotor

Abbildung 2.2: Grafische Darstellung von Gleichgrößen

Abbildung 2.3: Periodische Sägezahnfunktion

Abbildung 2.4: Periodische Zickzackfunktion

Abbildung 2.5: Sinusförmige Wechselgröße

Abbildung 2.6: Erzeugung einer sinusförmigen Wechselspannung

Abbildung 2.7: Fläche der Leiterschleife mit Vektor der Flächennorm...

Abbildung 2.8: Spannungsverlauf am Spulenabgriff bei der Rotation d...

Abbildung 2.9: Induktionsspannung und Scheitelwert

Kapitel 3

Abbildung 3.1: Amplitude und Augenblickswert

Abbildung 3.2: Periode und Periodendauer

Abbildung 3.3: Spannungsverlauf und Nullphasenwinkel

Abbildung 3.4: Phasenverschiebungswinkel

Abbildung 3.5: Spannung- und Stromverlauf bei einer Spule

Abbildung 3.6: Gleichanteil einer periodischen Funktion

Abbildung 3.7: Widerstand an Gleich- und Wechselspannung

Abbildung 3.8: Zeitverlauf der Leistung am Widerstand bei Wechselst...

Abbildung 3.9: Verlauf der Sinusfunktion

Abbildung 3.10: Sinusförmiger Strom und dessen Effektivwert

Kapitel 4

Abbildung 4.1: Addition zweier Spannungen im Liniendiagramm

Abbildung 4.2: Übergang vom Zeiger- zum Liniendiagramm

Abbildung 4.3: Zeigerdiagramm mit vollem Zeigerumlauf

Abbildung 4.4: Geometrische Addition von Zeigern

Abbildung 4.5: Ermittlung des Augenblickswerts

Abbildung 4.6: Phasenverschiebung zweier Wechselgrößen

Abbildung 4.7: Komplexe Darstellung einer Spannung

Kapitel 5

Abbildung 5.1: Sinusförmige Spannung und Strom am Zweipol

Abbildung 5.2: Komplexer Widerstand in der Gauß'schen Zahlenebene

Abbildung 5.3: Komplexer Leitwert in der Gauß'schen Zahlenebene

Kapitel 6

Abbildung 6.1: Spannung und Strom am Wirkwiderstand

Kapitel 7

Abbildung 7.1: Spannung und Strom an der Spule

Kapitel 8

Abbildung 8.1: Spannung und Strom am Kondensator

Kapitel 9

Abbildung 9.1: Reihenschaltung von Widerstand und Spule

Abbildung 9.2: Zeigerdiagramm für eine Reihenschaltung von Widersta...

Abbildung 9.3: Ein Spannungsdreieck lässt sich bequem mithilfe des ...

Abbildung 9.4: Widerstandsdreieck für eine Reihenschaltung von Wide...

Abbildung 9.5: Reihenschaltung von Widerstand und Kondensator

Abbildung 9.6: Zeigerdiagramm mit Strom als Bezugszeiger

Abbildung 9.7: Das Spannungsdreieck für die Reihenschaltung von Wid...

Abbildung 9.8: Widerstandsdreieck für die Reihenschaltung aus Wider...

Abbildung 9.9: Reihenschaltung von Widerstand, Spule und Kondensato...

Abbildung 9.10: Zeigerdiagramm für die Reihenschaltung aus Widerst...

Abbildung 9.11: Das Spannungsdreieck für die Reihenschaltung aus W...

Abbildung 9.12: Widerstandsdreieck für die Reihenschaltung aus Wid...

Abbildung 9.13: Verhältnis der Blindwiderstände

Abbildung 9.14: Reihenschaltung komplexer Widerstände mit Ersatzzw...

Abbildung 9.15: Spannungsteiler für komplexe Widerstände

Kapitel 10

Abbildung 10.1: Parallelschaltung von Widerstand und Spule

Abbildung 10.2: Zeigerdiagramm für die Parallelschaltung von Wider...

Abbildung 10.3: Im rechtwinkligen Stromdreieck für die Parallelsch...

Abbildung 10.4: Leitwertdreieck für die Parallelschaltung aus Wide...

Abbildung 10.5: Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator

Abbildung 10.6: Zeigerdiagramm der Parallelschaltung von Widerstan...

Abbildung 10.7: Stromdreieck mit Dreieck von Pythagoras

Abbildung 10.8: Leitwertdreieck für die Parallelschaltung aus Wide...

Abbildung 10.9: Parallelschaltung von Widerstand, Spule und Konden...

Abbildung 10.10: Zeigerdiagramm für die Parallelschaltung von Wid...

Abbildung 10.11: Das Stromdreieck für die Parallelschaltung eines...

Abbildung 10.12: Leitwertdreieck

Abbildung 10.13: Verhältnis der Blindleitwerte

Abbildung 10.14: Parallelschaltung komplexer Leitwerte

Abbildung 10.15: Stromteiler für komplexe Leitwerte

Abbildung 10.16: Schaltung zu Aufgabe 10.4

Kapitel 12

Abbildung 12.1: Leistungskurve für den Ohm'schen Widerstand

Abbildung 12.2: Leistungskurve für die Spule

Abbildung 12.3: Leistungskurve für den Kondensator

Abbildung 12.4: Komplexe Darstellung der Leistung

Abbildung 12.5: Induktiv wirkender Verbraucher für die Parallelkom...

Abbildung 12.6: Stromdreieck ohne Parallelkompensation

Abbildung 12.7: Kompensation durch Parallelschaltung eines Kondens...

Abbildung 12.8: Stromdreieck mit Parallelkompensation

Abbildung 12.9: Leistungsdreieck zur Parallelkompensation – links ...

Kapitel 13

Abbildung 13.1: Bode-Diagramm eines VZ

1

-Glieds

Kapitel 14

Abbildung 14.1: Komplexer Zeiger des I-Glieds

Abbildung 14.2: Frequenzkennlinie des I-Glieds

Abbildung 14.3: Bereinigte Frequenzkennlinie des I-Glieds

Abbildung 14.4: Endgültige Frequenzkennlinie des I-Glieds

Abbildung 14.5: Amplituden- und Phasengang im Bode-Diagramm des I-...

Abbildung 14.6: Frequenzkennlinie eines P- und dreier VZ

1

-Glieder

Abbildung 14.7: Ortskurve (oben) und Frequenzkennlinie (unten)

Abbildung 14.8: Entwicklung der Ortskurve über die konforme Abbild...

Abbildung 14.9: Verlauf einer Ortskurve eines VZ

3

-Glieds

Abbildung 14.10: Ortskurve zum Frequenzgang der Abflussregelung

Abbildung 14.11: Reihenschaltung von Widerstand und Spule

Abbildung 14.12: Ortskurve des komplexen Widerstands der RL-Reihe...

Abbildung 14.13: Ortskurve zum komplexen Leitwert der RL-Reihensc...

Abbildung 14.14: RC-Tiefpassschaltung

Abbildung 14.15: Ortskurve der RC-Tiefpassschaltung

Kapitel 15

Abbildung 15.1: Durchlass- und Sperrbereich

Abbildung 15.2: RC- und RL-Tiefpassschaltung

Abbildung 15.3: Verlauf der Arkustangensfunktion

Abbildung 15.4: Frequenzkennlinie eines Tiefpasses

Abbildung 15.5: RC- und RL-Hochpassschaltung

Abbildung 15.6: Frequenzkennlinie eines Hochpasses

Abbildung 15.7: Bandpass

Abbildung 15.8: Frequenzkennlinie eines Bandpasses

Abbildung 15.9: Schaltung zu Aufgabe 15.1

Kapitel 16

Abbildung 16.1: Resonanzkreis mit Widerstand, Spule und Kondensato...

Abbildung 16.2: Spannungs- (links) und Widerstandsdreieck (rechts)...

Abbildung 16.3: Resonanzkurven des Reihenresonanzkreises

Abbildung 16.4: Resonanzkreis mit Widerstand, Spule und Kondensato...

Abbildung 16.5: Stromdreieck des Resonanzkreises

Abbildung 16.6: Resonanzkurven des Parallelresonanzkreises

Kapitel 17

Abbildung 17.1: Erzeugung eines Einphasen-Wechselstroms

Abbildung 17.2: Erzeugung eines Dreiphasen-Wechselstroms

Abbildung 17.3: Liniendiagramm zum Spannungsverlauf bei Drehstrom

Abbildung 17.4: Generator zur Erzeugung von Drehstrom

Abbildung 17.5: Schaltung der Spulen des Drehstromgenerators

Abbildung 17.6: Motor im Drehstromnetz

Abbildung 17.7: Verlauf der Ströme des permanenterregten Drehstrom...

Abbildung 17.8: Funktionsprinzip des permanenterregten Drehstrommo...

Abbildung 17.9: Verlauf der Ströme und Lage des Rotors des Drehstr...

Abbildung 17.10: Kraftwirkung der Magnetfelder und Drehrichtung d...

Kapitel 18

Abbildung 18.1: Sternschaltung des Generators

Abbildung 18.2: Zeigerdiagramm für die Sternschaltung

Abbildung 18.3: Dreieckschaltung des Generators

Kapitel 19

Abbildung 19.1: Verbraucherseitige Sternschaltung mit Neutralleite...

Abbildung 19.2: Ermittlung des Gesamtstroms bei symmetrischer Last

Abbildung 19.3:

Ermittlung des Gesamtstroms bei unsymmetrischer La

...

Abbildung 19.4: Sternschaltung ohne angeschlossenen Neutralleiter

Abbildung 19.5: Verbraucherseitige Dreieckschaltung

Abbildung 19.6: Bestimmung der Außenleiterströme bei symmetrischer...

Kapitel 20

Abbildung 20.1: Verbindung von Generator und Verbraucher

Anhang A

Abbildung A.1:

Darstellung der komplexen Zahl

Abbildung A.2:

Darstellung der komplexen Zahl

Abbildung A.3: Zeigerdiagramm mit Effektivwerten zu Aufgabe 4.1

Abbildung A.4: Zeiger- und Liniendiagramm zu Aufgabe 4.2

Abbildung A.5: Berechnung von Vor- und Scheinwiderstand zu Aufgabe 9.1

Abbildung A.6: Schaltung des unbelasteten Spannungsteilers zu Aufgabe 9.4

Abbildung A.7: Stromdreieck zu Aufgabe 10.1

Abbildung A.8: Stromdreieck zu Aufgabe 10.2

Abbildung A.9: Leitwertdreieck zu Aufgabe 10.2

Abbildung A.10: Umgeformte Stromteilerschaltung zu Aufgabe 10.4

Abbildung A.11: Leistungsdreieck ohne (links) und mit (rechts) Kompensation zu Aufgabe...

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Einführung

Willkommen im Reich der Wechselstromtechnik! Ich freue mich sehr, dass Sie dieses Buch in Ihren Händen halten, und ich hoffe, dass Sie neugierig auf dessen Inhalt sind – egal ob Sie bald eine schier unüberwindliche Klausur zu diesem Thema zu bestehen haben oder ob Sie schon immer wissen wollten, wie Wechselstrom eigentlich funktioniert. Wechselstrom ist ein ganz besonderer Strom, den Sie täglich nutzen, sobald Sie einen elektrischen Verbraucher wie einen Handmixer in die Steckdose stecken.

Lassen Sie uns gemeinsam in die Tiefen dieses faszinierenden Teilbereichs der Elektrotechnik abtauchen, wo geniale Ideen von genialen Erfindern darauf warten, von Ihnen entdeckt zu werden. Sie werden sich auf die Spuren von Michael Faraday begeben und dessen bahnbrechendes Induktionsgesetz in allen Details erforschen. Sie werden den großartigen Nikola Tesla kennenlernen, dessen atemberaubende Ideen die Welt nachhaltig verändern sollten. Und Sie werden hautnah miterleben, wie sich die beiden Strompioniere Georg Westinghouse und Thomas Alva Edison bis aufs Blut bekämpften, um ihre jeweilige Vorstellung des bestmöglichen Stromübertragungsnetzes durchzusetzen. Das allererste Drehstromübertragungsnetz wurde im Jahr 1891 fast »um die Ecke« von Ihnen gebaut, nämlich von Lauffen am Neckar nach Frankfurt am Main … Doch halt, jetzt verliere ich mich schon begeistert in historischen Details! Lassen Sie uns erst einmal das Tor zum Reich der Wechselstromtechnik aufstoßen und behutsam eintreten!

Über dieses Buch

Dieses Buch ist formal ganz ähnlich aufgebaut wie die beiden ebenfalls von mir geschriebenen Bücher Elektrotechnik für Dummies und Übungsbuch Elektrotechnik für Dummies. Nun jedoch werden Sie die drei wichtigsten Bauteile der Elektrotechnik – den elektrischen Widerstand, die magnetische Spule und den Kondensator – von einer völlig neuen Seite kennen- und berechnen lernen – nämlich wenn sie an Wechselstrom angeschlossen sind!

Auch in diesem Buch habe ich alle elektrotechnischen Gesetze mit Erklärungen zu den historischen Experimenten gewürzt und mit einer Prise Übungsaufgaben verfeinert, um Ihnen die theoretischen Zusammenhänge in der praktischen Anwendung nahezubringen. Auch Skizzen wie Schaltpläne, Kurvenverläufe oder Konstruktionszeichnungen sind unerlässlich, um die physikalischen Zusammenhänge elektrotechnischer Fragestellungen zu verstehen. Und da die Mathematik die Fachsprache des Ingenieurs ist, um seine Ideen darzustellen, darf natürlich auch dieses Themengebiet nicht fehlen. Aber keine Sorge: Wir Ingenieure brauchen nur wenige grundlegende Bereiche der Mathematik, um unsere tollen Konstruktionen zu beschreiben. Was, das glauben Sie mir nicht? Ich werde es Ihnen beweisen, wenn Sie in diesem Buch weiterlesen!

Konventionen in diesem Buch

Dieses Buch beinhaltet einige wenige Konventionen zur Schreibweise:

Vektoren

, also physikalische Größen, die einen Betrag und eine Richtung haben, werden mit einem Pfeil über der Größe versehen, wie beispielsweise die elektrische Feldstärke

.

Physikalische und technische Größen

sind

kursiv

geschrieben, Einheiten bleiben hingegen steil stehen. Bei der Größe

m

handelt es sich also um die physikalische Größe der »Masse«, während ein nicht kursiv geschriebenes m für die Einheit »Meter« steht. Auch neue beziehungsweise zentrale Begriffe sind kursiv geschrieben.

Was Sie nicht lesen müssen

Alle Teile dieses Buchs sind so formuliert, dass Sie diese nicht hintereinander lesen müssen, sondern frei hin- und herspringen können. Die Lösungen der gestellten Aufgaben sind vermutlich nur für diejenigen Leser relevant, die sich gerade auf eine Prüfung im Fach Wechselstromtechnik vorbereiten. Für die Prüfungsvorbereitung sind alle in den Kapiteln aufgeführten Aufgaben wichtig. Die detaillierten Lösungswege finden Sie im Anhang. Versuchen Sie bitte stets, die Aufgaben zunächst mithilfe der Theorie des zugehörigen Kapitels eigenständig zu lösen, ohne den Lösungsweg im Anhang anzuschauen! Die dargestellten Lösungen kommen erst ins Spiel, wenn Sie das bei der Aufgabenstellung angegebene Ergebnis nicht herausbekommen oder Ihren eigenen Lösungsweg kontrollieren wollen. Beachten Sie bitte, dass die Übungsaufgaben so angeordnet sind, dass sie schrittweise von einfachen zu komplexeren Anforderungen führen.

Törichte Annahmen über den Leser

Beim Schreiben dieses Buchs bin ich von folgenden Annahmen über Sie, den Leser dieses Buchs, ausgegangen:

Sie interessieren sich für Zusammenhänge und Erklärungen rund um das Phänomen der Wechselstromtechnik.

Sie wollen etwas Neues lernen oder bekanntes Wissen festigen.

Sie können mit den Gesetzen und Vorgehensweisen der Mathematik für die gymnasiale Oberstufe umgehen.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch besteht aus sechs Teilen, die jeweils mehrere Kapitel beinhalten. Die Kapitel fasse ich in der Folge kurz für Sie zusammen, damit Sie entscheiden können, welche Inhalte für Sie von Interesse sind.

Teil I: Besonderheiten der Wechselstromtechnik

Der Teil I mit seinen vier Kapiteln ist den Grundlagen gewidmet:

In

Kapitel 1

sind die wesentlichen mathematischen Grundlagen zusammengefasst, die Sie zum Lösen der Aufgaben für die Wechselstromtechnik brauchen. Insbesondere lernen Sie hier die Grundregeln zum Rechnen mit komplexen Zahlen kennen.

In

Kapitel 2

verstehen Sie die Entstehung von Wechselgrößen und freunden sich mit sinusförmigen Wechselgrößen an.

In

Kapitel 3

stelle ich Ihnen Kennwerte sinusförmiger Wechselgrößen wie die Amplitude, die Phasenverschiebung, den Mittel- und den Effektivwert vor.

In

Kapitel 4

zeige ich Ihnen, wie Sie Wechselgrößen sehr einfach grafisch darstellen und dann berechnen können.

Teil II: Widerstand, Spule und Kondensator an Wechselgrößen

Im Teil II stehen in vier Kapiteln der Ohm'sche Widerstand, die Spule und der Kondensator im Fokus unserer gemeinsamen Betrachtung.

In

Kapitel 5

werden Sie den Widerstand nun auch komplex kennenlernen.

In

Kapitel 6

widmen wir uns dem Ohm'schen Widerstand und dessen besonderem Verhalten im Wechselstromkreis.

In

Kapitel 7

steht das Verhalten der Spule im Vordergrund. Lassen Sie sich überraschen, wie diese mit Wechselstrom wirkt!

In

Kapitel 8

betrachten Sie den Kondensator als kapazitiven Blindwiderstand an Wechselstrom.

Teil III: Gemischte Schaltungen an Wechselgrößen

Im Teil III wenden Sie das zuvor Gelernte für alle drei Bauteile und deren Zusammenschaltung an Wechselgrößen an. Lassen Sie sich überraschen, was dabei Kurioses herauskommt.

In

Kapitel 9

schauen Sie sich die drei Bauteile in Reihenschaltung an.

In

Kapitel 10

erleben Sie das Verhalten der drei Bauteile in Parallelschaltung.

In

Kapitel 11

lernen Sie, wie man durch Ersatzzweipole von einer Reihen- zu einer Parallelschaltung und wieder zurückgelangt.

In

Kapitel 12

stehen die Leistungen im Wechselstromkreis im Vordergrund. Auch hier werden Sie überrascht sein, was der Kondensator und die Spule in dieser Hinsicht zu bieten haben!

Teil IV: Frequenzgang, Ortskurve und Filterschaltungen

Bei der Betrachtung frequenzabhängiger Wechselfelder sind die beiden grafischen Darstellungsformen des Frequenzgangs und der Ortskurve von zentraler Bedeutung. Anhand verschiedener Filterschaltungen werden Sie deren Genialität selbst zu schätzen lernen!

In

Kapitel 13

lernen Sie die Grundlagen der Frequenzgangdarstellung kennen.

In

Kapitel 14

stehen sowohl der Frequenzgang als auch die Ortskurve im Zentrum unseres Interesses. Wie stellt man sie dar und wie kann man damit Berechnungen durchführen?

In

Kapitel 15

lernen Sie die besondere Dynamik elektrischer

RLC

-Filterschaltungen an Wechselstrom kennen. Freuen Sie sich auf Tief- und Hochpassschaltungen sowie die Schaltung zum Bandpass!

In

Kapitel 16

tauchen Sie in die Welt der Resonanz und die Besonderheiten der Spannungs- und Stromresonanz ein. In diesem Zuge lernen Sie auch die berühmte Thomson'sche Schwingungsformel kennen.

Teil V: Drehstrom als Dreiphasen-Wechselstrom

Im Teil V dieses Buchs erfahren Sie alles über das (dem Wechselstrom nah verwandte) Drehstromsystem und berechnen dessen wesentliche Kenngrößen.

In

Kapitel 17

stehen die Erzeugung und die Darstellung des Dreiphasen-Wechselstroms im Vordergrund.

In

Kapitel 18

gehen wir auf die Stern- und die Dreieckschaltung eines Generators ein.

In

Kapitel 19

schauen wir uns die verbrauchsseitige Sternschaltung mit und ohne Neutralleiter sowie die verbrauchsseitige Dreieckschaltung an.

In

Kapitel 20

kommen die Leistungen im Drehstromnetz zum Zuge.

Teil VI: Der Top-Ten-Teil

Der Top-Ten-Teil besteht aus vier Kapiteln, in denen Sie weiterführende Informationen erhalten.

In

Kapitel 21

sind wesentliche Informationen zur Lebensgeschichte und dem Wirken der im Buch genannten Erfinder der Wechselstromtechnik zusammengefasst.

In

Kapitel 22

stelle ich Ihnen die zehn wichtigsten Einheiten vor, die Sie beim Lösen der Übungsaufgaben brauchen.

In

Kapitel 23

werden Sie in zehn Dekaden die wichtigsten Errungenschaften zur Entwicklung der Wechselstromtechnik im 19. Jahrhundert kennenlernen.

In

Kapitel 24

benenne ich für Sie zehn ausgesuchte Bücher zur Wechselstromtechnik, die in jedem Regal stehen sollten.

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Wie bei den Dummies üblich, gibt es auch in diesem Buch eine Reihe von Symbolen, die bestimmte Inhalte hervorheben sollen.

Das Tipp-Symbol kennzeichnet Textstellen, die zur Lösung der Aufgaben hilfreich sind, weil sie Ansätze aufzeigen oder eine Aufgabenstellung aus einem anderen Blickwinkel darstellen.

Das Erinnerung-Symbol weist Sie auf Definitionen, Sätze oder wichtige Gegebenheiten hin, die Sie zum Bestehen einer Prüfung benötigen. Diese Inhalte sollten Sie in jedem Falle verinnerlichen!

Das Technik-Symbol kennzeichnet Textteile, die Sie nicht unbedingt lesen müssen, wenn Sie sich nur auf die wesentlichen Sachverhalte konzentrieren wollen. Wenn Sie jedoch Zeit haben oder die Wechselstromtechnik in ihren Grundzügen verstehen müssen, stellen diese Abschnitte wichtige Hintergrundinformationen für Sie bereit.

Das Warnung-Symbol zeigt Ihnen Textteile an, bei denen Sie sich in Acht nehmen sollten. Hier könnte beim Rechnen etwas schiefgehen!

Wie es weitergeht

So, jetzt können Sie endlich loslegen und das Reich der Wechselstromtechnik betreten. Arbeiten Sie entweder alle Kapitel hintereinander durch oder suchen Sie sich diejenigen Kapitel aus, die Sie am meisten interessieren. Im Hinblick auf eine Prüfungsvorbereitung prägen Sie sich bitte die wichtigsten Zusammenhänge ein und üben anhand aller angebotenen Aufgaben. Denken Sie bitte auch daran, dass Ihnen in der Klausur nur eine begrenzte Zeit zur Lösungsbearbeitung zugestanden wird! Üben, üben, üben ist das Motto – auch der grundlegenden Mathematik.

Als Ihr persönlicher Expeditionsleiter auf Ihrer Reise durch die spannende Welt der Wechselstromtechnik wünsche ich Ihnen viel Spaß und noch mehr Erfolg!

Teil I

Besonderheiten der Wechselstromtechnik

IN DIESEM TEIL …

Unser heutiges Leben ist stark durch die Wechselstromtechnik geprägt: Jedes elektrisch betriebene Gerät, das Sie an unser aktuelles elektrisches Versorgungsnetz anschließen, wird durch einen Wechselstrom gespeist. Nikola Tesla (1856–1943) haben wir diese Erfindung zu verdanken. Er konstruierte den ersten Wechselstrommotor im Jahre 1885. Aber nicht nur das Wechselstromsystem, sondern auch das heute bei Motoren verwendete Drehstromsystem ist auf Teslas Ideen zurückzuführen! Wandeln Sie auf den Pfaden dieses großartigen Erfinders und freuen Sie sich in diesem Teil auf viele spannende Aufgaben zur Wechselstromtechnik ...

Kapitel 1

Stets zuerst die mathematischen Grundlagen

IN DIESEM KAPITEL

Geradengleichung und LogarithmusgesetzeDreiecke und TrigonometrieSkalare und VektorenSchwingungenAbleitungen und IntegraleRechnen mit komplexen Zahlen

Sie müssen kein Mathematiker sein, um die Herleitungen der Gesetze in der Wechselstromtechnik zu verstehen und die zugehörigen Übungsaufgaben berechnen zu können. Sie werden sich jedoch beim Austüfteln der Lösungen leichter tun, wenn Sie sich die wenigen erforderlichen mathematischen Grundlagen in Erinnerung rufen und diese wieder aktualisieren. Einzig die Rechnung mit komplexen Zahlen ist vielleicht neu für Sie, da diese nicht Bestandteil der gymnasialen Oberstufe ist, sondern erst im Studium vermittelt wird. Nachfolgend sind die wichtigsten mathematischen Grundlagen zusammengefasst, die Sie zum Verstehen der Herleitungen und zum Lösen der Aufgaben in der Wechselstromtechnik benötigen. Also los, auf geht's in die erste Runde!

Geradengleichungen, wohin das Auge blickt

In der Wechselstromtechnik wird nicht nur mit Zahlen gerechnet. Manchmal ist es auch entscheidend, dass Sie sich mithilfe einer geeigneten Grafik ein erstes Bild der möglichen Lösungen machen. Dabei stehen Beziehungen zwischen physikalischen Größen im Vordergrund, die sich durch Kurven darstellen lassen. Die Gerade ist eine besonders einfache Kurve. In Abbildung 1.1 ist die Hauptform einer Geraden für Sie dargestellt.

Abbildung 1.1: Hauptform der Geraden

Für die in Abbildung 1.1 skizzierte Gerade gilt die Gleichung

Die Variablen x und y sind die Koordinaten eines beliebigen Geradenpunkts. Die Größe m ist die Steigung der Geraden, während b angibt, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet. Für die Steigung m der Geraden gilt der Zusammenhang

Ohne den Logarithmus geht es nicht

Auch der Logarithmus ist eine wichtige mathematische Grundlage für die Wechselstromtechnik – vor allem, wenn es um die Verstärkung elektrischer Signale geht, bei Frequenzgängen und deren Ortskurven. Eine Zahl der Form »« heißt Logarithmus und wird als »Logarithmus b zur Basis a« ausgesprochen. Der Logarithmus ist als eindeutige Lösung x der Gleichung definiert. Damit gilt

Weiterhin gilt für den Logarithmus eines Produkts die Regel

Der Logarithmus eines Produkts ist also gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren. Für den Logarithmus eines Bruchs gilt eine entsprechende Regel:

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem mit dem Exponenten multiplizierten Logarithmus der Basis:

Daraus folgt direkt, wie es um den Logarithmus einer Wurzel bestellt ist:

Denken Sie daran, dass unter dem Wurzelzeichen keine negative Zahl stehen darf!

Den Logarithmus zur Basis e bezeichnen wir als natürlichen Logarithmus. Er hat ein eigenes mathematisches Symbol:

Auch die Exponentialfunktion spielt mit

Die Exponentialfunktion spielt eine Rolle beim Rechnen mit komplexen Zahlen, bei der Darstellung von Abkling- und Sättigungsprozessen und bei Schwingungen. Die wichtigste Exponentialfunktion, die sogenannte e-Funktion

ist von besonderer Bedeutung. Dabei ist die Basis e = 2,781… die Euler'sche Zahl. Während die Basis e fest ist, ist der Exponent x variabel. Allgemein leitet sich die Exponentialfunktion aus der Verallgemeinerung des Begriffs Potenz ab, das heißt aus der Form

mit positiver Basis und und beliebig reellen Werten x für den Exponenten. Für die Berechnung gelten folgende Gesetze:

Werden die Basen multipliziert, werden die Exponenten addiert.

Werden die Basen dividiert, werden die Exponenten subtrahiert.

Werden die Basen potenziert, werden die Exponenten multipliziert.

Übrigens, die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Dreiecke und deren Winkel braucht das Land

In einigen Aufgaben zur Wechselstromtechnik, wenn beispielsweise Zeigerdiagramme, Spannungs- oder Widerstandsdreiecke zum Einsatz kommen, müssen Sie Strecken berechnen, deren Längen und Winkel in Beziehung zueinander stehen, oder die Winkel selbst – beispielsweise um die Phasenverschiebung zwischen zwei Spannungszeigern zu ermitteln. Dann spielen Dreiecke eine wichtige Rolle. Abbildung 1.2 zeigt ein beliebiges Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c sowie den Winkeln , und .

Abbildung 1.2: Beliebiges Dreieck mit Seitenlängen und Winkeln

Die Winkelsumme in einem beliebigen Dreieck ist 180°:

Kennen Sie zwei Winkel des Dreiecks, können Sie den dritten Winkel berechnen.

Abbildung 1.3: Rechtwinkliges Dreieck

Rechtwinklige Dreiecke wie in Abbildung 1.3 sind ganz besondere Dreiecke. Neben dem rechten Winkel von 90° besitzt ein rechtwinkliges Dreieck zwei weitere Winkel, die mit und gekennzeichnet sind. Nehmen Sie den Winkel als Ausgangspunkt, so gelten folgende Bezeichnungen:

Die

Gegenkathete a

ist die Seite, die dem Winkel

gegenüberliegt.

Die

Ankathete b

ist die Seite, die an den Winkel

angrenzt.

Die

Hypotenuse c

ist die lange Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Für das rechtwinklige Dreieck sind die trigonometrischenFunktionen definiert:

; ;

Weiterhin gilt der berühmte Satz des Pythagoras (um 570 v. Chr.) für das rechtwinklige Dreieck: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden Kathetenquadrate gleich dem Quadrat der Hypotenuse . Es gilt also:

Diesen Satz werden Sie brauchen, um aus den Zeigerdiagrammen und Spannungs- sowie Widerstandsdreiecken (allesamt rechtwinklige Dreiecke) die Gleichungen zur Berechnung der Größen einer Wechselstromschaltung abzuleiten.

Ein weiterer wichtiger Lehrsatz aus der Geometrie geht auf einen von Thales von Milet (625–547 v. Chr.) konstruierten Kreis, den Thaleskreis, zurück. Der zugehörige Satz des Thales dient zur Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke. Der Lehrsatz besagt, dass alle Winkel in einem Halbkreisbogen, dem Thaleskreis, rechtwinklig sind. Demnach können Sie ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises und einem weiteren Punkt des Halbkreises zur Konstruktion des gewünschten rechtwinkligen Dreiecks heranziehen. Auch dieser Satz hilft Ihnen, unbekannte Größen in einer Wechselstromschaltung zu bestimmen.

Und dann noch Skalare und Vektoren

In der Wechselstromtechnik vorkommende Größen wie Spannungen oder Ströme werden in Zeigerdiagrammen mit ihrer Stärke (das heißt ihrem Betrag) und ihrer Richtung dargestellt. Deshalb benötigen Sie Kenntnisse zu Skalaren und Vektoren.

Ein Skalar ist eine Größe, die allein durch einen Zahlenwert (Betrag) charakterisiert ist. So ist der physikalische Druck eine skalare Größe mit einem Wert (zum Beispiel 1 bar). Auch die Zeit ist eine skalare Größe. Ein Vektor hingegen ist eine Größe, die einen Betrag und eine Richtung besitzt. So ist die Geschwindigkeit ein Vektor, weil ihr Betrag alleine nicht ausreicht, um ihre Wirkung zu beschreiben.

Eine skalare Größe wird mit kursivem Buchstaben gekennzeichnet (zum Beispiel p für den Druck). Vektorielle Größen werden wir in diesem Buch stets mit einem Pfeil über dem Buchstaben kennzeichnen (zum Beispiel für das elektrische Feld).

Der Vektor , in Abbildung 1.4 als dicker Strich mit Pfeilspitze gezeichnet, ist durch seinen Betrag (Länge des Pfeils) und seine Richtung charakterisiert. Um den Richtungssinn anzuzeigen, geben Sie an, wie weit Sie in die x-Richtung (Ex), wie weit in die y-Richtung (Ey) und wie weit in die z-Richtung (Ez) gehen müssen, um vom Anfang des Vektors bis zu dessen Spitze zu gelangen. Die komponentenweise Darstellung eines Vektors lautet damit

Abbildung 1.4: Vektor im kartesischen Koordinatensystem

Die Länge eines Vektors wird als sein Betrag bezeichnet. Diesen kennzeichnen Sie durch zwei senkrechte Striche (Betragszeichen) und schreiben . Häufig schreiben Mathematiker dafür vereinfacht nur E, also ohne Pfeil über dem Formelzeichen und damit folglich auch ohne die zwei senkrechten Striche. Um den Betrag des Vektors aus seinen Komponenten zu bestimmen, gilt die Beziehung

Die Addition von Vektoren erfolgt rechnerisch, indem Sie die einzelnen Komponenten der Vektoren addieren:

Die additive Überlagerung beispielsweise zweier elektrischer Felder und verursacht durch die Ladungen Q1 und Q2 können Sie auch grafisch durchführen, wie es in der linken Darstellung in Abbildung 1.5 gezeigt wird.

Um den resultierenden Summenvektor grafisch zu bestimmen, wird der Vektor parallel vom Punkt P aus entlang des Vektors verschoben, bis er mit seinem Anfang an der Spitze des Vektors angelangt ist, wie dies die linke Darstellung in Abbildung 1.5 zeigt. Dort wird er durch eine gestrichelte Linie eingezeichnet. Der Summenvektor verläuft dann vom Anfangspunkt des Vektors zur Spitze des parallel verschobenen Vektors .

Abbildung 1.5: Addition und Länge von Vektoren

Die Bestimmung des Vektorbetrags, also die Länge beispielsweise des Vektors , ist ein Spezialfall der Vektoraddition, wie rechts in Abbildung 1.5 gezeigt. Sie können sich die Komponenten und als Vektoren und entlang der x- beziehungsweise y-Achse vorstellen. Der Vektor wird dann aus den beiden Komponenten zusammengesetzt, ist also die Summe dieser beiden senkrecht zueinander stehenden Teilvektoren und .

Schwingungen gehören zur Wechselstromtechnik

Die wichtigsten in der Wechselstromtechnik verwendeten trigonometrischen Funktionen sind die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion. Mit ihrer Hilfe können Sie wiederkehrende beziehungsweise periodische Ereignisse – wie den zeitlichen Verlauf einer Spannungs- oder Stromschwingung in einem elektrischen Schwingkreis – beschreiben. Die allgemeine Form für eine (harmonische) Schwingung ist definiert als

Darin ist A die Amplitude der Schwingungsfunktion s(t). ist die Kreisfrequenz (in Winkeleinheiten pro Sekunde). Sie wird benutzt, um nicht in jeder Gleichung die umständliche Schreibweise mit der Schwingungsdauer T im Nenner verwenden zu müssen. Diese Bezeichnung kommt daher, weil sich jede Schwingung als eine Projektion einer Kreisbewegung auf einer Achse darstellen lässt (wie Sie dies später bei den Kreis- und Liniendiagrammen sehen werden). Sie gibt also auch an, wie schnell sich etwas dreht.

Verwechseln Sie nicht die Kreisfrequenz mit der Frequenzf! Die Kreisfrequenz gibt den von einem sich drehenden Zeiger der Länge eins überstrichenen Winkel pro Sekunde an und wird deshalb in der Mechanik auch als Winkelgeschwindigkeit bezeichnet. Die Frequenz f hingegen gibt die Anzahl der Schwingungsperioden pro Sekunde an. Dabei gilt der Zusammenhang

In praktischen Anwendungen werden die Sinus- und Kosinusfunktion hauptsächlich als Funktion eines mit dem Bogenmaß x bezeichneten Winkels und in der Schreibweise beziehungsweise dargestellt.

In Abbildung 1.6 sind sowohl eine Sinusfunktion (durchgezogene Linie) als auch eine Kosinusfunktion (gestrichelte Linie) in dieser Weise aufgezeigt. Neben dem typischen Verlauf ist für Sie wichtig, charakteristische Funktionswerte zu diesen beiden trigonometrischen Funktionen bei unterschiedlichen Winkeln zu kennen, wie diese Tabelle 1.1 zeigt.

Abbildung 1.6: Sinus- und Kosinusfunktion

x

0

ysin

  0

+1

  0

-1

  0

  0

ycos

+1

  0

-1

  0

+1

+1

Tabelle 1.1: Funktionswerte der Sinus- und Kosinusfunktion

Auch werden Ihnen folgende trigonometrische Beziehungen von Nutzen sein: