Wirtschaftsmathematik E-Book

Horst Peters

• Herausgeber: Kohlhammer Verlag
• Kategorie: Fachliteratur
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2022

Seitenzahl: 316

Beschreibung

Finanz- und wirtschaftsmathematische Kenntnisse sind für Ökonomen zwingend erforderlich, um den Anforderungen in Studium und Beruf zu genügen. Für Studierende der Wirtschaftswissenschaften stellt jedoch die Mathematik häufig ein schwer zu überwindendes Hindernis dar. Das gut eingeführte Lehrbuch will dem Leser mathematische Berührungsängste nehmen. Fachlich versiert, aber leicht verständlich und gut nachvollziehbar geschrieben, vermittelt das Buch den klausurrelevanten mathematischen Stoff und bietet zahlreiche Übungsaufgaben. Es eignet sich ideal zum Selbststudium. Behandelt werden schulmathematische Grundlagen, Finanzmathematik, lineare Algebra, Differential- und Integralrechnung sowie lineare Optimierung.

Leseprobe

BWL Bachelor Basics

Herausgegeben von Horst Peters

Horst Peters

Wirtschaftsmathematik

Lehrbuch

5., aktualisierte Auflage

Verlag W. Kohlhammer

Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwendung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechts ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und für die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

5., aktualisierte Auflage 2022

Alle Rechte vorbehalten

© W. Kohlhammer GmbH, Stuttgart

Umschlagabbildung: Yvonne Prancl - Fotolia.com

Gesamtherstellung: W. Kohlhammer GmbH, Stuttgart

Print:

ISBN 978-3-17-034900-1

E-Book-Formate:

pdf:         ISBN 978-3-17-034901-8

epub:      ISBN 978-3-17-034902-5

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Geleitwort des Herausgebers

Das vorliegende Lehrbuch ist Teil der Lehrbuchreihe BWL Bachelor Basics. Dieses Buch sowie alle anderen Werke der Reihe folgen einem Konzept, das auf die Leserschaft – nämlich Studierende der Wirtschaftswissenschaften – passgenau zugeschnitten ist.

Ziel der Lehrbuchreihe BWL Bachelor Basics ist es, die zu erwerbenden Kompetenzen in einem wirtschaftswissenschaftlichen Bachelor-Studiengang wissenschaftlich anspruchsvoll, jedoch zugleich anwendungsorientiert und kompakt abzubilden. Dies bedeutet:

•  Ein hoher wissenschaftlicher Anspruch geht einher mit einem gehobenen Qualitätsanspruch an die Werke. Präzise Begriffsbildungen, klare Definitionen, Orientierung an dem aktuellen Stand der Wissenschaft seien hier nur beispielhaft erwähnt. Die Autoren sind ausgewiesene Wissenschaftler und Experten auf ihrem Gebiet. Die Reihe will sich damit bewusst abgrenzen von einschlägigen »Praktikerhandbüchern« zweifelhafter Qualität, die dem Leser vorgaukeln, Betriebswirtschaftslehre könnte man durch Abarbeiten von Checklisten erlernen.

•  Zu einer guten Theorie gehört auch die Anwendung der wissenschaftlichen Erkenntnisse, denn Wissenschaft sollte kein intellektueller Selbstzweck sein. Deshalb steht stets auch die Anwendungsorientierung im Fokus. Schließlich verfolgt der Studierende das Ziel, einen berufsqualifizierenden Abschluss zu erwerben. Die Bücher haben diese Maxime im Blick, weshalb jedes Buch neben dem Lehrtext u. a. auch Praxisbeispiele, Übungsaufgaben mit Lösungen sowie weiterführende Literaturhinweise enthält.

•  Zugleich tragen die Werke dem Wunsch des Studierenden Rechnung, die Lehr- und Lerninhalte kompakt darzustellen, Wichtiges zu betonen, weniger Wichtiges wegzulassen und sich dabei auch einer verständlichen Sprache zu bedienen. Der Seitenumfang und das Lesepensum werden dadurch überschaubar. So eignen sich die Bücher der Lehrbuchreihe Bachelor Basics auch hervorragend zum Selbststudium und werden ein wertvoller Begleiter der Lehrmodule sein.

Die Reihe umfasst die curricularen Inhalte eines wirtschaftswissenschaftlichen Bachelor-Studiums. Sie enthält zum einen die traditionellen volks- und betriebswirtschaftlichen Kernfächer, darüber hinaus jedoch auch Bücher aus angrenzenden Fächern sowie zu überfachlichen Kompetenzen. Um auf neue Themen und Entwicklungen reagieren zu können, wurde die Edition bewusst als offene Reihe konzipiert und die Zahl möglicher Bände nicht nach oben begrenzt.

Die Lehrbuchreihe Bachelor Basics richtet sich im Wesentlichen an Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Hochschulen für angewandte Wissenschaften, an dualen Hochschulen, Verwaltungs- und Wirtschaftsakademien und anderen Einrichtungen, die den Anspruch haben, Wirtschaftswissenschaften anwendungsorientiert und zugleich wissenschaftlich anspruchsvoll zu vermitteln. Angesprochen werden aber auch Fach- und Führungskräfte, die im Sinne der beruflichen und wissenschaftlichen Weiterbildung ihr Wissen erweitern oder auffrischen wollen. Als Herausgeber der Lehrbuchreihe möchte ich mich bei allen Autorinnen und Autoren bedanken, die sich für diese Reihe engagieren und einen Beitrag hierzu geleistet haben.

Ich würde mich sehr freuen, wenn das ambitionierte Vorhaben, wissenschaftliche Qualität mit Anwendungsorientierung und einer kompakten, lesefreundlichen und didaktisch an die Bachelor-Studierenschaft abgestimmten Gestaltung zu kombinieren, dem Leser bei der Bewältigung des Bachelor-Lernstoffes hilfreich sein wird und es die Anerkennung und Beachtung erhält, die es meines Erachtens verdient.

Horst Peters

Vorwort zur ersten Auflage

Mathematische Methoden und Anwendungen haben einen festen Stellenwert in der Wirt-schaftstheorie und in der Wirtschaftspraxis. Grundlegende finanz- und wirtschaftsmathemati-sche Kenntnisse sind deshalb zwingend erforderlich, um den Anforderungen in Studium und Praxis zu genügen.

Die »Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler« gehört an allen deutschen Hochschulen zum unverzichtbaren Standardrepertoire des betriebswirtschaftlichen Grundstudiums. Sie stellt für viele Studierende jedoch ein nur schwer zu überwindendes Hindernis dar. Um den erforderlichen Leistungsschein zu erwerben, ist zum Semester-ende in aller Regel eine Klausur zu absolvieren.

Dieses Buch richtet sich an alle Studierende eines wirtschaftswissenschaftlichen Studiums. Es widmet sich vor allem den Studierenden, die sich seit längerer Zeit nicht mehr mit der Mathematik beschäftigt haben oder ohnehin gewisse Berührungsängste mit dieser Materie haben.

Ziel dieses Buches ist es, den klausurrelevanten Lehrstoff der Mathematik-Veranstaltung an Fachhochschulen, Universitäten und sonstigen Bildungseinrichtungen wie Verwaltungs- und Wirtschaftsakademien oder Berufsakademien abzudecken und ihn so darzustellen, dass ihn auch der mathematisch weniger geschulte Leser nachvollziehen kann. Es umfasst die Themenbereiche Grundlagen, Finanzmathematik, Differentialrechnung, Lineare Algebra und Lineare Optimierung. Der Stoff basiert auf jahrelangen Vorlesungsveranstaltungen an der FH Düsseldorf und an Verwaltungs- und Wirtschaftsakademien.

Dazu habe ich den Stoff durch viele Beispiele und Graphiken veranschaulicht und das Formelwerk auf das notwendige Maß beschränkt. Am Ende der jeweiligen Kapitel finden sich Übungsaufgaben mit den dazugehörigen Lösungen einschließlich Lösungswegen.

Bei der Erstellung des Manuskripts habe ich stets Wert darauf gelegt, dass der Bezug zur Wirtschaftswissenschaft und zur angewandten Betriebswirtschaft deutlich wird. Dazu kamen mir meine eigenen Erfahrungen in der Wirtschaftspraxis zu Hilfe.

Den Leserinnen und Lesern dieses Buches wünsche ich gutes Gelingen beim Durcharbeiten des Stoffes, viel Erfolg bei der Prüfung und nicht zuletzt auch ein wenig Freude mit der Wirtschaftsmathematik.

Dieser Text enthält naturgemäß Zahlen und Formeln. Sollte sich der eine oder andere Fehler eingeschlichen haben, so geht dies selbstverständlich zu meinen Lasten. Für entsprechende Hinweise ebenso wie für Kritik und Verbesserungsvorschläge – die Sie über die Adresse [email protected] an mich leiten können – möchte ich mich bereits an dieser Stelle bedanken.

Düsseldorf, im Juni 2002

Prof. Dr. Horst Peters

Vorwort zur 2. Auflage

Die zweite Auflage habe ich zuerst dazu genutzt, einige Fehler der Erstauflage zu beseitigen. Den Studierenden, die mir die Hinweise gaben, sei an dieser Stelle ganz herzlich gedankt.

Zum Zweiten habe ich das komplette Manuskript durchgesehen und – wo es sinnvoll erschien – Ergänzungen oder Kürzungen vorgenommen.

Zum Dritten habe ich die zweite Auflage durch einige Inhalte explizit erweitert. Hier sind zu nennen:

•  Aufnahme eines Kapitels zur naiven Mengenlehre

•  Aufnahme eines Kapitels zur Aussagenlogik

•  Aufnahme eines Kapitels zum effektiven Jahreszinssatz

•  Aufnahme eines Kapitels zur Investitionsrechnung

Ich hoffe, dass dieses Buch nach der positiven Rückmeldung zur Erstauflage eine noch umfassendere und bessere Unterstützung bei der Bewältigung des Lehrstoffes und bei der Vorbereitung auf die notwendige Prüfung bietet.

Über die bereits zahlreichen in diesem Lehrbuch enthaltenen Übungsaufgaben hinaus haben Sie weitere vielfältige Übungsmöglichkeiten im Übungsbuch Akkerboom/Peters: Übungsbuch zur Wirtschaftsmathematik. Dieses Buch, das im Spätherbst 2006 erscheinen wird, ist inhaltlich und strukturell exakt auf das Lehrbuch abgestimmt, so dass es sich ideal als Ergänzung zu diesem Lehrbuch eignet.

»Das Bessere ist der Feind des Guten«. Darum würde ich mich über Anregungen und Kritik – am besten via e-mail an [email protected] – freuen und bedanke mich dafür im voraus. Trotz aller Sorgfalt ist bei der Vielzahl an Formeln nie auszuschließen, dass sich der eine oder andere kleine Fehler eingeschlichen hat. Dies geht – wie üblich – zu Lasten des Autors.

Düsseldorf, im Juni 2006

Horst Peters

Vorwort zur 5. Auflage

Für die 5. Auflage wurde das Lehrbuch gründlich durchgesehen, verbliebene kleinere Korrekturen wurden vorgenommen. Außerdem wurden einige inhaltliche Lücken geschlossen: So finden sich z. B. in der Finanzmathematik Ausführungen zum Äquivalenzprinzip, in der Analysis die Herleitung zur Grenzrate der Substitution und in der Linearen Algebra die Input-Output-Analyse als wichtige ökonomische Anwendung. Darüber hinaus wird im Buch ein Kapitel zur Integralrechnung ergänzt. Außerdem wurden einige Übungsaufgaben neu aufgenommen.

Ich wünsche Ihnen viel Erfolg und viele »Aha«-Erlebnisse bei der Durcharbeit des Lernstoffes.

Anregungen und Hinweise auf etwa noch vorhandene Druckfehler senden Sie bitte per E-Mail an [email protected].

Düsseldorf, im April 2022

Horst Peters

Inhaltsverzeichnis

Geleitwort des Herausgebers

Vorwort zur ersten Auflage

Vorwort zur 2. Auflage

Vorwort zur 5. Auflage

Abkürzungs- und Symbolverzeichnis

Allgemeine mathematische Abkürzungen und Symbole

Griechisches Alphabet

Finanzmathematische Abkürzungen

Ökonomisch relevante Variablen

1           Mathematische Grundlagen

Lehrziele

1.1         Mengen und Zahlenmengen

1.1.1     Mengen und Mengenbeziehungen

1.1.2     Mengenoperationen

1.1.3     Zahlenmengen

1.2         Aussagenlogik

1.2.1     Aussagen

1.2.2     Aussagenverbindungen

1.3         Grundzüge der Arithmetik

1.3.1     Wichtige Regeln und Rechengesetze der Arithmetik

1.3.2     Das Summen- und Produktzeichen

1.3.3     Fakultät und Binomialkoeffizient

1.3.4     Vollständige Induktion

1.4         Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

1.4.1     Potenzen und Wurzeln

1.4.2     Logarithmen

1.5         Gleichungen

1.5.1     Äquivalenzumformungen

1.5.2     Lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme

1.5.3     Quadratische Gleichungen

1.5.4     Gleichungen höheren Grades

1.5.5     Wurzel-, Bruch- und Exponentialgleichungen

1.6         Ungleichungen

2           Finanzmathematik

Lehrziele

2.1         Folgen und Reihen

2.1.1     Arithmetische Folgen und Reihen

2.1.2     Geometrische Folgen und Reihen

2.1.3     Finanzmathematische Anwendungen von Folgen und Reihen (Übersicht)

2.2         Abschreibungen

2.2.1     Überblick

2.2.2     Lineare und degressive Abschreibung

2.3         Zins- und Zinseszinsrechnung

2.3.1     Einfache (lineare) Verzinsung

2.3.2     Zinseszinsrechnung bei jährlicher Verzinsung

2.3.3     Unterjährige Verzinsung

2.3.4     Stetige Verzinsung

2.3.5     Effektivverzinsung

2.3.6     Gemischte Verzinsung

2.3.7     Äquivalenzprinzip und Zeitwert

2.4         Rentenrechnung

2.4.1     Rentenendwert bei jährlichen, nachschüssigen Renten

2.4.2     Rentenbarwert bei jährlichen, nachschüssigen Renten

2.4.3     Vorschüssige, jährliche Renten

2.4.4     Unterjährige Renten

2.5         Tilgungsrechnung

2.5.1     Tilgungsformen

2.5.2     Annuitätentilgung

2.5.3     Ratentilgung

2.6         Investitionsrechnung

2.6.1     Einführung

2.6.2     Kapitalwert und Endwert

2.6.3     Äquivalente Annuität

2.6.4     Amortisationsdauer

2.6.5     Interner Zinsfuß

2.6.6     Zusammenfassung investitionstheoretischer Kennzahlen

3           Differentialrechnung in einer Variablen

Lehrziele

3.1         Funktionen mit einer unabhängigen Veränderlichen

3.1.1     Funktionsbegriff

3.1.2     Funktionseigenschaften

3.1.3     Überblick über die wichtigsten Funktionstypen

3.1.4     Ökonomische Anwendungen von Funktionen

3.2         Differentialquotient

3.2.1     Ableitungsbegriff

3.2.2     Ableitungsregeln

3.3         Anwendungen der Differentialrechnung

3.3.1     Die erste Ableitung ausgewählter ökonomischer Funktionen (Analyse absoluter Veränderungen)

3.3.2     Elastizitäten (Analyse relativer Veränderungen)

3.3.3     Extremwertbestimmung

3.3.4     Wendepunktbestimmung

3.3.5     Nullstellenbestimmung mittels Newton-Verfahren

3.3.6     Zusammenfassung Kurvendiskussion

3.3.7     Ausgewählte ökonomische Anwendungsbeispiele

4           Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Veränderlichen

Lehrziele

4.1         Partielle Ableitung

4.2         Extremwertbestimmung ohne Nebenbedingungen

4.3         Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen

4.3.1     Aufgabenstellung

4.3.2     Lagrange-Verfahren

4.3.3     Substitutionsmethode

5           Lineare Algebra

Lehrziele

5.1         Matrixbegriffe

5.2         Matrizenoperationen

5.3         Lineare Gleichungssysteme

5.3.1     Grundbegriffe

5.3.2     Lösung eines linearen Gleichungssystems – Gauß’scher Algorithmus

5.3.3     Ökonomische Anwendungen der linearen Gleichungssysteme

6           Lineare Optimierung

Lehrziele

6.1         Formulierung eines linearen Programms

6.2         Graphische Lösungsmethode

6.3         Simplex-Verfahren

6.3.1     Lösung des Standard-Maximum-Problems

6.3.2     Dualität und Lösung des Standard-Minimum-Problems

7           Integralrechnung

7.1         Vorbemerkung

7.2         Das unbestimmte Integral

7.2.1     Begriff des unbestimmten Integrals

7.2.2     Integrationsregeln

7.3         Das bestimmte Integral

7.3.1     Das Flächeninhaltsproblem

7.3.2     Die Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung

7.4         Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung

7.4.1     Bestimmung der Stammfunktion aus der Grenzfunktion

7.4.2     Konsumentenrente und Produzentenrente

7.4.3     Kontinuierliche Zahlungsströme

7.4.4     Ausblick in die Statistik

Anhang A: Lösungen zu den Übungsaufgaben

Anhang B: Herleitung der Formeln für arithmetische und geometrische Reihe

Gauß‘scher Trick für die arithmetische Reihe

Gauß‘scher Trick für die geometrische Reihe

Anhang C: Ökonomische Interpretation des Endwerts

Endvermögensmaximierung als unternehmerische Zielsetzung

Endwert bei 100 % Eigenfinanzierung

Endwert bei 100 % Fremdfinanzierung

Endwert bei Mischfinanzierung

Anhang D: Finanzmathematische Tabellen

Literaturverzeichnis

Stichwortverzeichnis

Abkürzungs- und Symbolverzeichnis

Allgemeine mathematische Abkürzungen und Symbole

Griechisches Alphabet

α    A        Alpha

β    B        Beta

γ    Γ        Gamma

δ    Δ        Delta

ε    E        Epsilon

ζ    Z        Zeta

η    H       Eta

θ    Θ       Theta

ι     I         Iota

κ    K        Kappa

λ    Λ        Lambda

μ    M       My

υ    N       Ny

ξ    Ξ        Xi

ο    O       Omikron

π    Π       Pi

ρ    P        Rho

σ    ∑       Sigma

τ    T        Tau

ν    Y        Ypsilon

ϕ    Φ       Phi

χ    X        Chi

ψ    Ψ      Psi

ω    Ω      Omega

Finanzmathematische Abkürzungen

Ökonomisch relevante Variablen

1         Mathematische Grundlagen

Lehrziele

Nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollen die Studierenden

•  die Grundzüge und den Sinn der Mengenlehre verstehen,

•  die wichtigsten Begriffe und Verbindungen der Aussagenlogik beherrschen,

•  in der Lage sein, die grundlegenden arithmetischen Rechenregeln und -gesetze sicher anzuwenden,

•  das Umgehen mit dem Summen- und Produktzeichen sicher beherrschen,

•  in der Lage sein, Beweise mit Hilfe der vollständigen Induktion durchzuführen,

•  mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen sicher umgehen können,

•  in der Lage sein, Äquivalenzumformungen durchzuführen,

•  lineare Gleichungen und quadratische Gleichungen sicher lösen können,

•  befähigt sein, nichtlineare Gleichungen aufzulösen, ggf. unter Anwendung des Horner-Schemas oder der Polynomdivision,

•  in der Lage sein, Ungleichungen zu lösen.

1.1       Mengen und Zahlenmengen

Wie gemischt auch immer die Erinnerungen und Gefühle an die Mengenlehre aus der Schulzeit sein mögen: Es ist unbestritten, dass die Mengenlehre1 ein wichtiges Instrumentarium bereit stellt, mit dessen Hilfe oft umfangreiche und komplizierte Problemstellungen und deren Lösungen kompakt und übersichtlich dargestellt werden können. Deshalb wollen wir uns an dieser Stelle mit den wichtigsten Sachverhalten noch einmal vertraut machen.

1.1.1     Mengen und Mengenbeziehungen

a)             Begriff und Darstellung von Mengen

Definition

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter unterschiedlicher Objekte (Dinge). Von jedem Objekt muss eindeutig angebbar sein, ob es zur entsprechenden Menge gehört oder nicht. Die einzelnen Objekte, aus denen eine Menge zusammengesetzt ist, heißen Elemente dieser Menge.

Mengen werden üblicherweise mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet (A, B, C, …). Für die Aufzählung verwendet man in der Regel »geschweifte« Klammern »{« bzw. »}«. Das Symbol »∈« steht für die Elementdarstellung, gelesen »ist Element der Menge…«. Ist ein Element nicht in einer Menge enthalten, verwendet man das Symbol »∉«, gelesen »ist nicht Element der Menge …«. Man kann Mengen angeben durch Aufzählen, durch graphische Darstellung oder durch Beschreibung.

Bemerkungen und Beispiele:

I.  (Aufzählung) Die ersten 5 Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 bilden die Menge: »Menge der ersten 5 Primzahlen«. Bezeichnen wir diese Menge mit A, so können wir als Aufzählung schreiben: A = {2,3,5,7,11}. Es gilt beispielsweise 7 ∈ A, d. h. die Zahl (also das Element) 7 ist Element der Menge A, also Element der ersten 5 Primzahlen. Dagegen gilt beispielsweise 6 ∉ A, d. h. 6 ist nicht Element von A.

II. (graphische Darstellung) Für die graphische Darstellung verwendet man sog. Venn-Diagramme. Bezogen auf die Menge A = {2,3,5,7,11} sähe es folgendermaßen aus:

Abb. 1.1: Venn-Diagramm am Beispiel

III. (Beschreibung) Mit »Menge der am heutigen Tag geschlossenen Ehen in Nordrhein-Westfalen« liegt eine beschreibende Darstellung einer Menge vor. Es wäre hingegen sehr mühevoll, jedes Element dieser Menge einzeln aufzuzählen.

IV. Die Menge »Fußballfans von Borussia Mönchengladbach« ist keine Menge nach Cantor, da nicht eindeutig angebbar ist, ob ein Element (»Fußballfan«) zu der Menge gehört oder nicht (ob man sich selbst als Fan sieht oder als solcher von seiner Umwelt wahrgenommen wird, ist subjektiv und nicht objektiv entscheidbar).

V.  In der Statistik, insbesondere in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wird Ihnen die Mengenlehre wieder begegnen. Sie wird dort insbesondere angewandt zur Verdeutlichung von Ereignissen und deren Wahrscheinlichkeiten.

Wir wollen noch zwei spezielle Mengen definieren:

Definition

Die Menge, in der alle betrachteten Elemente enthalten sind, wird als GrundmengeG bezeichnet. Eine Menge, die kein Element enthält, heißt leereMenge.

Für die leere Menge schreibt man entweder { } oder Ø.

Weitere Beispiele:

i. A sei die Menge der ersten 8 Buchstaben unseres Alphabets. Dann ist die Grundmenge die Menge der Buchstaben unseres Alphabets: G = {A,B,C,…,X,Y,Z} und für A gilt: A = {A,B,C,D,E,F,G,H}.

ii. Die Menge A = Menge der Primzahlen zwischen 23 und 29 ist die leere Menge, also A = { }, da die Zahlen 24, 25, 26, 27 und 28 alle keine Primzahlen sind.

iii. Die Menge der »vollkommenen Zahlen« zwischen 10 und 20 ist leer.2

b)             Mengenbeziehungen

Wir wollen uns im Folgenden die Beziehungen zwischen zwei oder mehreren Mengen ansehen.

I.  Gleichheit von MengenZwei Mengen A und B heißen gleich, geschrieben A = B, wenn sie dieselben Elemente enthalten.Beispiel: Für die Mengen A = {1,3,5}, B = {5,3,1} und C = {170, 15 – 10} gilt: A = B = C

II. TeilmengenDie Menge A heißt Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element der Menge zugleich auch Element von B ist.Schreibweise: A ⊂ BBemerkungen und Beispiele:

a.  Für die Mengen A = {1,3,5,7} und B = {1,2,3,4,5,6,7} gilt: A ⊂ B

Abb. 1.2

b.  Die Menge der Stürmer in einer Fußballmannschaft ist eine Teilmenge der gesamten Mannschaft.

c.  Sei  A = {x|x ist eine Stadt in Nordrhein-Westfalen}          B = {y|y ist eine Stadt in Deutschland}          C = {z|z ist eine Stadt in Asien}Dann gilt: A ⊂ B, aber A ⊄ C und B ⊄ C.

d.  Man vereinbart, dass die leere Menge { } Teilmenge jeder Menge ist.

e.  Jede Menge ist auch Teilmenge von sich selbst.

III. PotenzmengeDie Menge P(A) aller Teilmengen M einer gegebenen Menge A heißt Potenzmenge der Menge A, geschrieben:Beispiel:         Es sei A = {1,2,3}                           Dann ist P(A) = {{ },{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}Hat die Menge A n Elemente, dann besitzt die Potenzmenge P(A) 2n Elemente, d. h. 2n verschiedene Teilmengen. Die leere Menge { } und die Menge A sind hierbei entsprechend der Eigenschaft einer Teilmenge mitgezählt.Im obigen Beispiel besitzt die Potenzmenge der Menge A mit n = 3 Elementen 23 = 8 Elemente.

Aufgabe 1:

a)  Gegeben sei die Menge {a;b;c}. Bestimmen Sie die Potenzmenge!

b)  Gegeben sei die Menge {a;b;c;d;e;f;g;h}. Aus wie viel Elementen besteht die Potenzmenge?

1.1.2     Mengenoperationen

Wir kennen Verknüpfungen von Zahlen z.B. durch Addition, Subtraktion etc. Ähnliche Aussagen lassen sich auch für Mengen machen.

I.   Durchschnitt zweier MengenUnter dem Durchschnitt zweier Mengen (der Schnittmenge) versteht man die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören.Schreibweise: A ∩ BEs gilt: A ∩ B:= {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}. Es liegt also hier die »und«-Verknüpfung vor, also »x in A« und »x in B«. Das ∧-Zeichen ist das mathematische Symbol für »und«.Ferner gilt für n Mengen (i = 1,…n, n ∈ N):A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩…An = Ai = {x|x liegt in allen Mengen Ai}Haben zwei Mengen A und B kein gemeinsames Element, d. h. es ist A ∩ B: = { }, dann heißen diese Mengen disjunkt oder auch elementfremd.Beispiele:

a.  A = {2,3,5,7,11,13} und B = {1,2,3,4,5,6,7,8} A ∩ B = {2,3,5,7}

Abb. 1.3

b.  Grundmenge G = natürliche Zahlen = {1,2,3,4,5,6,…}. In G seien: A = Menge der durch 3 teilbaren Zahlen = {3,6,9,12,15,21,24,27,30…} B = Menge der durch 7 teilbaren Zahlen = {7,14,21,28,35…} A ∩ B = {21,42,63,84,…} = Menge der durch 21 teilbaren Zahlen.

II.  Vereinigung zweier MengenUnter der Vereinigungsmenge der Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die entweder zu A oder zu B (oder zu beiden) gehören. Schreibweise: A ∪ B Es gilt: A ∪ B := {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}. Es gilt hier die »oder«-Verknüpfung, also »x in A« oder »x in B«. Das ∨-Zeichen ist das mathematische Symbol für »oder«. Ferner gilt für n Mengen (i = 1,…n, n ∈ N): A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪…An = Ai = {x|x liegt in mindestens einer der Mengen Ai} Beispiele:

a.  A = {2,3,5,7,11,13} und B = {1,2,3,4,5,6,7,8} A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,11,13}

Abb. 1.4

b.  Grundmenge G = natürliche Zahlen = {1,2,3,4,5,6,…}. In G seien: A = Menge der durch 3 teilbaren Zahlen = {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30…} B = Menge der durch 7 teilbaren Zahlen = {7,14,21,28,35…} A ∪ B = {3,6,7,9,12,14,15,18,21,24,27,28,30,33,35,36,39,42,45,…}

III.  Differenz- und KomplementärmengeUnter der Differenzmenge der Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die zu A, aber nicht zu B gehören. Schreibweise: A \ B (gelesen »A ohne B«)     A \ B:= {x|x ∈ A ∧ x ∉ B} Falls A eine Teilmenge von B ist, so bezeichnet man die Differenzmenge B\A auch als die Komplementärmenge von A bezüglich B. Sie besteht aus denjenigen Elementen, die zu B, aber nicht zu A gehören. Schreibweise: CBA     CBA: = {x|x ∈ B ∧ x ∉ A}, falls A ⊂ B Immer möglich ist die Komplementbildung bezüglich der Grundmenge G, hier wird zumeist das Symbol verwendet. Schreibweise: Beispiele:

a.   A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7,8,9,10} D = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A ⊂ D A \ B = {1,2,3,4} Differenzmenge B \ A = {7,8,9,10} Differenzmenge CDA = D \ A = {7,8,9} Komplementärmenge

Abb. 1.5

b.  G = Kinder einer Schulklasse A = Menge (Anzahl) der Mädchen in dieser Klasse, A ⊂ G = Menge (Anzahl) der Jungen in dieser Klasse

Wir wollen abschließend noch einige Gesetze und Rechenregeln der Mengenalgebra zusammenfassen. Wie an anderer Stelle schon einmal erwähnt, werden Sie einige dieser Regeln in der Statistik im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung wiedersehen.

RegelNameBeispielFormel

Aufgabe 2: Bilden Sie Durchschnitt A ∩ B, Vereinigung A ∪ B und Differenz A \ B folgender Mengen:

1.1.3     Zahlenmengen

Nachdem wir uns in den obigen Abschnitten allgemein mit Mengen befasst haben, betrachten wir nun eine besonders wichtige Kategorie von Mengen, die Zahlenmengen.

In der Mathematik unterscheidet man verschiedene Zahlenmengen, die sinnvoll aufeinander aufgebaut sind. Alle diese Mengen haben unendlich viele Elemente, dennoch sind diese Mengen unterschiedlich »groß«. Man kann sich gedanklich alle Zahlen auf einem Zahlenstrahl untergebracht vorstellen.

Abb. 1.6

Zusammenfassung:

ZahlenBegriffAbk.

Für die behandelten Zahlenbereiche gilt somit:

Abb. 1.7

Wir wollen uns zum Abschluss dieses Kapitels noch mit speziellen Mengen reeller Zahlen beschäftigen, nämlich mit den Intervallen.

Die Menge der reellen Zahlen, die einer Ungleichung a ≤ x ≤ b bzw. a < x < b bzw. a ≤ x < b bzw. a < x ≤ b genügen, nennt man Intervall.

Definition

Seien a und b ∈ mit a < b. Dann heißen

a)  [a, b] = {x ∈ |a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall von a bis b,

b)  (a, b) = {x ∈ |a < x < b} offenes Intervall von a bis b,

c)  die Intervalle [a, b) = {x ∈ |a ≤ x < b} und (a, b] = {x ∈ |a < x ≤ b} halboffene Intervalle von a bis b. Insbesondere heißen

i.  [a, b) = {x ∈ |a ≤ x < b} rechtsoffen-linksabgeschlossenes Intervall von a bis b,

ii.  (a, b] = {x ∈ |a < x ≤ b} linksoffen-rechtsabgeschlossenes Intervall von a bis b.

zu a) Beim abgeschlossenen Intervall werden die Endpunkte eingeschlossen. Das Intervall [2,5] umfasst alle reellen Zahlen von 2 bis 5 unter Einschluss der Zahlen 2 und 5.

zu b) Beim offenen Intervall werden die Endpunkte ausgeschlossen. Das Intervall (2,5) umfasst alle reellen Zahlen von 2 bis 5 unter Ausschluss der Zahlen 2 und 5. Gelegentlich verwendet man in der Literatur für ein offenes Intervall auch die Schreibweise ]a, b[.

zu c) Beim halboffenen Intervall gehört jeweils nur ein Endpunkt zum Intervall. Es kann hier an Stelle der reellen Zahlen a oder b auch ∝ oder -∝ gesetzt werden. Man spricht dann von einem uneigentlichen Intervall.

Beispiele:

a)  

b)  

c)  

1.2       Aussagenlogik

1.2.1     Aussagen

Im Folgenden wollen wir uns mit den Grundbegriffen der Aussagenlogik vertraut machen. Sie sind – ebenso wie die Mengenlehre – grundlegend für das Verständnis weitergehender mathematischer Betrachtungen.

Die Logik ist die Lehre vom folgerichtigen Denken, d. h. sie befasst sich mit den Regeln des Schließens von gegebenen Aussagen auf neue, daraus ableitbare Folgerungen. Sie dient dazu, wissenschaftliche Sachverhalte exakt und widerspruchsfrei zu formulieren.

Wer hat nicht schon einmal den in der Umgangssprache geläufigen Satz verwendet »Ist ja logisch«. In der Regel meint man, dass sich ein neuer Sachverhalt ergeben hat, der sich aus vorausgegangenen erschließt oder erschlossen hat. Ob es sich dabei jedes Mal um einen logischen Vorgang im Sinne der Aussagenlogik handelt, darf allerdings bezweifelt werden.

Wir wollen uns in diesem Kapitel auf die wichtigsten Sachverhalte zur Aussagenlogik beschränken. Zuvor müssen wir allerdings klären, was im mathematischen Kontext überhaupt unter einer Aussage zu verstehen ist.

Definition

Unter einer Aussage versteht man einen Satz (in einer gewöhnlichen Sprache), der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist.

Beispiele und Bemerkungen:

•  Der Satz »Düsseldorf liegt am Rhein« ist eine wahre Aussage.

•  Der Satz »Der Kölner Dom hat den höchsten Kirchturm der Welt« ist eine falsche Aussage.3

•  Der Satz »Jeder dritte Kölner trinkt heimlich Altbier« ist keine Aussage, denn der Wahrheitsgehalt ist nicht zweifelsfrei festzustellen.

•  Für eine Aussage ist nicht erforderlich, dass wir die Antwort kennen, gefordert ist lediglich, dass sie entweder wahr oder falsch ist. So ist zum Beispiel der Satz »Fortuna Düsseldorf wird im Jahr 2033 Deutscher Fußballmeister« eine Aussage. Sie ist entweder wahr oder falsch, obwohl wir den Wahrheitsgehalt heute noch gar nicht ermitteln können.

•  Keine Aussage dagegen ist: »Fortuna Düsseldorf wird mit Wahrscheinlichkeit 0,2 Deutscher Fußballmeister im Jahre 2033«.

Aussagen können miteinander verbunden werden. Umgangssprachlich verknüpft man Aussagen durch »nicht«, »und«, »oder«, »wenn…dann…«, entweder…oder…« etc. In der Aussagenlogik lassen sich alle Satz- und Gedankengebilde auf wenige Grundoperationen von höchstens zwei Aussagen zurückführen. Man unterscheidet in der Aussagenlogik zwischen folgenden Begriffen: Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz.

1.2.2     Aussagenverbindungen

Beispiele:

a)  A: Das Auto ist schwarz. ¬A: Das Auto ist nicht schwarz. ¬(¬)A: Das Auto ist nicht nicht schwarz, also ist das Auto schwarz.Die Negation »nicht schwarz« sagt keineswegs, dass das Auto weiß ist. Es besagt nur, dass es eine andere Farbe als schwarz hat.

b)  A: Das Neugeborene ist ein Mädchen. ¬A: Das Neugeborene ist kein Mädchen.Da das Merkmal »Geschlecht« jedoch ohnehin nur zwei mögliche Ausgänge zulässt, kann man hier von »Nicht-Mädchen« unmittelbar auf: Das Neugeborene ist ein Junge schließen.

II.  Konjunktion (»UND-Verknüpfung«, Symbol ∧, gelesen »und«) A ∧ BDie Verknüpfung liefert genau dann eine wahre Aussage, wenn beide Teilaussagen richtig sind.Beispiele:

III.  Disjunktion (»ODER-Verknüpfung«, Symbol ∨, gelesen »oder«) A ∨ BDie Verknüpfung liefert genau dann eine wahre Aussage, wenn eine der beiden Teilaussagen richtig ist. Nur wenn beide Aussagen falsch sind, ist auch die disjunktive Verknüpfung falsch.Beispiele:

IV. Implikation (Folgerung, Symbol ⇒, gelesen »wenn…dann…«) A ⇒ BImmer, wenn die Aussage A wahr ist, so ist auch B wahr. Oder: Nur dann, wenn die Aussage A wahr ist und die Aussage B falsch ist, ist A ⇒ B falsch.Man kann verallgemeinern: A ⇒ B bedeutet dasselbe wie ¬B ⇒ ¬AFolgende Ausdrucksweisen sind gleichwertig zu A ⇒ B:

•  A impliziert B

•  Aus A folgt B

•  A ist hinreichend für B

•  B ist notwendig für A

Jede Implikation, deren Behauptung (B) wahr ist, ist selbst auch wahr, unabhängig davon, ob die Voraussetzung wahr ist oder nicht. Ebenso ist jede Implikation wahr, deren Voraussetzung (A) falsch ist, unabhängig davon, ob die Behauptung wahr ist oder nicht.

Beispiele:

a)  Ich kann mich an einer Fachhochschule in Nordrhein-Westfalen einschreiben (A). Ich habe die Fachhochschulreife (B). (w) somit also A ⇒ B(wahr, denn aus der Einschreibung an einer FH folgt, dass man die Fachhochschulreife besitzt).Ebenso gilt bezogen auf die Negation: Ich habe nicht die Fachhochschulreife (¬B) ⇒ ich kann mich nicht an einer FH in NRW einschreiben (¬A), somit also ¬B ⇒ ¬A. Die Fachhochschulreife ist notwendig für die Einschreibung an einer FH in NRW.

b)  Julian sagt zu seinem Klassenkameraden: »Wenn Du mich noch einmal ärgerst (A), dann hole ich meinen großen Bruder (B)!« Folgende Fälle stehen im Einklang mit der Aussage (siehe Wahrheitstafel):

(1) Julian wird erneut geärgert (A ist wahr). Er holt seinen großen Bruder (B ist wahr).

(2) Julian wird nicht mehr geärgert (A falsch).

a) Er holt nicht seinen großen Bruder (B falsch).

b) Er holt dennoch seinen großen Bruder (B wahr)

Nicht eintreten darf lediglich der Fall, dass Julian seinen großen Bruder nicht holt (B falsch), obwohl er erneut geärgert wurde (A wahr). Denn A ⇒ B fordert ja gerade, dass aus A wahr (»geärgert«) zwingend folgt: B wahr (»großen Bruder holen«).

c) A: Die Sonne geht unter.                         B:   Es wird dunkel.¬A: Die Sonne geht nicht unter.       ¬B:   Es wird nicht dunkel. Aus A folgt zwingend B (A ⇒ B). Dies ist gleichbedeutend mit ¬B ⇒ ¬A, d. h. wenn es nicht dunkel wird, dann geht die Sonne nicht unter.Es gilt nicht: B ⇒ A, d. h. aus dem Umstand, dass es dunkel wird, folgt nicht zwingend, dass die Sonne unter geht (auch tagsüber kann es bei Schlechtwetter dunkel werden).

d)   i)    Wenn 2 < 4 [w], so ist 2 geradzahlig.       [w]     wii)   Wenn 3 < 4 [w], so ist 3 geradzahlig.       [f]       fiii)  Wenn 4 < 4 [f], so ist 4 geradzahlig.         [w]     wiv)  Wenn 5 < 4 [f], so ist 5 geradzahlig.         [f]       wzu iv): Diese Implikation besagt nicht, dass 5 eine gerade Zahl ist, sondern nur, dass aus dem Wahrheitswert [f] für 5 < 4 auch der Wahrheitswert [f] für »5 ist geradzahlig« folgt.

V.  Äquivalenz (Gleichwertigkeit, Symbol ⇔, »genau dann…, wenn«) A ⇔ BImmer, wenn die Aussage A wahr ist, so ist auch B wahr und immer, wenn B wahr ist, dann ist auch A wahr.A ⇔ B entspricht genau der Aussage (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A).Folgende Ausdrucksweisen sind gleichwertig zu A ⇔ B:

•  A äquivalent zu B

•  A genau dann, wenn B

•  A dann und nur dann, wenn B

•  A notwendig und hinreichend für B

Die Äquivalenz wird insbesondere im Zusammenhang mit Äquivalenzumformungen benötigt. Die Äquivalenzumformungen sind gewissermaßen der »Schlüssel« für das Lösen von Gleichungen.

Beispiele:

Aufgabe 4: Bilden Sie die Negation zu folgenden Aussagen:

Aufgabe 5: Gegeben sind folgende Aussagen:

A: 5 ist ein Teiler von 15, B: 7 ist eine ungerade Zahl, C: 9 ist eine Primzahl, D: 8 ist durch 2 teilbar, E: 8 ist eine ungerade Zahl, F: 2 ist eine Primzahl. Prüfen Sie folgende Aussagenverbindungen auf ihren Wahrheitswert:

a)  A ∧ B   b) A ∧ C   c) A ∧ D   d) E ⇒ F   e) E ∨ C   f) B ⇔ F   g) D ⇒ E h) C ⇔ E!

1.3       Grundzüge der Arithmetik

1.3.1     Wichtige Regeln und Rechengesetze der Arithmetik

Nach Betrachtung der Mengen und der Logik nähern wir nun etwas vertrauterem Terrain. Die reellen Zahlen und ihre Anwendungen werden uns in den folgenden Kapiteln beschäftigen.

Bevor wir uns jedoch mit »höherstehenden« mathematischen Themen befassen, ist es notwendig, die elementaren Rechenregeln derArithmetik zu verinnerlichen. Dabei seien a, b, c und d beliebige Zahlen aus :

Beispiele:

1.3.2     Das Summen- und Produktzeichen

Wenn viele Summanden zu addieren sind, wird es rasch unübersichtlich. Wir werden insbesondere in der Finanzmathematik mit Summen konfrontiert, wenn es darum geht, Zahlungen unter Berücksichtigung von Zinseffekten über einen längeren Zeitraum – beispielsweise 30 Jahre – zu addieren. Um die Darstellung zu vereinfachen, haben die Mathematiker das Summenzeichen ∑ eingeführt.4

Der Buchstabe i ist der Summationsindex (gelegentlich auch »Laufindex«). Der Summationsindex durchläuft die Summe entsprechend der Indices, wie sie unterhalb und oberhalb des Summenzeichens angegeben sind. Gelegentlich verwendet man auch den Buchstaben j oder den Buchstaben t (t als Summationsindex insbesondere in der Finanzmathematik, stellvertretend für einen Zeitpunkt).

Beispiel:

Ein Unternehmer plant die Jahresumsätze seines Unternehmens für die nächsten 8 Jahre. Hierzu stellt er folgende Planzahlen (in Mio. EUR) auf:

Wir wollen den Gesamtumsatz für die Jahre 1 bis 8 errechnen. Hierzu addieren wir 8 Werte, deren gemeinsames Merkmal darin besteht, dass es sich um Umsätze handelt. Sie unterscheiden sich allerdings durch den Index i, der hier stellvertretend für das Jahr steht. Wir wollen also die Umsätze ai errechnen und müssen dazu die Indices (hier: Jahre) von 1 bis 8 durchlaufen. Unter Anwendung des Summenzeichens lassen sich beispielhaft folgende Berechnungen anstellen.

Für die Summen gelten einige Rechenregeln, die nichts anderes sind als Verallgemeinerungen bereits bekannter Gesetzmäßigkeiten für reelle Zahlen a, b und c.

RechenregelBeispielFormel

Weitere Beispiele und Bemerkungen:

Eine derartige Summe bezeichnet man als Doppelsumme. Sie hat n · m Summanden.

Beispiel:

Wir greifen das obige Beispiel auf und unterstellen, der Unternehmer habe auch noch ein zweites Unternehmen, für das er ebenfalls eine Umsatzplanung erstellt:

Gesamtumsatz über alle 8 Jahre und über beide Unternehmen

Wir wollen abschließend noch kurz auf das Produktzeichen eingehen, auch wenn es in der wirtschaftswissenschaftlichen Anwendung seltener auftritt. Das Prinzip entspricht weitgehend dem des Summenzeichens.

Beispiele und Bemerkungen:

a)  Ähnlich wie eine Doppelsumme lässt sich auch ein Doppelprodukt ∏∏ formulieren.

b)  

c)  

d)  

e)   (= n! »n Fakultät«,  Kap. 1.3.3)

1.3.3     Fakultät und Binomialkoeffizient

Die beiden nachfolgenden Begriffe finden ihre Anwendung vor allem in der Kombinatorik, die wiederum die Grundlage für die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die induktive Statistik darstellt.

Die Größe n! (gelesen: » n Fakultät«) ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n.

Beispiele und Bemerkungen:

I.  Es ist definiert: 0! := 1

II.  5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

III.  9! = 362.880

IV.  

V.  

VI.  n! zeigt mit steigendem n ein sehr starkes exponentielles Wachstum. Bei vielen Taschenrechnern endet die Anzeigemöglichkeit bei 69! (= 1,7112 · 1098).

VII.  In EXCEL steht für die Berechnung die Funktion FAKULTÄT(Zahl) zur Verfügung. Auf den meisten Taschenrechnern ist die Fakultät mit x! gekennzeichnet.

VIII.  Es gelten die rekursiven Beziehungen (n + 1)! = (n + 1) · n! sowie n! = n · (n – 1)!

IX.  n! gibt die Anzahl der Permutationen (Vertauschungen) von n verschiedenen Elementen an, d. h. die Zahl der Möglichkeiten, um n verschiedene Elemente unterschiedlich anzuordnen.

X.  Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen kann man aus den Zahlen 1, 2 und 3 bilden? Es gibt folgende Konstellationen: 123, 132, 213, 231, 312, 321, insgesamt 3! = 6 Möglichkeiten.

XI.  Der Doppelpunkt »:« hinter n! besagt in der Mathematik: »ist definiert als«.

Aufgabe 12: Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen kann man aus den Ziffern 1, 2, 3 und 4 bilden? Zählen Sie alle Konstellationen auf!

Beispiele und Bemerkungen:

Der Binomialkoeffizient taucht in der Statistik u. a. im Zusammenhang mit der Binomialverteilung wieder auf. Wir wollen hier noch auf die Beziehung des Binomialkoeffizienten zur binomischen Formel hinweisen:

Hier ist bereits ein »System« erkennbar, so dass wir den wichtigen binomischen Lehrsatz formulieren wollen.

Die in (a + b)n auftretenden Binomialkoeffizienten lassen sich sehr anschaulich am sog. Pascalschen Dreieck erkennen. Die inneren Werte des Dreiecks ergeben sich jeweils als Summe der beiden darüberstehenden Werte. Jede Zahl gibt einen Binomialkoeffizienten an.

Beispiele und Bemerkungen:

I.  Durch Ablesen der Werte im Pascalschen Dreieck können wir berechnen:

II.  Man kann mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes auch die Ausdrücke (a – b)n errechnen. Hierzu setzen wir (a + (–b))n, d. h. wir ersetzen im binomischen Lehrsatz den zweiten Summand durch –b.

Aufgabe 13: Berechnen Sie: a)

Abb. 1.8

1.3.4     Vollständige Induktion

Die vollständige Induktion ist eine Beweistechnik. Wenn auch mathematische Beweise in der Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler eine nicht so große Rolle spielen, so möchten wir Ihnen das Prinzip dieses Verfahrens dennoch verdeutlichen, da es sich für den Nachweis bestimmter Summenformeln als hilfreich erweist.

Mit dem Prinzip der