Aufgaben zur Abiturvorbereitung in Mathematik E-Book

Marco Schuchmann

• Herausgeber: Books on Demand
• Kategorie: Bildung
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 91

Veröffentlichungsjahr: 2014

Beschreibung

In diesem Buch wurden eine Reihe von Übungsaufgaben zu den drei großen Themengebieten der Oberstufe im Fach Mathematik (Analysis, Stochastik und analytische Geometrie) zusammengestellt. Es sind Aufgaben ganz unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades mit dabei. Aus diesem Grund habe ich vorab keine Differenzierung nach Grundkurs oder Leistungskurs vorgenommen. Die Aufgaben entstanden aus mehrjähriger Erfahrung bei der Unterstützung zur Abiturvorbereitung von Schülerinnen und Schülern diverser Gymnasien, beruflicher Gymnasien und auch Fachoberschulen. Die Lösungen sind z. T. mit Erklärungen versehen, so dass dieses Buch auch zum Selbststudium geeignet ist, sofern Grundkenntnisse vorhanden sind. Die Aufgaben wurden so zusammengestellt bzw. erstellt, dass möglichst viele Aspekte der verschiedenen Themengebiete berücksichtigt wurden. Ergänzende Aufgaben zum Buch und auch Erklärungen findet man unter www.mathe-total.de und speziell Abituraufgaben vergangener Jahre unter abi.mathe-total.de.

Leseprobe

Vorwort

In diesem Buch wurden eine Reihe von Übungsaufgaben zu den drei großen Themengebieten der Oberstufe (Analysis, Stochastik und analytische Geometrie) zusammengestellt. Es sind Aufgaben ganz unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades mit dabei. Aus diesem Grund habe ich vorab keine Differenzierung nach Grundkurs oder Leistungskurs vorgenommen. Die Aufgaben entstanden aus mehrjähriger Erfahrung bei der Unterstützung zur Abiturvorbereitung von Schülerinnen und Schülern diverser Gymnasien, beruflicher Gymnasien und auch Fachoberschulen.

In den folgenden sechs Kapiteln finden Sie jeweils ein Kapitel mit Aufgaben und danach jeweils eines mit den zugehörigen Lösungen. Die Lösungen sind z. T. mit Beschreibungen bzw. Erklärungen versehen, so dass dieses Buch auch zum Selbststudium geeignet ist, sofern Grundkenntnisse vorhanden sind. Die Aufgaben wurden so zusammengestellt bzw. erstellt, dass möglichst viele Aspekte der verschiedenen Themengebiete berücksichtigt wurden. Im letzten Kapitel sind weitere Übungsaufgaben ohne Lösungen zu finden.

Um zusätzlich eine Reihe von Mathe-Aufgaben online lösen zu können, wurde ein System entwickelt, welches unter www.alles-mathe.de zu finden ist. Hiermit können auch eigene Lösungen verifiziert werden, Zwischenschritte gelöst oder auch beispielsweise Funktionsgraphen gezeichnet werden.

Weitere Aufgaben mit Lösungen, Beispiele und Erklärungen habe ich auf der Seite www.mathe-total.de bereit gestellt und speziell Abituraufgaben unter abi.mathe-total.de. Auf der Seite findet man auch Themen der Mittelstufe.

Im Herbst 2014

Dr. Marco Schuchmann

(e-mail: [email protected])

Inhalt

1AUFGABEN ZUR ANALYSIS

2LÖSUNGEN ZU DEN AUFGABEN ZUR ANALYSIS

3AUFGABEN ZUR ANALYTISCHE GEOMETRIE (LINEARE ALGEBRA)

4LÖSUNGEN ZU DEN AUFGABEN ZUR ANALYTISCHEN GEOMETRIE

5AUFGABEN ZUR STOCHASTIK

6LÖSUNGEN ZU DEN AUFGABEN ZUR STOCHASTIK

7WEITERE AUFGABEN OHNE LÖSUNG

7.1Weitere Aufgab en zur Analysis

7.2Weitere Aufgaben zur analytischen Geometrie

7.3Weitere Aufgaben zur Stochastik

1 Aufgaben zur Analysis

Bemerkung:

Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad sind mit einem s hinter der Aufgabennummer gekennzeichnet, z.B. „Aufgabe AN19S“.

Aufgabe AN1:

Es sollen die Nullstellen folgender Polynome bzw. ganzrationaler Funktionen bestimmt werden.

a) f(x) = x

3

− 64x

b) f(x) = 4x

3

+ 12x

2

c) f(x) = x

3

+ 8

d) f(x) = x

3

+ 4x

2

− 3x −18 (x

1

= −3)

e) f(x) = x

3

+ 12x

2

− 256 (x

1

= −8)

f) f(x) = 2x

3

− 4x

2

− 2x + 4 (x

1

= 2)

g) f(x) = −x

4

+20x

2

−64

h) f(x) = 2x

4

− 10x

3

+ 24x

2

− 32x +16

i) f(x) = (x − 4)(x + 2)(x − 5)

j) f(x) = 2(x

2

− 9)(x + 4)(x

2

+ 25)

Weitere Beispiele zur Polynomdivision sind unter http://www.mathe-total.de/Test-Polynomdivision/Polynomdivision.php zu finden, weitere Beispiele zur Substitution bei biquadratischen Gleichungen - wie bei Aufgabe g) - unter http://www.mathe-total.de/Test-biquadratische-Gleichungen und falls jemand die p-q-Formel noch mal üben möchte, kann er dies unter http://www.mathe-total.de/Test-p-q-Formel tun.

Aufgabe AN2:

Bestimme die Nullstellen der Funktion

a) f(x) = −4x

4

+ 281x

2

−1600 nomdivision sind unt

b) f(x) = −1/2x

3

+3/2x

2

+ 5x − 12

Aufgabe AN3:

Es soll jeweils die erste Ableitung bestimmt werden:

a) f (x) = x

3

− 4x

2

+ 8x + 3

b) f (x) = x

5

− 9x

3

+ 4

c) f (x) = 1/3x

3

− 1/2x

2

+ x

d) f (x) = −9x

5

+ x

4

+ 4/3x

3

+ 2x

e) f (x) = ax

3

+ bx

2

+ cx + d

f) f (x) = x

3

+ d

2

g) f (x) = a(2x

3

− 8x)

h) f (x) = (x

5

− 4x

2

+ 1)/3

i) f (t) = t

3

x − 12t

2

+ x

4

(Ableitung nach t)

j) f (x) = t

3

x − 12t

2

+ x

4

Aufgabe AN4:

Es soll jeweils die erste Ableitung bestimmt werden:

Aufgaben AN5:

a) f(x) = x

2

− 4x. Es soll die Gleichung der Tangente und Normale bestimmt werden an der Stelle x = 1.

b) f(x) = 2e

1/2x

. Es soll die Gleichung der Tangente und Normale an der Stelle x = 0 bestimmt werden.

Aufgaben AN6:

Für die Funktion f(x) = x3 −3x2 soll eine Kurvendiskussion durchgeführt werden.

Aufgabe AN7:

Führe für die Funktion f(x) = −3x4 +24x3 −54x2 eine Kurvendiskussion durch.

Aufgabe AN8:

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Der Graf ist zur y-Achse symmetrisch, hat im Punkt E(2; 25) einen Hochpunkt und schneidet an der Stelle x = 3 die x-Achse. (Eine Anwendungsaufgabe zur Rekonstruktion finden man unter http://mathe-total.de/Aufgabenblaetter/Anwendungsaufgabe-Rekonstruktion.pdf und Erklärungen zu den Bedingungen findet man unter http://mathe-total.de/Analysis-Skript/Analysis-Differentialrechnung.pdf)

Aufgabe AN9:

Gesucht wird eine Stammfunktion von:

Aufgabe AN10:

Aufgaben zu bestimmten Integralen:

a)

b)

c) Bestimme a so, dass

Aufgabe AN11:

Geben ist die Funktion f(x) = −3x2 + 12x.

a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-Achse einschließt?

b) Welche Fläche schließt der Graph von f mit der x-Achse über dem Intervall I = [2, 5] ein?

Aufgabe AN12:

Geben ist die Funktionen f(x) = x4 – 4x2.

Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-Achse einschließt?

Aufgabe AN13:

Geben sind Funktionen f(x) = x2 – 3 und g(x) = 2x. Wie groß ist die Fläche, die von den beiden Kurven eingeschlossen wird?

Aufgabe AN14:

Wie groß ist die Fläche zwischen der Kurve von f(x) = e−1/2x und dei x-Achse über dem Intervall [0; 4]?

Aufgabe AN15:

Gegeben ist f(x) = (x + 2)·e−x.

a) Zeige, dass F(x) = (−x − 3).e

−x

eine Stammfunktion von f ist.

b) Wie groß ist die Fläche, die im 2. Quadraten von der Kurve von f, der x-Achse und der y-Achse eingeschlossen wird?

Aufgabe AN16:

Durch die Punkte P(1;y1) und Q(2;y2) wird eine Sekante der Kurve von f(x) = x2 gezeichnet. In welchem Punkt des Grafen ist die Tangente parallel zu dieser Sekanten und die lautet die Gleichung dieser Tangenten?

Aufgabe AN17S:

Gesucht wir eine ganzrationale Funktion 3. Grades, die an der Stelle x = 2 eine Normale hat, welche die x-Achse unter einem Winkel von 45° schneidet. Die Wendetangente an der Stelle x = 1 schneidet die x-Achse in N(4;0) und hat die Steigung 2.

Aufgabe AN18S:

Eine Parabel f (d.h. ganzrationale Funktion 2. Grades) wird im Ursprung von der Kurve der Funktion g(x) = x2 − 4x orthogonal geschnitten und sie hat die zweite Ableitung f´´ (x) = 2.

Aufgabe AN19S:

Eine achsensymmetrische ganzrationale Funktion 4. Grades hat im Wendepunkt W(−1;4) eine Wendetangente, die durch den Punkt Q(0;3) geht.

Aufgabe AN20S:

Gesucht wird eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die im Ursprung die x-Achse berührt und an der Stelle x = 2 die Funktion g(x) = −8x + 16 berührt.

Aufgabe AN21S (für LK):

Bestimme die Stammfunktionen von

Weitere Aufgaben zur partiellen Integration und Substitution: http://mathe-total.de/Aufgabenblaetter/Aufgaben-Integrationsregeln.pdf

Aufgabe AN22:

Unter die Kurve von f(x) = 9 − x2 soll ein Rechteck mit maximaler Fläche gelegt werden, dessen eine Seite sich auf der Abszisse befindet. Wie groß ist die maximale Fläche?

Aufgabe AN23:

Führe eine Kurvendiskussion für die Funktion f(x) = −1/2 x3 + x2 + 2x − 4 durch und bestimme die Fläche, welche die Kurve mit der x-Achse einschließt. Unter welchem Winkel scheidet f die y-Achse?

Aufgabe AN24S:

Für eine Kurvendiskussion für die Funktionenschar fa(x) = −l/a·x3 + 12x2 (a>0) durch. Bestimme die Gleichung der Wendetangente. Bestimme dann a so, dass die Kurve von fa mit der x-Achse eine Fläche von 27 FE einschließt.

Aufgabe AN25S:

Gegeben sind die Funktionen f(x) = x3 und g(x) = ax. Bestimme a so, dass die Graphen von f und g im I. Quadraten eine Fläche von 4 FE einschließen.

Aufgabe AN26:

Gegeben ist die 2. Ableitung einer Funktion f´´(x) = 12x − 4. Gesucht wir die Funktion f, die im Punkt P(−2;4) einen Extremwert besitzt.

Aufgabe AN27:

Welche Fläche schließt die Kurve von f(x) = 2x3 − 4x2 mit ihrer Tangente in der Stelle x = 1 eine? In welchem weiteren Punkt hat die Funktion f eine Tangente mit der gleichen Steigung wie an der Stelle x = 1?

Aufgabe AN28S:

Vom Punkt P(2;−3) aus sollen Tangenten an die Kurve von f(x) = x2 + 2 gelegt werden. Bestimme deren Gleichungen.

Aufgabe AN29S:

An den Grafen von f(x) = x2 sollen zwei Tangenten gelegt werden, die sich auf der Ordinate orthogonal scheiden. Bestimme die Gleichungen dieser Tangenten sowie die Fläche, welche diese Tangenten mit der Kurve von f einschließen (siehe Grafik nächste Seite oben).

Aufgabe AN30S:

Durch den Punkt Q(−4;0) soll eine Tangente an die Kurve von gelegt werden. Bestimme die Fläche, welche die x-Achse mit der Tangenten und der Kurve von f einschließt (siehe Grafik nächste Seite).

Aufgabe AN31:

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion, deren Kurve im Punkt P(3;2) eine Tangente hat, die parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist und die im Punkt Q(1;−1) einen Tiefpunkt hat.

Aufgabe AN32:

Welche Fläche schließen die Wendetangenten an die Kurve von f(x) = x4 − 6x2 + 10 mit der Kurve von f ein?

Aufgabe AN33:

Welche Fläche schließen die Tangente in den Hochpunkten von f(x) = −x4 + 8x2 − 10 mit der Kurve von f ein?

Aufgabe AN34S:

Wie groß ist die Fläche zwischen den Kurven von f(x)=1/x2 + 2, g(x)= 3x und h(x)= 2.

Aufgabe AN35:

Gegeben ist eine Kurvenschar fa(x) = x3 −ax2 + 2x + 1. Bestimme a so, dass f an der Stelle x = −2 einen Wendepunkt hat.

Aufgabe AN36S:

Gegeben ist eine Kurvenschar .

a) Bestimme den Parameter t so, dass die Kurve von f mit der x-Achse eine Fläche von 32 FE einschließt.

b) Bestimme t so, dass die Kurve von f mit der negativen x-Achse und der Grade x = −1 eine Fläche von 7/4 FE einschließt.

c) Bestimme t so, dass f an der Stelle x = 0 die Tangente y(x) = −12x hat.

Aufgabe AN37:

Berechne den Schnittwinkel der Kurven von f(x) = x2 − 2x − 2 und g(x) = 2x + 3 im I. Quadraten.

Aufgabe AN38S:

Gegen ist eine Kurvenschar .

a) Gesucht sind die Extremwerte und Wendepunkte, sowie die Kurve, auf der alle Tiefpunkte dieser Kurvenschar liegen.

b) Bestimme t so, dass der Tiefpunkt von f die Ordinate −25/3 hat.

Aufgabe AN39S:

Gegen ist eine Kurvenschar .

a) Was muß für t gelten, damit f nur eine Nullstelle (bei x = 0) hat?

b) Gesucht ist ein Wert für t, so dass f an der Stelle x = 2 einen Wendepunkt besitzt.

Aufgabe AN40:

a) Führe für die Funktion f(x) = x·e

−x

eine Kurvendiskussion durch.

b) Zeige, dass F(x) = (−x−1)·e

−x

eine Stammfunktion von f ist.

c) Bestimme die Fläche, die von dem Graph von f, der x-Achse und die Gerade x = 2 eingeschlossen wird.

d) Bestimme die Fläche, die der Graph von f und die (positive) x-Achse einschließt, falls diese existiert.

e) Wie muss der Punkt P auf dem Graphen von f gewählt werden, damit dass zu den Achsen parallele Rechteck mit den Eckpunkten O(0;0) und P(u;v) mit u > 0 eine maximale Fläche hat.

Aufgabe AN41:

a) Führe für die Funktion f

k

(x) = (x−k).e

−x

eine Kurvendiskussion durch.

b) Zeichne den Graphen von f

1

Aufgabe AN42S:

Gegeben sein mit a > 0. Bestimme

a) den maximalen Definitionsbereich.

b) die Asymptotengleichung.

c) die Extrema.