Aufgabensammlung Mittelstufe und Realschule E-Book

Marco Schuchmann

• Herausgeber: Books on Demand
• Kategorie: Bildung
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 199

Veröffentlichungsjahr: 2015

Beschreibung

In diesem Buch wurden viele Aufgaben mit Lösungen und Lösungserklärungen für die Mittelstufe und auch für die Realschule zusammengestellt. Die Aufgabenstellungen sind nicht speziell auf eine Schulform zugeschnitten, da in diversen Schulformen zum großen Teil die gleichen Inhalte vermittelt werden, nur dass in der Mittelstufe bei einigen Aufgaben der Schwierigkeitsgrad höher ist. Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad wurden rot gekennzeichnet. Im Wesentlichen wurden aber in diesem Buch Aufgaben erstellt, die zum grundlegenden Verständnis der Mathematik der Klassen 6 bis 9/10 wichtig sind. Das Buch ist auch eine Ergänzung zum Buch „Jetzt lerne ich Mathematik für die Mittelstufe“, welches überwiegend Erklärungen und Beispiele enthält. In beiden Büchern sind viele Erklärungen, wichtige Hinweise für bestimmte Aufgabentypen, Aufgabenbeispiele mit Lösungstipps und Grafiken zu finden. Bei allen Beschreibungen steht im Vordergrund, dass diese für Schülerinnen und Schüler möglichst verständlich sind, weshalb auch oft Zwischenschritte bei Umformungen dargestellt werden.

Leseprobe

Vorwort

In diesem Buch wurden viele Aufgaben mit Lösungen und Lösungserklärungen für die Mittelstufe und auch für die Realschule zusammengestellt. Die Aufgabenstellungen sind nicht speziell auf eine Schulform zugeschnitten, da in diversen Schulformen zum großen Teil die gleichen Inhalte vermittelt werden, nur dass in der Mittelstufe bei einigen Aufgaben der Schwierigkeitsgrad höher ist. Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad wurden rot gekennzeichnet. Im Wesentlichen wurden aber in diesem Buch Aufgaben erstellt, die zum grundlegenden Verständnis der Mathematik der Klassen 6 bis 9/10 wichtig sind.

Das Buch ist auch eine Ergänzung zum Buch „Jetzt lerne ich Mathematik für die Mittelstufe“, welches überwiegend Erklärungen und Beispiele enthält. In beiden Büchern sind viele Erklärungen, wichtige Hinweise für bestimmte Aufgabentypen, Aufgabenbeispiele mit Lösungstipps und Grafiken zu finden. Bei allen Beschreibungen steht im Vordergrund, dass diese für Schülerinnen und Schüler möglichst verständlich sind, weshalb auch oft Zwischenschritte bei Umformungen dargestellt werden.

Auf den beiden Seiten zum Buch (www.alles-mathe.de und www.mathe-total.de) werden Programme zum Lösen von Aufgaben und zum Erstellen von Graphen bereitgestellt wie auch Übungsaufgaben, Ergänzungen zum Buch.

Auf der Seite www.mathe-total.de findet man auch einen Mathematiktest, der automatisch online die Ergebnisse prüft. Hier kann man sein Wissen aus den Klassen 6 bis 9/10 prüfen und man findet auch innerhalb des Tests Lösungshinweise und Erklärungen. Die Testergebnisse werden direkt angezeigt.

Im Herbst 2015

Dr. Marco Schuchmann

(e-mail: [email protected])

Inhaltsverzeichnis

Flächenberechnung

Volumenberechnung

Formeln für Fläche und Körper (Formelsammlung mit Beispielaufgaben)

Aufgaben zu zusammengesetzten Flächen

Proportionale und antiproportionale Zuordnungen

Strahlensätze

Prozentrechnung

Zinsrechnung (unterjährig)

Zinsrechnung (überjährig mit Zinseszins)

Rechnen mit positiven und negativen Zahlen

Rechnen mit Variablen

Aufgaben zum Einstieg zum Rechnen mit Variablen

Terme

Ungleichungen

Grundlagen zu Geraden

Geraden

Geradengleichungen bestimmen

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten – zum Einstieg

Lineare Gleichungssysteme

Binomische Formeln

Binomische Formeln

Grundlagen zu Mengen, die man für die Stochastik benötigt

Höhensatz und Kathetensatz von Euklid

Wurzeln

Pythagoras

Anwendung der p-q-Formel

Quadratische Gleichungen

Erklärung zur quadratischen Ergänzung

Aufgaben zur quadratischen Ergänzung / Scheitelform

Parabeln

Parabelgleichungen bestimmen

Weitere Aufgaben zu Parabeln

Wurzelgleichungen

Bruchgleichungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen mit und ohne Zurücklegen

Grundlagen zu Dreiecken

Berechnung von Winkeln und Seiten im rechtwinkligen Dreieck mit Sinus, Kosinus und Tangens

Aufgaben zu sin, cos und tan im rechtwinkligen Dreieck

Sinussatz

Kosinussatz

Potenzfunktionen

Potenzgesetze

Potenzgesetze

Exponentialfunktionen

Aufgaben Exponentialfunktion

Wurzelgesetze

Logarithmen

Hier sind weitere Aufgaben zu finden, die automatisch Online generiert werden:

http://mathe-total.de/Pythagoras/

http://mathe-total.de/Test-Kathetensatz/

http://mathe-total.de/Test-Flaeche/

http://mathe-total.de/Test-Volumen/

http://mathe-total.de/Mathetest/Einheiten/

http://mathe-total.de/Grundrechenarten/

http://mathe-total.de/Grundrechenarten-n/ (rechnen mit positiven und negativen Zahlen)

http://mathe-total.de/Mathetest/Bruchrechnung/

http://mathe-total.de/Wurzelziehen/

http://mathe-total.de/Zuordnungen/

http://mathe-total.de/Prozent/

http://mathe-total.de/Strahlensatz/

http://mathe-total.de/Mathetest-Gleichung2/ (Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten)

http://mathe-total.de/Test-Geraden/ (Geradengleichung über den Graph bestimmen)

http://mathe-total.de/Test-Geraden-2P/ (Geradengleichung über zwei Punkte berechnen)

http://mathe-total.de/Mathetest-Gleichung/ (Schnittpunkt zweier Geraden berechnen)

http://mathe-total.de/Test-p-q-Formel/ (p-q-Formel bzw. Nullstellen von Parabeln berechnen)

http://mathe-total.de/Test-Parabeln/ (Parabelgleichung über den Graph bestimmen)

http://mathe-total.de/Test-Parabeln/Parabeln.php (Scheitelform berechnen)

http://mathe-total.de/Funktionen-verschieben/Parabel-v/ (Parabel verschieben)

Flächenberechnung

1) Gesucht werden die Fläche (A) und der Umfang (U):

2)

c) Ein Rechteck hat eine Fläche von 72cm2. Eine Seite ist 8cm. Wie lang ist die andere Seite?

d) Ein Rechteck hat einen Umfang von 28cm. Eine Seite ist 6cm lang. Wie lang ist die andere Seite und wie groß ist die Fläche?

3)

a) Gesucht wird x und y.

b) Gesucht werden Fläche und Umfang.

4)     a) Wie groß ist die Fläche?

b) Fläche und Umfang gesucht:

d)

Gesucht wird die Grundseite g.

e)

A wird gesucht.

5) Gesucht wird die Fläche.

a)

b)

6)

Fläche?

7) Ab hier sollen die Ergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma berechnet werden.

A und U gesucht.

8) A und b (Bogenlänge des Kreisausschnittes) gesucht.

9) A und U gesucht.

10) Gesucht wird die Fläche des Kreisringes:

Lösungen

Wir teilen die Fläche auf:

Wir rechnen ohne Einheiten:

(a und c sind die beiden parallelen Seiten)

6) Wir teilen die Flächen auf in A1 (das obere Trapez) und A2 (das untere Rechteck):

Die Klammer wird nur wegen der

Einheit hingeschrieben, in den

Taschenrechner muss man hier nur

0,62·π einsetzen.

Für den Umfang benötigen wir den Kreisumfang und die beiden Geraden von je 50m Länge.

Volumenberechnung

1) Wie groß ist die Oberfläche (O) und das Volumen (V)?

a)

b)

2) Ein Würfel hat eine Oberfläche von 150 cm2. Wie groß ist sein Volumen?

3)

Wie groß ist h?

b) V und O gesucht. Für diese Aufgabe muss der Satz von Pythagoras bekannt sein (falls nicht, kann einfach 5m für die fehlende Seite des Dreiecks angenommen werden).

c) V und O gesucht.

5) Es wird das Volumen V gesucht.

7) Ab hier soll auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet werden. Gesucht wird V und O:

8)

9)

10)

Lösungen

(6 Quadrate von 8cm auf 8cm)

Ohne Einheit:

4) a) Grundfläche ist ein Dreieck:

    = 30cm2

Oberfläche:

    = 540m2

c) Die Grundfläche ist ein Trapez

    = 280m2

5) Wir teilen die Grundfläche in ein Dreieck (A△) und ein Rechteck (A◻) auf:

Für die Oberfläche brauchen wir die Höhe einer Seitenfläche:

  ≈ 753,98cm3

Wir rechnen ohne Einheit.

h ≈ 11,67 also 11,67cm

Man hätte auch erst die Formel umstellen können:

Formeln für Flächen und Körper

Hier wurden einige Formeln für Flächen und Körper zusammengestellt, wie auch mehrere Beispielaufgaben zur Flächen- und Volumenberechnung.

FLÄCHENBERECHNUNG

Q

UADRAT

R

ECHTECK

P

ARALLELOGRAMM

D

REIECK

G

LEICHSCHENKLIGES

D

REIECK

G

LEICHSEITIGES

D

REIECK

T

RAPEZ

G

LEICHSCHENKLIGES

T

RAPEZ

K

REIS

K

REISAUSSCHNITT

K

REISRING

VOLUMENBERECHNUNG

W

ÜRFEL

Q

UADER

P

RISMA

P

YRAMIDE MIT QUADRATISCHER

G

RUNDFLÄCHE

P

YRAMIDE MIT RECHTECKIGER

G

RUNDFLÄCHE

P

YRAMIDENSTUMPF

R

EGELMÄßIGER

T

ETRAEDER

K

EGEL

K

EGELSTUMPF

K

UGEL

HINWEISE ZU DEN EINHEITEN

L

ÄGENEINHEITEN

F

LÄCHENEINHEITEN

V

OLUMENEINHEITEN

Flächenberechnung

Quadrat

Formeln:

Bemerkung:

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/Flaechenberechnung-Quadrat.html

Übungen zur Flächenberechnung findet man unter:

http://www.mathe-total.de/Test-Flaeche

Beispiel:

Rechteck

Formeln:

(Pythagoras)

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/Flaechenberechnung-Rechteck.html

Parallelogramm

Formel:

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/Flaechenberechnung-Parallelogramm.html

Dreieck

Formel:

Bemerkung:

Online kann man Dreiecksflächen unter der folgenden Adresse berechnen:

http://alles-mathe.de/Flaechenberechnung-Dreieck.html

Beispiel:

Gleichschenkliges Dreieck

Formeln:

Dabei ist die Länge der Basis gleich a und die der Schenkel gleich s.

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/Flaechenberechnung-gleichseitiges-gleichschenkliges-Dreieck.html

Beispiel:

Gleichseitiges Dreieck

Formeln:

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/Flaechenberechnung-gleichseitiges-gleichschenkliges-Dreieck.html

Beispiel:

Trapez

Formelen:

Bemerkung:

Die beiden gegenüberliegenden Seiten a und c sind parallel.

Beispiel:

Formeln:

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/Flaechenberechnung-Trapez.html

Kreis

Formeln:

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/Flaechenberechnung-Kreis.html

Beispiel:

Kreisausschnitt

Formeln:

Bemerkung:

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/Flaechenberechnung-Kreis.html

Beispiel:

Kreisring

Formeln:

Bemerkung:

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/Flaechenberechnung-Kreis.html

Beispiel:

Volumenberechnung

Würfel

Formeln:

Diagonale:

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/Volumenberechnung.html

Übungen zur Volumenberechnung:

http://www.mathe-total.de/Test-Volumen

Beispiele:

Quader

Formeln:

(Ergibt sich über Pythagoras.)

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/Volumenberechnung.html

Beispiel:

Prisma

Formel für das Volumen:

Wenn man ein Prisma parallel zur Grundfläche durchschneidet, ist die Schnittfläche mit der Grundfläche identisch. Damit ist ein Würfel oder ein Quader auch ein Prisma.

Beispiel:

Die Grundfläche ist im Beispiel ein rechtwinkliges Dreieck. Hier gilt:

Die Körperhöhe ist, wie man an der Zeichnung sieht, gleich 10cm.

Die Oberfläche bei Prismen berechnet sich wie folgt:

M ist dabei die Mantelfläche. Im Beispiel besteht der Mantel aus 3 Rechtecken (siehe die nächste Grafik).

Pyramide mit quadratischer Grundfläche

Formeln:

Die folgenden beiden Formeln ergeben sich wieder über Pythagoras:

(Statt (a/2)2 kann man auch a2/4 verwenden.)

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/VolumenberechnungqudratischePyramide.html

Es gibt folgende gleichschenklige Dreiecke, mit denen man fehlende Größen in einer Pyramide über Pythagoras berechnen kann:

Eine Seite der Pyramide:

Pyramide durch die Mitte parallel zur Grundkante a durchgeschnitten (durch die Spitze):

Pyramide diagonal über Ecken der Grundfläche durchgeschnitten (durch die Spitze):

Beispiel:

Pyramide mit rechteckiger Grundfläche

Formeln:

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/VolumenberechnungrechteckigePyramide.html

Pyramidenstumpf

Formeln:

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/VolumenberechnungPyramidenstumpf.html

Regelmäßiger Tetraeder

Formeln:

(Dies ist die Höhe auf einer Seite, siehe Formel für gleichseitiges Dreieck.)

Bemerkung zur Berechnung von h:

h ist die Höhe des Tetraeders. Für diese gilt (Pythagoras):

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/VolumenberechnungregelmaessigeTetraeder

Kegel

Formeln:

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/VolumenberechnungKegel.html

Beispiel:

Kegelstumpf

Formeln:

V= 1/3·h·π· (r2 + r·R + R2)

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/VolumenberechnungKegelstumpf.html

Kugel

Formeln:

Online Berechnung unter:

http://alles-mathe.de/VolumenberechnungKugel.html

Beispiele:

2) In eine Kugel passt 1 Liter Wasser. Wir groß ist ihr Innenradius?

1 Liter entspricht 1dm3 oder 1000cm3:

Hinweise zu den Einheiten

Lägeneinheiten

Zu den üblichen Längeneinheiten zählen (die Grundeinheit ist m):

mm, cm, dm, m, km.

Bei der Umrechnung von einer Einheit in die andere ist folgendes zu beachten:

Damit wären 58cm gleich 580mm. Dagegen sind 800mm gleich 80cm.