Matématica inclusiva E-Book

Ángel Alsina

• Herausgeber: Narcea Ediciones
• Kategorie: Bildung
• Serie: Educación Hoy Estudios
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2023

Seitenzahl: 333

Beschreibung

Nuestra sociedad tiene la obligación de garantizar el acceso a una educación matemática de calidad para todo el mundo y, con ello, avanzar en la mejora de las condiciones de ciudadanía. Matemática Inclusiva. Propuestas para una educación matemática accesible pretende ser un instrumento de ayuda en la consecución de este objetivo. A lo largo del libro se proponen formas de reconstruir la relación de las personas con las matemáticas a través de diversos principios fundamentales de la educación matemática: el pensamiento crítico, la manipulación de materiales, el juego y la atención a la diversidad. Una educación matemática basada en estos principios tiene que destacar, a su vez, los principios más generales de contextualización en los lugares donde se llevan a cabo las prácticas: globalización de los grupos de conocimiento implicados y personalización de los contenidos matemáticos en función de la especificidad de cada persona. Unos y otros principios se abordan de forma interrelacionada y en base a experiencias validadas de aula.

Leseprobe

Matemática Inclusiva

Propuestas para una educación matemática accesible

Àngel Alsina Núria Planas

NARCEA, S. A. DE EDICIONESMADRID

A Mª Àngels Ll., Mercè S. y Maria Ll., por ser mis Max del Cuaderno de Bitácora.

À. ALSINA

A Manel, Bernat y Berta, por su generosidad. Y muy especialmente a mis compañeros del Grupo EMAC, por sus enseñanzas.

N. PLANAS

Índice

PRÓLOGO de Claudi Alsina i Català

INTRODUCCIÓN

1. EL PENSAMIENTO CRÍTICO

Actividades para la estimulación del pensamiento crítico

La actividad de los productos light

La actividad de El Pla de Sant Joan

La actividad de los envases de refresco

La actividad del plano de un piso

El pensamiento crítico en la obra de Estalella

Por la línea del Pacífico

Pasarela compuesta

Los pozos de la casa de vecindad

2. LA MANIPULACIÓN

Actividades con materiales manipulables

Operaciones con el sorobán

Descubrimiento de propiedades numéricas con las regletas

Composiciones y descomposiciones con el tangram

Proyecciones y secciones con cuerpos geométricos

La manipulación de materiales en la obra de Estalella

Sumandos repetidos. Monedas diversamente ordenadas

Transformaciones de figuras recortadas

La geometría de los palillos

El tetraedro

3. EL JUEGO

Actividades heurísticas con juegos

Juegos para practicar medidas

Juegos para practicar operaciones aritméticas

Juegos de estrategia para pensar

El juego en la obra de Estalella

Curiosidades de algunos números

¿Quién agotará la baraja?

Adivinar cuatro números

Juegos de pesas

4. LA ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD EN MATEMÁTICAS

Episodios para descubrir diversidades matemáticas

La diversidad de procedimientos algorítmicos

La diversidad de representaciones sobre las matemáticas

La diversidad en la resolución de problemas

La diversidad de significados atribuidos a símbolos matemáticos

La diversidad en la obra de Estalella

Multiplicación rusa

Cuestiones de aritmética

Reparto de vino

El reino de Castilla

El tablero de ajedrez

5. HACIA UN ENFOQUE INTEGRADO

Contextualizar y globalizar el entorno escolar

El papel del Trabajo por Proyectos

El papel del trabajo por competencias matemáticas

EPÍLOGO

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Prólogo

ESTA OBRA es un instrumento útil de trabajo para todo el profesorado preocupado por un aprendizaje de la matemática accesible a todo su alumnado. Intentaré aquí justificar la utilidad de este libro, basándome en diferentes factores.

En primer lugar, toda la labor personal de sus autores y sus colaboradores es la garantía inicial de que la obra es el resultado fundamentado en una serie de experiencias ya realizadas y contrastadas, en una temática donde los autores han hecho reconocidas aportaciones durante años.

En segundo lugar, la propia estructura de la obra, organizada en torno a cuatro capítulos: pensamiento crítico, manipulación, juego y atención a la diversidad, permite que en cada uno de ellos se encuentren actividades do -centes factibles y muy bien explicadas y que, por el aval de su bondad didáctica, aseguran sin duda éxitos educativos. Las transcripciones que se nos ofrecen de las opiniones de alumnos frente a las actividades planteadas y el análisis didáctico que se hace en cada caso, muestran el enorme potencial formativo de muchas de las cuestiones planteadas.

Estas dos razones que acabo de comentar ya serían suficientes para transmitir el interés que para el profesorado puede tener esta obra como brújula para plantear actividades pedagógicamente ricas que en todos los casos se sitúan en unos marcos teóricos adecuados y actuales.

Pero leyendo el libro en diagonal e intentado extrapolar el mensaje último que los autores nos desean transmitir con su obra me atrevería a apuntar que nos están sugiriendo que ante los posibles problemas del aula para una educación matemática accesible tenemos ante nosotros multitud de recursos y argumentos para la mejora. En contraste con algunas publicaciones actuales sobre el pesimismo docente, donde los problemas quedan muy claros pero las soluciones brillan por su ausencia, esta obra nos dice que desde los recursos y problemas de la vida cotidiana, desde el carácter lúdico y desde la experimentación, desde el diálogo y la crítica, desde el aprovechamiento de la riqueza intercultural, etc. tenemos a nuestra disposición un valioso tesoro para captar el interés y facilitar el aprendizaje efectivo de tantos niños y niñas que merecen vivir su encuentro con las matemáticas de forma divertida, reflexiva y estimulante.

Comparto con los autores una buena amistad y una admiración muy especial por Josep Estalella, tan citado a lo largo del libro. Mi madre fue alumna del Instituto Escuela y Josep Estalella fue su director. Durante años tuve ocasión de escuchar cómo mi madre hacía referencias elogiosas a la humanidad y al liderazgo de Estalella, a su inmensa capacidad de amor para dirigir un proyecto a partir de una relación entrañable con todo su alumnado. Más allá de las páginas del libro aflora también esta capacidad de sus autores para amar una bella profesión y sus bellísimos objetivos. Entiende pues la Matemática inclusiva no sólo como accesible o atractiva para todos sino también como la que seduce e invita a su conocimiento.

Deseo que los lectores de esta obra disfruten de ella, la usen para plan -tearse nuevos retos y se apunten, si todavía no lo están, al club de los educadores matemáticos innovadores y esperanzados.

CLAUDI ALSINA I CATALÀ Universidad Politécnica de Cataluña

Introducción

«Para comprender el libro no es necesario tener saberes especializados. Fue escrito para todo el mundo que pueda y que quiera pensar, a quien no le dé miedo plantearse otra vez las preguntas infantiles: ¿Por qué eso es así? ¿Podría ser de otra manera?»

AGNES HELLER (1977: 8)

MATEMÁTICA INCLUSIVA. Propuestas para una educación matemática accesible surge de reflexiones iniciadas hace tiempo con el propósito de revisar, desde la contemporaneidad, principios clásicos. Somos conscientes de que hay mu -chos conocimientos necesarios para conseguir una educación matemática de calidad. Hemos escogido cuatro —pensamiento crítico, manipulación, juego y atención a la diversidad—, dando por supuesto que otros conocimientos fundamentales también merecerían haber sido considerados.

En primer lugar, debemos clarificar qué entendemos por calidad. Cuando se ha hablado de calidad en educación matemática se han querido sugerir ideas muy distintas, incluso opuestas. Muchas veces la calidad ha significado una cantidad relevante de buenos resultados escolares; otras veces se ha referido a la eficiencia de unos programas curriculares con unos grupos de alumnos. Aquí, examinamos la calidad desde otro punto de vista, mucho más cualitativo: una educación matemática de calidad es esencialmente aquella que sea accesible y comprensible para todo el mundo.

Desde un paradigma de la calidad centrado en la extensión y la comprensibilidad de la educación, afrontamos el reto de tratar en el siglo XXI principios basados en ideas clásicas. Nos guía el horizonte de una sociedad formada por personas capaces de pensar por sí mismas, de aprender disfrutando y de ser respetuosas con la diversidad. La falta de atención al pensamiento crítico, la manipulación, el juego y la atención a la diversidad es un problema global de la educación matemática que traspasa las diferentes situaciones educativas locales. La reflexión en torno a los cuatro principios seleccionados tendría que ser prioritaria en cualquier sociedad y cultura, teniendo que hacerse en cada caso una interpretación suficientemente contextualizada.

Nuestro proyecto reivindica la importancia de conectar buenas prácticas del pasado con demandas del mundo educativo actual. Con esta finalidad, resulta útil recuperar la voz de Josep Estalella (1879-1938), científico y didacta cuyo pensamiento continúa siendo de gran vigencia, a pesar de que no siempre haya tenido la debida resonancia. A través del juego, las actividades recreativas, la experimentación, etc., Estalella consiguió despertar la curiosidad por los fenómenos matemáticos y físicos, impulsando la actividad investigadora. Partimos, pues, de su legado. Los fragmentos que siguen corresponden a los cuatro primeros capítulos del libro. Pretenden, respectivamente, que el lector pueda hacerse una idea del peso del pensamiento crítico, la manipulación, el juego y la diversidad cultural en la educación matemática.

El pensamiento crítico: «Vivir es vivir en un mundo lleno de contextos con problemas para entender y resolver. Aprender es aprender a vivir y, por lo tanto, aprender a entender y resolver problemas».

La manipulación: «La acción de manipular, es decir, de operar con las manos, nos aporta conocimientos diversos. Todos nosotros hemos vivido experiencias sorprendentes, no esperadas, al tocar algún objeto con las manos: la dureza de un objeto, el peso, la rugosidad, el sonido que hace, el sabor que tiene, etc.».

El juego: «Jugar es un tipo de actividad necesaria para el desarrollo integral de las personas y, desde esta perspectiva, es intrínsecamente humana, aunque no exclusiva de nuestra especie».

La atención a la diversidad: «El conocimiento matemático, entendido como una tecnología en manos de unos grupos, de difícil acceso para otros, no deja espacio al pensamiento divergente, a las alternativas de interpretación ni al reconocimiento de las diferencias».

Hemos ordenado los capítulos de acuerdo con nuestra perspectiva global del libro. Cada lector, sin embargo, puede escoger el orden en que los leerá. A todos aquéllos que sean escépticos sobre la conveniencia de incluir alguno de los temas seleccionados, les recomendamos que empiecen la lectura por el capítulo correspondiente al tema. Dentro de cada capítulo, puede escogerse el orden que se considere oportuno. Finalizada la lectura, cada persona tendrá que ser finalmente quien lidere el planteamiento de cambios y mejoras en su propio conocimiento.

Los cuatro primeros capítulos se han estructurado del mismo modo:

Marco de referencia:

se introducen ideas clave, redactadas de manera que cualquier persona pueda tener una visión global de cada tema y de su peso específico en la educación matemática.

Ejemplos de actividades

: se recogen actividades comentadas y resueltas (situaciones próximas al ciudadano no experto en matemáticas), con la finalidad de ver propuestas de concreción de los temas tratados.

Comentario de actividades de Estalella

: se deja constancia escrita y gráfica (a través de imágenes antiguas) de la articulación de nuestro enfoque como visión contemporánea de una obra clásica.

Dentro de cada capítulo, es especialmente importante la sección dedicada al planteamiento y comentario de actividades donde la educación matemática se piensa desde la práctica. Queremos eludir el uso de conocimientos matemáticos que tradicionalmente han interesado más a los profesores que a los estudiantes y a la propia sociedad. A menudo, conocimientos como la trigonometría, el álgebra o la geometría analítica han servido para hablar sobre el grado de capacitación de las personas. No obstante, fuera del entorno escolar y del ámbito de profesiones específicas, estos conocimientos dicen muy poco sobre las capacidades reales de razonamiento y sobre el buen desarrollo de competencias.

Hemos escogido y, en la mayoría de los casos, diseñado actividades y situaciones problemáticas que, como mucho, necesitan la aplicación de conocimientos matemáticos básicos con el fin de ser entendidas e interpretadas. No son, sin embargo, actividades sencillas; requieren que el lector se enfrente a ciertas preguntas de manera creativa. Las preguntas no se refieren a situaciones conocidas y recurrentes, por lo que deben ir acompañadas de tiempos largos de reflexión y de contraste.

Escribimos el último capítulo, Hacia un enfoque integrado, con el objetivo de iniciar la elaboración de un modelo que incluya los principios educativos seleccionados. Si leemos cada capítulo como un texto aislado del resto del libro, corremos el peligro de comprender sólo en parte el mensaje que queremos transmitir. Hay libros específicos de manipulación, de juegos matemáticos, de educación y diversidad..., pero no hemos encontrado libros donde estos temas se traten de un modo integrado, en base a principios transversales a todos ellos como, por ejemplo, la contextualización, la globalización o la personalización.

Las páginas de este libro son un intento de contribuir a combatir un fenómeno que para muchos es parte inherente de nuestra sociedad. También son un intento de acercar la actividad matemática a las personas y a las necesidades de una sociedad crítica, solidaria y sostenible. A lo largo de estos años hemos comprobado que el pensamiento crítico, la manipulación, el juego y la atención a la diversidad son ejes de trabajo que facilitan la implicación de todas las personas en una educación matemática de calidad que ha de permitir relacionarse bajo principios de igualdad y respeto. Si queremos llegar a todas las personas y llegar con calidad, el pensamiento memorístico, la abstracción, la rutina y la homogeneización tienen que dosificarse y pasar a un segundo plano. El aprendizaje centrado en la rutina podría ser adecuado en un mundo que no estuviera sujeto a cambios, pero precisamente ésta no es una característica de nuestro mundo.

Decíamos que el enfoque de los capítulos retoma ideas clásicas. Hace muchos años, Estalella, junto con otros expertos en el arte de educar y divulgar el conocimiento matemático, valoraron la resolución de problemas, la acción sobre los objetos o el juego como recursos clave para hacer su trabajo con eficacia. El tema de la diversidad cultural, sin embargo, no ha tenido históricamente la misma consideración. Los motivos son evidentes. Las posibilidades de movilidad de hoy han favorecido acercar realidades que antes eran lejanas y desconocidas para la mayoría de ciudadanos. Estos cambios requieren que la educación matemática tenga que ir más allá de las supuestas certezas sobre las cuales se han construido tradicionalmente los currículos escolares y los conocimientos de las personas.

El fracaso escolar, la urgencia de la atención a la diversidad, el analfabetismo silencioso, entre otras problemáticas, reclaman un proceso de reorganización de la educación matemática. A pesar de las valiosas aportaciones hechas por un amplio abanico de profesionales del mundo educativo, todavía falta calidad en la educación matemática actual. En las clases de matemáticas la actividad mecánica, repetitiva, el «hacer por hacer» acostumbra a ganar la batalla. Muchos educadores usan métodos centrados en la memorización por delante de la comprensión. Esto explica en parte que surjan generaciones poco motivadas para cuestionarse el porqué de los hechos matemáticos, con poca capacidad de análisis y de reflexión en su día a día.

En esta línea, un informe reciente, Science Education Now: A Renewed Pedagogy for the Future of Europe (2007), de un grupo de expertos dirigido por el ex primer ministro francés y actual eurodiputado Michel Rocard, asegura que los países de la Unión Europea tienen que modificar radicalmente sus métodos de enseñanza de las matemáticas y las ciencias. Urge optar por un enfoque más práctico, con el fin de invertir el creciente desinterés de los alumnos hacia estos estudios. El texto invita a hacer el paso de métodos deductivos hacia otros basados en la investigación y la experimentación, para el estímulo de las capacidades de observación, imaginación y razonamiento. Los expertos que firman el informe argumentan que si no se adoptan acciones más efectivas, la capacidad de Europa para innovar a largo plazo y la calidad de la investigación empezarán a decrecer.

Coincidimos plenamente con las conclusiones del anterior informe. Sin duda, la institución educativa ha de asumir nuevas responsabilidades, pero ha de hacerlo en sintonía con las familias y la sociedad en general. Por ello, conviene divulgar una nueva manera de enfocar la educación matemática a los expertos en pedagogía, a maestros y profesores, y al mismo tiempo acercarla a padres y madres, y a todas aquellas personas supuestamente alejadas del conocimiento matemático y científico. Ésta es una de nuestras pretensiones: acercar la educación matemática a cualquier lector, independientemente de su bagaje matemático y de su disposición inicial a implicarse en una lectura que le puede haber llegado de manera más o menos intencionada. Nos empuja una fuerte carga de ilusión y, sobre todo, la influencia de nuestros maestros, que no son exclusivamente nuestros, sino de todos: Dewey, Freudhental, Makarenko, Montessori, Piaget, Puig Adam, Vygotski y tantos otros.

En este libro, no hay grandes teorías desarrolladas, no se recoge ningún compendio exhaustivo de estados de la cuestión, ni se usa un lenguaje técnico que limite la lectura a grupos concretos. Tampoco nos corresponde el trabajo de liderar planteamientos de cambios en el mundo de la educación matemática. Somos atrevidos en cuanto al grado de implicación del lector, pero no nos corresponden pretensiones relacionadas con agendas políticas y curriculares. Aun así, entendemos este libro como una manera de dar a conocer algunos de los retos que las diferentes agendas de los territorios tendrán que tener en cuenta.

Por otra parte, vamos con cuidado para no caer en la trampa de relacionar demasiado directamente la consecución de una educación matemática de calidad con el aprendizaje de las matemáticas o, aún más, con la construcción de una sociedad mejor. El aprendizaje de las matemáticas y el camino hacia una sociedad mejor dependen de muchos más aspectos. No obstante, este libro ha de contribuir en alguna medida al aprendizaje matemático del lector, quien habrá de asociar sus posibilidades de aprendizaje con las posibilidades de los otros. Mirar a los otros como interlocutores válidos, con posibilidades de aprender y oportunidades para hacerlo, ya es una manera de construir una sociedad mejor.

Este libro lo firmamos dos autores especializados en Didáctica de las Matemáticas. Pero el resultado final, que ha de ser de utilidad para todos los lectores, no es sólo el fruto de nuestro trabajo, sino de la labor diaria de muchos buenos maestros y profesores de matemáticas que nos han aportado experiencias brillantes. No reproducimos aquí los nombres de todos los profesionales, ya que la mayoría de ellos irán apareciendo en el libro a medida que se vayan presentando diversas actividades. Aún así, de forma genérica, queremos dejar constancia de nuestro agradecimiento a la Dirección General de Investigación de la Generalitat de Catalunya; la Red de Incentivación a la Investigación Educativa REMIC; la Fundación Jaume Bofill y la Fundación Propedagògic. Y a todos los profesores de matemáticas del Grupo EMAC (Educación Matemática Crítica); a todos los estudiantes que han colaborado con no sotros; a Josep Tarrés, por cedernos los derechos de imagen de las actividades de Estalella y por ser el verdadero impulsor de este libro. Sin sus ideas sobre la manera de divulgar la educación matemática, este libro no se hubiera iniciado. A Claudi Alsina, cuyos trabajos en nuestra área de conocimiento son fundamentales, por haber aceptado escribir el prólogo. Y, por supuesto, no podemos dejar de mencionar, de manera póstuma, al maestro Josep Estalella; no necesita muchos comentarios, pero que hace un siglo tuviese el convencimiento y la genialidad de comunicar una educación matemática crítica, manipulativa, lúdica y respetuosa con la diversidad, a través de su libro Ciencia Recreativa, dice mucho de este ilustre personaje.

Acabamos la Introducción retomando unas palabras de Estalella. En el prólogo de Ciencia Recreativa decía: «Dejad que los niños se aficionen en este libro, pues las frivolidades a veces han despertado latentes inteligencias y han revelado insospechadas aptitudes y vocaciones» (p. 1). Nos apropiamos de estas palabras y las hacemos extensivas a todas aquellas personas interesadas por la educación en general y por la educación matemática en particular. Si, como pensamos, la mejora de la educación matemática pasa por elaborar textos que se dirijan a buena parte de la sociedad y no sólo a los educadores matemáticos profesionales, la nuestra es una buena iniciativa. La educación matemática ha de entenderse cada vez más como un tema que requiere la colaboración de todo el mundo. Sin una socialización de la educación matemática, sin una co-responsabilización, será muy difícil mejorar las actuales prácticas.

1El pensamiento crítico

«Conversación con un matemático: “l’esprit mathematique”, explicado como la capacidad de ver en cada fenómeno la posibilidad de inversión. ¿Por qué se dice que “el vaso está encima de la mesa” y no que “la mesa está debajo del vaso”?».

PETER HANDKE (1981: 264)

VIVIR ES VIVIR en un mundo lleno de contextos con problemas para entender y resolver. Aprender es aprender a vivir y, por lo tanto, aprender a entender y resolver problemas. Desde la educación y, en particular, desde la educación matemática, la resolución de problemas viene fundamentándose desde hace tiempo. El modelo de resolución de problemas promueve el papel del ciudadano como investigador. Se identifica y representa el problema, se selecciona y aplica una estrategia y, finalmente, se valoran los resultados. Se trata, sin embargo, de un modelo donde se supone que alguien se ha encargado de formular previamente un enunciado con el problema, de manera que hay dos figuras relevantes, la del ciudadano que identifica el problema y la del ciudadano que se esfuerza por entenderlo y resolverlo. Cuando estas dos figuras coinciden, hablamos de un modelo de pensamiento crítico, que se puede ver como un caso particular de modelo de resolución de problemas. El pensamiento crítico, por tanto, requiere que quien quiere resolver un problema haya contribuido de algún modo a identificarlo.

Desde la filosofía, tal como apunta Edgar Morin (2000), la noción de pensamiento crítico es redundante. El pensamiento tiene que ser necesariamente crítico, de la misma manera que el agua siempre es húmeda. No obstante, desde una perspectiva más amplia tiene sentido hablar del pensamiento crítico como aquél que estimula la formulación de buenas preguntas y la búsqueda de respuestas complejas. Pensamos críticamente cuando cuestionamos la información que se nos proporciona, tomamos la iniciativa de buscar más información y desarrollamos un interés por ser precisos en el contraste de puntos de vista. Estas habilidades deben ponerse en práctica en los cuatro momentos comunicativos por excelencia: hablar, escuchar, leer y escribir. Pensar críticamente es, en resumen, ser capaz de hablar, escuchar, leer y escribir críticamente.

La mayoría de problemas de la vida cotidiana son problemas todavía pendientes de definir que nosotros, como ciudadanos, tenemos que saber formular. Pintar una habitación, por ejemplo, nos lleva a tener que responder preguntas muy variadas: ¿qué cantidad de pintura hará falta?, ¿deben darse dos capas de pintura?, ¿deben repasarse sólo las partes en peor estado?, ¿debe pintarse la superficie de pared donde está previsto que vaya un armario?, etc. Nuestra experiencia en los mundos físico y social está llena de situaciones problemáticas que requieren el pensamiento crítico: ¿cuánto tiempo necesitamos si queremos llegar puntuales a una reunión?, ¿cómo podemos comprobar que en un juego de cubiertos no falta ninguno?, ¿qué semillas son más convenientes para un terreno? Cuando vamos a la tienda de semillas, el vendedor nos puede recordar que debemos escoger bien las semillas, en función del terreno y la época del año. Pero si no se nos hace esta observación, nosotros tenemos que ser capaces de plantearla para que las semillas germinen con éxito. En este caso, está en juego un huerto. En otras ocasiones puede estar en juego nuestra salud —¿cómo se tienen que distribuir las dosis de una medicina?—, la salud de muchos —¿cómo se puede reorganizar la jornada laboral para que haya tiempo de hacer deporte?—, la comprensión de cómo funciona el mundo —¿cómo se calcula el índice de desempleo en mi país?—, etc.

En los años ochenta, un estudio de John Goodlad (1984) alertó a las sociedades occidentales sobre el papel de la escuela en la educación de los alumnos. En su informe, en el que recogía datos de más de mil escuelas de enseñanza primaria y secundaria, Goodlad llegaba a la conclusión de que menos del 1% de los enunciados que se planteaban dentro de las aulas eran razonamientos. La mayoría de enunciados eran opiniones, tanto en discursos de los profesores como en discursos de los alumnos. Casi veinticinco años después, deberíamos preguntarnos cuál sería hoy el porcentaje de argumentos en una conversación de aula, o en otros entornos habituales para cualquier ciudadano: medios de comunicación, calles, mercados, reuniones familiares, reuniones de empresa, etc.

A finales de los años ochenta, el dato del 1% se usó como un impulso en los intentos de diseñar entornos de resolución de problemas que se habían empezado a implementar en algunas escuelas de Estados Unidos. En particular, el National Council of Teachers of Mathematics (1989) mencionó la necesidad de introducir variables de pensamiento crítico en los procesos de resolución de problemas. En el ámbito europeo, bajo la influencia de Goodlad, el Ministerio de Educación británico encargó un informe, elaborado por el equipo de Sylvia Downs (1987), sobre las características a promover en toda educación crítica. La UNESCO (1997a, 1997b) acabaría asumiendo las líneas de este informe. De acuerdo con el informe de Downs, por medio de la resolución crítica de problemas, el aprendiz debe:

Responsabilizarse de su aprendizaje y adoptar un papel activo.

Saber distinguir entre lo que tiene que memorizar y lo que tiene que comprender.

Tomar decisiones y hacer preguntas para asegurarse de que comprende.

Sentirse seguro con el fin de aprovechar nuevas oportunidades de aprendizaje.

Darse cuenta de las dificultades que se le presentan y de las múltiples causas de estas dificultades.

El estudio de Goodlad y el posterior impacto del informe de Downs, llevan a una situación de opinión pública similar a la producida durante el movimiento de la Escola Nova en Cataluña, iniciado a finales del siglo XIX. Se cree en la fuerza de la educación como un motor social de progreso y al mismo tiempo se desconfía del papel de la escuela. La escuela de los años ochenta se ve como sospechosa de promover una enseñanza doctrinaria donde no se espera que los alumnos piensen en libertad. Durante los años de la Escola Nova ya se había insistido en la necesidad de emprender acciones pedagógicas que facilitaran el papel activo del alumnado en el desarrollo de razonamientos y en la toma de decisiones. Se quería romper la fuerte relación entre responsabilidad y obediencia, haciendo que el ciudadano responsable fuera un ciudadano libre con la razón como límite de la libertad. La Escola Nova estuvo influenciada por las directrices de la llamada Pedagogía Moderna en la que participó, entre otros, Josep Estalella.

Han pasado muchos años desde los movimientos de la Escola Nova y de la Pedagogía Moderna, pero estudios encargados por organizaciones como la OCDE —Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico— (2001, 2006), junto con otros promovidos desde ámbitos académicos (por ejemplo, Marchesi y Hernández, 2003), se han encargado de mantener vigente una cierta desconfianza en el papel de la escuela en cuanto a la articulación del pensamiento del alumno. Con todo, la OCDE mantiene una actitud optimista cuando se refiere al papel de la educación matemática en el intento de mejorar la autonomía intelectual de las personas. El informe que mencionábamos en la Introducción, Science Education Now: A Renewed Pedagogy for the Future of Europe (2007), es otro ejemplo de confianza en una «educación matemática crítica» (para más detalles sobre esta idea, ver Blázquez y otros, 2006; Figueras y otros, 2007; Planas y otros, 2008).

En 1994, el educador matemático y filósofo Ole Skovsmose, en su libro ya clásico Philosophy of Critical Mathematics Education, habla del pensamiento crítico en términos de experiencia transformadora que nos facilita una mejor comprensión de nuestro papel en el mundo. Las preguntas básicas del pensamiento crítico —¿qué está pasando?, ¿por qué está pasando?, ¿qué implicaciones tiene este hecho?, ¿con qué otros hechos está relacionado?, etc.— nos implican en las situaciones que queremos explicar y conllevan un cierto grado de compromiso. Esta implicación no tiene viaje de retorno, nos cambia a nosotros y también al mundo que nos rodea. Adoptar un posicionamiento crítico ante una situación quiere decir perseverar en el intento de entender esta situación, aunque el esfuerzo sea exigente en cuanto al tiempo, los niveles de concentración y la dedicación personal.

No todas las experiencias de educación matemática pueden llamarse transformadoras. Hay prácticas que no necesitan del pensamiento crítico. Cuando un conductor, por ejemplo, deja siempre estacionado su coche en la misma plaza de aparcamiento del edificio donde vive, lleva a cabo una serie de actuaciones matemáticas con el fin de orientarse y aparcar su coche adecuadamente. Estas actuaciones son, en realidad, rutinarias, ya que la frecuencia de esta práctica ha hecho que se interiorizara hasta el punto de no tener que pensarla demasiado. Afortunadamente hay muchas prácticas que pueden ser interiorizadas, como aparcar un coche, subir unas escaleras o cerrar una puerta con llave. Nuestra vida quedaría del todo paralizada si no tuviéramos rutinas aprendidas y tuviéramos que pensarlo todo críticamente. El peligro radica en creer que toda práctica puede convertirse en rutina y que siempre hay una rutina adecuada para cualquier práctica.

Las prácticas matemáticas transformadoras son aquéllas que no admiten ser convertidas en rutinas o ser entendidas como una aplicación recurrente de rutinas. Se trata de prácticas que se inician desde la duda y las dificultades de comprensión. Son, por lo tanto, prácticas que de entrada generan más preguntas que respuestas. Lejos de estas prácticas, en muchas clases de matemáticas a menudo se pide aplicar procedimientos sin haber explicado los propósitos ni haber sido insertados estos procedimientos en un contexto más amplio de significados. Se trata de procedimientos que se introducen de forma desconectada de los procesos de pensamiento y de toma de decisiones de aquellos que los tendrán que aplicar. Hay una anécdota muy ilustrativa que la educadora Jean Anyon explicó recientemente en un seminario sobre pensamiento crítico y currículo. Años atrás, al asistir como observadora a una clase en Estados Unidos, había escuchado una conversación que tuvo muchas repercusiones en su obra posterior. A pesar de que no disponemos de la conversación literal, hacemos un esfuerzo por reproducirla:

Profesora: Coged la regla y colocadla en la parte de arriba. Haced una señal a cada número. Ahora colocadla en la parte de abajo y volved a hacer una señal a cada número. Después haced una línea.

Alumna: Tengo una idea de cómo hacerlo más rápidamente.

Profesora: No, no la tienes porque no os he dicho lo que estamos haciendo.

La profesora del ejemplo ha decidido «no explicar lo que se está haciendo», quizás como medida de control y contención de la información. Sin embargo, no parece que tener menos información haga sentir más segura a la alumna. Establecer relaciones entre la cantidad de información de que se dispone y la seguridad es arriesgado. Es probable que la profesora enfatice la parte rutinaria de la tarea para organizar más «ordenadamente» la sesión o para reducir de forma intencionada el nivel de exigencia a los alumnos. Su brusquedad en la respuesta no indica necesariamente una falta de implicación en la educación de los alumnos. No obstante, los alumnos, al menos una de ellos, parecen esperar algo más de la relación con la profesora, de la práctica en el aula y del objeto de su aprendizaje matemático.

La organización Fundación para el Pensamiento Crítico, en su web www.criticalthinking.org, caracteriza el perfil de un pensador crítico ejercitado. Los puntos que se destacan tienen gran similitud con los señalados en el informe de Downs. De acuerdo con la página web, un pensador crítico ejercitado:

Formula problemas y preguntas vitales con claridad y precisión.

Acumula y evalúa información relevante y usa ideas abstractas con el fin de interpretar esta información con eficacia.

Llega a conclusiones y soluciones, probándolas con criterios relevantes; piensa con una mente abierta, reconoce y evalúa, según sea necesario, supuestos, implicaciones y consecuencias prácticas.

Se comunica con eficacia a la hora de idear soluciones a problemas complejos.

Estas ideas se encuentran en gran medida en la obra de Anton Makarenko (1955), pedagogo de influencia en las teorías educativas actuales. Algunos aspectos de su teoría de la educación se mantienen vigentes a pesar de haber sido formulada durante la primera mitad del siglo XX. Los contextos histórico y social de este autor ruso lo llevaron a pensar en una teoría de la educación vinculada a la práctica y a las necesidades sociales del ciudadano de aquel momento. En su obra habla de construir el ciudadano crítico. El ciudadano individualizado y alienado, en palabras de Makarenko, tiene que dar paso a un ciudadano con capacidad de interpretación y de intervención. El ciudadano aislado, sin compromiso con el razonamiento y el entorno, surge de la falta de actuaciones hacia una educación crítica y de la organización efectiva de una educación basada en el aprendizaje de rutinas.

Makarenko entiende el pensamiento crítico como un proceso natural que debe recuperarse ante las influencias de una sociedad que no acostumbra a facilitar la indagación ni la exploración. La curiosidad por entender el porqué de diferentes situaciones es un proceso natural que aprendemos desde pequeños y que a menudo dejamos de practicar aceptando las respuestas de los otros o perdiendo el interés por conocer las preguntas que llevan a ciertas respuestas. Aunque estas asunciones dejan poco margen al optimismo, el autor señala que las capacidades de indagación y de exploración son recuperables si se trabajan los estímulos adecuados en un entorno social favorable.

Un entorno social favorable ha de promover el intercambio de ideas y el establecimiento de conexiones entre ideas desde una perspectiva global. Dentro del ámbito escolar, la fragmentación en disciplinas dificulta una perspectiva global. En una clase de biología, por ejemplo, se explica el descenso de la pesca de merluza a partir de cambios en el ecosistema marítimo mediterráneo. En una clase de economía, el mismo problema se puede explicar a partir de los intereses del sector pesquero local. El problema se formula de manera diferente y recibe respuestas diferentes. Cuesta mucho encontrar ámbitos donde un mismo problema se mire desde enfoques complementarios y donde se admitan explicaciones interdisciplinarias. En general, el pensamiento crítico tiene que ver con ser capaz de establecer conexiones entre temas aparentemente diferentes e, incluso, ser capaz de hacer surgir temas no visibles con una primera mirada. Cuando nos dedicamos a pensar de manera profunda situaciones problemáticas, necesitamos analizar estas situaciones desde diferentes puntos de vista y en base a razonamientos de diferentes personas (Alsina, A. y Planas, N., 2007).

Una de las dificultades en el desarrollo del pensamiento crítico es la superación de las separaciones artificiales establecidas por la cultura entre multitud de temas. Una idea clave es aprender a relacionar, encontrar conexiones, a pesar de inercias que tiendan a separar. Skovsmose (1994) habla de aprender a construir significados complejos en base al establecimiento de relaciones entre significados más simples. Desde la lógica matemática, relacionar es construir similitudes y diferencias hasta el punto de agrupar y distinguir. Al enfrentarse a una situación problemática, el establecimiento de similitudes debe ayudar a identificar situaciones con circunstancias parecidas que permitan disponer de un marco de referencia para la interpretación. Por otra parte, el establecimiento de diferencias es un paso esencial con el fin de entender la unicidad de cualquier situación problemática y la necesidad de buscar particularidades.

Haber establecido conexiones entre situaciones problemáticas no nos lleva directamente a ser capaces de interpretar y dar respuestas a una situación particular. Sin embargo, estamos ante un primer paso en la activación del pensamiento crítico. El resto de estímulos necesarios dependen de muchos factores, pero en general requieren la participación y el intercambio con los otros. El apartado siguiente habla de la construcción de espacios favorables para la participación y el intercambio en situaciones de resolución de problemas.

ACTIVIDADES PARA LA ESTIMULACIÓN DEL PENSAMIENTO CRÍTICO

Hemos mencionado características del pensador crítico que ayudan a reconocerlo. Ahora hablamos de cómo facilitar socialmente la construcción progresiva de estas características. La reflexión individual es un buen punto de partida para la formulación de preguntas y la construcción de argumentos. No obstante, con el fin de profundizar preguntas y argumentos, conviene el apoyo del trabajo con los demás. Es más fácil repensar preguntas y reconstruir razonamientos en una situación de interacción que en solitario. Naturalmente hay que establecer antes normas básicas de relación como, por ejemplo, estar dispuesto a escuchar las ideas de los otros y respetarlas, incluso cuando las queramos rebatir o no nos parezcan adecuadas. También hay que elaborar contra-argumentos ante argumentos con los que no estamos de acuerdo, rehuyendo respuestas simples basadas en valoraciones a las personas y las prácticas.

Reanudando la idea de trabajo en grupo, podemos decir que el desarrollo del pensamiento crítico está vinculado con la capacidad de participar en «comunidades de pensamiento crítico». De acuerdo con los sociólogos Ramón Flecha y Lídia Puigvert (2002), una comunidad es un espacio de interacción con prácticas compartidas que vienen facilitadas por normas sociales de respeto al pensamiento de los demás. Estas normas son básicamente de tipo actitudinal: saber escuchar, tomar en consideración puntos de vista alternativos a los propios, tener interés por integrar ideas presentadas por separado, etc. En el caso de «comunidades de pensamiento crítico», hay prácticas compartidas referidas al pensamiento crítico.

Una comunidad de pensamiento crítico es diferente de un entorno de instrucción. Este último se caracteriza porque una de las personas tiene un papel específico de instructor —quien enseña—. Es el caso de muchas aulas donde el profesor se distancia de los alumnos —quienes aprenden— y se ubica fuera de una posible comunidad (Planas, 2006), o de muchos otros contextos no escolares donde hay una persona a quien se le supone un principio de autoridad que acaba limitando la aparición de propuestas de pensamiento alternativas. Para la promoción del pensamiento crítico hay que tender a fomentar grupos donde no se le suponga todo el conocimiento a ninguno de los miembros o, cuando menos, donde todo el mundo esté dispuesto a considerar a los demás como interlocutores válidos. En definitiva, es necesario desprenderse de la idea de que alguien puede enseñar mucho porque los demás no saben nada.

Un pensador crítico ejercitado hará todo lo posible para que las personas con quienes se comunica también se comporten de forma crítica. Cuando alguien cree que no hay pensamientos alternativos, difícilmente se comunicará con los otros con el respeto necesario ni tendrá interés en cuestionar sus propios razonamientos. Nadie tiene todas las respuestas ni tampoco nadie es capaz de formular de manera individual todas las preguntas que tienen que permitir entender una cierta situación problemática. Hay gente con más habilidad para pensar de manera reflexiva y buscar criterios de objetividad, pero incluso esta gente puede obviar aspectos importantes que le impidan avanzar y que otra persona puede haber captado con más facilidad. Podemos decir que se aprende a pensar críticamente por contacto y contraste con el pensamiento de los demás.

En 2005, con el propósito de acercarnos al ideal de pensamiento crítico, un grupo de educadores matemáticos constituyó el Grupo de Trabajo EMAC, «Educación Matemática Crítica1. Desde entonces, el Grupo ha avanzado en la construcción de otro ideal, el de comunidad. Después de comprobar, año tras año, las dificultades de los alumnos para formular preguntas, pensar de manera reflexiva y tomar parte activa en su aprendizaje, decidimos trabajar en el diseño de experiencias para la estimulación del pensamiento crítico. El Grupo se ha centrado en la elaboración e implementación de actividades «críticas». Son actividades que admiten ser planteadas en más de un nivel de la enseñanza obligatoria, que pretenden favorecer la participación de todo el alumnado y que son abiertas desde la perspectiva de las posibles estrategias de aproximación y resolución.

Es importante reconocer que no se aprende a pensar críticamente en abstracto. Por ello, más allá de las consideraciones sobre el pensamiento crítico hechas en el marco del Grupo EMAC y dadas las finalidades prácticas del Grupo, se han diseñado actividades concretas. Con todo, buscar temas para el trabajo de una matemática crítica no es fácil. Los temas han de favorecer el interés y el compromiso suficientes con el fin de plantear buenas preguntas ante situaciones problemáticas. Hasta el momento, para la estimulación del pensamiento crítico, hemos seleccionado algunos temas para el diseño de actividades: productos alimentarios light, planos urbanísticos en municipios del territorio, formas de envases de un refresco popular, ventajas e inconvenientes de un piso, etc. Cada tema ha conllevado la elaboración de más de una actividad. Disponemos, por ejemplo, de una secuencia de actividades de pensamiento crítico sobre pisos y planos (Darnaculleta, Esteve y Planas, 2008).

El trabajo de las actividades que proponemos a continuación es una manera de completar nuestra caracterización de pensamiento crítico y, al mismo tiempo, un estímulo para su práctica. Plutarco, el filósofo clásico, decía que el pensamiento no es un vaso que hay que llenar sino un foco que hay que encender. Pensar cada una de las actividades es una manera de contribuir a encender este foco o, en muchos casos, a mantenerlo encendido.

LA ACTIVIDAD DE LOS PRODUCTOS LIGHT2

→ ¿Cuándo decimos que un producto es light?

Figura 1.1.Ejemplos de productos light y no light

Después de haber pensado más de un minuto...

La reglamentación actual en España establece que para poder poner la etiqueta light en un producto debe tener como mínimo un 30% menos de calorías que el mismo producto en su versión estándar. La reducción energética se consigue disminuyendo o sustituyendo la cantidad de azúcares y/o grasas por componentes menos calóricos. Aunque el término light es de uso muy frecuente, no es habitual conocer su reglamentación. El propósito de la actividad es inferir la definición de producto light a partir de datos contenidos en envases de productos light y no light. Es necesario, pues, disponer de algunos envases. Si se está en una clase, se puede pedir al alumnado que traiga productos de ambos tipos.