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- Herausgeber: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Serie: Wiley Schnellkurs
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2016
Quantenmechanik: Der Begriff ist bekannt, aber was verbirgt sich konkret dahinter? Wilhelm Kulisch erklärt Ihnen kurz und knapp das Wichtigste zu diesem Thema. Er erläutert Grundlagen zu Operatoren, Wellenfunktionen, Eigenwerten, Eigenvektoren und auch die Schrödingergleichung wird hier besprochen. Dann fährt der Autor mit Potentialbarrieren, Drehimpulsen, der Unschärferelation und vielem mehr fort. Zum Abschluss des Buches gibt er Ihnen noch einen kurzen Einblick in praktische Anwendungen der Quantenmechanik. Zahlreiche Übungsaufgaben mit Lösungen helfen Ihnen, Ihr Wissen zu testen und zu festigen.
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Seitenzahl: 245
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Einstiegstest
Zum Einstieg können Sie mit diesen Aufgaben testen, wo Sie in der Quantenmechanik noch Lücken haben, die Sie schließen sollten. Dabei steht jede Aufgabe für ein Kapitel im Buch. Sollten Sie feststellen, dass Sie eine Aufgabe nicht lösen können, ist es vielleicht schlau, zuerst dieses Kapitel durchzuarbeiten, wenn Sie nur noch wenig Zeit haben.
Aufgabe zu Kapitel 1
Die Quantenmechanik leitet ihren Namen von der Tatsache ab, dass im mikroskopischen oder nanoskopischen Bereich einige physikalische Größen quantisiert auftreten. Nennen Sie Beispiele. Was ist ein Quantensprung? Ist er eher groß oder eher klein? Wodurch wird er bestimmt? Worin liegt seine Bedeutung? Es gibt eine Größe, von der schon vor der Entwicklung der Quantenmechanik bekannt war, dass sie quantisiert ist. Welche Größe ist das? Folgt ihre Quantisierung aus der Quantenmechanik?
Aufgaben zu Kapitel 2
Erläutern Sie die folgenden Begriffe:
Operator allgemein
Operator in der Quantenmechanik
Kommutator
Antikommutator
Hermitescher Operator
Aufgabe zu Kapitel 3
Wie lautet die allgemeinste Form der zeitunabhängigen Schrödingergleichung? Erläutern Sie die Komponenten dieser Gleichung. Wie muss man die Gleichung lesen? Welche Bedeutung besitzt diese Gleichung?
Aufgabe zu Kapitel 4
Welche Schritte muss man ausführen, um ein quantenmechanisches Problem zu lösen?
Aufgabe zu Kapitel 5
Betrachten Sie die Abbildung. Ein Elektron trifft auf eine Potentialstufe, wobei seine Energie höher als die Stufe ist. Beschreiben Sie, was der klassischen Physik zufolge an der Stufe passiert. Was sagt die Quantenmechanik zu dieser Situation? Erläutern Sie in diesem Zusammenhang die Begriffe Wahrscheinlichkeitsstromdichte, Transmissionskoeffizient und Reflexionskoeffizient.
Aufgabe zu Kapitel 6
Welche Gemeinsamkeiten besitzen ein klassischer und ein quantenmechanischer harmonischer Oszillator? Welche Unterschiede gibt es zwischen ihnen?
Aufgabe zu Kapitel 7
Wie ist der Drehimpuls definiert? Welchen Drehimpuls kann der klassischen Physik zufolge ein Teilchen besitzen? Welchen Drehimpuls ordnet die Quantenmechanik einem Teilchen zu?
Der Drehimpuls ist ein Vektor. Kann man quantenmechanisch alle drei seiner Komponenten beobachten? Wenn nicht: Begründen Sie dies. Welche Komponenten sind gleichzeitig beobachtbar? Gilt der Drehimpulserhaltungssatz der klassischen Physik auch in der Quantenmechanik?
Aufgabe zu Kapitel 8
Wie viele Quantenzahlen sind zur Beschreibung eines Zustands des Wasserstoffatoms erforderlich? Was beschreiben diese Quantenzahlen? Welche Werte können sie annehmen? Von welchen dieser Quantenzahlen hängt die Energie eines Zustands ab?
Aufgabe zu Kapitel 9
Nennen Sie Experimente, aus denen klar hervorgeht, dass Licht eine Welle ist. Welche Experimente zeigen, dass Licht Teilchencharakter besitzt? Nennen Sie Experimente, die jeweils den Teilchen‐Wellen‐Charakter von Elektronen belegen.
Sind Licht bzw. Elektronen nun Teilchen oder Wellen?
Aufgabe zu Kapitel 10
Was sind Bosonen und Fermionen? Geben Sie jeweils ein Beispiel an. Was besagt das Pauliprinzip? Warum gilt das Prinzip nur für Fermionen, nicht aber für Bosonen? Welche Konsequenzen hat dies für das allgemeine Verhalten von Fermionen und Bosonen?
Aufgabe zu Kapitel 11
Betrachten Sie ein Sandkorn mit einer Masse von 1 μg und einer Größe von 0,1 mm. Sie legen das Korn ab, wobei Sie die Position auf 1 μm genau bestimmen. Wie groß ist die Ortsunschärfe nach einem Tag, 10 Jahren und 1010 Jahren?
Welche Schlussfolgerung kann man aus diesem Gedankenexperiment ziehen?
Aufgabe zu Kapitel 12
Beschreiben Sie die folgenden Teilchen: Photon, Phonon, Polaron, Polariton, Proton, Positron, Plasmon. Welche von ihnen sind Quasiteilchen? Welche sind Bosonen und welche Fermionen?
Aufgabe zu Kapitel 13
Durch welche beiden außergewöhnlichen Materialeigenschaften zeichnen sich Supraleiter aus? Was ist ein Cooper‐Paar? Erläutern Sie qualitativ oder anschaulich, warum Cooper‐Paare die Eigenschaften von Supraleitern erklären. Wie viele Wellenfunktionen sind erforderlich, um alle Elektronen in einem Supraleiter zu beschreiben?
Aufgabe zu Kapitel 14
Was ist ein Quantenpunkt? Halbleitende Quantenpunkte besitzen ein großes Anwendungspotential für Laser und andere optische Anwendungen. Nennen Sie mindestens zwei Gründe dafür. Welche Rolle spielt der Bohr'sche Exzitonenradius dabei?
Lösungen des Eingangstests
Lösung der Aufgabe zu Kapitel 1
Zu den quantisierten Größen gehört die Energie, die bei Licht nur als ganzzahliges Vielfaches von hν übertragen werden kann, wobei ν die Frequenz ist. Eine weitere quantisierte Größe ist der Drehimpuls eines Elektrons in einem Atom, der nur ganzzahlige Vielfache von ℏ annehmen kann.
Bei einem Quantensprung gelangt ein System von einem quantisierten Zustand in den nächsthöheren oder ‐tieferen. Er ist sehr klein, seine Größe wird durch das Planck'sche Wirkungsquantum h (oder das reduzierte Wirkungsquantum ℏh / 2π) bestimmt. Die Bedeutung des Quantensprungs liegt in der Tatsache, dass es keine dazwischenliegenden Zustände gibt es ist also wirklich ein Sprung erforderlich. (Dennoch wird das Wort in der Umgangssprache falsch benutzt.)
Schon vor der Entwicklung der Quantenmechanik war bekannt, dass Ladung nur als Vielfaches der Elementarladung auftreten kann. Dies wird in der Quantenmechanik vorausgesetzt und ergibt sich nicht aus ihr.
Lösung der Aufgaben zu Kapitel 2
Ein Operator ist ganz allgemein eine mathematische Vorschrift.
In der Quantenmechanik werden die Messgrößen der klassischen Physik in Form von Operatoren angegeben.
Der Kommutator zweier Operatoren
A
und
B
ist wie folgt definiert:
Die Definition des Antikommutators zweier Operatoren lautet:
Ein Operator
A
wird hermitesch genannt, wenn er gleich seinem Adjungierten ist, wenn also gilt:
Lösung der Aufgabe zu Kapitel 3
Die zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet in ihrer allgemeinsten Form:
Die Komponenten der Gleichung lassen sich wie folgt beschreiben:
H
ist der Hamiltonoperator, also der der Gesamtenergie zugeordnete Operator.
ψ(
r
) ist die Wellenfunktion, die das betrachtete System beschreibt.
E
ist der zu ψ(
r
) gehörende Energieeigenwert des betrachteten Systems.
Diese Gleichung muss man folgendermaßen lesen: Wendet man den Hamiltonoperator auf die ein System beschreibende Wellenfunktion an, erhält man die zugehörigen Energieeigenwerte. Die Schrödingergleichung bildet die Grundlage für nahezu alle Rechnungen in der Quantenmechanik.
Lösung der Aufgabe zu Kapitel 4
Zur Lösung eines quantenmechanischen Problems sind die folgenden Schritte erforderlich:
Man muss – ausgehend von einer Analyse der Problemstellung – die Schrödingergleichung aufstellen. Dazu ist es erforderlich, den Hamiltonoperator zu bestimmen.
Man ermittelt die bei dem Problem auftretenden Randbedingungen.
Man löst die Schrödingergleichung, d. h., man überlegt, welche Wellenfunktionen unter Berücksichtigung der Randbedingungen die Schrödingergleichung erfüllen.
Man normiert die Wellenfunktionen, um beispielsweise sicherzustellen, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens in einem bestimmten Bereich gleich eins ist.
Man bestimmt die Energieniveaus.
Lösung der Aufgabe zu Kapitel 5
Der klassischen Physik zufolge passiert an der Grenzfläche überhaupt nichts, das Elektron würde einfach weiterfliegen. Die Quantenmechanik besagt allerdings, dass es eine gewisse Wahrscheinlichkeit gibt, dass das Elektron an der Grenzfläche reflektiert wird, obwohl seine Energie größer als die Potentialstufe ist.
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte spielt bei der Beschreibung dieses Vorgangs eine sehr wichtige Rolle. Sie ist wie folgt definiert:
Quantitativ werden die reflektierten bzw. transmittierten Anteile durch den Reflexions‐ bzw. den Transmissionskoeffizienten beschrieben, die folgendermaßen definiert sind:
Dabei sind R und T die Amplituden der reflektierten und der transmittierten Welle, k1 und k2 die Wellenvektoren in den beiden Bereichen.
Lösung der Aufgabe zu Kapitel 6
Sowohl für den klassischen als auch für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator ist das Potential parabolisch. Beim klassischen Oszillator kann man den Ort des schwingenden Teilchens jederzeit genau angeben. Zudem kann das Teilchen jede beliebige Energie einnehmen.
Beim quantenmechanischen Oszillator hingegen ist die Energie quantisiert, es sind also nur diskrete Energieniveaus möglich. Zudem kann man den Ort des schwingenden Teilchens nicht genau angeben, sondern nur für jeden Ort eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
Lösung der Aufgabe zu Kapitel 7
In der klassischen Physik besitzt ein Teilchen auf einer Kreisbahn mit dem Radius r den Drehimpuls
Dabei ist p der Impuls des Teilchens. Dieser Bahndrehimpuls ist klassisch gesehen der einzige Drehimpuls des Teilchens. Der Quantenmechanik zufolge besitzt ein Teilchen über diesen Bahndrehimpuls hinaus noch einen Eigendrehimpuls, den Spin, und einen Gesamtdrehimpuls, der die vektorielle Summe aus Bahn‐ und Eigendrehimpuls darstellt.
In der Quantenmechanik sind nicht alle drei Komponenten des Drehimpulses gleichzeitig beobachtbar. Der Grund dafür ist, dass die Operatoren der drei Komponenten nicht miteinander vertauschen. Es können nur das Betragsquadrat des Drehimpulses L2 und eine seiner Komponenten, etwa Lz, gleichzeitig beobachtet werden. Der Drehimpulserhaltungssatz gilt auch in der Quantenmechanik, allerdings ist die Formulierung komplizierter als in der klassischen Physik.
Lösung der Aufgabe zu Kapitel 8
Zur Beschreibung eines Zustands eines Wasserstoffatoms sind vier Quantenzahlen erforderlich:
Die Hauptquantenzahl
n
ergibt sich aus der Lösung der Radialgleichung.
Die Drehimpuls‐ oder Nebenquantenzahl
l
beschreibt die Quantisierung des Drehimpulses.
Die Magnetquantenzahl
m
ergibt sich aus der Quantisierung der
z
‐Komponente des Drehimpulses.
Die Spinquantenzahl
s
beschreibt die Orientierung des Spins.
Diese Quantenzahlen können nicht jeden beliebigen Wert annehmen; vielmehr wird der Wertebereich durch die nächsthöhere Quantenzahl bestimmt:
n
ist eine beliebige positive Zahl.
l
ist durch den Wert von
n
begrenzt:
Für den Wertebereich von
m
gilt:
Die Spinquantenzahl kann die Werte 1/2 und −1/2 annehmen.
Die Energie eines Zustands des Wasserstoffatoms hängt nur von der Hauptquantenzahl ab.
Lösung der Aufgabe zu Kapitel 9
Die folgende Tabelle stellt die wichtigsten Experimente zusammen, die den jeweiligen Charakter belegen.
Licht
Elektronen
Welle
Doppelspaltversuch
Beugung am Kristallgitter
Teilchen
Photoeffekt
Comptoneffekt
Elektronenstrahlröhre (Fernseher)
Bei Licht bzw. Elektronen handelt es sich um quantenmechanische Objekte, die durch Wellenfunktionen beschrieben werden müssen. Es gibt für sie in der makroskopischen Welt kein Analogon. Daher kann man nur sagen, dass sich etwa Licht unter bestimmten Umständen wie eine Welle verhält, unter anderen aber wie Teilchen.
Lösung der Aufgabe zu Kapitel 10
Bosonen sind Teilchen mit ganzzahligem Spin, Fermionen solche mit halbzahligem. Photonen sind mit s = 1 Bosonen, Elektronen mit s = 1/2 Fermionen. Das Pauliprinzip besagt, dass in einem System (etwa einem Atom) zwei Fermionen niemals den gleichen Zustand einnehmen können, also niemals in allen Quantenzahlen übereinstimmen können. Bosonen hingegen können den gleichen Zustand einnehmen. Der Grund dafür ist die Forderung der Quantenmechanik, dass die Wellenfunktion von Bosonen symmetrisch sein muss, die von Fermionen aber antisymmetrisch.
Als Folge des Pauliprinzips unterliegen Fermionen und Bosonen völlig unterschiedlichen Statistiken, Fermionen der Fermi‐Dirac‐Statistik, Bosonen hingegen der Bose‐Einstein‐Statistik.
Lösung der Aufgabe zu Kapitel 11
Der Heisenberg'schen Unschärferelation zufolge gilt zwischen der Ortsunschärfe und der Impulsunschärfe eines Teilchens die Beziehung:
Die Ortsunschärfe des Sandkorns ist in der Aufgabenstellung gegeben. Aus der Unschärferelation ergibt sich für die Geschwindigkeitsunschärfe des Korns:
Aus dieser Geschwindigkeitsunschärfe ergibt sich eine mit der Zeit zunehmende Ortsunschärfe:
Ein Tag hat 86400 s, ein Jahr 365,25 Tage. Damit ergibt sich für die Ortsunschärfe nach den verschiedenen Zeiten:
Obwohl das Sandkorn sehr klein ist, ist es makroskopischer Natur. In überschaubarer Zeit ist die sich ergebende Ortsunschärfe vernachlässigbar. Die Heisenberg'sche Unschärferelation spielt also bei makroskopischen Körpern keine Rolle. Der Zeitraum von 1010 Jahren entspricht im etwa dem Alter des Universums.
Lösung der Aufgabe zu Kapitel 12
Die sieben Teilchen können folgendermaßen beschrieben werden:
Photon: Ein Photon ist ein Quant einer elektromagnetischen Welle.
Phonon: Eine quantisierte Gitterschwingung.
Polaron: Ein Elektron in einem polarisierbaren Medium erzeugt eine Polarisationswolke, die sich mit dem Elektron bewegt. Das Elektron mit der Wolke, die es umgibt, kann als Teilchen beschrieben werden.
Polariton: Ein Quasiteilchen, das bei der Kopplung eines elektromagnetischen Feldes mit einem angeregten Zustand mit einem Dipolmoment in einem Festkörper erzeugt wird.
Proton: Ein positiv geladener Baustein des Atomkerns.
Positron: Das Antiteilchen des Elektrons.
Plasmon: Ein Schwingungsquant von Plasmawellen in einem Festkörper.
Quasiteilchen können außerhalb ihres Wirtskörpers nicht existieren. Daher sind Phononen, Polaronen, Polaritonen und Plasmonen Quasiteilchen.
Bosonen sind Teilchen mit ganzzahligem Spin, während Fermionen einen halbzahligen Spin besitzen. Photonen, Phononen, Polaritonen und Plasmonen sind Bosonen, die übrigen drei Fermionen.
Lösung der Aufgabe zu Kapitel 13
Supraleiter zeichnen sich durch die folgenden beiden Eigenschaften aus:
Unterhalb einer Sprungtemperatur verschwindet der elektrische Widerstand vollständig.
Supraleiter sind ideale Diamagneten, d.h., sie verdrängen ein äußeres Magnetfeld vollständig aus ihrem Inneren.
Ein Cooper‐Paar ist ein Quasiteilchen aus zwei gebundenen Elektronen, die sich gemeinsam durch einen Kristall bewegen. Im Gegensatz zu Elektronen, die Fermionen sind, sind Cooper‐Paare Bosonen, unterliegen also nicht dem Pauliprinzip und können daher alle den Grundzustand einnehmen. Man kann alle Cooper‐Paare in einem Kristall gemeinsam durch eine einzige Wellenfunktion beschreiben, die Bose‐Einstein‐Wellenfunktion. Wechselwirkungen von Cooper‐Paaren mit dem Gitter sind ausgeschlossen, daher verschwindet der elektrische Widerstand.
Lösung der Aufgabe zu Kapitel 14
Ein Quantenpunkt ist ein Material, dessen Dimensionen in allen drei Richtungen so gering sind, dass sie kleiner sind als der Bohr'sche Exzitonenradius, der die Größe eines Exzitons angibt. Daher ist die Elektronenbewegung in alle drei Raumrichtungen eingeschränkt (Elektronen‐Confinement).
Das Anwendungspotential von Quantenpunkten in optischen Elementen beruht auf zwei Gründen:
Durch das Elektronen‐Confinement sind die Zustände in Quantenpunkten diskret. Daraus ergeben sich extrem scharfe Übergänge.
Die Emissionswellenlänge von Quantenpunkten kann über die Partikelgröße eingestellt werden. Man kann mit diesem Parameter also mit jedem Halbleitermaterial jede Wellenlänge erzeugen.
Regine Freudenstein und Wilhelm Kulisch
Wiley-SchnellkursQuantenmechanik
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d‐nb.de abrufbar.
1. Auflage 2016
© 2016 WILEY‐VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
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Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Dieses Buch wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.
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Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.
Umschlaggestaltung: Torge Stoffers Graphik‐Design, Leipzig
Korrektur: Bernhard Gerl
E-Book: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad Langensalza
Print ISBN: 978‐3‐527‐53049‐6
ePub ISBN: 978‐3‐527‐80951‐6
mobi ISBN: 978‐3‐527‐80952‐3
Einleitung
Über dieses Buch
Mittlerweile kommt fast jeder, der eine Naturwissenschaft studiert, auf die eine oder andere Weise mit der Quantenmechanik in Berührung. Aber aufgrund ihrer Komplexität und ihrer Abstraktheit wird die Quantenmechanik von niemandem wirklich geliebt und von vielen sogar gefürchtet – sieht man einmal von einigen theoretischen Physikern ab. Dabei sollte man sich aber immer bewusst sein, dass die Quantenmechanik die heute gültige, allgemein akzeptierte Grundlage der Physik und damit aller Naturwissenschaften ist. Letztendlich beschreibt sie, wie die Welt um uns herum funktioniert und damit natürlich auch wir selbst.
Aufgrund der modernen Entwicklung tauchen quantenmechanische Themen in immer mehr Naturwissenschaften auf; demzufolge kommen immer mehr Studenten mit ihr in Berührung und müssen sich mit ihr auseinandersetzen. Leider sind viele Lehrbücher zu diesem Thema nicht dazu geeignet, diesen Studenten wirklich zu helfen. Da die Quantenmechanik für sie in der Regel nur ein Nebenfach darstellt, sind diese Bücher zu umfangreich, zu komplex, zu trocken und zu abstrakt.
Diese Lücke versucht dieses Buch zu schließen. Zum einen werden die Grundlagen der Quantenmechanik zwar kurz und knapp, aber vollständig dargestellt. Dabei wird auf Themen verzichtet, die nur für Spezialisten von Interesse sind. Auf der anderen Seite versucht das Buch, dieses Thema durch zahlreiche Beispiele mit Leben zu füllen, Beispiele, denen auch Nichtphysiker in ihrem Studium oder bei ihrer (Forschungs‐)Arbeit begegnen können.
Die Zielgruppe dieses Buchs
Beim Schreiben dieses Buchs sind wir davon ausgegangen, dass Sie, die Leserin oder der Leser, eine Naturwissenschaft studieren und sich vermutlich in einem Nebenfach mit der Quantenmechanik auseinandersetzen müssen. Für Physiker, und vor allem für theoretische Physiker, ist dieses Buch natürlich nicht geeignet, wir wenden uns vielmehr an all diejenigen, die endlich einmal wissen möchten, was es mit dieser Quantenmechanik auf sich hat, und die das für sie erforderliche Wissen erwerben wollen, nicht mehr, aber auch nicht weniger.
Die Voraussetzungen
Die Quantenmechanik ist ein sehr komplexes Thema, und jede Darstellung muss beim Leser eine Reihe von Kenntnissen voraussetzen. Dies gilt natürlich auch für das vorliegende Buch. Diese Vorkenntnisse müssen sowohl mathematischer als auch physikalischer Natur sein. Beim Schreiben dieses Buchs sind wir davon ausgegangen, dass Sie zum einen Grundkenntnisse in Physik besitzen. Dies betrifft die Mechanik, aber zum Teil auch den Elektromagnetismus und die Optik. Vielleicht ebenso wichtig sind Kenntnisse in der Mathematik. Zwar wird in diesem Buch die für die Quantenmechanik erforderliche Mathematik in Kapitel 2 noch einmal dargestellt, aber natürlich kann diese Darstellung nicht bei Null beginnen.
Aufbau des Buchs
Der physikalische Inhalt dieses Buchs ist in fünf Teile gegliedert, die im nächsten Abschnitt näher vorgestellt werden.
Viele wissenschaftliche Bücher werben mit einem modularen Aufbau: Der Leser kann selbst bestimmen, in welcher Reihenfolge er die einzelnen Kapitel liest. Dies ist bei der Quantenmechanik (leider) nicht möglich. Die beiden Hauptteile II und III (Kapitel 2 bis 8) müssen in dieser Reihenfolge gelesen werden, sie bauen streng aufeinander auf. (Eine Ausnahme bildet vielleicht Kapitel 2, in dem die mathematischen Grundlagen dargestellt werden. Sie können es beim ersten Lesen nur überfliegen und es dann als Nachschlagewerk benutzen, auf das Sie zurückgreifen, wenn es notwendig ist.) Anders ist eine Darstellung der Quantenmechanik nicht möglich. Wenn Sie sich allerdings bis zu Kapitel 8 durchgekämpft haben, haben Sie die freie Wahl. Sie besitzen dann die erforderlichen Kenntnisse, um die verbleibenden Kapitel in der Reihenfolge Ihres Interesses zu lesen.
Über die eigentliche Darstellung der Quantenmechanik hinaus gibt es in diesem Buch eine Reihe von Elementen, die Ihnen das Arbeiten mit diesem zugegebenermaßen etwas komplexen Thema erleichtern sollen. Zu Beginn dieses Buchs finden Sie einen Eingangstest, direkt anschließend dessen Lösungen. Sie sollten diesen Test gleich zu Beginn durcharbeiten; danach wissen Sie, wo Ihre Stärken und wo Ihre Schwächen liegen, und können bestimmen, wo Sie Ihre Schwerpunkte setzen müssen.
Zudem gibt es am Ende eines jeden Kapitels einige Übungsaufgaben, mit deren Hilfe Sie überprüfen können, inwieweit Sie das jeweilige Thema verinnerlicht haben. Ausführlich kommentierte Lösungen dieser Aufgaben finden Sie am Ende des Buchs. Zudem befindet sich dort auch ein Glossar, in dem die wichtigsten in diesem Buch auftauchenden Begriffe kurz erläutert werden.
Inhalt des Buchs
Dieses Buch besteht aus fünf Teilen, deren Inhalte wie folgt kurz zusammengefasst werden können:
Der erste Teil besteht nur aus einem Kapitel, in dem dargelegt wird, dass die klassische Physik viele experimentelle Beobachtungen, insbesondere im atomaren Bereich, nicht erklären kann und daher die Entwicklung eines vollständig neuen theoretischen Gebäudes erforderlich wurde, d.h. der Quantenmechanik.
Im zweiten Teil werden die für die Quantenmechanik erforderlichen Grundlagen gelegt, in
Kapitel 2
zunächst die mathematischen, im anschließenden dritten Kapitel die physikalischen.
Der dritte Teil ist der Hauptteil dieses Buchs, in dem beispielhaft fünf wichtige Aufgabenstellungen der Quantenmechanik behandelt werden, die alle den Vorteil aufweisen, dass sie exakte Lösungen erlauben. Dies sind der Reihe nach der
Potentialtopf
,
Potentialstufen
und
Potentialbarrieren
, der quantenmechanische
harmonische Oszillator
, der quantenmechanische
Drehimpuls
und der
Spin
sowie das
Wasserstoffatom
. Ziel dieses Teils ist aber nicht nur die Darstellung dieser Themen; vielmehr soll mit ihrer Hilfe die Vorgehensweise der Quantenmechanik bei der Lösung derartiger Aufgaben herausgearbeitet werden.
Aus der Quantenmechanik ergeben sich einige grundlegende Effekte und Prinzipien, die mit der klassischen Physik nicht vereinbar sind, die aber mit ihren Auswirkungen großen Einfluss auf unser alltägliches Leben haben, auch wenn uns dies zumeist nicht bewusst ist. Diese Effekte und Prinzipien sind das Thema des vierten Teils dieses Buchs. Kapitel neun beschäftigt sich zunächst mit dem
Welle‐Teilchen‐Dualismus
. Thema von
Kapitel 10
ist das
Pauliprinzip
mit seinen weitreichenden Folgen. Kapitel 11 ist schließlich der
Heisenberg'schen Unschärferelation
gewidmet.
In Teil V werden einige, zum Teil sehr aktuelle direkte Anwendungen der Quantenmechanik vorgestellt. Dabei handelt es sich unter anderem um Bauelemente und Geräte, in denen quantenmechanische Vorgänge – bildlich gesprochen – makroskopisch beobachtet werden können.
Kapitel 12
befasst sich noch einmal mit Teilchen. In
Kapitel 13
geht es um seltsame Effekte, die im Zusammenhang mit Strömen auftreten: die
Supraleitung
und der
Tunneleffekt
. Das Thema von
Kapitel 14
sind schließlich
Quantenpunkte
, eine sich derzeit in rasanter Entwicklung befindende neue Anwendung der Quantenmechanik.
Vereinbarungen in diesem Buch
In diesem Buch gelten die folgenden Vereinbarungen:
Variablen sind stets
kursiv
gesetzt.
Vektoren, also gerichtete Größen, sind stets
fett
gesetzt.
r
ist also der Ortsvektor, während seine radiale Komponente mit
r
gekennzeichnet wird.
Zudem werden in diesem Buch wichtige Begriffe, wenn sie zum ersten Mal auftauchen, kursiv gesetzt.
Symbole in diesem Buch
In diesem Buch werden einige Auszeichnungen verwendet, um Sie auf besondere Textstellen hinzuweisen. Dies sind im Einzelnen:
Tipp
Hinter dem Tippsymbol verbergen sich wichtige Hinweise, die beispielsweise die Bedeutung des betrachteten Themas unterstreichen, es in einen größeren Zusammenhang stellen oder auch einen anderen Lösungsweg aufzeigen.
Warnung
Das Warnungssymbol weist auf häufig gemachte Fehler und Missverständnisse im Zusammenhang mit dem gerade behandelten Thema hin.
Übung
Schließlich finden Sie am Ende jedes Kapitels eine Reihe von Übungsaufgaben, die gesondert gesetzt sind. Die Lösungen dieser Aufgaben finden Sie am Ende des Buchs.
Beispiel
In diesem Buch werden Sie immer wieder Beispiele finden, die in gesonderte Kästen gesetzt sind. Sie sollen das gerade behandelte Thema verdeutlichen oder die aktuelle Formel anhand von Zahlen illustrieren.
Viel Spaß beim Lesen und Bearbeiten
An dieser Stelle bleibt uns nur noch, Ihnen beim Lesen und Durcharbeiten des Buchs trotz des komplexen Themas viel Spaß und vor allen Dingen viel Erfolg zu wünschen.
Wichtige Naturkonstanten
Die folgenden Naturkonstanten spielen im gesamten Buch eine wichtige Rolle und tauchen auch in vielen Rechnungen auf. Sie werden dort nicht jedes Mal wieder neu eingeführt und definiert.
Zeichen
Konstante
Wert
h
Planck'sches Wirkungsquantum
h = 6,625 ⋅ 10–34 Js
ℏ
Reduziertes Planck'sches Wirkungsquantum
ℏh/2π = 1,055 ⋅ 10–34 Js
m
e
Elektronenmasse
m
e
= 9,11 ⋅ 10
–31
kg
e
Elementarladung
e
= 1,60 ⋅ 10
–19
As
c
Lichtgeschwindigkeit
c
= 2,998 ⋅ 10
8
m/s
k
B
Boltzmannkonstante
k
B
= 1,381 ⋅ 10
–23
J/K
ε
0
Elektrische Feldkonstante
ε
0
= 8,85 ⋅ 10
–12
As/Vm
Teil I:Einführung
Der erste Teil dieses Buchs besteht nur aus einem Kapitel, in dem dargelegt wird, warum die klassische Physik nicht in der Lage ist, viele experimentelle Beobachtungen, insbesondere im atomaren Bereich, zu erklären und daher zu Beginn des letzten Jahrhunderts ein völlig neues theoretisches Gebäude errichtet werden musste, die Quantenmechanik.
1Gründe für die Quantenmechanik
In diesem Kapitel
Ein schwarzer Körper kann sehr hell strahlen
Mit Licht Elektronen auslösen: Der Photoeffekt
Auch Röntgenstrahlung kann sich wie Teilchen verhalten: Der Comptoneffekt
Die Materie besteht aus Atomen
Schlussfolgerung: Die Quantenmechanik ist notwendig
Und noch eine Schlussfolgerung
Die klassische Physik wurde im 17. bis 19. Jahrhundert entwickelt. Nach der Formulierung der Maxwell'schen Gleichungen um 1850, die den Elektromagnetismus in ähnlicher Weise zusammenfassen wie die Newton'schen Gesetze die Mechanik, waren die Wissenschaftler überzeugt, dass das Gebäude zur exakten Beschreibung der Natur vollendet war. Vielleicht mussten noch einzelne Räume eingerichtet werden, aber der Grundbau war fertig. Nur wenige Jahrzehnte später begann diese Überzeugung zur bröckeln; sie wurde sogar heftig erschüttert. Um 1900 war jedem klar, dass die klassische Physik viele der um diese Zeit gefundenen experimentellen Ergebnisse, die vor allem den atomaren Bereich betrafen, nicht erklären kann und dass vielmehr völlig neue Ansätze notwendig waren.
In diesem einleitenden Kapitel werden die wichtigsten dieser damals neu gefundenen Ergebnisse und Erkenntnisse vorgestellt, die zu dieser Entwicklung führten. Zudem wird dargestellt, welche Erklärungsmöglichkeiten entwickelt wurden und dass diese mit der klassischen Physik unvereinbar waren.
Am Schluss dieses Kapitels wird deutlich, dass zur Erklärung der neuen experimentellen Ergebnisse ein völlig neues, grundsätzliches theoretisches Gebäude errichtet werden musste, die Quantenmechanik.
Ein schwarzer Körper kann sehr hell strahlen
Der erste der um die Jahrhundertwende auftretenden eklatanten Widersprüche zwischen den experimentellen Beobachtungen und der klassischen Physik betraf die Strahlung eines schwarzen Körpers. Und gleich in diesem ersten Fall führte schließlich die vorgeschlagene Lösung des Problems das Phänomen ein, das in der weiteren Entwicklung der gesamten neuen Theorie den Namen geben sollte: Die Quantisierung bestimmter Größen (in diesem Fall der Energie).
Der Idealfall: Der schwarze Strahler
Sie wissen aus eigener Erfahrung, dass Körper Licht abstrahlen, wenn sie auf hohe Temperaturen erhitzt werden, und dass die Farbe von der Temperatur abhängt. Beispielsweise glüht ein Draht, wenn er erhitzt wird, zuerst rot, dann gelb und schließlich weiß.
Abbildung 1.1: Ein Hohlraumresonator
Um diese Strahlung genauer messen und vor allen Dingen beschreiben zu können, betrachten die Physiker gerne einen schwarzen Körper. Dabei bezieht sich „schwarz“ auf die Fähigkeit des Körpers, alle auftreffenden Strahlungen vollständig zu absorbieren, sodass sie nicht zu seiner Emission beitragen und diese allein auf dem Körper und seiner Temperatur beruht. Eine Möglichkeit, dies zu realisieren, ist der in Abbildung 1.1 dargestellte Hohlraumresonator.
Abbildung 1.2 zeigt Spektren der Schwarzköperstrahlung für verschiedene Temperaturen. Der Abbildung kann man Folgendes entnehmen:
Mit wachsender Temperatur verschiebt sich das Maximum der Spektren zu kürzeren Wellenlängen, d. h. zu höheren Frequenzen.
Mit zunehmender Temperatur nimmt die Gesamtintensität stark zu.
Abbildung 1.2: Das Spektrum eines schwarzen Strahlers bei verschiedenen Temperaturen
Frühe Erklärungsversuche
Die klassische Physik war nicht in der Lage, die Spektren von schwarzen Körpern auch mathematisch zufriedenstellend zu erklären. Es gab zwar eine Vielzahl von Erklärungsversuchen und Modellen, von denen aber keines die gemessenen Spektren im gesamten Wellenlängenbereich auch quantitativ beschreiben konnte. Von diesen Modellen werden aufgrund ihrer Bedeutung (für die endgültige Lösung) im Folgenden zwei kurz vorgestellt.
Man muss die Boltzmannverteilung anwenden: Das Wien'sche Gesetz
1893 veröffentlichte der Physiker Wilhelm Wien das nach ihm benannte Verschiebungsgesetz, das die Temperaturabhängigkeit des Wellenlängenmaximums eines schwarzen Strahlers beschreibt. Es lautet:
Dabei ist b eine Konstante. Einige Jahre später stellte Wien ein Strahlungsgesetz vor, bei dessen Herleitung er annahm, dass die Besetzung der Zustände in einem solchen Resonator der Maxwell‐Boltzmann‐Verteilung gehorcht. Dieses Gesetz lautet:
Dabei sind I die Intensität und λ die Wellenlänge. Auf die Bedeutung der Konstanten h wird weiter unten eingegangen.
Dieses Gesetz beschreibt die experimentellen Beobachtungen in einem weiten Spektralbereich sehr gut (Abbildung 1.3). Insbesondere sagt es auch das Wellenlängenmaximum als Funktion der Temperatur richtig vorher. Aber: Bei großen Wellenlängen versagt es, wie aus der Abbildung hervorgeht.
Abbildung 1.3: Das Wien'sche Gesetz, das Rayleigh‐Jeans‐Gesetz und das Planck'sche Strahlungsgesetz für eine Temperatur T = 1000 K
Abzählen von Zuständen: Das Rayleigh‐Jeans‐Gesetz
Abbildung 1.4: Zur Ermittlung der in einem Würfel möglichen Schwingungsmoden
Der englische Physiker John Rayleigh schlug um 1900 vor, dass man zur Berechnung des Spektrums eines schwarzen Körpers zunächst einmal ermitteln muss, welche und wie viele Schwingungsmoden in einem solchen Resonator überhaupt möglich sind. Dies ist schematisch in Abbildung 1.4 dargestellt. Dabei muss man die Randbedingung beachten, dass das elektrische Feld an den Wänden gleich null sein muss. Es müssen sich also stehende Wellen ausbilden.
Aus der Abbildung geht hervor, dass die Anzahl der Moden umso größer ist, je kleiner die Wellenlänge ist (also je höher die Frequenz ist). Rayleigh führte diese Abzählung durch und ordnete jeder Mode die folgende mittlere Energie zu:
Damit gelangte er zu folgender Formel für das Schwarzkörperspektrum, die für T = 1000 K in Abbildung 1.3 dargestellt ist:
Der Abbildung kann man entnehmen, dass das Rayleigh‐Jeans‐Gesetz in weiten Bereichen des Spektrums fürchterlich versagt. Aber: Für große Wellenlängen beschreibt es die Realität sehr genau, und dies ist der Bereich, in dem das Wien'sche Gesetz versagt.
Das Planck'sche Strahlungsgesetz
Notwendig war also eine Theorie, die in der Lage ist, den gesamten spektralen Bereich richtig zu beschreiben. In seinem 1900 veröffentlichten Strahlungsgesetz griff Planck auf Elemente des Wien'schen Gesetzes und des Rayleigh‐Jeans‐Gesetzes zurück. Er zählte zunächst die Anzahl der Schwingungsmoden ab. Zudem verwendete er (wie Wien) die klassische Thermodynamik, d. h. die Maxwell‐Boltzmann‐Verteilung.
Dann verließ Planck aber den Boden der klassischen Physik. Er nahm an, dass ein Oszillator (eine Schwingungsmode) nicht jeden beliebigen Energiewert annehmen kann. Vielmehr ist die Energie quantisiert, sie kann nur bestimmte, von der Frequenz bzw. Kreisfrequenz ω abhängige Werte annehmen:
Abbildung 1.5: Die Quantisierung von Energieniveaus
Dies ist in Abbildung 1.5 dargestellt. Übergänge sind nur zwischen diesen Energieniveaus möglich: Bei der Emission geht ein Oszillator von einem höheren in einen niedrigeren Zustand über, bei einer Absorption wird ein höheres Niveau eingenommen.
Mit diesen Annahmen gelangte Planck zur folgenden Strahlungsformel, die die experimentellen Beobachtungen sehr genau wiedergibt (Abbildung 1.6):
Abbildung 1.6: Die Strahlung eines schwarzen Körpers nach der Planck'schen Strahlungsformel für verschiedene Temperaturen. Beachten Sie die doppellogarithmische Darstellung
Tipp
Das in dieser Formel auftretende Planck'sche Wirkungsquantum h ist die wichtigste Naturkonstante der Quantenmechanik, es taucht in sehr vielen Gleichungen in diesem Buch auf. Dabei wird häufig statt h die Größe ℏ benutzt, wobei einfach ℏh / 2π gilt.
Man kann die Bedeutung des Planck'schen Strahlungsgesetzes gar nicht genug betonen. Es folgt nicht aus der klassischen Physik; insbesondere die Quantisierung widerspricht ihr sogar eklatant. Planck hatte deswegen Zeit seines Lebens „Bauchschmerzen“. Aber: Das Gesetz beschreibt die experimentellen Beobachtungen richtig. Das Konzept der Quantisierung wurde in den folgenden Jahren immer wieder aufgegriffen, u. a. von Einstein (siehe den folgenden Abschnitt). Diese erfolgreiche Verwendung der Quantisierung bestimmter Größen zur Erklärung von mit der klassischen Physik nicht zu vereinbarenden Beobachtungen führte schließlich zur Entwicklung der Quantenmechanik, aus der sie sich zwanglos ergibt, wie sich im Verlauf des Buchs zeigen wird.
Mit Licht Elektronen auslösen: Der Photoeffekt
Als photoelektrischen Effekt oder Photoeffekt bezeichnet man die Beobachtung, dass bei Bestrahlung eines Metalls mit Licht Elektronen aus dem Metall austreten können (der Einfachheit halber im Folgenden ins Vakuum) (Abbildung 1.7). Dies ist durchaus mit der klassischen Physik vereinbar. Das Licht wird im Metall absorbiert und die Energie auf Elektronen übertragen, die dann in der Lage sind, das Metall zu verlassen. Dazu muss eine gewisse Potentialbarriere überwunden werden, die Austrittsarbeit WA genannt wird.
Abbildung 1.7: Der photoelektrische Effekt
