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- Herausgeber: Yes Publishing
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2022
Zahlen sind so viel mehr als simple Nummern oder Mengenangaben. Unser ganzes Universum lässt sich mit ihrer Hilfe vermessen. Zahlen sind exakt und gleichzeitig unendlich, alltäglich, aber auch geheimnisvoll. Nur langweilig sind sie nicht, wie dieses unterhaltsame Buch beweist. Erfahre verblüffende Zahleneigenschaften, Zusammenhänge zwischen Zahlen sowie interessante Anekdoten über Mathematik und Mathematiker. Lerne, wie sich rationale Zahlen, Prim-, Mirp-, dreieckige und miteinander befreundete Zahlen voneinander unterscheiden und was man alles mit ihnen machen kann. Erkenne mühelos, welche Zahlen durcheinander teilbar sind und wie man sich Zahlen einfach merken kann. Komplexe Fakten und Regeln werden leicht verständlich erklärt. Anhand kniffliger Rechenrätsel und witziger Denksportaufgaben kannst du das neu erworbene Wissen gleich beim Lesen überprüfen.
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Seitenzahl: 141
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MATHE MAGIC
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Spannendes und Kurioses aus der Welt der Zahlen
Originalausgabe
2. Auflage 2023
© 2022 by Yes Publishing – Pascale Breitenstein & Oliver Kuhn GbR
Türkenstraße 89, 80799 München
Alle Rechte vorbehalten.
Redaktion: Rainer Weber
Illustrationen: S. 72: Peter Hermes Furian/Shutterstock.com, S. 115: VTT Studio/Shutterstock.com
Umschlaggestaltung: Ivan Kurylenko (hortasar covers)
Layout und Satz: Daniel Förster
eBook: ePUBoo.com
ISBN Print 978-3-96905-178-8
ISBN E-Book (EPUB, Mobi) 978-3-96905-180-1
ISBN E-Book (PDF) 978-3-96905-179-5
INHALT
Zahlen, Zahlen, Zahlen …
Unheimliche Verdoppelung
Unvorstellbar große und kleine Zahlen
Immer wieder 37
Mathematiker und Physiker
Die geheimnisvolle 1089
Primzahlen
36: die kleinste Summe dreier Kubikzahlen
Mersenne-Primzahlen
Eine ganz besondere Primzahl
Die vertrackte 196
Ein ganz spezielles Palindrom
Mirpzahlen
Quadrat- und Kubikzahlen
Verblüffende Quadratzahlenrechnung
Einfach auszurechnen: das Quadrat einer Zahl mit der Endziffer 5
Vollkommene Zahlen
Abundante und defiziente Zahlen
Befreundete Zahlen
Fermats großer Satz
Das 5000-Spiel
Logik besiegt Angst
Das Zahlengenie
Mal selbst ein Rechengenie sein
Teilbarkeitsregeln
0, 1 und 81 haben eine exklusive Gemeinsamkeit
Fröhliche Zahlen
Die einzigartige 69
Dreieckige Zahlen
Die besondere 36
Immer wieder eine Dreieckszahl
Die geniale Null
Darum darf man nicht durch 0 teilen
Ganz klar: ein Mathematiker!
Die glückliche 7
Gedachte Zahl ermitteln
So zählten die alten Römer
Erst denken, dann rechnen!
Die erstaunliche 9
Das fehlende Jahr
Die 1 kommt als Anfangsziffer fast sieben Mal so oft vor wie die 9
Die einzigartige 1
Milchmädchenrechnung
Verblüffender Trick
Noch ein verblüffender Trick
Die mythisch-göttliche 3
Die Kaprekar-Konstante
Endliche und unendliche Reihen
Dritte Potenz und Quersumme
Stimmt immer
Der Vier-Farben-Satz
Die fünf platonischen Körper
Immer wieder Quadratzahlen
Geburtstag
Der Sonnenkönig und der Dichter
Am selben Tag Geburtstag
Wie alt?
So rechneten die alten Babylonier
Und so rechneten die alten Ägypter
Apropos multiplizieren
Noch etwas zur 6
Und so rechnen Computer
Falsche Richtung
Immer wieder 6
So viel Reis und Bakterien
37 – eine einzigartige Zahl
Seil um den Äquator
7 Mal ist die Grenze
Hauchdünn
Bemerkenswerte Multiplikationen
Durchaus logisch
Der indische Zahlenvirtuose
Bemerkenswerte Potenz
Die besonderen Potenzen der 18
Doppelt so warm?
Die spannende 27
Das Collatz-Problem
Cäsar und der Kalender
Das schwarze Schaf
Sudoku
Gedanken vor dem Aufzug
Mühelos Zahlen merken
Was ist 2 mal 2?
Fibonacci und die Kaninchen
Zahlen, die Unglück bringen
Ganz einfach: Multiplikation mit 11
Die Crux mit den Hexominos
Die Kreiszahl Pi
Mathematik-Unterricht an verschiedenen Schultypen
Schnapszahl mal 9
Magische Quadrate
Goethes Hexeneinmaleins
Der Goldene Schnitt
Ingenieur und Mathematiker
Die erotische Zahl 218.593
Die vertrackte Zahl 142.857
Zitate über Mathematik und Mathematiker
Lösungen
ZAHLEN, ZAHLEN, ZAHLEN …
In diesem Buch geht es um Zahlen und das, was man damit anfangen kann. Unter diesen Zahlen gibt es aber vielfältige Unterschiede, oder anders gesagt: Sie lassen sich mehreren Bereichen oder Mengen zuordnen. In erster Linie sind das:
die natürlichen Zahlen
die ganzen Zahlen
die rationalen Zahlen
die reellen Zahlen
Dabei gilt, dass jede der genannten Zahlenmengen Teil der nächstgrößeren beziehungsweise vollkommen in dieser enthalten ist. Betrachten wir die einzelnen Gruppen einmal näher.
Die natürlichen Zahlen sind diejenigen, die wir üblicherweise zum Zählen verwenden, also 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter. Wobei, je nach Definition, auch die 0 (Null) dazugezählt wird. Dagegen gehören negative oder Kommazahlen sowie Brüche nicht dazu.
Nimmt man zu den natürlichen noch die negativen Zahlen, also −1 (minus 1), −2, −3, −4, −5 etc. dazu, hat man es mit ganzen Zahlen zu tun. Wie der Name schon sagt, beinhaltet diese Zahlenmenge keine Brüche oder Zahlen mit Nachkommastellen.
Nach dieser kleinen Einführung folgt hier schon das erste von vielen kniffligen Rechenrätseln und Denksportaufgaben in diesem Buch. Man erkennt sie daran, dass sie jeweils in eine grau unterlegte Box eingebettet sind. Die Lösungen findest du ab Seite 137.
Kleiner als die Hälfte
Welche ganze Zahl ist um 2 kleiner als ihre Hälfte?
UNHEIMLICHE VERDOPPELUNG
Nimm eine beliebige dreistellige Zahl und multipliziere sie mit 7. Das Ergebnis multiplizierst du mit 11 und das Resultat noch einmal mit 13. Plötzlich steht die Zahl zweimal da.
Zwei Beispiele:
123
238
Zahlenwert gleich Buchstabenzahl
Im Deutschen gibt es nur eine einzige Zahl, deren Wert mit der Zahl der Buchstaben übereinstimmt. Welche ist das?
UNVORSTELLBAR GROSSE UND KLEINE ZAHLEN
Es gibt Zahlen, die sind so ungeheuer groß, dass man sie sich auch mit noch so viel Anstrengung und Fantasie beim besten Willen nicht vorstellen kann. Man denke etwa an die Anzahl der Sandkörner in der Sahara, der Ameisen in Europa oder der Moleküle im menschlichen Körper. Für derartige Riesenzahlen gibt es spezielle Bezeichnungen, doch die erleichtern die Vorstellung auch nicht wesentlich. Die wichtigsten sind in nachfolgender Tabelle aufgelistet, dazu die üblichen Abkürzungen, von denen viele die ersten vier von Computerspeichern her kennen. Daneben enthält die Tabelle noch die in der Mathematik übliche Schreibweise in Potenzen.
Zahl
Bezeichnung
Abkürzung
Potenz
1 mit 3 Nullen
Tausend
Kilo
103
1 mit 6 Nullen
Million
Mega
106
1 mit 9 Nullen
Milliarde
Giga
109
1 mit 12 Nullen
Billion
Tera
1012
1 mit 15 Nullen
Billiarde
Peta
1015
1 mit 18 Nullen
Trillion
Exa
1018
1 mit 21 Nullen
Trilliarde
Zetta
1021
1 mit 24 Nullen
Quadrillion
Yotta
1024
Selbstverständlich gibt es noch weitaus größere Zahlenbezeichnungen, etwa Septillion für eine 1 mit 42 Nullen oder Undezilliarde für eine 1 mit 69 Nullen. Doch die verwendet kein Mensch, weil es bei derart gigantischen Zahlen erheblich praktischer ist, sie in Potenzen zu schreiben. Dabei gibt die Hochzahl der 10 die Anzahl der Nullen hinter der 1 an. Anstelle von 9.000.000 (9 Millionen) schreibt man also einfach 9 × 106. Der Vorteil dieser Darstellungsweise wird umso offensichtlicher, je größer die Zahl ist. 15 Quadrillionen etwa sind in Ziffern geschrieben eine 15 mit 24 Nullen, da schreibt sich doch 15 × 1024 wesentlich schneller. Außerdem vermeidet man so die erhebliche Gefahr, sich bei der Anzahl der Nullen zu verzählen.
Der entscheidende Vorteil der Potenzen ist jedoch, dass sich mit ihnen sehr einfach rechnen lässt: Beim Multiplizieren muss man nur die Grundzahlen malnehmen und die Hochzahlen addieren. So ist zum Beispiel 12 Milliarden mal 5 Septilliarden dasselbe wie 12 × 109 × 5 × 1045, was – leicht auszurechnen – 60 × 1054 (60 Nonillionen) ergibt.
Übrigens gibt es derart große Zahlen noch gar nicht sehr lange. Bis Anfang des 13. Jahrhunderts war schon bei 100.000 Schluss. Mehr benötigte man schlichtweg nicht. 1270 tauchte dann in Italien zum ersten Mal die Million auf (da mille im Italienischen für 1000 steht und die Endung -one so viel bedeutet wie groß oder mächtig, ist eine Million, genau genommen, nichts weiter als eine große Tausend). Danach dauerte es mehr als 200 Jahre, bis der Mathematiker Nicolas Chuquet im Jahr 1484 vorschlug, für das Millionenfache einer bereits benannten Zahl jeweils einen neuen Begriff einzuführen. So entstanden die Billion für eine Million mal eine Million und die Trillion für eine Million mal eine Billion.
Aber natürlich gibt es neben den unvorstellbar großen auch unvorstellbar kleine Zahlen. Für diese existieren spezielle Wortvorsätze, von denen dir sicher Nano für ein Milliardstel geläufig ist. In der nachfolgenden Tabelle sind die bekanntesten derartigen Vorsätze sowie die zugehörigen Potenzen und Abkürzungen angegeben. Diese Abkürzungen setzt man vor die entsprechende Maßeinheit. Misst also etwa ein Virus ein Milliardstel Meter, so ist er 1 nm (1 Nanometer) groß.
Bezeichnung
Vorsatz
Potenz
Abkürzung
Hundertstel
Zenti
10−2
c
Tausendstel
Milli
10−3
m
Millionstel
Mikro
10−6
μ
Milliardstel
Nano
10−9
n
Billionstel
Piko
10−12
p
Billiardstel
Femto
10−13
f
Nur drei Ziffern
Welche ist die höchste Zahl, die man mit drei Ziffern ausdrücken kann?
IMMER WIEDER 37
Im Schneckentempo
Eine Weinbergschnecke fällt in einen 10 Meter tiefen Brunnen. Sofort macht sie sich daran, wieder herauszukommen, und beginnt, die senkrechte Wand hinaufzuklettern. Dabei schafft sie tagsüber 3 Meter, rutscht aber in der Nacht, während sie schläft, jedes Mal 2 Meter zurück. Nach wie vielen Tagen ist sie oben?
MATHEMATIKER UND PHYSIKER
Eine Gruppe Mathematiker und eine Gruppe Physiker fahren mit dem Zug zu einer Tagung. Während jeder Physiker eine eigene Fahrkarte gekauft hat, besitzen die Mathematiker nur eine einzige Karte. Plötzlich ruft einer der Mathematiker: »Der Schaffner kommt!«, woraufhin sich alle Mathematiker in eine Zugtoilette zwängen. Der Schaffner kontrolliert zuerst die Physiker, sieht dann, dass das WC besetzt ist, und klopft an die Tür: »Die Fahrkarte bitte!« Einer der Mathematiker schiebt die Fahrkarte unter der Tür durch, und der Schaffner zieht zufrieden ab.
Auf der Rückfahrt beschließen die Physiker, denselben Trick anzuwenden, und kaufen für die ganze Gruppe nur eine einzige Karte. Verwundert registrieren sie, dass die Mathematiker diesmal überhaupt kein Ticket lösen. Während der Fahrt ruft wieder einer: »Der Schaffner kommt!« Sofort stürzen die Physiker in das eine WC, während sich die Mathematiker gemächlich auf den Weg zu einem anderen machen. Bevor sich der Letzte von ihnen auf den Weg macht, klopft er bei den Physikern an: »Die Fahrkarte bitte!«
Wie schnell im Durchschnitt?
Auf dem Weg von A-Dorf nach B-Dorf fährt Hans konstant 50 Stundenkilometer schnell. Zurück geht es wegen eines Defekts an seinem Motorroller nur mit 25 Stundenkilometern.
Welche Durchschnittsgeschwindigkeit erreicht er insgesamt?
DIE GEHEIMNISVOLLE 1089
Denk dir eine dreistellige Zahl, bei der sich die erste und letzte Ziffer um mindestens 2 unterscheiden. Kehre sie um, und subtrahiere die kleinere dieser Zahlen von der größeren. Danach vertauschst du die erste Ziffer der neuen dreistelligen Zahl mit der letzten und addierst die beiden.
Das Ergebnis ist – ganz egal, welche Zahl du dir gedacht hast – immer 1089.
Ein Beispiel:
782
Der fleißige Bücherwurm
In einem Bücherregal steht ein zweibändiges Werk. Der erste Band umfasst 230 und der zweite 320 Seiten. Gerade ist ein Bücherwurm dabei, sich quer durch die beiden Bände hindurchzubohren. Dabei braucht er für jedes Blatt 1 Minute und für jeden Buchdeckel 1 Stunde.
Wie lange braucht der Wurm, um sich von Seite 1 des ersten Bandes bis zur letzten Seite des zweiten Bandes vorzuarbeiten?
PRIMZAHLEN
Schon 1850 hat der russische Mathematiker Tschebyschew bewiesen, dass es zwischen jeder Primzahl und ihrem Doppelten mindestens eine weitere Primzahl gibt. Wobei die Betonung auf »mindestens« liegt. Denn schon zwischen der 6 und der 12 finden sich mit der 7 und der 11 gleich zwei davon. Und noch viel früher, nämlich bereits im 4 Jahrhundert v. Chr., hat der berühmte griechische Mathematiker Euklid in seinem Buch Die Elemente bewiesen, dass die Anzahl der Primzahlen unendlich ist, dass sich also zu jeder beliebigen Primzahl, und sei sie noch so groß, immer eine noch größere finden lässt. Seither haben Scharen von Mathematikern Unmengen von Zeit investiert, Primzahlen mit möglichst vielen Stellen zu finden. Den aktuellen Rekord stellt die Zahl 282589933 – 1dar, ein Monster mit mehr als 24 Millionen Stellen. Zum Vergleich: Die gesammelten Werke von William Shakespeare umfassen Schätzungen zufolge lediglich 4 bis 5 Millionen Buchstaben! Wobei der Rekord zu dem Zeitpunkt, an dem du dieses Buch liest, durchaus schon wieder überboten sein kann.
Das größte Rätsel der Primzahlen aus mathematischer Sicht ist ihre scheinbar keiner Regel gehorchende Verteilung unter allen Zahlen. Daran, ein berechenbares Muster zu finden, haben sich Generationen von Mathematikern die Zähne ausgebissen, bislang ohne jeden Erfolg. Deshalb gibt es bis heute bei der Suche nach immer größeren Primzahlen keine andere Methode, als jeden potenziellen Kandidaten probeweise durch sämtliche möglichen Teiler zu dividieren, wobei es von denen naturgemäß umso mehr gibt, je größer die zu prüfende Zahl ist.
Manche Primzahlen weisen weitere überraschende Eigenschaften auf. Das gilt etwa für »Primzahlzwillinge«, also solche, zwischen denen nur eine einzige Zahl liegt. Wobei diese naturgemäß gerade sein muss, da ja sämtliche Primzahlen außer der 2 ungerade sind. Solche Zwillinge sind etwa 3 und 5, 5 und 7, 11 und 13 sowie 17 und 19. Ob es von ihnen unendlich viele gibt, ist bis heute nicht bekannt.
Erstaunliche Primzahlreihe
Addiert man zur Primzahl 7 eine bestimmte zweistellige Zahl n, erhält man wieder eine Primzahl. Addiert man zu dieser noch einmal n, ist das Ergebnis wieder eine Primzahl. Macht man so weiter, erhält man (zusammen mit der 7) insgesamt sechs Primzahlen, die dann natürlich untereinander alle denselben Abstand n haben.
Wie lautet n?
(Kleine Hilfe: n ist zweistellig, und die erste Stelle ist auch eine Primzahl.)
36: DIE KLEINSTE SUMME DREIER KUBIKZAHLEN
Neben der 36 gibt es bis 100 noch drei weitere Zahlen auf den Plätzen zwei bis vier: 73, 92 und 99.
Flächenberechnung
Wie viele Flächen hat eine viereckige Schachtel?
MERSENNE-PRIMZAHLEN
EINE GANZ BESONDERE PRIMZAHL
Unter den Primzahlen zeichnet sich die Zahl 73.939.133 durch eine ganz besondere Eigenschaft aus: Man kann vom Ende her beliebig viele Ziffern abschneiden und enthält immer wieder eine Primzahl. Das gilt zwar auch für andere – etwa die 23 –, doch die Zahl 73.939.133 ist die größte bekannte Zahl mit dieser verblüffenden Eigenschaft.
Dreistellige Primzahlen
Finde alle dreistelligen Primzahlen, bei denen die erste Ziffer um 1 größer ist als die mittlere und die letzte Ziffer um 2 größer ist als die mittlere.
DIE VERTRACKTE 196
Ein Palindrom ist ein Wort, das vorwärts und rückwärts gelesen gleich lautet, zum Beispiel OTTO, RETTER oder RELIEFPFEILER. Es gibt sogar komplette Palindrom-Sätze, deren bekanntester wohl folgender ist: EIN NEGER MIT GAZELLE ZAGT IM REGEN NIE. Zwar ist das N-Wort zu Recht nicht mehr Teil der Alltagssprache, aber mit Schwarzer, Farbiger oder anderen Begriffen funktioniert dieser sprachhistorische Beispielsatz nicht. Entsprechend weist eine Palindrom-Zahl von vorn und hinten gelesen dieselbe Ziffernfolge auf, zum Beispiel 121, 2442 oder 35.622.653.
